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INSTITUTO TEC NOLO G IC O DE OAXACAMETODOS N UMERICOS

GAUS S GAUS S

JO R DA N SEIDEL

OCTUBRE 2009

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ContenidoSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES .................................................................................. 3 MTODO DE GAUSS - JORDAN ................................................................................................. 4 Ejemplo 1 .................................................................................................................................... 4 Ejemplo 2:................................................................................................................................... 5 Aplicacin del mtodo Gauss-Jordn Para la resolucin de un problema de Ingeniera .............. 6 MTODO DE GAUSS-SEIDEL ..................................................................................................... 8 La secuencia de pasos que constituyen el mtodo de Gauss-Seidel es la siguiente: ...................... 8 Ejemplo....................................................................................................................................... 9 Aplicacin del mtodo gauss seidel ........................................................................................... 12 BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................................... 14

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMuchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultneamente varias ecuaciones lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. Tambin resultan muy tiles en geometra (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posicin relativa de estas figuras geomtricas en el plano o en el espacio). Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional as :

un sistema as expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incgnitas, donde aij son nmeros reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son nmeros reales, llamados trminos independientes del sistema, las incgnitas xj son las variables del sistema, y la solucin del sistema es un conjunto ordenado de nmeros reales (s 1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incgnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema. Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notacin matricial tiene esta forma :

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MTODO DE GAUSS - JORDANEste mtodo, que constituye una variacin del mtodo de eliminacin de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultneas, con 8 o 10 dgitos significativos en las operaciones aritmticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del mtodo Gaussiano en que cuando se elimina una incgnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuacin pivote as como de las que la siguen.

Ejemplo 1Resolver por el mtodo de Gauss-Jordan

Pasndola a la forma matricial Nos quedara Asi

Intercambiando el primer y tercer rengln

Restando dos veces el rengln 1 al rengln 3

Restando 3 veces el rengln 2 al rengln 3

Multiplicando el rengln 3 por (1/13)

Restando 2 veces el rengln 3 al 2, y restando 3 veces el rengln 3 al rengln 1

Sumando el rengln 1 mas el rengln 2

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Los que nos da la solucin del sistema por este mtodo

Ejemplo 2:Dadas las siguientes ecuaciones resolver por gaus-jordan

Escribindola en forma de matriz

e intercambiando el rengln 2 por el 1

restando 3 veces el renglon 1 al 2

y diviendo el renglo 2 entre de 13

sumando 5 veces el renglon 2 al 1

l o que nos da un sistema de la cual despejamos las variables de la siguiente manera

Se dice entonces que el sistema tiene una infinidad de resultados

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Aplicacin del mtodo Gauss-Jordn Para la resolucin de un problema de IngenieraDISTRIBUCIN DE RECURSOS Todos los campos de la ingeniera enfrentan situaciones en las que la distribucin correcta de recursos es un problema critico. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios de construccin, distribucin de productos y recursos en la ingeniera, Aunque los problemas siguientes tienen que ver con la fabricacin de productos, el anlisis general tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas. Un ingeniero Civil supervisa la produccin de cuatro tipos de mezclas de concreto para la elaboracin de prefabricados. Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, grava, Arena y Agua Mezcla 1 2 3 4 Mano de Grava Obra 3 20 4 25 7 40 20 50 Arena 10 15 20 22 agua 10 8 10 15

En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la produccin de cada tipo de mezclas. Si se dispone diariamente de 504 horas, hombre, 1970 kg Grava, 970 kig de Arena y 601 litros de agua. Cuntas mezclas de cada tipo se pueden realizar por da? SOLUCION: La cantidad total producida de cada mezcla esta restringida al total de recursos disponibles en cada categora diariamente. Estos recursos disponibles se distribuyen entre los cuatro tipos de mezcla. 3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 =< 504

Y as sucesivamente con los dems recursos. 20x1 + 25x2 + 40x3 + 10x1 + 15x2 + 20x3 + 50x4 =< 1970 22x4 =< 970

10x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 =< 601 Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultanea de otra manera, se acabara uno o mas de los recursos necesarios en la produccin de los cuatro tipos de mezclas. Si los recursos disponibles representados por el vector de termino independiente de las ecuaciones

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anteriores, se reducen todos a cero simultneamente, entonces se puede remplazar el signo menor o igual por el de igual. En este caso la cantidad total de cada tipo de mezcla producida se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4 usando los metodos de gauss. Aplicando la eliminacin Gaussiana con los pasos anteriores se tiene que: X1=10 X2=12 X3=18 X4=15 Esta informacin se usa en el calculo de las ganacias totales. Por ejemplo, suponiendo las ganancias que corresponden a cada mezcla estan dadas por P1, P2, P3 y P4. La ganancia total asociada con un dia de actividad esta dada por: P = p1x1 + p2x2 +p3x3 + p4x4 Se sustituyen los resultados de Xs y se calculan las ganancias usando los coeficientes del siguiente cuadro. MEZCLA 1 2 3 4 P = 1000(10)+ GANANCIA 1000 700 1100 400 700(12)+ 1100(18)+ 400(18) = 44 200

De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200 diarios con los recursos especificados en el problema.

Las ventajas y desventajas de la eliminacin gaussiana se aplican tambin al mtodo de GaussJordan. Aunque los mtodos de Gauss-Jordan y de eliminacin de Gauss pueden parecer casi idnticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminacin gaussiana es el m todo simple por excelencia en la obtencin de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultneas. Una de las principales razones para incluir el mtodo de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un mtodo directo para obtener la matriz inversa.

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MTODO DE GAUSS-SEIDEL El mtodo de eliminacin para resolver ecuaciones simultneas suministra soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El nmero exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del nmero de dgitos que se conservan en el resultado de las operaciones aritmticas, y del procedimiento de redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el nmero de ecuaciones que se pueden manejar se puede incrementar considerablemente a ms de 15 o 20, pero este mtodo tambin es imprctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben resolver simultneamente. El mtodo de inversin de matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con nmeros muy grandes de ecuaciones simultneas. Sin embargo, existen varias tcnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes nmeros de ecuaciones simultneas. Una de las tcnicas ms tiles es el mtodo de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el mtodo de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre converge a una solucin o de que a veces converge muy lentamente. Sin embargo, este mtodo convergir siempre a una solucin cuando la magnitud del coeficiente de una incgnita diferente en cada ecuacin del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuacin. Es difcil definir el margen mnimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es an ms difcil predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinacin de valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incgnita diferente para cada ecuacin es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuacin, la convergencia est asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultneas lineales se conoce como sistema diagonal. Un sistema diagonal es condicin suficiente para asegurar la convergencia pero no es condicin necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultneas lineales que se derivan de muchos problemas de ingeniera, son del tipo en el cual existen siempre coeficientes dominantes.

La secuencia de pasos que constituyen el mtodo de Gauss-Seidel es la siguiente:1. Asignar un valor inicial a cada incgnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hiptesis razonable de stos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarn la convergencia como tal, pero afectarn el nmero de iteraciones requeridas para dicha convergencia. 2. Partiendo de la primera ecuacin, determinar un nuevo valor para la incgnita que tiene el coeficiente ms g