Método de Gauss-Seidel

Es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método es similar al método de Jacobi. Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera.

Gauss-Seidel Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar: 

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones: 

Gauss-Seidel

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. 

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero.

Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo.

Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio.

En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas.

Gauss-Seidel

Gauss-Seidel LOS ERRORES APROXIMADOS:

El proceso se vuelve a repetir hasta que: 

Se finalizan las iteraciones cuando el máximo Error absoluto relativo aproximado es menor que la tolerancia especificada para todas las incógnitas.

El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones siempre? 

Una matriz [A] es Diagonalmente dominante si: 

Gauss-Seidel

Gauss-Seidel Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.12x1+5x2-x3=15

X1-6x2-4x3=92x1-3x2+8x3=5 Con valores iniciales x1= 1 , x2= 1 , x3= 1 

Nota: Para poder ocupar el método de Gauss de la matriz debe cumplir que los valores de x1,x2 y x3 respectivamente de las ecuaciones tienen que ser mayor a sus laterales.

SOLUCIÓN :12 5 −11 −6 −42 3 8

[12 5 −11 −6 −42 3 8 ] [𝑥1𝑥2𝑥3]=[1595 ]

Gauss-Seidel 𝑉 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 :𝑥1=1

𝑥2=1𝑥3=1

𝑥1=15−5𝑥2+𝑥3

12

𝑥2=9−𝑥1+4 𝑥3

−6

𝑥3=5−2 𝑥1+3 𝑥2

8

=0.917

𝑥2=9−0.917 +4 (1 )

−6=−2.014

=0.359

Gauss-Seidel Si seguimos iterando se tiene:

Gauss-Seidel con relajación Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

Reacomodamos las ecuaciones por pivote y despejamos cada ecuación con su variable para obtener:

Gauss-Seidel con relajación Asuma que x1=x2=x3=xn=0Y aplique la definición:

xi(nuevo)=wxi(nuevo)+(1-w)*xi(nuevo)

Donde w: Puede variar entre 0 y 2.Si 0 < w <1, lo que se pretende es acelerar la convergencia (método de subrelajacion) Si 1<w<2, lo que se pretende es acelerar la convergencia (método de sobrerelajacion sucesiva o sor)Ejemplo: Se tiene el sistema.-4x1+10x3=702x1-x2-2x3=-36x1+8x2=45

Use el método de Gauss Seidel con relajación para resolver w=0.80 y error = 5%.

Solución:

𝑥1=−3+𝑥2+2𝑥3

2

𝑥2=45−6𝑥18

𝑥3=70+4 𝑥110

Asumo x1=x2=x3=0Y aplico la definición; xi(nuevo)=wxi(nueva)+(1-w)*xi(nuevo)Para luego ir remplazando cada ecuación.

Para la primera iteración:

=1.5

1.5+(1-0.80)0=1.2

=5.625

5.625+(1-0.80)0=4.5

=7

Gauss-Seidel con relajación

+(1-0.80)0=5.6

Y así sucesivamente realizamos las iteraciones donde de manera rápida encontraremos la solución.