Garfield räägib

Tehted ratsionaalarvudega

Sisukord

Näide elust Vastandarvud Absoluutväärtus Ratsionaalarvude liitmine Ratsionaalarvude lahutamine Jäta meelde Ratsionaalarvude korrutamine Ratsionaalarvude jagamine Mitme erineva tehtega ülesanded- tehete järjekord Arvu aste Kasulik teada Tehted astmetega Negatiivne astendaja

Näide elust

Enne, kui Juku kooli läks, vaatas ta kodus termomeetrit. Väljas oli külma –2 oC. Koolist koju tulles märkas ta, et ilm on soojemaks läinud. Ta vaatas uuesti termomeetrit ja nägi, et väljas oli +3 oC. Ilm oli soojemaks läinud. Aga mitme kraadi võrra? Saame seda lugeda termomeetrilt.

Kuidas seda tehtena kirja panna? Alguses oli temperatuur –2 oC. Soojenemist võime

tähistada märgiga “+”. Soojenes 5oC võrra ning lõpptulemuseks jäi +3 oC.

Ehk kirja panduna:

-2 oC + 5 oC = +3 oC (kui vaadelda termomeetrit arvteljena, siis toimus liikumine arvtelje positiivses suunas)

Õhtul läks aga taas külmemaks ning kraadiklaas näitas -4 oC. Seega mitu kraadi külmemaks läks, kui päeval oli temperatuur +3 oC?

Kuidas seda tehtena kirja panna, kui tähistada külmemaks minemist märgiga “-”? Millises suunas toimuks liikumine arvteljel?

Sisukord

Vastandarvud Kahte arvu, mille summa on null, nimetatakse teineteise vastandarvudeks. Nende

arvude kujutised arvteljel on nullpunktist võrdsetel kaugustel.

Joonisel on näha, et arvud 4 ja – 4 ning 1,7 ja –1,7 on teineteise vastandarvud. Arvu 0 vastandarv on 0 ise.

Näide: Arvu 5 vastandarv on -5 ehk: -(+5) = -5.

Arvu -5 vastandarv on 5 ehk: -(-5) = 5.

Sisukord

Absoluutväärtus Teame, et nulli ja positiivse arvu absoluutväärtus on see arv ise, negatiivse arvu

absoluutväärtus on võrdne selle arvu vastandarvuga.|a| = a, kui a 0,|a| = -a, kui a < 0.

Ühegi arvu absoluutväärtus ei ole kunagi negatiivne.Näide: |4| = 4; |-5,6| = 5,6; |2/3| = 2/3; |0| = 0.

Teineteise vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed. Näide: |-3,4| = |3,4| = 3,4

Kui märkida teineteise vastandarvud arvteljele võime veenduda, et absoluutväärtus tähendab sisuliselt seda arvu kujutava punkti kaugust arvtelje nullpunktist.

Sisukord

Ratsionaalarvude liitmine

Oletame, et võtame liitmist kui millegi juurde tekkimist. Tähistame külmakraade märgiga “-” ja soojakraade märgiga “+”. Saame tehetena kirja panna järgmised laused:

Väljas oli 2 kraadi sooja. Päeva jooksul tuli juurde 3 soojakraadi.

(+2) + (+3) = +5

Teisiti öeldes-ilm soojenes 3 kraadi võrra: +2 + 3 = +5, paneme tähele, et +(+) = + Väljas oli 4 kraadi külma. Õhtu jooksul tuli juurde 2 külmakraadi.

(-4) + (-2) = -6

Teisiti öeldes, ilm jahenes 2 kraadi võrra: -4 – 2 = -6, paneme tähele, et +(-) = -

Kui liita samamärgilisi arve, siis summa leidmiseks liidetakse nende arvude absoluutväärtused ja tulemuse ette pannakse nende arvude ühine märk.

Väljas oli 3 kraadi sooja. Ööseks tuli juurde 4 külmakraadi

(+3) + (-4) = -1

Teisiti öeldes- ilm jahenes 4 kraadi võrra: +3 - 4 = -1, paneme tähele, et taas +(-) = - Väljas oli 1 kraad külma. Päevaks tuli juurde 3 soojakraadi.

(-1) + (+3) = +2

Teisiti öeldes- ilm soojenes 3 kraadi võrra: -1 + 3 = +2, paneme tähele, et taas +(+) = +

Kui liita erimärgilisi arve, siis summa leidmiseks tuleb suuremast absoluutväärtusest lahutada väiksema absoluutväärtuse ja tulemuse ette panema suurema absoluutväärtusega arvu märgi.

Sisukord

Ratsionaalarvude lahutamine Tuleme tagasi õppetüki alguses toodud näite juurde. Situatsioon oli järgmine:

Õhtul läks aga taas külmemaks ning kraadiklaas näitas -4 oC. Seega mitu kraadi külmemaks läks, kui päeval oli temperatuur +3 oC? Termomeetrilt lugedes said vastuseks, et temperatuur jahenes 7 kraadi võrra.

Kuidas seda tehtena kirja panna, kui tähistada külmemaks minemist teatud kraadide võrra märgiga “-”?

+3 – 7 = -4

Samas võime ka öelda nii, et juurde tuli 7 külmakraadi. Seega

(+3) + (-7) = -4 Näeme, et positiivse arvu LAHUTAMINE tähendab sama, mis selle arvu vastandarvu (mis

on negatiivne) liitmine. Niisamuti temperatuuri soojenemist “+” võib vaadelda, kui külmakraadide äraminemist

Olgu väljas 3 soojakraadi. Oletame, et ilm soojeneb 2 kraadi võrra:

3 + 2 = 5

Võime selle kohta ka öelda, et külmakraade vähenes 2 võrra:

3 – (-2) = 5 Näeme, et negatiivse arvu LAHUTAMINE tähendab sama, mis selle arvu vastandarvu (mis

on positiivne) liitmine.

Kokkuvõttes: Arvu lahutamine tähendab selle arvu vastandarvu liitmist: a – b = a + (-b).

Sisukord

Jäta meelde Tehetes sulgude kaotamisel kasutatakse

järgmisi märgireegleid. Kaks ühesugust märki annavad plussmärgi ja kaks erinevat märki miinusmärgi, ehk:

+ (+ a) = + a

- (- a) = + a

+ (- a) = - a

- (+ a) = - a Näide: (+3) + (+2) = 3 + 2 = 5

(+3) + (-2) = 3 – 2 = 1

(-3) + (+2) = -3 +2 = -1

(-3) + (-2) = -3-2 = -5

(+3) - (+2) = 3 - 2 = 1

(+3) - (-2) = 3 + 2 = 5

(-3) - (+2) = -3 - 2 = -5

(-3) - (-2) = -3 + 2 = -1

Sisukord

Ratsionaalarvude korrutamine Siin kehtib järgmine lihtne reegel:

Kahe samamärgilise arvu korrutis on positiivne, kahe erimärgilise arvu korrutis on negatiivne.

Tuleb korrutada tegurite absoluutväärtused ning tulemuse ette panna pluss, kui tegurite märgid on ühesugused ning miinus, kui tegurite märgid on erinevad.

Näide: (-2) · 7 = -14

4,5 · (-3,2) = 14,4

(-2/3) · (-1/4) = 1/6

Nulliga korrutamisel saadakse tulemuseks 0.

Kui negatiivseid tegureid on paarisarv, siis tuleb korrutis positiivne, kui negatiivseid tegureid on paaritu arv, siis tuleb korrutis negatiivne.

Sisukord

Ratsionaalarvude jagamine Siin kehtib järgmine lihtne reegel:

Kahe samamärgilise arvu jagatis on positiivne, kahe erimärgilise arvu jagatis on negatiivne.Näide: -25 : 5 = 5

36 : (-0,5) = -72 -1/3 : (-2/5) = 5/6

Nulli jagamisel temast erineva arvuga saame tulemuseks nulli.Arvu pöördarvuks nimetatakse arvu, mille korrutis antud arvuga on 1.Näide: arvu 5 pöördarvuks on 1/5, sest 5 · 1/5 = 1.

Sisukord

Mitme erineva tehtega ülesanded Oleme nüüd õppinud ratsionaalarve liitma, lahutama, korrutama ja jagama. Kuid

paljudes ülesannetes on mitu erinevat tehet korraga, selleks meenutame tehete järjekorda.

Kui avaldises on sulud, siis teostatakse kõigepealt tehted sulgudes, seejärel korrutamis- ja jagamistehted ning lõpuks liitmis- ja lahutamistehted vasakult paremale sellises järjekorras, nagu need on kirjutatud.

Näide: -3 + (8 - 72 : 3) · (-2) - 5,2 : 1,3 = 25

4. 5,2 : 1,3 = 4;5. -3 + 32 = 29;6. 29 - 4 = 25.

1. 72 : 3 = 24;

2. 8 – 24 = - 16:

3. (-16) · (-2) = 32;

Sisukord

Arvu aste Varasemates klassides oled õppinud leidma ruudu pindala ja kuubi ruumala.

Sa tead, et kui ruudu külje pikkus on 6 cm, siis tema pindala S avaldub kujul:

S = 6cm · 6cm = 36cm2.

Ning kuubi ruumala V avaldub kujul

V = 6cm · 6cm · 6cm = 216cm3. Arvu a ruuduks, ehk arvu teiseks astmeks nimetatakse selle arvu korrutist iseendaga ja see

korrutis kirjutatakse tavaliselt kujul

a · a = a2. Samamoodi nimetatakse korrutist a · a · a arvu a kuubiks, ehk arvu a kolmandaks astmeks ja

kirjutatakse tavaliselt kujul

a · a · a = a3.

Samalaadset kirjutusviisi kasutatakse võrdsete tegurite korrutamisel ka siis, kui tegureid on enam kui kolm.

Üldiselt võib arvu a n-nda astme kirjutada välja nii:

Sisukord

Kasulik teada Negatiivse arvu aste on positiivne paarisarvulise astendaja korral ja negatiivne

paarituarvulise astendaja korral.

Näide: (-3)3 = (-3)·(-3)·(-3) = -27;

(-2)4 = (-2)·(-2)·(-2)·(-2) = 16. Positiivse arvu kõik astmed on positiivsed arvud. Arvu 1 iga aste on 1: 1n = 1. Arvu 0 iga aste on 0: 0n = 0. Arvu –1 iga aste on kas +1 või –1: (-1)2n = +1 ja (-1)2n+1 = -1

Tehete järjekord Kui avaldises on lisaks astendamisele veel teisi tehteid ja tehete järjekord ei ole

määratud sulgudega, siis tuleb kõigepealt astendada. Seejärel teostatakse ülejäänud tehted varem õpitud järjestuses. Seega on tehete järjekord määratud järgmiselt:

1. tehted sulgudes;

2. astendamine;

3. korrutamine ja jagamine;

4. liitmine ja lahutamine.

Sisukord

Tehted astmetega Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse.

am · an = am+n.Näide: 42 · 43 = 4 2+3 = 47 = 16 384

Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse.am : an = am-n.

Näide: (-2)3 : (-2)1 = (-2) 3-1 = (-2)2 = 4 Iga arv astmes 0 võrdub ühega.

a0 = 1.Näide: (-125)0 = 1

Astme astendamisel astendajad korrutatakse.(am)n = am · n.

Näide: ((-3)2)3 = (-3)2 · 3 = (-3)6 = 729 Korrutise aste võrdub tegurite astmete korrutisega.

(a · b)n = an · b n.Näide: (2 · 5)2 = 22 · 5 2 = 4 · 25 =100

Murru aste võrdub lugeja ja nimetaja astmete jagatisega.(a/b)n = an / b n.

Näide: (3/10)2 = 32 / 102 = 9/100 = 0,09

Sisukord

Negatiivne astendaja Näide: 21 : 23 = 21/ 23 = 2/(2 · 2 · 2) = (taandades)= 1/(2 · 2) = 1/ 22

Kasutame valemit am : an = am-n ,saame 21 : 23 = 21-3 = 2-2. Et nii murdu taandades kui ka ühe ja sama arvu astmete jagamise valemi abil peaksime jõudma sama tulemuseni, siis on loomulik arvata, et kirjaviis 2-2 peaks tähendama sama, mis 1/ 22.

Ongi kokku lepitud, et

a-n = 1/an , juhul, kui a 0.

tingimus a 0 on vajalik, kuna nulliga ei saa jagada. Erijuhul, kui n = -1, siis saame valemi arvu pöördväärtuse leidmiseks.

a-1 = 1/a .

Sisukord

Sisukord