gasdinamica

Universita degli Studi di Napoli Federico IIPolo delle Scienze e delle Tecnologie

Dipartimento di Progettazione Aeronautica

Amilcare Pozzi

Lezioni di

GASDINAMICA

a.a. 2002-2003

Indice

1 Cinematica dei fluidi, discontinuita di grandezze vettoriali 1

1.1 Linee di flusso e linee vorticose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Potenziale vettore di un vettore solenoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Moto permanente - Traiettorie - Formulazione Euleriana e Lagrangiana . . . 41.4 Discontinuita di grandezze vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 I POSTULATI DELLA FLUIDODINAMICA 9

2.1 Le equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Formulazione microscopica dei postulati della fluidodinamica . . . . . . . . . 11

3 EQUAZIONI DEL BILANCIO 15

3.1 L’equazione generale del bilancio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Equazioni di conservazione della massa e della carica elettrica . . . . . . . . . 173.3 Equazioni del bilancio della quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 L’equazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Le condizioni al contorno - La tensione superficiale . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA 23

4.1 Funzioni di distribuzione. Distribuzione maxwelliana della velocita . . . . . . 234.2 I gas perfetti. Il tensore degli sforzi per distribuzioni maxwelliane della velocita 264.3 Proprieta dei gas perfetti - L’equazione di stato - Unita di misura . . . . . . . 284.4 Libero percorso medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5 Le incognite della fluidodinamica; entalpia, entropia, velocita del suono isen-

tropica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.6 I vettori di flusso ed i coefficienti di trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.7 I coefficienti di autodiffusione e di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.8 Il coefficiente di conduttivita termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.9 Il coefficiente di viscosita. Il numero di Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.10 Altra forma dell’equazione dell’energia. Entalpia totale . . . . . . . . . . . . . 364.11 Le equazioni in forma adimensionale; grandezze di riferimento . . . . . . . . . 37

5 FLUIDODINAMICA DELLE MISCELE 39

5.1 Miscele di gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Potenziali termodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3 Equilibrio chimico in miscela di gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4 Conduzione termica in un mezzo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.5 Influenza della temperatura sulle velocita di reazione . . . . . . . . . . . . . . 48

iii

INDICE

5.6 Combustione lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 METODI DI SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI STOKES NAVIER 51

6.1 Due soluzioni esatte delle equazioni di Stokes-Navier . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Sviluppi in serie per piccoli valori del numero di Reynolds . . . . . . . . . . . 546.3 Moto di una sfera a piccoli numeri di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.4 Resistenza di una sfera a piccoli numeri di Reynolds: formula di Stokes . . . 576.5 Sviluppo in serie per alti valori del numero di Reynolds . . . . . . . . . . . . 58

7 EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA PER LA ZONA ESTERNA 63

7.1 Le equazioni e le condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.2 Il teorema di Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.3 Teoremi sui vortici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4 Moto irrotazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5 Le equazioni per la funzione potenziale e la funzione di corrente . . . . . . . . 677.6 Campo di velocita intorno ad uno spigolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.7 Curve caratteristiche e progetto di un ugello supersonico . . . . . . . . . . . . 697.8 Soluzioni semplici in regime compressibile in coordinate polari . . . . . . . . . 717.9 Soluzioni semplici in regime compressibile nel piano dell’odografo . . . . . . . 727.10 Moti rotazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8 SOLUZIONI STAZIONARIE PER LA ZONA ESTERNA 75

8.1 Soluzioni per moti irrotazionali bidimensionali a densita costante - Interazionedi due correnti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.2 Corrente che investe un ostacolo senza scia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.3 Moti con circolazione diversa da zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.3.1 Moto intorno ad un cilindro circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.3.2 Moto intorno a profili Joukowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.3.3 Moto intorno a profili Karman-Trefftz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.3.4 Moto intorno ad ellissi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.4 Corrente che investe un ostacolo con scia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.5 Teoria dei getti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.6 Moti in condotti bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.7 Soluzioni espresse come combinazioni di soluzioni elementari . . . . . . . . . . 97

9 SOLUZIONI INSTAZIONARIE PER LA ZONA ESTERNA 101

9.1 Propagazione delle piccole perturbazioni: onde sonore . . . . . . . . . . . . . 1019.2 La relazione di Bernoulli instazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.3 Moto instazionario: soluzione unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.4 Moto instazionario unidimensionale: onde semplici . . . . . . . . . . . . . . . 1069.5 Moto instazionario unidimensionale: soluzioni simili . . . . . . . . . . . . . . 108

10 SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA PER

LA ZONA INTERNA 113

10.1 Le equazioni e le incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.2 Soluzioni simili bidimensionali in coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . 11310.3 Moto su una lastra piana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.4 Getto di spessore iniziale infinitesimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11610.5 La trasformazione di von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11810.6 Relazioni integrali per le equazioni dello strato limite . . . . . . . . . . . . . . 118

iv

INDICE

10.7 Un metodo approssimato per la soluzione delle equazioni dello strato limite . 12010.8 Moto lungo corpi di rivoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.9 Lunghezza di ingresso in un condotto piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

11 L’EQUAZIONE DELL’ENERGIA 133

11.1 Soluzioni dell’equazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13311.2 Equazione dell’energia per lastra piana con temperatura impulsiva . . . . . . 13411.3 L’equazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13411.4 Il campo di temperatura per Pr=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.5 Soluzioni simili per l’equazione dell’energia per λ, µ e ρ costanti . . . . . . . . 137

11.5.1 Soluzione dell’equazione dell’energia per moti su lastra piana . . . . . 13711.5.2 Soluzioni simili con U non costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

11.6 Soluzione approssimata dell’equazione dell’energia per λ, µ e ρ costanti . . . 14011.6.1 Le equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14011.6.2 La prima approssimazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14111.6.3 Seconda approssimazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

11.7 Influenza della forza di gravita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14411.8 Influenza della compressibilita nella zona esterna ed interna . . . . . . . . . . 14511.9 L’analogia di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14811.10Accoppiamento conduzione nel solido con conduzione-convenzione nel fluido . 14911.11Flussi con cambiamenti di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15011.12Equazione della diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

12 MOTI DI FLUIDI COMPRESSIBILI UNIDIMENSIONALI 155

12.1 Relazioni valide in un moto isentropico di un gas perfetto . . . . . . . . . . . 15512.2 Moto quasi unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15712.3 Condizioni al contorno in un moto quasi unidimensionale . . . . . . . . . . . 15812.4 Funzionamento di un condotto al variare delle condizioni al contorno . . . . . 15912.5 Moto in un condotto in presenza di onde d’urto . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.6 Flusso al di fuori del condotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16412.7 Linea di Fanno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16712.8 Linea di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

13 FORZE AERODINAMICHE 173

13.1 Forza risultante su un corpo investito da una corrente . . . . . . . . . . . . . 17313.2 Forza risultante su un corpo investito da una corrente stazionaria non viscosa

incompressibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17413.3 Forza risultante su un corpo in moto in un fluido non viscoso incompressibile 17513.4 Il teorema di Kutta - Ioukowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17613.5 Il contributo alla resistenza ed alla portanza dovuto alla viscosita . . . . . . . 17713.6 La scia viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17913.7 La resistenza di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

A Terza approssimazione per il metodo di soluzione delle equazioni dello

strato limite 181

B Trasformazione Stewartson-Dorodnitzjn 183

C Il teorema di Cauchy e sue applicazioni 185

v

INDICE

vi

Elenco delle figure

1.1 Versore normale e tangenziale ad una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Moto tra 2 linee di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Discontinuita di vettori solenoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Discontinuita di vettori tangenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1 Distribuzione Maxwelliana della velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Sistema di riferimento sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Libero percorso medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4 Distribuzione di velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1 Distribuzione temporale di temperatura per simmetria sferica . . . . . . . . . 465.2 Distribuzione spaziale di temperatura per simmetria sferica . . . . . . . . . . 465.3 Distribuzione temporale di temperatura nel caso piano . . . . . . . . . . . . . 475.4 Distribuzione spaziale di temperatura nel caso piano . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1 Moto di Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2 Moto di Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.1 Particelle al tempo t e t+ dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2 Tubo vorticoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.3 Moto intorno ad uno spigolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.4 Domini di esistenza delle diverse soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.1 Interazione di 2 correnti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.2 Direzione e verso delle velocita asintotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.3 Moto senza scia intorno ad un corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.4 Piano fisico e piano trasformato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.5 Moto senza scia intorno ad una lastra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.6 Moto intorno ad un cuneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.7 Moto intorno ad un cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.8 Moto con scia intorno ad un corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.9 Moto con scia intorno ad cuneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.10 Moto con scia intorno ad una lastra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.11 Piano fisico e piano trasformato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.12 Efflusso da un serbatoio a contorno poligonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.13 Efflusso da un serbatoio a forma di quadrilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.14 Piano fisico e piano trasfornato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.15 Piano fisico e piano trasformato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.16 Moto intorno ad un ovoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

vii

ELENCO DELLE FIGURE

8.17 Distribuzione di pozzi e sorgenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.1 Velocita in funzione del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.2 Superfici di discontinuita che separano le diverse zone . . . . . . . . . . . . . 1099.3 Moto provocato dallo spostamento di un pistone . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.4 Velocita del pistone maggiore di 2ao/(γ − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10.1 Velocita e coefficiente di resistenza di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.2 Diverse approssimazioni per il coefficiente di resistenza . . . . . . . . . . . . . 12410.3 Profili di velocita al variare di m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.4 h2 funzione di t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.5 Moto intorno a corpi di rivoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

11.1 Profili di temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.2 Profili di temperatura e velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

12.1 Temperatura, densita e pressione in funzione di Mach . . . . . . . . . . . . . 15612.2 Area e flusso di massa per unita di area in funzione di Mach . . . . . . . . . . 15812.3 Pressione in funzione dell’ascissa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16012.4 Moto al di fuori dell’ugello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.5 Componenti della velocita tangenziale e normale all’onda d’urto . . . . . . . . 16212.6 Interazione tra onda d’urto e superfici solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16412.7 Interazione di onde d’urto obblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16512.8 Interazione di onde d’urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16612.9 Interazione di onde d’urto con presenza di onde d’urto normali . . . . . . . . 16612.10 Entalpia in funzione dell’entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16712.11 Elemento longitudinale di condotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16812.12 Entalpia in funzione di entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.13 Curva di Fanno e curva di Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

13.1 Dominio di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17413.2 Componenti della velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17513.3 Dominio di integrazione per teorema di Kutta-Joukowski generalizzato . . . . 178

viii

Capitolo 1

Cinematica dei fluidi,

discontinuita di grandezze

vettoriali

1.1 Linee di flusso e linee vorticose

Dato un vettore V in un dominio D dello spazio, si possono definire delle curve aventi laseguente proprieta “la tangente ad esse in ogni punto ha la direzione ed il verso del vettoreV in quel punto”. Tali curve prendono il nome di linee di flusso o di corrente. Naturalmenteanche per il vettore ∇×V si possono definire le linee di flusso: se pero vengono considerate“in funzione del vettore V” esse prendono il nome di linee vorticose di V. Quindi esse sonoquelle curve che hanno la proprieta di avere la tangente in ogni punto con la stessa direzionee verso del vettore ∇ × V. L’equazione delle linee di flusso viene ottenuta eguagliando latangente trigonometrica dell’angolo formato dalla tangente geometrica alla curva con unadata retta (ad es. l’asse x), alla tangente dell’angolo che il vettore forma con la stessa retta.Nel caso piano, indicando con u e v le componenti di V in un sistema cartesiano ortogonalesi ha

y′(x) = v/u (1.1)

Ad es. il vettore V abbia componenti u = x− 3y+ 2, v = 2x− y + 9, (tale vettore essendosolenoidale, descrive il moto di un fluido incomprimibile). L’equazione da risolvere e quindiy′ = (2x− y + 9)/(x− 3y + 2), la cui soluzione (A. Pozzi (1979), pag. 230), che nel puntox = c assume il valore yo e x = −5+(c+5) exp[h(g) − h(go)], dove 2h = − log(2−2g+3g2),g = (y + 1)/(x + 5), go = c − 3yo. La linea di corrente considerata passa quindi per ilpunto P (c, yo); si hanno cosı infinite linee di corrente, ognuna delle quali passa per un puntoassegnato.Nel caso tridimensionale, la proporzionalita tra le componenti V1, V2, V3 del vettore V in unqualsiasi sistema ortogonale x1, x2, x3 e quelle h1dx1, h2dx2 e h3dx3 del vettore ds aventela stessa direzione e verso della tangente alla curva si esprime mediante la relazione

h1dx1/V1 = h2dx2/V2 = h3dx3/V3 (1.2)

Questa doppia eguaglianza consente di ottenere le equazioni delle linee di corrente, in funzionedi una delle tre variabili xi o piu in generale nella forma parametrica x1 = x1(t), x2 = x2(t),x3 = x3(t).

1

Cinematica dei fluidi, discontinuita di grandezze vettoriali

Si consideri ad es. il vettore velocita le cui componenti in un sistema cartesiano sono:u = 8x − 4, v = 2y + 3, w = 5 − 4z. Assumendo x come variabile indipendente dalla1.2 si ottiene il seguente sistema di equazioni (in questo caso semplice indipendenti): y′ =(2y+3)/(8x−4), z′ = (5−4z)/(8x−4). Applicando il metodo della separazione delle variabilirisulta che le linee di corrente sono descritte dalle seguenti espressioni: y = A(8x−4)1/4−3/2,z = B(8x− 4)−1/2 + 5/4. Le costanti arbitrarie A e B vengono determinate imponendo chela linea considerata passi per un particolare punto dello spazio.

1.2 Potenziale vettore di un vettore solenoidale

Un generico vettore V puo essere espresso come somma del gradiente di una funzione scalaree del rotore di un vettore. (A. Pozzi (1979), pag. 387: a tale pagina si riferiscono le relazionivettoriali richiamate in seguito). Se V e irrotazionale, puo essere espresso da ∇f ; se V esolenoidale puo essere espresso solo da ∇× A. Infatti, per la (T.113) ponendo:

V = ∇× A (1.3)

si ha identicamente ∇ · V = 0. Si nota che A, chiamato potenziale vettore di V, e definito ameno del gradiente di una funzione scalare; infatti, per la (T,114) per una qualsiasi funzionederivabile g e: ∇ × A + ∇g = ∇ × A. E soleinodale il vettore velocita nel caso di flussiincomprimibili; per flussi comprimibili e solenoidale il vettore prodotto densita-velocita, masolo in regime stazionario. Nel caso in cui V, in un sistema ortogonale qualsiasi, abbia solodue componenti risulta, per la (T,105)

(A2 h2)x1− (A1 h1)x2

= 0 (1.4)

in ogni punto. Tale relazione e certamente verificata assumendo A1 = A2 = 0; in tal casol’unica componente essenziale di A e A3 : a tale componente, indicata successivamente con ψ,si da il nome di funzione di corrente o di Stokes (a volte conviene indicare con ψ il prodottoA3h3). Le componenti di V per la 1.3 e la (T,105) sono quindi date da:

h2h3V1 = (ψh3)x2; h1h3V2 = −(ψh3)x1

; V3 = 0 (1.5)

Una volta nota la funzione di corrente ψ, grandezza scalare, e nota percio la funzione vetto-riale V. Si consideri ora una coppia di versori ortogonali, V ed n, congruenti ai versi positividegli assi coordinati x1 ed x2; le componenti di tali vettori (s1, s2) e (n1, n2) sono uguali airispettivi coseni direttori e quindi per le (T,82’) e:

si = hi∂xi∂s

; ni = hi∂xi∂n

(1.6)

La condizione di ortogonalita dei due vettori s ed s stabilisce inoltre che e s1 = n2 e s2 = −n1;pertanto la componente di V secondo s, cioe V · s = V1s1 + V2s2, tenendo conto delle 1.5, sipuo scrivere nel seguente modo:

V1h1x1s + V2h2x2s = V1h2x2n − V2h1x1n =

= [(ψh3)x2x2n + (ψh3)x1

x1n] /h3 = (1.7)

= (h3ψ)n/h3

Risulta percio:V · s = (h3ψ)n/h3 (1.8)

2

Potenziale vettore di un vettore solenoidale

Figura 1.1: Versore normale e tangenziale ad una curva

La ψ e suscettibile di una notevole caratterizzazione; infatti, per le 1.1 le linee di flusso delvettore V sono date da y′ = v/u; questa equazione scritta in un sistema ortogonale qualsiasidiventa h2

h1

dx2

dx1

= V2/V1; per le 1.5 si ha quindi che per tali linee vale la seguente relazione:

(ψh3)x1dx1 + (ψh3)x2

dx2 = d(h3ψ) = 0 (1.9)

Ne segue che le linee di corrente sono quelle per cui (ψh3 = cost.). Consideriamo ora f ilflusso di V attraverso una superficie S la cui frontiera e costituita da un qualsiasi arco dicurva AB nel piano (x1, x2), da due elementi ortogonali (h3dx3) passanti per A e B e dauna curva simile ad AB che chiude la frontiera.Tale proprieta spiega il nome dato a ψ. Consideriamo ancora le due linee di corrente carat-

Figura 1.2: Moto tra 2 linee di corrente

terizzate dalle due costanti C1 e C2 passanti per i due punti A e B. Se si orienta la normale

3


alla curva in modo che il suo verso positivo formi un angolo acuto con V, il verso positivo dis sara determinato di conseguenza dalla congruenza con gli assi x1 e x2. (In figura il versopositivo sara quello che va da B verso A).Il flusso attraverso S, per la 1.8, in cui si e scambiato s con n, con conseguente cambiamentodi segno al secondo membro, tenendo conto della indipendenza di V da x3, e dato da

dx3

∫ A

B

h3V · nds = dx3

∫ B

A

(h3ψ)sds = h3(ψB − ψA)dx3 = (C2 − C1)dx3 (1.10)

Risulta quindi che il flusso di V, attraverso la curva S, e espresso dalla differenza tra i valoridelle due costanti moltiplicata per dx3; la scelta sui segni si traduce nella regola che bisognasottrarre il valore della costante di destra, (C1 nel nostro caso), rispetto alla direzione di V,da quelle di sinistra, (C2 nel nostro caso).

1.3 Moto permanente - Traiettorie - Formulazione Eu-

leriana e Lagrangiana

Le considerazioni svolte nel paragrafo precedente valgono per un qualsiasi vettore e possonoessere quindi associate al vettore velocita, da cui peraltro traggono origine le denominazioniriportate.In particolare le linee di flusso o di corrente danno ad un dato istante la direzione del vet-tore velocita nei vari punti del campo: queste non sono da confondere con le traiettorie cherappresentano le posizioni successive assunte nel tempo da date particelle.Queste due famiglie di curve coincidono se il moto e permanente o stazionario, se cioe inogni punto si hanno sempre le stesse condizioni nei successivi istanti di tempo: cio comportache per tali tipi di moto la derivata parziale rispetto al tempo e nulla.Le equazioni delle linee di flusso sono state discusse nel n. 1 (per campi solenoidali bidimen-sionali si semplificano nella relazione h3ψ = cost. (nel senso precedentemente illustrato); letraiettorie sono descritte dalla equazione differenziale vettoriale: s = V dove il punto indicaderivazione rispetto al tempo.Una volta noto il vettore velocita, integrando questa equazione si ottiene l’espressione delletraiettorie.Per studiare il moto si possono seguire due indirizzi: Lagrangiano ed Euleriano.Nel primo caso si fissa una data particella che all’istante to occupa la posizione Po e la sisegue durante il moto: in tal caso la posizione P che una generica particella avra assuntoall’istante t dipendera da quella che aveva all’istante to. Si potra percio scrivere la relazionefunzionale s(s) = s(Po, t) Po e t sono le variabili di Lagrange. La velocita e l’accelerazionedi una particella che, all’istante t occupa la posizione P, si ottengono eseguendo le derivateparziali prima e seconda rispetto al tempo: si nota esplicitamente che Po non dipende daltempo.Mediante la formulazione Euleriana si studiano nei successivi istanti le proprieta del fluidoin un dato posto: naturalmente in tal posto passeranno particelle diverse del fluido. Quindiper calcolare la velocita di una particella bisogna tener conto del fatto che le sue coordinatedipendono dal tempo.Si deve percio scrivere la relazione funzionale: V = V[P (t), t]. Tale ragionamento si puogeneralizzare ed applicare ad una qualsiasi funzione f caratterizzante le proprieta del fluido.Essendo percio f = f [P (t), t] si ha che la sua derivata totale rispetto al tempo, come puo

4

Moto permanente - Traiettorie - Formulazione Euleriana e Lagrangiana

facilmente controllarsi applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, e:

ft +∑

i

fxixi = ft + V · ∇f (1.11)

essendo le xi le componenti del vettore V.Si puo usare il simbolo D/Dt per indicare la derivata totale e d/dt per il prodotto scalareV · ∇ scrivendo in tal modo:

D

Dt=

∂

∂t+

d

dt(1.12)

In particolare nel caso di moto stazionario e D/Dt = d/dt. Per l’accelerazione a si ha:a = DV/Dt = ∂V∂t+ V · ∇V.La derivata sostanziale rappresenta la variazione temporale della grandezza fluida a cui eapplicata, sia scalare che vettoriale, seguendo la particella fluida.Da notare che il prodotto V ·∇V puo essere inteso sia come il prodotto scalare tra il vettoreV ed il tensore ∇V, che come (V · ∇)V: questa seconda rappresentazione e piu utile per leapplicazioni.Nella formulazione euleriana e V = dr/dt e Dr/Dt = dr/dt in quanto il vettore r e indipen-dente dal tempo, essendo r(x, y, z) e t variabili indipendenti noi ci avvarremo essenzialmentedelle variabili di Eulero, P e t.Per illustrare l’impostazione lagrangiana si scrivera l’equazione di continuita nelle variabililagrangiane ed euleriane. Al tempo to la massa, di densita ρo, presente in un dominio Do edata da

∫

DoρodDo; al tempo t la stessa massa occupera il dominio D con densita ρ. Si avra

percio∫

Do

ρodDo =

∫

D

ρdD (1.13)

Eseguendo nell’integrale triplo a secondo membro il cambiamento di variabili che fa passaredal dominio D al dominio Do, la 1.13 diventa

∫

Do

(ρo − ρJ)dDo = 0 (1.14)

dove J e lo jacobiano della trasformazione che puo essere indicato anche con il simbolo∂(x, y, z, )∂(xo, yo, zo). Poiche la 1.14 deve valere per qualsiasi dominio Do, e necessarioche risulti

ρJ = ρo (1.15)

E questa l’equazione di continuita nelle variabili lagrangiane. In particolare nel caso di motiincompressibili questa equazione diventa J = 1.Si puo giungere anche alla ‘refc12 partendo dall’equazione di continuita scritta in formaEuleriana, cioe ρt + ∇ · ρV = 0, eseguendo il cambiamento di variabili da t, x, y, z, a τ ,xo, yo, zo con τ = t ed osservando che e xτ = u, yτ = v, zτ = w. Per eseguire questocambiamento di variabili si ricorda e fτ = ft + fxxτ + fyyτ + fzzτ = ft + ufx + vfy +wfz efx = fxo

xox + fyoyox + fzozox dove xox = A11/J , con A11 il complemento algebrico dell’e-

lemento 1,1 dello jacobiano (A. Pozzi (1979) pag.90): in pratica ∂yi/∂xj e data dal comple-mento algebrico di ∂xj/∂yi diviso J ; risulta quindi ux = (uxoA11 + uyoA12 + uz0A13)/J =(xxoτA11 + xyoτA12 + xzoτA13)/J per cui ux e uguale al rapporto tra il determinante otte-nuto da J sostituendo alla prima riga la sua derivata rispetto al tempo e J . Ricordando laregola di derivazione di un determinante (A. Pozzi (1979) pag. 218) si puo concludere chee ∇ · V = ux + vy +wz = Jτ/J , per cui l’equazione di continuita si puo scrivere nella forma(ρJ)τ = 0, cioe ρJ = ρoJo. Essendo Jo = 1, perche a τ = 0 e x = xo, y = yo, z = zo, si

5


ritrova la 1.15.Una volta noto il campo fluidodinamico nella formulazione euleriana e possibile passare aquella lagrangiana e viceversa.Consideriamo ad es. il campo di velocita euleriano u = x− 3y+ 2, v = 2x− y+ 9, bidimen-sionale stazionario. Per passare alla formulazione lagrangiana basta sostituire xt ed yt ad ue v nelle espressioni assegnate ottenendo il sistema xt = x− 3y+2, yt = 2x− y+9 nelle dueincognite x(t) ed y(t); questo sistema va risolto con le condizioni iniziali per cui a t = 0 siabbia x = xo ed y = yo. Si hanno cosı le funzioni x = x(xo, yo, t) ed y = y(xo, yo, t). Vice-versa per passare dalla formulazione lagrangiana a quella euleriana occorre derivare rispettoal tempo le espressioni di x ed y ottenendo u e v ed eliminare xo ed yo tra le espressioni diu e v ed x e y, giungendo cosı alle funzioni u(t, x, y) e v(t, x, y).

1.4 Discontinuita di grandezze vettoriali

Le espressioni differenziali per la divergenza ed il rotore di un vettore V valgono in dominiin cui le funzioni considerate sono derivabili; si vuole ora considerare il caso di due dominidi continuita per le funzioni, separati da una superficie di discontinuita Sd. Le espressionidifferenziali non varranno piu su Sd ma le relazioni integrali di definizione (A. Pozzi (1979)pag.378 e 382) saranno ancora valide se le funzioni si conservano limitate e quindi integrabili.

Figura 1.3: Discontinuita di vettori solenoidale

Si prenderanno in esame due campi vettoriali uno selenoidale ed uno irrotazionale in tuttoil dominio.

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Discontinuita di grandezze vettoriali

Se la divergenza di V e sempre nulla in entrambi i domini si potra affermare che e sempre∫

SVndS = 0 per una superficie S che racchiude un elemento di volume qualsiasi.

Consideriamo un cilindretto con le generatrici normali a Sd e di basi dA1 = dA2 = dA postedalle due parti di Sd. La condizione che il flusso totale sia nullo, se si fa tendere dn a zero,e Vn1dA− Vn2dA = 0, avendo indicato con Vn la componente di V normale a Sd ed avendotrascurato il contributo dato dalla superficie laterale perche infinitesimo di ordine superiore.Si ha cosı che

Vn1 = Vn2 (1.16)

Cio significa che, per campi solenoidali, la componente normale alla superficie di discontinuitae continua.Se il rotore di V e sempre nullo si puo scrivere che la circolazione intorno ad una qualsiasicurva c e nulla.Consideriamo allora una curva c che ha due lati dn normali ad Sd congiunti da due tratti dicurva ds paralleli ad un elemento dl posto su Sd.La condizione che sia

∫

c Vsds = 0 si scrive, facendo tendere a zero dn, dsVt1 − dsVt2 = 0,cioe:

Vtl = Vt2 (1.17)

avendo indicato con Vt la componente di V tangente alla curva dl giacente su Sd.

Figura 1.4: Discontinuita di vettori tangenziali

Ne segue che, per campi irrotazionali, la componente tangenziale alla superficie di disconti-nuita e continua.Come conseguenza delle osservazioni sopra riportate si ha che se le 1.16 e 1.17 non sonosoddisfatte rispettivamente nel primo e secondo caso su Sd il primo campo non e solenoidaleed il secondo non e irrotazionale.

7


1.5 Deformazioni

Se un sistema continuo e sottoposto a sollecitazioni si provocano in esso variazioni di posizionedei singoli punti che possono condurre a variazioni di forma e di dimensioni: queste si indicanogenericamente con il nome di deformazioni.Si definisce spostamento di un punto P il vettore s che ha origine nel punto P e termine nelpunto P ′ in cui si viene a trovare il punto inizialmente in posizione P per effetto di una datasollecitazione: tale vettore variera in genere da punto a punto a meno che il sistema non siasottoposto ad una traslazione rigida. Si ha quindi P ′ = P + s(P ).Considerando ora deformazioni infinitesime si indica con P un punto che si trova in unintorno infinitesimo di un dato punto Po. Sviluppando in serie di Taylor s(P ) con puntoiniziale Po, ed indicando con r il vettore PoP si ha s(P ) = s(Po) + r · (∇ s)o, a meno diinfinitesimi superiori al primo. Applicando questa formula e possibile decomporre il genericospostamento infinitesimo in una somma di tre contributi: il primo rappresenta una traslazionerigida, il secondo una rotazione rigida (con velocita angolare ∇× V/2) ed il terzo (dato dar ·D dove D detto tensore deformazione e espresso da: D = (∇ s+∇ s+)/2) una deformazionepura.

8

Capitolo 2

I POSTULATI DELLA

FLUIDODINAMICA

2.1 Le equazioni di Maxwell

Per postulare le equazioni di Maxwell in forma microscopica (fu Lorentz che per primo cerco,nel 1902, di dare una soddisfacente base microscopica a tali equazioni) si considereranno Nparticelle poste nei punti Qi e dotate di velocita ci.Dal punto di vista elettromagnetico non e sempre possibile considerare puntiforme una par-ticella concentrando in un sol punto la carica elettrica totale qi di cui e dotata, in quanto intal modo si trascurerebbero effetti rilevanti sul piano macroscopico.Uno dei modi per tener conto delle dimensioni delle particelle e quello di suddividerle in unnumero p di parti ognuna delle quali puo essere considerata puntiforme: la carica totale qidelle particelle sara data da qi =

∑ph=1 qih

dove con qih si e indicata la carica della h-esima delle p parti elementari (elettroni e nuclei)di cui si e supposta costituita la particella iesima (che costituisce un gruppo stabile del tipoatomo,molecola o ione).Pertanto, seguendo S.R.De Groot (S.R. De Groot (1969)), conviene partire dalle equazionidi Maxwell valide per le parti elementari e giungere, mediante opportuni sviluppi, ad unaloro scrittura, sempre microscopica, valida per le particelle considerate come gruppi stabili.In un terzo momento, considerando medie statistiche delle grandezze che compaiono nelleequazioni, si otterra la formulazione macroscopica.Le equazioni di Maxwell saranno scritte in termini della funzione δ(x) di Dirac che, perx 6= 0, vale 0 e che, per x = 0, vale infinito in modo tale che il suo integrale, esteso adun qualsiasi dominio comprendente lo 0, vale 1. (Questo modo di introdurre la funzione diDirac non e completamente soddisfacente dal punto di vista matematico; alcuni decenni fail matematico francese L. Schwartz ha presentato, mediante la teoria delle distribuzioni, unavalida sistemazione di questo argomento).Tale impostazione, che rende chiaramente conto del carattere discontinuo della materia, e do-vuta, nel 1953, a Mazur e Nijboer e consente di scrivere le equazioni di Maxwell nel seguentemodo:

∇ · (εoe) =∑

i

qiδ(Q−Qi) (2.1)

∇ · b = 0 (2.2)

9

I POSTULATI DELLA FLUIDODINAMICA

∇× e = −bt (2.3)

∇× (b/µo) = (εoe)t +∑

i

qiciδ(Q−Qi) (2.4)

dove Q e il generico punto in cui agiscono i vettori elettromagnetici incogniti e e b, dettirispettivamente intensita del campo elettrico e vettore induzione magnetica; εo e µo sono,rispettivamente, la costante elettrica e la permeabilita magnetica nel vuoto; nel sistemainternazionale e:

µo = 4π · 10−7H/m ed εo = 8, 84 · 10−12F/m e (εoµo = 1/c2)

e si misura in V olt/metro, b in Tesla (1Tesla = 104Gauss) nel S.I.Queste equazioni, mediante sviluppi in serie di Taylor, introducendo i vettori di ed mi

chiamati rispettivamente momento di dipolo elettrico e momento di dipolo magnetico dellaparticella iesima, e definiti dalle relazioni

di =

p∑

h=1

qih(Qh −Qi) ; 2mi =

p∑

h=1

qih(Qh −Qi) × ch

dove qhi

e la carica della hesima parte elementare che costituisce la particella iesima, possonoapplicarsi alle particelle considerate come gruppi stabili (si trascureranno momenti di ordinesuperiore).Se la particella si muove con velocita v si hanno le seguenti espressioni che collegano m e dai corrispondenti valori mo e do relativi alla particella in quiete

d = do + ν × mo/c2 ; m = mo − ν × do (2.5)

Si ha cosı la seguente seconda forma microscopica delle equazioni di Maxwell:

∇ · εoe + Pmicr = ρqmicr

∇ · b = 0

∇× e = −bt

∇× b/µo − Mmicr = Jmicr + (εoe + Pmicr)t

dove

ρqmicr=

∑

i

qiδ(Q−Qi) ; Jmicr =∑

i

qiciδ(Q−Qi)

Pmicr =∑

i

diδ(Q−Qi) ; Mmicr =∑

i

miδ(Q−Qi)

le sommatorie essendo estese a tutte le N particelle che costituiscono il sistema considerato.Per giungere alle equazioni macroscopiche di Maxwell si considera la media statistica, in-dicata con il simbolo < >, delle grandezze precedentemente introdotte; supponendo chel’operatore di media statistica sia commutabile con quello di derivazione, si ha:

∇ · εoE = ρq −∇ · P

∇ · B = 0

∇× E = −Bt∇× B/µo = εoEt + Pt + Jq + ∇× M

10

Formulazione microscopica dei postulati della fluidodinamica

dove

E = < e > ; B =< b > ; P =<∑

diδ(Q−Qi) > (2.6)

M = <∑

miδ(Q−Qi) > ; ρq =<∑

qiδ(Q−Qi) > ; Jq =<∑

qiciδ(Q−Qi) >

P, M e Jq prendono il nome di densita di polarizzazione elettrica, densita di magnetizzazionee densita di corrente elettrica.Ponendo infine

D = εoE + P ; H = B/µo − M

le 2.6 si scrivono

∇ · D = ρq

∇ · B = 0

∇× E = −Bt (2.7)

∇× H = Jq + Dt

I vettori D ed H prendono, rispettivamente, il nome di spostamento dielettrico e intensitadel campo magnetico.

2.2 Formulazione microscopica dei postulati della flui-

dodinamica

Lo studio particellare dei sistemi macroscopicamente continui consente di presentare in modosemplice i postulati espressi dalle equazioni della fluidodinamica e di attribuire un significatofisico ai termini che vi compaiono.Le grandezze mediante le quali possono essere introdotti tali postulati per un insieme costi-tuito, ad un dato istante t, da N particelle sono: la posizione Qi, la massa mi, la velocita ci,la forza risultante fi relative alla iesima particella ed i campi elettromagnetici e e b definitidalla proprieta che la forza elettromagnetica agente sulla carica elettrica puntiforme qi euguale a qi(e + ci × b).In una impostazione non relativistica i postulati possono essere espressi come segue:

1. I campi elettromagnetici sono determinati dalle equazioni di Maxwell: tali equazionirichiedono che la carica qi sia una costante delle particelle.

2. La massa mi di ogni particella risulta costante, nel senso che, in assenza di reazionichimiche, non varia mentre, in presenza di reazioni chimiche, la somma delle massedelle particelle reagenti e uguale alla somma delle masse delle particelle ottenute. Ciosignifica che la somma delle masse mi delle N particelle e costante nel tempo; si hacioe:

N∑

i=1

mi = cost (2.8)

ovveroN

∑

i=1

mi = 0 (2.9)

11


3. Per il sistema delle N particelle vale la relazione

fN =N

∑

i=1

f i =d

dt

N∑

i=1

mici (2.10)

La forza risultante f i che agisce sulla particella iesima puo essere scritta come sommadi diversi termini.Il contributo gravitazionale e espresso da

fig = mi G gradQi

∑

j

mj/dij (2.11)

dove G e la costante di gravitazione universale (che in unita SI e uguale a 6, 67 ·

10−11m3/Kgs2 e dij e la distanza tra la particella iesima e quella jesima; il pedice Qiindica che il gradiente va calcolato rispetto alle coordinate del punto (Qi; la sommatoriava estesa alle particelle di tutto lo spazio e non solo a quelle costituenti il sistema delleN particelle considerato.Il contributo elettromagnetico alla forza, che agisce sulla iesima particella che, come sie fatto

fqi = qi(e + ci × b) + ∇e · di + ∇b · mi (2.12)

dove qi e la carica totale e di ed mi sono i momenti di dipolo elettrico e magneticodella particella iesima.Il contributo dovuto alle interazioni elettrostatiche e quantistiche, che possono esseredi tipo binario, terziario etc., con altre particelle, del sistema considerato o esterno adesso, e espresso dal gradiente dei relativi potenziali di interazione Uij , Uijk , etc.Le forze sono regolate dal principio di Newton (ad ogni azione corrisponde un’azioneuguale e contraria) per cui la somma di tutte le forze interne alle N particelle conside-rate, cioe dovute all’azione di una di esse sulle altre, e nulla. Ne segue che nella 2.10 fNe uguale alla somma dei contributi esterni, cioe alla somma delle forze che, pur agendosulle N particelle del sistema considerato, hanno la loro sorgente all’esterno di esso.

4. Per enunciare il quarto postulato occorre definire l’energia ei di una particella; taleenergia puo essere suddivisa in diversi modi, ognuno dei quali risulta vantaggioso inparticolari circostanze. Si operera la suddivisione piu utile nel caso dei gas.Una prima forma di energia e data dalla seguente somma di tre contributi

ec,i = mic2i /2 + er,i + ev,i (2.13)

il primo dei quali rappresenta l’energia cinetica traslazionale della particella, il secondoquella rotatoria ed il terzo quella vibratoria.Si indicheranno poi con eoi tutte le altre forme di energia che si possono considerareproprie della particella (non dovute cioe alla presenza di altri corpi o campi) comequelle che si manifestano durante reazioni chimiche, nucleari, etc.: queste forme dienergia, come la massa della particella, sono costanti finche non avvengono tali reazioni.L’energia di tipo gravitazionale, in comune tra l’elemento di massami e quello di massamj e espressa da

egij = −Gmimj/dij (2.14)

per cui l’energia gravitazionale egi della particella iesima e data da

egi =∑

j

egij (2.15)

12

Formulazione microscopica dei postulati della fluidodinamica

L’energia connessa con le interazioni, non considerate precedentemente, tra le particellesi puo esprimere mediante i potenziali Uij , Uijk etc. che caratterizzano tali interazioni.Per definire l’aliquota di questa energia associata alla particella iesima si osserva che,ad es., nell’interazione binaria, l’energia Uij e collegata alla coppia costituita dalla par-ticella iesima e da quella jesima: risulta pertanto opportuno associare ad ognuna delledue particelle meta dell’energia uij , per cui l’energia di interazione non gravitazionaleassociabile alla particella iesima e data da

eint,i =∑

j

Uij/2 +∑

jk

Uijk/3 + ... (2.16)

Si ricorda che le particelle con cui interagisce la iesima considerata, possono o menofar parte del sistema considerato.Risulta vantaggioso, da un punto di vista operativo, definire un’energia ei nel seguentemodo

ei = ec,i + eg,i + eint,i (2.17)

Si postula che la variazione di ei nel tempo dipende dai potenziali di interazione Uij ,Uijk etc., dal lavoro delle forze elettromagnetiche e da eo,i (diverso da zero, come mi,solo nel caso di reazioni); si postula cioe

ei = Vint,i + fq,i · ci + eo,i (2.18)

dove Vint,i =∑

j Vij +∑

jk Vijk + ... e una funzione dei potenziali di interazione,somma dei contributi derivanti da coppie, terne etc. di particelle; risulta Vij = −Vji eanalogamente per i contributi a piu indici ( Vij e associato a Uij ed analoghe associazionisi hanno per i termini a piu indici ).

13


14

Capitolo 3

EQUAZIONI DEL BILANCIO

3.1 L’equazione generale del bilancio

Si consideri un punto Q variabile in un dominio D: siano inoltre in D presenti N particellela iesima delle quali, all’istante t si trovi nel punto Qi ed abbia velocita ci; a tale genericaparticella iesima sia associabile la grandezza Πi, la cui derivata rispetto al tempo, suppostaesistente, sara indicata con Πi; si indichera inoltre con il simbolo < f > il valor medio, intesoin senso statistico, di una qualsiasi funzione f .Si definisce densita della proprieta Π, ed avra le dimensioni di Π diviso per quelle di unvolume, la funzione PΠ(Q, t) che gode della proprieta che il suo integrale, esteso a D, euguale al valor medio della somma delle grandezze Πi di tutte le particelle che si trovano inD.L’espressione di tale densita, dipendente dalle grandezze Πi e dalle posizioni relative delleparticelle rispetto a Q, puo essere scritta mediante la funzione δ(x) di Dirac (tale funzionee sempre nulla per x 6= 0 ed e infinita per x = 0 in modo che il suo integrale, esteso ad unqualsiasi dominio contenente l’origine, vale 1). Si puo percio porre:

PΠ(Q, t) =<

N∑

i=1

Πiδ(Q−Qi) > (3.1)

Integrando infatti la 3.1 si ottiene:∫

D

PΠ(Q, t)dD =<∑

Πi

∫

D

δ(Q−Qi)dD >=<∑

Πi > (3.2)

in quanto l’integrale della funzione δ e nullo per Q 6= Qi e 1 per Q = Qi.Derivando parzialmente la 3.1 rispetto al tempo, tenendo cioe fisso il punto Q, si ha:

∂

∂tPΠ(Q, t) =<

∑

[

Πiδ(Q−Qi) +Πi∂

∂tδ(Q−Qi)

]

> (3.3)

Per trasformare il secondo termine della sommatoria si osserva che, per una qualsiasi funzionedi un punto Z(t), f [Z(t)], si ha:

ft[Z(t)] = Z · ∇f (3.4)

Questa relazione si verifica facilmente ricordando la regola di derivazione delle funzioni com-poste: il primo membro, infatti, indicando con z1, z2, z3 le coordinate di Z in un sistema

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cartesiano ortogonale, si scrive fz1 z1 + fz2 z2 + fz3 z3 = Z · ∇f .Ponendo poi Z = Q − Qi(t), con Q costante rispetto a t, si ha Z = −Qi = −ci, con civelocita della particella iesima, e gradZf = ∇f , intendendo con ∇f il gradiente di f rispettoalle coordinate di Q, uguale a quello calcolato rispetto a Z. Essendo inoltre ci ·∇f = ∇·(cif)quando, come nel caso in esame, ci non dipende da Q, risulta:

∂

∂tδ(Q−Qi) = −∇ · [ ciδ(Q−Qi)] (3.5)

Pertanto la 3.3 diventa

∂

∂t(PΠ =<

∑

[

Πiδ(Q−Qi) − Πi ∇ · ciδ(Q−Qi)]

> (3.6)

ovvero, ponendo

P+ =<∑

Πiδ(Q−Qi) > ; Jp =<∑

Πiciδ(Q−Qi) > (3.7)

essa assume la forma

∂

∂tPΠ + ∇ · Jp = P+ (3.8)

Questa equazione prende il nome di equazione generale del bilancio. P+ e Jp prendonoil nome, rispettivamente, di densita di produzione e di densita di flusso della grandezza Πconsiderata.Queste denominazioni derivano dalla circostanza che, come si verifica agevolmente con leconsiderazioni che hanno condotto alla 3.2, l’integrale di P+ esteso ad un dominio D euguale al valore medio della derivata temporale (e quindi rappresenta variazioni per unitadi tempo) della grandezza associata a tutte le particelle contenute in D, mentre l’integralesuperficiale di n ·Jp (componente normale ad FD di Jp) e uguale al valor medio della sommadelle grandezze Πi associate a tutte le particelle che attraversano la frontiera di D nell’unitadi tempo.Si osserva che P+ ha lo stesso ordine tensoriale di Π, mentre l’ordine di Jp e di una unitasuperiore a quello di Π.Integrando la 3.8 ad un dominio D e tenendo conto del teorema della divergenza, si ha:

∫

D

∂

∂tPΠdD +

∫

FD

n · JpdS =

∫

D

P+dD (3.9)

Questa relazione consente di osservare che la produzione totale della grandezza Π, espressadal secondo membro della 3.9, e somma della variazione nel tempo della proprieta in D edella proprieta trasportata dalle particelle che, nell’unita di tempo, attraversano la frontieradi D.La validita delle considerazioni svolte e legata solo alla possibilita di applicare i metodi sta-tistici alla grandezza considerata, con le modalita utilizzate.Si osserva infine che il dominio D e completamente arbitrario sia per forma che per dimen-sione.

16

Equazioni di conservazione della massa e della carica elettrica

3.2 Equazioni di conservazione della massa e della carica

elettrica

Se si pone nella 3.8 Πi = mi, osservando che per la 2.9 e P+ = 0, si ha

ρt + ∇ · ρV = 0 (3.10)

Si e posto Pm = ρ; tale grandezza viene detta densita di massa, o piu semplicemente,densita; si e inoltre introdotta la velocita di massa V scrivendo la densita di flusso di massanel seguente modo:

Jm = ρV (3.11)

La 3.10 prende il nome di equazione di conservazione della massa: si usa il termine conser-vazione per indicare che la densita di produzione e nulla.Se le particelle non sono tutte della stessa specie ma sono presenti s specie diverse, si puoscrivere l’equazione del bilancio per la massa della specie k-esima, con 1 ≤ k ≤ s.Risulta all’uopo opportuno introdurre una delle possibili definizioni di concentrazione ck del-la specie k-esima, intesa come densita della specie k-esima (ha quindi le dimensioni di unamassa per unita di volume).Da questa si ottiene la concentrazione in peso cko considerando il rapporto adimensionaletra la densita della specie k-esima e la densita totale; dividendo la concentrazione ck per ilpeso molecolare della specie si ha la molarita.Posto allora Πi = mki, dalla 3.8 si ha

∂ck∂t

+ ∇ · Jk = P+k ; k = 1, ...s (3.12)

dove, per le 3.1 e 3.7, e

ck =<∑

mkiδ(Q−Qi) > ; P+k =<

∑

mkiδ(Q−Qi) ; Jk =<∑

mkiciδ(Q−Qi) >

(3.13)Si osserva che per effetto di reazioni chimiche la massa di alcune specie puo variare: puoaccadere che, in un dato punto, al posto della massa di una data specie si presentino massedi altre specie.Le sommatorie sono estese a tutte le N particelle ed e mki = mi se la particella iesima edella specie considerata ed e mki = 0 in caso contrario.Le s equazioni 3.12 prendono il nome di equazioni della diffusione; di queste solo s-1 sonoindipendenti in quanto, sommando le s equazioni 3.12 si ottiene la 3.10. Analogamente nontutte le concentrazioni ck sono indipendenti in quanto la loro somma e uguale alla densita,si ha infatti

s∑

k=1

ck = ρ (3.14)

Le equazioni 3.12 possono essere modificate esprimendo la velocita ci come somma dellavelocita di massa V, definita dalla 3.11 e di una velocita di diffusione Ci ; si ha quindi

ci = V + Ci (3.15)

Da questa definizione, tenendo conto della 3.11, risulta

<

N∑

i=1

miCiδ(Q−Qi) >= 0 (3.16)

17


Dalla 3.15 risulta ancora che il flusso Jk, espresso dalla 3.13, si puo scrivere nella forma

Jk = Vck + Ik (3.17)

dove

Ik =<∑

mkiCiδ(Q−Qi) > (3.18)

Pertanto le 3.12 si scrivono

(ck)t + ∇ · Vck + ∇ · Ik = P+k (3.19)

Prima di ottenere una nuova forma delle equazioni della diffusione e opportuno stabilire unarelazione che intercorre tra la funzione Gv che rappresenta una data grandezza per unita divolume e la funzione Gm che rappresenta la stessa grandezza per unita di massa.Essendo Gv = ρGm e ∇·s(ρV) = s∇·ρV+ρV ·∇s, con s funzione scalare derivabile qualsiasi,si ha (Gv)t +∇ ·VGv = (ρGm)t +∇ · (GmρV) = (ρGm)t +Gm∇ · (ρV) + ρV · ∇Gm da cui,tenendo conto dell’equazione di continuita 3.10, risulta

(Gv)t + ∇ · VGv = ρ[

(Gm)t + V · ∇ Gm]

o anche, ricordando la 1.15

(Gv)t + ∇ · VGv = ρD GmDt

(3.20)

Introducendo ora la concentrazione adimensionale cko = ck/ρ ed applicando la 3.20 conGv = ck e Gm = cko si ha la seguente nuova forma per le equazioni della diffusione

ρD ckoDt

+ ∇ · Ik = P+k (3.21)

Se si pone Πi = qi, dove qi e la carica elettrica della iesima particella si ottiene la seguenteequazione di conservazione della carica elettrica

∂

∂tρq + ∇ · Jq = 0 (3.22)

dove, per le 3.1 e 3.7, si ha

ρq =<∑

qiδ(Q−Qi) > ; Jq =<∑

qiciδ(Q−Qi) > (3.23)

Si nota che queste posizioni coincidono con quelle corrispondenti introdotte nello studio delleequazioni di Maxwell. La densita di produzione di cariche elettriche e nulla in quanto la caricaelettrica di ogni singola particella non varia, cioe si conserva. Allo stesso risultato si puogiungere con le equazioni di Maxwell che costituiscono uno dei postulati della fluidodinamica;per ottenere infatti la 3.22 basta sommare la derivata temporale della I equazione di Maxwellalla divergenza della IV: si e notato infatti che sul piano microscopico le equazioni di Maxwellsono incompatibili con l’ipotesi di carica variabile.

3.3 Equazioni del bilancio della quantita di moto

Se nelle 3.8 si considera come grandezza Πi la quantita di moto mi ci della iesima particella,risulta che la densita di tale grandezza, per la 3.1, e uguale al flusso di massa ρV definito

18

L’equazione dell’energia

dalla 3.11 e la densita di produzione F, detta forza di volume, per le 3.7 e 2.6, e uguale alladensita delle forze f i agenti su ogni particella; si ha cioe

F =<∑

f iδ(Q−Qi) > (3.24)

F ha quindi le dimensioni di una forza per unita di volume.La densita di flusso di quantita di moto e un tensore doppio simmetrico, indicato con J

qm,

espresso per la 3.7 da

Jqm

=<∑

miciciδ(Q−Qi) (3.25)

Pertanto, l’equazione del bilancio della quantita di moto si puo scrivere nella forma seguente

(ρVt) + ∇ · Jqm

= F (3.26)

Introducendo in questa equazione la 3.15 ed osservando che dalla 3.25, tenendo conto delle3.11 e 3.16, risulta

Jqm

= ρVV + Iqm

(3.27)

dove Iqm

, detto tensore degli sforzi, e dato da

Iqm

=<∑

miCiCiδ(Q−Qi) > (3.28)

si haρVt + ∇ · ρVV + ∇ · I

qm= F (3.29)

ovvero per la 3.20 con Gm = V:

ρD V

Dt+ ∇ · I

qm= F (3.30)

Per quel che riguarda il contributo gravitazionale Fg alla forza di volume F si osserva che,per la 2.11, la forza che agisce sulla massa mi e la risultante di tutte le forze esplicate datutti i corpi di massa mj presenti nello spazio. Tuttavia nella maggior parte dei casi e lecitotener conto solo della massa terrestre, per cui si puo scrivere

Fg = ρg (3.31)

Il valor medio di g = GM/r2, dove M e la massa della terra ed r e la distanza del punto Qdal centro della terra, alla superficie terrestre vale 9, 8m/s2.Nell’espressione di F sono stati inclusi i contributi derivanti dalle interazioni tra le particelle edai campi elettromagnetici: questa scrittura non risulta vantaggiosa nello studio di problemidi elasticita; in tale sede i contributi di interazione vengono associati al tensore degli sforzi.

3.4 L’equazione dell’energia

Se nella 3.8 si considera come grandezza Πi l’energia ei definita dalla 2.17, ricordando la 2.18e ponendo

E =<∑

eiδ(Q−Qi) > , Je =<∑

eiciδ(Q−Qi) > , P+e =<

∑

eiδ(Q−Qi) > (3.32)

19


si ha la seguente equazione del bilancio dell’energia

Et + ∇ · Je = P+e (3.33)

Si nota come il termine densita di produzione si puo scrivere, per la 2.18, come somma ditre contributi, dovuti ai potenziali di interazione, al lavoro delle forze elettromagnetiche edalle reazioni intese in senso lato includenti anche il contributo dovuto ad eventuali passaggidi stato; se questi contributi sono nulli la 3.33 diventa un’equazione di conservazione.Nel caso dei gas risulta vantaggioso separare nella 3.33 i diversi contributi derivanti dalladefinizione di energia 2.17.Osservando che, per la 3.15 e c2i = ci · ci = V 2 + 2V · Ci + C2

i , si scrivera per il valor mediodell’energia ei la seguente espressione:

E = ρ(U + Ug + V 2/2) +Eint (3.34)

dove si e posto

ρU =<∑

i

(miC2i /2 + er,i + ev,i)δ(Q−Qi) > ; ρUg =<

∑

i

egiδ(Q−Qi) > (3.35)

Eint =<∑

i

eint,iδ(Q−Qi) > (3.36)

U ed Ug prendono rispettivamente il nome di energia interna ed energia gravitazionale edhanno le dimensioni di energia per unita di massa. La 2.15 mostra come l’energia gravitazio-nale della iesima particella dipenda da tutti i corpi che hanno massa mj ; come nel caso delcontributo gravitazionale alla forza di volume, e possibile pero considerare solo il contributodovuto alla terra. Risulta cosı ρUg ≈ −ρGM/r.Per scrivere la densita di flusso dell’energia si osserva che e V · CiCi = V · (CiCi), per cuila 3.28 e <

∑

mi(V · Ci)Ciδ(Q − Qi) >= V · Iqm

, essendo inoltre <∑

egiciδ(Q − Qi) >≈

−(G M/r) <∑

miciδ(Q−Qi) >= ρUgV, risulta

Je = (U + Ug + V 2/2)ρV + Jter + V · Iqm

+ Jint (3.37)

dove

Jter =<∑

(mi C2i /2 + er,i + ev,i)Ciδ(Q−Qi) > (3.38)

detto densita di flusso di calore o termico, rappresenta la densita media del flusso dell’energiacinetica traslazionale dovuta alla velocita Ci e di quelle rotatorie e vibratorie.L’ultimo termine della 3.37 rappresenta il contributo dovuto alle interazioni ed e definito daJint =<

∑

eint,iciδ(Q−Qi) >.Si osserva infine che il contributo Lem alla densita di produzione del lavoro delle forzeelettromagnetiche, espresso da

Lem =<∑

fqi · ciδ(Q−Qi) > (3.39)

puo essere scritto, utilizzando le equazioni di Maxwell, nella forma

Lem = −1

2

∂

∂t< εoe

2 + b2/µo > −∇ · S (3.40)

20

Le condizioni al contorno - La tensione superficiale

dove S =< e × b/µo > prende il nome di vettore di Poynting.Questa seconda espressione risulta vantaggiosa per lo studio del fenomeno dell’irraggiamentomentre la prima e piu utile se sono presenti campi elettromagnetici macroscopici a valor medionon nullo.Con le posizioni precedenti e ricordando la 3.20 l’equazione dell’energia 3.33 si scrive

ρD

Dt(U + Ug + V 2/2) + ∇ · (Jter + V · I

qm) = L (3.41)

dove L = Lem + Lo + Lint essendo

Lo =<∑

eo,iδ(Q−Qi) > ; Lint = −(Eint)t −∇ · Jint+ <∑

Vint,iδ(Q−Qi) >

Si osserva come il termine Lint, poco rilevante nel caso dei gas, si trovi piu spesso associato(come accade per il corrispondente termine del tensore degli sforzi) ai termini a primo mem-bro.Alla 3.41 si puo dare una forma leggermente diversa, portando a secondo membro il con-tributo gravitazionale. Infatti, essendo grad Ug = g e non dipendendo Ug dal tempoe

D

DtUg = (Ug)t + V · ∇Ug = V · g (3.42)

per cui la 3.41 diventa

ρD

Dt(U + V 2/2) + ∇ · (Jter + V · I

qm) = L1 (3.43)

dove L1 = L− ρV · g.Si puo ora introdurre, per i gas, la temperatura assoluta T come grandezza proporzionaleall’energia cinetica traslazionale media delle particelle in un sistema che si muove con velocitaV; si pone cioe

< mC2/2 >= (3/2)kT (3.44)

dove la costante universale k, detta costante di Boltzmann, vale 1, 38 · 10−16erg/grado.Per collegare l’energia interna U alla temperatura assoluta T si fa ricorso al principio diequipartizione dell’energia secondo cui l’energia interna di una molecola, calcolata con riferi-mento ad un sistema in moto con velocita V, e divisa ugualmente tra i suoi gradi di liberta:ad ognuno di questi ne compete kT/2. Si ha cosı che una molecola monoatomica, che puosolo traslare ha tre gradi di liberta corrispondenti alle 3 possibili traslazioni secondo i 3 assi:la sua energia varra 3kT/2; una molecola biatomica potra anche ruotare intorno ai due assiperpendicolari alla congiungente i due atomi per cui l’energia interna per la traslazione erotazione vale 3kT/2 + 2kT/2 = 5kT/2.Si puo percio porre

dU = cvdT (3.45)

dove cv, definito calore specifico a volume costante, ha le dimensioni di energia per unita dimassa e per grado.

3.5 Le condizioni al contorno - La tensione superficiale

Per associare le condizioni al contorno alle equazioni del bilancio, occorre distinguere i varicasi che si possono presentare quando si precisano i coefficienti che individuano il problema

21


in esame.Particolare importanza ha il caso in cui un fluido confina con un fluido di tipo diverso: tra ifenomeni che possono avere rilievo vi e quello della tensione superficiale dovuta all’esistenzadella forza di coesione, della forza cioe che nasce per l’attrazione reciproca delle particelle diuno stesso fluido. Per illustrare questo fenomeno consideriamo il caso di un liquido confinan-te con il vuoto. L’attrazione molecolare diminuisce rapidamente all’aumentare della distanzatra le molecole e si puo considerare trascurabile ad una distanza maggiore di un opportunovalore r detto raggio della sfera di azione molecolare: per l’acqua e r≈4µm. Pertanto unamolecola che si trovi ad una distanza superiore a 2r dalla superficie di confine del liquidoattrae ed e attratta simmetricamente dalle molecole circostanti, mentre una molecola che sitrova a distanza inferiore essendo parzialmente immersa nel liquido e soggetta ad una forzarisultante verso il liquido: vi e quindi una lamina superficiale che comprime il liquido. Percaratterizzare questo fenomeno si introduce la tensione superficiale (forza per unita di lun-ghezza) τ che puo considerarsi come la forza che bisognerebbe applicare sui due elementi dilunghezza che si otterrebbero se si tagliasse la superficie con un taglio di lunghezza unitario,per tener unite le due parti della superficie: questa forza sarebbe normale al taglio e tangentealla superficie.Per il mercurio confinante con il vuoto a 20◦C e τ = 435dine/cm. Sempre a 20◦C per acqua-aria, alcool etilico-aria, etere etilico-aria si hanno rispettivamente i valori di 73, 22, 16dine/cm.In termini della tensione superficiale e possibile calcolare la pressione che si esercita sul liqui-do. Mediante considerazioni di equilibrio Laplace ha stabilito la formula: p = τ/R, dove 1/Rrappresenta la curvatura della superficie di confine (variabile in genere da punto a punto).

22

Capitolo 4

LE EQUAZIONI DELLA

FLUIDODINAMICA

4.1 Funzioni di distribuzione. Distribuzione maxwellia-

na della velocita

L’analisi statistica dei fenomeni molecolari richiede la conoscenza di funzioni di distribuzione;tali funzioni f, dipendenti da un certo numero di variabili z1, z2,...zn, sono tali che il prodottof(z1, ...zn) dz1..dzn e uguale al numero percentuale probabile di particelle che hanno la iesimavariabile compresa tra zi e zi + dzi e rappresentano quindi una densita di probabilita.Il valor medio aritmetico Fma di una grandezza F che assume gli N valori F1, F2,...FN e datoda

∑Ni=1 Fi/N o, piu in generale, se ni sono i valori Fi di F, da

∑Mi=1 niFi/N dove M sono i

valori diversi di F: ponendo infine ni/N = nio si ha

Fma =

M∑

i=1

nioFi (4.1)

Per estendere questa definizione al caso di distribuzione non discreta ma continua di valoriF conviene raggruppare i valori di F che si trovano in un certo insieme i: in tal modo sipuo utilizzare ancora la 4.1 attribuendo ad nio il significato di numero percentuale di valoridi F compresi nell’insieme iesimo. La 4.1 cosı modificata si estende facilmente, in terminidella funzione di distribuzione f, al caso in cui la funzione F dipende con continuita dallevariabili z1, z2,...zn: infatti, poiche fdz1...dzn rappresenta il numero percentuale probabiledi particelle che hanno la iesima variabile compresa tra zi e zi + dzi, il valor medio statistico< F > di una funzione F che dipenda dalle variabili zi puo essere valutato nel seguente modo

< F >=

∫

D

Ffdz1...dzn (4.2)

dove D e il dominio in cui possono variare le zi. Se si vuole eseguire un cambiamento divariabili per esprimere la funzione di distribuzione f in termini di nuove variabili ti, si otterrauna nuova funzione g(t1, ..., tn) legata alla prima dalla relazione

g = Jf (4.3)

dove J = ∂(z1,..zn)∂(t1,..tn) e lo jacobiano della trasformazione; infatti perche il valor medio sia

espresso, in termini delle nuove variabili, da una relazione analoga alla 4.2 occorre che sia

23

LE EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA

valida la 4.3 (A. Pozzi (1979) pag.120).Dalla definizione di f segue ancora che deve essere

∫

D

fdz1...dzn = 1 (4.4)

in quanto il primo membro rappresenta la percentuale totale di particelle considerate.Da una funzione di distribuzione f(z1, ...zn) se ne puo ottenere un’altra f1(z1, ...zk) dipen-dente da un numero inferiore di variabili integrando la prima rispetto a zk+1,...zn; si hacioe

f1 =

∫

D1

fdzk+1...dzn (4.5)

dove D1 e il dominio in cui possono variare le zk+1,...zn.Se una funzione di distribuzione dipende uniformemente dallo spazio in un dato dominioS, se cioe il numero percentuale di particelle che sono probabilisticamente presenti in unvolume dx dy dz e uguale al rapporto percentuale di volume considerato, cioe a dx dy dz/S,ricordando che tale numero e anche uguale a f(x,y,z,) dx dy dz, risulta: f(x, y, z) = 1/S.Se f dipende uniformemente dallo spazio e da altre h variabili zi, si ha

f(x, y, z, z1, ...zh) = (1/S)g(z1, ..., zh) (4.6)

in quanto f si puo esprimere come prodotto di due funzioni, la prima dipendente solo dallecoordinate spaziali e la seconda dalle rimanenti, indipendenti dalle prime. Infatti, per laregola della probabilita composta (A. Pozzi (1979) pag.49 e seguenti), una funzione didistribuzione che dipende da due gruppi di variabili z1,...zh, e t1...tk, indipendenti tra loro,si puo scrivere nella forma

f(z1, ..zh, t1, ..tk) = f1(z1, ..zh)f2(t1, ..tk) (4.7)

La determinazione delle funzioni di distribuzioni e in genere un problema di difficile soluzione;se pero si considerano puntiformi le molecole e non interagenti, nel caso di un gas in quietesenza alcuna direzione privilegiata e possibile trovare la funzione di distribuzione e quindicalcolare tutte le grandezze medie che interessano. Tale funzione viene detta maxwelliana.In queste ipotesi si consideri un sistema di coordinate cartesiane ortogonali in cui il vettorevelocita C abbia componenti u, v, w e una funzione di distribuzione f per ognuna delletre componenti della velocita; in particolare f(u) du e il numero percentuale probabile dimolecole che hanno componente u compresa tra u ed u+ du; per l’ipotesi che nessuna delledirezioni e privilegiata, si ha che f rappresenta la funzione di distribuzione anche per le altrecomponenti.Quindi, per la regola della probabilita composta, ritenendo indipendenti gli eventi lungo itre assi, risulta che il numero percentuale probabile di particelle che hanno le componenti divelocita comprese rispettivamente tra u e u+ du, v e v + dv, w e w + dw e

f(u) f(v) f(w) du dv dw (4.8)

Poiche tale numero e indipendente dagli assi di riferimento, lo si deve ritrovare se si consideraun sistema il cui asse x abbia la direzione ed il verso di C; le componenti di C in questanuova terna, ottenuta dalla prima mediante rotazione rigida (per cui la 4.3 da f = g essendoJ = 1), sono C = (u2 + v2 +w2)1/2, 0, 0 per cui il numero espresso dalla 4.8 e anche ugualea f(C) f(0) f(0) du dv dw.Eguagliando queste due espressioni si ha la relazione

f(u) f(v) f(w) = f(

(u2 + v2 + w2)1/2)

f(0) f(0) (4.9)

24

Funzioni di distribuzione. Distribuzione maxwelliana della velocita

che e soddisfatta dalla funzione f(a) = A expBa2, con A e B costanti qualsiasi: infat-ti e f(u) = A expBu2, f(v) = A expBv2, f(w) = A expBw2, f

(

(u2 + v2 + w2)1/2)

=A expB(u2 + v2 + w2). Si dimostra che tale soluzione e unica.La funzione di distribuzione fc(u, v, w) relativa al complesso delle tre componenti per la 4.8e uguale a f(u) f(v) f(w) e, per la 4.9, e data da: fc = A3 expBC2.E opportuno, data la simmetria che questo modello comporta, passare dalle variabili u, v,w a quelle polari C, ϑ, φ, legate a quelle cartesiane dalle relazioni u = Csenφ cosϑ , v =Csenφsenϑ , w = Ccosφ; poiche lo jacobiano J di questa trasformazione e C2senφ, lafunzione di distribuzione g in termini delle nuove variabili e

g(C, ϑ, φ) = A3C2senφ expBC2

Figura 4.1: Distribuzione Maxwelliana della velocita

Figura 4.2: Sistema di riferimento sferico

Risulta vantaggiosa la funzione di distribuzione g1(C) relativa al solo modulo della velocita;

25


per la 4.5 si ha:

g1 = A3C2 expBC2

∫ π

o

senφdφ

∫ 2π

o

dϑ = 4πA3C2 expBC2

Imporremo la condizione di normalizzazione 4.4 per determinare una relazione tra le costantiA e B.Si osserva preliminarmente che, per la convergenza dell’integrale a primo membro della 4.4,con g1 al posto di f, la costante B deve risultare negativa; ponendo B = −1/V 2, C+ = C/V ,AV = A+, la condizione 4.4 per la funzione g1 si scrive

4A+ 3π

∫

∞

o

C+ 2exp(−C+ 2)dC+ = 1

Integrando per parti e ricordando la definizione della funzione degli errori (A. Pozzi (1979)pag. 46) risulta A+ = π−1/2. Pertanto la funzione di distribuzione

g1(C) = (4/V 3π1/2)C2 exp−C+2 (4.10)

e tale che il prodotto g1 dC rappresenta il numero percentuale probabile di particelle chehanno velocita compresa tra C e C + dC, mentre la funzione

f(u, v, w) = (1/V 3 π3/2) exp−C+2 (4.11)

e tale che il prodotto f du dv dw rappresenta il numero percentuale probabile di particelleche hanno componenti della velocita comprese tra u ed u+ du, v e v + dv, w e w + dw.Prima di determinare la costante V, che ha la dimensione di una velocita, si dimostrera chetale costante rappresenta la velocita piu probabile, cioe la velocita posseduta dal maggiornumero di particelle.Per trovare il massimo di g1 si risolve l’equazione ottenuta uguagliando a zero la derivata dig1; e facile verificare che la soluzione di questa equazione e C = V .La funzione di distribuzione g1 consente di calcolare il valor medio di grandezze funzionidelle velocita molecolari.Per la 4.2 si ha cosı per la velocita media e per il valor medio del quadrato della velocitarispettivamente

< C >=

∫

∞

o

Cg1dC = 2V/π1/2 ; < C2 >=

∫

∞

o

C2g1dC = 3V 2/2 (4.12)

La costante V si calcola ora immediatamente ricordando la definizione di temperatura 3.44,si ha cosı:

V 2 = 2kT/m (4.13)

Risulta utile definire la velocita quadratica media Cqm come la radice quadrata della mediadi C2; e cioe Cqm = (< C2 >)1/2 e in questo caso risulta maggiore del 9% circa della velocitamedia < C >.

4.2 I gas perfetti. Il tensore degli sforzi per distribuzioni

maxwelliane della velocita

Per i gas che ammettono una distribuzione di velocita maxwelliana si possono calcolare abba-stanza agevolmente le grandezze macroscopiche definite nel capitolo precedente. Particolare

26

I gas perfetti. Il tensore degli sforzi per distribuzioni maxwelliane della velocita

interesse hanno i gas perfetti considerati come costituiti da particelle puntiformi, prive cioe didimensioni, non interagenti tra loro, in quanto, schematizzando i gas reali come gas perfettisi ottengono in molti casi risultati che non sono molto distanti da quelli ottenuti sperimen-talmente.Mediante le 4.12 ed 4.13 si calcola immediatamente la velocita quadratica media. Si hainfatti Cqm = (3kT/m)1/2. Questa espressione conduce, per l’idrogeno, l’azoto, l’ossigeno el’anidride carbonica a 0◦C e 1 atm rispettivamente ai valori di 1850, 490, 460, 390 m/s.Per calcolare il tensore degli sforzi definito dalla 3.28 si osserva che le velocita molecolari siconsiderano con una distribuzione spaziale uniforme per cui e applicabile la 4.6.La componente (I

qm)rs del tensore degli sforzi, per la 3.28 ed 4.1, scrivendo la funzione di

distribuzione F(P,u,v,w) nella forma (1/S) f (u, v, w), e data da

(Iqm

)rs =

∫

D

f Cr Cs du dv dw

∫

S

∑

mi δ(Q−Qi)dQ/S

dove Cr e Cs sono le componenti di C secondo gli assi r ed s e D e il dominio in cui variano leu, v, w; se si fa tendere a zero il dominio spaziale S il secondo integrale rappresenta la densitaρ; la funzione di distribuzione f e espressa dalla 4.11. Eseguendo ancora la trasformazionein coordinate polari per cui e, per r 6= s, Cr = Csenφcosϑ, Cs = Csenφsenϑ, Ct = Ccosφed essendo lo jacobiano C2senφ si ha

(Iqm

)rs = ρ

∫

∞

o

fC4dC

∫ π

o

sen3φdφ

∫ 2π

o

senϑcosϑdϑ

Poiche l’ultimo integrale e nullo risulta che le componenti del tensore degli sforzi ad indicidiversi tra loro sono nulle.Le componenti ad indici uguali sono uguali tra loro, si ha infatti

(Iqm

)rr = ρ

∫

∞

o

fC4dC

∫ π

o

sen3φdφ

∫ 2π

o

cos2ϑdϑ = (4π/3)ρ

∫

∞

o

fC4dC

Per calcolare l’ultimo integrale, in cui la funzione f e espressa dalla 4.11, si osserva chemediante integrazione per parti si ha la seguente formula di ricorrenza

∫

xhexp(−x2)dx =xh+1exp(−x2)

h+ 1+

2

h+ 1

∫

xh+2exp(−x2)dx

Valutando questa formula tra zero ed infinito si ha

∫

∞

o

xhexp(−x2)dx =2

h+ 1

∫

∞

o

xh+2exp(−x2)dx

Per h = 0 il primo membro, ricordando la definizione della funzione degli errori, vale π1/2/2,per cui applicando successivamente questa formula si trova

∫

∞

o

x4exp(−x2)dx = 3π1/2/8

Indicando allora con p la componente (Iqm

)rr si ha, tenendo conto della 4.13:

p = ρV 2/2 = ρkT/m (4.14)

27


Tale componente, che risulta indipendente dall’indice r viene chiamata pressione ed il tensoredegli sforzi, in questo caso di distribuzione maxwelliana delle velocita, si puo scrivere nellaforma

Iqm

= pU (4.15)

Alla 4.14 si puo pervenire in modo elementare definendo la pressione p come la forza cheviene esercitata, per unita di area, dal gas su una parete.Si consideri un elemento di parete, di area dA, normale all’asse x; le particelle che colpisconol’elemento di superficie nel tempo dt sono quelle contenute nel cilindro di base dA ed altezzaudt e quindi sono in numero nudtdA, se n e il numero di molecole per unita di volume;la variazione della quantita di moto che le particelle subiscono urtando la parete in modospeculare, e uguale al doppio del prodotto della velocita normale alla parete, per la massa diuna particella per il numero delle particelle: e cioe uguale a 2mnu2dtdA. Uguagliando talevariazione di quantita di moto all’impulso delle forze agenti, e ricordando che il prodottodella massa di una particella per il numero di particelle per unita di volume e la densita, siha: 2ρu2dtdA = pdAdt. Occorre considerare il valore medio di questa espressione osservandoancora che bisognera tener conto solo delle particelle che hanno una velocita diretta verso laparete, non considerando quelle che hanno verso opposto e che concorrono anche a formareil valor medio di u2; pertanto il valor medio che interessa e < u2 > /2. Si ha quindip = ρ < u2 > e poiche non si considera alcuna direzione privilegiata e < u2 >=< v2 >=<w2 >=< C2 > /3, da cui p = ρ < C2 > /3 = ρV 2/2.

4.3 Proprieta dei gas perfetti - L’equazione di stato -

Unita di misura

Introducendo il numero di Avogadro N ed il peso molecolare pm = Nm e ponendo Ro = kNed R = Ro/pm, la (4.14) si scrive

p = ρRT (4.16)

Tale equazione viene assunta come equazione di stato per i gas perfetti; essa puo essere postain forma diversa ricordando che il numero di Avogadro N, (N = 6 ·1023), e uguale al numerodi molecole contenute in una grammomolecola, o mole, di qualsiasi gas per cui in un volumevn in cui vi sono n moli la massa presente e n pm; sostituendo allora alla densita il rapportomassa volume si ha

pvn = nmoliRoT (4.17)

dove Ro e la costante universale dei gas precedentemente definita. (Il numero di molecoleper unita di volume e quindi Nnmoli/vn = Np/RoT ).Per tener conto delle forze intermolecolari e del volume occupato dal gas si corregge lapressione aggiungendo un termine a/v2

n che tiene conto del volume occupato dalle molecole;si ha cosı la seguente equazione

(p+ a/v2n)(vn − b) = nmoliRoT (4.18)

detta di Van der Waals: le due costanti a e b dipendono dal gas considerato. Piu in generalesi introduce il fattore di comprimibilita Z(ρ, T ) scrivendo la equazione di stato nella forma

p = ZρRT (4.19)

Poiche la 4.16 vale per piccoli valori della densita, si puo sviluppare Z in serie di Taylor di ρ(sviluppo detto viriale) scrivendo

Z = 1 + ρB(T ) + ρ2C(T ) + ρ3D(T ) + ...

28

Proprieta dei gas perfetti - L’equazione di stato - Unita di misura

Con il primo termine di questo sviluppo si ha la 4.16, con i primi due la 4.18: infatti B comedifferenza di due termini, ponendo cioe B = B1−B2/T , la 4.19 si scrive p+B2Rρ

2 = ρRT (1+B1ρ) da cui, essendo ρ piccolo e 1 + B1ρ1/(1 − B1ρ) da cui (1 − B1ρ)(p + B2Rρ

2) = ρRTe quindi la 4.18. Il sistema di unita di misura che si seguira prevalentemente e il SistemaInternazionale (SI). In esso le grandezze fondamentali sono lunghezza, massa e tempo e lerelative unita di misura sono: m, Kg, s.La forza si misura in Newton, simbolo N = Kgm/s2, un cui multiplo e il decanewton.La pressione si misura in pascal, simbolo Pa = N/m2, un cui multiplo e il bar = 105Pa;indicando con atm l’unita detta atmosfera normale, uguale alla pressione di una colonna dimercurio alta 0,76 m, risulta 1atm = 1, 01bar; un sottomultiplo di atm e il torr (millimetridi mercurio): 1torr = (1/760)atm = 133, 322Pa.Il lavoro si misura in Joule, simbolo J = Nm, un cui sottomultiplo e l’erg : J = 107erg. Lapotenza in watt: 1W = J/s.La temperatura e misurata in gradi Kelvin. Nel sistema internazionale la costante Ro euguale a 8, 314J/moleK.L’equazione di stato consente di calcolare facilmente il coefficiente di compressibilita isotermaχ e quello di dilatazione volumetrica α definiti come variazione relativa di volume per unitadi pressione a temperatura costante e per unita di temperatura a pressione costante; si hainfatti

χ =(vp)T=cost

v= −1/p ; α =

(vT )p=costv

= 1/T (4.20)

Dalla 4.17 si ricava la legge di Avogadro secondo cui nelle stesse condizioni di temperatura epressione volumi uguali di gas diversi contengono un numero uguale di molecole: infatti per pe T costanti il numero di moli risulta costante ed essendo sempre uguale ad N il numero di mo-lecole contenute in una mole, costante risulta ancora il numero totale di molecole. Viceversanelle stesse condizioni di p e T risulta costante il volume occupato da un costante numero dimolecole di gas diversi: alla temperatura di 273,15 K (cioe 0◦C) e 1 atm (cioe 1, 01·105N/m2)una mole di qualsiasi gas occupa un volume di 8, 314 · 273/1, 01 · 105 = 2, 22 · 10−2m3/mol.Questo numero e chiamato numero di Loschmidt.La conoscenza della funzione di distribuzione consente di determinare la espressione dell’e-nergia cinetica. Per gas monoatomici la 3.35 da

ρU =1

2<

∑

i

miC2i δ(Q−Qi) >

Potendosi scrivere la funzione di distribuzione nella forma (1/S)g1(C) si ha

ρU =1

2

∫

∞

o

g1C2dC

∫

S

∑

i

miδ(Q−Qi)dQ/S

Facendo tendere a zero il dominio spaziale S risulta

U =1

2

∫

∞

o

g1C2dC

e quindi per le 4.12 ed 4.13

U = 3V 2/4 = 3kT/2m

cioe

U = (3/2)RT (4.21)

29


ovvero introducendo il calore specifico cv come derivata di U rispetto a T, a volume costante,si ha anche

U = cvT (4.22)

Pertanto il calore specifico a volume costante di un gas monoatomico, considerato come gasperfetto, vale 3R/2.Se il gas non e monoatomico cv si calcola applicando il principio di equiripartizione dell’e-nergia per cui l’energia cinetica molecolare si equiripartisce tra tutti i gradi di liberta e perogni grado e uguale a RT/2; pertanto se i sono i gradi di liberta delle molecole costituentiun dato gas si ha per il relativo calore specifico l’espressione

cv = iR/2 (4.23)

Nel caso monoatomico considerato precedentemente i = 3; per una molecola biatomica con2 possibilita di ruotazione, i = 5; se i 2 atomi non sono collegati rigidamente, ma possonosubire due tipi di oscillazioni i = 7.

4.4 Libero percorso medio

Una grandezza che assume un ruolo molto importante per lo studio molecolare dei gas e illibero percorso medio lpm, cioe il valor medio della distanza che una molecola percorre tradue urti successivi; tale grandezza e collegata al numero medio di urti che la molecola subiscenell’unita di tempo.Questo numero Z puo essere calcolato facilmente se si assumono elastici gli urti e se lemolecole, schematizzate come sfere di raggio r, vengono considerate tutte ferme tranne una,in moto con velocita C.Si osserva infatti che si ha un urto quando la distanza tra il centro di una molecola fissa equella mobile e uguale a 2r; quindi la molecola mobile urtera tutte le molecole fisse che sitrovano in una sfera di raggio 2r: l’area del cerchio massimo di tale sfera viene detta sezioneefficace per gli urti della molecola.Il numero di particelle urtate nell’unita di tempo e uguale al numero di molecole per unita divolume n per il volume ottenuto moltiplicando la sezione efficace per lo spazio percorso dallamolecola e vale percio n4πr2C. Si dimostra che l’espressione trovata deve essere moltiplicataper 21/2 se si vuole tener conto del moto di tutte le particelle.Per calcolare il cammino che mediamente compie una particella senza incontrarne un’altra,basta dividere lo spazio percorso dalla particella nell’unita di tempo, cioe C, per il numero diparticelle che la molecola urta nello stesso tempo e moltiplicarlo per il numero z di particelleche quella considerata incontra, simultaneamente; si ha cosı la seguente formula di Maxwell:

lpm = z/4 · 21/2πr2n

Per pressioni non molto diverse da quella atmosferica il numero di urti simultanei piu fre-quenti e 2.Ad esempio nel caso dell’aria, a 1 atm e 273 K, composta prevalentemente di azoto, il raggiodella cui molecola e circa 1, 9 · 10−10m; essendo il numero di particelle per unita di volume2, 7 ·1025/m3 e la velocita media 500 m/s, si ha Z = 8, 6 ·109/s e lpm = 6 ·10−8m. (Per l’elioe l’anidride carbonica il raggio molecolare vale 1, 09 · 10−10 e 2, 33 · 10−10 rispettivamente).Come si vede il libero cammino medio e molto piccolo a pressioni dell’ordine di grandezzadi quella atmosferica: esso infatti e inversamente proporzionale al numero di molecole perunita di volume ed e quindi inversamente proporzionale alla pressione.In ambienti rarefatti quali sono quelli che si realizzano nei tubi Rontgen, il libero cammino

30

Le incognite della fluidodinamica; entalpia, entropia, velocita del suono isentropica

medio e dell’ordine di centinaia di metri.Il rapporto tra lpm e una lunghezza L caratteristica di un campo fluidodinamico viene dettonumero di Knudsen ed e indicato con il simbolo Kn.Per un Kn minore di 0,01 il moto puo essere considerato continuo; per 0, 01 ≤ Kn < 0, 1 siha un regime detto di correnti slittanti (slip flow); per 0, 1 ≤ Kn < 3 il regime viene detto ditransizione ed infine per valori maggiori di Kn si ha un moto di molecole libere (free moleculeflow).

4.5 Le incognite della fluidodinamica; entalpia, entro-

pia, velocita del suono isentropica

Nel capitolo precedente sono state introdotte alcune grandezze che definiscono macroscopi-camente il moto di un sistema: queste sono la velocita V, la densita ρ e la temperaturaassoluta T . Una quarta grandezza, la pressione p, e stata definita, mediante il tensore deglisforzi, nel caso di una distribuzione maxwelliana della velocita. Se la distribuzione dellavelocita non e maxwelliana, bisogna determinare la funzione di distribuzione risolvendo unadifficile equazione integro-differenziale, detta di Boltzmann. Se i gradienti delle grandezzemacroscopiche non sono elevati, per una particolare, ma fondamentale, categoria di fluidi,detti newtoniani, il tensore degli sforzi si puo scrivere nella forma

Iqm = pU − 2µD − b∇ · V U = pU + I

d(4.24)

dove U e il tensore unitario, µ e b prendono il nome di primo e secondo coefficiente di vi-

scosita, Id

e la parte dissipativa del tensore degli sforzi e D = (∇V + ∇V+)/2 e il tensorevelocita di deformazione (l’apice + e simbolo di tensore coniugato). Affinche il valor mediodegli sforzi normali σ1, σ2, σ3, definiti dalla 4.24, sia uguale alla pressione p calcolata nel casodi fluidi in quiete, occorre che tra i due coefficienti di viscosita esista la relazione 2µ+3b = 0;infatti e σ1 = p− 2µux − b∇ · V, σ2 = p− 2µvy − b∇ · V, σ3 = p− 2µwz − b∇ · V.Le quattro incognite introdotte possono essere considerate fondamentali nel caso di un siste-ma omogeneo; tutte le altre grandezze che caratterizzano il fluido possono essere espresse infunzione di queste.Se il sistema non e omogeneo si possono aggiungere alle grandezze fondamentali le densitaparziali ρ = ck in numero uguale a quello dei componenti del sistema diminuito di un’unita.Le equazioni che determinano tali incognite sono: le equazioni di continuita, di equilibrio,dell’energia e di stato.Quest’ultima equazione e caratteristica del particolare fluido studiato. Noi prenderemo inesame essenzialmente i gas perfetti per cui l’equazione di stato e p = ρRT .Un’altra categoria di fluidi, costituita essenzialmente dai liquidi, puo essere in genere trattatacon l’equazione ρ = cost.; infatti solo per alcuni fenomeni particolari la variazione di densitanei liquidi non puo essere trascurata.Possiamo percio, per determinare le incognite p, ρ, ci, T , V, scrivere le seguenti equazioni:Continuita

ρt + ∇ · (ρV) = 0 (4.25)

Diffusionecit + ∇ · (ciV + ∇ · Ii) = P+

i (4.26)

Equilibrio

ρD V

D t+ ∇ · I

qm = F (4.27)

31


Energia

ρD(U + V 2/2)

D t+ ∇ · (Jter + V · I

qm) = L1 (4.28)

A queste equazioni, del tutto generali, va aggiunta l’equazione di stato che, per i gas perfetti,e:

p = ρRT

Prima di presentare le espressioni per Ii e Jter e opportuno ricordare alcune grandezze ter-modinamiche.E gia stata definita l’energia interna U mediante il suo differenziale, nel seguente modo

dU = cvdT (4.29)

Nel caso di cv costante si haU = cvT (4.30)

L’entalpia h e definita dalla relazione

h = U + p/ρ (4.31)

Per gas perfetti, se cv e costante, introducendo il calore specifico a pressione costante cp =cv +R, si ha ancora

h = cvT +RT = (cv + R )T = cpT (4.32)

Se cv non e costante, cp viene definito dalla relazione

cp = hT

la derivata parziale intendendosi a pressione e concentrazione costante.L’entropia S e definita mediante la relazione

TdS = dU + pd1/ρ (4.33)

Porremo oraa2is = (pρ)S=cost

e dimostreremo in seguito che ais e la velocita del suono.Per ricavare l’espressione di ais basta porre dS = 0 nella 4.33 per ottenere

cvdT − (p/ρ2)dρ = 0

Essendo, per l’equazione di stato, dT = dp/Rρ− Tdρ/ρ, questa relazione diventa

cvdp− cvRTdρ−R(p/ρ)dρ = 0

cioedp = RT (1 +R/cv)dρ

e quindi, poiche e cp = cv +R,dp = γRTdρ (4.34)

dove γ e il rapporto tra i calori specifici.Ricordando che questa relazione vale per S = cost, per cui il primo membro si puo scriveredp = pρdρ, risulta

(pρ)S=cost = a2is = γRT (4.35)

La 4.34, ponendo p/ρ al posto di RT , si scrive anche dp/p = γdρ/ρ che integrata da laseguente relazione isentropica che intercorre tra pressione e densita

p/po = (ρ/ρo)γ (4.36)

32

I vettori di flusso ed i coefficienti di trasporto

4.6 I vettori di flusso ed i coefficienti di trasporto

Si considerera per semplicita il caso in cui il gas sia costituito da due componenti; il flussodi un componente dipendera dai gradienti di funzioni della concentrazione, pressione, tem-peratura; ponendo cko = ρk/ρ, dalla 3.18 mediante la relativa funzione di distribuzione siottiene, per valori non molto elevati dei gradienti, la seguente espressione:

Ii = −ρD12(∇cio + c10 c20pmj

− pmi

pm∇(logp) − αi∇(logT ) (4.37)

dove D12 e il coefficiente di diffusione binario e αi e il coefficiente di termodiffusione.lI flusso termico dipende dal gradiente di temperatura oltre che dai flussi Ii mediante i qualiviene trasportata energia termica; per la 3.38 si puo scrivere nella forma:

Jter = −λ∇T − I1(h1 − h2) − kT I1α1/D12m1m2c10c20 (4.38)

dove λ e il coefficiente di conduttivita termica e k e la costante di Boltzmann.Come si e osservato, le relazioni 4.24, 4.37 ed 4.38 si ricavano eseguendo le opportune mediestatistiche, dopo avere determinato le funzioni di distribuzione, nelle relazioni che definisconoil tensore degli sforzi, il flusso diffusivo ed il flusso termico.Le espressioni di coefficienti, detti di trasporto, che ivi compaiono sono piuttosto complesse:se ne possono pero individuare le dipendenze funzionali mediante trattazioni elementari.Queste si basano su alcune formule riguardanti il moto delle particelle in assenza di unadirezione privilegiata; in queste condizioni se si considerano le particelle contenute in datovolume, in moto con velocita il cui modulo e < C >, si avra che 1/3 di esse si muoverasecondo l’asse x e di questo terzo meta si muovera secondo il verso positivo di tale asse:pertanto, indicando con n il numero di particelle per unita di volume, le particelle cheattraversano l’unita di una superficie S perpendicolare all’asse x nell’unita di tempo, nelladirezione dell’asse, sono 1/6 di quelle che si trovano nel volume che ha per base la superficieunitaria considerata e per altezza lo spazio percorso dalle particelle nel tempo unitario, cioenel volume < C >, e sono in numero N+ dato dalla relazione

N+ = n < C > /6 (4.39)

Analoghe relazioni si scrivono per l’altro verso dell’asse x e per gli altri assi. La secondaformula si stabilisce considerando che la velocita di ogni particella, e quindi le proprieta cheda esse dipendono, non varia tra un urto ed un altro; pertanto la distanza della superficie Sper cui non si hanno variazioni e lpm.

Figura 4.3: Libero percorso medio

33


Per collegare il valore di una funzione macroscopica f alle ascisse x1 e x2, poste ad unadistanza da S uguale al libero percorso medio, si puo applicare la formula di Taylor arrestataal primo termine per cui e f(x2) − f(x1) = fx(x2 − x1), cioe, essendo x2 − x1 = 2lpm, edindicando f(xi) con fi:

f1 − f2 = −2lpmfx (4.40)

Le (4.39) e (4.40) danno l’espressione di un flusso I di una proprieta per unita di massa f .Tale flusso attraverso una superficie di area unitaria (dato dalla differenza tra proprieta cheentra f1 e quella che esce f2) e uguale a f1 − f2 per la massa di una particella per N+, cioe−2lpmfxmn < C > /6 e quindi I = −fxlpmρ < C > /3.

4.7 I coefficienti di autodiffusione e di diffusione

Il primo coefficiente che e opportuno considerare in assenza di moti macroscopici e quello diautodiffusione D, che riguarda la diffusione di un gas in un altro costituito da particelle dellastessa massa (tale problema ha, ad esempio particolare interesse nello studio di una misceladi isotopi). Si applicheranno le 4.39 ed 4.40 osservando che la proprieta che si prende inesame e il numero di particelle, per unita di volume di uno dei due gas, n.Per calcolare il numero di particelle totale N di un gas che attraversano l’unita di superficiedi S nell’unita di tempo, bisogna sottrarre da quelle N1, che vanno da sinistra verso destra,quelle N2 che vanno da destra verso sinistra da cui N = −lpm < C > nx/3, indicando conc = mn la concentrazione del gas considerato, si ha

mN = −lpmcx < C > /3 (4.41)

Osservando ancora che il primo membro rappresenta il flusso di massa I1 della specie consi-derata nella direzione x e confrontando questa relazione con la 4.37, nel caso isotermo ed adensita ρ = c1 + c2 costante, si ha

D = lpm < C > /3 (4.42)

Per O2 alla p.a. si ha lpm ∼ 10−8m, < C >∼ 500m/s per cui e D =∼ 1, 6 · 10−5m2/s.Se le due componenti del gas hanno masse diverse, applicando la 4.41 per ognuna delledue specie, si avrebbe una somma algebrica dei due flussi di massa non nulli, in contrastocon l’ipotesi di assenza di moto macroscopico. Questi due flussi I ′1 ed I ′2 devono pertantoessere modificati con l’aggiunta di un altro termine; il calcolo di questo termine si conduceosservando che il flusso di massa che si verificherebbe sarebbe ρv = I ′1 + I ′2 = −(l1 < C1 >c1x+ l2 < C2 > c2x)/3; cioe sia le particelle della specie 1 che quelle della specie 2 sarebberoanimate da una velocita di massa v data da v = (I ′1 + I ′2ρ e quindi vi sarebbe un flussoaggiuntivo c1v e c2v per le due specie: in particolare osservando che per l’ipotesi di densitacostante (ρ = c1 + c2) e c2x = −c1x, si ha:c1v = −(c10 l1 < C1 > −c10 l2 < C2 >)c1x/3.Sottraendo questo contributo ad I ′1 si ha il flusso I1; poiche e c10 + c20 = 1 risulta per ilcoefficiente di diffusione binario D12 la seguente espressione

D12 = (c20 l1 < C1 > + c10 l2 < C2 >)/3 (4.43)

E da notare che se la concentrazione di uno dei componenti e piccola, il coefficiente di diffu-sione binario puo essere quasi uguale al coefficiente di autodiffusione dell’altro componente.Questa relazione non e pero molto soddisfacente. Il coefficiente di diffusione per la cop-pia ossigeno-tetracloruro di carbonio (O2 − CCl4) alla pressione di 750 mmHg ed a 0◦C e0.0636 cm2/sec: l’applicazione della 4.43 conduce a valori sensibilmente diversi.I coefficienti di diffusione binario e di autodiffusione si misurano, in unita SI, in m2/s.

34

Il coefficiente di conduttivita termica

Il fenomeno della termodiffusione esercita un’influenza del secondo ordine sul campofluidodinamico e non e suscettibile di una trattazione elementare molto semplice.

4.8 Il coefficiente di conduttivita termica

Si applicheranno ancora le due formule 4.39 ed 4.40, quest’ultima riferita alla temperaturaT.Si osserva preliminarmente che l’energia che trasportano le molecole che attraversano lasuperficie S e diversa in quanto le due zone separate da S sono a diversa temperatura.Indicando con Uh l’energia che passa dalla zona a temperatura Th all’altra, si ha un flusso dienergia totale n < C > (U1−U2)/6 dalla zona a temperatura piu alta a quella a temperaturapiu bassa; poiche l’energia media di una molecola con i gradi di liberta e i kT/2 = iRoT/2N =iRpmT/2N = cvmT (essendo il rapporto tra il peso molecolare ed il numero di Avogadrouguale alla massa della molecola) risulta per il flusso di energia l’espressione cvmn < C >(T1 − T2)/6.La differenza T1 − T2, per la 4.40 risulta espressa da −2lpmTx per cui il flusso di energia,essendo mn = ρ, e dato da −ρlpmcvTx < C > /3.Confrontando questa espressione con quella ottenuta dalla 4.38 nel caso di un gas omogeneo,si ha per il coefficiente di conduttivita λ la seguente espressione:

λ = ρ < C > lpmcv/3 (4.44)

Da questa relazione risulta che λ non dipende dalla pressione in quanto la densita e pro-porzionale, mentre il libero percorso medio e inversamente proporzionale, alla pressione; λdipende invece dalla temperatura ed e crescente con essa; l’esperienza conferma questa di-pendenza da p e T .In unita SI λ si misura in W/m◦K. Si osserva che questa formula puo servire a misurareil raggio molecolare r, di cui e funzione lpm, misurando le altre grandezze che vi compa-iono. Cosı, per l’ossigeno, ottenendo per λ il valore 0, 024W/m◦K si ha per r il valore1, 4 · 10−10m. L’ordine di grandezza dei raggi molecolari della maggior parte dei gas e lostesso; ad es. per l’idrogeno, elio, azoto, ossigeno, argo si ha rispettivamente, 2,74; 2,18;3,75; 3,61; 3, 64 · 10−10m.

4.9 Il coefficiente di viscosita. Il numero di Prandtl

Anche per il coefficiente di viscosita si puo ottenere una espressione semplice con lo stessomodello illustrato precedentemente. Questa volta la superficie S, normale all’asse x, separadue zone a velocita di massa v1 e v2, con v1 > v2.

Figura 4.4: Distribuzione di velocita

Poiche il numero di molecole che attraversa l’unita di superficie nell’unita di tempo e sempren < C > /6, la quantita di moto trasportata dalle molecole a velocita vi e mn < C > vi/6per cui il flusso totale e ρ < C > (v1 − v2)/6; la differenza v1 − v2 puo essere espressa da

35


−2lpmvx per cui il flusso di quantita di moto e dato da −ρlpm < C > vx/3. Confrontandoquesta espressione con quella che in condizioni analoghe si ricava dalla 4.24 si ha per ilcoefficiente di viscosita l’espressione

µ = ρlpm < C > /3 (4.45)

Si osserva che il fenomeno collegato alla viscosita tende a livellare la velocita del fluido inquanto nel processo di scambio le molecole dello strato piu lento ritardano quelle dello stratopiu veloce e viceversa.Si osserva ancora che il coefficiente di viscosita non dipende dalla pressione ed e funzionecrescente della temperatura.In unita SI µ si misura in Kg/m · s.Confrontando la 4.44 con la 4.45 si trova

λ = µcv (4.46)

Questa relazione e qualitativamente verificata dall’esperienza, in quanto il rapporto µcv/λrisulta quasi unitario.In unita SI, per l’azoto, l’ossigeno, il vapor d’acqua, il coefficiente di viscosita e rispettiva-mente 1,66; 1,92; 1, 21 · 10−5 ed il citato rapporto vale per i tre gas 1,91; 1,91; 1,24.Particolare interesse ha il rapporto cpµ/λ, definito numero di Prandtl; la trattazione sempli-ficata fin qui svolta da Pr = γ, con γ rapporto tra i calori specifici.Si trova sperimentalmente che per i gas il numero di Prandtl e di ordine di grandezza unita-rio.Queste considerazioni consentono di concludere che le trattazioni elementari svolte per cal-colare i coefficienti di trasporto oltre ad avere un significato qualitativo che rende conto inmodo immediato della realta fisica, hanno anche un interesse quantitativo, almeno per gliordini di grandezza.

4.10 Altra forma dell’equazione dell’energia. Entalpia

totale

Per trasformare l’equazione dell’energia si definisce l’entalpia totale htot nel seguente modo

htot = h+ V 2/2 (4.47)

per cui e:U + V 2/2 = htot − p/ρ

Derivando tale relazione e tenendo conto della equazione di continuita scritta nella formaDρDt + ρ∇ · V = 0, si ha

ρD(U + V 2/2)

Dt= ρ

DhtotDt

−Dp

Dt− p∇ · V (4.48)

Essendo inoltre V · U = V, per la (T,116) e:

∇ · (V · pU) = ∇ · Vp = p∇ · V + V · ∇p

Questa relazione, insieme alla 4.48 ed alla 4.24, consente di scrivere la 4.28 nel seguentemodo:

ρhtotDt

−Dp

Dt+ V · ∇p+ ∇ · (V · I

d+ Jter) = L1

36

Le equazioni in forma adimensionale; grandezze di riferimento

Ricordando infine la 1.15, si ha per l’equazione dell’energia la seguente espressione:

ρDhtotDt

= L1 + pt −∇ · (V · Id

+ Jter) (4.49)

Questa relazione mostra che le cause che fanno variare l’entalpia totale sono:

1. Il lavoro delle forze di volume L1, nel senso generalizzato precedentemente descritto

2. La variazione nel tempo della pressione

3. La parte dissipativa Id

del tensore degli sforzi, nulla se lo sono i due coefficienti diviscosita

4. Il flusso di energia termica, nullo se e tale il coefficiente di conduttivita termica, quellodi diffusione e di termodiffusione

Se sono nulli questi quattro contributi l’equazione dell’energia si scrive:

DhtotDt

= 0 (4.50)

Se il flusso e stazionario questa equazione diventa:

V · ∇htot = 0

che puo interpretarsi nel seguente modo: l’entalpia totale,nelle ipotesi di cui sopra, e costantelungo una linea di corrente. E infatti nulla la componente del gradiente di htot nella direzionedel vettore velocita.

4.11 Le equazioni in forma adimensionale; grandezze di

riferimento

Per poter discutere meglio le equazioni della fluidodinamica e opportuno porle in formaadimensionale; per ogni grandezza se ne introduce una omogenea Ao caratteristica del feno-meno che si intende studiare, per cui il rapporto A = A/Ao e adimensionale e di ordine digrandezza unitario: in tal modo si otterra che il peso che ha ogni termine di un’equazione equello del numero adimensionale che costituisce il coefficiente del termine. Si indicherannocon `, Vo, ρo, To, cpo, µo, D12o, λo la lunghezza, velocita, densita, temperatura, calore speci-fico(p=cost), coefficiente di viscosita, di diffusione e di conduttivita termica di riferimento:non sempre pero e opportuno assumere una sola lunghezza di riferimento.In termini di una di queste puo essere conveniente esprimere altre funzioni che hanno lostesso ordine di grandezza di quella considerata. Cosı come tempo di riferimento to si puoassumere il rapporto `/Vo, nell’ipotesi che tale rapporto rappresenti il tempo caratteristicodel fenomeno. Si assumeranno ancora le seguenti grandezze di riferimento per pressione p,flusso diffusivo Ii, forze di volume F, tensore degli sforzi I

d, flusso termico Jter , produzione

di energia L, rispettivamente ρoV2o , ρoD12o/`, ρoV

2o /`, µoVo/`, λoV

2o /`cp, ρocpoToVo/`. Per

stabilire quando il rapporto po/ρoV2o e di ordine di grandezza unitario si osserva che, nel caso

di gas perfetti, tale rapporto vale RTo/V2o cioe 1/γM2. Inoltre, sempre per i gas perfetti, si

ha h = a2(γ − 1) e quindi V 2o /ho = (γ − 1)M2.

Si introducono i seguenti numeri adimensionali, indicando con ν = µ/ρ la viscosita cinemati-ca: Re = V `/ν, numero di Reynolds, Sc = ν/D12, numero di Schmidt, Pr = cpµ/λ, numero

37


di Prandtl, M = V/a, numero di Mach.Si osserva infine che la divergenza ed il gradiente hanno le dimensioni dell’inverso di unalunghezza per cui e div = ldiv; grad = lgrad. E possibile allora scrivere le equazioni informa adimensionale ponendo nelle 4.25 - 4.28 al posto di ogni grandezza A il prodotto AAo;sopprimendo per semplicita i soprasegni e dividendo opportunamente si ha

ρt + ∇ · (ρV) = 0 (4.51)

cit + ∇ · (ciV) + (1/Re Sc)∇ · Ii = P+i (4.52)

ρDV

Dt+ ∇p+ (1/Re)∇ · I

d= F (4.53)

ρD htotD t

= L1 + (γ − 1)M2pt − (1/Re)∇ ·[

(γ − 1) M2V · Id

+ Jter/Pr]

(4.54)

Puo essere utile, per esempio quando non si utilizza l’equazione dei gas perfetti ma l’equazioneρ = costante, non introdurre M nell’equazione dell’energia (4.54) ma lasciare V 2

o /ho al postodi (γ − 1)M2.Le equazioni illustrate prendono il nome di Stokes-Navier.

38

Capitolo 5

FLUIDODINAMICA DELLE

MISCELE

5.1 Miscele di gas perfetti

Per una miscela di gas perfetti vale la legge di Dalton per cui la pressione di una tal miscelae uguale alla somma delle pressioni parziali, cioe delle pressioni che eserciterebbe ciascun gasse occupasse alla stessa temperatura tutto il volume occupato dalla miscela. Infatti scrivendola 4.17 nella forma

pv = (n1 + ...+ nh)RoT

si hap = n1RoT/v + ...+ nhRoT/v = p1 + ...+ ph

dove pi e la pressione parziale dell’iesimo gas componente la miscela cioe la pressione cheeserciterebbe il gas se occupasse l’intero volume v; la legge di Dalton esprime la circostanzache la pressione p e uguale alla somma delle pressioni parziali. Dimostriamo ora che una mi-scela di gas perfetti si comporta come un gas perfetto. Si consideri una miscela alla pressionep ed alla temperatura T costituita da un gas in cui sono presenti n1 grammomolecole e cheoccupa un volume v1 ed un altro composto da n2 grammomolecole e che occupa il volumev2; applicando la 4.17 a questi due gas si ha:

pv1 = n1RoT ; pv2 = n2RoT

Ponendo vn = v1 + v2, indicando con n = n1 + n2 il numero totale delle grammomolecolepresenti nella miscela e sommando si ha

pvn = nRoT

Si ritrova cioe l’eq. 4.17. All’equazione di stato puo darsi anche la forma 4.16. Basta ricordareche la massa delle n grammomolecole del gas 1 e n1pm1, quelle delle n2 grammomolecole delgas 2 e n2pm2 per cui la massa totale considerata e

n1pm1 + n2pm2

Dividendo allora primo e secondo membro dell’ultima equazione per tale massa definendopeso molecolare pm della miscela il seguente

pm = n1opm1 + n2opm2

39

FLUIDODINAMICA DELLE MISCELE

dove nio = ni/n, si ha la 4.16.Per collegare n1o (e quindi n2o = 1 − n1o) alle concentrazioni di massa Ci = mini bastascrivere

n1o = n1/n = n1/(n1 + n2) = m1n1/(m1n1 +m1n2) = C1/(C1 + C2m1/m2)

Se ni rappresenta il numero di molecole per unita di volume Ci e la densita del componenteiesimo: in tal caso C = C1 + C2 e la densita della miscela per cui definendo Cio = Ci/C siha

n1o = C1o/(C1o + C2o m1/m2)

Osservando che Cio e anche il rapporto tra la massa del componente iesimo che e presentenell’unita di volume e la massa totale della miscela presente nello stesso volume, si concludeche questa relazione consente di calcolare il numero percentuale di molecole del componente1 conoscendo le percentuali di massa dei due componenti la miscela.L’energia interna U e l’entalpia h (che hanno le dimensioni di energia per unita di massa) diuna miscela si calcolano imponendo la conservazione della energia che esse rappresentano;si ha cioe, indicando con M1 ed M2 la massa dei due componenti e con M = M1 + M2 lamassa totale considerata: MU = M1U1 +M2U2; U = M1oU1 +M2oU2; h = M1oh1 +M2oh2

Se Ui = cviT e hi = cpiT si puo scrivere

U = cvT h = cpT

dovecv = M1ocv1 +M2ocv2 ; cp = M1ocp1 +M2ocp2

Analoghe relazioni valgono per le altre proprieta estensive della miscela; cosı per l’entropiaS si ha

S = M1oS1 +M2oS2

dove le espressioni dell’entropia Si sono quelle relative ad un gas costituito da un singolocomponente tenendo presente che nella rappresentazione in funzione dei parametri T, p, lapressione e intesa come pressione parziale pi.Per collegare pi alla densita e temperatura si ricorda che questa e la pressione che eserci-terebbe il gas iesimo se occupasse tutto il volume vn = v1 + v2 della miscela, per cui siha

pivn = niRoT

ovvero dividendo per la massa della miscela n pm si ha

pi = ρnioRT

I coefficienti di viscosita e conduttivita termica di una miscela si calcolano come combinazionelineare dei relativi coefficienti dei componenti la miscela pesati con il numero percentuale dimolecole; e cioe µ = µ1n1o + µ2n2o.Si riportano le caratteristiche dell’aria alla temperatura di 288, 16K ed alla pressione di1,01. 105N/m2 (condizioni al livello del mare), calcolate con le formule precedentementeriportate.Densita ρ: 1, 225Kg/m3; costante dei gas R: 287J/Kg · K; peso molecolare pm: 28, 96;rapporto dei calori specifici γ: 1, 4; velocita del suono a: 340m/s; coefficiente di viscositaµ: 1, 79 · 10−5Kg/m.s; viscosita cinematica ν: 1, 46 · 10−5m2/s; libero cammino medio:6, 63 · 10−8m; coefficiente di conduttivita termica κ: 2, 4 · 10−2W/m ·K; calore specifico avolume costante: cv = 717J/Kg ·K; calore specifico a pressione costante: cp = 1004J/Kg ·K.

40

Potenziali termodinamici

5.2 Potenziali termodinamici

Per poter scrivere il secondo membro dell’equazione della diffusione 4.26 occorre conoscereil meccanismo con cui avvengono le reazioni chimiche. Si considerera il caso dei gas perfetti,ricordando che la relativa equazione di stato 4.16 non e molto accurata alle alte pressionio alle basse temperature, in quanto le due ipotesi fondamentali mediante le quali e statastabilita (forze intermolecolari e volume delle molecole nulli) non sono accettabili in questecondizioni.Per discutere piu agevolmente il problema e opportuno introdurre i potenziali chimici. Siosserva preliminarmente che l’energia interna U nel caso di una miscela di gas si puo scriverenella forma

U = TS − p/ρ+n

∑

i=1

gicio (5.1)

dove cio = ci/c e la concentrazione di massa del componente iesimo e i parametri intensivi gi,associati alle concentrazioni ed aventi le dimensioni di energia per unita di massa, vengonodetti potenziali chimici dei gas costituenti la miscela.L’espressione dell’energia interna consente di esprimere quella di alcuni potenziali termodi-namici; l’entalpia h

h = U + p/ρ

il potenziale di Helmholtz Hel

Hel = U − TS (5.2)

ed il potenziale di Gibbs G

G = U − TS + p/ρ

Associando a queste relazioni quella di Gibbs-Duhem

SdT − dp/ρ+∑

ciodgi = 0

si ottengono le forme differenziali dell’energia interna e dei potenziali termodinamici, intermini delle grandezze considerate. In particolare per il differenziale dell’energia interna siha

dU = Tds− pd(1/ρ) +∑

gidcio

Aggiungendo a dU il differenziale di p/ρ si ha

dh = TdS + dp/ρ+∑

gidcio

Sottraendo a dU il differenziale di TS si ha

dHel = −SdT − pd(1/ρ) +∑

gidcio

Sottraendo a dU il differenziale di TS ed aggiungendo quello di p/ρ si ha

dG = −SdT + dp/ρ+∑

gidcio

41


Da questa ultima relazione si puo ricavare il potenziale chimico gi eseguendo la derivata diG rispetto a cio tenendo costanti tutte le altre concentrazioni, la temperatura e la pressione;si ha cioe

gj =

(

∂G

∂cjo

)

T,p,cio

(i 6= j)

E da notare che il potenziale di Gibbs, puo essere espresso dalla relazione

G =∑

gicio (5.3)

come si ricava facilmente dalla definizione di G; le espressioni differenziali precedentementericavate consentono pero di ottenere altre informazioni. Ad es. risulta che il potenzialedi Gibbs e minimo quando sono nulli dT, dp e dcio, quando e cioe costante temperatura,pressione e concentrazione.In particolare dalla forma differenziale dell’energia interna, nel caso di un gas perfetto aconcentrazione costante si ha

cvdT = TdS − ρRTd(1/ρ)

da cui integrando si ricava l’espressione dell’entropia

S − So = cvlogT/To +Rlog(ρo/ρ) (5.4)

ovvero sostituendo pρo/poρ a T/To e cp − cv ad R:

S − So = cvlogp/po + cplogρo/ρ (5.5)

Inoltre ponendo in evidenza cv si ha

S − So = cvlogpργo/poρ

γ

che fa ritrovare la relazione p/ργ = cost per moti isentropici.Da queste espressioni di S si ottengono, dalle definizioni, le espressioni di Hel e G, in funzionedi due delle tre variabili p, ρ, T .In particolare utilizzando la prima espressione di S e ricordando che U = cvT si ha

Hel = (cv − So)T − cvlogT/To −RTlogρo/ρ

G = (cp − So)T − cvT logT/To −RTlogρo/ρ

ovvero, eliminando la densita dall’equazione di stato

Hel = (cv − So)T − cpT logT/To +RTlogp/po

G = (cp − So)T − cpT logT/To +RTlogp/po (5.6)

Per quanto riguarda il potenziale di Gibbs, la 5.3 esprime che esso e combinazione linearedei potenziali chimici gi; pertanto si assume che ogni potenziale gi ha la stessa espresione diG scritta per un solo gas, tenendo presente che bisogna considerare al posto della pressionep la pressione parziale pi. Riscrivendo quindi la 5.6 in modo da isolare il contributo dellapressione e sostituendo a questa la pressione parziale pi si ha

migi = gio(T ) + RoT logpi (5.7)

con Ro costante universale dei gas ed mi peso molecolare del componente iesimo.

42

Equilibrio chimico in miscela di gas perfetti

5.3 Equilibrio chimico in miscela di gas perfetti

Lo studio delle trasformazioni chimiche si esegue abbastanza agevolmente con l’ausilio deipotenziali chimici dei singoli costituenti. Infatti la condizione di equilibrio delle fasi e costi-tuita dall’uguaglianza dei potenziali chimici di tutti i costituenti in tutte le fasi. Per scriveretale condizione conviene assumere come concentrazione il numero di moli ni dell’iesimo co-stituente: si ha allora che la condizione di equilibrio chimico (che rende nullo dG quandodp = dT = 0) ponendo gi = migi, e

∑

gidni = 0

essendo ci = mini la massa del componente iesimo (la massa totale si conserva costantedurante la reazione). Infatti dG = Σ(gidcio + ciodgi) = 0 implica Σgidcio = 0 in quanto eΣciodgi = 0 per la relazione di Gibbs-Duhem con p e T costanti. E poi dcio = dmini/ρ =midni/ρ. Si consideri ora una reazione chimica in una miscela di gas perfetti per cui m molidi un componente A ed n di uno B diano luogo a q moli di C ed r moli di D; si ha in tal caso

mA+ nB = qC + rD (5.8)

e la condizione di equilibrio si scrive quindi

mg− A + ngB = qgC + rgD

Sostituendo le espressioni dei potenziali ottenuti dalla 5.7 si ha

log(pqCprD/p

mA p

nB) = (mgAo + ngBo − qgCo − rgDo)/RoT

Ponendo il secondo membro di questa relazione uguale a log Kp, dove Kp prende il nome dicostante di equilibrio, risulta

pqCprD/p

mA p

nB = Kp

Da notare che la costante di equilibrio non dipende dalla pressione. La costante Kp vienecalcolata in base alla sua definizione, cioe

mgAo + ngBo − qgCo − rgDo = RoT logKp

Si ricorda inoltre che la pressione parziale dell’iesimo gas e legata alla pressione p dallarelazione

pi = pNi

doveNi e la frazione molare dell’iesimo gas. Si puo allora esprimere la condizione di equilibrioin termini delle frazioni molari invece delle pressioni parziali; si ha cosı

N qCN

rD/N

mA N

nB = KN (5.9)

dove KN = Kppm+n−q−r; da notare che m+ n− q− r rappresenta la variazione del numero

di moli che avviene nel corso della reazione chimica.La conoscenza della costante di equilibrio consente di calcolare la quantita di reagenti che sitrasformano in prodotti della reazione.Si considera come esempio la semplice reazione

2A = B

43


Da questa relazione appare che se la reazione procedesse completamente da sinistra versodestra, da ogni due moli di A si otterrebbe una mole di B; cio non accade in quanto lareazione e governata dalla costante di equilibrio per cui solo una frazione delle moli di A sitrasforma nella meta dei moli di B.Se cioe e c1 la frazione di moli di A che non si trasforma, quella che si trasforma sara1 − c1 da cui si otterranno (1 − c1)/2 moli di B; ovvero se si indica con c la frazione dimoli del componente B che si forma, il numero dei moli del componente A in condizione diequilibrio alla pressione p sara 2(1-c): il numero totale di moli sara pertanto proporzionalea 2(1-c)+c=2-c; pertanto la frazione molare di A e NA = 2(1 − c)/(2 − c) e quella di B,NB = c/(2 − c).Per questa reazione la relazione che lega le pressioni parziali alla costante di equilibrio e

pB/p2A = Kp

Ricordando che le pressioni parziali sono proporzionali alle frazioni molari si ha

pA = 2(1− c)p/(2 − c) ; pB = cp/(2 − c)

da cuic(2 − c)/4p(1− c)2 = Kp

Noto quindi Kp, per ogni pressione p si ricava la frazione c di moli di prodotto della reazione.A questi risultati si puo giungere anche con una formulazione microscopica, partendo dalladefinizione di velocita di reazione.La velocita di una reazione descritta dalla relazione

m1A1 + ...+mpAp = n1B1 + ...+ nqBq

puo essere misurata dalla derivata della concentrazione, rispetto al tempo, di un qualsiasicomponente la reazione. Infatti la variazione di concentrazione di una sostanza Bs e ugualea quella subita da un’altra qualunque Ar moltiplicata per il fattore −ns/mr.La velocita di reazione aumenta all’aumentare del numero degli urti tra le molecole, puressendo tutti gli urti efficaci perche si abbia la reazione chimica. Si formula l’ipotesi chetale frazione assuma un valore costante a temperatura costante. Pertanto la velocita dellareazione chimica e proporzionale al prodotto delle concentrazioni molecolari delle sostanzereagenti. Se nella reazione intervengono n molecole di una sostanza A, sara necessario che adogni urto partecipino insieme n molecole di A: la probabilita che cio accada e proporzionaleal prodotto delle probabilita singole e quindi al prodotto della concentrazione molecolareNA, n volte per se stessa, cioe la velocita e proporzionale a Nn

A.Per la reazione sopra riportata si avra

v1 = k1Nm1

A1...N

mp

Ap; v2 = k2N

n1

B1....N

nq

Bq(5.10)

Si avra equilibrio quando v1 = v2. Eguagliando le espressioni di v1 e v2 si ritrovano i risultatiprecedentemente stabiliti mediante la 5.9 e che costituiscono la legge dell’azione di massadi Guldberg e Waage. Questa stabilisce che nelle condizioni di equilibrio il prodotto delleconcentrazioni molecolari delle sostanze formate, elevate ad i relativi coefficienti di reazione,diviso il prodotto delle concentrazioni delle sostanze reagenti elevate ad i relativi coefficientidi reazione, da un rapporto costante KN ad ogni temperatura.La costante di equilibrio KN e data da

KN = k1/k2 (5.11)

44

Conduzione termica in un mezzo infinito

5.4 Conduzione termica in un mezzo infinito

Per poter trattare il fenomeno della combustione occorre considerare preliminarmente il cam-po di temperatura in un mezzo indefinito generato producendo in un punto una quantitafinita di calore. L’equazione da risolvere e Tt = d∆2T , dove la costante d = κ/ρcv e dettadiffusivita del mezzo. Assumendo come sistema di riferimento quello sferico e tenendo contodella simmetria del problema, l’equazione diventa Tt = d(Trr + 2Tr/r). Per risolvere questaequazione si applichera la tecnica delle soluzioni simili ponendo T+ = T − T∞ = taf(z) ez = rtb; si ottiene cosı ta−1(af + bzf ′) = dta+2b(f ′′ + 2f ′/z). Affinche la t scompaia daquesta equazione deve essere 2b = −1. La costante a viene determinata imponendo che laquantita di calore che si trova racchiusa in una sfera V con centro nell’origine e raggio ∞

sia indipendente da t, si ha cosı ρ∫

V cvT+dV = Q, dove V e il volume della sfera e Q e

l’energia termica fornita. Risulta quindi ta−3b∫

∞

o z2fdz = Qρ4πcv), da cui: a = 3b = −3/2.L’equazione da risolvere e allora la seguente: 2d(zf ′′ + 2f ′) + z2f ′ + 3zf = 0. Per ottenerela soluzione si puo applicare il metodo generale dell’invariante; basta pero moltiplicare l’e-quazione per z per ottenere 2d(z2f ′)′ + (z3f)′ = 0 che integrata una volta da 2df ′ = −zf eduna seconda volta f = C exp(−z2/4d).In conclusione la temperatura e proporzionale a t−3/2 exp(−z2/4d), la costante di propor-zionalita dipendendo dalla quantita di calore fornita al mezzo. (La indipendenza da t di∫

∞

oT+r2dr segue anche dall’equazione moltiplicata per r2 ed integrata rispetto ad r). Poi-

che risulta da questa espressione che l’ordine di grandezza della temperatura e essenzialmentedata dall’esponenziale, ne segue che l’ordine di grandezza della distanza R dall’origine in cuisi risente apprezzabilmente l’effetto dell’immissione del calore e: R = (td)1/2. Questo ri-sultato puo anche essere interpretato in modo diverso. L’ordine di grandezza del tempotr occorrente per far risentire l’effetto dell’immissione del calore a distanza R e R2/d : trprende il nome di tempo di rilassamento per il processo di conduzione. E da notare chel’espressione della temperatura mostra come una peturbazione termica in un punto si risenteistantaneamente in tutto il campo, anche se con intensita diversa.A risultati analoghi si giunge considerando il corrispondente problema piano. Se e x = 0 ilpiano su cui si ha l’immissione di calore al tempo t = 0, la temperatura risulta proporzio-nale a t−1/2exp(−z2/4d). (Nel caso in cui venga assegnata sulla frontiera la temperaturala soluzione e diversa. Ad es. se e T (0, x) = 1 e T (t, 0) = 0 si ha T = erfc(x/2(dt)1/2):A. Pozzi (1979) pag.322). Nel caso piano occorre imporre che la frontiera sia adiabatica.In conclusione sia nel caso di simmetria sferica che nel caso piano si puo introdurre unalunghezza L definita dalla relazione

L2 = td (5.12)

che rappresenta la distanza dal punto o dal piano in cui e stata introdotta la perturbazionetermica in cui e sensibile la variazione di temperatura. La temperatura e data dalla seguenteespressione

T+ = Ct−nexp(−z2/4d) (5.13)

dove n=3/2 nel caso sferico e n=1/2 nel caso piano, z2 = r2/t nel caso sferico e z2 = x2/tnel caso piano. La costante C e proporzionale alla quantita di calore immessa.

45


Figura 5.1: Distribuzione temporale di temperatura per simmetria sferica

Figura 5.2: Distribuzione spaziale di temperatura per simmetria sferica

46

Conduzione termica in un mezzo infinito

Figura 5.3: Distribuzione temporale di temperatura nel caso piano

Figura 5.4: Distribuzione spaziale di temperatura nel caso piano

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5.5 Influenza della temperatura sulle velocita di reazio-

ne

La velocita con cui si sviluppano le reazioni chimiche cresce al crescere della temperatura.Questo comportamento e innanzitutto giustificato dall’osservazione che all’aumentare dellatemperatura aumentano le velocita molecolari e quindi il numero di urti. In base a questaconsiderazione la velocita di reazione dovrebbe aumentare con la radice quadrata della tem-peratura assoluta, in quanto la velocita media, e quindi il numero degli urti, e proporzionalea T 1/2.L’esperienza dimostra invece che la costante di velocita ki definita dalle 5.10 cresce espo-nenzialmente con la temperatura, potendosi scrivere, formula di Arrhenius (chimico svedese,premio Nobel per la chimica nel 1903):

ki = ai exp(−Ai/T ) (5.14)

Si consideri ad es. la dissociazione dell’acido iodidrico che avviene secondo l’equazione 2HI =H2 + I2. Alle temperature di 683; 700; 716; 781◦K, sono stati trovati sperimentalmente, perk1, i valori di 0,06; 0,17; 0,37; 3,58. Assumendo per a1 il valore 2, 2 · 1012 e per A1 il valore21,356 si trova 0,076; 0,16; 0,32; 3,82 rispettivamente.Questo comportamento si spiega ammettendo che all’aumentare della temperatura non soloaumenta il numero degli urti, ma anche la frazione degli urti efficaci alla reazione. Infattiquanto piu alta e l’energia cinetica della molecola, di traslazione, di rotazione e di vibrazione,tanto piu facilmente l’urto potra condurre ad una ridistribuzione degli atomi nella molecola.Se quindi gli urti che provocano reazione sono quelli che avvengono tra le molecole che hannoenergia superiore ad un certo limite E, si spiega il comportamento esponenziale, in quantoil numero di molecole che hanno un’energia superiore a E aumenta con legge esponenziale.Si puo ora studiare il comportamento di KN con la temperatura. Dalla 5.11 si ottiene

KN = Koexp(U/T ) (5.15)

dove U = A2 −A1 e detta temperatura di attivazione della reazione e Ko = a1/a2.Da questa formula si ricava che se U e positiva KN e una funzione decrescente di T, se Ue negativa KN e una funzione crescente di T mentre se U = 0, KN non dipende dalla tem-peratura. Tutte queste situazioni si verificano sperimentalmente. Ad es. nella reazione cheavviene tra ossigeno ed azoto per dar luogo all’ossido di azoto NO, la costante di equilibriocresce con la temperatura avendosi alle temperature di 1811; 2033; 2195; 2675◦K rispettiva-mente per KN83.10−6; 582.10−6; 3201.10−6.La reazione in esame e endotermica e tale comportamento e comune a tutte le reazioni en-dotermiche. Viceversa la costante di equilibrio decresce al crescere con la temperatura, pertutte le reazioni esotermiche. Ad es. la reazione di ossidazione dell’anidride solforosa adanidride solforica 2SO2 + O2 = 2SO3 + 44 cal assume alle temperature di 800; 900; 1000;1100◦K rispettivamente i valori di KN : 6, 45 · 104; 3, 16 · 103; 2, 82 · 102; 36.Questi risultati sono in accordo con quelli ottenuti dalla distribuzione Maxwelliana dellavelocita, secondo cui il numero di particelle che hanno una velocita superiore a C1 e

−(4/π1/2V 3)

∫

∞

C1

C2exp(−C2/V 2)dC = erfc(C1/V ) + (2/π1/2)(C1/V )exp(−C21/V

2)

Per x > 2 erfc(x) ≈ (1/π1/2x)exp(−x2) per cui, essendo V 2 proporzionale a T, si ha unadipendenza esponenziale inversa di kN dalla temperatura.

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Combustione lenta

5.6 Combustione lenta

La 5.14 mostra come la velocita di reazione dipende dalla temperatura per cui esiste unvalore limite al di sopra del quale la reazione ha praticamente inizio. Se la reazione e peroendotermica non e sufficiente superare soltanto questa temperatura in quanto e necessariofornire con continuita calore affinche la reazione proceda. Se invece la reazione e esotermicabasta superare il valore limite in un punto qualsiasi della miscela perche il calore sviluppatoconsenta alla reazione di svilupparsi: in questo caso si dice che avviene una combustionelenta o semplicemente combustione della miscela.Il fenomeno della combustione comporta quella del moto dei gas che, in molti casi, puo esseretrattato con ipotesi semplificatrici. In particolare, se le dimensioni dell’ambiente sono suffi-cientemente grandi, e possibile disaccoppiare la dinamica del gas dalla sua cinetica chimica.Per descrivere questo fenomeno si puo individuare una regione in cui la reazione e gia av-venuta, in cui sono presenti i prodotti della combustione, ed un’altra in cui non e ancoraavvenuta. Queste due regioni sono separate da una zona di combustione o fiamma in cui av-viene la reazione e che si muove con una velocita che rappresenta la velocita di combustionenel gas. L’analisi di questo fenomeno e stata sviluppata per la prima volta da V. Michelsonnel 1890. Per valutare l’ordine di grandezza della larghezza Lc della zona di combustionesi osserva che la sua velocita di propagazione dipende dall’intensita della trasmissione delcalore, essenzialmente per conduzione, dalla zona di combustione a quella in cui la reazioneancora deve avvenire. Lc e quindi la distanza, dal punto in cui e sviluppata la reazione,in cui si risente apprezzabilmente l’influenza del calore emesso nel tempo tc di durata dellacombustione. Si ha quindi per la 5.12

L2c = tcd (5.16)

E da notare che tc e una grandezza caratteristica della reazione considerata e dipende dallostato termodinamico del gas considerato.Pertanto se la lunghezza che caratterizza l’ambiente in cui avviene la combustione e moltomaggiore di Lc si puo disaccoppiare la dinamica dalla cinetica chimica del gas. In particolaresi puo trascurare lo spessore della zona di combustione e considerare il fronte di fiamma comeuna superficie di discontinuita per le proprieta del gas. La 5.16 consente di calcolare l’ordinedi grandezza della velocita vf con cui si muove il fronte di fiamma. Infatti nel tempo tc lacombustione si propaga ad una distanza Lc per cui si ha

vf = Lc/tc = (d/tc)1/2 (5.17)

Ricordando la 4.44 risulta che la diffusivita e proporzionale al prodotto del libero percorsomedio per la velocita molecolare media; si ha quindi (ricordando che il calcolo riguarda gliordini di grandezza)

vf = (1pm < c > /tc)1/2

da cui, introducendo la durata del libero percorso medio t1pm = 1pm/ < c >, risulta

vf/ < c >= (t1pm/tc)1/2

Poiche, come si e osservato, solo una piccola parte degli urti sono efficaci per la reazione, ilrapporto a secondo membro, e quindi quello a primo membro, risulta molto minore di uno.Pertanto il numero di Mach della fiamma e molto minore di 1. Ad esempio la velocita dellafiamma in una miscela composta dal 6% di CH4 e 94% di aria e di 5cm/sec e lo spessoredella zona di combustione e di 0,5 mm.Lo studio delle discontinuita attraverso il fronte di fiamme si conduce applicando le equazioni

49


del bilancio in termini finiti; si indichera con l’indice 1 il gas non bruciato e con 2 quellobruciato.L’equazione di continuita si scrive

ρ1u1 = ρ2u2

avendo indicato con u la componente della velocita normale al fronte di fiamma.Per l’equilibrio nella direzione tangenziale si ha v1 = v2, per cui le linee di corrente sonorifratte dalla superficie di discontinuita.Poiche le quantita di moto sono piccole rispetto alle pressioni, l’equilibrio in direzione normaleconduce alla relazione p2 = p1. A tale risultato si giunge con maggiore precisione applicandoil metodo dell’analisi dimensionale, dove pressione, densita e velocita di riferimento sonoquelle che caratterizzano la fiamma. Analogamente l’equazione dell’energia si scrive h2−h1 =q, dove q e il calore sviluppato dalla reazione per unita di massa. Si ha quindi

T2 = (q + cp1T1)/cp2

Note quindi le condizioni del gas prima della combustione ed il calore sviluppato dalla rea-zione si ricava la temperatura che, insieme alla pressione (uguale a quella iniziale) consentedi ottenere la densita ρ2. Considerando i gas come perfetti ed eguagliando le due espressionidella pressione ottenute dalle equazioni di stato, si ha

ρ1(cp1 − cv1)T1 = ρ2(cp2 − cv2)T2

cioeρ2/ρ1 = T1(cp1 − cv1)/T2(cp2 − cv2)

ovvero, in termini del rapporto γ

ρ1 = ρ2 [γ1(γ2 − 1)/γ2(γ1 − 1)] (1 + q/cp1T1)

50

Capitolo 6

METODI DI SOLUZIONE

DELLE EQUAZIONI DI

STOKES NAVIER

6.1 Due soluzioni esatte delle equazioni di Stokes-Navier

Moto stazionario. Si puo risolvere esattamente il sistema 4.51 - 4.54 solo in casi particolari.Si mostrera che cio accade quando F = 0, la densita ed il coefficiente di viscosita µ sianocostanti e la velocita dipenda da una sola variabile xh ed abbia due sole componenti (V3 = 0).L’ipotesi che la densita sia costante fa diventare V soleinodale; dalla 4.51 si ha infatti:

∇ · V = 0 (6.1)

mentre la 4.53, assumendo come densita di riferimento il valore costante della densita, diventa

ρdV

dt+ ∇ p = µ∆2V (6.2)

Le 6.1 ed 6.2 costituiscono un sistema di due equazioni nelle incognite p e V: la primaequazione e scalare la seconda e vettoriale. Questo sistema e non lineare, per la presenza deltermine convettivo, come si vede facilmente proiettando l’equazione su un sistema di assi diriferimento. Si ha in tal modo un sistema di quattro equazioni scalari nelle quattro incognitecostituite dalle tre componenti della velocita e la pressione.Si determina ora una soluzione esatta, delle equazioni di Stokes-Navier, valida pero solo perparticolari condizioni al contorno. Essa potra essere utilizzata solo se il profilo iniziale hauna ben precisa forma, la cui espressione analitica dipendera dal sistema di riferimento con-siderato. (Per risolvere il problema in generale occorre assegnare due funzioni indipendentilungo un contorno chiuso. Tale contorno e costituito nel nostro caso dalle pareti di un con-dotto, dalla sezione iniziale e da quella finale. Lungo le pareti e u = v = 0; lungo la sezioneiniziale e quella finale si possono assegnare ad es. la u e la v).Prima di ottenere la soluzione di un sistema ortogonale qualsiasi consideriamo come riferi-mento quello cartesiano, studiando il moto in un condotto piano di spessore 2, con l’asse xcoincidente con l’asse del condotto. Consideriamo il caso in cui la componente u dipendesolo dalla variabile y. L’equazione di continuita 6.1, essendo ux = 0, da vy = 0, per cui ve costante rispetto ad y: assumendo che vi sia un valore di y per cui e v = 0, risulta che

51

METODI DI SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI STOKES NAVIER

la componente v della velocita e identicamente nulla. Con queste semplificazioni, ux = 0 ev = 0, la 6.2 da le seguenti equazioni

px = µuyy ; py = 0

da cui risulta che sia px che uyy sono costanti. Ne segue che p e una funzione lineare di xe u una funzione quadratica di y. Imponendo che la velocita sia nulla ad y = ±1 si trovau = −px(1 − y2)/2µ.In modo analogo si procede nel caso di condotto circolare.Si puo dare una formulazione unitaria a questa trattazione, che potrebbe essere poi ulterior-mente generalizzata, introducendo i fattori di scala.Consideriamo due sistemi di riferimento: il cartesiano ed il cilindrico (x1 = x, x2 = r, x3 =Θ) per cui i due fattori di scala h1 e h2 sono sempre unitari ed h3 puo al piu dipendere (nelcaso cilindrico) da x2. Sia x2 la variabile da cui dipende il vettore velocita.Per la (T,100) la 6.1 si scrive (V2h3)x2

= 0, cioe il prodotto V2h3, che poteva dipendere soloda x2, e costante per cui se e nullo per un valore di x2 sara sempre nullo; si considererannocondizioni al contorno per cui e V2 = 0 in un punto e quindi V2 = 0.Prima di discutere la 6.2 si osserva che per la (T,111) e

∆2V = −∇× (∇× V)

Inoltre, per le ipotesi fatte su V e le hi, e

∇× V = −(V1)x2e3

da cui:∇× (∇× V) = −(h3V1x2

)x2e1/h3

Ricordando che e V2 = 0 e che V1 dipende solo da x2 si ha V ·∇V = 0 per cui la 6.2 si scrive:∇ p = µ(h3V1x2

)x2e1/h3.

Proiettando questa equazione sugli assi si ottiene:

px1= µ(h3V1x2

)x2/h3 ; px2

= 0 (6.3)

La seconda di queste equazioni stabilisce che p e una funzione della sola x1; la prima mostraallora che una funzione della x1 e uguale ad una funzione della x2: cio puo accadere solose entrambe le funzioni sono costanti. Ne segue che p e una funzione lineare di x1 mentreV1 e una funzione quadratica di x2 come si puo verificare sostituendo nella prima della 6.3un polinomio di secondo grado e considerando una volta h3 = 1, caso cartesiano ed un’altrah3 = x2, caso cilindrico. Infatti sostituendo al posto di V1 il polinomio Co +C1x2 +C2x

22 si

trova che C2 e data da:C2 = px1

/2µ− V1x2h3x2

/2h3 (6.4)

Le altre due costanti saranno determinate applicando le condizioni al contorno.La soluzione e quindi la seguente: V1 = Co+C1x2 +C2x

22; V2 = 0, p = Ax1 +B. La costante

B e uguale alla pressione ad x1 = 0; la costante A e uguale a px1ed e collegata a C2 dalla

6.4Vi sono quindi 3 costanti da determinare A o C2, Co e C1; esse vengono determinate impo-nendo che il fluido aderisca alle pareti di superficie solide e fissando il flusso di massa Q o ilgradiente di pressione; esiste infatti la relazione:

Q =

∫

S

V1dS (6.5)

52

Due soluzioni esatte delle equazioni di Stokes-Navier

dove S e la sezione trasversale del condotto, che collega queste due grandezze. Queste costantisaranno determinate sia nel sistema cartesiano che in quello cilindrico.Sistema cartesiano. Si indicheranno con x ed y le coordinate x1 ed x2 e si studierannodue tipi di moti in condotti.Moto tra piani fissi a distanza 2 h. Le condizioni che richiedono che il fluido aderisca alla

Figura 6.1: Moto di Poiseuille

parete, consentono di scrivere V1(±h) = 0 per cui e C1 = 0, Co = −C2h2; per la 6.4, essendo

h3 = 1 si ha V = −C2 = px/2µ. E quindi

V1 = −px(h2 − y2)/2µ

Considerando l’unita di larghezza del condotto, per la 6.5 si ha

Q =

∫ h

−h

V1dy = −2pxh3/3µ

Questa relazione mostra che, per avere un determinato flusso di massa, bisogna stabilire unben preciso gradiente di pressione e viceversa.Moto tra un piano fisso ed uno a distanza h, in moto con velocita U(moto di Couette). Le

Figura 6.2: Moto di Couette

condizioni di aderenza alla parete impongono che sia V1(0) = 0, V1(h) = U per cui e Co = 0e C1 = U/h− C2h.Pertanto risulta

V1 = Uy/h− pxy(h− y)/2µ

In figura e riportato il profilo di velocita per px = 0. Come nel caso precedente px vienedeterminato, o determina, il flusso di massa. Si ha cosı in questo caso Q = Uh/2−pxh

3/12µ.

53


Sistema cilindrico.

Moto in un condotto a sezione circolare di raggio R (Moto di Poiseuille).Le condizioni di aderenza alle pareti impongono che sia V1(R) = 0, avendo posto l’originesull’asse del cilindro; si ha percio Co = −C1R−C2R

2. Dalla 6.4 si ha inoltre C2 = px1/2µ−(C1 + 2C2x2)/2x2; da questa relazione si ricava che deve essere, perche le costanti C1 e C2

siano effettivamente tali, C1 = 0 e C2 = px/4µ. Risulta quindi

V1 = −px1(R2 − x2

2)/4µ

Per applicare la 6.5 si osserva che l’area elementare dS e data da 2πx2dx2 per cui risulta:Q = −πpx1R

4/8µ. Da notare che questa soluzione non dipende dalla densita del fluido, inquanto nelle equazioni non sono presenti termini convettivi (non lineari). Le soluzioni esattedelle equazioni Stokes-Navier precedentemente illustrate descrivono il moto tra piani o in uncondotto cilindrico se le condizioni al contorno sono compatibili con le funzioni trovate. Sead es. il profilo iniziale di velocita ad x1 = 0 e costante, certamente il campo fluidodinamiconon e quello determinato in questo paragrafo: la soluzione si ottiene risolvendo le equazionidi Stokes-Navier senza le semplificazioni qui considerate.Moto instazionario. Una soluzione instazionaria esatta riguarda il moto di una lastrapiana infinita posta in moto impulsivamente dalla quiete alla velocita U. Essendo la lastrainfinita il moto e indipendente da x per cui le derivate rispetto ad x sono nulle. Dall’equazionedi continuita risulta anche v = 0 per cui l’equazione da risolvere e ut = νuyy con le condizioniu = 0 per t < 0 e, per t > 0, u(t, 0) = U , u(t,∞) = 0. Questo problema (risolto da G. Stokesnel 1851 e indicato da alcuni autori come problema di Rayleigh) si risolve facilmente con latecnica delle soluzioni simili. Infatti ponendo z = y/2(νt)1/2 ed u = f(z) si ottiene per fl’equazione f ′′+2zf ′ = 0 che insieme alle condizioni f(0) = U ed f(∞) = 0 da u = U erfc(z).Si puo calcolare lo spessore di strato limite δ(t) con le condizioni u[t, δ(t)] = 0, 01. Risultaδ ≈ 4(νt)1/2.

6.2 Sviluppi in serie per piccoli valori del numero di

Reynolds

Poiche non e possibile risolvere le equazioni di Stokes-Navier nel caso generale e opportunoricercarne la soluzione mediante sviluppi in serie. Si considerera ora il caso di piccoli numeridi Reynolds.Le equazioni, nel caso incompressibile stazionario si scrivono in forma adimensionale

∇ · V = 0 ; V · ∇V + ∇p = ∆2V/R

La seconda, osservando che e V · ∇V = ∇(V 2/2) + ∇× (V × V), diventa

∇(V 2/2) + ∇× (V × V) + ∇p = ∆2V/R

Considerando il rotore di questa equazione e tenendo presente le identita vettoriali (A. Pozzi(1979) pag. 387) si ha un’equazione in cui non compare la pressione: risulta infatti

(V · ∇)∇× V − (∇× V · ∇)V = ∆2(∇× (V/R)) (6.6)

Si studiera in particolare il moto bidimensionale.Se e1, e2, e3 sono i versori fondamentali di un sistema ortogonale x1, x2, x3 si assumera che

54

Sviluppi in serie per piccoli valori del numero di Reynolds

il moto avvenga nel piano x1, x2, indicando con −ω l’unica componente di ∇× V secondol’asse x3: proiettando allora l’equazione su tale asse si ha

R(V · ∇ω)3 = (∆2ωe3)3

Per R < 1 si puo sviluppare ω in serie di R(E.P. n.13 A. Pozzi (1979)) ponendo

V = V1 +RV2 + ... ; ω = ω1 +Rω2 + ...

La prima approssimazione per ω si ottiene risolvendo l’equazione

(∆2ω1e3)3 = 0

E da notare che solo in casi particolari, come in quello cartesiano, questa equazione si puoscrivere nella semplice forma ∆2ω1 = 0; nel caso generale bisogna ricorrere alla definizionegenerale del Laplaciano di un vettore (T,111); essendo ∇×V solenoidale, questa definizioneda

∆2(∇× V) = ∇×∇× (ω1e3)

Per esplicitare il secondo membro si ricorda (T,106), che per un qualsiasi vettore B e:

h1h2h3∇×B = [(B3h3)x2−(B2h2)x3

]h1e1+[(B1h1)x1−(B3h3)x1

]h2e2+[(B2h2)x3−(B1h1)x2

]h3e3

Applicando una prima volta questa relazione ed osservando che il vettore ω1e3 ha solo laterza componente ω1(x1, x2) diversa da zero, si ha

h1h2h3∇× (ω1e3) = (ω1h3)x2h1e1 − (ω1h3)x1

h2e2 (6.7)

Applicando di nuovo l’operatore rotore al vettore ∇ × (ω1e3) ed eguagliando a zero la suaterza ed unica componente si ottiene l’equazione a cui deve soddisfare ω1; si ha cosı:

[(ω1h3)x1h2/h1h3]x1

+ [(ω1h3)x2h1/h2h3]x2

= 0

E facile verificare che questa equazione nel caso cartesiano, in cui e hi = 1, diventa ∆2ω1 = 0.Poiche si sta esaminando il caso bidimensionale e possibile introdurre la funzione di corrente,legata alle componenti della velocita dalle 1.5; essendo ω, terza componente di −∇×V, datada

h1h2ω = (V1h1)x2− (V2h2)x1

si puo esprimere ω1 in funzione della ψ1 ottenendo

h1h2ω1 = [(ψ1h3)x1h2/h1h3]x1

+ [(ψ1h3)x2h1/h2h3]x2

Nel caso cartesiano questa relazione diventa

ω1 = ∆2ψ1

per cui l’equazione per la ψ1 e ∆4ψ1 = 0Una volta noto il campo di velocita si ricava la pressione dalla relazione ∇p = ∆2V/R, otte-nuta dalle equazioni di Stokes-Navier trascurando termini di ordine zero rispetto a terminidi ordine 1/R. Ricordando inoltre l’espressione di ∆2V (T,111) si ha R∇p = ∇ × (ωe3) equindi per la 6.7

−h1h2h3R∇p = (ωh3)x1h2e2 − (ωh3)x2

h1e1 (6.8)

55


6.3 Moto di una sfera a piccoli numeri di Reynolds

Le formule ricavate nel paragrafo precedente possono essere utilizzate per studiare il moto diuna sfera di raggio a investita da una corrente la cui velocita asintotica ha la direzione di unasse cartesiano x e modulo U. Le lunghezze saranno considerate adimensionalizzate rispettoal raggio della sfera e le velocita rispetto ad U.Conviene assumere come sistema di riferimento quello polare r, ϑ, φ con origine il centrodella sfera e come asse polare x quello della velocita asintotica; si avra cosı x = rcosϑ,y = rsenϑcosφ, z = rsenϑsenφ; per la simmetria le derivate rispetto alla variabile φ sononulle. Assumendo x1 = r, x2 = ϑ, x3 = φ si ha h1 = 1, h2 = r, h3 = rsenϑ; le due equazioniper la ω1 e per la ψ1 si scrivono:

r(ω1r)rr + [(ω1senϑ)ϑ/senϑ]ϑ = 0

r2ω1 = r(ψ1r)rr + [(ψ1senϑ)ϑ/senϑ]ϑ

Queste equazioni vanno risolte con le condizioni che sulla sfera la velocita sia nulla ed all’in-finito abbia il comportamento asintotico dovuto alla velocita U.Il metodo di soluzione e quello delle soluzioni semplici: si pone in particolare ψ1 = senϑg(r)e si verifica che questa posizione consente di verificare equazioni e condizioni al contorno.Mediante sostituzione nella seconda si ha

ω1 = (gII + 2gI/r − 2g/r2)senϑ (6.9)

Sostituendo questa espressione nella prima equazione si ha

r2gIV + 4rgIII − 4gII = 0

Questa equazione di secondo grado in gII , essendo lineare, si risolve con il metodo dell’in-variante. L’invariante di tale equazione e −6/r2. Nella tabella riportata a pag. 224 di A.Pozzi (1979), al secondo rigo si trova questo tipo di invariante; la soluzione dell’equazionezII + Iz = 0 e data dalla (XI,26), con C = −6 e quindi λ = ±5.EssendoW = r−4, si trova come soluzione y = zW 1/2, convergente all’infinito, r−4. Pertantoessendo gII = Kr−4 con K costante qualsiasi, integrando due volte si trova

g = Ar−2 +Br + C

con B e C costanti di integrazione. Per determinare queste tre costanti occorre scrivere lecomponenti delle velocita mediante le 1.5; e infatti

V1 = (ψ1senϑ)ϑ/rsenϑ = 2cosϑg/r

V2 = −(ψ1r)r/r = −senϑ(gr)I/r

Perche per r=1 siano nulle V1 e V2 deve risultare g(1) = 0, cioe A+B +C = 0, e (gr)I = 0,cioe −A + 2B + C = 0. Inoltre sull’asse x, cioe per ϑ = 0, all’infinito deve essere V1 = U eV2 = 0; deve essere quindi lim 2g/r = 1, cioe 2B = 1; risulta percio A = 1/4 e C = −3/4.Pertanto le componenti delle velocita hanno, in forma adimensionale, le seguenti espressioni:

V1 = cosϑ(1 − 3/2r + 1/2r3) ; V2 = −senϑ(1− 3/4r − 1/4r3)

Inoltre per la 6.9 si ha, ancora in forma adimensionale,

ω1 = 3senϑ/2r2

56

Resistenza di una sfera a piccoli numeri di Reynolds: formula di Stokes

da cui si puo calcolare il gradiente di pressione mediante la 6.8 che nel caso di coordinatepolari si scrive, in forma dimensionale

rsenϑ∇p = µ [(ωsenϑ)ϑe1 − senϑ(ωr)re2]

Proiettando questa relazione sugli assi e ricordando la (T,93) risulta

pr = 3aUµcosϑ/r3 ; pϑ = 3aUµsenϑ/2r2

Integrando si hap = po − 3aUµcosϑ/2r2

dove po e la pressione asintotica del fluido.

6.4 Resistenza di una sfera a piccoli numeri di Reynolds:

formula di Stokes

Per calcolare la resistenza che incontra una sfera nel moto a piccoli numeri di Reynolds,(infatti per la simmetria la unica componente della forza risultante delle azioni che il fluidoesercita sulla sfera e quella nella direzione dell’asse x) occorre conoscere le componenti deltensore degli sforzi che conviene valutare nel sistema polare finora considerato. Si ricorda cheil tensore degli sforzi e stato posto uguale a pU−µ(∇V+∇V+); poiche i versori fondamentalihanno direzione variabile e opportuno scrivere:

∇V = ∇(V1e1) + ∇(V2e2) + ∇(V3e3)

= (∇V1)e1 + V1∇e1 + (∇V2)e2 + V2∇e2+

+(∇V3)e3 + V3∇e3

osservando che e

∇ei = e1

(

1

h1

∂

∂x1ei

)

+ e2

(

1

h2

∂

∂x2ei

)

+ e3

(

1

h3

∂

∂x3ei

)

Le derivate dei versori fondamentali si calcolano mediante le formule riportate in A. Pozzi(1979) pag.375. Risulta nel caso del sistema in esame:

∇e1 = (e2e2 + e3e3)/r ,∇e2 = (−e1e2 + cotϑe3e3)/r

∇e3 = −(e1e3 + cotϑe2e3)/r

Indicando allora con −σij la generica componente del tensore degli sforzi (che rappresentalo sforzo esercitato dal fluido sul corpo su un elemento la cui normale e i nella direzione j) siha

σ11 = −p+ 2µV1r ; σ22 = −p+ 2µ(V2ϑ + V1)/r;

σ33 = −p+ 2µ(V3φ + V1senϑ+ V2cosϑ)/rsenϑ;

σ12 = µ(V1ϑ + rV2r − V2)/r ; σ13 = µ(rV3r − V3 + V1φ/senϑ)/r;

σ23 = µ(V2φ + senϑV3ϑ − cosϑV3)/rsenϑ.

Pertanto sull’elementino di sfera di area dA = a2senϑdϑdφ (A. Pozzi (1979) (G. 80) pag.180)agisce una forza dF espressa da

dF = (σ11e1 + σ12e2 + σ13e3)dA

57


La componente secondo l’asse x di questa forza si ottiene moltiplicando scalarmente il secondomembro per il versore i dell’asse x, ricordando che e1 · i = cosϑ, e2 · i = −senϑ, e3 · i = 0.Integrando questa componente rispetto a φ, tra 0 e 2π, e rispetto a ϑ, tra 0 e π si ha laresistenza D; dopo la prima integrazione, ricordando che le σ non dipendono da φ si ha

D = 2πa2

∫ π

o

(σ11cosϑ− σ12senϑ)senϑdϑ

Poiche sulla superficie della sfera, essendo nullo V1r, come risulta dalle condizioni di aderenza

e dall’equazione di continuita (r2V1)r

r2 + (V2senϑ)ϑ

rsenϑ = 0 risulta

σ11 = −p = −po + 3Uµcosϑ/2a , σ12 = −(3/2a)µUsenϑ

si haD = 6πµaU

Questa relazione viene chiamata formula di Stokes. E da notare che in questo caso, piccolinumeri di Reynolds, la resistenza dipende linearmente dalla velocita. Se si calcolano conquesta espressione la resistenza di una sfera pesante che cade in un fluido fermo indefinito,si puo calcolare la velocita limite della sfera, raggiunta quando la resistenza eguaglia la forzamotrice, espressa dalla differenza tra peso della sfera e spinta archimedea. Si ha allora

6πµaU = 4πa3g(ρs − ρf )/3

dove ρs e ρf sono rispettivamente la densita della sfera e quella del fluido. La velocita limitee data quindi da

U = 2a2g(ρs − ρf )/9µ

Questa formula puo essere anche utilizzata per calcolare il coefficiente di viscosita di fluidimolto viscosi, misurando la velocita limite di caduta di sfere nei fluidi considerati.

6.5 Sviluppo in serie per alti valori del numero di Rey-

nolds

Se Re >> 1 uno sviluppo in serie del suo inverso comporta alcune sostanziali difficolta.Infatti operando come nel caso precedente per la equazione di equilibrio si troverebbe per laprima approssimazione

DV

Dt+ ∇p = F

Si avrebbe in tal modo un’equazione non piu del secondo ordine ma del primo ordine nellaV con conseguente perdita del numero di condizioni che e possibile imporre.Non e cosı possibile, ad es., rispettare la realta fisica per cui il fluido aderisce ad un corposolido e quindi la velocita degli elementi a contatto con tali superfici deve essere nulla.Per ovviare a questo inconveniente si sono proposti due diversi sviluppi in serie, uno internoed uno esterno; il primo valido nella zona in cui e sensibile l’influenza della viscosita, il se-condo al di fuori di questa. Si ricorda infatti che il numero di Reynolds misura l’importanzarelativa delle forze di inerzia legate alla massa del fluido, rispetto a quelle viscose, dipendentiessenzialmente dal coefficiente di viscosita: poiche si e nel campo di numeri di Reynoldselevati vuol dire che si considerano moti in cui le forze di inerzia sono in genere molto piuimportanti di quelle viscose. Cio accade dovunque tranne che nella zona definita internain cui le forze viscose, per effetto di gradienti di velocita molto elevati, danno contributi

58

Sviluppo in serie per alti valori del numero di Reynolds

apprezzabili anche con coefficienti di viscosita molto piccoli.Prima di procedere a questo sviluppo in serie interno e necessario operare un cambiamento divariabili. In particolare, ponendo ε = Re−1/2 si introduce una variabile Xh al posto di xh nelseguente modo xh = εXh essendo xh la coordinata normale alla direzione fondamentale dellavelocita(avente cioe una componente mediamente maggiore delle altre) e diretta secondo ladirezione secondo cui si estendono le zone interne ed esterne.Nelle equazioni cosı trasformate si operano i due sviluppi accennati, ponendo per ogni fun-zione f, rispettivamente per la zona esterna ed interna

f(x1, εX2, x3, t, ε) = ΣFi(x1, X2, x3, t)εi

f(x1, x2, x3, t, ε) = Σfi(x1, x2, x3, t)εi

(6.10)

avendo indicato con X2 la variabile trasformata.Per la zona esterna, raccogliendo nelle potenze di εo si hanno cosı le seguenti equazioni perdeterminare la prima approssimazione per le funzioni fo (si omette il pedice o):

ρt + ∇ · (ρV) = 0 (6.11)

ρ

(

DV

Dt

)

+ ∇p = F (6.12)

ρ

(

Dc

Dt

)

= P+ (6.13)

ρ

(

DhtotDt

)

= L1 + pt (6.14)

Per ricavare le equazioni analoghe per la zona interna e necesario osservare che anche glioperatori divergenza, gradiente, D

Dt siano funzioni di ε per effetto del cambiamento di varia-bile.Consideriamo per semplicita un sistema cartesiano: le componenti della velocita sarannoindicate con u, v, w: eseguendo la trasformazione e gli sviluppi in serie e sostituendo nell’e-quazione di continuita, raccogliendo nelle potenze di ε ed eguegliando a zero i coefficienti diε−1 ed εo si ha

(ρv)oY = 0 (6.15)

ρot + (ρu)ox + (ρov1)Y + (ρw)oz = 0 (6.16)

Dalla 6.15 si ricava che il prodotto (ρv)o non dipende da Y; se si considerano condizioni alcontorno per cui esiste, per ogni x e z, un valore di Y per cui e vo = 0 risulta identicamente

vo = 0 (6.17)

Operando in modo analogo sull’equazione di equilibrio, proiettando sui tre assi il coefficientedi εo si ha, tenendo conto della 6.17 e sopprimendo per semplicita il pedice zero e l’apice i:

ρ(ut + uux + v1uy + wuz) = (µuY )Y − px + F1 (6.18)

pY = F2 (6.19)

(wt + uwx + v1wY + wwz) = (µwY )Y − pz + F3 (6.20)

Eguagliando a zero gli altri coefficienti di εi si ottengono le equazioni per gli ordini superiori.In modo analogo si procede per le equazioni dell’energia e della diffusione. Per accoppiare

59


i due sviluppi in serie, esterno ed interno, si impone che l’una soluzione tenda all’altra, perpiccoli valori di x2, per ε che tende a zero, osservando che per valori di x2 piccoli ma finiti,X2 tende all’infinito quando ε tende a zero. Se si considerano inoltre piccoli valori di x2,ogni funzione fi che compare nello sviluppo 6.9 si puo sviluppare in serie di Taylor di x2

scrivendo

fi(x1, x2, x3, t) =∑

j

fij(x1, 0, x3, t)xj2 (6.21)

dove

fij = 1j!

∂

∂x2fi(x1, 0, x3, t)

Imponendo che ogni funzione f assuma lo stesso valore su una superficie X+2 = X+

2 (x1, x3, t)sia con lo sviluppo interno che con lo sviluppo esterno, si puo scrivere, sostituendo εX2 adx2 nella 6.21

∑

i

Fi(x1, X+2 , x3, t)ε

i =∑

i

∑

j

fij(x1, x3, t)εi(X+

2 ε)j

Raccogliendo nelle potenze di ε ed eguegliando a zero i coefficienti di tali potenze si ottiene

Fo(x1, X+2 , x3, t) = foo(x1, x3, t) (6.22)

F1(x1, X+2 , x3, t) = fo1X

+2 + f1o (6.23)

e cosı via.Se infine si ricorda l’osservazione preliminare per cui queste relazioni vengono verificate perε→ 0 e quindi per X2 → ∞, si hanno le condizioni richieste; dalle 6.21 ed 6.22 si ricava cosı

limX2→∞

Fo(x1, X2, x3, t) = foo(x1, x3, t) (6.24)

limX2→∞

[F1(x1, X2, x3, t) − fo1(x1, x3, t)X2] = f1o(x1, x3, t) (6.25)

In tal modo il problema e completamente impostato. Infatti si determinano prima le foorisolvendo il sistema 6.11-6.14; si risolvono successivamente le 6.16 e seguenti ottenendo leFo e la v1 e cosı via.Applichiamo le 6.24 ed 6.25 alle variabili u e v rispettivamente di un sistema cartesiano, inun moto bidimensionale stazionario. Si ha

limY→∞

U0(x, Y ) = uo(x, 0) (6.26)

limY→∞

(V0(x, Y ) − voyY ) = v1(x, 0) (6.27)

La 6.26, essendo noto il secondo membro perche ricavato dalla soluzione esterna di ordinezero (Eulero), da la condizione all’infinito per risolvere le equazioni di Prandtl (soluzioneinterna di ordine zero).La 6.27, essendo il primo membro noto dalla soluzione delle equazioni di Eulero e di Prandtl,da la condizione per risolvere le equazioni della zona esterna di ordine 1. In particolare,essendo per l’eq. di continuita voy = −ux la 6.27 si puo scrivere nella forma

v1(x, 0) = limY→∞

(V0(x, Y ) + uoxY ) (6.28)

Si consideri ad es. il caso stazionario bidimensionale della lastra piana investita da un fluidoincompressibile, di velocita asintotica unitaria e pressione (relativa) nulla. In tal caso il

60

Sviluppo in serie per alti valori del numero di Reynolds

sistema 6.11-6.13 ammette la soluzione u = 1, v = 0, p = 0.Il sistema 6.16-6.19 diventa

ux + vy = 0 ; uux + vuy = uyy ; py = 0

Le condizioni al contorno che devono essere associate sono u(x, 0) = v(x, 0) = 0; u(0, y) = 1;u(x,∞) = 1.La soluzione di questo problema conduce a v∞ 6= 0. In tal modo e nota la soluzione fon-damentale esterna ed interna. La condizione di accoppiamento 6.26, imposta solo sulla u,consente solo a tale componente della velocita di assumere gli stessi valori quando y tende azero ed Y tende all’infinito. L’errore che si commette nella componente v della velocita e diordine ε; infatti nella zona esterna e v(x, 0) = 0 mentre nella zona interna e v(x,∞) = εv∞.Per correggere questa mancata uguaglianza di valori occorre risolvere il problema del primoordine esterno, mediante le equazioni

u1x+v1y = 0 ; u0u1x+u0x+v0u1y+v1uy+p1x = 0 ; u0v1x+u1v0x+v0v1y+v1v0y+p1y = 0

La condizione al contorno sul corpo v1(x, 0) e data dalla 6.28; la condizione asintotica eomogenea. In tal modo scrivendo u = u0 + εu1 e v = v0 + εv1 per la zona esterna eu = u0(x, Y ), v = εv1(x, Y ) per la zona interna si ha che l’uguaglianza iv(x,∞) =e v(x, 0) everificata fino ai termini di ordine ε; per ottenere che iu(x,∞) =e u(x, 0) fino ai termini diordine ε occorre risolvere il sistema del primo ordine interno, con le condizioni iu1 =i v2 = 0ad y = 0 e la condizione 6.25 con f = u.Da notare che la prima approssimazione esterna puo risultare ancora irrotazionale, come sievince dalla 6.6 sviluppando sia V che ∇ × V in serie di ε. Si puo quindi introdurre oltreche la funzione di corrente anche la funzione potenziale per tale prima approssimazione: nelcaso di coordinate cartesiane entrambe risultano governate dall’equazione di Laplace. Inparticolare conviene ricavare dall’equazione ∆2ψ = 0, mediante derivazione rispetto ad x,l’equazione ∆2v = 0 che consente di soddisfare piu facilmente le condizioni al contorno.

61


62

Capitolo 7

EQUAZIONI DELLA

FLUIDODINAMICA PER LA

ZONA ESTERNA

7.1 Le equazioni e le condizioni al contorno

In questo capitolo studieremo le funzioni del tipo ef nelle ipotesi di fluido omogeneo e forze divolume nulle. Se il moto e stazionario il sistema 4.25- 4.28 diventa, omettendo per semplicital’indice ed il pedice o :

∇ · (ρV) = 0 (7.1)

ρdV

dt+ ∇p = 0 (7.2)

ρdhtotdt

= 0 (7.3)

Le condizioni al contorno possono in genere formularsi assumendo che date curve siano lineedi corrente, siano tali cioe che la componente della velocita normale ad esse sia nulla.La 7.2 nel caso in cui la densita e funzione della sola pressione puo scriversi in modo diverso;posto infatti

P =

∫ p

o

dp/ρ (7.4)

e ∇P = ∇p/ρ (moltiplicando infatti questa relazione per un qualsiasi versore s e: Ps = ps/ρ;ma Ps = Ppps = ps/ρ da cui l’identita) per cui la 7.2 diventa:

dV

dt= −∇P (7.5)

osservando inoltre che V · ∇P = dPdt , moltiplicando scalarmente per V si ha

d(V 2/2 + P )

dt= 0 oppure V · ∇(V 2/2 + P ) = 0 (7.6)

Risulta cioe che V 2/2 + P e costante lungo V.Essendo dU = TdS − pd(1/ρ) e dh = TdS + dp/ρ, nel caso di moto isentropico e dU =

63

EQUAZIONI DELLA FLUIDODINAMICA PER LA ZONA ESTERNA

−pd(1/ρ) e dh = dp/ρ per cui e dh = dP e quindi P = h. Nel caso in cui la densita siacostante e P = p/ρ; nel caso di gas perfetti per la 4.36 si ottiene: P = γp/ρ(γ − 1) =a2/(γ − 1) = cpT = h.La 7.6 quindi per i gas perfetti o incompressibili da luogo alla relazione di Bernoulli (lungouna linea di corrente).

V 2/2 + h = cost. (7.7)

Ricordando inoltre che dVdt = ∇(V 2/2)−V×∇×V e che dh = Tds+dp/ρ da cui ∇h = T∇S+

∇p/ρ, si ha ∇p/ρ = ∇h−T∇S per cui dalla 7.2 si ottiene ∇(h+V 2/2)−V×∇×V = T∇S.Quando h+ V 2/2 e costante si ha V ×∇× V = −T∇S.Nel caso di moto instazionario le 7.1-7.2 diventano ρt + ∇ · ρV = 0, ρDV/Dt + ∇p = 0;inoltre la 7.5 viene sostituita dalla seguente:

DV/Dt = −∇P (7.8)

7.2 Il teorema di Kelvin

Consideriamo le particelle che si trovano lungo una curva chiusa c al tempo t; al tempo t+dtqueste particelle si troveranno su una curva c’.

Figura 7.1: Particelle al tempo t e t+ dt

Il teorema di Kelvin stabilisce che la circolazione della velocita C lungo c e uguale allacircolazione C’ lungo c’.Consideriamo due punti P e Q a distanza dl su c al tempo t; al tempo t + dt il punto P sisara portato nella posizione P’ e Q in Q’ in modo tale che sia:

PP ′ = Vdt QQ′ = (V +∂V

∂ldl)dt

Per calcolare la lunghezza di Q’P’, che indicheremo con dl’, si osserva che vale la seguenterelazione vettoriale:

PP ′ + P ′Q′ = PQ+QQ′

cioe

P ′Q′ = PQ+QQ′ − PP ′ = PQ+∂V

∂ldldt

64

Teoremi sui vortici

La circolazione lungo c vale: C =∫

cV · dl, mentre la circolazione lungo c’ vale: C ′ =∫

c′

(

V + DVDt dt

)

· dl′. Essendo dl′ = P ′Q′ e dl = PQ si puo scrivere, a meno di infinitesimi

di ordine superiore:

C ′ =

∫

c

V · dl + dt

∫

c

(

V ·∂V

∂ldl +

DV

Dt· dl

)

Per la 7.5, essendo ∇P · dl = ∂P∂l dl, il secondo integrale si scrive

∫

c

d(V 2/2 − P )

ed e quindi nullo. Si ha cosı C ′ = C. Si osserva esplicitamente che questo risultato e dovutoall’esistenza della funzione P, introdotta con la 7.4: in tal modo la derivata DV

Dt e stata postasotto forma di gradiente, con la 7.8, per cui il suo rotore e nullo.

7.3 Teoremi sui vortici

Sono state definite per un vettore qualsiasi le linee di flusso e le linee vorticose; ancora perun vettore qualsiasi si definiscono i tubi di flusso ed i tubi vorticosi.

Figura 7.2: Tubo vorticoso

Questi possono considerarsi ottenuti dall’insieme delle linee di flusso e vorticose rispettiva-mente, passanti per i punti di una curva chiusa qualsiasi. Tali definizioni hanno particolareimportanza nel caso in cui V sia il vettore velocita.Si osserva innanzitutto che se si considera una curva c1, che non circondi l’asse del tubo,sulla superficie del tubo vorticoso il flusso del rot V

¯attraverso la superficie limitata da c1 e

nullo perche, per definizione, ∇× V ha direzione tangente al tubo vorticoso.Cio significa che la circolazione di V intorno a c1 e nulla. Non e nulla invece la circolazioneintorno ad una curva, come c2, che circonda il tubo in quanto il flusso del rotore di V attra-verso la superficie di questa delimitata e diverso da zero.In particolare essendo il campo di ∇×V solenoidale, poiche attraverso la superficie laterale

65


non vi e flusso di ∇×V, risulta che il flusso attraverso una qualsiasi superficie delimitata dauna curva del tipo c2 e uguale e di segno contrario a quello attraversante un’altra qualsiasianaloga superficie, dovendo essere il flusso totale, attraverso le due superfici ed il tubo, nullo.Ne segue che la circolazione lungo una qualsiasi curva c2 e costante.Un’altra proprieta dei tubi vorticosi e la seguente: essi non possono iniziare o terminare nel-l’interno di un campo; possono cioe o rinchiudersi su se stessi formando una figura toroidaleo, se non incontrano il contorno, estendersi indefinitamente. Infatti se vi fosse una superficieterminale sarebbe possibile passare con continuita da curve di tipo c1, a circolazione nulla,a curve c2, a circolazione diversa da zero. Cio premesso, stabiliamo alcune conseguenze delteorema di Kelvin, valide quindi nelle ipotesi in cui questo e stato dimostrato.Consideriamo le particelle che al tempo t si trovano su un tubo vorticoso di sezione trasver-sale infinitesima; ci si domanda se al tempo t+dt queste particelle si troveranno su un nuovotubo vorticoso. Per rispondere a questa domanda si osserva che le particelle che costitui-scono al tempo t una curva del tipo c1 sono a circolazione nulla e per il teorema di Kelvincostituiranno al tempo t + dt una curva c′1 ancora a circolazione nulla. Cio significa che ilflusso del ∇×V attraverso una curva c′1 e ancora nullo e se c1 e quindi c′1 e infinitesima sipuo affermare che la componente normale del ∇× V a c′1 e nulla cioe il ∇× V e tangentealla superficie delimitata da tale curva che quindi giace su un tubo vorticoso. Poiche questoragionamento puo ripetersi per ogni curva del tipo c1 ne segue che tutte le particelle indiscorso si ritroveranno al tempo t + dt su un nuovo tubo vorticoso. Si puo cosı giungerealla conclusione che: Particelle che a un dato istante si trovano su una linea vorticosa simuoveranno in modo da trovarsi ad ogni istante su una linea vorticosa.Questo risultato puo anche esprimersi affermando che le linee vorticose sono costituite sem-pre dalle stesse particelle.Una seconda conseguenza del teorema di Kelvin si ha considerando al tempo t su un tubovorticoso una linea del tipo c2 a circolazione diversa da zero; al tempo t+ dt lungo la curvac′2 si avra la stessa circolazione. Definita allora vorticita di un tubo vorticoso la circolazione,costante, lungo una qualsiasi curva c2 si puo anche affermare che la vorticita di un vorticenon varia durante il moto delle sue particelle.Questi risultati costituiscono i teoremi di Helmholtz. Si osserva ancora una volta che, essendoconseguenza del teorema di Kelvin, valgono se esiste la funzione P.Si ricorda ancora che queste conclusioni sono essenzialmente legate alla ipotesi di assenza dicause dissipative (il numero di Reynolds e infinito) per cui non trovano assoluto riscontroin natura. Se si osservano infatti gli anelli di fumo prodotti da una sigaretta si vedra che sihanno dei vortici che per un certo tempo hanno una vorticita quasi costante: con il passaredel tempo pero le cause dissipative fanno sentire il loro peso facendo variare la vorticita deglianelli di fumo.

7.4 Moto irrotazionale

Una importante conseguenza dei risultati stabiliti precedentemente e costituita dal fatto cheuna particella che ad un dato istante non ha rotazione, in assenza di cause dissipative, nonpuo acquistarne.Ne segue che se ad un certo istante l’intera massa fluida e irrotazionale, essa continua amuoversi con moto irrotazionale. In tal caso il vettore velocita puo essere posto nella forma:

V = ∇φ (7.9)

66

Le equazioni per la funzione potenziale e la funzione di corrente

sostituendo ad una incognita vettoriale una scalare.Un’altra proprieta puo ricavarsi trasformando l’equazione di equilibrio. Poiche vale l’identita

V · ∇V = ∇× V × V + ∇(V 2/2) (7.10)

la 7.5 si scrive:∇(V 2/2 + P ) = V ×∇× V (7.11)

Da questa relazione si vede innanzitutto come la somma V 2/2+P sia costante oltre che lungouna linea di corrente, come e stato dimostrato con la 7.6, anche lungo una linea vorticosa.Infatti la 7.11 mostra come il gradiente di tale somma sia ortogonale sia a V che a ∇× V eche quindi la sua componente lungo questi vettori e nulla.Se inoltre ∇× V = 0 e

V 2/2 + P = cost (7.12)

essendo il gradiente di tale grandezza sempre nullo.Si ha quindi che nel caso rotazionale il primo membro della 7.12 e costante lungo ogni lineadi corrente o vorticosa: nel caso irrotazionale risulta che il valore di tale costante e lo stessoin tutto il campo.La 7.12 determina P una volta nota V; per determinare V basta sostituire la 7.9 nell’equa-zione di continuita nella forma ∇ · V + 1

ρdρdt = 0 per ottenere, per la (T,109)(definizione di

Laplaciano):

∆2φ = −1

ρ

dρ

dt

Il secondo membro di questa equazione si puo scrivere, ponendo a2 = pρ e ricordando la 7.4,

nella forma −1ρ

dρdP

dPdt=−1a2

dPdt per cui l’equazione da risolvere e:

∆2φ = −1

a2

dP

dt(7.13)

Si osserva che, poiche in questo paragrafo le grandezze sono adimensionali, dalla 7.13 a2

risulta adimensionalizzata rispetto a V 2o ; se inoltre per essere il fluido a densita costante (e

cioe dρ = 0), e a2 infinita, la 7.13 diventa:

∆2φ = 0 (7.14)

cioe la funzione risulta armonica.La definizione di a2 in accordo con le ipotesi fatte ha senso quando la densita e funzionesolo della pressione: e questo il caso della densita costante (in tal caso a e infinita) e delletrasformazioni isentropiche, in questo ultimo caso e: a = ais.Se il moto e irrotazionale isentropico la 7.12 si scrive

V 2/2 + γp/ρ(γ − 1) = cost. (7.15)

se e invece a densita costante la 7.12 diventa:

V 2/2 + p/ρ = cost. (7.16)

7.5 Le equazioni per la funzione potenziale e la funzione

di corrente

La 7.13 per la 7.6 puo anche scriversi nella forma

a2∆2φ = (d/dt)(V 2/2) (7.17)

67


che rappresenta in tal modo l’equazione generale per la funzione potenziale del moto di unfluido compressibile.E questa un’equazione differenziale a derivate parziali del secondo ordine non lineare. Perclassificarla consideriamo per semplicita un moto bidimensionale in un sistema di riferimentocartesiano; essendo V 2 = u2 + v2, u = φx e v = φy , risulta V · ∇(V 2/2) = u(V 2/2)x +v(V 2/2)y = u(uux + vvx) + v(uuy + vvy) = u2φxx + v2φyy + 2uvφxy per cui la 7.17 si scrive

φxx(a2 − u2) + φyy(a

2 − v2) − 2uvφxy = 0 (7.18)

Per classificare questa equazione consideriamo il segno della (EP,23): poiche e a22 − a1a3 =

(V 2/a2 − 1)a4 ne segue che l’equazione e ellittica, iperbolica o parabolica a seconda che V esempre minore, maggiore o uguale ad a.Ricordando la definizione del numero di Mach si puo dire che l’equazione e ellittica o iper-bolica a seconda che il numero di Mach locale e sempre minore di uno (moto subsonico) omaggiore di uno (moto supersonico).Nel caso di moti compressibili stazionari bidimensionali si puo introdurre la funzione dicorrente osservando che essendo il vettore ρV solenoidale, si puo introdurre un potenzialevettore mediante la 1.3 in cui si pone ρV al posto di V: valgono cosı tutti i risultati stabilitiper la funzione di corrente incompressibile, con le modifiche richieste dalla presenza delladensita nella definizione del potenziale vettore. In particolare in un sistema di coordinatecartesiane si ha: ψy = ρu, ψx = −ρv.Se il moto e irrotazionale, se e cioe ∇ × V = 0, si puo scrivere ∇ × (ρ−1ρV = 0), cioe (A.Pozzi (1979) pag. 387) ∇ × (ρV) − ρ2V × ∇(ρ−1) = 0 ovvero (per la T,111, pag.386 A.Pozzi (1979)) −∆2A + V ×∇ρ = 0, dove A e il potenziale vettore. Essendo a2∇ρ = ∇p =−ρdV/dt = −dρV/dt + Vdρ/dt, l’equazione che esprime l’irrotazionalita di V si scrive nelseguente modo

a2∆2A = (d(ρV)/dt) × V

Proiettando questa equazione sull’asse z di un sistema di coordinate cartesiane ed indicandoancora con ψ la terza componente del potenziale vettore, questa equazione diventa

a2(ψxx + ψyy) = v(uψyx + vψyy) + u(uψxx + vψxy)

cioe

ψxx(a2 − u2) + ψyy(a

2 − v2) − 2uvψxy = 0 (7.19)

Si nota che questa equazione e formalmente uguale alla 7.18 che determina la funzionepotenziale φ: le condizioni al contorno da associare alle due equazioni sono pero diverse.Queste equazioni possono essere trasformate in equazioni lineari assumendo come variabiliil modulo della velocita V e l’angolo ϑ che il vettore velocita forma con l’asse delle x, conu = V cosϑ e v = V senϑ. Si ha allora

dφ = udx+ vdy ; dψ = −ρvdx+ ρudy

ricavando dx e dy da queste due relazioni si ha

dx = (cosϑdφ− (1/ρ)senϑdψ)/V ; dy = (senϑdφ+ (1/ρ)cosϑdψ)/V

Sostituiamo in queste relazioni xvdV + xϑdϑ a dx e yvdV + yϑdϑ a dy; scrivendo ancoradφ = φvdV + φϑdϑ, dψ = ψvdV + ψϑdϑ ed eguagliando i coefficienti di dV e dϑ si ha

xv = (cosϑφV − senϑψv/ρ)/V ; xϑ = (cosϑφϑ − senϑψϑ/ρ)/V

68

Campo di velocita intorno ad uno spigolo

yv = (senϑφv + cosϑψv/ρ)/V ; yϑ = (senϑφϑ + cosϑψϑ/ρ)/V

Deriviamo le prime di queste equazioni rispetto a ϑ, le seconde rispetto a V ed eguagliamoxvϑ a xϑv ed yvϑ a yϑv; raccogliendo in senϑ e cosϑ ed osservando che queste eguaglianze sipresentano nella forma Asenϑ+Bcosϑ = 0, Acosϑ+Bsenϑ = 0 risulta A = B = 0 da cui:

φϑ = V ψv/ρ ; φv = (1/ρ)vψϑ − (1/ρ)ϑψv − (1/ρV )ψϑ

Essendo, per la relazione di Bernoulli per flusso isentropico, sia p che ρ che a funzio-ni della sola V e ρϑ = 0; essendo ancora dp = −ρV dV si ha pv = −ρV per cui e(1/ρ)v = −ρv/ρ

2 = −ρppv/ρ2 = −pv/(a

2V 2) = V/(ρa2). L’espressione di φV diven-ta φV = (V/ρa2)ψϑ − (1/ρV )ψϑ; derivando infine φϑ rispetto a V e φv rispetto a ϑ eduguagliando queste due espressioni si ha la seguente equazione lineare per la ψ(V, ϑ)

V 2ψV V + V ψv(1 +M2) + (1 −M2)ψϑϑ = 0

Ricavando M2 dalla relazione di Bernoulli scritta nella forma a2 + V 2(γ − 1)/2 = a2s, dove

as e la velocita del suono di ristagno, si ha

V 2[1− (γ − 1)V 2/2a2s]ψV V +V [1− (γ − 3)V 2/2a2

s]ψV + [1− (γ + 1)V 2/2a2s]ψϑϑ = 0 (7.20)

In modo analogo si ottiene l’equazione per la funzione potenziale.Per moti a simmetria assiale la 7.18 in coordinate cilindriche diventa

(a2 − u2)φxx − 2uvφxr + (a2 − v2)φrr + a2φr/r = 0 (7.21)

dove u = φx e v = φr.In coordinate polari piane r, ϑ, l’equazione del moto si scrive

r2(a2 − u2)φrr − 2uv(rφrϑ − φϑ) + (a2 − v2)(φϑϑ + rφr) = 0 (7.22)

dove con u e v vengono indicate le componenti della velocita secondo r e ϑ ed e u = φr,v = φϑ/r.

7.6 Campo di velocita intorno ad uno spigolo

Scrivendo l’eq. di Laplace per la funzione di corrente in coordinate polari si ha r2ψrr +rψr + ψϑϑ = 0. Una soluzione di questa equazione, trovata con il metodo della separazionedi variabili e ψ = Arksen(kϑ+B).Si puo trovare il valore di k in modo che ψ sia costante, in particolare 0, sui lati di unospigolo caratterizzati dai valori α e π di ϑ. Perche cio accada basta che sia kα + B = 0 ekπ+B = π. Si ha cosı k = π/(π−α) e B = −αk. Nel caso 1), quando l’area a disposizionedel fluido diminuisce, α e positivo e quindi k > 1; la velocita nello spigolo risulta percionulla. Nel caso 2) e k < 1 e la velocita nello spigolo e infinita.Si e cosı trovato il campo di velocita intorno a uno spigolo: la costante A e indeterminata inquanto dipende dalla conoscenza dell’intero campo fluidodinamico.

7.7 Curve caratteristiche e progetto di un ugello super-

sonico

Se si assume la rappresentazione cartesiana y=y(x) le curve caratteristiche della 7.18 o 7.19sono date da

dy

dx=

−uv ± a(V 2 − a2)1/2

a2 − u2

69


Figura 7.3: Moto intorno ad uno spigolo

Assumendo come asse x quello della direzione della velocita (per cui e u = V e v = 0) questarelazione diventa

dy

dx= ±

1/M

(1 − 1/M2)1/2= ± + tgµ

dove µ = arcsen(1/M) e l’angolo che la tangente alla curva caratteristica forma con il vettorevelocita.Se si vuole determinare il campo di velocita nella parte supersonica di un ugello che, partendodal valore unitario del numero di Mach, conduce al valore finale Mf , si osserva che non si puoapplicare la teoria delle caratteristiche assumendo come curva iniziale quella su cui e M = 1,in quanto per l’iperbolicita delle equazioni e necessario che sia M > 1. Si possono allorautilizzare le formule dell’espansione supersonica intorno ad uno spigolo (flusso di Prandtl-Meyer) per ottenere le condizioni a M > 1:

±(ϑ− ϑ0) = arccos(1/M) − arctg[k(M 2 − 1)]1/2/k1/2

dove ϑ e l’angolo che forma la direzione della velocita con un asse di riferimento, ϑ0 e l’angolorelativo a M = 1 e k = (γ − 1)(γ + 1).Per ottenere le condizioni su di una curva che sia relativa ad un flusso supersonico notosostituiamo il primo tratto dell’ugello con un elemento rettilineo GA: si avranno cosı nellasezione AB le condizioni iniziali cercate (si considerera per semplicita un ugello simmetrico).Si viene cosı a determinare un problema di Cauchy con curva iniziale AB che consente diconoscere la soluzione nel dominio individuato da AB e dalle curve caratteristiche passantiper gli estremi della curva. Se si assegna un tratto di curva AD costituente il contornodell’ugello tale curva sara linea di corrente, come pure linea di corrente sara l’asse. Siha cosı la possibilita di determinare il campo nella regione ADEB, dove DE e la curvacaratteristica partente da D. Il punto D viene determinato con la condizione che nel puntoE si abbia M = Mf . Poiche si desidera che il flusso esca uniforme dall’ugello, a valle dellacurva caratteristica uscente da E sara sempre M = Mf . Si viene allora a determinare unproblema di Goursat in cui le condizioni sono note sulle 2 curve caratteristiche uscenti daE: in particolare la curva EF e rettilinea ed inclinata rispetto alla velocita di uscita (che ha

70

Soluzioni semplici in regime compressibile in coordinate polari

la direzione dell’asse) dell’angolo arcsen(1/Mf ). Da notare che questo problema di Goursatdefinisce la soluzione in DEFH dove FH e DH sono le curve caratteristiche uscenti da F e D.Il tratto AD dell’ugello e scelto arbitrariamente, mentre il tratto DF e costituito dalla lineadi corrente partente da D.Poiche sia nella sezione iniziale, a M = 1, che in quella finale a M = Mf il flusso e uniformee facile controllare se l’equazione della continuita e rispettata, valutando cosı l’accuratezzadell’applicazione del metodo.

Figura 7.4: Domini di esistenza delle diverse soluzioni

7.8 Soluzioni semplici in regime compressibile in coor-

dinate polari

Analogamente a quanto accade in regime incompressibile e possibile trovare in regime com-pressibile alcune soluzioni elementari. Assumeremo come sistema di riferimento quello polarepiano r, ϑ considerando il caso in cui le due componenti della velocita u e v secondo r e ϑdipendono solo da r.a) Moto radiale u = u(r), v = 0.Quando v = 0 ed u = u(r) l’eq.7.22, ponendo φr = u si scrive

r(a2 − u2)ur + a2u = 0

71


Ricavando a2 dall’equazione di Bernoulli scritta nella forma 2a2 + (γ − 1)u2 = 2a2ris, questa

equazione diventa

r[2a2ris − (γ + 1)u2]ur + [2a2

ris − (γ − 1)u2]u = 0

Questa equazione puo essere risolta con il metodo della separazione delle variabili. Ponendoξ = (r/r0), dove r0 e una costante, che sara calcolata in seguito, e η = u/aris, si trova

±1/ξ = η[1 − (γ − 1)η2/2]1/(γ−1)

Il numero di Mach M e legato alla variabile η dalla relazione

1/M2 = a2/u2 = 1/η2 − (γ − 1)/2

Quando ξ tende all’infinito si trovano due valori per η: η = 0, corrispondente ad M = 0 edη = [2γ − 1)]1/2, corrispondente ad M = ∞.Ne segue che in un condotto divergente conico sono possibili due flussi radiali, uno subsonicocon velocita nulla all’infinito e un altro supersonico con numero di Mach infinito all’infinito.Per calcolare la costante ro in funzione dei dati del problema si osserva che il flusso di massaQ e dato da Q = ρur = ρarisroξη. Q e costante al variare di r e quindi di η: puo percioessere calcolato per η che tende a zero, per cui ρ tende a ρris e ξη tende a 1. Si ha cosıQ = arisρrisro da cui ro.b) Moto con velocita tangenziale diversa da zero: u = u(r), v = v(r).Si puo osservare preliminarmente che dalla condizione di irrotazionalita scritta in coordinatepolari, rvr −uϑ + v = 0, nell’ipotesi che u e v siano indipendenti da ϑ si ha rvr + v = 0, cioerv = C, dove C e una costante arbitraria.Nelle ipotesi che la velocita sia indipendente da ϑ la 7.22 si puo scrivere nella seguente forma

(ru)r = ru(uur + vvr)/a2

Il secondo membro di questa equazione osservando che e (V 2/2 + P )r = 0 ovvero

(V 2/2)r + pr/ρ = (V 2/2)r + a2ρr/ρ = 0

si puo scrivere nella forma −ruρr/ρ. Integrando si ha

ρru = k

con k costante arbitraria. (Questo risultato puo anche essere ottenuto direttamente dall’e-quazione di continuita).Tenendo conto delle due equazioni che danno la u e la v si ha

r2 = C2/V 2 + k2/(ρV )2

Le relazioni ottenute, insieme alla relazione di Bernoulli, risolvono il problema.Si nota che ρ diminuisce al crescere di V , mentre il prodotto ρV aumenta quando V cresceda 0 ad a, e poi va a zero al successivo crescere di V .

7.9 Soluzioni semplici in regime compressibile nel piano

dell’odografo

Alcune soluzioni semplici possono essere trovate facilmente nel piano dell’odografo, assu-mendo cioe come variabili indipendenti V e ϑ: si ricorda che la linearita dell’equazione

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Moti rotazionali

nell’incognita ψ(0φ), consente, in tale piano, la sovrapponibilita di soluzioni.a) Vortice in regime compressibileCome in regime incompressibile φ = Cϑ, con C costante arbitraria, e soluzione dell’equazio-ne del moto. Da questa espressione del potenziale si ricava che V = C/r e che le linee dicorrente sono circonferenze lungo cui il modulo della velocita V e costante. Il massimo valoredella velocita, velocita limite VL, corrisponde al valor minimo di r possibile. La circolazionee uguale a 2πC.b) Moto radiale: pozzi e sorgenti in regime compressibileE facile verificare che ψ = kϑ, con k costante arbitraria, e soluzione della 7.20. Dallaespressione delle xv , xϑ, yv, yϑ e φv si ha

x = kcosϑ/ρV ; y = ksenϑ/ρV ; r = ±k/ρV

Le linee di corrente, di questo flusso, sono date da ϑ = cost e sono quindi le semirette partentidall’origine. Le curve a velocita costante (e quindi, a densita costante, per la relazione diBernoulli) sono circonferenze. La relazione tra r e V si ottiene facilmente esprimendo ρ infunzione di V ; si ha

r = ±(k/V )(1 − V 2/V 2L )1/(1−γ)

Il campo di velocita descritto e quello generato da una sorgente per k positivo e quellogenerato da un pozzo per k negativo. c) Moto alla Ringleb Un’altra soluzione semplice estata data da Ringleb che studio il moto governato dalla funzione di corrente ψ = cosϑ/V .E infatti facile verificare che tale funzione di corrente soddisfa all’eq. 7.20. In questo campodi moto le componenti della velocita sono date da

u =

(

2

γ − 1

)1/2

τ1/2cosϑ ; v =

(

2

γ − 1

)1/2

τ1/2senϑ

dove τ = V/VL.

7.10 Moti rotazionali

Consideriamo un moto rotazionale stazionario incompressibile bidimensionale. Le compo-nenti cartesiane della velocita, espresse in termini della funzione di corrente, sono date dau = ψy, v = −ψx. L’unica componente del rotore di V diversa da zero, secondo l’asse z, valevx − uy; indicando con −ω tale componente si ha

ω = ∆2ψ (7.23)

Una qualunque funzione ω = ω(ψ), costante cioe lungo una linea di corrente, e soluzionedelle equazioni di Eulero. In forma vettoriale queste si scrivono

dV

dt+ ∇p = 0

Considerando il rotore di questa relazione e proiettando sull’asse z si ha

V · ∇ω = 0

Questa equazione e identicamente soddisfatta dalla posizione considerata; infatti il primomembro si scrive uωψψx + vωψψy.Queste considerazioni possono estendersi, con le dovute varianti ad un sistema di riferimento

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anche non cartesiano, ricordando, nel caso di sistemi ortogonali, che le componenti dellavelocita sono legate alla funzione di corrente dalle 1.5: si fa notare che la 8.1 vale solo nelcaso in cui il terzo fattore di scala, h3 e uguale a 1, come accade nel sistema polare piano.Consideriamo come esempio ω = −k2ψ, per cui si ha ∆2ψ + k2ψ = 0. Di questa equazione,che in coordinate polari diventa r2ψrr+rψr+ψϑϑ+k

2r2ψ = 0, si possono trovare soluzioni conil metodo delle variabili separabili scrivendo ψ = f(r)g(ϑ) ed ottenendo ψ = CJs(kr)sensϑdove Js e una funzione di Bessel di ordine s ed s una costante qualsiasi.Se si vuole imporre che la circonferenza di raggio a sia linea di corrente basta scrivereJs(ka) = 0 determinando in tal modo k; risulta ka = 3.8317. Poniamo ora s = 1. La funzio-ne di corrente all’interno della circonferenza di raggio a e espressa da ψ = CJ1(kr)senϑ. Seall’esterno della circonferenza consideriamo la funzione di corrente relativa al moto irrotazio-nale ψ = U(r−a2/r)senϑ, con U velocita asintotica, si puo determinare la costante C impo-nendo che la componente tangenziale della velocita sia continua; si trova C = 2U/kJ ′

1(ka),dove J ′

1 = J0.L’impulso collegato a questa distribuzione vorticosa e 2πρa2U .

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gasdinamica

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