fungsi homogeni, fungsi poduksi dan fungnsi cob –douglas
TRANSCRIPT
BAB IPENDAHULUAN
A. Latar belakang
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat
pula disidik kedudukan – kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik
maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaat – manfaat inilah
konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan
ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan
masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat minimum.
Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk menyidik bentuk gambar suatu
fungsi non linear. Dengan mengetahui besarnya harga dari turunan pertama (first derivative)
sebuah fungsi, akan dapat dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut. Secara berurutan
seksi-seksi berikut akan membahas hubungan antara fungsi non linear dan derivative
pertamanya, guna mengetahui apakah kurvanya menaik atau kan menurun pada kedudukan
tertentu; hubungan antara fungsi parabolic dan derivativenya, guna mengetahui letak dan
bentuk titik ekstrimnya (maksimum atau minimum) serta hubungan antara fungsi kubik dan
derivativenya guna mengetahui letak dan bentuk titik ekstrim serta letak titik beloknya. Akan
tetapi sebelum semua itu, marilah kita perhatikan hubungan secara umum antara sebuah
fungsi dan fungsi-fungsi turunannya.
Berdasarkan kaidah deferensi, dapat disimpulkan bahwa turunan dari suatu fungsi
berderajat “n” adalah sebuah fungsi berderajat “n-1”. Dengan perkataan lain, turunan dari
fungsi berderajat 3 adalah sebuah fungsi berderajat 2, turunan dari fungsi berderajat 2 adalah
sebuah fungsi berderajat 1, turunan dari fungsi berderajat 1 adalah sebuah fungsi berderajat 0
alias sebuah konstanta, dan akhirnya turunan dari sebuah konstanta adalah
1
BAB IIPEMBAHASAN
Pengertian Diferensial
Darivatif atau turunan dydx
tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau pecahan
dengan dy sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan sebagai lambang yang
menyertakan limit dari Δ yΔ x
, sewaktu ∆ x mendekati nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk
dapat memahami masalah – masalah tertentu kadang – kadang bermanfaat juga untuk
menafsirkan dx dan dy secara terpisah. Dalam hubungan ini dx menyatakan diferensial x dan
dy diferensial y. pengertian diferensial berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada
kalkulus integral dan pada pendekatan perubahan dalam variabel gayut yang berkaitan
dengan perubahan – perubahan kecil dalam variabel bebas.
Jika f َ (x) merupakan derivative dari fungsi f(x) untuk nilai x tertentu dan ∆ x
merupakan kenaikan dalam x, maka diferensial dari f(x), yang dalam hal ini ditulis f(x),
terdefinisikan oleh persamaan.
df (x) = f َ (x) . dydx
∆ x
Jika f(x) = x, maka f َ (x) = 1, dan dx = ∆ x. Jadi jika x merupakan variabel bebas, maka
diferensial dx dari x sama dengan ∆ x.
Jika y = f(x), maka
dy = f َ (x) dx = dydx
dx
Jadi diferensial suatu variabel gayut sama dengan hasil kali turunannya dengan diferensial
variabel bebas.
a. Menyelesaikan Fungsi Homogeni, Fungsi Poduksi dan Fungnsi cob –douglas
1. Fungsi Homogen
f(x, y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx, ky) = kn f(x, y) dengan
k adalah konstanta.
Contoh :
2
1. f(x, y) = x + 3y
f(kx, ky) = kx + 3ky
= k(x + 3y), fungsi homogen pangkat 1
2. f(x, y) = ey/x + tan (y/x)
f(kx, ky) = eky/kx + tan (ky/kx)
= k0 (ey/x + tan (y/x)), fungsi homogen pangkat 0
3. f(x, y) = x2 + 2xy + y2
f(kx, ky) = (kx)2 + 2 kx ky + (ky)2
= k2 (x2 + 2xy + y2), , fungsi homogen pangkat n
4. F(x, y) = 5x – 7y + 13
bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) kn(5x – 7y + 13)
5. F(x,y) = 4x3 + 3y3 – 6xy,
bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) kn(4x3 + 3y3 – 6xy)
6. F(x,y) = x2 + 5y – 6x2y,
bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) kn(x2 + 5y – 6x2y)
Bentuk umum PD Homogen adalah M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Jika M(x, y) dan
N(x, y) maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau
PD tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(y/x) dx + N(y/x) dy = 0 atau M(x/y) dx + N(x/y)
dy = 0.
Jika PD sudah diubah menjadi M(y/x) dx + N(y/x) dy = 0, maka untuk menentukan
solusi PD tersebut,
ambil u =
yx y = ux
3
dy = u dx + x du
M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0
(M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0
1x
dx + du N (u)
M (u )+u N (u)= 0
Sehingga solusinya : dx + du = C, dengan u = ∫ 1x
dx+∫ N (u)M (u )+u N (u)
du=c , denganuyx
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari PD berikut
1. (x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0
Penyelesaian :
Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen
ambil M(x, y) = x2 – xy + y2
M(kx, ky) = (kx)2 – kx ky + (ky)2
= k2(x2 – xy + y2)
N(x, y) = xy
N(kx, ky) = kx ky
= k2(xy)
(x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0 adalah PD homogen
(x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0, bagi dengan x2, diperoleh
(1 –yx
+( yx
)2 ) dx – yx
dy = 0 … (i)
misal : y = ux
dy = u dx + x du
substitusi ke pers (i)
(1 – u + u2) dx – u (u dx + x du) = 0
4
dx – u dx + u2 dx – u2 dx – ux du = 0
(1 – u) dx – ux du = 0 [bagi dengan x(1 – u)]
1x dx –
uu−1du = 0
∫ 1x dx ∫–
uu−1du = c1
ln x – ∫–u−1+1
u−1 du = c1
ln x – ∫–u−11−u
du – ∫–1
1−udu = c1
ln x + u + ln (1 – u) = ln C, dengan ln C = c1
substitusi kembali u =yx
, sehingga
ln x + yx
+ ln (1 – yx
) = ln C
2. Fugsi Produksi
Untuk mengetahui suatu output atau produk (baik itu barang atau jasa ) dalam jumlah
tertentu, seorang pengusaha atau perusahaan bisa menggunakan dua atau lebih input. Input-
input ini dapat berupa tenaga kerja, modal, tanah, bahan baku, mesin dan lain sebagainya.
Hubungan antara output dan yang dihasilkan oleh perusahaan sebagai akibat adanya input-
input (tetap atau variabel) yang sering sdisebut Fungsi Produksi, dengan demikian fungsi
produksi dari suatu perusahaan adalah persamaan atau tabel atau grafik yang menunjukkan
output maksimum yang dapat di hasilkan oleh perusahaan dengan menggunakan berbagai
kombinasi berbagai input pada suatu periode waktu tertentu. Funsi produksi ini dapat
dituliskan dalam bentuk matematis secara umum adalah sebagai berikut
Q = F ( X1, X2, . . . Xn )
Dimana
Q = Jumlah output
5
( X1, X2, . . . Xn ) = jumlah input dari 1, 2, ..n
Untuk menyederhadakan persamaan diatas dapat di asumsikan bahwa suatu perusahaan
hanya dapat memproduksi satu output dengan menggunakan dua input. Yaitu : tenaga kerja
dan modal maka funsi produksinya adalah
Q = F ( K, L)
Dimana
Q = jumlah output
K = jumlah tenaga kerja
L = Jumlah modal
Contoh :
Di ketahui fungsi produksi Q=10 K 0,5 L 0,5 B = 100 , pL =5,pK=15
Tentukan Q maksimum
Cara SubstitusiQ = 10 K 0,5 L 0,5
MPL = 5 L -0,5 K 0,5 =5.K0,5 /L0,5
MPK = 5 K -0,5 L 0,5 =5.L0,5 /K0,5
Syarat Untuk Q maksimum :
MPL /MPK = PL/PK
5.K 0,5/L 0,5 : 5.K 0,5/L 0,5 = 5/15
K/L = 1/3
3K = L
Substitusikan pada persamaan garis anggaran
100=5L + 15K
100=5(3K)+15K
100=30K
K = 3,33 dibulatkan 3,0
L = 9,99 dibulatkan 10.
6
3. Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Sebelum melakukan pengukuran produktivitas pada semua sistem, terlebih dahulu
harus dirumuskan secara jelas output apa saja yang diharapkan dari sistem itu dan sumber
daya (input) apa saja yang akan digunakan dalam proses sistem tersebut untuk
menghasilkan output.
Salah satu model pengukuran produktivitas yang sering digunakan adalah pengukuran
berdasarkan pendekatan fungsi produksi Cobb-Douglas, yaitu suatu fungsi atau persamaan
yang melibatkan dua variabel atau lebih, variabel yang satu disebut variabel independent (Y)
dan yang lain disebut variabel dependent (X).
Cobb-Douglas itu sendiri merupakan bentuk fungsional dari fungsi produksi secara
luas digunakan untuk mewakili hubungan output untuk input. Hal ini diusulkan oleh Knut
Wicksell (1851-1926)
Kelebihan dari fungsi produksi Cobb-Douglas:
1. Bentuk fungsi produksi Cobb-Douglas bersifat sederhana dan mudah penerapannya.
2. Fungsi produksi Cobb-Douglas mampu menggambarkan keadaan skala hasil (return
to scale), apakah sedang meningkat, tetap atau menurun.
3. Koefisien-koefisien fungsi produksi Cobb-Douglas secara langsung menggambarkan
elastisitas produksi dari setiap input yang digunakan dan dipertimbangkan untuk
dikaji dalam fungsi produksi Cobb-Douglas itu.
4. Koefisien intersep dari fungsi produksi Cobb-Douglas merupakan indeks efisiensi
produksi yang secara langsung menggambarkan efisiensi penggunaan input dalam
menghasilkan output dari sistem produksi yang dikaji .
Kekurangan dari fungsi produksi Cobb-Douglas:
1. Spesifikasi variabel yang keliru akan menghasilkan elastisitas produksi yang negatif
atau nilainya terlalu besar atau terlalu kecil.
2. Kesalahan pengukuran variabel ini terletak pada validitas data, apakah data yang
dipakai sudah benar, terlalu ekstrim ke atas atau sebaliknya. Kesalahan pengukuran
ini akan menyebabkan besaran elastisitas menjadi terlalu tinggi atau terlalu rendah.
7
3. Dalam praktek, faktor manajemen merupakan faktor yang juga penting untuk
meningkatkan produksi, tetapi variabel ini kadang-kadang terlalu sulit diukur dan
dipakai dalam variabel independent dalam pendugaan fungsi produksi Cobb-Douglas.
Rumus fungsi produksi
Y = AL α K β
Keterangan :
Y = total produksi (nilai moneter semua barang yang diproduksi dalam setahun)
L = tenaga kerja input
K = modal input
A = produktivitas faktor tota
Bentuk umum fungsi produksi Cobb-Douglas adalah:
Q = δ.I α
Keterangan:
Q = Output
I = Jenis input yang digunakan dalam proses produksi dan dipertimbangkan untukdikaji
δ = indeks efisiensi penggunaan input dalam menghasilkanoutput
α = elastisitas produksi dari input yang digunakan
Berdasarkan persamaan fungsi produksi Cobb-Douglas, terdapat tiga situasi yang
mungkin dalam tingkat pengembalian terhadap skala .
1. Jika kenaikan yang proporsional dalam semua input sama dengan kenaikan yang
proporsional dalam output (εp = 1), maka tingkat pengembalian terhadap skala konstan
(constant returns to scale).
8
2. Jika kenaikan yang proporsional dalam output kemungkinan lebih besar daripada
kenaikan dalam input (εp > 1), maka tingkat pengembalian terhadap skala meningkat
(increasing returns to scale).
3. Jika kenaikan output lebih kecil dari proporsi kenaikan input (εp < 1), maka tingkat
pengembalian terhadap skala menurun (decreasing returns to scale)
Contoh jika diketahui fungsi produksi ( q ) = 10 l 0,5 k 0,5fungsi biaya produksi : 2000 = 4 l + 8 k
Carilah
berapa out put maksimal
berapa jumlah tenaga kerja dan kapital untuk mencapai output maksimal tersebut
berapa biaya minimal untuk mencapai out maksimal tersebut
jawab
Q = 10 L 0,5 K 0,5 TC : 2000 = 4 L + 8 K
MRTSLK =MP L
w=
MP K
r =5 L−0,5 K 0,5
4 =5 L−0,5 K 0,5
8
40 L -0,5 K 0,5 = 20 L 0,5 K -0,5 ( x L 0,5 ) : 40 K 0,5 = 20 L K -0,5
40 K 0,5 = 20 L K -0,5 ( x K 0,5 ) : 40 K = 20 L
: L = 2 K
2000 = 4 ( 2 K ) + 8 K 2000 = 16 K K = 125
L = (2) 125 L = 250
Q = 10 (250) 0,5 (125) 0,5 = 1.767,8 OUPUT MAK
untuk mencapai output maksimal (1.767,8) maka jumlah tenaga kerja yang digunakan
sebanyak 250 dan jumlah kapital yang digunakan sebesar 125
b. Menyelesaikan masalah turunan parsial, deferensial parsial dan total
1. Turunan parsial
9
Misalkan z = f(x,y) fungsi 2 variabel yg terdefinisi disekitar titik (x,y). Turunan
parsial dari f terhadap x adalah turunan z terhdp x dimana hanya variabel x saja yg
diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Mengukur kecepatan perubahan z terhadap x
sementara y konstan.
Turunan parsial z = f(x,y) terhdp x ditulis
didefinisikan sebagai
Turunan parsial z = f(x,y) terhdp y ditulis
Didefinisikan sebagai
Contoh
= adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai suatu
tetapan, yang disebut turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x
= adalah turunan fungsi f(x,y) terhadap x dengan memperlakukan y sebagai suatu
tetapan, yang disebut turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y
2. Diferensial Parsial
10
∂∂ x
z= ∂∂ x
f ( x , y )= f x (x , y )
∂∂ x
f ( x , y )=f x( x , y )= limh→0
( f ( x+h , y )−f ( x , y )h )
∂∂ y
z= ∂∂ y
f (x , y )=f y( x , y )
∂∂ y
f ( x , y )=f y (x , y )= limk→0
( f ( x , y+k )−f (x , y )k )
z=g( x , y )=x2+ y2 maka ∂∂ x
z=2 x .
Lengkapnya:
∂∂ x
g (x , y )=limh →0
(g( x+h , y )−g ( x , y )h )=lim
h →0([ (x+h)2+ y2 ]−[ x2+ y 2 ]h )
=limh→0
(2xh+h2
h )=limh→0
(2 x+h )=2 x .
∂ f∂ x
∂ f∂ y
Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat
suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang
mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel
bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP digunakan
untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi
yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran
suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum
segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan
waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi
matematika yang mirip satu sama
Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah
di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-
nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini
adalah
di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari persamaan diferensial
biasa untuk persamaan ini adalah
yang memiliki solusi
di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di atas
menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu
kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu
fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik;
kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi
11
didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi dapat
ditentukan jika dispesifikasikan pada sebuah garis .
Contoh : Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P = 2X2 Y3. Bentuklah fungsi
produksi marjinal utnuk masing-masing factor produksi. Berapa produk marjinal
tersebut jika digunakan 6 unit X dan 12 unit Y ?
Jawab :
P = 2X2 Y3
MPx = Px = ∂ P = 4X Y3
∂ x
MPy = Py = ∂ P = 6X2Y2
∂ y
Jika X = 6 dan Y = 12
MPx = 4X Y3 = 4(6) (12)3 = 41.472
MPy = 6X2Y2 = 6(6)2(12)2 = 2.592
3. Diferensial total
Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y,
maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-
turut dinotasikan dengan
∂ z∂ x
=∂ F (x , y )
∂ x ------------- (1) dan
∂ z∂ y
=∂ F ( x , y )
∂ y ------------- (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
dz=∂ F ( x , y )
∂ xdx
dan dz=
∂ F ( x , y )∂ y
dy
12
Jumlah diferensialnya diperoleh:
dz =
∂ F ( x , y )∂ x
dx+
∂ F ( x , y )∂ y
dy
Bentuk di atas disebut diferensial total.
Contoh.
1. Jika r = √ x2+ y2 dengan x = panjang sisi yang pendek, y = panjang sisi yang panjang
Differensial total
dr =
∂ r∂ x
dx+ ∂ r∂ y
dy
dimana dr ¿ Δr , dx ¿ Δx , dx¿ Δy
didapat
Δr=
∂ r∂ x
Δx+ ∂r∂ y
Δy
=
2 x
2√x2+ y2Δx+ 2 y
2√x2+ y2Δy
=
15
√152+202 ( 58 )+20
√152+202 (− 516 )
=
1525
58−20
255
16
=
18 cm
2. Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20
cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan tingginya berkurang 1
cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.
Jawab.
Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka
13
I = πr2 h
I = I(r,h)
Diketahui r = 15 cm, h = 20,
ΔrΔt
=0,5 cm /det,
ΔhΔt
=−1cm /det
Dengan definisi turunan total
I = I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh
dIdt
=∂ I∂r
drdt
+ ∂ I∂h
dhdt
= 2
π rhdrdt
+πr2 dhdt
c. Menerapkan Hitungan differensial parsial dalam ilmu ekonomi
Penerapan penggunaan turunan parsial matematika pada kehidupan sehari-hari sangat
banyak. Hampir semua bidang ada. Namun pada saat ini saya akan menjelaskan penggunaan
turunan parsial dalam bidang ekonomi.
Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari biaya marjinal, yaitu
dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya
total’. Para matematikawan mengenal biaya marjinal sebagai dc/dx, turunan C terhadap x.
dengan demikian dapat didefinisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal
sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinal sebagai dp/dx.
Berikut contoh soalnya
sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah
persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?
Penyelasaian
biaya rata-rata = C(x)/x
= 3200+3,25x-0,0003x2 / X
= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000
14
= 6150 / 1000 = 6,15
Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150
biaya marjinal = dc/dx
= 3,25-0,0006x
= 3,25-0.0006 (1000)
= 2,65
maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 Pada x=1000
Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi
1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang setelah barang
yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.
BAB III
PENUTUP
A.Kesimpulan
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan perubahan
kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Derivasi adalah hasil yang diperoleh
dari proses diferensiasi.
Dalam ekonomi makro, pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan
(pendapatan nasional) dialokasikan ke dua kategori penggunaan, yakni dikonsumsi dan
ditabung. Jika pendapatan dilambang dengan Y, sedangkan konsumsi dan tabungan masing –
masing dilambangkan dengan C dan S, maka kita dapat merumuskan persamaan: Y = C + S
Semakin besar pendapatan nasional maka konsumsi dan tabungan akan semakin besar
pula. Sebaliknya apabila pendapatan berkurang, konsumsi dan tabungan pun akan berkurang
pula, sehingga : DY = ¶C + ¶S à diferensial
S = S (Y,i), dimana S adalah tabungan (savings). Y adalah pendapatan nasional
(national income), dan i adalah suku bunga (interes rate).
15
Demikian juga jika perubahan dalam i, di kita dapat ( δSδi )di sebagai aproksimasi
untuk menentukan perubahan S yang dihasilkan. Jadi perubahan total dalam S diaproksimsi
dengan diferensial
dS=( ∂ S∂Y )dY +( ∂ S
∂ i )di
DAFTAR PUSTAKA
Chiang, Alpha C., Dasar-dasar matematika ekonomi, jilid 1,, edisi ke 3, Penerbit
Erlangga, Jakarta, 2006
Dumairy, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi edisi kedua, BPFE,
Yogyakarta, 2003/2004
Noer, Ahmad, Matematika Ekonomi Edisi 2003/2004, BPEF, Yogyakarta, 2002
Sunaryo, Matematika ekonomi dan Bisnis, Fakultas Ekonomi Universitas Brawijaya,
malang, 2006
http://books.google.co.id/books?id=_atldTGGzNQC&printsec=frontcover
16