1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Fungsi pembangkit merupakan alat untuk menangani masalah-masalah

pemilihan dan penyusunan dengan pengulangan. Fungsi seperti ini diperlukan

untuk menyelesaikan masalah yang tidak memperhatikan urutan. Metode fungsi

pembangkit berakar dari karya De Mevre tahun 1720, dikembangkan oleh Euler

dalam tahun 1748, kemudian pada akhir dan awal abad 19 secara intensif dipakai

oleh Laplace sehubungan dengan teori probabilitas.

Sebelum membahas metode fungsi pembangkit, terlebih dahulu diperkenalkan

deret kuasa.

a. Deret Kuasa

Deret kuasa didefinisikan sebagai deret tak terhingga yang berbentuk

∑

Bila ada bilangan positif R sedemikian sehingga deret tak terhingga ini selalu

konvergen untuk untuk suatu bilangan positif R. R dalam hal ini disebut

radius konvergensi dari deret kuasa di atas. Ada kalanya suatu deret kuasa tidak

konvergen untuk semua nilai x (x ; dan dikatakan deret tersebut divergen.

Perlu dicatat, dalam banyak hal kelak kita tidak tertarik dengan kekonvergenan

deret kuasa tersebut, tapi kita tertarik dengan koefisien-koefisien dari ; dengan

kata lain kita pandang sebagai sebuah ekspresi formal saja. Deret kuasa demikian

kita sebut deret kuasa formal.

1.2 Rumusan Masalah

1.2.1 Definisi fungsi pembangkit biasa

1.2.2 Menghitung koefisien pada fungsi pembangkit

1.3 Tujuan Makalah

1.3.1 Mengetahui definisi dari fungsi pembangkit biasa

1.3.2 Mengetahui cara mencari fungsi pembangkit biasa

2

1.3.3 Agar bisa menghitung koefisien pada fungsi pembangkit

1.4 Manfaat Makalah

Dapat memberikan informasi kepada pembaca tentang fungsi pembangkit

biasa, cara mencari fungsi pembangkit biasa dari suatu masalah, dan mengetahui

cara menghitung koefisen pada fungsi pembangkit.

3

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Definisi Fungsi Pembangkit

Misalkan ( adalah sebuah barisan bilangan.

Fungsi pembangkit biasa (ordinary generating function) dari barisan

{ }

adalah deret kuasa.

Contoh :

1. Bentuk fungsi pembangkit untuk ak = 1 untuk k = 0, 1, 2, …,

Penyelesaian :

3

3

2

210

0

)( xaxaxaaxaxf k

k

k

Substitusikan ak = 1 untuk k = 0, 1, 2, …,ke dalam rumus fungsi pembangkit

2

210

1)(

111)(

xxxf

xxxxf

2. Bentuk fungsi pembangkit untuk ak = C(n,k) untuk k = 0, 1, 2, …, n.

Penyelesaian :

kkn

k

k xk

nx

k

nx

k

n

k

nxaxf

2

0

)(

Substitusikan ak = C(n,k) untuk k = 0, 1, 2, …,n ke dalam rumus fungsi

pembangkit

4

n

nkn

k

k

nkn

k

k

xxf

xn

nx

nx

nxaxf

xn

nx

nx

nnxaxf

)1()(

211)(

210)(

2

0

2

0

2.2 Menghitung Koefisien pada Fungsi Pembangkit

Kita akan mengembangkan teknik-teknik aljabar untuk menghitung

koefisien dungsi pembangkit. Teknik-teknik tersebut adalah dengan mereuksi

fungsi pembangkit yang diberikan menjadi fungsi pembangkit dengan tipe

binomial atau hasil kali dari fungsi pembangkit dengan tipe binomial. Berikut ini

adalah semua identitas polinom dan ekspansi polinom yang dipergunakan.

1. nn

xxxx

x

21

11

1

Bukti :

)1()1()1)(1( 222 nnn xxxxxxxxxxx

1

1322

1

)()1(

n

nn

x

xxxxxxx

Sehingga diperoleh nn

xxxx

x

21

11

1

2.

211

1xx

x

Bukti :

)1()1()1)(1( 222 xxxxxxxx

1

)()1( 322

xxxxx

Sehingga diperoleh

211

1xx

x

5

3. nnx

n

nx

nx

nx

2

2111

Bukti :

)1()1)(1()1( xxxx n

Koefisien dari rx dengan nr 0 , merupakan banyaknya seluruh cara berbeda

memilih x sebanyak r kali dan 1 sebanyak rn dari n faktor yang tersedia.

Banyaknya seluruh cara memilih x sebanyak r kali sebanyak rn dari n faktor

yang tersedia adalah

r

n.

Jadi rn

r

rrnn

r

n xr

nx

r

nx

00

1)1(

4. nmnrmrmmnm xn

nx

r

nx

nx

nx

11

2111 2

Bukti :

Kita tahu bahwa (Teorema Binomial)

nnx

n

nx

nx

nx

2

2111

Untuk x = -xm, diperoleh

nmmmnm xn

nx

nx

nnx )()(

2)(

10)1( 21

mnnmmnm xn

nx

nx

nnx )1()1(

2)1(

10)1( 221

mnnmmnm xn

nx

nx

nnx )1(

210)1( 2

n faktor

6

5.

i

n

i

nx

i

inx

x

00

1

1

1

Bukti :

Dari nomor 2, jika x kita ganti dengan ax, maka diperoleh

i

i

i xaax

01

1 (5)

Substitusikan a = -1 pada persamaan (5) akan memberikan

i

i

i xx

0

)1(1

1 (6)

Jika pada persamaan (6) kita substitusikan ax pada x, akan diperoleh

i

i

i xaax

0

)1(1

1 (7)

Sekarang kita pangkatkan ruas kiri persamaan 2. Kita peroleh

i

n

i

nx

i

inx

x

00

1

)1(

1 (8)

6. Jika )()()( xgxfxh , dimana

...)( 210 xbxbbxg

Maka ...)()()( 2

201102100100 xbababaxbababaxh

...)...2( 021101

r

rr xbabarbaba

7. Koefisien rx pada nxx ...)1( 2 adalah

r

nrrnrC

1),1(

7

Contoh :

1. Misalkan kita akan mencari koefisien 16x pada 5432 ...)( xxx .

Langkah pertama bentuk tersebut dirubah sebagai berikut :

5432 ...)( xxx = 522 ...1 xxx

= 5210 ...)1( xxx

= 5

10510

)1(

1.)

1

1(

xx

xx

Karena 61016 .xxx berarti mencari koefisien

16x pada 5432 ...)( xxx sama

dengan mencari koefisien 6x pada

5)1(

1

x yaitu 210

6

10

6

165

Jadi, koefisien 16x pada 5432 ...)( xxx adalah 210

2. Banyaknya cara untuk memilih 25 mainan dari 7 tipe mainan dimana tiap

tipe antara 2 dan 6 sama dengan mencari koefisien x25

dari fungsi pembangkit :

765432 )( xxxxx

Fungsi pembangkit tersebut diubah sebagai berikut

74322765432 )1()( xxxxxxxxxx

743214 )1( xxxxx

Cari koefisien 11x pada 7432 )1( xxxx . Dengan menggunakan identitas (1)

diperoleh 757

75

7432 )1()1(1

1)1( xx

x

xxxxx

Misalkan 7)1()( xxf dan 75 )1()( xxG . Dengan menggunakan ekspansi

(5) dan (4), diperoleh

8

rx

r

rxxxxf

17

3

173

2

172

1

1711)1()( 27

.7

77)1(

2

7

1

71)1()( 35510575 xx

rxxxxg rr

Untuk mencari koefisien x11

pada h(x) = f(x)g(x) kita hanya membutuhkan bentuk

a11-i bi dalam ekspansi (6), yaitu

a11b0 + a6b5 + alb10 =

2

7

1

171

1

7

6

176

11

1711

Jadi, koefisien dari 11x adalah 11875

11875

14764812376

2

7

1

7

1

7

6

121

11

17

9

BAB III

PENUTUP

3.1 Simpulan

1. Fungsi pembangkit merupakan alat untuk menangani masalah-masalah

pemilihan dan penyusunan dengan pengulangan

2. Fungsi pembangkit biasa

3. Identitas polinom dan ekspansi polinom yang dipergunakan untuk

menghitung koefisien pada fungsi pembangkit

10

3.2 Saran

Lebih banyak membaca buku dan latihan soal maupun yang lainnya untuk

memahami tentang Fungsi Pembangkit Biasa (Ordinary Generating Function).

Jika , dimana

Maka

Koefisien pada adalah

11

DAFTAR PUSTAKA

Sutarno, M.T. , Drs. Heri dkk. Matematika Diskrit. Jakarta : Universitas

Pendidikan Indonesia

Suweken, Gede. 2011. Matematika Diskrit. Singaraja : Terbitan sendiri

12