g rmenes polares e invariantes de singularidades de curvas...

Introduccion historica y Preliminares Invariantes polares Morfismos entre superficies Resultados finales

Germenes Polares e Invariantes de Singularidadesde curvas planas

Maria Alberich Carraminanaen colaboracion con: Vıctor Gonzalez Alonso

XVII Encuentro de TopologıaZaragoza, 26 de Noviembre de 2010


Indice

1 Introduccion historica y Preliminares

2 Invariantes polares

3 Morfismos entre superficies

4 Resultados finales


1 Introduccion historica y PreliminaresSingularidades de curvas planasClasificacion de singularidadesBlowing-up y puntos infinitamente proximosCurvas planas y equisingularidadCurvas polares y sus puntos baseObjetivos





Singularidades de curvas planas

Notacion y contexto

O ∈ S punto liso de una superficie compleja.



Notacion y contexto


(x , y) coordenadas locales centradas en O.



Notacion y contexto



OS,O ≡ anillo local de S en O: funciones holomorfas en unentorno de O.Es isomorfo a C{x , y}, el anillo de series de potenciasconvergentes en un entorno del origen.Es un dominio de factoritzacion unica.



Notacion y contexto



OS,O ≡ anillo local de S en O: funciones holomorfas en unentorno de O.Es isomorfo a C{x , y}, el anillo de series de potenciasconvergentes en un entorno del origen.Es un dominio de factoritzacion unica.

(S ,O) es localmente isomorfa a (C2, (0, 0)).



Germenes de curva

(Germen de) curva en O: ξ = {P ∈ U | f (P) = 0} f funcionholomorfa en un entorno U de O, f (O) = 0.

Representa g ∈ C{x , y} la misma curva ξ sii fges un

elemento invertible del anillo C{x , y}.



Germenes de curva




o(f ) ≡ Orden de anulacion de f ∈ OS,O :Mınimo orden del desarrollo de Taylor de f en O.



Germenes de curva




o(f ) ≡ Orden de anulacion de f ∈ OS,O :Mınimo orden del desarrollo de Taylor de f en O.

Ramas de ξ ↔ factores de f .ξ irreducible sii f irreducible.



Ejemplos de singularidades: curvas algebraicas elıpticas

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2

−2

−1.5

−1

−0.5

0.5

1

1.5

2



Entender la complejidad de las singularidades

Medidas de complejidad de la singularidad ξ : f = 0 en O:

Cono tangente:Terminos de grado o(f ) del desarrollo de Taylor de f en O.



Entender la complejidad de las singularidades

Medidas de complejidad de la singularidad ξ : f = 0 en O:

Cono tangente:Terminos de grado o(f ) del desarrollo de Taylor de f en O.

Polıgono de Newton:Terminos iniciales del desarrollo de Taylor de f en O seguntodas las posibles ponderaciones de las variables x e y ,

ej: x iy j tiene grado ponderado mi + nj con la ponderacion(m, n).



Analisis de singularidades: enfoque algebro-analıtico

Parametrizacion de las ramas de ξ : f = 0 (generalizacion Teoremafuncion implıcita):Desarrollo de Newton-Puiseux en potencias con exponentefraccionario (denominador acotado)

s =∑

i≥r

aixin .





s =∑

i≥r

aixin .

Cumple:

f (x , s) = 0;

s y sus conjugadas σε =∑

i≥r εiaix

in , εi = 1, dan la ecuacion

g =∏

εi=1(y − σε) de una rama γ de ξ,i.e. g es un factor irreducible de f en C{x , y};

(tn, s(tn)) es una parametrizacion uniformizante de γ.





s =∑

i≥r

aixin .

Ejemplo: Cubica nodal y2 = x2 + x3.

s1 = x + 1/2x2 − 1/8x3 + 1/16x4 − 5/128x5 + . . .

s2 = −x − 1/2x2 + 1/8x3 − 1/16x4 + 5/128x5 + . . .




Isaac Newton, 1676 Victor Puiseux, 1850


Clasificacion de singularidades

Analisis de singularidades: enfoque algebro-geometrico

La parametrizacion de Newton-Puiseux permite definir

Definicion

Dadas dos curvas ξ, ζ de ecuaciones f y g, se definine sumultiplicidad de interseccion (en O) como

[ζ.ξ] =∑

γ rama de ξ

∑

εn=1

o(g(x , σε)).

Es simetrica (Formula de Halphen-Zeuthen).




La parametrizacion de Newton-Puiseux permite definir

Definicion


[ζ.ξ] =∑

γ rama de ξ

∑

εn=1

o(g(x , σε)).

Es simetrica (Formula de Halphen-Zeuthen).

Tambien permite introducir la clasificacion por equisingularidad:

Definicion

Dos curvas son equisingulares si se comportan del mismo modocuando son intersecadas por otras curvas.




Definicion


[ζ.ξ] =∑

γ rama de ξ

∑

εn=1

o(g(x , σε)).

Definicion

Dos curvas son equisingulares si se comportan del mismo modocuando son intersecadas por otras curvas.

¿Que invariantes del desarrollo de Newton-Puiseux de las ramas deξ permiten recuperar su clase de equisingularidad?




Max Noether, 1884 Federigo Enriques, 1915



Analisis de singularidades: enfoque topologico

(Germen de) curva (U, ξ) ≡ s.e. topologico de C2 = R

4.

Tiene dimension 1 sobre C, luego dimension 2 sobre R.

Cortando con una pequena esfera S3 de R4 centrada en O y vıa

proyeccion estereografica de S3 sobre R3: S3 ∩ ξ nos da un enlace.




(Germen de) curva (U, ξ) ≡ s.e. topologico de C2 = R

4.

Tiene dimension 1 sobre C, luego dimension 2 sobre R.

Cortando con una pequena esfera S3 de R4 centrada en O y vıa

proyeccion estereografica de S3 sobre R3: S3 ∩ ξ nos da un enlace.

Ejemplo: Cubica cuspidal y2 = x3.




Mas ejemplos:

Cubica cuspidaly2 − x3

Cubica nodaly2 − x2 − x3

(y2 − x3)(y2 − x3 − y10)




Definicion

Dos curvas ξ, ζ son topologicamente (analıticamente)equivalentes si existen entornos U,V de O y un homeomorfismo(isomorfismo analıtico) ϕ : U −→ V , ϕ(O) = O, de manera que

ϕ(U ∩ ξ) = V ∩ ζ.




Definicion


ϕ(U ∩ ξ) = V ∩ ζ.

¿Que informacion es topologica (analıtica)?¿Que invariantes del desarrollo de Newton-Puiseux de las ramas deξ permiten recuperar su clase de equivalencia topologica(analıtica)?




Definicion


ϕ(U ∩ ξ) = V ∩ ζ.

¿Que informacion es topologica (analıtica)?¿Que invariantes del desarrollo de Newton-Puiseux de las ramas deξ permiten recuperar su clase de equivalencia topologica(analıtica)?

¿Que relacion hay entre las clasificaciones modulo equivalenciatopologica (analıtica) y modulo equisingularidad?




Teorema (Brauner, Burau, Zariski)

Equivalencia topologica ≡ equisingularidad.

Demostracion: vıa interpretacion de las singularidades como nudostoricos (grupo fundamental, polinomio de Alexander).




Teorema (Brauner, Burau, Zariski)

Equivalencia topologica ≡ equisingularidad.

Demostracion: vıa interpretacion de las singularidades como nudostoricos (grupo fundamental, polinomio de Alexander).

Objetivo inmediato: Introducir los conceptos para dar unaformulacion precisa al concepto de equisingularidad.

Clase de equisingularidad representada mediante un diagrama dearbol: Diagrama de Enriques.


Blowing-up y puntos infinitamente proximos

Blowing-up (explosion)

Definicion

El blowing-up de O en S es π : S −→ Sholomorfa tal que

π es isomorfismo fuera de O.

π−1(O) = E ∼= P1C.

Expresion en coordenadas: (x , z) 7→ (x , zx).



Blowing-up (explosion)

Definicion

El blowing-up de O en S es π : S −→ Sholomorfa tal que

π es isomorfismo fuera de O.

π−1(O) = E ∼= P1C.

Expresion en coordenadas: (x , z) 7→ (x , zx).

E ≡ divisor excepcional ≡ primer entornoinfinitesimal de O.

Parametriza las direcciones tangentes en O.



Puntos infinitamente proximos

Punto del k-esimo entorno: Punto del primer entorno de unpunto del entorno (k − 1)-esimo.





Ası obtenemos NO , los puntos infinitamente proximos a O.Codifican la informacion infinitesimal alrededor de O.





Ası obtenemos NO , los puntos infinitamente proximos a O.Codifican la informacion infinitesimal alrededor de O.

πp : Sp → S . Mınima succession de explosiones tales que p aparececomo punto propio en la superficie Sp.

NO esta parcialmente ordenado: p 6 q ⇔ πq : Sq → Spπp→ S



Proximidad

Fijado p ∈ NO , el divisor excepcional π−1p (O) ⊂ Sp descompone

como⋃

q<p Eq .

Definicion

p es proximo a q si p ∈ Eq. Se escribe p → q.

p es libre/satelite si es proximo a un/dos puntos.



Proximidad

Fijado p ∈ NO , el divisor excepcional π−1p (O) ⊂ Sp descompone

como⋃

q<p Eq .

Definicion

p es proximo a q si p ∈ Eq. Se escribe p → q.

p es libre/satelite si es proximo a un/dos puntos.

Definicion

p es satelite de q (o q-satelite) si q es el ultimo punto libre queprecede p.


Curvas planas y equisingularidad

Transformacion de curvas: multiplicidades y valores

Multiplicidad de ξ en O: eO(ξ) = o(f ). Es independiente de laecuacion.





Transformada total de ξ: ξp.Germen en p de ecuacion π∗

p(f ) = f ◦ πp.Contiene el divisor excepcional (multiplesveces).El valor de ξ en p es vp(ξ) = ep(ξp).





Transformada total de ξ: ξp.Germen en p de ecuacion π∗

p(f ) = f ◦ πp.Contiene el divisor excepcional (multiplesveces).El valor de ξ en p es vp(ξ) = ep(ξp).

Transformada estricta de ξ: ξp.Se obtiene eliminando las componentesexcepcionales de ξp.La multiplicidad de ξ en p esep(ξ) = ep(ξp).Decimos que ξ pasa por p, o que p pertenecea ξ, si ep(ξ) > 0.



Algunas relaciones

Igualdades de proximidad:

ep(ξ) =∑

q→p

eq(ξ).



Algunas relaciones

Igualdades de proximidad:

ep(ξ) =∑

q→p

eq(ξ).

Relacion multiplicidades-valores:

vp(ξ) = ep(ξ) +∑

p→q

vq(ξ).



Multiplicidad de interseccion

Definicion


[ξ.ζ] = dimCOS,O/(f , g).




Definicion



Las definiciones de multiplicidad de interseccion algebraica ygeometrica coinciden.




Definicion



Ejemplo: Interseccion de una parabola y una tangente = 2.

[ξ.ζ] = dimC

C{x , y}

(x , x − y2)= dimC

C{x , y}

(x , y2)

= dimC{α+ βy |α, β ∈ C} = 2




Definicion



Teorema (Formula de Noether.)

[ξ.ζ] =∑

p∈NO

ep(ξ)ep(ζ).



Puntos singulares, equisingularidad y diagramas de

Enriques

Definicion (Puntos singulares.)

Un punto p ∈ NO es singular de ξ si

ep(ξ) > 2 (es multiple), o bien

p es satelite, o bien

ξp es tangente al divisor excepcional.




Enriques






S(ξ) ≡ conjunto de puntos singulares de ξ con multiplicidades.Se puede representar con diagramas de Enriques.




Enriques






S(ξ) ≡ conjunto de puntos singulares de ξ con multiplicidades.Se puede representar con diagramas de Enriques.

Teorema

ξ1 i ξ2 son equisingulares (topologicamente equivalentes) si y solosi S(ξ1) y S(ξ2) tienen el mismo diagrama de Enriques.



Un ejemplo

γ1

γ2

γ3

γ4

γ5

32

32

15

12

21

4 32

1

1

1

ξ : (y4−α1x11)(y3−α2x

8)(y9−α3x22)(y12−α4x

29)(y4−α5x9) = 0


Curvas polares y sus puntos base

Definicion

ξ : f = 0 curva reducida (sin factores multiples),

η : g = 0 curva lisa (eO(η) = 1).

La g-polar de ξ respecto de la ecuacion f es la curva

ζ = Pg (f ) :∂(f , g)

∂(x , y)= det

∣

∣

∣

∣

∣

∂f∂x

∂f∂y

∂g∂x

∂g∂y

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.



Definicion




ζ = Pg (f ) :∂(f , g)

∂(x , y)= det

∣

∣

∣

∣

∣

∂f∂x

∂f∂y

∂g∂x

∂g∂y

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

Ejemplos: g = y → ζ : ∂f∂x

= 0, g = x → ζ : ∂f∂y

= 0.



Definicion




ζ = Pg (f ) :∂(f , g)

∂(x , y)= det

∣

∣

∣

∣

∣

∂f∂x

∂f∂y

∂g∂x

∂g∂y

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.

Ejemplos: g = y → ζ : ∂f∂x

= 0, g = x → ζ : ∂f∂y

= 0.

Es independiente de las coordenadas.

Depende de las ecuaciones f i g , pero no tiene importancia.

ζ es transversa si y solo si η no es tangente a ξ.



Polares genericas

Ideal jacobiano: J(ξ) =(

f , ∂f∂x, ∂f∂y

)

⊆ OS,O . Es independiente

de la ecuacion f .

Sistema jacobiano: J (ξ) = {ζ : h = 0 | h ∈ J(ξ)}. Contienetodas las polares.

Las curvas ζ ∈ J (ξ) de multiplicidad eO(ζ) = eO(ξ)− 1 sonpolares y forman un abierto de Zariski⇒ polares genericas tienen multiplicidad eO(ξ)− 1.



Polares genericas

Ideal jacobiano: J(ξ) =(

f , ∂f∂x, ∂f∂y

)

⊆ OS,O . Es independiente

de la ecuacion f .

Sistema jacobiano: J (ξ) = {ζ : h = 0 | h ∈ J(ξ)}. Contienetodas las polares.

Las curvas ζ ∈ J (ξ) de multiplicidad eO(ζ) = eO(ξ)− 1 sonpolares y forman un abierto de Zariski⇒ polares genericas tienen multiplicidad eO(ξ)− 1.

Teorema

Polares genericas son equisingulares y comparten los mismospuntos singulares.



Algunos comentarios

Encierran mucha informacion analıtica:

Teorema (Mather y Yau)

ξ1 y ξ2 son analıticamente equivalentes si y solo si

OS,O/J(ξ1) ∼= OS,O/J(ξ2).



Algunos comentarios

Encierran mucha informacion analıtica:

Teorema (Mather y Yau)

ξ1 y ξ2 son analıticamente equivalentes si y solo si

OS,O/J(ξ1) ∼= OS,O/J(ξ2).

¿Que informacion es topologica?¿Que invariantes de las curvas polares de ξ permiten recuperar suclase de equisingularidad?



Caso irreducible

¿Que invariantes de las curvas polares de ξ permiten recuperar suclase de equisingularidad?

Teorema (Merle)

La clase de equisingularidad de ξ (irreducible) esta determinadapor eO(ξ) y sus invariantes polares.

No es valido en el caso general.



Caso irreducible


Teorema (Merle)


No es valido en el caso general.Pregunta: ¿La clase de equisingularidad de la polar genericadetermina la clase de la curva?



Caso irreducible


Teorema (Merle)


No es valido en el caso general.Pregunta: ¿La clase de equisingularidad de la polar genericadetermina la clase de la curva?Respuesta: No, no es suficiente para determinar los invariantespolares.



Caso general

Invariante adecuado: BP(J (ξ)) (puntos base del sistemajacobiano), los puntos infinitamente proximos a O compartidospor las polares genericas de ξ.Son los singulares de las polares y algunos mas.



Caso general


Teorema (Casas-Alvero)

BP(J (ξ1)) = BP(J (ξ2)) ⇒ S(ξ1) = S(ξ2).



Caso general



BP(J (ξ1)) = BP(J (ξ2)) ⇒ S(ξ1) = S(ξ2).

Observacion

El recıproco es falso: hay ejemplos de curvas equisingulares conpolares genericas no equisingulares.



Ejemplo

5

13

17

5

31

31

15

111

4 32 1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

11

1

BP(J (ξ))


Objetivos

Objetivos

Entender bien la relacion entre los puntos singulares S(ξ) de unacurva reducida y los puntos base BP(J (ξ)) de su sistemajacobiano.

En particular, entender como S(ξ) se puede recuperar a partir deBP(J (ξ)) buscando un algorismo.

BP(J (ξ)) 99K S(ξ)

Herramientas:

Invariantes polares (clasico).

Morfismos entre superficies (nuevo).



2 Invariantes polaresDefinicionesResultados principales




Definiciones

Puntos de ruptura

Definicion

p ∈ NO es de ruptura de ξ si ξp tiene al menos tres tangentesdiferentes, o equivalentemente, si

ξ tiene al menos dos puntos libres en el primer entorno de p, obien

p es satelite y ξ algun punto libre en el primer entorno de p.

R(ξ) ≡ conjunto de puntos de ruptura de ξ.


Definiciones

Puntos de ruptura

Definicion




Rp(ξ) ≡ conjunto de puntos de ruptura de ξ satelites de p.


Definiciones

Puntos de ruptura

Definicion




Rp(ξ) ≡ conjunto de puntos de ruptura de ξ satelites de p.

Observacion

Los puntos maximales de S(ξ) son puntos de ruptura⇒ recuperando R(ξ) recuperamos S(ξ) sin multiplicidades.

BP(J (ξ)) 99K R(ξ) 99K S(ξ)


Definiciones

Ejemplo

R(ξ)


Definiciones

Invariantes polares

p ∈ R(ξ) γp, curva irreducible por p con punto libre en elprimer entorno y no en ξ.

Definicion (Teissier)

El invariante polar asociado a p es

Iξ(p) = I (p) =[ξ.γp]

eO(γp)=

vp(ξ)ep(γp)

eO(γp).

Es independiente de la eleccion de γp.


Definiciones

Invariantes polares

p ∈ R(ξ) γp, curva irreducible por p con punto libre en elprimer entorno y no en ξ.

Definicion (Teissier)

El invariante polar asociado a p es

Iξ(p) = I (p) =[ξ.γp]

eO(γp)=

vp(ξ)ep(γp)

eO(γp).

Es independiente de la eleccion de γp.

I(ξ) ≡ {I (p) | p ∈ R(ξ)} se puede calcular a partir de un diagramade Enriques de S(ξ),⇒ es un invariante topologico (Le, Michel y Weber).


Definiciones

Dos resultados clave

ζ polar transversa de ξ, γ rama de ζ. Definimos

Iγ =[ξ.γ]

eO(γ).


Definiciones



Iγ =[ξ.γ]

eO(γ).

Teorema

{Iγ} = {I (q) | q ∈ R(ξ)} ≡ I(ξ), donde γ recorre todas las ramasde ζ.


Definiciones



Iγ =[ξ.γ]

eO(γ).

Teorema

{Iγ} = {I (q) | q ∈ Rp(ξ)} ≡ Ip(ξ), donde γ recorre todas lasramas de ζ tal que p es su ultimo punto libre en comun con ξ.


Definiciones



Iγ =[ξ.γ]

eO(γ).

Teorema


Lema

Iγ se puede calcular a partir de BP(J (ξ)) como

Iγ =[BP(J (ξ)).γ]

eO(γ)+ 1.


Definiciones



Iγ =[ξ.γ]

eO(γ).

Teorema


Lema

Iγ se puede calcular a partir de BP(J (ξ)) como


eO(γ)+ 1.

BP(J (ξ)) → I(ξ) 99K R(ξ) 99K S(ξ)


Resultados principales

Generalizacion

Para cualquier p ∈ NO tomamos γp como antes y definimos

Iξ(p) = I (p) =[ξ.γp]

eO(γp)=

vp(ξ)ep(γp)

eO(γp).

Tambien es independiente de la eleccion de γp.

Tambien se puede calcular a partir de un diagrama de Enriques deS(ξ).



Un nuevo orden en NO : ≺

Se puede definir un nuevo orden (parcial) ≺ a NO .

Se puede extender a curvas irreducibles.

γ1

γ2

γ3

γ4

O

p1p2p3

p4

p5

p6

p7p8

O ≺ p8 ≺ p7 ≺ . . . ≺ p1

p2, . . . , p8 ≺ γ1

p3, . . . , p8 ≺ γ2 ≺ p1

p5, . . . , p8 ≺ γ3 ≺ p1, . . . , p3

p8 ≺ γ4 ≺ p1, . . . , p6



Comportamiento de los I (p)

El orden ≺ esta directamente relacionado con el grafo dual de unacomposicion de explosiones, y tambien con el orden de lasvaloraciones de OS,O .




El orden ≺ esta directamente relacionado con el grafo dual de unacomposicion de explosiones, y tambien con el orden de lasvaloraciones de OS,O .⇒ permite estudiar con mucho detalle el comportamiento de loscocientes I (p):

Teorema

Si p ≺ q, entoncesI (p) 6 I (q).

La desigualdad es estricta si y solo si existe una rama γ de ξ talque p ≺ γ.




El orden ≺ esta directamente relacionado con el grafo dual de unacomposicion de explosiones, y tambien con el orden de lasvaloraciones de OS,O .⇒ permite estudiar con mucho detalle el comportamiento de loscocientes I (p):

Teorema

Si p ≺ q, entoncesI (p) 6 I (q).

La desigualdad es estricta si y solo si existe una rama γ de ξ talque p ≺ γ.

Resultados similares (Le, Michel y Weber; Casas-Alvero) para elproblema recıproco: determinar comportamiento de polaresgenericas a partir de la (clase de equisingularidad de) la curva.



Ejemplo

321

641

791

1552

2363

3164

2233

3815

5387

6949

2884

92012

{I (p) | p ∈ S(ξ)}



Un pequeno problema

BP(J (ξ)) → I(ξ) 99K R(ξ) 99K S(ξ)

Para calcular S(ξ) es suficiente recuperar los cocientes I (p), dadoque su comportamiento esta muy bien determinado por el teoremaanterior.



Un pequeno problema

BP(J (ξ)) → I(ξ) 99K R(ξ) 99K S(ξ)


Problema: No conocemos los cocientes I (p) ya que no conocemoslos valores vp(ξ).



Un pequeno problema

BP(J (ξ)) → I(ξ) 99K R(ξ) 99K S(ξ)


Problema: No conocemos los cocientes I (p) ya que no conocemoslos valores vp(ξ).

Solucion: Utilizar los morfismos entre superficies para aproximar losvalores vp(ξ).




3 Morfismos entre superficiesTroncos y alturas



Troncos y alturas

Definicion

O ∈ S ,O ′ ∈ T puntos en superficies complejas.

(Germen de) morfismo analıtico:ϕ : U ⊆ S −→ V ⊆ T , ϕ(O) = O ′.

(x , y), (u, v) coordenadas centradas en O y O ′ ϕ = (f , g), paraciertas f , g ∈ OS,O , f (O) = g(O) = 0.


Troncos y alturas

Definicion

O ∈ S ,O ′ ∈ T puntos en superficies complejas.

(Germen de) morfismo analıtico:ϕ : U ⊆ S −→ V ⊆ T , ϕ(O) = O ′.

(x , y), (u, v) coordenadas centradas en O y O ′ ϕ = (f , g), paraciertas f , g ∈ OS,O , f (O) = g(O) = 0.

Multiplicidad de ϕ: n = eO(ϕ) = mın{o(f ), o(g)}.Es independiente de las coordenadas.


Troncos y alturas

Tronco y altura

lα,β = {αx + βy = 0}: recta generica por O.

La imagen directa ϕ∗(lα,β) se puede parametrizar por

v = S(u, θ) =∑

i<m

aiuin + θ(α, β, u)u

mn .


Troncos y alturas

Tronco y altura



v = S(u, θ) =∑

i<m


mn .

La parte fija∑

i<m aiuin determina T = T (ϕ) ⊆ NO′ : el tronco de

ϕ. Es independiente de las coordenadas.


Troncos y alturas

Tronco y altura



v = S(u, θ) =∑

i<m


mn .

La parte fija∑

i<m aiuin determina T = T (ϕ) ⊆ NO′ : el tronco de

ϕ. Es independiente de las coordenadas.

El entero m tambien es independiente de las elecciones. Es laaltura de T .


Troncos y alturas

Extension a NO

Podemos extender estos conceptos a cualquier punto p ∈ NO :

Consideremos la composicion ϕp = ϕ ◦ πp : Sp −→ S −→ T , ydefinimos


Troncos y alturas

Extension a NO



np = ep(ϕp),


Troncos y alturas

Extension a NO



np = ep(ϕp),

mp = altura de Tp = T (ϕp).


Troncos y alturas

Multiplicidades del jacobiano

Dado un morfismo ϕ = (f , g), definimos el germen jacobiano deϕ:

J(ϕ) =∂(f , g)

∂(x , y)= det

∣

∣

∣

∣

∣

∂f∂x

∂f∂y

∂g∂x

∂g∂y

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.


Troncos y alturas

Multiplicidades del jacobiano

Dado un morfismo ϕ = (f , g), definimos el germen jacobiano deϕ:

J(ϕ) =∂(f , g)

∂(x , y)= det

∣

∣

∣

∣

∣

∂f∂x

∂f∂y

∂g∂x

∂g∂y

∣

∣

∣

∣

∣

= 0.


Para cualquier p ∈ NO tenemos

ep(J(ϕ)) =

m + n − 2 si p = O,

mp + np −mp′ − np′ − 1 si p → p′,

mp + np −mp′ − np′ −mp′′ − np′′ si p → p′, p′′.





4 Resultados finalesReinterpretacion del problemaEl algorismoEjemplo


Reinterpretacion del problema

Interpretacion: polar ≡ jacobiana de un morfismo.

Podemos pensar BP(J (ξ)) como los puntos comunes a dospolares genericas, y en particular como los puntos singulares (yalgunos mas) de ζ, una polar generica de ξ.

I.e., podemos pensar BP(J (ξ)) como los puntos singulares (yalgunos mas) del jacobiano J(ϕ) de un morfismo

ϕ = (f , g) : U ⊆ S −→ C2,

donde

f es una ecuacion de ξ, y

g determina una curva lisa no tangente a ξ.



Calculo de multiplicidades y alturas

Para puntos de BP(J (ξ)) y sus satelites, podemos calcular

np =

1 si p = O,∑

p→q

nq en caso contrario.



Calculo de multiplicidades y alturas

Para puntos de BP(J (ξ)) y sus satelites, podemos calcular

np =

1 si p = O,∑

p→q

nq en caso contrario.

mp =

eO(BP(J (ξ))) + 1 si p = O,

ep(BP(J (ξ))) +mq + 1 si p → q,

ep(BP(J (ξ))) +mq +mq′ si p → q, q′.



Relacion con los valores

Teorema

Para puntos de BP(J (ξ)) y sus satelites se tiene

vp(ξ) 6 mp,

con desigualdad estricta si y solo si todas las ramas de ξ son ≺ p ono comparables.

En particular, en los puntos de ruptura tenemos igualdad.



Relacion con los valores

Teorema


vp(ξ) 6 mp,

con desigualdad estricta si y solo si todas las ramas de ξ son ≺ p ono comparables.

En particular, en los puntos de ruptura tenemos igualdad.

vp(ξ)

10

2023

46

69

90

160 230mp

10

2025

49

70

90

160 230



Aproximando los cocientes I (p)

Lema


np =eO(γ

p)

ep(γp).

⇒ I (p) =vp(ξ)

np6

mp

np.



Aproximando los cocientes I (p)

Lema


np =eO(γ

p)

ep(γp).

⇒ I (p) =vp(ξ)

np6

mp

np.

Observacion

Si p ≺ q y tenemos igualdad I (p) = I (q), entonces tenemosdesigualdad estricta vq(ξ) < mq .


El algorismo

Etapa A: Recuperacion de R(ξ)

BP(J (ξ)) → I(ξ)−→R(ξ) 99K S(ξ)

Proposicion

Para cada rama γ de ζ = J(ϕ) existe exactamente un punto deruptura qγ cumpliendo:

es satelite de pγ , el ultimo punto libre comun a ξ y γ, y

Iγ = I (qγ).


El algorismo


BP(J (ξ)) → I(ξ)−→R(ξ) 99K S(ξ)

Proposicion

Para cada rama γ de ζ = J(ϕ) existe exactamente un punto deruptura qγ cumpliendo:

es satelite de pγ , el ultimo punto libre comun a ξ y γ, y

Iγ = I (qγ).

Proposicion

pγ es proximo a p′γ , el ultimo punto de γ tal quemp

np< Iγ y

el punto de γ en su primer entorno es libre.


El algorismo


Para cada rama γ de ζ tenemos que hacer:

Calcular Iγ = [BP(J (ξ)).γ]eO (γ) + 1.

Encontrar el punt pγ comparando los cocientesmp

npcon Iγ .

A partir de q = pγ y mientras Iγ 6= mp

np

Simp

np< Iγ cambiamos q por su satelite mayor.

Simp

np> Iγ cambiamos q por su satelite menor.


El algorismo


Para cada rama γ de ζ tenemos que hacer:

Calcular Iγ = [BP(J (ξ)).γ]eO (γ) + 1.

Encontrar el punt pγ comparando los cocientesmp

npcon Iγ .

A partir de q = pγ y mientras Iγ 6= mp

np

Simp

np< Iγ cambiamos q por su satelite mayor.

Simp

np> Iγ cambiamos q por su satelite menor.

Proposicion (Una mejora)

Si Iγ no es el maximo invariante polar de los satelites de pγ ,entonces qγ es el ultimo pγ-satelite en γ.


El algorismo

Etapa B: Recuperacion de los valores vp(ξ)

BP(J (ξ)) → I(ξ) → R(ξ)−→S(ξ)

Una vez que ya tenemos los puntos de ruptura de ξ, y por tantolos puntos singulares, queremos recuperar las multiplicidades deestos puntos en ξ, o equivalentemente, los valores vp(ξ).

En los puntos de ruptura tenemos directamente vp(ξ) = mp.

Tenemos caracterizados muchos otros puntos donde tambientenemos igualdad: donde ya vemos una rama � p.

En los puntos que faltan tenemos que mirar q, el maximosatelite en su grupo, i poner

vp(ξ) ∈

[

npnq

vq(ξ),npnq

vq(ξ) + 1

)

.


Ejemplo

Un ejemplo.

5

13

17

5

mp

np

γ

321

641

801

1552

2363

3164

2234

3815

5387

6949

2884

821 82

1

1632

2383

6969

92212

2904

2463

7209

95412298

4

92012


eO(γ)+ 1 =

31 · 2 + 31 · 2 + 15 · 2 + 12 + 12

2+ 1 = 79


Gracias por su atencion.

g rmenes polares e invariantes de singularidades de curvas...

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