f(x) sono delle leggi, in molti casi espresse da equazioni y=f(x) a … · il riquadro seguente...
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Funzioni numeriche elementari
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Le funzioni numeriche (in simboli f(x) ), sono delle leggi, in molti casi espresse da equazioni
y=f(x) , che associano dei numeri appartenenti a un certo insieme di partenza (A) , ad altri
numeri appartenenti ad un secondo insieme di arrivo (B) . Il domino (D)è fomato dall'insieme
degli elementi di A che possono essere associati agli elementi di B : l'insieme degli elementi
di B associati agli elementi di A, detti immagini, formano codominio (C).
La lettera x , che sta ad indicare tutti i valori che possono essere sostituiti nella formula f(x),
prende il nome di variabile indipendente , mentre la lettera y indica invece tutti i valori
ottenibili dai rispettivi valori di x e prende il nome di variabile dipendente. Nel linguaggio
matematico si usa dire che un certo elemento By è l'immagine dell'elemento Ax
secondo una data funzione f(x) quando y=f(x) e, in simboli si può scrivere: yx:f .
Pertanto, l'uso delle due lettere sta anche ad indicare dei singoli elementi e non solo degli
insiemi di numeri.
Le funzioni possono essere rappresentate in forma di diagrammi, di tabelle e grafici
cartesiani e di formule matematiche nel caso delle funzioni numeriche. Esistono quattro
tipologie principali di funzioni numeriche elementari, ciascuna dotata di propria formula:
Proporzionalità diretta: xky ; legge lineare: qxky
Proporzionalità quadratica: 2xky ; proporzionalità inversa:x
ky .
Funzione: è una relazione tra due insiemi A e B che associa ad ogni elemento di A
uno ed un solo elemento di B.
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Gli insiemi numerici di partenza e di arrivo di un funzione numerica, se non specificato
diversamente coincidono con l'insieme ℝ dei numeri reali. I numeri reali si possono
considerare un sovrainsieme dei numeri razionali. I numeri reali, oltre ai numeri razionali che
si possono esprimere come frazioni oppure numeri decimali, includono l'insieme
dei numeri irrazionali: gli irrazionali, come ad esempio le radici numeriche di
numeri razionali che non sono quadrati di altri numeri, come ... 3 ,,2 , sono espressi
in formato decimale con un numero di infinite cifre non periodiche dopo la virgola e
non possono scriversi come frazioni. La radice quadrata numerica y di un numero
positivo x è definita in questo modo: 2yxxy . Alcuni esempi:
23993 , 2
7
10
49
100
7
10
49
100
, 251256251 ,,, ,56 .
Analogalmente, si definisce la radice n -esima positiva di un dato numero quel
numero che elevato all'esponente Nn fornisce il numero di partenza:
nn yxxy . Ad esempio: 33 327273 . Dimostriamo che il
numero 2 è un numero irrazionale, ovvero non si può esprimere come rapporto
tra due numeri interi primi tra loro (cioè senza divisori comuni). Infatti, se per assurdo
supponiamo che esistano due numeri interi q,p primi tra loro, tali che q
p2 :
per la definizione di radice quadrata si ha quindi 22
2
q
p, per cui si sarebbe vera la
relazione 22 2 qp . Il numero 2p dovrebbe essere un numero pari essendo
divisibile per 2 e, di conseguenza, il numero p srebbe necessariamente pari in
quanto i quadrati dei numeri dispari sono dispari. Ma allora tale numero si può
esprimere come np 2 con n numero intero. Da ciò deriva, dopo avere
sostituito nella relazione precedente: 22 24 qn , ovvero 22 2 nq . Quindi, si
può ripetere il ragionamento affermando ora che anche q è un numero pari
essendo pure esso divisibile per 2 ma questa è una contraddizione in quanto i due
numeri p eq sarebbero entrambi pari e quindi con un divisore 2 in comune,
contrariamente all'ipotesi. Ne consegue, pertanto, che 2 è irrazionale.
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Il riquadro seguente mostra la rappresentazione insiemistica dei vari tipi di numeri.
I numeri rrazionali quali, ad esempio, la radice quadrata di 2 o la radice quadrata di 5 si
rappresentano anche essi lungo una retta orientata, collocati tra due interi consecutivi:
222221414213612 21 ....., ,
23535223606825 22 ......,
In generale, i numeri irrazionali si possono approssimare ad un numero prestabilito di cifre
dopo la virgola, arrotondando l'ultima cifra, per eccesso se la cifra successiva è 5
oppure per difetto se l'ultima cifra è 5 . Ad esempio, rappresentiamo la radice di 5:
con 1 cifra dopo la virgola 225 , per difetto, con 2 cifre 2425 , per eccesso.
Ogni numero reale è determinato da due serie di numeri decimali approssimanti,
rispettivamente quelli per difetto e quelli per eccesso che convergono al numero stesso:
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eccesso per Serie
2514214151414312
difetto per Serie
414214141411411 ,,,,................,,,,
Grafici delle funzioni
Grafico di un funzione y=f(x), è 'insieme dei punti del piano cartesiano di coodinate P[x;f(x)].
I grafici si possono ottenere, in pratica, calcolando un certo numero di valori della variabile y in
corrispondenza dei rispettivi valori attribuiti alla variabile x in base alle rispettive formule, da porre
prima in una tabella e poi come punti di un piano cartesiano OXY associati alle coppie di coodinate.
Maggiore è il numero dei punti calcolati e migliore, in generale, è la rappresentazione della funzione
anche se, per talune funzioni come ad esempio la retta, sono sufficienti anche solo 2 o 3 coppie di valori.
Passiamo ora a esaminare i tipi più comuni di funzioni semplici.
Proporzionalità diretta: xky
Si tratta di una retta che passa sempre per
l'origine O(0;0), diretta verso l'alto da sinistra a
destra per k>0 e, invece, diretta verso il basso da
sinistra a destra nel caso di valori di k<0.
Esempio:
X
Y x y
-4 -6
-2 -3
0 0
2 3
4 6
xy 23
uX
uY
_____________________________________
Esempio:
X
Y
xy 32
x y
-6 4
-3 2
0 0
3 -2
6 -4
uX
uY
Legge lineare: qxky
Si tratta di una retta che passa sempre per il
punto A(0; q), diretta verso l'alto da sinistra a
destra per k>0 e, invece, diretta verso il basso
da sinistra a destra per valori di k<0.
Esempio:
X
Y
121
xy x y
-4 -3
-2 -2
0 -1
2 0
4 1
uX
uY
__________________________________
Esempio:
X
Y
22 xy x y
-2 6
-1 4
0 2
1 0
2 -2
uX
uY
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Proporzionalità quadratica: 2xky
Il grafico della proporzionalità quadratica è
una curva, la parabola, che passa sempre
per l'origine O(0; 0) ed è rivolta verso l'alto
per k>0 e verso il basso per k<0.
Esempio:
X
Y
x y
�
-4 4
-2 1
0 0
2 1
4 4
241 xy
Esempio
X
Y
�
231 xy
In questo esempio si notino le due diverse
spaziature delle tacche tra i numeri: quella
dell'asse Y, formata da 3 tacche, permette di
rappresentare facilmente i valori di y della
tabella che hanno il denominatore 3 .
Proporzionalità inversa: xky
La curva descritta dalla formula, detta
iperbole, è diviso in due rami simmetrici
rispetto all'origine O(0;0), nel IO e nel IIIO
quadrante se k>0 e nel IIO e IVO se k<0.
Esempio:
-6 6
-6
6
X
Y
xy
6
�
Esempio
X
Y
xy
8
�
x y
-8 1
-4 2
-2 4
-1 8
0
1 8
2 -4
4 -2
8 -1
-4 4
4
-4
Si noti come la curva tende a salire verso l'alto o
scendere verso il basso in prossimità del valore
x=0, avvicininandosi all'asse Y senza però
toccarlo: l'asse Y, in questo caso, è detto
asintoto della curva.
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Dalle tabelle alle formule
Riconoscere una legge a partire dai dati di una tabella è un tipo di esercizio molto importante che ha
delle applicazioni dirette in ogni ambito scentifico. Infatti, la fisica, la biologia e le altre scienze , si
servono di modelli dei fenomeni naturali in forma di leggi matematiche che descrivono il legame tra le
grandezze e, tali leggi, derivano dalla interpretazioni di dati sperimentali raccolti dall'osservazione e
dalla ricerca. Ad ogni tipo di legge è associata una proprietà caratteristica basata su una semplice
operazione di calcolo tra i valori delle variabili.
DI seguito esaminiamo le proprietà e illustriamo gli esempi di riconoscimento delle quattro tipologie di
funzioni elementari considerate:; in genere, a partire dai dati di una tabella, si costruisce una nuova
colonna (o riga se la tabella è orizzontale) nella quale si effettua il calcolo: se il risultato è un valore
costante (k) esso è quello che caratterizza la formula da scrivere. Poi, in base alla formula trovata, si
possono eventualmente aggiungere ulteriori valori alla tabella e, in base ad essi, tracciare il grafico della
funzione. Le caratteristiche delle quattro funzioni consiserate sono esperesse da semplici relazioni che
derivano dalle loro formule:
. :inversa alitàProporzion
. :quadratica alitàProporzion
. :lineare Legge
. :diretta alitàProporzion
22
kyxx
ky
kx
yxky
kx
qyqxky
kx
yxky
Per riconoscere un tipo di funzione a partire dai dati di una tabella, distinguendola dagli altri tre tipi,
spesso non è necessario effettuare calcoli ma basta osservare i dati stessi in relazione alle proprietà:
La proporzionalità diretta include il punto O(0; 0); la legge lineare include invece il punto A(0; q) dove q
è un numero diverso da 0. La proporzionalità quadratica include i punti A(1; k) e B(-1;k) dove k è la
costante della f(x). La proporzionalità inversa non include mai i tipi di punti 0(0;0), A(0; q) e A(k; k3).
Esempi di riconoscimento di funzioni in base alle due prime colonne delle tabelle numeriche
x y y/x
-3 2 -2/3
0 0 ------
3/2 -1 -2/3
-3/5 2/5 -2/3
xy 3
2
x y (y-2)/x
-1/3 3 -3
0 q=2 -------
2/3 0 -3
1 -1 -3
23 xy
x y y/x2
-1 4/3 4/3
0 0 -------
1 4/3 4/3
-1/2 1/3 4/3
2
3
4xy
x y xy
-6 5/3 -10
1 -10 -10
-3/2 20/3 -10
1/4 -40 -10
xy
10
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Determinazione di valori numerici associati da una funzione
Tipici esercizi consistono nel calcolare un valore della variabile y (immagine) associato ad un dato valore
della x o, viceversa, calcolare l'elemento x che associa un dato valore di y. Il calcolo di tali valori, in generale,
si può ottenere risolvendo le equazioni che esprimono le funzioni con incognite una delle due lettere.
Quando l'incognita è x si possono applicare i due principi di equivalenza delle equazioni:
1O: trasportare da un membro all'altro un numero qualsiasi cambiato di segno che equivale a sommare o
sottrarre dai due membri uno stesso numero;
2O: moltiplicare o dividere per uno stesso numero diverso da zero i due membri dell'equazione;
Ricordiamo, preliminarmente, che il valore di y associato ad un dato valore di x si può scrivere, in simboli,
sia come y(x) che come f(x) .
Esempio 1. Data xxf 3
2, calcolare i valori mancanti:
A) .........f 6 ; B) .........f
4
9 ; C) 1.....f ; D)
6
1......f
A) 463
26 f ; B)
2
3
4
9
3
2
4
9
f ;
C) 2
3
2
31
3
2
2
3 1
3
2 xxx ; D)
4
1
2
3
6
1
3
2
2
3
6
1
3
2 xxx .
Esempio 2. Data 32 xxf , calcolare i valori mancanti:
A) ........f
2
3 ; B) ........f 1 ; C) 1.....f ; D)
2
3......f
A) 032
32
2
3
f ; B) 53121 f ;
C) 2
2
4
2
242312132
x
xxxx
;
D) 4
3
2
1
2
32
2
1
2
323
2
32
2
332
xxxx
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Nell'esempio che segue, relativo alla funzione di proporzionalità quadratica, per determinare il valore della
x, noto il valore della y (punti C e D) , si ottengono due opposti valori dalla radice quadrata: ax .
Ad esempio, le soluzioni di 1002 x sono 10100 x ; infatti, entrambi i numeri (+10) e
(-10) se elevati al quadrato forniscono il valore iniziale 100.
Esempio 3. Data 2
2
1xxf , calcolare i valori mancanti:
A) ........f 2 ; B) ........f
3
2 ; C) 8.....f ; D)
9
2......f .
A) 242
12
2
12 2
f ; B) 9
2
9
4
2
1
3
2
2
1
3
22
f ;
C) 41616282
128
2
1 222 xxxx ;
D) 3
2
9
4
9
42
9
2
2
12
9
2
2
1 222 xxxx .
Esempio 4. Data x
xf12
, calcolare i valori mancanti:
A) ........f 6 ; B) ........f
3
4 ; C) 8.....f ; D)
4
3......f .
A) 26
126
f ; B) 9
4
312
34
12
3
4
f ;
C) 2
312
8
1
1212
8
1
128
12 x
xx
x ;
D) 16123
4
1212
3
4
124
312 x
xx
x .