1

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM

1- Definição

Denomina-se função do 1º grau (ou afim) a toda função do tipo f(x) = ax+b

com a * e b .

Exemplos

a) f(x) = 2x – 6 (a = 2 e b = -6) b) y = -x + 4 (a = -1 e b = 4)

c) f(x) = 5x – 2 (a = 5 e b = -2) d) 2

1

5

2

xy (a = 2/5 e b = -1/2)

Notas: 1ª) Domínio da função afim é o conjunto dos reais.

2ª) Conjunto imagem é o conjunto dos reais.

3ª) O gráfico é uma reta.

4ª) O gráfico intercepta o eixo das abscissas em (x, 0) e o eixo das ordenadas em

(0, y).

5ª) Quando b = 0, a função do 1º grau é denominada particularmente de função

linear [f(x) = ax] cujo gráfico passa pela origem dos eixos cartesiano.

Exemplos:

a) f(x) = 3x (a = 3 e b = 0) b) y = -5x (a = -5 e b = 0)

c) f(x) = 2x/3 (a = 2/3 e b = 0)

2- GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM OU DO 1º GRAU

O gráfico de uma função do 1º grau é representado por uma reta.

2

3- CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM OU DO 1º GRAU

Como o gráfico da função afim é uma reta, precisamos de apenas dois

pontos distintos para construir a mesma, pois, ao estudarmos geometria,

verificamos que, dois pontos distintos determinam uma única reta, logo, atribuímos

dois valores arbitrários para a variável independente x, em seguida, obtemos os

valores da variável dependente y. Observe o exemplo abaixo:

1- Construir o gráfico da função f(x) = 3x – 1.

EXERCÍCIO

01- Em cada função abaixo, determine:

a) O domínio.

b) O conjunto imagem.

c) O gráfico.

d) Os pontos em que o gráfico intercepta os eixos dos x e dos y.

a) f(x) = 2x – 4 b) y = -x + 3 c) f(x) = x d) y = -2x Solução: a) f(x) = 2x - 4

a.1) D =

a.2) Im =

a.3)

x y (x, y)

0 -4 (0, -4)

1 -2 (1, -2)

3

f(x) = 2x – 4

a.4)

)4,0(440.2)0(0

)0,2()(20420

2

1

pfx

pfunçãodaraisxxy

b) y = -x + 3

b.1) D =

b2) Im = b.3)

x y (x, y)

0 3 (0, 3)

1 2 (1, 2)

f(x) = -x + 3 f(0) = 0 + 3 = 0 + 3 = 3 f(1) = -1 + 3 = 2

b.4)

)3,0(330)0(0

)0,3()(3030

2

1

pfx

pfunçãodaraizxxy

4

c) f(x) = x (função identidade)

c.1) D =

c2) Im = c.3)

x y (x, y)

0 0 (0, 0)

1 1 (1, 1)

f(x) = x f(0) = 0 f(1) = 1

c.4) P(0, 0) (origem dos eixos) d) f(x) = -2x

d.1) D =

d.2) Im = d.3)

x y (x, y)

0 0 (0, 0)

1 -2 (1, -2)

f(x) = -2x f(0) = -2.0 = 0 f(1) = -2.1 = -2

5

d.4) P(0, 0) (origem dos eixos) Observações:

1ª) Na reta f(x) = ax + b, o valor do coeficiente da variável independente x,

no caso a, é denominado Coeficiente Angular, sendo determinado pela tangente

do ângulo que a reta forma com o eixo positivo dos x (a = tg ) no sentido anti-

horário. Este coeficiente representa uma variação na variável dependente y (y)

ocasionado por uma modificação ocorrida na variável independente x (x). O valor

de b é denominado Coeficiente Linear, que equivale à distância da origem ao

ponto onde o gráfico intercepta o eixo-y.

2ª) Em relação à reta f(x) = 2x – 4 temos a = 2 e b = -4.

6

3ª) Em relação à reta f(x) = -x + 3 temos a = -1 e b = 3.

4ª) A função f(x) = 2x – 4 apresenta o coeficiente angular positivo (a = 2),

logo, é uma função crescente [x2 > x1 f(x2) > f(x1) ou x2 < x1 f(x2) < f(x1)]. Já, a

função f(x) = -x + 3, apresenta o coeficiente angular negativo (a = -1), logo, é uma

função decrescente [x2 > x1 f(x2) < f(x1) ou x2 < x1 f(x2) > f(x1)].

3- ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

Já vimos que estudar o sinal de uma função significa encontrar os valores

de x que a torna positiva, negativa ou nula. Então, vamos resolver o seguinte

problema:

- Estude o sinal de cada função abaixo:

a) f(x) = 2x – 4 b) f(x) = -x + 3

Solução:

a) f(x) = 2x – 4

1- Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo. Neste caso, a é positivo

(a = 2).

2- Calcula-se a raiz da função.

f(x) = 2x - 4

2x – 4 = 0 x = 2

7

3- Esboça-se o gráfico.

Em outras palavras, dizemos que, se x assumir qualquer valor maior que

dois, a função f(x) = y será sempre positiva; se assumir qualquer valor menor que

dois, a função será sempre negativa e, se assumir o valor 2, a função será nula.

b) f(x) = -x - 1

Mesmo procedimento do anterior. 1) a = -1 → a < 0 2) Calculando a raiz, encontramos x = -1. 3) Esboça-se o gráfico.

8

4)

)(0)(,1

)(0)(,1

)(0)(,1

nulaimagemxftemosx

positivaimagemxftemosx

negativaimagemxftemosx

4- INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

4.1- Definição

É toda sentença matemática aberta do tipo ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b 0

e ax + b 0 com a e b e a 0.

Exemplos:

a) 2x – 6 > 0 b) -4x + 2 < 0 c) 4x 0 d) 5 – x 0

e) (4x + 4).(-2x + 4) 0 f) 084

123

x

x

4.2- Resolução

Já resolvemos algumas inequações do 1º grau quando do estudo do

domínio de uma função, então, encontremos o conjunto solução das inequações

acima.

a) 2x – 6 > 0

2x > 6 x > 3

S = {x / x > 3} ou ]3, +)

9

- Isso significa que qualquer x maior que 3, o resultado da inequação será sempre positivo.

Outra maneira de resolver

2x – 6 > 0

- Transforma-se numa função do 1º grau e, em seguida, estuda-se o sinal

da mesma.

f(x) = 2x - 6

- Determina-se o sinal de a.

a = 2 a > 0

- Calcula-se a raiz:

2x – 6 = 0 x = 3

- Esquematiza-se o resultado:

Observa-se que a função apresenta resultado positivo (f(x) > 0), quando x

assumir qualquer valor maior que 3. Então, o conjunto solução é S = {x / x >

3} ou ]3, +).

b) -4x + 2 < 0

Sendo a negativo (-4), deve-se multiplicar toda a inequação por -1,

conseqüentemente, troca-se todos os sinais, inclusive da inequação.

-4x + 2 < 0 x (-1) 4x – 2 > 0 4x > 2 x > 2/4 x > 1/2

S = {x / x > 1/2} ou ]1/2, +)

10

c) 4x 0

x 0/4

x 0

d) 5 – x 0

-x -5 x (-1)

X 5

e) (4x + 4).(-2x + 4) 0 (Inequação produto) - Separa-se em duas funções, em seguida estuda-se o sinal de cada uma.

f(x) = 4x + 4 g(x) = -2x + 4

1) a = 4 a > 0 1) a = -2 a < 0 2) 4x + 4 = 0 2) -2x + 4 = 0 x = -1 x = 2

- Como os valores da inequação deverão ser positivos ou nulos ( 0), temos:

V = {x / -1 x 2} ou [-1, 2]

11

f) 084

123

x

x (Inequação quociente)

- Utiliza-se o mesmo processo da inequação produto, isto é, separa-se em duas

funções, em seguida estuda-se o sinal de cada uma.

f(x) = 3x + 12 g(x) = -4x + 8

1) a = 3 a > 0 1) a = -4 a < 0

2) 3x + 12 = 0 2) -4x + 8 0

x = -4 x 2

* Sendo 2 raiz do denominador devemos excluí-la da resposta (x 2).

- Como os valores da inequação deverão ser negativos ou nulos ( 0), temos:

V = {x / x -4 ou x 2} ou (-, -4] U ]2, +)

ESTUDO DA RETA Introdução

Observamos no estudo sobre função do 1º grau que, através de dois

pontos distintos, construímos o gráfico da mesma, no caso, uma reta. Agora,

utilizando esses pontos, vamos encontrar a equação que representa essa reta.

Contudo, antes de determinarmos a equação da reta, vamos verificar como se

calcula a distância entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e, em seguida, o ponto

médio de um segmento.

12

Observe o gráfico abaixo:

yemiaçãoyyy

xemiaçãoxxx

var)(

var)(

12

12

Nele, surge um triângulo retângulo P1ÂP2. Em função disso, utilizando o

Teorema de Pitágoras (o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados

dos catetos), encontramos a fórmula que possibilita o cálculo do valor da

distância(d) entre os pontos P1 e P2:

222 xyd 22 xyd 2

12

2

12 xxyyd

Exemplos: 01- Encontrar a distância entre os seguintes pontos:

A(2, 4) e B(0, 6) b) C(-3, 5) e D(2, -1) c) E(6, 43) e F(-2, 3) Solução: a)

228)2(22046

60

42)6,0()4,2(

2222

2

12

2

12

22

11

ABABAB

AB

ddd

xxyyd

yex

yexBeA

13

b)

612536

)32()6(

)3(251

12

53)1,2()5,3(

22

22

2

12

2

12

22

11

CD

CD

CD

CD

d

d

d

xxyyd

yex

yexDeC

c)

916427

)8()33(

62)343(

32

346)3,2()34,6(

22

22

2

12

2

12

22

11

EF

EF

EF

EF

d

d

d

xxyyd

yex

yexFeE

02- Dados os pontos P(2, 3), Q(1, 4) e S(0, 2): a) Verifique se dPQ + dQS > dPS + dQS. b) Traçar as retas que passam pelos pontos P e Q, pelos pontos P e S, no mesmo

plano cadtesiano.

Solução: a)

2

12

2

12 xxyyd

2213422PQd

5203222PSd

5104222QSd

dPQ + dQS = 52

14

dPS + dQS = 5255

Logo, dPQ + dQS é menor que dPS + dQS..

02- Um indivíduo programou uma viagem de férias com a família saindo da cidade

A para a cidade C com parada obrigatória na cidade B. Verificou no mapa a

localização de cada cidade (figura abaixo). Sabendo que com o tanque de

combustível de seu carro cheio (70 litros) consegue rodar em torno de 80 km.

Pergunta-se: o indivíduo pode fazer a viagem sem abastecer na cidade B?

y (km)

50

40 C(70,40)

30 20 B(30,20)

10

x (km) A (0, 0) 10 20 30 40 50 60 70

Solução:

2.1) Cálculo da distância do ponto A até o B.

kmdd

d

xxyyd

yex

yexBeA

CDCD

CD

CD

3613101300900400)30()20(

030020

2030

00)20,30()0,0(

22

22

2

12

2

12

22

11

15

2.2) Cálculo da distância do ponto B até o C.

kmd

d

d

xxyyd

yex

yexBeB

CD

CD

CD

CD

45520000.21600400

)40()20(

30702040

4070

2030)40,70()20,30(

22

22

2

12

2

12

22

11

2.3) Somando as distâncias, temos, aproximadamente, 81 km. 2.4) Pelo resultado total (81 km), verifica-se que o indivíduo tem que

abastecer na cidade B. 03- Suponha que na figura acima, AB e BC representam cabos elétricos instalados do ponto A ao ponto C passando por B. Se o preço cobrado por metro linear de A até B for de R$ 4,50 e de B até C de R$ 6,40. a) Qual o custo total da instalação do cabo? b) Se a dívida for paga à vista, há um desconto de 15%. Então, qual será o custo total da instalação se a dívida for quitada antes do inicio da obra? c) Segundo o contrato, se acontecer atraso no pagamento será cobrado uma multa de 12,5% em cima do total. Então, caso aconteça o atraso, qual será o valor da dívida?

Solução: a) a.1) Como a distância de A até B é, aproximadamente, 36 km, temos: 36 km = 36.000 metros x 4,50 = 162.000,00 a.2) A distância de B até C é, aproximadamente, 45 km, temos: 45 km = 45.000 metros x 6.40 = 288.000,00 a.3) O custo total (Ct) será, Ct = CAB + CBC = 450.000,00

16

b) 450.000 x 0,15 = 67.500,00 (desconto). 450.000,00 – 67.500,00 = 382.500,00 (custo total após o desconto) c) 450.000 x 0,125 = 56.250,00 (multa) 450.000,00 + 56.250,00 = 506.250,00 (custo total com atraso)

04- Calcule o perímetro da figura abaixo.

Solução:

Para encontrar o perímetro de uma figura, devemos somar os valores de

seus lados, logo, nesse caso, vamos encontrar a soma das medidas dos lados

do triângulo que aparece na figura. Para isso, necessitamos calcular as

distâncias entre os vértices do triângulo dAB, dBC e dCA.

Sendo A(2, 3), B(6, 4) e C(4, 5) os vértices, temos:

kmd

kmd

kmd

xxyyd

BC

AC

AB

514)45()64(

228443524

171612634

22

22

22

2

12

2

12

17

Após o aprendizado do cálculo da distância entre dois pontos, vamos

verificar, através do gráfico abaixo, como se determina o ponto médio de um

segmento.

Pelo teorema de Tales, temos:

2

1

2

1

2

1

2

1

MP

MP

yy

yye

MP

MP

xx

xx

m

m

m

m

, como

2

1

MP

MP= 1, temos:

21

21

1221

2

1

1221

2

1

yyyyyyy

yy

yy

xxxxxxx

xx

xx

mmm

m

m

mmm

m

m

Logo, o ponto médio é

2,

2

1212 yyxxM .

* Nota-se que os valores da abscissa e da ordenada do ponto médio do

segmento AB, são calculados pela média aritmética das abscissas e das

ordenadas desses pontos.

18

Exemplos:

01- Encontre o ponto médio do segmento A(6, 5) e B(-4, 3), representando-o

graficamente.

Solução:

)4,1(

42

53

2

12

64

2

35,4,6

12

12

2121

Myy

y

xxx

yeyxx

m

m

02- Calcule os valores de p e q, sendo M(3, -2) o ponto médio do segmento A(p,

4) e B(-6, q).

Solução:

:,23,

2

4

2

2

6

2

4,6,

12

12

2121

temosyexComo

qyyy

pxxx

qyeyxpx

mm

m

m

822

4

1232

6

qq

pp

19

EQUAÇÕES DE RETA A partir desse momento, vamos utilizar alguns processos para encontrar a

equação de uma reta.

Primeiramente, partimos para as definições de Inclinação e Declividade

(Coeficiente Angular) de uma reta não paralela aos eixos x e y. Observe o gráfico

abaixo.

- Denominamos Inclinação de uma reta ao ângulo () formado pela intersecção

dela, com o eixo-x, no sentido anti-horário.

- Chama-se Declividade ou Coeficiente Angular (a) o valor da tangente desse

ângulo (a = tg ). Se o ângulo pertencer ao 1º quadrante (0o 90o), o valor da

declividade será positiva, entretanto, se estiver no 2º quadrante (90o 180o),

será negativa.

- Observe no gráfico o surgimento de um triângulo retângulo ACB. Em geometria,

ao estudarmos as razões trigonométricas, constatamos que a tangente de um

ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto

adjacente a esse ângulo, logo, o Coeficiente Angular é dado pela fórmula:

12

12

xx

yy

AC

BCTga

20

Exemplos: 01- Uma determinada reta forma um ângulo de 60º com o eixo-x, no sentido anti-

horário. Determine:

a) O valor da inclinação.

b) O valor do coeficiente angular.

Solução:

a) A inclinação é o ângulo que a reta forma com o eixo-x, ou seja, 60º.

b) O coeficiente angular é a tangente da inclinação, nesse caso, a = tg 60º = 3 .

02- Calcule o coeficiente angular (declividade) da reta abaixo:

Solução:

Como a inclinação é 145º, a declividade da reta r é a = tg 145º = -tg 45º a = - 1.

03- Determine o coeficiente angular e a inclinação de cada reta determinada pelos

pontos abaixo:

a) A(2, 6) e B(-2, 4)

b) C(-1, 4) e D(-3, 8)

Solução: a) A(2, 6) e B(-2, 4)

21

)(º6,262

1

2

1

)(

2

1

4

2

22

64

46

22

12

12

21

21

inclinaçãoarctgtg

inversaricatrigonométfunçãoarctgatga

edeclividadouangularecoeficientxx

yya

yey

xex

b) C(-1, 4) e D(-3, 8)

)(º104º7644

)(

41

4

)2(3

48

84

32

12

12

21

21

inclinaçãoarctgtg

inversaricatrigonométfunçãoarctgatga

edeclividadxx

yya

yey

xex

A partir desse momento, vamos encontrar as equações de reta.

1- Equação da reta que passa por um ponto e tem a, como declividade

(coeficiente angular).

- Imagine uma reta r, pertencente a um sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais, que passa por um ponto A(x1, y1) e apresenta o coeficiente angular

tg = a, conforme o gráfico abaixo

22

- Ao estudarmos Geometria, verificamos que uma reta é determinada por dois

pontos, portanto, utilizemos um ponto B, diferente de A, pertencente à reta, para

encontrarmos a equação da mesma. Pela relação trigonométrica no triangulo

retângulo, temos:

)(

)(

).(

:),(,

11

11

12

1

1

1

1

xxayy

yyxxa

xxxx

yya

temosangularecoeficientatgcomoxx

yyTg

x

yTg

A equação acima representa a equação da reta que passa por um ponto A(x1, y1)

e tem, tg = a, como declividade (coeficiente angular) da mesma.

Exemplo:

- Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(2,4) e apresenta coeficiente

angular igual a 3.

Solução:

Utilizando a fórmula y – y1 = a.(x - x1), temos: y – 4 = 3.(x - 2) y = 3x – 6 + 4 y = 3x – 2 (1) Igualando a zero a equação acima, temos: y = 3x – 2 -3x + y + 2 = 0 ou 3x - y - 2 = 0 (2) A equação (1) é denominada equação reduzida da reta (y = Ax + B) e a (2),

equação geral da reta (Ax + By + C = 0).

23

2- Equação da reta que passa por dois pontos

Observe o gráfico abaixo.

Para encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2),

devemos calcular, inicialmente, o valor do coeficiente angular através da fórmula

12

12

xx

yya

, em seguida, substituir na fórmula ).( 11 xxayy ou aplicar a

fórmula )( 1

12

121 xx

xx

yyyy

.

Exemplo:

1- Determinar a equação da reta representada pelo gráfico.

Observe que a reta passa pelos pontos A(1, 4) e B(3, 6), logo:

24

)(03)(3

4)1.(1

)1.(2

24

)1.(13

464

)( 1

12

121

geralequaçãoyxoureduzidaequaçãoxy

xy

xy

xy

xxxx

yyyy

3- Equação segmentária de uma reta

- Agora que verificamos como se determina a equação da reta nas formas

reduzida e geral, vamos verificar os procedimentos para determinar a equação da

reta na forma segmentária.

- Seja r, uma reta não paralela aos eixos x e y e que passa pelos pontos A(m, 0) e

B (0, n), onde m ≠ 0 e n ≠ 0. Vamos determinar a equação geral da mesma

utilizando a fórmula y - y1 = a.(x – x1).

- Calculando o coeficiente angular.

m

n

m

n

xx

yya

0

0

12

12

- Encontrando a equação geral da reta.

)(0

).(

).(0 1

retadageralequaçãomnmynx

nmnxmy

mxm

ny

xxay

- A partir da equação geral encontrada, vamos determinar equação segmentária da mesma.

))(1

)(

0

retadaasegmentáriequaçãon

y

m

x

mnmnnxmy

mnmynx

25

Exemplo:

Encontre a equação segmentária da reta r: -3x + y + 2 = 0.

- Inicialmente, devemos determinar a intersecção da mesma com os eixos x e y,

como segue:

1) Quando a reta intercepta o eixo-y, o valor da abscissa vale zero (x = 0), logo:

x = 0 -3.0 + y + 2 = 0 y = -2 (0, -2) ponto em que a reta intercepta o eixo-y.

2) Quando a reta intercepta o eixo-x, o valor da ordenada vale zero (y = 0), logo:

y = 0 -3x + 0 + 2 = 0 x = 2/3 (2/3, 0) ponto em que a reta intercepta o

eixo-x.

A equação segmentária é .12

3

21

yx

n

y

m

x

Observe que n é a ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo-y e m, é a

abscissa do ponto onde a reta intercepta o eixo-x. Graficamente temos:

26

Equações paramétricas de uma reta Quando encontramos uma equação da reta na forma de sistema

00 couacom

dcty

batx, denominamos de equações paramétricas de

uma reta. Exemplo

1- Verificar se o sistema

12

23

ty

tx representa a reta r: 2x – 3y - 7 = 0.

Isolando t na equação y = 2t – 1.

2

11212

ytytty

Substituindo o valor de t na equação x = 3t + 2.

0732

4332

22

33

22

1.3

23

yx

yx

yx

yx

tx

Como, o sistema representa a reta r, damos o nome, ao mesmo, de equações

paramétricas da reta.

02- Dê a equação da reta que passa pelo ponto A(-1, 4) e forma com o eixo-x, no

sentido anti-horário, um ângulo de 30º.

Solução:

Utilizando a fórmula )( 11 xxayy , temos:

27

)(0)123(33

123.33

)(43

3

3

3

)1.(3

34

))1(º.(304

geralformayx

xy

ou

reduzidaformaxy

xy

xtgy

03- Os pontos A(0, 5) e B(-2, 1) pertencem a reta r. Determine sua equação. Solução:

052

52

25

)0(02

515

)(

)(

15

20

1

12

121

11

21

21

yx

ou

xy

xy

xy

xxxx

yyyy

xxayy

yey

xex

04- Os pontos A(-2, 3) e B(0, 5) pertencem a reta r. Encontre sua inclinação. Solução:

angularecoeficientxx

yya

yey

xex

12

2

)2(0

35

53

02

12

12

21

21

28

Cálculo da inclinação:

= arctg(a)

= arctg(1) = 45º

Agora, se uma reta estiver paralela a um dos eixos cartesianos, como ficará sua

equação?

Para responder esse questionamento, vamos verificar os dois casos:

1º- Quando a reta r estiver paralela ao eixo-x (ou perpendicular ao eixo-y):

nesse caso, o coeficiente angular é bem definido e seu valor é igual a 0 (tg 0 = 0).

Logo, podemos aplicar a equação )( 11 xxayy .

)( 11 xxayy

procuradaretadaequaçãoyy

yy

xxyy

1

1

11

0

).(0

2º- Quando a reta r estiver paralela ao eixo-y (ou perpendicular ao eixo-x):

nesse caso, o coeficiente angular não está definido (tg 90º). Logo, não podemos

aplicar a equação )( 11 xxayy . Porém, uma reta vertical ao eixo-x, caracteriza-

29

se por apresentar em todos os seus pontos a mesma abscissa, logo, sua equação

é dada por x = x1.

y r 0 (x1, 0) x Exemplo: 1- Em relação às retas abaixo, encontre suas equações:

Respostas: a) y = 3 b) y = -1 c) x = 2 d) x = -1 Notas: 1ª) para verificar se um ponto pertence a uma reta, devemos substituir suas

coordenadas na equação e constatar se a igualdade prevalece.

Exemplo:

1- Verifique se os pontos A(2, -4) e B(-3, 5), pertencem à reta x – 2y + 13= 0.

Solução: Substituindo A(2, -4) na equação x – 2y + 13= 0, temos: 2 – 2(-4) + 13 = 0 2+8 + 13 = 0 23 = 0 (F) Observe que a proposição é falsa, logo, A(2, -4) não pertence à reta. Substituindo B(-3, 5) na equação x – 2y + 13= 0, temos: -3 – 2.5 + 13 = 0

30

-3 - 10 + 13 = 0 -13 + 13 = 0 0 = 0 (V) Nesse caso, a proposição é verdadeira, logo, B(-3, 5) pertence à reta. 2ª) Para encontrar o ponto de intersecção entre duas retas, devemos resolver o

sistema formado pelas equações das mesmas.

Exemplo: 1- Encontre o ponto onde as retas x + 2y – 2 = 0 e y = 3x - 6 se interceptam. Solução: Resolvendo o sistema.

20147

02126

02)63(2

:,12

)2(63

)1(022

xx

xx

xx

temosemdoSubstituin

xy

yx

Substituindo x = 2 em (1) ou em (2), encontramos y = 0, logo, (2, 0) é o ponto onde

as retas se interceptam. Graficamente, temos:

31

EXERCÍCIOS 01- Em relação aos pares de pontos abaixo, determine:

1.1) A distância entre eles;

1.2) A equação da reta que passa pelos mesmos;

1.3) Represente graficamente os itens a e b.

a) P(2, 3) e Q(1, 4)

b) P(-1, 5) e Q(3, -2)

c) P(-2, 0) e Q(-4, -5)

d) P(2/3, -1) e Q(3/2, 0)

02- Dados os pontos A(4, 2) e B(1, 5):

a) Calcule a distância entre os pontos A e B.

b) Trace a reta que passa por A e B.

c) Encontre o coeficiente angular.

d) Determine a equação da reta que passa por A e B.

03- Um fabricante obteve os seguintes dados relacionando o custo C (em unidade

de milhar) ao número de unidades produzidas Q de certo bem.

a) Represente graficamente o Custo (C) em função da quantidade produzida

(Q).

b) Trace a reta que passa pelos pontos (0; 2) e (50; 4,5).

c) Determine a equação da reta quer passa pelos pontos do item b.

d) Considerando esta equação como uma aproximação da relação entre custo

total e o nível de produção, estime o custo de se produzirem 45 unidades

do bem em questão.

32

04- Dados os pontos P(2, 3), Q(1, 4) e S(0, 2):

a) Verifique se dPQ + dPS > dQS .

b) Trace as retas

c) Encontre o coeficiente angular de cada reta.

d) Determine a equação na forma geral e reduzida de cada reta acima.

MODELO MATEMÁTICO

Agora, vamos verificar através de exemplos, a maneira de encontrar um modelo

matemático.

01- Constituir a equação y = Ax + B de uma reta que aproxima o seguinte conjunto

de pontos P={(1,3), (2, 4), (4, 8), (5, 15)}.

Solução

A equação da reta que aproxima um conjunto de pontos através do critério dos mínimos quadrados é: y = Ax + B Onde,

xAyB

e

xnx

yxnxyA

22 )(

xy = soma dos produtos xy n = número de pontos observados

x2 = soma dos quadrados dos valores de x

)( saritméticamédiasn

yye

n

xx

Para facilitar os cálculos construímos uma tabela.

33

* y = -09 + 2,8x ou y = 2,8x – 0,9 representa o modelo procurado.

02- Uma pesquisa sobre a oferta de mercado de certo produto M, levou à seguinte

escala de oferta:

Identificar o modelo linear que melhor se ajusta à escala de oferta do produto M.

Represente graficamente no plano cartesiano.

04- Um fabricante obteve os seguintes dados relacionando o custo C (em unidade

de milhar) ao número de unidades produzidas Q de certo bem.

a) Represente graficamente o Custo (C) em função da quantidade produzida

(Q).

b) Trace a reta que passa pelos pontos (0; 2) e (50; 4,5).

c) Determine a equação da reta quer passa pelos pontos do item b.

d) Considerando esta equação como uma aproximação da relação entre

custo total e o nível de produção, estime o custo de se produzirem 45

unidades do bem em questão.

34

BILIOGRAFIA

- DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática.

- GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui.

Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.

- IEZZI, G. et AL. (2004) Matemática: Ciência e Aplicações. 2a Ed. São

Paulo:Atual

- Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar,1:

conjuntos, funções. 8. ed. São Paulo: Atual, 2004.