gaussove kvadraturne formule_vjezbe 3

Gaussove kvadraturne formule

Asistent: S. Medi Predmet: Modeliranje konstrukcija 1

3. GAUSSOVE KVADRATURNE FORMULE U 1D U optem sluaju, slaba forma se ne moe integrirati u zatvorenom obliku, pa je nun anumerika integracija. Gaussove kvadraturne formule su pogodne za integriranje polinoma koji su vrlo esti u MKE. Pogledajmo integral:

( ) ?ba

I f x dx= = (3.1) Gaussove kvadraturne formule uvijek se odnose na domenu relativne koordinate

[ ]1,1 1 koju je potrebno preslikati u fiziku domenu [ ],x a b koritenjem linearne transformacije x k n= + odakle se dobija (v.sl.3.1):

( ) ( )1 12 2

x a b b a= + + (3.2)

Sl.3.1. Preslikavanje sa matine domene [ ]1,1 na fiziku domenu [ ],a b .[3] Koritenjem linearnih interpolacionih funkcija gornje preslikavanje se moe napisati kao:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 11 12 2x x N x N a b = + = + + (3.3) Iz (3.2) ili (3.3) deriviranjem se nalazi:

( )12 2

ldx b a d d Jd = = = (3.4) gdje se J naziva Jakobijan. Sada se integral (3.1) moe napisati kao:

( ) ( )1 11 1

, I J f d JI I f d

= = = (3.5) U Gaussovoj metodi numerike integracije gornji integral I se aproksimira izrazom:

( ) ( ) [ ]( )( )( )

1

21 1 2 2 1 2

... ... n

n

ff

I W f W f W W W

f

= + + = =

TW f# (3.6)

gdje su Wi teine, a i take u kojima se izraunava vrijednost podintegralne funkcije. Osnovna ideja Gaussove metode jeste pogodnim odabirom teina i taaka integracije egzaktno proraunati integral neke funkcije. Da bi se dobila formula za izraunavanje integrala, podintegralna funkcija ( )f aproksimira se polinomom :

( )N

( )1

22 21 2 3

3

... 1 ...f

= + + + = = P

P

#

(3.7)

1 [ ]1,1 se zove matina domena.



Koeficijente i izrazimo kao funkciju ( )f u takama integracije: ( )( )( )

21 1 2 1 3 1

22 1 2 2 3 2

21 2 3

...

...

...n n n

f

f

f

= + + += + + +

= + + +# ili

( )( )( ) N

21 11 1

22 22 2

22

11

1n nn n

ff

f

= Mf

""

# ## # # #"

(3.8)

Sada se (3.6) moe napisati kao: I = TW M (3.9) Da odredimo koje teine i take integracije treba odabrati za egzaktnu integraciju polinoma odreenog reda, napiimo (3.5) kao:

( )1

121 1 2 3 42 3

31 1 1

12 3 4

2 2 0 03

n

I f d d

I

= = = = =

P

P

" "#

"

(3.10)

Teine i take integracije odreuju se iz uslova jednakosti (3.9) i (3.10) tako da kvadraturna formula daje egzaktnu vrijednost integrala polinoma odreenog reda. Odavde je:

T T= =TW M P M W P (3.11) to predstavlja sistem nelinearnih algebarskih jednaina sa nepoznatim matricama M i W. Ako je ngp broj Gaussovih taaka, red p polinoma koji se moe egzaktno integrirati je:

2 1gpp n (3.12a) to proizilazi iz toga da je za definiciju polinoma potrebno p + 1 koeficijenata, a u Gaussovoj metodi n tog reda 2ngp parametara je proizvoljno (n teina i n taaka). Broj taaka potreban za tanu integraciju polinoma reda p je:

12

pn + (3.12b) Na primjer, za egzaktnu integraciju kvadratnog polinoma (p = 2), potrebne su minimalno dvije Gaussove take integracije. Koritenjem Legendreovih formula dobijaju se Gauss Legendre ove formule za numeriku integraciju. Gaussove take, tj. take integracije predstavljaju nule Legendre ovih polinoma. Integracija se moe izvriti i koritenjem trapeznog ili Simpsonovog



pravila (Newton Cotesovih formula) ije ogranienje predstavlja ekvidistantnost vorova. U Newton Cotesovim formulama su za razliku od Gaussa krajnje take intervala uvijek ukljuene u proraun integrala. Iz njih se izvode Lobatto2 formule za numeriko integriranje koje nemaju ekvidistantne vorove, ve im je poloaj prilagoen maksimalnoj tanosti prorauna. PRIMJER 1. Proraunati integral koritenjem Gaussovog pravila sa dvije i jednom takom integracije.

( )5 3 22

2I x x dx= + a) 2ngp 1 = 3 ngp = 2 za taan proraun Uvrtavanjem u (3.11) dobijaju se 4 nelinearne jednaine sa 4 nepoznate ( )1 1,W i ( )2 2,W . Sistem se moe rijeiti pjeke iskoritenjem simetrije jednaina ili npr. pomou programa MATHEMATICA:

1 2 11 2 1 22 2

1 2 23 3

1 2

21 10

1 1 1, ,23 3

30

WW W

W

= = = = =

Dalje izraunavamo za a = 2 i b = 5:

( ) ( )( ) ( ) ( )3 2

1 1 3.5 1.52 2

3.5 1.5 2 3.5 1.5

x a b b a

f

= + + = +

= + + +

Integral je jednak:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

13 2

1

3 2 3 21 1 1 2 2 2

3.5 1.5 2 3.5 1.52

3.5 1.5 2 3.5 1.5 3.5 1.5 2 3.5 1.52 2

lI JI d

l lW W

= = + + + =

= + + + + + + +

Koritenjem programa MATHEMATICA dobija se:

2 Trapezno i Simpsonovo pravilo u biti predstavljaju prve dvije Lobatto formule.



Egzaktno rjeenje jednako je:

Vidimo da je numeriko rjeenje identino sa egzaktnim. b) ngp = 1

Kao to se iz tabele 1. vidi, u sluaju integracije sa 1 Gaussovom takom 1 0 = i 1 2W = . Integral je jednak:

( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 3 21 1 11

3.5 1.5 2 3.5 1.5 3.5 1.5 2 3.5 1.52 2l lI JI d W

= = + + + = + + +

Koritenjem programa MATHEMATICA dobija se:

Vidi se da je rjeenje netano i to manje od tanog. U sluaju integracije lanova matrice krutosti ovo svojstvo emo iskoristiti za eliminaciju shear locking a.

Tabela 1. Lokacija Gaussovih taaka i odgovarajue teine [3].

gaussove kvadraturne formule_vjezbe 3

Documents