fungsi kompleks fungsi trigonometri
DESCRIPTION
Fungsi Kompleks Fungsi TrigonometriTRANSCRIPT
![Page 1: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/1.jpg)
FUNGSI TRIGONOMETRIK
MAKALAH
Untuk memenuhi tugas matakuliah
Fungsi Kompleks
yang dibina oleh Ibu Indriati Nurul Hidayah, S.Pd., M,Si
Oleh:
Kelompok V
M. Sihabudin 309312422750
Rino Kitanto 309312426745
Rizki Imansyah Putra 309312422758
Saniagus Munendra 309312417508
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
NOPEMBER 2011
![Page 2: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/2.jpg)
FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRIK
Dengan menggunakan rumus euler
Maka ,
Dua persamaan berikut kita eliminasi ,
Kurangkan, diperoleh
Maka,
Dengan cara serupa, diperoleh
Kedua rumus tersebut dapat dikatakan mewakili bentuk kompleks fungsi nyata sinus dan
cosinus. Untuk fungsi kompleks trigonometri, didefinisikan dengan mengganti (pada
fungsi nyata trigonometri di atas) dengan , yaitu
Definisi Fungsi Kompleks Trigonometri
untuk semua bilangan kompleks
Empat fungsi trigonometri yang lain didefinisikan :
dengan syarat penyebut pada empat bentuk terakhir tidak sama dengan nol.
![Page 3: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/3.jpg)
Contoh Soal
Contoh 1 :
Tentukan nilai .
Jawab :
Dengan menggunakan definisi ,
Contoh 2 :
Tentukan yang memenuhi .
Jawab :
Dengan menggunakan definisi ,
maka diperoleh :
misalkan , maka diperoleh
Menggunakan rumus , diperoleh
maka,
Diperoleh solusinya yaitu
![Page 4: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/4.jpg)
Contoh 3 (soal 10A, halaman 80, nomor 10.11.a)
Gunakan definisi fungsi kompleks untuk menuliskan bilangan-bilangan berikut dalam
bentuk
a.
Jawab :
menurut definisi
Ingat, identitas euler yaitu , sehingga
Dalam bentuk yang diinginkan, maka
Contoh 4 (soal 10A, halaman 81, nomor 10.12)
Carilah turunan keenam fungsi trigonometrik dan nyatakan dalam suku-suku
trigonometrik pula
Jawab :
![Page 5: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/6.jpg)
Non Contoh (contoh yang bukan merupakan fungsi kompleks trigonometri)
Yaitu, fungsi-fungsi kompleks yang tidak memenuhi definisi fungsi kompleks trigonometri
(selain yang didefinisikan pada definisi fungsi kompleks trigonometri)
Misalnya, fungsi linear yaitu : , atau fungsi kompleks yang lain,
FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK
Definisi fungsi kompleks hiperbolik
dan
Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan
![Page 7: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/7.jpg)
Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks Trigonometrik
yaitu,
Bukti :
dan
Penulisan dan dalam bentuk
Misalkan,
Dengan langkah serupa,
![Page 8: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/8.jpg)
Sifat-sifat Dan Bukti Pada Fungsi Kompleks Trigonometri
1)
bukti :
Karena , maka
Karena sesuai definisi
karena
, maka tentu saja
jadi,
kedua ruas di logaritma natural kan! Diperoleh ,
2)
bukti :
Karena
, maka
![Page 9: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/9.jpg)
Karena sesuai definisi
maka
jadi,
kedua ruas dilogaritmanaturalkan! Diperoleh ,
3)
bukti :
4)
bukti :
5)
bukti :
maka ,
![Page 10: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/10.jpg)
6)
bukti :
7)
bukti :
8)
Bukti :
Perhatikan
![Page 11: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/11.jpg)
9)
Bukti :
10)
bukti :
11)
bukti :
![Page 12: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/12.jpg)
Sifat-sifat yang lainnya mengenai fungsi kompleks trigonometri dan fungsi kompleks
hiperbolik
12) Identitas dasar Hiperbolik :
Bukti :
13)
Bukti :
14)
Bukti :
15) (soal nomor 10.30.a)
Bukti:
Perhatikan bahwa
Maka,
16) (soal nomor 10.30.b)
Bukti :
Perhatikan bahwa
Maka,
![Page 13: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/13.jpg)
17)
Bukti :
18)
Bukti :
Bukti :
Bukti :
Contoh penggunaan sifat :
Gunakan sifat – sifat yang telah ada untuk menunjukkan bahwa
sin 3z = 3 sin z (cos2 z – sin2 z)
Jawab :
sin 3z = sin (2z + z) = (sin 2z)(cos z) + (sin z) (cos 2z)
= (2 sin z cos z)(cos z) + (sin z)(cos2 z – sin2 z)
= 2 sin z cos2 z + sin z cos2 z – sin3 z
= 3 sin z cos2 z – sin3 z
= 3 sin z (cos2 z – sin2 z)
![Page 14: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/14.jpg)
PERBEDAAN FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRI DAN FUNGSI NYATA TRIGONOMETRI
Perbedaan terbesar terletak pada batas nilainya
Jika pada fungsi nyata trigonometri kita mengenal untuk
(begitu juga untuk cos)
Pada fungsi kompleks trigonometri, kita tidak mengenal hal itu (not bounded)
Kapan fungsi kompleks trigonometri bernilai real yang besar?
Fungsi Sinus
Supaya bernilai real yang besar, maka harus 0, sehingga atau
Ambil, , maka
Supaya bernilai real yang besar, maka tentu saja harus bernilai besar
Karena itu fungsi naik untuk , maka pilih adalah bilangan yang sangat
besar
akan bernilai besar
Semakin besar , maka nilai akan semakin bernilai real yang besar
Kapan fungsi kompleks trigonometri bernilai real yang kecil?
Tentu saja, tinggal memilih , yaitu
akan bernilai kecil
Hati-hati
Hitunglah !
Dengan sifat yang sudah kita miliki, maka
, karena 30 ini adalah bilangan real (bukan derajat)
(jadi, jika menghitung dengan kalkulator, ubah deg menjadi rad)
![Page 15: Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082200/55cf9891550346d03398637d/html5/thumbnails/15.jpg)
Ingat , bentuk , dengan