fungsi transenden i[1]

Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer IIOki Neswan,Ph.D.,

Departemen Matematika-ITB

Bab 7 Fungsi TransendenLogaritma Natural Inverse Fungsi dan Turunannya Fungsi Eksponensial Natural Fungsi Eksponensial Umum Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponensial Inverse Fungsi Trigonometri dan Turunannya Fungsi Hiperbolik dan Inversenya1

Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II

Pada bab ini kita akan sepasang fungsi yang mungkin.paling terkenal dalam calculus yaitu ln x dan inversenya ex. Keduanya akan didefinisikan dengan urutan dan cara yang berbeda dari biasanya, yaitu fungsi ln x, didefinisikan dahulu, sebagai integral, baru ex diberikan sebagai inversenya. Kita akan melihat bahwa pendekatan ini dapat memecahkan berbagai masalah dan penggunaannya sangat luas dalam sains, engineering, dan ekonomi.

Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB

2

1


1. Logaritma NaturalAturan pangkat, tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah 1/x. Tetapi, dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita dapat mendefinisikan fungsi melalui integral yang turunannya adalah 1/x. Fungsi ini kita sebut logaritma natural dari x, ditulis ln x. Dapat dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini, bahwa fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di SMA.


3


DefinisiFungsi logaritma, ditulis ln x, didefinisikan sebagai x1 ln x = dx, x > 0 1 x Gambar di samping memberikan makna geometri dari ln x. ln x hanya terdefinisi untuk x>0: Jika 0 0 dx Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh bahwa d 1 d ln u ( x ) = u ( x) dx u ( x ) dx

Contohd 1 d 1 1 ln 5 x = ( 5x ) = ( 5) = dx 5 x dx 5x xOki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB5


Contohd 1 d 3 ln x3 = 3 ( x ) = x13 ( 3x 2 ) = 3 dx x x dx d 1 d (b) ln x + 3 = x +3 = dx x + 3 dx (a)

(

)

(

)

Khususnya untuk fungsi ln|x|, kita peroleh bahwa d 1 ln x = , x > 0 dx x Untuk membuktikan ini kita perlu membaginya ke dalam dua kasus: untuk x>0, di mana |x|=x dan untuk kasus x 0: ln x = ln x = dx dx x d d 1 1 x < 0: ln x = ln ( x ) = ( 1) = dx dx x xOki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB6

1 1 = x + 3 2 x 2x + 6 x 1

3


Hubungan diatas mengatakan bahwa ln|x| adalah antiturunan dari 1/x. Akibatnya, kita memperoleh formula integral bagi 1/x. 1 x dx = ln x + C , x 0. Teorema Jika fungsi u ( x ) terturunkan dan tidak pernah bernilai nol, maka

u du = ln u + C ,

1

u 0.

Dengan demikian, teorema diatas dapat menjawab integral yang selama ini tidak terjawab oleh Aturan Pangkat, yaitu xrdx=xr+1 /(r+1) (tidak berlaku untuk r=-1). Bentuk lain adalah u ( x) ' u ( x ) dx = ln u ( x ) + COki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB7


Contoh

2

0

1 du 2x = ln u dx = -5 u x 5 2

1 5

= ln 1 ln 5 = ln1 ln 5 = ln 5

Sifat-sifat logaritma naturalPada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari ln5x sama dengan turunan dari lnx yaitu 1/x. Fakta ini berguna untuk membuktikan teorema berikut. Teorema Jika a dan b > 0 dan r bilangan rasional, maka a (a) ln1 = 0 (c) ln = ln a ln b b (b) ln ab = ln a + ln b (d) ln a r = r ln aOki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB8

4


Dari definisi, diperoleh bahwa ln 1=0. Memperhatikan catatan di atas, kita peroleh bahwa ln ax = ln x+C. Hal ini berlaku untuk semua x. Maka khususnya untuk x=-1, kita peroleh ln a1 = ln 1+C = 0 + C. Jadi, C = ln a. Dengan demikian untuk x=b, berlaku ln ab = ln b+ ln a. Selanjutnya, gunakan rumus di atas pada ln a, dengan menulisnya sebagai ln (a/bb) untuk membuktikan bagian (c).

ContohTentukan dy / dx jika y = ln x+2 x3 + 2


9


y = ln Maka,

x+2 x +23

= ln ( x + 2 ) ln x3 + 2 = ln ( x + 2 ) 1 ln ( x 3 + 2 ) 2

y' =

(3 2) x2 1 1 1 1 ( 3x 2 ) = x + 2 x3 + 2 x + 2 2 x3 + 2y=

Bila sebuah fungsi melibatkan pembagian, perkalian, dan atau pangkat seperti x+2

( x + 1) 5 x 2 6

maka penentuan turunannya menjadi rumit karena memerlukan berbagai aturan turunan. Masalah ini dapat dibantu dengan menggunakan logaritma. Metoda ini disebut diferensiasi logaritma (logarithmic differentiation). Metoda ini akan sangat jelas bila kita melihat contohnya langsung.Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB10

5


ContohTentukan dy / dx bila y = ( x 2 ) x3 4 x Pertama tentukan ln y. Selanjutnya tentukan turunannya, terhadap x, secara implisit. ln y = ln ( x 2 ) x 3 4 x = ln ( x 2 ) 1 ln ( x 3 4 x ) 23 2 1 dy 1 1 3x 2 4 2 ( x 4 ) ( x 2 ) ( 3x 4 ) = = y dx x 2 2 ( x3 4 ) 2 ( x 2 ) ( x3 4 )

=

2x ( x2 4)

x2 4x 4

.


11


Jadi, x2 4 x 4 dy x 2 x2 4x 4 = = y 2 2 dx x3 4 x 2 x ( x 4 ) 2x ( x 4) x2 4 x 4 = 3 2 x 2 ( x + 2) x2 4

Bentuk Grafik y=ln xSeperti biasa kita dapat memanfaatkan turunan pertama dan kedua untuk menganalisis bentuk grafiknya. Pertama domain atau daerah asal selang (0, ). Selain itud 1 d2 1 ln x = > 0 dan 2 ln x = 2 < 0 dx x dx xOki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB12

6


Dengan demikian, grafiknya monoton naik dan cekung kebawah. Karenalim x ln x = dan lim x ln x =

maka daerah hasilnya adalah seluruh himpunan bilangan real.


13


2. Inverse Fungsi dan TurunannyaSalah satu cara membangun fungsi yang baru dari fungsi yang telah ada adalah dengan membalikkannya. Hasilnya disebut inverse atau balikan. Sebagai contoh, inverse dari f(x)=x3 adalah g(x)= 3 x .g f ( x ) = 3 x 3 = x dan f g ( x) =

( x)3

3

=x

Terlihat bahwa fungsi g membatalkan efek dari f dan juga sebaliknya. Inilah art inverse.

DefinisiMisalkan f : A B sebuah fungsi. Fungsi inverse dari f , jika ada, adalah fungsi f 1 : B A sehingga untuk tiap x A, y B f 1 f ( x) = x dan f f 1 ( y ) = y14


7


Keujudan InverseTidak setiap fungsi mempunyai balikan. Sebagai contoh, fungsi h(x)=x2. Jika ada, karena h(2)=4, maka haruslahh 1 ( 4 ) = h 1 ( h ( 2 ) ) = h 1 h ( 2 ) = 2

Tetapi jelas juga bahwa h(-2)=4, sehingga

h 1 ( 4 ) = h 1 ( h ( 2 ) ) = h 1 h ( 2 ) = 2

Akibatnya, h-1(4) mempunyai dua nilai, yaitu 2 dan 2. Hanya fungsi yang satu-satu (injektif) yang mempunyai inverse. Kriteria ini umumnya sulit digunakan karena kita harus mengetahui benar grafiknya. Kriteria yang lebih praktis untuk keujudan inverse adalah sifat monoton sejati sebagaimana diberikan oleh teorema berikut.Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB15


Sebuah fungsi f disebut monoton naik [turun] sejati pada himpunan A bila untuk tiap x1, x2A, berlaku jika x1< x2, maka f(x1)< f(x2) [f(x1)> f(x2) ] Teorema Jika f monoton sejati pada seluruh domainnya, maka f mempunyai inverse. Adakalanya sebuah fungsi yang secara natural tidak mempunyai inverse, tetapi bila domainnya dibatasi maka ia mempunyai inverse. Sebagai contoh fungsi sin(x) mempunyai inverse pada selang [-/2,/2].


16

8


Contoh Perlihatkan bahwa fungsi f ( x ) =tentukan inversenya. Pertama kita cari domainnya. Domain dari f adalah seluruh x > 2. 1 1 Dari hubungan y = , diperoleh bahwa y 2 = sehingga x2 x2 x 2 = 1 y 2 atau x = 1 y 2 + 2. Jadi, f 1 ( x ) = 1 x 2 + 2. f ( f 1 ( x ) ) = 1 f 1 ( x ) 2 = 1 1 x2 mempunyai inverse dan

(1 x

2

+ 2) 2 = 1

x2 = x

f 1 ( f ( x ) ) = 1 1

(

x2

)

2

+ 2 = 1 (1 x 2 ) + 2 = x 2 + 2 = x


17


Grafik y=f-1(x) dan turunannyaMisalkan f mempunyai inverse. Makay = f ( x ) x = f 1 ( y )

Dengan demikian, jika titik (x,y) berada pada grafik f, maka titik (y,x) berada pada grafik f-1. Artinya grafik f-1 adalah hasil pencerminan dari grafik f terhadap garis y=x.


18

9



19


Tiga langkah untuk menentukan balikan f-1(x) Tulis x sebagai fungsi dari y dengan cara menyelesaikan persamaan y=f(x). Namakan hasil diatas sebagai f-1(y). Ganti y dengan x untuk memperoleh f-1(x). Selanjutnya, bagaimana hubungan antara kemiringan grafik f dan grafik f-1?


20

10


Kemiringan f di a dan f-1 di f(a) ternyata juga saling inverse yaitudf 1 dx =f (a)

f (a) c 1 = = 1 a b ( a b) f ( a ) c df dx a

(

)


21


Gambar bisa saja salah. Namun pengamatan di atas berlaku umum dan diberikan dalam teorema berikut.turunan kedua sisi, dengan bantuan aturan rantai, diperoleh 1 = Dx x = Dx f 1 ( f ( x ) ) = Dx f 1 ( f ( x ) ) Dx f ( x ) Teorema Fungsi Inverse

Menurut definisi fungsi inverse, f 1 ( f ( x ) ) = x. Apabila dilakukan

Misalkan fungsi f terturunkan dan monoton sejati pada interval I . Jika f ' ( x ) 0 untuk suatu x I , maka f 1 terturunkan di titik y = f ( x ) dan Dx f 1 ( f ( a ) ) = df 1 dx =f (a)

1 = Dx f ( a ) df dx a22


11


Contoh Misalkan y = f ( x ) = x3 2. Tentukan ( f 1 ) ' ( 6 ) . Jika f ( a ) = 6 atau a 3 2 = 6, maka haruslah a = 2. Jadi, menurut Teorema Fungsi Inverse,

( f ) '( 6) = ( f ) ' ( f ( 2))1 1

= =

1 1 = f ' ( 2 ) 3 22 1 12


23


ContohTentukan rumus dari f -1 ( x ) jika y = f ( x ) = ( x 1) ( x + 2 ) . Pada langkah pertama, kita tentukan x. y = ( x 1) ( x + 2 )

( x + 2) y = x 1

atau

xy + 2 y = x 1 x ( y 1) = (1 + 2 y )

xy x = 1 2 y atau Jadi, x = (1 + 2 y ) (1 y ) .

Pada langkah kedua, kita tulis f 1 ( y ) = (1 + 2 y ) (1 y ) . Akhirnya, setelah semua y diganti oleh x, diperoleh f 1 ( x ) = (1 + 2 x ) (1 x ) .


24

12


3. Fungsi Eksponensial NaturalFungsi eksponensial natural, y=exp(x), adalah inverse dari logaritma natural. x=exp(y) y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1) sehingga ln e=1. Ekspansi desimal bilangan ini adalah e2,71828182845Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB25


Dengan demikian,

1 1 t

e

dt = 1

Dari definisi langsung diperoleh bahwa 1. exp(ln x)=x, bila x>0. 2. ln(exp(x)) =x. Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh Euler), yaitu tidak ada polinom p(x) sehingga p(e)=0.


26

13


Kita dapat mengkonfirmasikan (saat ini untuk bilangan rasional r), bahwa y=exp(x) adalah sebuah fungsi eksponesial. er=exp(ln er)= exp(rln e)= exp(r) Sejauh ini kita telah mendefinisikan bilangan pangkat dengan pangkat rasional. Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi fungsi eksponesial, yaitu ex=exp(x) Jadi, untuk selanjutnya. 1. elnx=x, untuk x>0. 2.ln(ex)=x, untuk tiap x.Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB27


Turunan dari exp(x)Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka x=ln y. Apabila kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai, diperoleh bahwa 1=(1/y)Dxy atau Dxy =yTeorema d x e = e x dx

Sebagai akibat kita perolehTeorema

e dx = ex

x

+C


28

14


Contoh Tentukan turunan dari y = e57 x Misalkan u = 5 7 x dan oleh karena itu u ' = 7. Maka, dengan Aturan Rantai diperoleh bahwa y ' = e u u ' = e 5 7 x ( 7 ) = 7 e 5 7 x

Contoh

Tentukan turunan dari y = e x ln x Dengan Aturan Rantai diperoleh bahway ' = e x ln x Dx ( x ln x ) = e x ln x ( ln x + x 1 ) x = e x ln x ( ln x + 1)


29


Contoh Hitunglah a.

e 4 x dx dan b.

/2

0

esin x cos xdx

a. Misalkan u = 4 x sehingga du = 4dx. Maka

0

e 4 x dx =

1 4

e du =u

1 4

eu + C = 1 e 4 x + C . 4

b. Misal u = sin x sehingga du = cos dx. Maka esin x cos xdx = eu du = eu + C = esin x + C. /2

Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus diperoleh esin x cos xdx = esin x /20

= e1 e0 = e 1


30

15


4. Fungsi Logaritma dan Eksponesial UmumKita telah berhasil mendefinisikan ex untuk tiap bilangan real x, termasuk e . Namun bagaimana dengan e? Kita akan memanfaatkan hubungan x=exp(ln x). Definisi Jika a > 0 dan x adalah sebarang bilangan real, makaa x = e x ln a

Dengan demikian, kita peroleh bahwa ln(ax)=ln(exln a)=x ln a Catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluas aturan ln(ar)=ln(erln a)=r ln a yang sebelumnya hanya berlaku untuk r rasional.Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB31


Sifat-sifat axTeorema Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan a > 0, b > 0, dan x, y sebarang bilangan real. 1. a x a y = a x + y 3. ( a x ) = a xyy

2.

ax = a x y ayx

4. ( ab ) = a x b x

a a 5. = x b b Bukti (sebagian)x

x

a x a y = e x ln a e y ln a = e x ln a + y ln a = e(

x + y ) ln a

= a x+ y

(a b)

x

= e x ln a b = e

x ( ln a ln b ) 1) x

= e x ln a x ln b = e x ln a e x ln b = a x b x

= a x b x = a x b(

= a x b(


( ) ) = ( ab )1 x

1 x

= ax bx32

16


Aturan Rantai dapat dimanfaatkan untuk menentukan turunan dari ax. Dx a x = Dx e x ln a = e x ln a Dx ( x ln a ) = a x ln aTeorema Fungsi Eksponen Dx a x = a x ln a

a dx = ln a ax

1

x

+ C,

a 1

Contoh Hitunglah dy dx bila a. y = 3x

b. y = 5w ln ( 2w )x

a. Gunakan Aturan Rantai dengan u = x Maka Dx 3x

= 3 x ln 3Dx

( x ) = 32 ln 3 x33



b. Gunakan Aturan Rantai dan Aturan Perkalian Dx 5w ln ( 2w ) = Dx ( 5w ) ln ( 2w ) + 5w Dx ln ( 2 w ) = 5w ln 5ln 2w + 5w (1 2w ) Dx ( 2w ) = 5w ln 5ln 2w + 5w (1 2w ) 2w ln 2Contoh Hitunglah x 2 x dx.2

(

)

(

)

Misalkan u = x 2 , sehingga du = 2 xdx. Maka

x2

x2

dx =

1 2

2

u

du =

1 2

1 ( ln12 ) 2u + C = ( 2 ln 2 ) 2 x

2

+C


34

17


Untuk 0 0 dan a 1. Makay = log a x x = a y

Catatan: lnx=logex Hubungannya dengan logaritma biasa dapat diperoleh secara berikut. Misalkan y= logax sehingga x=ay. Makaln x = ln a y = y ln a sehingga log a x = ln x ln a36


18


Karena logax tidak lain adalah kelipatan skalar dari lnx, dengan mudah diperoleh bahwa d 1 log a x = dx x ln a

Fungsi-fungsi ax, xa, dan xx.Walaupun sekilas tampak serupa, perhatikan bahwa f(x)=ax adalah fungsi eksponensial, sedangkan f(x)=xa adalah fungsi pangkat. Kita telah memperoleh Dxax . Sedangkan turunan Dxxa telah buktikan untuk bilangan pangkat a rasional. Kembali akan kita gunaka kekuatan dari konsep yang kita bangun pada bab ini. Untuk sebarang a, xa= ealnx. MakaOki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB37

Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer IIa a ax Dx x a = Dx e a ln x = e a ln x Dx a ln x = e a ln x = x x

Jadi, Aturan Pangkat berlaku umum (termasuk untuk a irrasional), yaitu a a 1Dx x = ax

Berkenaan dengan itu kita peroleh Aturan Pangkat untuk integral. a +1

x dx = a + 1 + C ,a

x

a 1.

Treatment di atas dapat digunakan untuk kasus yang lebih umum yaitu fungsi f(x)=u(x)v(x) . Tulis fungsi ini dengan menggunakan eksponensial dan logaritma: f(x)=e v(x)lnu(x)Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB38

19


Contoh Tentukan Dx y bila a. y = x x b. y = ( x 2 1) a. Karena x x = e x ln x , maka Dx y = Dx e x ln x = e x ln x Dx ( x ln x ) = e x ln x ( ln x + x 1 ) x = x x ( ln x + 1) . b. Tulis ( x 2 1) Dx y = Dx ecos x cos x

.

=e

cos x ln x 2 1

(

)

. Dengan demikian

cos x ln x 2 1

(

)

=e

cos x ln x 2 1

(

)

Dx cos x ln ( x 2 + 1)

(

)

= ( x 2 1)

cos x

( 2x ) 2 sin x ln ( x + 1) + cos x 2 x +1


39


Contoh Hitunglah

4

5

x

1

x

dx. 1 2 x dx. Jadi,

Misalkan u = x , sehingga du =

2 u dx = 5u ( 2 ) du = 2 5u du = 5 + C x ln 5 dan oleh karena itu

5

x

4

5

x

1

x

dx =

2 5 ln 5

( )x

4

=1

2 2 1 40 ( 5 5 ) = ln 5 . ln 5


40

20


5. Pertumbuhan dan Peluruhan EksponensialPada bagian ini kita akan melihat beberapa aplikasi dari fungsi logaritma dan eksponensial untuk memecahkan masalah yang melibatkan pertumbuhan dan peluruhan, termasuk diantaranya bunga majemuk, peluruhan zat radioaktif, dan pertumbuhan populasi. Dalam berbagai proses yang dinamis di mana sebuah kuantitas berubah dengan aturan yang tidak bergantung pada waktu.Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB41



42

21


Contoh: 1.Pertumbuhan populasi bakteri dalam sebuah kultur 2.Penularan penyakit (epidemik) 3.Peluruhan bahan radioaktif 4.Pendinginan yang dialami benda panas ketika diremdam dalam air. (Newtons Law of Cooling) 5.Pertumbuhan nilai tabungan oleh adanya bunga tabungan. Misalkan x(t) adalah variabel yang berubah terhadap waktu dan t menyatakan waktu. Jadi, pada contoh 1, y=f(t) adalah massa bakteri. Sedangkan pada contoh 4, f(t) adalah temperatur benda.


43


Jika y=f(t) adalah massa bakteri, maka wajar bila diasumsikan pertumbuhan bateri di setiap saat proporsional dengan banyak bakteri pada saat itu, yaitu y=kyt atau y/t=ky. Dengan proses limit t0, diperoleh sebuah persamaan diferensial dy = ky dt Pada banyak kasus, laju perubahan per unit k konstan. Pada contoh pertama, selama lingkungan mendukung, laju perkembangan bakteri tidak akan berubah. Pada contoh 3, laju perubahan hanya bergantung pada jenis bahan radioaktif. Selanjutnya kita ingin menentukan fungsi f(t) yang memenuhi persamaan diferensial di atas. Fungsi demikian disebut solusi dari persamaan diferensial.Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB44

22


Menentukan Solusi Persamaan DiferensialPersamaan di atas dapat diselesaikan dengan tehnik pemisahan variabel. Tempatkan variabel y pada ruas kiri dan variabel t pada ruas kanan, kemudian lakukan operasi integral.dy = kdt y dy y = kdt ln y = kt + C

Apabila diketahui bahwa y=y0 pada saat t=0, maka diperoleh y C=ln y0 . Dengan demikian, ln y ln y0 = ln = kt . Dalam y0 bentuk eksponesial: kt y = y0 eOki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB45

Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer IIk0 0 Sebagai verifikasi, pertama kita cek y ( 0 ) = y0 e = y0 e = y0 Selanjutnya, lakukan operasi turunan d d y ( t ) = y0 ( e kt ) = y0 e kt k = ky0 e kt = ky ( t ) dt dt


46

23


Catatan: Jika k < 0, maka yang terjadi adalah penurunan jumlah dan fenomena ini disebut peluruhan eksponensial. Jika k > 0, maka yang terjadi adalah peningkatan jumlah dan fenomena ini disebut pertumbuhan eksponensial.


47


Contoh Menurut sensus pada tahun 2000, populasi AS adalah 281,4 juta. Laju pertumbuhan dalam satu dekade terakhir adalah 0,1235. Jika diasumsikan bahwa laju pertumbuhan ini tetap bertahan, tentukan populasi pada tahun 2050.

Jawab: Misalkan p(t) adalah populasi AS (dalam juta) dengan t menyatakan puluhan tahun (dekade) sejak tahun 2000. Maka p(0)=281,4 dan secara umum p(t)= 281,4e0,1235t . Pada tahun 2050 t=5. Jadi, p(5)= 281,4e0,12355=521,8 juta


48

24


Contoh Jumlah bakteria dalam sebuah kultur tumbuh dengan cepat sekali, dari 10.000 pada pukul 1200 menjadi 40.000 dalam waktu 2 jam. Berilah perkiraan jumlah bakteria pada pukul 1700. Jawab: Misalkan y(t) menyatakan banyak bakteri t jam sejak pukul pukul 1200. Fungsi y ini memenuhi persamaan diferensial dy/dt=ky dengan syarat awal syarat awal y(0)=104. Solusi persamaan ini adalah y(t)=104.ekt. Diketahui bahwa y(2)=4 104 = 104 ek2 sehingga e2k=4 atau k=ln 4=ln2. Dengan demikian, y(t)= 104etln2. Maka, pada t=5, y=10.000 e5ln2320.000.Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB49


Waktu, T, yang diperlukan agar nilai y(t) menjadi dua kali lipat disebut waktu ganda (doubling time). y(t+ T)= 2y(t) Contoh Isotop radioaktif 128I meluruh dengan laju 0,0279 per menit. Jika semula terdapat adalah 100 g 128I, tentukan sisa isotop 128I setelah 20 menit. Kemudian tentukan waktu paruhnya. Jawab: Misalkan y(t) menyatakan massa t menit sejak awal. Jadi, y(0)=y0=100 dan dy/dt=0,0279 y. Solusi persamaan diferensial ini adalah y(t)=100e0,0279t. Jadi, y(20)=100e0,02792057,235 g.Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB50

25


Misalkan waktu paruh adalah t. Maka khususnya, y(0+t)=y(0), atau 100e-0,0279t=50 e0,0279t=. Kenakan operasi logaritma pada kedua sisi untuk memperoleh ln e-0,0279t=-0,0279t=ln()= -ln2. Dengan demikian, t= ln2/ 0,0279 24,844 detik


51


Carbon DatingSalah satu metoda untuk menentukan usia sebuah fosil adalah dengan membandingkan jumlah isotop karbon 14C dan jumlah 12C dalam fosil tersebut. Sebagai contoh, jumlah kedua macam isotop dalam tulang hewan hidup relatif sama. Tetapi setelah hewan itu mati, isotop 14C mulai meluruh sedangkan jumlah isotop 12C relatif tetap karena ia tidak radioaktif. Jadi, kita dapat menentukan usia fosil dengan melihat jumlah 14C yang masih ada. Misalkan x(t) adalah jumlah 14C dalam sebuah fosil t tahun setelah ia mati. Maka, dx/dt=x(t) untuk suatu konstanta . Dengan demikian, x(t) = x0et, dengan x0 adalah jumlah 14C semula, saat t=0.Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB52

26


Nilai dapat ditentukan dari waktu paruh 14C, yaitu 5730 tahun. Jadi, x(5730)=x0. Oleh karena itu,1 2

x0 = x0 e 57301 2

= e 5730 ln 2 . 5730

ln 2 = 5730

Atau

=

Sebagai contoh, jika jumlah karbon-14, 14C, dalam sebuah fosil adalah 10% dari semula, maka menggunakan metoda ini kita dapat menentukan bahwa usia fosil tersebut adalah sekitar 19.035 tahun!Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB53


Model LogistikModel populasi yang kita bangun mengatakan bahwa p(t)=p0 ekt. Bila k>0, maka populasi akan terus bertambah secara tidak terbatas. Jadi, model ini kurang realistis karena tiap lingkungan mempunyai ruang dan sumber makanan yang terbatas. Jadi, pertumbuhan populasi akan melambat ketika populasi sudah mendekati batas daya dukung lingkungannya. Model yang lebih baik memperhitungkan daya dukung ini. Model ini disebut model logistik. Pada model ini laju pertumbuhan populasi p sebanding dengan p dan selisih M-p, di mana M adalah populasi maksimum yang dapat didukung. Jadi, menurut model ini dp = kp ( M p ) dtOki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB54

27


Untuk p kecil, maka dp/dt kMp sehingga pertumbuhan masih eksponensial. Ketika p sudah dekat ke M, maka M-p menjadi kecil. Akibatnya dp/dt juga kecil dan pertumbuhan mulai melambat. Solusi untuk model ini adalahp (t ) = Mp0 p0 + ( M p0 ) e Mkt


55


Bunga MajemukMisalkan uang sejumlah P didepositokan pada sebuah bank yang memberikan bunga majemuk 100r% n kali dalam setahun. Artinya, tiap tahun dibagi ke dalam n selang dan pada akhir tiap selang waktu ini, bank membanyar sebesar (100r)/n % atas total uang yang ada pada saat itu, termasuk uang yang diterima dari bunga sebelumnya. Jadi, misalkan Pm menyatakan jumlah uang setelah berlangsung m selang waktu. Maka, Pm+1= Pm +(r/n) Pm=(1+r/n) Pm dengan m=0,1,2,3,dan P0=P. Dengan demikian,r Pm +1 = 1 + P nOki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB56m

28


Sekarang bagaimana bila bunga dihitung sebanyak n kali dalam setahun dengan n sangat besar, menuju tak hingga. Dalam hal ini, bunga disebut bunga majemuk kontinu.P ( t ) = lim nnt nr r r P0 1 + = lim n P0 1 + n n rt rt

h = P0 lim h0 (1 + h ) = P0 e rt

Jadi,

P ( t ) = P0 ert

Catatan: Di atas kita menggunakan teorema yaitu bahwalim h 0 (1 + h ) = eh


57


Contoh Misalkan P0=$1000 dan bunga adalah r=5% (=0,05) dihitung secara kontinu. Jumlah tabungan setelah 5 tahun adalahP ( 5 ) = $1000e0,055 = $1. 284


58

29


7. Fungsi Inverse Trigonometrik dan TurunannyaSemua fungsi trigonometri tidak mempunyai inverse, karena fungsi-fungsi ini tidak injektif. Sekalipun demikian, pada bagian ini akan kita lihat bahwa apabila domain fungsi-fungsi tersebut dibatasi, maka mereka akan mempunyai fungsi inverse.

Inverse sin(x) dan cos(x)Kita ketahui bahwa sin(x) dan cos(x) bersifat periodik sehingga tidak mempunyai inverse. Jadi, bila kita batasi pada interval di mana fungsi ini monoton sejati, maka fungsi batasan ini akan mempunyai inverse. Tapi bukan itu saja yang kita inginkan dari fungsi hasil batasan ini. Kita ingin agar untuk tiap x[-1,1], terdapat y sehingga y=sin-1(x). Demikian pula untuk cos-1(x).Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB59


Bila sin(x) dibatasi pada [0,/2], maka range sin(x) adalah [0,1]. Akibatnya, fungsi sin-1(x) hanya terdefinisi pada selang [0,1]. Dengan pertimbangan ini, kita memutuskan untuk membatasi sin(x) pada [- /2,/2] sebelum membangun inversenya. Dengan pemikiran serupa, kita batasi cos(x) pada [0,]. Jadi, sin-1(x) : domain = [-1,1] ; range = [- /2,/2] cos-1(x) : domain = [-1,1] ; range = [0,]


60

30



61


Definisi Inverse dari sin(x) dan cos(x) diperoleh dengan membatasi domainnya. y=sin-1(x) x=sin(y) dan y [-/2,/2] y=cos-1(x) x=cos(y) dan y [0,]

Contohsin 1

(

1 2

2 =

)

4

cos 1 ( 1 ) = 2

3

5 sin 1 sin = 4 4 3 cos 1 cos = 2 2 62


31


Inverse tan(x) dan sec(x)Seperti halnya pada fungsi sin(x) dan cos(x), dengan pertimbangan yang sama, fungsi-fungsi tan(x) dan sec(x) juga dibatasi domainnya untuk membangun inversenya. Batas standar untuk tan(x) adalah (- /2,/s) sedangkan untuk sec(x) adalah [0, /2)(/2, ] (lihat gambar berikut.) Definisi y=tan-1(x) x=tan(y) dan y (- /2,/s) y=sec-1(x) x=sec(y) dan y [0, /2)(/2, ] Catatan: beberapa buku lainnya menggunakan batasan yang berlainan.Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB63



64

32


Contoh

tan 1 (1) =

4

tan 1

( ) = 61 3

Dari definisi sec(x)=1/cos(x), kita dapat memperoleh bahwa1 sec1 ( y ) = cos 1 y

Contoh sec1 ( 1) = cos 1 ( 1) =

1 sec 1 ( 2 ) = cos 1 = 6 2

Sebagai latihan jelaskan bahwa batasan untuk fungsi cot(x) dan csc(x) seperti terlihat pada gambar berikut memenuhi syarat seperti kita lakukan pada waktu membangun inverse bagi fungsi trigonometri sebelumnya.Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB65



66

33


Teorema (i) sin ( cos 1 x ) = 1 x 2 (ii) cos ( sin 1 x ) = 1 x 2 (iii) sec ( tan 1 x ) = 1 + x 22 x 1, (iv) tan ( sec 1 x ) = x 2 1,

jika x 1 jika x 12

Contoh

2 2 2 2 2 4 5 sin 2 cos 1 = 2sin cos 1 cos cos 1 = 2 1 i = 3 3 3 9 3 3

Ke empat identitas juga berguna untuk memperoleh turunan inverse fungsi trigonometrik sebagai berikut.


67


Turunan inverse fungsi umumnya dapat ditentukan dengan menggunakan Aturan Rantai. Sebagai contoh, misalkan y=sin-1x sehingga x=sin y

Lakukan turunan pada kedua ruas terhadap x, dengan menggunakan aturan Rantai pada ruas kanan. Maka1 = cos yDx y = cos ( sin 1 x ) Dx ( sin 1 x ) = 1 x 2 Dx ( sin 1 x )

Dengan demikian,

Dx ( sin 1 x ) =

1 1 x2


68

34


Teorema Turunan Inverse Trigonometrik (i) (ii) Dx sin 1 x = Dx cos 1 x = 1 1 x2 1 , 1 < x < 1

1 < x < 1 , 1 x2 1 (iii) Dx tan 1 x = , 1 + x2 1 (iv) Dx sec 1 x = , x >1 x x2 1

ContohDx sin 1 ( 2 x 2 ) = 1 1 ( 2x2 2

)

Dx ( 2 x 2 ) =

4x 1 ( 2x2 )2


69


Seperti biasa, rumus turunan akan memberi kita rumus integral, sebagai bonus.(i) a x 1 1 x (ii) 2 dx = tan 1 + C 2 a a a +x 1 1 x (iii) dx = sec1 + C 2 2 a a x x a2 2

1

dx = sin 1

x +C a

Contoh

2 2

1 1 x2

0

dx = sin 1 x

2 2 0

= sin 1

(

2 2 sin 1 0 =

)

4

0=

4


70

35


8. Fungsi Hiperbolik dan TurunannyaIngat kembali bahwa fungsi-fungsi sin(x) dan cos(x) disebut fungsi sirkular (circular functions). Ini disebabkan karena semua titik P=(cos(t),sin(t)) , memenuhi hubungan cos2(t)+sin2(t)=1 sehingga bila diplot akan membentuk lingkaran dengan persamaan x2+y2=1 Dilain pihak, kurva hiperbola mempunyai persamaan x2-y2=1Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB71


Misalkan x(t)=(et +e-t)/2 dan y(t)=(et -e-t)/2 . Periksalah bahwa kedua fungsi tersebut memenuhi hubungan x(t)2-y(t)2=1 Artinya, semua titik Q(t)=(x(t), y(t)) terletak pada hiperbola x2-y2=1. Maka kedua fungsi tersebut disebut fungsi hiperbolik. Definisi e x e x e x + e x sinh x = cosh x = 2 2 sinh x cosh x tanh x = coth x = cosh x sinh x 1 1 sec h x = csc h x = cosh x sinh xOki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB72

36


Satu Lagi Analogi Fungsi Sirkulir dan Hiperbolik Sebagai latihan perlihatkan bahwa luas daerah pada sektor AOP, dengan P=(cosh u,sinh u) adalah u/2.


73


Beberapa KesamaanBeberapa kesamaan berikut memberikan alasan mengapa namanama fungsi hiprebolik juga menggunakan nama fungsi-fungsi trigonometrikcosh 2 x sinh 2 x = 1 tanh 2 x = 1 sech 2 x coth 2 x = 1 + csc h 2 x sinh 2 x = 2sinh x cosh x cosh 2 x + 1 2 cosh 2 x 1 sinh 2 x = 2 cosh 2 x =Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB74

37



75



76

38


Turunan Fungsi Hiperbolik dan IntegralTurunan Dxsinhx dan Dxcoshx dapat ditentukan langsung dari definisinya. x x x xe e Dx sinh x = Dx 2 e +e = 2 = cosh x e x + e x e x e x Dx cosh x = Dx = sinh x = 2 2

Maka, dengan hasil ini turunan fungsi-fungsi hiperbolik lainnya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan-aturan dasar turunan.Teorema Dx sinh x = cosh x Dx tanh x = sech 2 x Dx cosh x = sinh x Dx coth x = cosh 2 x Dx sech x = sech x tanh x Dx csch x = csch x coth xOki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB77


Berdasarkan hasil di atas kita dapat menyusun integral fungsi hiperbolik.Teorema

sinh xdx = cosh x + C sech x tanh xdx = sech x + C cosh xdx = sinh x + C csch x coth xdx = csch x + C sech xdx = tanh x + C cosh xdx = coth x + C2 2

ContohDx sinh 2 (1 3x ) = 2sinh x (1 3 x ) Dx sinh (1 3 x ) = 2sinh x (1 3 x ) cosh (1 3x ) Dx (1 3x ) = ( 3) 2sinh x (1 3 x ) cosh (1 3x )Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB78

39


ContohHitunglah a.

t

2

tanh ( 1 ) dt dan b. t1 t2

e

x

sinh ( e x ) dx

a. Misalkan u = 1 sehingga du = t

dt. Maka

t

2

tanh ( 1 ) dt = tanh ( 1 ) t 2 dt = tanh udu t t

Selanjutnya misalkan v = cosh u sehingga dv = sinh udu. Jadi, sinh u 1 tanh udu = cosh u du = v dv = ln v + C = ln cosh 1t + C b. Misalkan u = e x sehingga du = e x dx. Maka

e

x

sinh ( e x ) dx = sinh u du = cosh u + C = cosh e x + C


79


Inverse Fungsi HiperbolikKarena Dxsinhx=coshx>0 dan juga Dxtanhx=sech2x>0 maka keduanya mempunyai inverse. Sedangkan, misalnya fungsi coshx dan juga sechx tidak injektif sebagaimana terlihat dari grafiknya. Maka keduanya tidak mempunyai inverse . Untuk mendefinisikan inverse dari coshx dan sechx, kita harus membatasi domainnya. Definisi Definisikan y=sinh-1x jika x=sinh y (domain x(-,) ) Definisikan y=cosh-1x jika x=cosh y dan y[0,) (domain x[1,) ) -1x jika x=sech y dan y[0,) Definisikan y=sech (domain x(0,1] )Oki Neswan, Ph.D. Depertemen Matematika ITB80

40


Berikut adalah grafik fungsi-fungsi di atas dan inversenya


81


Fungsi-fungsi tanh x, coth x, dan csch x bersifat injektif sehingga mempunyai inverse dan ditulis sebagai tanh-1 x, coth -1 x, dan csch -1 x Berikut adalah grafik fungsi-fungsi di atas dan inversenya.


82

41


Kalikan kedua ruas y =2

Karena fungs-fungsi hiperbolik didefinisikan atas dasar fungsi eksponensial, maka tidak heran bila inversenya dapat ditulis dengan menggunakan fungsi ln x. Sebagai contoh, y=cosh x, x0. x xe +e 22

dengan 2e x untuk memperoleh

2 ye x = ( e x ) + 1 atau ( e x ) 2 ye x + 1 = 0, x 0. Ini adalah persamaan kuadrat untuk e x . Rumus kuadrat memberikan dua jawab yaitu ex = 2 y + 4 y2 4 = y + y 2 1 atau e x = y y 2 1. 2 Namun jawab kedua tidak berlaku karena kurang dari 1. x = cosh 1 y = ln y + y 2 1

Dengan demikian,


(

)

83


Teorema

sinh 1 x = ln x + x 2 + 1 , cosh 1 x2 x 1 1 < x < 1 0 < x 1 , x0

( x = ln ( x +

) 1) ,

tanh 1 x =

1 1 x ln , 2 1+ x

Sebagai latihan, tentukan dan lakukan untuk coth-1x.

1 + 1 x2 x 1 1 x2 c sch 1 x = ln + x x sech 1 x = ln


84

42


Kelima fungsi diatas terturunkan (mempunyai turunan) (Latihan: tentukan turunan dari coth-1x.)Teorema Dx sinh 1 x = Dx cosh 1 x = 1 x +1 12

x2 1 1 Dx tanh 1 x = 1 x2 1 Dx sech 1 x = x 1 x2 1 Dx csch 1 x = x 1 + x2

x >1 1 < x < 1 0 < x 0 x>a>0

1 1 x 2 2 tanh a + C x < a dx a a 2 x 2 = 1 1 x coth + C x2 > a2 a a dx 1 x x a 2 x 2 = a1 sech a + C

0< x

fungsi transenden i[1]

Documents