Garis Bilangan Real Interpretasi geometri yang umum dan mudah untuk sistem bilangan real adalah garis bilangan. Pada interpretasi ini, nilai mutlak dari unsur a di R diang- gap sebagai jarak dari a ke pusat 0. Lebih umum lagi, jarak antara unsur a dan b di R adalah Kita akan memerlukan bahasa yang tepat untuk membahas gagasan suatu bi- langan real dekat ke yang lain. Bila diberikan bilangan real a, maka bilangan real x dikatakan dekat dengan a seharusnya diartikan bahwa jarak antara keduanya kecil. Untuk membahas gagasan ini, kita akan menggunakan kata lingkungan, yang sebentar lagi akan kita definisikan.

2.2.7 Definisi. Misalkan dan . Maka lingkungan- dari a adalah himpunan Untuk , pernyataan x termuat di ekivalen dengan pernyataan

2.2.8 Teorema. Misalkan . Bila x termuat dalam lingkungan V (a) untuk setiap Bukti :Bila memenuhi untuk setiap maka dari 2.2.9 diperoleh bahwa dan dari .

(a). Misalkan U = {x 0 < x < 1}. Bila , misalkan bilangan terkecil dari a atau

1 - a. Maka V (a) termuat di U. Jadi setiap unsur di U mempunyai lingkungan- yang termuat di U.

(b). Bila I = {x : 0 x z 1}, maka untuk sebarang > 0, lingkungan- V (0) memuat titik di luar I, sehingga V (0) tidak termuat dalam I. Sebagai contoh, bilangan x = -/2 unsur di V (0) tetapi bukan unsur di I.

(c). Bila dan maka Ketaksamaan Segitiga mengakibatkan bahwa

Jadi bila x,y secara berturut-turut termuat di lingkungan - dari a,b maka x + y termuat di lingkungan -2 dari (a + b) (tetapi tidak perlu lingkungan - dari (a + b)).2.3. Sifat Kelengkapan RSejauh ini pada bab ini kita telah membahas sifat aljabar dan sifat urutan sis- tem bilangan real. Pada bagian ini kita akan membahas satu sifat lagi dari R yang ser- ing disebut dengan sifat kelengkapan. Sistem bilangan rasional Q memenuhi sifat

Aljabar 2.2.1 dan sifat ururtan 2.2.1, tetapi seperti kita lihat tidak dapat direpresentasikan sebagai bilangan rasional, karena itu tidak termuat di Q. Observasi ini menunjukan perlunya sifat tambahan untuk bilangan real. Sifat tambahan ini, yaitu

sifat kelengkapan, sangat esensial untuk R.

Ada beberapa versi sifat kelengkapan. Di sini kita pilih metode yang paling efisien dengan mengasumsikan bahwa himpunan tak kosong di R mempunyai supre mum.

Supremum dan InfimumSekarang kita akan perkenalkan gagasan tentang batas atas suatu himpunan bilangan real. Gagasan ini akan sangat penting pada pembahasan selanjutnya.

2.3.1 Definisi. Misalkan S suatu sub himpunan dari R.

(i). Bilangan dikatakan batas atas dari S bila s u, untuk semua s S.

(ii). Bilangan w R dikatakan batas bawah dari S bila w s, untuk semua s S Pembaca seharusnya memikirkan (dengan teliti) tentang apa yang dimaksud

dengan suatu bilangan bukan batas atas (atau batas bawah) dari himpunan S. Pem baca seharusnya menunjukkan bahwa bilangan v R bukan batas atas dari S jika dan hanya jika terdapat s S, sehingga v < s. (secara sama, bilangan z R bukan batas bawah dari S jika dan hanaya jika terdapat s S, sehingga s < z).

Perlu kita cata bahwa subhimpunan S dari R mungkin saja tidak mempunyai nbatas atas (sbagai contoh, ambil S = R). Tetapi, bila S mempunyai batas atas, maka S mempunyai tak hingga banyak batas atas sebab bila n batas atas dari S, maka sebarang v dengan v > u juga merupakan batas atas dari S. (Observasi yang serupa juga berlaku untuk batas bawah).

Kita juga catat bahwa suatu himpunan mungkin mempunyai batas bawah tetapi tidak mempunyai batas atas (dan sebaliknya). Sebagai contoh, perhatikan him- punan S1 = {x R : x 0} dan S2 = {x R : x < 0}

Pada pembahasan ini, kita katakan bahwa suatu himpunan S di R terbatas di atas bila S mempunyai batas atas. Secara sama, bila himpunan P di R mempunyai batas bawah, kita katakan P terbatas di bawah. Sedangkan suatu himpunan A di R dikatakan tidak terbatas bila A tidak mempunyai (paling tidak satu dari) batas atas atau batas bawah. Sebagai contoh, {x R : x 2} tidak terbatas (walaupun mempun- yai batas atas) karena tidak mempunyai batas bawah.

2.3.2 Definisi. Misalkan S subhimpunan dari R,

(i). Bila S terbatas di atas, maka batas atas u dikatakan supremum (atau batas atas tekecil) dari S bila tidak terdapat batas atas (yang lain) dari S yang kurang dari u.

(ii). Bila S terbatas di bawah, maka batas bawah w dikatakan infimum (atau batas bawah terbesar) dari S bila tidak terdapat batas bawah (yang lain) dari S yang kurang

dari w.Akan sangat berguna untuk memfarmasikan ulang definisi supremum dari suatu himpunan.

2.3.3 Lemma. Bilangan real u merupakan supremum dari himpunan tak kosong S di

R jika dan hanya jika u memenuhi kedua kondisi berikut : (1). s u untuk semua s S.

(2). bila v < u, maka terdapat s S sehingga v < s.

Kita tinggalkan bukti dari lemma ini sebagai latihan yang sangat penting bagi pembaca. Pembaca seharusnya juga memfarmasikan dan membuktikan hal yang serupa untuk infimum.

Tidak sulit untuk membuktikan bahwa supremum dari himpunan S di R bersi- fat tunggal. Misalkan u1 dan u2 supremum dari S, maka keduanya merupakan batas atas dari S. Andaikan u1 < u2 dengan hipotesis u2 supremum mengakibatkan bahwa u1 bukan batas atas dari S. Secara sama, pengandaian u2 < u1 dengan hipotesis u1 supre- mum menga-kibatkan bahwa u2 bukan batas atas dari S. Karena itu, haruslah u1 = u2. (Pembaca seharusnya menggunakan cara serupa untuk menunjukkan infimum dari suatu himpunan di R bersifat tunggal).

Bila supremum atau infimum dari suatu himpunan S ada, kita akan menulis- kan-nya dengan

sup S dan inf SKita amati juga bahwa bila u sebarang batas atas dari S, maka sup S u. Yaitu, bila s u untuk semua s S, maka sup S u. Hal ini mengatakan bahwa sup S merupakan batas atas terkecil dari S.

Kriteria berikut sering berguna dalam mengenali batas atas tertentu dari suatu

himpunan merupakan supremum dari himpunan tersebut.

2.3.4 Lemma. Suatu batas atas u dari himpunan tak kosong S di R merupakan supremum dari S jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat S S sehingga Bukti :Misalkan u batas atas dari S yang memenuhi kondisi di atas. Bila v < u dan kita tetapkan = u - v, maka > 0, dan kondisi di atas mengakibatkan terdapat s S sehingga v = u - < s . Karennya v bukan batas atas dari S. Karena hal ini berlaku untuk sebarang v yang kurang dari u, maka haruslah u = sup S.

Sebaliknya, misalkan u = sup S dan > 0. Karena u - < u, maka u - bukan batas atas dari S. Karenanya terdapat unsur s di S yang lebih dari u - , yaitu u - < S. Penting juga untuk dicatat bahwa supremum dari suatu himpunan dapat meru- pakan unsur dari himpunan tersebut maupun bukan. Hal ini bergantung pada jenis himpunannya. Kita perhatikan contoh-contoh berikut.

2.3.5 Contoh-contoh(a). Bila himpunan tak kosong S1 mempunyai berhingga jumlah unsur, maka S1 mempunyai unsur terbesar u dan unsur terkecil w. Lebih dari itu u = sup S1 dan w = inf S1 keduanya unsur di S1. (Hal ini jelas bila S1 hanya mempunyai sebuah unsur, dan dapat digunakan induksi matematika untuk sejumlah unsur dari S1).

(b). Himpunan S2 = {x : 0 x 1} mempunyai 1 sebagai batas atas. Kita akan buktikan 1 merupakan supremum sebagai berikut. Bila v < 1, maka terdapat unsur s di S2 sehingga v< s. (pilih unsur s). Dari sini v bukan batas atas dari S2 dan, karena v sebarang bilangan v< 1, haruslah sup S2 = 1. Secara sama, dapat ditunjukkan inf S2 = 0. Catatan : sup S2 dan inf S2 keduanya termuat di S2.

(c). Himpunan S3 = {x : 0 < x < 1} mempunyai 1 sebagai batas atas. Dengan menggunakan argumentasi serupa (b) untuk S2, diperoleh sup S3 = 1. Dalam hal ini, himpunan S3 tidak memuat sup S3. Secara sama, inf S3 = 0, tidak termuat di S3.

(d). Seperti telah disebutkan, setiap bilangan real merupakan batas atas dari himpunan kosong, karenanya himpunan kosong tidak mempunyai supremum. Secara sama himpunan kosong juga tidak mempunyai infimum.Sifat Supremum dari RBerikut ini kita akan membahas asumsi terakhir tentang R yang sering disebut dengan Sifat Kelengkapan dari R. Selanjutnya kita katakan R merupakan suatu medan terurut yang lengkap.

2.3.6 Sifat Supremum dari R. Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mem- punyai batas atas mempunyai supremum di R.

Sifat infimum yang serupa dapat diturunkan dari sifat supremum. Katakan S sub himpunan tak kosong yang terbatas di bawah dari R. Maka himpunan S = {-s : s S} terbatas di atas, dan sifat supremum mengakibatkan bahwa u = sup S ada. Hal ini kemudian diikuti bahwa -u merupakan infimum dari S, yang pembaca harus buktikan.

2.3.7 Sifat Infimum dari R. Setiap himpunan bilangan real tak kosong yang mempunyai batas bawah mempunyai infimum di R.

Pembaca seharusnya menuliskan bukti lengkapnya.