Funkcije raspodjele u kvantnoj fiziciFermi-Diracova raspodjela

Promatramo sustav fermiona u kojem postoji

g1 stanja energije E1 g2 stanja energije E2 (pri tome je E2 > E1) g3 stanja energije E3 (pri tome je E3 > E2 > E1) . . .

Neka u sustavu

N1 estica ima energiju E1 N2 estica ima energiju E2 N3 estica ima energiju E3 . . .

Odredimo termodinamiku vjerojatnost B za neke proizvoljno zadanevrijednosti broja estica N1, N2, N3, . . .

Kako se radi o fermionima, kvantna stanja mogu biti ili popunjena iliprazna.

1. korak: Promatramo samo jedan energijski novo Ei. Od gikvantnih stanja te energije Ni kvantnih stanja bit e popunjeno, doke ih gi Ni biti prazno:

popunjena stanja

prazna stanja

Nova mikroskopska stanja sustava se dobiva zamjenjivanjem punih ipraznih kvantnih stanja.

Ako se zamjenjuju samo popunjena stanja ne dobiva se novomikroskopsko stanje sustava. Isto vrijedi ako se zamjenjuju praznastanja.

Ukupni broj permutacija je gi!, broj permutacija popunjenih stanjaje Ni!, a broj permutacija praznih stanja je (gi Ni)!. Dakle brojmoguih razliitih razmjetaja Ni estica u gi kvantnih stanja je:

Bi =gi!

Ni!(gi Ni)!.

Uzimajui u obzir sve energijske nivoe, ukupni broj svih moguihmikroskopskih stanja:

B =

i

gi!

Ni!(gi Ni)!.

korak 2: traimo stanje maksimalne entropije, za zadane konstantnevrijednosti ukupnog broja estica N i ukupne energije U . Sluimo semetodom Langrangeovih multiplikatora:

d

dNi(lnB N U) = 0

d

dNi

j

[gj ln gj Nj lnNj (gj Nj) ln (gj Nj)

Nj EjNj] = 0

ln(gi NiNi

)

Ei = 0

Odnosno, dobiva se funkcija raspodjele:

i =Nigi

=1

eEi+ + 1.

Fermi-Dirakova

funkcija raspodjele

Sve tri funkcije raspodjela

Boltzmannova raspodjela za klasine estice:

i =Nigi

= e(Ei+)

(

B = N !

i

gNiiNi!

)

Bose-Einsteinova raspodjela za bozone:

i =Nigi

=1

eEi+ 1

(

B =

i

(Ni + gi 1)!Ni!(gi 1)!

)

Fermi-Dirakova raspodjela za fermione:

i =Nigi

=1

eEi+ + 1

(

B =

i

gi!

Ni!(gi Ni)!

)

Za sve tri funkcije raspodjele:

=1

kBT =

kBT(kemijski potencijal)

Entropija je:S = kB lnB

Uvjet maksimuma entropije uz Lagrangeove multiplikatore:

d(S kBN kBU) = 0 dS = kB

S

N

U,V

dN + kB

S

U

N,V

dU

Iz termodinamike znamo da je

dS =1

T(dU + pdV dN)

Odnosno:(S

N

)

U,V

= T

= kB(S

U

)

N,V

= +1

T= kB

=

kBT

= +1

kBT

Dokaz je isti za sve tri raspodjele!

Napomena: Kemijski potencijal je energija potrebna da se esticadovede u sustav. On se treba odrediti iz uvjeta da je ukupni broj esticajednak N :

i

Ni =

i

gi

eEikBT 1

= N.

Granica klasine statistike

Funkcija raspodjele za bozone:

i =1

eEikBT 1

treba biti pozitivna za sve energije:

i 0 Ei > 0 Ei.

Spektar energija ogranien je s donje strane, tj. postoji najniakonana energija. Stanje najnie energije je osnovno stanje.

Za slobodne estice: min (Ei) = 0 Za vezane estice: min (Ei) < 0 (ali min (Ei) > ).

Za slobodne estice uvjet pozitivnosti funkcije raspodjele:

i 0 Ei > 0 min (Ei ) > 0 < 0

zahtijeva da je kemijski potencijal negativan.

Razvojem bozonske funkcije raspodjele:

i =eEikBT

1 eEikBT

< 1

eEikBT

1 + eEikBT + e

2EikBT + . . .

kvantne korekcije

eEikBT

dobiva se klasina Boltzmannova raspodjela.

Ostali lanovi u razvoju (kvantne korekcije) bit e mali ako je:

e

kBT 1 odnosno || kBT (i takoer < 0)

Tada je takoer:i 1

Da bi vrijedila klasina statistika potrebno je da je broj estica naspramdegeneracije energijskog nivoa, Ni/gi, mali.

Fermionska funkcija raspodjele:

i =1

eEikBT + 1

> 0

je pozitivna bez obzira na mogue vrijednosti kemijskog potencijala ilienergije.

to se dogaa ako je < 0 i || kBT ?Funkcija raspodjele se moe razviti u red potencija:

i eEikBT

1

[

1 eEikBT + e

2EikBT . . .

]

Dobiva se klasina funkcija raspodjele, i pri tome je:

i =Nigi

1.

Da bi se dobila klasina raspodjela porebno se da su kvantna stanjaiste energije rijetko naseljena. Broj estica energije Ei treba biti punomanji od degeneracije energijskog nivoa gi.

Kod rijetko naseljenih energijskih novoa, estice kao da zadravajusvoju individualnost, a koju inae gube u kvantnoj fizici, pa se tadadobiva klasina funkcija raspodjele.

Rijetko naseljeni energijski novoi dobivaju se na visokim temperatu-rama, jer se tada estice rasporede po velikom broju energijskih stanja.Na niskim temperaturama, estice se preteno se nalaze na najniimenergijskim stanjima i tada uvjet Ni gi vie nije zadovoljen.

Visoke temperaute klasina statistika Niske temperaute kvantna statistika

Gustoa stanja

Kod izraunavanja srednjih vrijednosti treba raditi sumacije po kvantnimstanjima, ili po energijama. Energije mogu biti bilo diskretne (kvantizi-rane) ili/i kontinuirane:

A

i

gi Ai i

{index i oznaavarazliite energije

}

A

j

Aj j

{index j oznaava

razliita kvantna stanja

}

Ako lanovi u sumaciji ovise samo o energiji, tada se sumacija pokvantnim stanjima moe odmah prevesti u sumaciju po energiji:

j

Aj j =

i

gi Ai i

gdje je gi broj kvantnih stanja energije Ei.(i je jedna od funkcija raspodjele)

Sumacija po kvantnim stanjima moe se zamijeniti s integracijom pofaznom prostoru:

j

Aj j

d

h3A (E)

Za slobodne estice koje se gibaju u kutiji volumena V :

d

h3=

1

h3

d3r d3p =V

h3

d3p

U sumaciji po kvantnim stanjima treba takoer uzeti u obzir i spinskestupnjeve slobode:

j

Aj j

spin

d

h3A (E) =

spin

V

h3

d3p A (E)

Suma po spinu daje faktor 2s+ 1 ako energija ne ovisi o spinu:

j

Aj j = (2s+ 1)V

h3

d3p A (E)

Ako fizikalna veliina iju srednju vrijednost raunamo, A, ovisi samoo energiji estice, tada je integraciju po impulsima mogue zamijenitis integracijom po energiji:

(2s+ 1)V

h3

d3p A(E) (E)

dE g(E) A(E) (E)

Energija je funkcija samo iznosa impulsa:

E =~p2

2m=

p2

2m(|~p| = p)

Integraciju po impulsima moemo provesti u sfernim koordinatama:

d3p =

d

dp p2 = 4

dp p2

te napraviti supstiticije:

p2 = 2m E

dp =

m

2EdE

Tada je

(2s+ 1)V

h3

d3p A(E) (E) =

= (2s+ 1)V

h34 m

2m

dEE A(E) (E)

=dE g(E) A(E) (E)

Usporeivanjem izraza nalazimo da je nepoznata funkcija g(E):

g(E) =2s+ 1

h3V 4 m

2m E

Funkcija g(E) zove se gustoa stanja. Ona govori o brojukvantnih stanja koja se nalaze u intervalu energije (E,E + dE).

g(E)

E

g(E) E

Gustoa stanja u sluaju kvantiziranih energija odgovara degeneracijienergijskih novoa:

j

Aj j =

spin

V

h3

d3p A(E) (E) =

{sumacija po

kvantnim stanjima

}

i

gi Ai i =

g(E) A(E) (E)

{sumacija po

energijskim novoima

}

Kod prorauna zraenja crnog tijela i kod fononskog titranja kristalaimali smo sumaciju po razliitim harmonikih oscilatorima, tj. povalnim brojevima:

HO

1 =

~k

1 V(2)3

d3k 1

=V

h3

d3p 1

{

jer je ~~k = ~pi ~ = h/2

}

Gustoa stanja se koristi prilikom prorauna srednjih vrijednosti:

Broj estica:

N =

i

Ni =

i

gi i =

0

dE g(E) (E)

=1

eEkBT 1

Unutranja energija:

U =

i

Ei Ni =

i

gi Ei i =

0

dE g(E) E (E)

Prosjena vrijednost:

A =

dE g(E) A (E)dE g(E) (E)

Jako degenerirani fermionski plin

Jako degenerirani fermionski plin = fermionski plin na jako niskimtemperaturama: kBT .

Funkcija raspodjele:

(E) = limT0

1

eEkBT + 1

=

{0 E >

1 E <

(E)

E0

T = 0

Kemijski potencijal na apsolutnoj nuli, (T = 0) = 0, zove seFermijeva energija, i oznaava se s EF .

Na apsolutnoj nuli, sva kvantna stanja energije manje od EF supopunjena, a kvantna stanja energije vee od EF su prazna.

Na apsoputnoj nuli, prosjena je energija razliita od nule, jer es-tice popunjavaju kvantna stanja od stanja minimalne energije pa doFermijeve energije. Dakle

p2

2m6= 3

2kBT = 0

Naka je pF impuls koji odgovara Fermijevoj energiji:

EF =p2F2m

. (Fermijev impuls)

Moemo definirati Fermijev valni broj i Fermijevu valnuduljinu:

pF = ~kF = ~2

F

Sva kvantna stanja za koje je impuls:

~p2

2m=

p2x + p2y + p

2z

2m 0

Povienjem temperature dio estica u bli-zini Fermijeve povrine (energije blizu EF )se prelazi u kvantna stanja energije veeod EF .

U blizini Fermijeve energije

(E) = 1e EkBT + 1

Vrijedi:

(E) + (+E) = 1 te takoer () = 12

Toan proraun unutranje energije je dosta sloen:

U(T )U(T = 0) =

0

dE g(E)E ((E,T )(E,T = 0))

(E) g(E)

EEF

2kBT (E) g(E)

EEF

2kBT

Funkciju raspodjele u blizini Fermijeve energije moemo aproksimiratis kosom ravnom crtom.

Broj pobuenih estica proporcionalan je temperaturi:

Npob = NkBT

EF

Pri tome se energija pobuenih estica poveala za iznos kBT .Promjena energija:

U = Npob kBT = N(kBT )

2

EF Toplinski kapacitet:

CV =

(U

T

)

V

= 2 NkBkBT

EF.

toan izraz je2

2

U sluaju klasinog plina

C(kl)V =

3

2NkB

pa je toplinski kapacitet

CV = C(kl)V

2

3

kBT

EF

Toplinski kapacitet je reduciran za faktor kBT/EF . Pri tome sene radi od efektu kvantizacije energije, nego je rezultat fermionskeprirode estica.

Postoji postupak kojim se nizom aproksimacija moe izraunati vrijed-nost bilo koje fizikalne veliine na konanoj temperaturi. Proceduraje poznata kao Sommmerfeldov razvoj. Radi se o razvoju popotencijama T/TF .

Kemijski potencijal dobiven Sommmerfeldovim razvojem:

(T ) = EF

[

1 2

12

(T

TF

)2]

(T TF )

Unutranja energija dobivena Sommmerfeldovim razvojem:

U =3

5NEF

[

1 +52

12

(T

TF

)2]

(T TF )

Iz izraza za unutranju energije slijedi da je

CV =2k2BN

2EFT

Entropija:

S =

T

0

dTCVT

+ S0 = S0=0

+2k2BN

2EFT

Aproksimacija nepotpune degeneracije vrijedi dok god je:

T TF =EFkB

Jako degenerirani realni fermionski sustavi

U jako degenerirane fermionske plinove moemo ubrojiti:

tekui helij 3He elektrone u metalimaUvjet degeneracije:

~2

2m

[62

2s+ 1

N

V

]2/3

kBT

moe se zadovoljiti ako je gustoa estica velika, ili ako je masa esticamala, odnosno ako je temperatura dovoljno mala.

Tekui helij 3He

Uvjet degeneracije zadovoljen je tek na dovoljno niskim temperaturamakada plin postane tekuina dovoljno velike koncentracije.

Pri normalnom tlaku 3He prelazi u tekuinu na temperaturi T = 3, 2K. Tada je:

gustoa = 81 kg/m3

masa m = 5 1027 kg

Koncentracija estica:

N

V=

m= 1, 6 1028 m3

Fermijeva energija:

EF =~2

2m

[32N

V

]2/3

= 6, 7 1023 J TF =EFkB

= 4, 2 K

Vodljivi elektroni u metalu

U metalima elektroni iz vanjske ljuske nisu vezani za atom, nego semogu slobodno gibati po cijelom volumenu metala. Primjeri metala:Li, K, Na, Rb, Cs, Au, Ag, Cu, . . . .

Ako se u vanjskoj ljusci nalazi jedan elektron, koncentracija elektronaje ista kao i koncentracija atoma:

(Cs) 9, 3 1027 m3(Au) 5, 9 1028 m3

Masa elektrona je oko 5000 manja od mase 3He, dakle:

EF (elektroni) 5000 EF (3He)

Dakle TF (elektroni) 5000 TF (3He) 10000 20000 K.

Uvjet degeneracije:TF T

zadovoljen je za sve normalne temperature.

Slobodni elektroni doprinose toplinskom kapacitetu metala:

C(el)V =

2

2NkB

T

TF

Na dovoljno niskim temperaturama toplinski kapacitet slobodnih elek-trona bit e dominantan doprinos ukupnom toplinskom kapacitu me-tala (toplinski kapacitet kristalne reetke je T 3).

U izolatorima toplinskog kapaciteta elektronskog plina nema, postojisamo doprinos od titranja reetke.