funÇÃo identidade 2vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/wp-content/uploads... · no final das séries de...
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MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................... 2
FUNÇÃO LINEAR ........................................................................ 2
FUNÇÃO AFIM ............................................................................. 3
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU ......................................... 3
IMAGEM ....................................................................................... 5
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM ........................................... 5
ZERO DA FUNÇÃO AFIM ............................................................ 6
FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES ...................... 7
SINAL DE UMA FUNÇÃO ............................................................ 9
SINAL DA FUNÇÃO AFIM ......................................................... 10
INEQUAÇÕES ........................................................................... 12
SISTEMA DE INEQUAÇÕES ..................................................... 13
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS ................................................. 14
INEQUAÇÕES-PRODUTO ........................................................ 14
INEQUAÇÃO-QUOCIENTE ....................................................... 17
RESPOSTAS ............................................................................. 19
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 24
No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.
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CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
FUNÇÃO IDENTIDADE
Uma função f de ℝ em ℝ recebe o nome de FUNÇÃO IDENTIDADE quando
associa a cada elemento x ℝ o próprio x, isto é:
𝑓:ℝ → ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑥
Desta forma, todos os pares ordenados que pertencem à função identidade são do tipo (a; a) e o gráfico que a representa contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes.
A imagem da função identidade é Im = ℝ.
FUNÇÃO LINEAR
Uma função f de ℝ em ℝ recebe o nome de FUNÇÃO LINEAR quando associa
a cada elemento x ℝ o elemento ax ℝ onde a 0 é o número real dado, isto é:
𝑓:ℝ → ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0
É possível demonstrar que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem, mas veremos esta demonstração mais a frente, num caso mais geral.
A imagem da função identidade é Im = ℝ e isto pode ser percebido facilmente, veja:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ⇔ 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥
𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑥 ⇔ 𝑥 =𝑦
𝑎
assim, 𝑥 =𝑦
𝑎∈ ℝ, a 0, tal que:
y)x(f
a
ya)x(f
xa)x(f
Ex.: 1 Vamos construir o gráfico da função
𝑦 = 2𝑥. Resolução: como já sabemos que o gráfico da função linear é uma reta e que dois pontos distintos determinam uma reta, basta que encontremos dois pontos para construir o gráfico. Além disso, o gráfico da função linear passa sempre pela origem assim, já temos o ponto (0; 0) bastando encontrar apenas mais um ponto. Vamos, então, atribuir um valor não nulo a x e calcular o correspondente y = 2x.
𝑥 2 ∙ 𝑥 𝑦 1 2 ∙ 1 2
Agora devemos localizar, num sistema cartesiano, os pontos P(0; 0) e Q(1; 2) e traçar a reta PQ que será o gráfico procurado.
Note que Im(f) = ℝ. Veja o gráfico na coluna a seguir. Ex.2:
Construir o gráfico da função 𝑦 = −2𝑥.
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MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Resolução: Analogamente, temos:
𝑥 −2 ∙ 𝑥 𝑦 1 −2 ∙ 1 −2
Agora, P(0; 0) e Q(1; -2).
Mais a frente, vamos tratar de um assunto que já pode ser observado nestes dois gráficos. Vamos, então, de forma incipiente, aproveitar a oportunidade.
No Ex.1, o termo que multiplica o x é 2. Este fator é chamado de “taxa de variação”. Isto significa que para cada uma unidade que o x varia, há uma variação de 2 unidades em y.
No Ex.2, essa taxa de variação é -2, ou seja, cada unidade em x faz o y variar em –2 unidades.
Agora vamos construir alguns gráficos.
1) Construa, num mesmo sistema cartesiano, os 4 gráfico de funções constantes a seguir. a) y = 2
b) y = 2 c) y = -3 d) y = 0
2) Construir, num mesmo sistema
cartesiano, os gráficos das funções 𝑓:ℝ → ℝ a seguir. a) y = x b) y = 2x c) y = 3x
d) 2
xy
3) Construir, num mesmo sistema
cartesiano, os gráficos das funções 𝑓:ℝ → ℝ a seguir. a) y = -x b) y = -2x c) y = -3x
d) 2
xy
FUNÇÃO AFIM
Uma função 𝑓:ℝ → ℝ recebe o nome de FUNÇÃO AFIM quando associa a cada
elemento 𝑥 ∈ ℝ o elemento 𝑎𝑥 + 𝑏 ∈ ℝ onde 𝑎 0, isto é: 𝑓:ℝ → ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 0
1.: y = 2x + 4 onde a = 2 e b = 4 2.: y = -3x + 5 onde a = -3 e b = 5 3.: y = x – 1 onde a = 1 e b = -1 4.: y = 3x onde a = 3 e b = 0 Observe este último exemplo. Note
que, quando 𝑏 = 0, a função 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 assume a forma da função linear e, assim, podemos dizer que a função linear é um caso particular de uma função afim.
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
O gráfico da função do primeiro grau é uma reta e isto pode ser facilmente
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CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
demonstrado. A demonstração não faz parte da ementa deste curso. Caso tenha interesse ou curiosidade, ela foi acrescentada no final desta apostila.
Ex.1: Construir o gráfico da função y = 2x + 1. Resolução;
Sabendo que este gráfico é uma reta, vamos encontrar dois de seus pontos, localiza-los no plano cartesiano e, em seguida traçar a reta.
x 2x+1 y
0 2 • 0 + 1 1
1 2 • 1 + 1 3
O gráfico da função, então, é uma reta que passa pelos pontos (0; 1) e (1; 3).
É facilmente perceptível, pelo gráfico, que tanto o domínio quanto a imagem desta função são formados por todos os números reais, assim:
𝐷(𝑓) = ℝ e𝐼𝑚(𝑓) = ℝ Ex.2: Construir o gráfico da função y = -x + 3 Resolução: De modo análogo, temos:
x -x + 3 y
0 -0 + 3 3
2 -2 + 3 1
Assim, o gráfico da função, então, é a reta que passa pelos pontos (0; 3) e (2; 1).
𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ
4) Construa o gráfico da cada uma das 8 funções apresentadas. (Dica: em cada situação siga os exemplos fazendo, inclusive, a tabela afim de que a construção fique organizada)
a) y = 2x – 1 b) y = x+2 c) y = 3x+2
d) 2
3x2y
e) y = –3x – 4 f) y = –x – 1 g) y = –2x + 3
h) 2
x34y
5) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações do 1º grau:
4y3x2
3yx
6) Resolva analiticamente e graficamente os sistemas de equações do 1º grau:
a)
1yx
5yx
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MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO DO 1º GRAU
b)
8y3x2
14y2x3
c)
4y4x2
2y2x
7) Resolva os sistemas:
a)
4
1
yx
1
yx
1
4
3
yx
1
yx
1
Sugestão: faça byx
1ea
yx
1
b)
13yx2
3
1yx
2
12
5
3yx2
2
1yx
3
8) Obter a equação da reta que passa pelos pontos: a) (1; 2) e (3; -2). b) (2; 3) e (3; 5) c) (3; -2) e (2; -3) d) (1; -1) e (-1; 2)
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ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 153 e 154– Exercícios 02 a 04
IMAGEM
O conjunto imagem de uma função afim 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 0 é ℝ.
De fato, qualquer que seja 𝑦 ℝ,
existe 𝑥 =𝑦−𝑏
𝑎 ∈ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑓 (
𝑦−𝑏
𝑎) =
𝑎 ∙𝑦−𝑏
𝑎+ 𝑏 = 𝑦.
COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM
O coeficiente a da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente
angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. O coeficiente b da função y = ax + b é denominado coeficiente linear. Os coeficientes a e b tem influência sensível no gráfico da função afim. Veja os exemplos a seguir onde são mostradas variações independentes em cada coeficiente.
Ex.1: Veja a construção, num mesmo plano cartesiano, de gráficos de 6 funções. Note que em todos os casos, o coeficiente b não muda. A única variação é no coeficiente a.
Observe que a variação do coeficiente
a faz variar a declividade da reta que representa o gráfico da função. Ex.2: Agora você pode observar construções de funções que possuem o mesmo coeficiente angular variando, apenas, o coeficiente linear.
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CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Veja neste caso, que a variação do coeficiente b faz variar o ponto em que a reta do gráfico da função toca o eixo OY.
9) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1; 3) e tem coeficiente angular igual a 2.
10) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 4) e tem coeficiente angular igual a -3. 11) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-3; 1) e tem coeficiente angular igual
a 2
1 .
12) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2; 1) e tem coeficiente angular igual a 4. 13) Obter a equação da reta que tem coeficiente angular igual a -3 e passa pelo ponto (-3; -2) 14) Dados os gráficos das funções
de ℝ em ℝ, obter a lei de correspondência dessas funções. Para tal considere cada quadradinho como referência de uma unidade. a)
b)
c)
d)
ZERO DA FUNÇÃO AFIM
Zero ou raiz de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = 0.
x é zero de y = f(x) f(x) = 0
Assim, para determinar o zero de uma função afim, basta resolver a equação do 1º grau
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
que apresenta uma única solução 𝑥 = −𝑏
𝑎.
Ex.1: Qual o zero da função f(x) = 2x – 1?
2𝑥 − 1 = 0 → 2𝑥 = 1 → 𝑥 = 1
2
Logo, a raiz da função é 2
1.
Ex. 2: Podemos interpretar o zero da função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo OX.
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MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Note o gráfico da função f(x) = 2x – 1, intercepta o eixo das abscissas
em 2
1x , isto é, no ponto
0;
2
1.
FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES
Uma função 𝑓: 𝐴 𝐵 definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) é CRESCENTE no conjunto 𝐴1 𝐴 se, para dois valores quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2, temos 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
Em termos técnicos, 𝑓 é crescente quando:
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 𝒇(𝒙𝟏) < 𝒇(𝒙𝟐))
Esta expressão acima também pode
ser escrita desta forma:
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇(𝒙𝟏) − 𝒇(𝒙𝟐)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟐> 𝟎)
Em termos não técnicos, podemos
dizer que uma função é crescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor de y também aumenta. Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função crescente.
Uma função 𝑓: 𝐴 𝐵 definida por
𝑦 = 𝑓(𝑥) é DECRESCENTE no conjunto 𝐴1 𝐴 se, para dois valores quaisquer 𝑥1 e 𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2, tivermos 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2).
Em termos técnicos, 𝑓 é crescente quando:
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 𝒇(𝒙𝟏) > 𝒇(𝒙𝟐))
Esta expressão acima também pode ser escrita desta forma:
( 𝒙𝟏, 𝒙𝟐) (𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇(𝒙𝟏) − 𝒇(𝒙𝟐)
𝒙𝟏 − 𝒙𝟐< 𝟎)
Em termos não técnicos, podemos dizer que uma função é decrescente num certo intervalo quando se, ao aumentar o x, o valor de y diminui. Veja, agora, no gráfico, a caracterização de uma função decrescente.
Ex.1: A função f(x) = 2x – 1 é crescente pois tomados dois valores de x distintos x1 e x2 com x1 < x2, temos:
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CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
1x21x2xx 2121
Ex.2: A função f(x) = -3x + 2 é decrescente pois tomados dois valores de x distintos x1 e x2 com x1 < x2, temos:
2x32x3xx 2121
Notemos que uma função y = f(x) pode assumir comportamentos variados (crescente ou decrescente) em todo o seu domínio.
É bastante comum que, inclusive, que a função seja crescente em alguns intervalos e decrescentes em outros.
Veja o exemplo abaixo. A função é
decrescente em ℝ− e crescente em ℝ+
15) Com base nos gráficos a seguir, de funções de domínio e contradomínio reais, especificar onde a função é crescente e onde a função é decrescente. a)
b)
c)
O estudo do comportamento quanto a crescimento ou decrescimento de uma função afim é feito em relação ao coeficiente angular. A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo.
Dada a função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, Se 𝒂 > 𝟎 então f é crescente.
DEMONSTRAÇÃO
crescente é baxxf
)xx(0xx
xfxf21
21
21
0xx
baxbax
21
21
0xx
baxbax
21
21
0a
0xx
xxa
21
21
Assim, podemos observar que
f(x) = ax + b é crescente a > 0
16) Demonstre que f(x) = ax + b se, e somente se, a < 0. 17) Especificar se cada uma das funções abaixo é crescente ou decrescente. a) y = 2x + 8 b) y = 3x – 9 c) y = -4x + 6 d) y = -2x – 6
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MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO DO 1º GRAU
e) 15
xy
f) 2
1x2y
g) 2
x1y
h) 2
x31y
18) Para quais valores de k a função f(x) = (k + 5)x – 7 é crescente? 19) Estudar, segundo os valores do parâmetro k, a variação (crescente, decrescente ou constante) das funções abaixo. a) y = (k – 1)x + 2 b) y = (k + 5)x – 7 c) y = (4 – k)x + 2 d) y = k(x + 3) – 5
SINAL DE UMA FUNÇÃO
Seja a função 𝑓: 𝐴 𝐵 definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥). Estudar o sinal da função é determinar para que valores de x temos y maior, menor ou igual a zero. Graficamente, isto pode ser feito observando os intervalos em que o gráfico está acima ou abaixo do eixo x. Note que o que realmente interessa é o comportamento do gráfico em relação ao eixo OX não importando a posição do eixo OY.
Estudar o sinal da função y = f(x) cujo gráfico está representado na figura a seguir.
Como foi dito, não importa a posição do eixo das ordenadas, então vamos retira-lo e preparar um aspecto prático.
Conclusão: 𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 4 ou 𝑥 = 8 𝑓(𝑥) > 0 para −3 < 𝑥 < 1 ou 1 < 𝑥 < 4 ou 𝑥 > 8 𝑓(𝑥) < 0 para 𝑥 < −3 ou 4 < 𝑥 < 8
20) Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados a seguir. a)
b)
c)
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CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
SINAL DA FUNÇÃO AFIM
Como vimos, estudar o sinal de uma
função 𝑦 = 𝑓(𝑥) significa estabelecer, para cada valor de 𝑥 𝐷(𝑓), qual das sentenças é verdadeira:
𝑦 > 0 𝑦 = 0 𝑦 < 0 Para a função afim 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, temos com dois casos a considerar:
1º caso: 𝑎 > 0 Neste caso a função é crescente. Como para
𝑥 = −𝑏
𝑎 temos 𝑦 = 𝑓 (−
𝑏
𝑎)=0, vem:
𝑥 < −𝑏
𝑎⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓 (−
𝑏
𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) < 0
𝑥 > −𝑏
𝑎⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓 (−
𝑏
𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) > 0
Considerando os valores de 𝑥 sobre um eixo, o sinal da função da função
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 > 0, é:
Entende-se, com esta notação, que
para valores de 𝑥 à direita de −𝑏
𝑎, a função
retorna um valor positivo ( + ) e para valores
à esquerda de −𝑏
𝑎, a função retorna valores
negativos ( - ). Um outro processo de analisarmos a variação do sinal da função afim é construir o gráfico cartesiano. Já vimos que o gráfico cartesiano da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é uma reta e se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente. Construindo o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 > 0 e lembrando o que está sendo dito na página 22, que a posição do eixo y não importa, temos:
2º caso: 𝑎 < 0 Neste caso a função é decrescente. Também
para 𝑥 = −𝑏
𝑎 temos 𝑦 = 𝑓 (−
𝑏
𝑎)=0, vem:
𝑥 < −𝑏
𝑎⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓 (−
𝑏
𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) > 0
𝑥 > −𝑏
𝑎⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑓 (−
𝑏
𝑎) ⇒ 𝑓(𝑥) < 0
Considerando os valores de 𝑥 sobre um eixo, o sinal da função da função
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 < 0, é:
Entende-se, com esta notação, que
para valores de 𝑥 à direita de −𝑏
𝑎 a função
retorna um valor negativo ( - ) e para valores
à esquerda de−𝑏
𝑎, a função retorna valores
positivo ( + ). Também podemos analisar com a construção do gráfico lembrando que para
𝑎 > 0, a função é decrescente.
Podemos fazer um resumo do estudo do sinal da função afim como está no quadro em destaque na coluna ao lado. Observe:
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 > 0,
{
𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 > −
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 < −𝑏
𝑎
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MATEMÁTICA I 11 FUNÇÃO DO 1º GRAU
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 < 0,
{
𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 < −
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 > −𝑏
𝑎
Ex.1: Estudar o sinal da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. Resolução
𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 2𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −1
2
Como 𝑎 > 0 (𝑎 = 2), temos que 𝑓 é crescente, assim:
{
𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 > −
1
2
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 = −1
2
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 < −1
2
Note que, de fato, quando procuramos, pela função acima, a imagem
de um número qualquer maior que−1
2,
encontraremos um valor positivo. A imagem
de −1
2 é zero e a imagem de qualquer valor
menor que −1
2 é um número negativo
Só para exemplificar, vamos encontrar os valores de 𝑓(3) e de 𝑓(−5)
𝑓(3) = 2 ∙ 3 + 1 = 7 𝑓(−5) = 2 ∙ (−5) + 1 = −9
Como previsto, a imagem de 3 é positiva e a imagem de -5 é negativa Ex.2: Estudar o sinal da função 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3. Resolução:
−2𝑥 + 3 = 0 ⟺ ⋯⟺ 𝑥 =3
2
Como 𝑎 < 0 (𝑎 = −2), temos que a função 𝑓 é decrescente, assim:
{
𝑓(𝑥) > 0 𝑠𝑒 𝑥 <
3
2
𝑓(𝑥) = 0 𝑠𝑒 𝑥 =3
2
𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑒 𝑥 >3
2
Mais uma vez vamos verificar a resposta com um valor maior que a raiz ( 5 ) e outro menor que a raiz ( 1 ).
113121 ff 713525 ff
21) Estudar os sinais das seguintes funções
definidas em ℝ: a) f(x) = 2x + 3 b) f(x) = -3x + 2 c) f(x) = 4 – x d) f(x) = 5 + x
e) 2
3x
xf
f) 2
3
3
xxf
g) 3
42 xxf
h) f(x) = -x
22) Seja 𝑓:ℝ → ℝ a função definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥 – 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que 0 (zero).
______________________ ATIVIDADES COMPLEMENTARES
Pág. 163 – Exercícios 18 a 20
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CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
INEQUAÇÕES
O último exercício apresentado (22) é um exemplo de inequação. Vamos agora resolver outras inequações.
Ex.: Seja 𝑓:ℝ → ℝ a função definida por f(x) = 4x – 5. Determine os valores do domínio para os quais a função produz imagem maior que 3. Resolução: Note que este exemplo é bem parecido com o último exercício. Para encontrar a solução, basta resolver a inequação
4x – 5 > 3 4x > 8 x > 2
Logo a solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 2} Ex.2: Considerando as funções 𝑓(𝑥) = 4𝑥 – 1 e 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 3, determine os valores de x para os quais temos
f(x) g(x). Resolução: Vamos resolver a inequação:
4𝑥 − 1 ≤ −𝑥 + 3 4𝑥 + 𝑥 ≤ 3 + 1
5𝑥 ≤ 4
𝑥 ≤4
5
Solução:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤4
5}
Esta solução pode ser verificada de fato quando você substitui em ambas as funções valores iguais. Vamos testar completando a tabela abaixo. Os dois primeiros valores são
menores que 4
5 e os dois últimos são maiores.
𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) Qual é maior?
−1
1
3
4
5
1
4
Este mesmo exemplo pode ter uma solução gráfica. No plano cartesiano abaixo, você pode ver os gráficos das duas funções.
Note que em 𝑥 =
4
5, as funções são
iguais (é o ponto onde elas se cruzam). Para
valores menores que4
5, a função 𝑓 é menor
que a função 𝑔 e isto pode ser verificado pois
à esquerda de 𝑥 =4
5 . o gráfico de 𝑓 está
abaixo do gráfico de 𝑔. Esta situação se
inverte à direita de 𝑥 =4
5.
23) Para que valores reais de x a função
𝑓(𝑥) =2
3−𝑥
2 é negativa?
24) Para que valores do domínio da função
de 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =3𝑥−1
2 a
imagem é menor que 4?
25) Dadas as funções 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3,
𝑔(𝑥) = 2 − 3𝑥 e ℎ(𝑥) =4𝑥−1
2 definidas e, ℝ,
para quais valores de x tem-se: a) f(x) > g(x) b) g(x) < h(x)
c) f(x) h(x)
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MATEMÁTICA I 13 FUNÇÃO DO 1º GRAU
26)
Dados os gráficos das funções 𝑓, 𝑔 e ℎ definidas em ℝ e considerando cada quadrinho como uma unidade, determine os
valores de 𝑥 ℝ, tais que: a) f(x) > g(x)
b) g(x) h(x)
c) f(x) h(x) d) g(x) > 4
e) f(x) 0 27) Dado um número real k, a função
𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑘 ∙ 𝑥 é chamada de função linear (pág. 2). a) Prove que o gráfico da função linear passa pela origem do sistema de ordenadas. b) Prove que se f é linear então 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) ∀𝑥 ∈ ℝ 28) Uma grandeza y é diretamente proporcional a uma grandeza x quando y é uma função linear de x. Se y é diretamente
proporcional a x e quando 𝑥 = 4 temos 𝑦 = 10. Então, para 𝑥 = 10, qual é o valor de y?
SISTEMA DE INEQUAÇÕES
Um sistema de inequações é um conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente o que equivale a inequações em x separadas pelo conectivo e. O conjunto solução do sistema de inequações é a INTERSECÇÃO dos conjuntos-solução das diversas inequações que a formam.
Ex.1: Resolver o sistema de inequações
{3 − 2x ≤ 1 ①
3x − 1 ≤ 5 ②
Resolução:
De ①,
3 − 2x ≤ 1 𝑥 ≥ 1
De ②,
3x − 1 ≤ 5 𝑥 ≤ 2
Vamos, agora, fazer a interseção entre as soluções:
Logo, a solução é:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 ≤ 2} Ex.2: Resolver o sistema
{
𝑥 − 1
3−𝑥 + 1
4≥ 4 ①
1 −𝑥 + 2
3≥ 0 ②
De ①,
2929
245243322
46
13124
2
1
3
1
xx
xxx
xxxx
De ②,
11
233
210
3
21
xx
xxx
Solução:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −29}
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CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
Uma dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) pode ser decomposta em duas desigualdades simultâneas, isto é, equivale a uma sistema de duas inequações em x separadas pelo conectivo e, aquele mesmo da intersecção entre conjuntos que estudamos na primeira apostila.
Por isso, para resolver uma situação com inequações simultâneas, devemos gerar um sistema de duas (ou mais) inequações e fazer a intersecção entre as soluções de cada inequação. Assim:
xhxg
xgxfxhxgxf
Indicando por S1 o conjunto solução da primeira inequação e por S2 o conjunto solução da segunda inequação, o conjunto solução das inequações simultâneas é:
S = S1 S2
Ex.: Resolver 3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4 Resolução:
{3𝑥 + 2 < −𝑥 + 3 ①
−𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 4 ②
De ①, De ②,
4
1
14
323
x
x
xx
x
x
xx
2
1
21
43
A intersecção desses dois conjuntos é
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| −1
2≤ 𝑥 <
1
4}
29) Resolver os sistemas a seguir:
a)
0123
033
x
x
b)
4826
2315
xx
xx
c)
0225
01212
xx
xx
d)
xxx
xx
71136
152231
30) Resolver as inequações em : a) -2 < 3x – 1 < 4
b) -4 < 4 – 2x 3 c) -3 < 3x – 2 < x
d) 12
371 x
xx
e) 3x + 4 < 5 0 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) < 0
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 0 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 0
são denominadas inequações-produto.
-
MATEMÁTICA I 15 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunto solução S de uma inequação do tipo 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0. De acordo com a regra dos sinais do
produto de números reais, um número 𝑥0 é solução da inequação 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0 se, e somente se, 𝑓(𝑥0) e 𝑔(𝑥0), não nulos, têm o mesmo sinal. Assim, são possíveis dois casos: 1º: 𝑓(𝑥) > 0 e 𝑔(𝑥) > 0 Se S1 e S2 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações,
então S1 S2 é o conjunto solução do sistema. 2º: f(𝑥) < 0 e 𝑔(𝑥) < 0 Se S3 e S4 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações,
então S3 S4 é o conjunto solução do sistema. Daí concluímos que o conjunto-solução da inequação produto 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0 é:
S = (S1 S2 ) (S3 S4 ) Um raciocínio análogo poderia ser
feito para f(x) g(x) < 0 porém buscando intervalos onde as funções possuem sinais diferentes.
Também no caso de f(x) g(x) 0 ou
f(x) g(x) 0, podemos agir da mesma forma sendo possível, neste caso, marcar os pontos que anulam cada função.
Ex.1: Resolver em ℝ a inequação
(𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) > 0. Resolução
Como estamos procurando valores para x que tornem o produto (𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) positivo, então sabemos que (𝑥 + 2) e (2𝑥 − 1) devem ter o mesmo sinal.
A forma mais prática de encontrar os intervalos onde isto acontece é fazer um
estudo dos sinais de cada parte e montar num quadro como você verá.
f(x) = x + 2
x + 2 = 0 x = -2 Como a função é crescente,
2
1012
12
xx
xxg
Esta função também é crescente, então,
Vamos agora montar um quadro para o estudo do sinal da inequação produto:
Assim temos a solução:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 >1
2}
Ex.2: Resolver em ℝ a inequação (3𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 1) ∙ (3 − 𝑥) < 0
Resolução:
3
2023
23
xx
xxf
101
1
xx
xxg
303
3
xx
xxh
-
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
O próximo passo é montar o quadro de sinais onde a linha S é a solução obtida de
xhxgxf
E temos a solução:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| − 1 < 𝑥 <2
3 𝑜𝑢 𝑥 > 3}
Quando uma inequação-produto
apresenta ou , devemos lembrar que as raízes de cada uma das funções que formam a inequação-produto zeram toda a inequação e, desta forma, devem fazer parte da solução. Veja no exemplo.
Ex.1: Resolver, em ℝ, a inequação
(𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) ≥ 0
f(x) = x + 2
x + 2 = 0 x = -2
2
1012
12
xx
xxg
Assim temos a solução:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 𝑥 ≥1
2}
_____________________________
Dentre as inequações-produto, são importantes as inequações do tipo:
00
00
nn
nn
xfxf
xfxf
Para resolver estas inequações, vamos lembrar duas propriedades das potências de base real e expoente inteiro:
“toda potência de base real e expoente par é um número real não negativo”, isto é:
Nn,a,a n 02
“toda potência de base real e expoente ímpar conserva o sinal da base”, ou seja:
Nnaa
aa
aa
n
n
n
00
00
00
12
12
12
Assim sendo, temos as seguintes equivalências:
parénsexf
ímparénsexfxf
n
0
00
parénsex
ímparénsexfxf
n 00
parénsefDx
ímparénsexfxf
n 00
parénsexf
ímparénsexfxf
n
0
00
Ex.1:
3
2023023
3x|xSxx
Ex.2:
4
3034034
6x|xSxx
-
MATEMÁTICA I 17 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Ex.3:
2
1512012
5x|xSxx
Ex.4: Sx 02 4 Ex.5:
4028028 7 x|xSxx
Ex.6: Sx 013 2
Ex.7: 4048048 4 Sxx
32) Resolver em ℝ as inequações a seguir: a) 03533 xx b) 02524 xx c) 034225 xxx d) 064323 xxx e) 07216 xx f) 02725 xx g) 0351423 xxx h) 0412735 xxx
33) Resolver em ℝ as inequações a seguir:
a) 03 4 x
b) 083 3 x
c) 054 6 x
d) 071 5 x
e) 053 2 x
f) 015 3 x
g) 034 4 x
h) 083 5 x
34) Resolver em ℝ a inequação
0323 65 xx
35) Resolver em ℝ as inequações:
a) 02745 34 xx
b) 045213 853 xxx
c) 054266 1047 xxx
d) 0646215 68 xxx ______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 164– Ver R.7
INEQUAÇÃO-QUOCIENTE
Sendo f(x) e g(x) duas funções de
variável real x, as inequações do tipo
0xg
xf
0xg
xf
0xg
xf
0xg
xf
são denominadas inequações-quociente. Considerando que regras de sinais do produto e do quociente de números reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto observando o fato de que o denominador de uma fração nunca pode ser nulo.
Ex.: Resolver em ℝ a inequação 21
43
x
x.
Resolução: Inicialmente devemos transformar a desigualdade de forma a compará-la a 0 (zero).
-
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
01
25
01
2243
01
12
1
43
021
432
1
43
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
5
2025
25
xx
xxf
101
1
xx
xxg
Fazendo o quadro-quociente para o estudo dos sinais, temos:
Solução:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −2
5 𝑜𝑢 𝑥 > 1}
36) Resolver em ℝ as inequações:
a) 02
12
x
x b) 0
23
23
x
x
c) 018
43
x
x d) 0
13
23
x
x
37) Resolver em ℝ as inequações:
a) 143
35
x
x b) 2
43
25
x
x
c) 31
1
x
x d) 1
42
53
x
x
38) Resolver em ℝ as inequações:
a)
04
4321
x
xx b)
0
3552
13
xx
x
c)
045
1445
x
xx d)
035
21
xx
x
39) Resolver em ℝ as inequações:
a) 3
2
4
1
xx b)
2
2
1
1
xx
c) 4
3
2
1
x
x
x
x d)
53
2
23
5
x
x
x
x
e) 54
15
14
25
x
x
x
x
f) 03
3
2
2
1
1
xxx
g) 1
1
1
1
13
2
xxx
______________________
ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 168– Análise de Resolução
40) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = x g(x) = x + 3 h(x) = x - 3 41) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = -x g(x) = -x + 3 h(x) = -x - 3 42) Construa, num mesmo plano cartesiano, o gráfico das funções abaixo. f(x) = 2x - 4 g(x) = x - 4 h(x) = -x - 4 43) Construa o gráfico da função:
163
12
xparax
xparaxxf
44) Construa o gráfico da função:
45
423
232
xparax
xparax
xparax
xf
-
MATEMÁTICA I 19 FUNÇÃO DO 1º GRAU
RESPOSTAS 1)
2)
3)
4) a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
-
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
h)
5) Resolução:
SOLUÇÃO ANALÍTICA. Existem diversas formas de se
resolver analiticamente esta questão como, por exemplo, por substituição, por adição ou por comparação. Aqui vou resolver apenas por adição, mas você pode [e deve] escolher outra forma.
{𝑥 − 𝑦 = −3 × (−2)
2𝑥 + 3𝑦 = 4 →
−2𝑥 + 2𝑦 = 6
2𝑥 + 3𝑦 = 4
Fazendo + encontramos:
5𝑦 = 10 → 𝑦 = 2
Substituindo em
2𝑥 + 3 ∙ 2 = 4 → ⋯ → 𝑥 = −1
Solução: 𝑆 = {(−1; 2)}
SOLUÇÃO GEOMÉTRICA O primeiro passo para resolver pelo método geométrico é escrever um sistema equivalente àquele dado porém isolando y em ambas as equações.
3
4x2y
3xy
4y3x2
3yx
Agora vamos construir os gráficos de cada umas das funções afins e o ponto de intersecção entre os dois gráficos será a solução do sistema.
x 3x y x 3
4x2 Y
0 30 3 2 3
422 0
-4 34
-1
-4
3
442 4
Solução: 𝑆 = {(−1; 2)}
6) a) 𝑆 = {(3; 2)}
b) 𝑆 = {(−2; 4)}
c) 𝑆 = Ø
7) a) 𝑆 = {(3; −1)} b) 𝑆 = {(2; 1)}
8) Resolução Se estamos procurando uma
equação de reta, então esta equação assumirá a forma de uma função afim do tipo y = ax + b.
Desta forma, considerando que o ponto (1, 2) pertence à reta de equação y = ax + b, temos a sentença verdadeira
2 = a • 1 + b a + b = 2 Analogamente, para o ponto (3, -2) obtemos:
-2 = a • 3 + b 3a + b = -2 Resolvendo, agora, o sistema
2ba3
2ba
-
MATEMÁTICA I 21 FUNÇÃO DO 1º GRAU
encontramos a = -2 e b = 4. Substituindo a e b em y = ax + b, encontramos a equação procurada que, neste caso, é: y = -2x + 4
b) 𝑦 = 2𝑥 + 1 c) 𝑦 = 𝑥 – 5 d) 𝑦 =
1−3𝑥
2
9) Resolução A equação procurada é da forma y = ax + b. Se o coeficiente angular é 2, então a = 2. Substituindo x = 1, y = 3 e a = 2 em y = ax + b, vem:
3 = 2 • 1 + b b = 1 Logo, a equação procurada é
y = 2x + 1
10) 𝑦 = −3𝑥 − 2
11) 𝑦 = −𝑥
2−1
2.
12) 𝑦 =3
2𝑥 − 4.
13) 𝑦 = −𝑥
3− 3.
14) a) 𝑦 =𝑥
3+1
3
b) 𝑦 = −𝑥
2+ 4
c) 𝑦 =2𝑥
3−1
3
d) 𝑦 = 2𝑥 + 3
15) a) Crescente:
] - ; -7[, ]-6; -4[ e ]1; [ Decrescente: ]-7; -6[ e ]-4; 1[
b) Crescente: ] -1; 0[ e ]1; [
Decrescente: ] - ; -1[ e ]0; 1[ c) Crescente: ] - ; 0[ e ]0; [
16) Demonstração
17) Crescente: a, b, e, f, g. Decrescente: c, d, h.
18) 𝑘 > −5
19) a) Crescente para
k – 1 > 0 k > 1 Constante para
k – 1 = 0 k = 1
Decrescente para
k – 1 < 0 k < 1 b) Cresc.: k > -5
Const.: k = -5 Decresc.: k < -5
c) Cresc.: k < 4 Const.: k = 4 Decresc.: k > 4
d) Cresc.: k > 0 Const.: k = 0 Decresc.: k < 0
20) a) f(x) = 0 para x = -1 ou x = 0 ou x = 4 ou x = 7 f(x) > 0 para x < -1 ou 0 < x < 4 ou x > 7 f(x) < 0 para -1 < x < 0 ou 4 < x < 7
b) f(x) = 0 para x = -4 ou x = 1 ou x = 6 f(x) > 0 para -4 < x < 1 f(x) < 0 para x < -4 ou 1 < x < 6 ou x > 6
c) f(x) = 0 para x = -2 ou x = 0 ou x = 2 f(x) > 0 para x < -2 ou x > 2 f(x) < 0 para -2 < x < 0 ou 0 < x < 2
21) a)
{
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −
3
2
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −3
2
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −3
2
.
b)
{
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 <
2
3
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2
3
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 >2
3
.
c) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 4𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 4𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 4
.
d) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −5𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −5𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −5
.
-
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
e) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 6𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 6𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 6
.
f)
{
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > −
9
2
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −9
2
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < −9
2
.
g)
{
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 >
2
3
𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2
3
𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 <2
3
.
h) {
𝑦 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 0𝑦 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0𝑦 < −𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0
.
22) 𝑥 > −5
4
23) 𝑥 >4
3
24) 𝑥 < 3
25) a) 𝑥 ≥ −1
5
b) 𝑥 >1
2
c) ∀𝑥 ∈ ℝ
26) a) 𝑥 > 2 b) 𝑥 0 c) ∄𝑥 ∈ ℝ d) 𝑥 < −2 e) 𝑥 3
27) (Demonstração)
28) 𝑦 = 25
29) a)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 2 < 𝑥 < 4}
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 < 𝑥 <1
2}
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −4
3}
d) 𝑆 = ∅
30) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −1
3< 𝑥 <
5
3}
b)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1
2≤ 𝑥 < 4}
c)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −1
3< 𝑥 < 1}
d)𝑆 = ∅
e)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <1
3}
f)𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 1}
31) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 < 𝑥 ≤ 4} b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 ≤ 𝑥 ≤ 1} c) 𝑆 = ∅ 32) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 >
3
5}
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −5
2𝑜𝑢 𝑥 > 2}
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −3
4𝑜𝑢 −
2
5< 𝑥 < 2}
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −2
3< 𝑥 <
4
3𝑜𝑢 𝑥 > 6}
e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −7
2𝑜𝑢 𝑥 ≥
1
6}
f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −2
7≤ 𝑥 ≤
5
2}
g) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −3
5𝑜𝑢 −
1
4≤ 𝑥 ≤
3
2}
h) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |1
4≤ 𝑥 ≤
5
3𝑜𝑢 𝑥 ≥
7
2}
33) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≠ 3}
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −8
3}
c) 𝑆 = ∅
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 <1
7}
e) 𝑆 = ℝ
f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −1
5}
g) 𝑆 = {−4
3}
h) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥8
3}
34) Solução: Estudaremos, separadamente, os
sinais das funções f(x) = (x – 3)5 e g(x) = (2x + 3)6. Lembrando que potência de expoente ímpar e base real tem sinal da base então o sinal de (x – 3)5 é igual ao sinal de x – 3, isto é:
A potência de expoente par e base real não nula é sempre positiva, então (2x
-
MATEMÁTICA I 23 FUNÇÃO DO 1º GRAU
+ 3)6 é positivo se 2
3x e é nulo se
2
3x , isto é:
Montando o quadro para estudo de sinais, temos:
Assim,
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 3 𝑜𝑢 𝑥 ≠ −3
2}
35) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥2
7}
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −1
3< 𝑥 <
2
5}
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −6 𝑜𝑢 𝑥 =1
3 𝑜𝑢 𝑥 = −
5
4}
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥1
5𝑜𝑢 𝑥 = −3}
36) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > −1
2}
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <2
3𝑜𝑢 𝑥 >
3
2}
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −1
5< 𝑥 ≤
3
4}
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ −3
2𝑜𝑢 𝑥 > −
1
3}
37) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 <7
8𝑜𝑢 𝑥 >
4
3}
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −10 𝑜𝑢 𝑥 > −4
3}
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 2 ≤ 𝑥 < −1} d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 1 ≤ 𝑥 < 2}
38) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −3
4< 𝑥 <
1
2𝑜𝑢 𝑥 > 4}
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −5
2 𝑜𝑢 −
3
5< 𝑥 < −
1
3}
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤4
5𝑜𝑢 −
1
4≤ 𝑥 <
5
4}
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |1
2≤ 𝑥 < 3 𝑜𝑢 𝑥 > 5}
39) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 3 < 𝑥 < 4 𝑜𝑢 𝑥 > 11} b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 0 < 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 2} c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 4 < 𝑥 < −2} d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
5
3𝑜𝑢 −
29
24≤ 𝑥 < −
2
3}
e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | −5
4< 𝑥 < −
9
42𝑜𝑢 𝑥 >
1
4 }
f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 < 1 𝑜𝑢3
2< 𝑥 < 2 𝑜𝑢 𝑥 > 3}
g) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 < 𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 1
3<
𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 3}
40)
41)
42)
43)
-
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
44)
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
DANTE, Luiz Roberto; Matemática.
São Paulo, Ática, 2004
MACHADO, Antônio dos Santos;
Matemática, Temas e Metas. São Paulo,
Atual, 1988
IEZZI, Gelson e outros;
Fundamentos da Matemática Elementar,
Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição
Links para as vídeos-aulas sugeridas
Pág. 06 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/graficof1g/
Pág. 25 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/estudosinalf1g
Pág. 39 http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/inequacao-
produto/
Demonstração:
Sejam A, B e C três pontos quaisquer distintos pertencentes ao gráfico cartesiano
da função y = ax + b com a 0 e (x1; y1), (x2; y2) e (x3, y3), respectivamente, as coordenadas cartesianas destes pontos.
Para provar que os pontos A, B e C
pertencem a uma mesma reta, vamos
mostrar, em princípio, que os triângulos
ABD e BCE são semelhantes. Note que :
3baxyfy;x
2baxyfy;x
1baxyfy;x
3333
2222
1111
Fazendo 23 , temos:
4xxayybaxy
baxy
2323
22
33
Fazendo 12 , temos:
5xxayybaxy
baxy
1212
11
22
De 4 ,
12
12
1212
xx
yya
xxayy
De 5 ,
23
23
2323
xx
yya
xxayy
Assim, 23
23
12
12
xx
yy
xx
yya
Logo os triângulos ABD e BCE são
semelhantes e assim, os ângulos e são iguais e, consequentemente A, B e C estão alinhados. Daí está provado que o gráfico da função afim é uma reta. Sabendo, agora, que o gráfico da função afim é uma reta e que para determinar uma reta precisamos apenas de dois pontos, vamos usar deste recurso para construir tais gráficos. Veja nos exemplos a seguir.