1

15.1계량경제학

추가주제들 -시계열Further Topics - Time series

제 15 강

15.2계량경제학

(약)정상성:정상시계열은그평균과분산그리고자기공분산함수가시간의변화에도불구하고일정한시계열임

시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들정상성(Stationarity)

i) tE y 2ii) var ty

iii) cov , cov ,t t s t t s sy y y y

1 , t t t ty y v v WNP

|<1 → stationary! Why?• AR(1):

• 강정상성(strict stationarity) 모든적률이시간에무관하게일정

• 백색잡음과정 (white noise process : WNP) 0,tE y 2var ,ty cov , cov , 0t t s t t sy y y y

2

15.3계량경제학

비정상성:비정상시계열은그평균이나분산또는자기공분산함수가시간의변화에따라변화는시계열임

시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들정상성(Stationarity)

• 상향추세또는하향추세를갖는시계열은비정상시계열임

=1, =0 → 상수항또는추세없는임의보행과정(random walk without a drift), 순수임의보행과정

=1, ≠0 → 상수항또는추세갖는임의보행과정 (random walk with a drift) : 확률적추세(stochastic trend)를갖는다>0 : 상방확률적추세, <0 : 하방확률적추세

• 임의보행과정(random walk process: RWP):1 , t t t ty y v v WNP

15.4계량경제학

대부분의비정상경제시계열은임의보행과정이거나임의보행과정에확정적추세(deterministic trend)가혼합된시계열로설명될수있다.

시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들정상성(Stationarity)

1) 1 , t t t ty y v v WNP

2) 1 , t t t ty y v v WNP

3) 0 1 1 , t t t ty t y v v WNP

( : rare specification ) 20 1 2 1 , t t t ty t t y v v WNP

• 대부분의비정상경제시계열은 1), 2), 3) 중에하나로만들어지는것으로간주될수있음

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15.5계량경제학시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들

AR(1) 과정

yt = yt-1 + 0.5et, etiid N(0,1) yt =yt-1 + et,

yt = 0.1+yt-1 + 0.5et, etiid N(0,1) yt =-0.1+yt-1 + et,

yt =0.5+0.5 yt-1 + et, etiid N(0,1) yt =0.5+0.9 yt-1 + et

• 정상시계열

• 비정상시계열(RWP w/o a drift)

• 비정상시계열(RWP with a drift)

15.6계량경제학시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들

Economic time series 1

4

15.7계량경제학시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들

Economic time series 2

15.8계량경제학

차분을통해정상시계열이되는경우이를차분정상시계열이라고함

시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들추세정상 vs. 차분정상

1) 1 , t t t t ty y v y v

2) 1 , t t t t ty y v y v

확정적추세의제거(detrend)를통해정상시계열이되는경우이를추세정상시계열이라고함

3) 0 1 0 1, t t t ty t v y t v

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15.9계량경제학

대부분의비정상시계열들은한번또는그이상의차분을취해주면정상시계열이됨

Such time series are called integrated processes.

시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들누적과정(Integrated Process)

The number of times a series must be differenced to make it stationary is the order of the integrated process, d. I(d)

15.10계량경제학시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들

단위근검정(Unit root test) : Dickey Fuller test (DF Test)

1t t ty y v

1 1 1

1

1

1

t t t t t

t t t

t t t

y y y y v

y y v

y y v

1)

1t t ty y v

0 1 1t t ty t y v

2)

3)

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15.11계량경제학시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들

단위근검정(Unit root test) : Dickey Fuller test (DF Test)

Critical Values for the Dickey-Fuller Test

Model 1% 5% 10%

2.56 1.94 1.62

3.43 2.86 2.57

3.96 3.41 3.13

Standard critical values 2.33 1.65 1.28

1t t ty y v

1t t ty y v

0 1 1t t ty t y v

타우(τ)검정통계량:

γ에대한 t값을디키-풀러(DF) 검정통계량또는타우(τ) 검정통계량이라하며, Dickey-Fuller가이타우통계량에대한임계값(critical value)을Monte Carlo실험을통해계산하여표로제시함

15.12계량경제학시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들

Augmented Dickey Fuller test (ADF Test)

ADF(Augmented DF)검정:오차항이계열상관되어있을경우이를고려하기위해고안된다음과같은모형설정으로부터이루어지는단위근검정을ADF검정이라고함

0 1 11

m

t t i t i ti

y t y a y v

• 증대된항의개수(m)는오차항의계열상관이없어지기충분한정도로결정함

• γ =0에대한ADF검정은 DF검정과동일한극한분포를가지며, 따라서동일한임계값을사용함

11

m

t t i t i ti

y y a y v

11

m

t t i t i ti

y y a y v

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15.13계량경제학시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들

(A)DF test example

1ˆ 1.5144 .0030

( tau) (-0.349) (2.557)t tPCE PCE 1

ˆ 2.0239 0.0152 0.0013( tau) (0.1068) (0.1917) (0.1377)

t tPCE t PCE

1 1 2ˆ 2.111 0.00397 0.2503 0.0412

( tau) ( 0.4951) (3.3068) ( 4.6594) ( 0.7679)t t t tPCE PCE PCE PCE

10.9969

( tau) ( 18.668)t tDPCE DPCE

PCE

15.14계량경제학시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들

허구적( or 가성)회귀(Spurious Regressions)

허구적회귀:회귀분석에있어서비정상시계열자료를사용할경우아무런관련없는변수들간에매우유의한것처럼보이는결과를얻을수있으며, 이러한회귀를허구적회귀또는가성회귀라고하며, 이경우그모수는해석가능한의미를갖지않는다.

yt = 1 + 2 xt + t

xt와 yt 가 I(1) 시계열일경우, 통상 t역시 I(1) 일것으로기대할수있는데, 실제로 t가 I(1)일경우이는허구적회귀임.

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15.15계량경제학

yt = 1 + 2 xt + t

where t = 1 t-1 + t

If 1 =1 least squares estimates of 2 mayappear highly significant even when true 2 = 0 .

시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들허구적( or 가성) 회귀(Spurious Regressions)

15.16계량경제학시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들

허구적회귀(Spurious Regressions): 예시

21 217.818 0.842 , .70

( ) (40.837)t trw rw R

t

1 1 1

2 1 2

1 2

:

: .

.

t t t

t t t

t t

rw y y v

rw x x v

v v

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15.17계량경제학

yt = 1 + 2 xt + t

xt와 yt 가 I(1) 시계열일경우, t가 I(1)인경우허구적회귀임.

하지만, t가 I(0)가되는흥미로운경우가있으며, 이때 xt 와 yt 는공적분되어있다(cointegrated)라고하며, 이경우위회귀식은공적분회귀로서,그모수는해석가능한의미를갖는다.

시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들공적분(Cointegration)

15.18계량경제학

I(1) 시계열변수들이 공적분되어있다는것은, 경제학적으로볼때, 이들변수들사이에장기적균형관계가존재함을의미하며, 공적분관계를만들어내는계수(coefficient)를공적분계수혹은공적분벡터라고함

시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들공적분(Cointegration)

Ex) PPP 이론 : 환율과물가수준의비

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15.19계량경제학

EG 검정:회귀식으로부터의잔차에대해 DF 또는ADF 검정을적용하는방법 : (Engle-Granger(EG) 혹은Augmented Engle-Granger(AEG) 검정이라고함)

시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들공적분(Cointegration) 검정

오차항이관측되지않으므로잔차를기반으로통계치가계산됨으로인해앞서의 (A)DF의임계치는부적절하며, Engle and Granger(1987) 가임계치를계산하였음

15.20계량경제학시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들

공적분(Cointegration): 예시

2

ˆ 171.4412+0.9672(t-stats) (-7.4808) (119.8712) 0.9940 0.5316

t tPCE PDI

R d

1ˆ ˆ0.2753(tau) (-3.7791)

t t

1 2 , (1), (1)t t t t tPCE PDI PCE I PDI I

이경우 Engle and Granger의 1% 임계치는 -2.5899이며, 따라서위회귀식은공적분회귀이고, 추정계수 0.9672는장기적혹은균형한계소비성향으로해석됨

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15.21계량경제학

yt = 1 + 2 xt + 3 (yt-1 – 1 – 2xt-1) + t

yt = yt - yt-1 and xt = xt - xt-1

시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들오차수정모형 (Error Correction Model)

xt 와 yt 가공적분되어있다면, 변수의단기적변화를전기의장기적균형으로부터의이탈에연계시키는다음의식이성립한다. : Granger’s Representation Theorem.

= 1 + 2 xt + 3 εt-1+ t

15.22계량경제학

yt = 1 + 2 xt + 3 (yt-1 – 1 – 2xt-1) + t

시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들오차수정모형 (Error Correction Model)

= 1 + 2 xt + 3 εt-1+ t

εt-1 : 공적분회귀로부터의오차항(균형오차)의 1기과거값

t-1기에서 t기사이의 yt의변화가같은기간의 xt의변화에대한즉시적인조정과 t-1기의균형오차에대한조정을포함하고 있음

균형오차의조정으로나타내는항(3)을오차수정항이라하는데, 이는 –일것으로기대되며, 그절대값의크기는균형으로얼마나빨리회복되는가를나타냄

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15.23계량경제학시계열자료 (Time Series Data)와관련된주제들

오차수정모형 (Error Correction Model) : 예시

실제로는 를사용

1

2

ˆ ˆ11.6918+0.2906 0.0867(t-stats) (5.3249) (4.1717) (-2.6003) 0.1717 1.9233

t t tPCE DPI

R d

1 1 1 2 1ˆ ˆˆ

t t tPCE PDI

0.2906은단기적소비성향으로해석할수있음