g2 ceded1o ramos daniela matematicas basica-1

Actividad de aprendizaje 2.1.

1. Del texto guía Algebra Intermedia ”de Allen R. Angelde la página 120 resuelva el ejercicio 10:

10) Exprese la desigualdad utilizando una recta numérica, en notación de intervalo y como un conjunto solución.

−4<x<3−4<x<3 x>−4 yx<3

Notacion de Intervalo¿−4,3¿

conjuntoSoluci ó nes{x∨−4<x<3 }

2. Del texto guíade la página 121 resuelva los ejercicios 33, 38 y 60:

Resuelva cada desigualdad e indique su conjunto solución.

33) −3 x+1<3 [ (x+2 )−2 x ]−1

−3 x+1<3(2−x )−1

−3 x+1<6−3x−1

−3 x+1<5−3 x

1<5

Se cumple para todos los reales.

Conjunto Solución: { x|−∞<x<∞ }

38) −16<5−3 n≤13

−21←3 n≤ 8

7>n≥−83

osea

−83

≤ n<7

conjunto Solución es :{n∨−8/3 ≤n<7 }

-4 3

60)−x+3<0 y 2 x−5≥3

−x<−32 x ≥ 8x>3 x≥ 4

conjunto Soluci ó nes : { x|3<x≥ 4 }


1. Del texto guía de la página 579 y 580 resuelva los ejercicios 16, 28, 42 y 68:

Resuelva cada desigualdad y grafique la solución en la recta numérica.

16) 3 n2−7 n≤6

3 n2−7 n−6 ≤ 0

(n−3 ) (3 n+2 )≤ 0

n ≤ 3n≥−23

Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalos.

28)(3c−1 )(c+4 )(3c+6 )≤03 c−1 ≤ 0c+4 ≤ 03 c+6≤0

c ≤13

c≤−4 c ≥−2

En Notacion de intervalo , solución ]−∞;−4 ]U [−2,13]

42) Determinar todos los valores de x para los que f(x) satisface las condiciones que se indican en cada uno de los siguientes ejercicios.

f ( x )=x3−9 x f ( x )≤0

x3−9 x=0x ( x2−9 )=0

x (x+3 ) ( x−3 )=0x=0 x=−3 x=3

-2/3 0 3

-3 30

Intervalo Valor de Prueba x3−9 x ≤ 0

(−∞ ,−3 ] -4 -28 Verdadero

[−3,0 ] -1 8 Falso

[ 0,3 ] 1 -8 Verdadero

[3 ,+∞ ) 4 28 Falso

Solución (−∞,−3 ]∪ [0,3 ]

68) Resuelva la desigualdad y de la solución en notación de intervalos:

a

z−5

( z+6) ( z−9 ) )≥0

Z−5(Z+6 ) ( Z+9 )

=0

Z−5=0 Z ≠−6 Z ≠ 9Z=0

Intervalo Valor de PruebaZ−5

(Z+6 ) ( Z−9 ) ≥ 0

−∞ ,−6 -7 -0,75 Falso

-6,5 0 0.09 Verdadero

5,+9 6 -0.027 Falso

+9+∞ 10 +0,3125 Verdadero

NOTACIÓN DE INTERVALOS:(−6 , 5 ] U (9 ,+∞)


1. Del texto guía de la página 582 resuelva los ejercicios 103 y 104:

Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalos.

103) x4−10 x2+9≥0

( x2 )2−10 x2+9>0U 2−10 U +9=0

(U−9 ) (U−1 )=0U=9 U=1

X2=9 X2=1X=± 3 X=±1

Intervalo Valor de Prueba X 4−10 X2+9 ¿0(−∞ ,−3 ) -4 105 Verdadero

(−3 ,−1 ) -2 -15 Falso

(−1,1 ) 0 9 Verdadero

(1,3 ) 2 -15 Falso

(3 , ∞ ) 4 105 Verdadero

Solucion: (−∞,−3 ] U [−1,1 ] U ¿

104)26 x4−x2+25≤0

x2=−b±√b2−4 ac2 a

=1±√12−4 (26 )(25 )

2(26 )=1±√−2599

52Son valores complejos, y como a = 26>0, toda la expresión será positiva para todo valor de x que pertenece a los reales.Tal que, para la condición de desigualdad del ejercicio no existe ninguna solución.

Solución: x∈ {φ }

2. Del texto guía de la página 581 resuelva el ejercicio 82 y 94:82) Resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica

x+6x+2

≥1

x+6x+2

≥1;yx+2≠0

x+6x+2

−1≥0

x+6−x−2x+2

≥0

4x+2

≥0

x≠−2Este valor divide la recta numérica en 2 intervalos.Tabla de prueba:

Intervalo Valor de prueba 4x+2

¿0

A: (−∞ ; −2 ) -3 -4 Falso

B: (−2 ; +∞ ) 0 2 Verdadero

2

Solución en la recta numérica:

94). Cuál es la solución de la desigualdad, explique su respuestax2

( x−3 )2≥0

Solución: x∈ℜ/x≠3Esta desigualdad consta de 2 factores, cada uno con exponente par, lo cual siempre produce valores positivos, razón por la cual esta expresión siempre será positiva, por tal motivo para todo valor de x esta desigualdad se cumple, a excepción de x = 3 porque se presenta una división para cero.


1. Del texto guía de la página 132-3 resuelva los ejercicios 28, 40, 66 y 90:Determine el conjunto solución para cada ecuación o desigualdad:

28) | 3 z+5

6|−2 =7

−( 3 z+56 )=7+2

3 z+5=9 (−6 )

z=−54−53

=−593

. Si está dentro del intervalo de validez.

-------------------------------------------

( 3 z+56 )=7+2

3 z+5=9 (6)

z=54−53

=493

. Si está dentro del intervalo de validez.

Soluciones: x1 = -59/3;x2 = 49/3.

Conjunto Solución:{−593

,493 }

40) |2 x−1

9|≤5

9

9( 2 x−19 )≤ 9( 5

9 ) 9( 2 x−19 )≥ 9(−5

9 )2 x−1≤ 5 2 x−1≥−5

2 x≥−5+12 x≤ 5+1

x≥−42

=x≥−2

x≤62=x≤ 3

Solución:

El conjunto Solución {x∨−2≤ x≤ 3 }

66) |5 t−10 |=| 10−5 t |

5 t−10=10−5 t 5 t−10=− (10−5 t )5 t+5 t=10+10 5 t−10=−10+5t10 t=20

5 t−5 t=−10+10

t=2010

0=0 t=2 Se anula.

Conjuntosolución:{2 }

90)| 1

3y+3 |=|2

3y−1|

-2 0 3

0 2

13

y+3=23

y−113

y+3=−( 23

y−1)y+9=2 y−3

13

y+3=−23

y+1

y−2 y=−3−913

y+ 23

y=1−3

− y=−12 y1=−2

y2=12

Verificando:

|13

(12 )+3|=|23

(12 )−1| |13

(−2 )+3|=|23

(−2 )−1||4+3|=|8−1| |−2

3+3|=|−4

3−1|

7=7 |73|=|−7

3 |73=7

3

-2

Conjunto Solución: {−2,12 }


1. Del texto guía de la página 286 resuelva el ejercicio 42:

42) Determine la solución del sistema de desigualdades.

{|x−2|>1¿ {¿ ¿¿¿Aplicando la regla tenemos que:

x−2<1 Y x−2>1

x←1+2 x>1+2

x<1 x>3

0 2 4 6 8 12

-1

0

3

4

-2

DOMINIO

1

-3

4

5

-2

RANGO

solución 1 3

2.-Del texto guía de la página 167 resuelva el ejercicio 24:

24) Determine si la relación dada también es función y proporcione el dominio y el rango.

{ (−1 ; 1 ) , (0 ;−3 ) , (3 ;4 ) , (4 ;5 ) , (−2 ;−2 ) }Resolución :

El dominio es {−1,0,3,4 ,−2 } y el rango es {1 ,−3,4,5 ,−2 }

Solución

Ningún valor de X corresponde a más de un valor de Y. Por lo tanto, esta relación es una función

3.- Del texto guía de la página 169 resuelva el ejercicio 46:

46) Evalúe la función en los valores indicados.

q (t )=4−3 t+16 t2−2t3; determine: a) q ( 0 ) y b) q (3 )

Cuando q (0 )=4−3 (0 )+16 (0)2−2(0)3=4 q ( 0 )=4

Cuando q (3 )=4−3 (3 )+16(3)2−2(3)3=85 q (3 )=85

4.Del texto guía de la página 581 resuelva el ejercicio 98:

98) Resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica: ( x−4 )( x+2 )

x ( x+9 )≥0

x−4≥ 0 x ≥ 4 ; x+2 ≥ 0 x ≥−2 x+9 ≤0 x←9 x<0pero x ≠−9 y 0

Solución en la recta numérica:(−∞ ,−9¿∪ [−2 ,0¿∪ [ 4 , ∞+¿



52) Si

f ( x )= x

x2−9 y g ( x )= x+4

x−3 , determine: a) el dominio de f ( x ) , b) el dominio de

g ( x ) , c) ( f +g ) (x ) y d) el dominio de ( f +g ) (x ) .

a¿ f (x )= x

x2−9

f ( x )= x( x+3 ) ( x−3 )

x≠ 3 y x≠−3

El dominio es {xx

≠−3 y x ≠3}

4-9 -3 0-2

−∞ +∞

b)g ( x )= x+4

x−3

x≠ 3

El dominio es {xx

≠ 3}c) ( f +g ) (x )= x

x2−9+ x+4

x−3=

x+ (x+3 ) ( x+4 )( x+3 ) ( x−3 )

= x+x2+7 x+12(x+3 ) ( x−3 )

( f +g ) (x )= x2+8 x+12( x+3 ) ( x−3 )

=( x+6 ) ( x+2 )( x+3 ) ( x−3 )

El dominio es {xx

≠ 3 yx≠−3}

2.Del texto guía de la página 479 resuelva los ejercicios 120:

120) Si le indican que f ( x )=√x yg ( x )=−√ x−3 ,

a) Trace el gráfico de ( f +g ) ( x ) , y explique cómo determino su respuesta y

( f +g ) (x )=g ( x )+ f (x )=−√x−3+√x=−3

b) ¿Cuál es el dominio de ( f +g ) ( x )?El dominio de esta función son todos los números reales

3.Del texto guía de la página 554 resuelva los ejercicios 58; 60 y 66:

Determine todas las intersecciones del eje x en las funciones:

58) g ( x )=x−15√ x+56x−15√ x+56=0 Cambio la variable haciendo:

U 2=XU=√ X

U 2−15 U +56=0

-3

Y

X

42

30

20

12

(U−8 ) (U−7 )=0U−8=0 U−7=0U=8 U=7√ X=8 √ X=7X=82 X=72

X1=64 X2=49

Intersecciones con el eje x:(49 ,0 ) y (64 , 0 )

60) k ( x )=x+7√ x+12

x+7√x+12=0 Cambio la variable hacienda que U 2=X

U=√ XTengo: U 2+7 U+12=0

(U+4 ) (4+3 )=0U+4=0 U+3=0U=−4 U=−3

√ X=−4 √ X=−3X=(−4 )2 X=(−3 )2

X=16 X=9

Como se aprecia en la gráfica, el dominio es{ x / x≥ 0 } y no intersecta al eje x.

66) g ( x )=( x2−6 x )2−5 ( x2−6 x )−24

( x2−6 x )2−5 ( x2−6 x )−24=0Haciendo que U=( x2−6 x )Tengo:

U 2−5 U−24=0(U−8 ) (U +3 )=0

U−8=0 U+3=0U=8 U=−3X2−6 X=8 X2−6 X=−3

0 1 2 3 45 6 7 8 9

X Y

0 12

1 20

4 30

9 42

X2−6 X−8=0 X2−6 X+3=0

X=− (−6 ) ±√(−6 )2−4 (1 ) (−8 )

2 (1 )X=

− (−6 ) ±√(−6 )2−4 (1 ) (3 )2 (1 )

X=6 ±√682

=6 ± 2√172

X=6 ±√242

=6 ± 2√62

X=3 ±√17 X=3 ±√6

X1=3+√17 X3=3+√6X2=3−√17 X 4=3−√6

Intersección: (3+√17 , 0 ) (3−√17 ,0 ) (3+√6 ,0 ) (3−√6 , 0 )


1. Del texto guía de la página 568 resuelva el ejercicio 12 y 22:

12) Las graficas de f ( x )=ax2 y g ( x )=−ax 2

.tienen el mismo vertice para cualquier numero real,a , distinto de cero?. Explique

f ( x )=a x2 y g ( x )=−a x2

Dando diferentes valores para a tenemos

Si a=2,3,4

f ( x )=x2 f (0 )=0 g ( x )=2 x2 g (0 )=0

f ( x )=3 x2 f (0 )=0 g ( x )=−3 x2 g (0 )=0f ( x )=4 x2 f (0 )=0 g ( x )=−4 x2 g (0 )=0

Por lo tanto la f ( x ) tiene vertice (0,0 ) y se abre hacia arriba y la g ( x )tiene el mismo vertice (0,0 )pero por ser negativa se abrira hacia abajo.

22) Determine para la función: n ( x )=−x2−2x+24

a. Dibuje la grafica

n ( x )=−x2−2x+24

a. Si la parábola se abre para arriba o para abajo.b. La intersección con el eje “y”c. El vérticed. Las intersecciones con el eje “x” (si las hay)

a) a=-1 , b=-2 , c=24La parábola se abre hacia abajo porque a <0

b) x=0y=−(0 )2−2 (0 )+24y=24La intersección del eje y se da en el punto (0,24)

c) coordenadas del vértice: [ b2 a

; f (−b2 a )]

a=-1 , b=-2 , c=24

x=−b2 a

f (−1 )=− (−1 )2−2 (−1 )+24

x= −22 (−1 )

f (−1 )=−1+2+24

x=−1 f (−1 )=25

Vértice (-1 , 25)

d) 0=−x2−2 x+24x2+2 x−24=0( x+6 ) ( x−4 )=0x+6=0 y x−4=0x=−6 y x=4

Las intersecciones del eje de las x se dan en (-6,0) y (4,0)

2. Del texto guía de las páginas 600 y 601 resuelva los ejercicios 14; 36 y 74:

14) Para las funciones f ( x )=2

x y g ( x )=x2+1 ; determine: a) ( fog ) ( x ) , b) ( fog ) ( 4 ) , c) ( gof ) ( x ) y d) ( gof ) (4 ) .

a) ( fog ) ( x )=f [g ( x ) ]= 2

x2+1

b) ( fog ) ( 4 )= 2

42+1= 2

17

c) ( gof ) ( x )=g [ f ( x ) ]=( 2x )

2

+1= 4x2 +1=4+x2

x2

d) ( gof ) (4 )=4+42

42 =2016

=54

74) Para la función uno a uno determine: a) f−1 ( x ) y b) grafique f ( x ) y f

−1 ( x ) en los mismos ejes si f ( x )=3√x+3 .

a) f−1 ( x ) b) Tabla de valores

f ( x )= 3√x+3

y= 3√x+3

x=3√ x+3

( x )3=( 3√x+3 )3

x3= y+3

y=x3−3

f−1 (x )=x3−3

x y .=f(k)

-4 -1

-3 0

-2 1

-1 1,26

0 1,44

1 1,59

2 1,71

x y ¿ f−1 ( x )-1 -40 -31 -22 5



56

)Grafique y determine el rango de la funcióny=2x

Yy=3x

en la misma ventana

El rango de las dos funciones es y>0

y=2x 1 2 4 8 16 32

x 0 1 2 3 4 5

y=3x 1 3 9 27 81 243

x 0 1 2 3 4 5


16)Evalue:

10 log9 √9 P ropiedad :

logaax=x

10¿

20) Resuelva:

log ( x−5 )−log ( x−2 )= log 6 para x

logx−5x−2

=log 6

x−5x−2

=6 x−5=6 x−12 x=75


22) Estudie y grafique la función: y=( 1

3 )x−1

x -2 -1 0 1 2 3

y=( 13 )

x−1 27 9 3 1 1/3 1/9

74) Escriba en forma exponencial y determine el valor desconocido:

log 13

x=4

X=( 13 )

4

X= 181

Solucion.


118) Estudio y grafico de la función:y=log3 ( x−2 )

y=log3 ( x−2 ) Entonces x−2=3y

x=3 y+2

x163/8

1 55/27 19/9 7/3 3 5 11 29

y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

El dominio son todos los valores de x mayores que 0,

{xx>0}

El rango es el conjunto de los números reales, R



Escriba como logaritmo de una sola expresión:

36) 3 log8 y+2 log8 ( y ´−9 )

log 8 y3( y ´−9)2

56) Evalúe: log 864

log 864=log882=2

2.Del texto guía de la página 634 resuelva el ejercicios 20:

Resuelva la ecuación exponencial sin utilizar calculadora:

20) 64x=44 x+1

43 x=44 x+1tomamos encuenta solo exponentes 3 x=4 x+1 x=−1

3.Del texto guía de las páginas 644 y 645 resuelva los ejercicios 42; 40 y 60:

Resuelva las ecuaciones logarítmicas:

42)ln x=3

2ln 16

x=163/2 x=64

40) ln ( x+3 )+ ln ( x−3 )=ln 40

( x+3 ) ( x−3 )=40 x2−9=40 x2=49 x=± 7

60) Despeje la variable “t” de: 361=P0 ekt

¿ P0+ktIne=¿361

t= ln 361−ln Pok ln e

t= ln361− ln Pok

4.Del texto guía de la página 636 resuelva los ejercicios 84; 86 y 88:

84) Resuelva

27x=81x−3

33 x=34 (x−3)3 x=4 x−12 x=12

86) Utilice ecuaciones de la forma cuadrática para resolver

22 x−18(2x)+32=0

2x=u ,(2x)2−18 (2x)+32=u2−18 u+32=0 (u−16 ) (u−2 )=0u=2x=16 2x=24 entonces x=4u=2x=2 2x=21entonces x=1

Resuelva los sistemas de ecuaciones:

88) {32 x=9 y+1 ¿ {¿ ¿¿¿

32 x=32 y+2 solo exponentes :2 x−2 y=2 reemplazo valores2 (5 )−2 y y=4

+2 x−2 y=2−x+2 y=3

x=5

Solución x=5 y y=4

Actividad de aprendizaje 2.10

1. Del archivo en PDF “Ecuaciones de la recta en el plano cartesiano”, de la página 23 resuelva el ejercicio 61:61. Los extremos de un segmento son los puntos R(-2, -5) y S(4, 7). Calcular su pendiente.

m=y2− y1

x2−x1

m=yS− yR

xS−xR

m=7−(−5)4−(−2)

m=7+54+2

m=126

m=22. Del archivo en PDF “Ecuaciones de la recta en el plano cartesiano”, de la página 23 resuelva el ejercicio 68:68. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-4, -1) y Q(2, 7).

y− y1=m(x−x1)

m=y2− y1

x2−x1

=yQ− y P

xQ−x P

=7−(−1)2−(−4)

=7+12+4

=86=4

3

y−7=43

( x−2 )

3 ( y−7 )=4 ( x−2 )3 y−21=4 x−80=4 x−3 y+134 x−3 y+13=0

3. Del archivo en PDF “Ecuaciones de la recta en el plano cartesiano”, de la página 25 resuelva el ejercicio 84:84. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y cuya abscisa en el origen es el doble que la ordenada en el origen.Abscisa en el origen: (2a, 0)Ordenada en el origen: (0, a)

y− y1=m(x−x1)

m=y2− y1

x2−x1

= 0−a2a−0

=−a2 a

=−12

y−3=−12

( x−2 )

2 ( y−3 )=−( x−2 )2 y−6=−x+2x+2 y−8=0

4. Del archivo en PDF “Ecuaciones de la recta en el plano cartesiano”, de la página 26 resuelva el ejercicio 87:87) Hallar el valor de “k” para que la recta de ecuación 3x – ky -8=0, forme un ángulo de 45º con

la recta 2x + 5y – 17 = 0.

3 x – ky−8=0 :m1=−ab

=3k

2 x+5 y−17=0: m2=−ab

=−25

Caso 1 Caso 2

tanθ=m2−m1

1+m2m1

tanθ=m1−m2

1+m1m2

m1 m2

45°

45°

tan 45°=

−25

−3k

1+(−25 )( 3

k )tan 45°=

3k−(−2

5 )1+( 3

k )(−25 )

tan 45°=

−25

−3k

1+(−25 )( 3

k )tan 45°=

3k+ 2

5

1+( 3k )(−2

5 )1=

−2 k−155k

5 k−65k

1=

15+2k5 k

5 k−65 k

1=−2 k−155 k−6

1=15+2 k5 k−6

5 k−6=−2 k−15 5k−6=15+2k7 k=−9 3k=21

k=−97

k=213

k=−97

k=7

5. Del archivo en PDF “Ecuaciones de la recta en el plano cartesiano”, de la página 28 resuelva el ejercicio 111:111. Una compañía tiene una función de coste de: y = 500x + 4025 y una función de ingresos de y = 675x. ¿Cuántas unidades debe fabricar para que no haya pérdidas ni ganancias?

500 x+4025=675 x4025=−500 x+675 x

4025=175 xx=23

unidades minimasque debe fabricar :23

Actividad de aprendizaje 2.111. Del archivo en PDF “La Parábola”, de la página 24 resuelva el ejercicio 16:16.- Hallar la ecuación de la parábola de foco en el punto (6, -2) y directriz x – 2 = 0.Análisis gráfico:

-2 -1 1 2 3 4 5 6 X

Y 4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -5-14

V (h, k) F (6, -2)

D

Eje focal

Del análisis gráfico: a=2 , h=4 , k=−2( y−k )2=4 a ( x−h )

( y−(−2))2=4(2) ( x−4 )( y+2 )2=8 ( x−4 )

y2+4 y+4=8 x−32y2+4 y−8 x+36=0

2. Del archivo en PDF “La Parábola”, de la página 25 resuelva el ejercicio 22:22.- Una parábola cuyo eje es paralelo al eje de ordenadas pasa por los puntos (1, 1); (2, 2) y (-1, 5). Hallar la longitud del lado rectoEcuación general de la parábola:

x2+ Dx+Ey+F=0

Para (1,1 ): x2+Dx+Ey+F=0Para (1,1 ): (1 )2+D (1 )+E (1 )+F=0

Para (1,1 ):1+D+E+ F=0

Para (2,2 ): x2+Dx+Ey+F=0Para (2,2 ): (2 )2+D (2 )+E (2 )+F=0

Para (2,2 ): 4+2 D+2E+F=0

Para (−1,5 ) : x2+Dx+ Ey+F=0Para (−1,5 ) : (−1 )2+ D (−1 )+E (5 )+F=0

Para (−1,5 ) :1−D+5E+F=0

{ 1+D+E+ F=04+2 D+2E+F=01−D+5E+F=0

1−D+5E+F=0 4+2 D+2E+F=01+ D+ E+F=02+6E+2 F=0

−2(1+D+E+F=0)2−F=0

F=2

2+6 E+2 (2)=0E=−1

1+D+(−1)+(2)=01+D+(−1)+(2)=0

Y 4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -5-14

a=2 a=2

D=−2

Sustituimos:x2+ Dx+Ey+F=0

x2+(−2)x+(−1) y+(2)=0x2−2 x− y+2=0

x2−2 x= y−2x2−2 x+1= y−2+1

( x−1 )2= ( y−1 )

Como:( x−h )2=± 4 a ( y−k )

Lado recto=4 a=1

3. Del archivo en PDF “La Parábola”, de la página 26 resuelva el ejercicio 34:34.- Se tiene la parábola y=ax2+bx+c, que pasa por el origen de coordenadas; sabiendo que su vértice es el punto V (2, 3). Hallar a + b + c.

Graficamos:

Debido a la simetría de la parábola, mediante el análisis gráfico, hemos hallado un tercer punto elemento de la parábola (4,0). Tomando en cuenta la ecuación de la parábola:y=ax2+bx+c

Para (0,0 ) : y=ax2+bx+cPara (0,0 ) :(0)=a(0)2+b (0)+c

Para (0,0 ) :0=cPara (2,3 ) : y=ax2+bx+c

Para (2,3 ) :(3)=a(2)2+b(2)+cPara (2,3 ) :3=4a+2 b+cPara (4,0 ) : y=ax2+bx+c

Para (4,0 ) :(0)=a(4)2+b (4)+cPara (4,0 ) :0=16 a+4 b+c

(0,0)

(4,0)

Y 4 3 2 1

-1 -2 -3

-2 -1 1 2 3 4 5 X

(2,3)

{0=16 a+4 b+c3=4a+2 b+c

0=ccomo , c=0 :

{0=16 a+4 b3=4a+2 b

0=16a+4 b−4 (3=4a+2b)

−12=−4 bb=3

0=16a+4(3)0=16 a+12−12=16 a−1216

=a

−34

=a

a+b+c=−34

+3+0=94

a+b+c= 94

4. Del archivo en PDF “La Parábola”, de la página 27 resuelva el ejercicio 44:

44.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola 2x2 – x + 12y + 22 = 0; con el punto Q (36, 1).

y− y1=m(x−x1)y−1=m(x−36)y=mx−36 m+1

2 x2−x+12 y+22=02 x2−x+12 (mx−36m+1 )+22=02 x2−x+12 mx−432 m+12+22=0

2 x2−x+12 mx−432 m+34=02 x2−x (1−12 m )−(432 m−34)=0

b2−4 ac=0b2−4 ac=0

(−(1−12m ) )2−4 (2 ) (−( 432m−34 ) )=0

1−24 m+144 m2−8 (34−432 m )=01−24 m+144 m2−272+3456 m=01−24 m+144 m2−272+3456 m=0

144 m2+3432 m−271=0

m=−3432 ±√34322−4(144 )(−271)

2(144)m=0,0787 ó m=−23.912

y−1=(0,0787 ) ( x−36 ) y−1=−23,912(x−36)y−1=(0,0787 ) ( x−36 ) y−1=−23,912(x−36)

L 1: x−12,706 y−23,293=0 L 2 : x+0,0418 y−36,041=0

5.- Del archivo en PDF “La Parábola”, de la página 28 resuelva el ejercicio 54:54.- Un arco parabólico tiene una altura de 20 m en la base 36m de ancho. Si el vértice está en la parte superior del arco, ¿a qué altura sobre la base tiene un ancho de 18m?Planteamos el problema en los ejes de referencia:

Del análisis gráfico concluimos 3 puntos conocidos:P1(18,20)P2(36,0)

P3(0,0)Ecuación general de la parábola:

x2+ Dx+Ey+F=0Para P1 (18,20 ) : x2+ Dx+Ey+F=0

Para P1 (18,20 ) : (18 )2+D (18 )+E (20 )+F=0Para P1 (18,20 ) :324+18 D+20E+F=0

Para P2 (36,0 ) : x2+Dx+Ey+ F=0

Para P2 (36,0 ) : (36 )2+D (36 )+E (0 )+ F=0Para P2 (36,0 ) :1296+36 D+F=0

Para P3 (0,0 ) : x2+Dx+Ey+F=0

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 X

Y 24 20 16 12 8 4

-5-14

18 18

9 9

20h

P1(18,20)

P2(36,0)

P3(0,0)

P5(27 , y1)P4 (9 , y1)

Para P3 (0,0 ) : (0 )2+D (0 )+ E (0 )+F=0Para P3 (0,0 ): F=0

Como F=0:

{324+18 D+20 E=01296+36 D=01296+36 D=0

D=−36324+18 D+20 E=0

324+18(−36)+20 E=0E=16,2

Reemplazando en la ecuación general de la parábola:x2+ Dx+Ey+F=0

x2+(−36) x+ (16,2 ) y+(0)=0x2−36 x+16,2 y=0

Reemplazamos con el punto (9, y1) elemento de la parábola:(9)2−36 (9)+16,2 y 1=0

y 1=15h= y1h=15

Altura=15

g2 ceded1o ramos daniela matematicas basica-1

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