gegenstände der geometrie. objekte der geometrie © beutelspacher dezember 2003 seite 2 inhalt...
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Gegenstände der GeometrieGegenstände der Geometrie
Objekte der Geometrie © Beutelspacher
Dezember 2003Seite 2
InhaltInhalt
• Quadrat
• Kreis
• Würfel
• Das Pentagramm
• Parkette
• ---
• Quadrat
• Kreis
• Würfel
• Das Pentagramm
• Parkette
• ---
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Dezember 2003Seite 3
1. Das Quadrat1. Das Quadrat
Gerade Linien in der Natur?
Lichtstrahlen, fallende Körper, Wasseroberfläche, …
Faltkanten.
Rechte Winkel in der Natur?
„Schwerkraft zu Oberfläche“: Fallende Wassertropfen, ruhendes Pendel, … (daher der Name „Lot“ bzw. „lotrecht“).
Spiegelbild, …
auf sich selbst gefaltete gerade Linie
Gerade Linien in der Natur?
Lichtstrahlen, fallende Körper, Wasseroberfläche, …
Faltkanten.
Rechte Winkel in der Natur?
„Schwerkraft zu Oberfläche“: Fallende Wassertropfen, ruhendes Pendel, … (daher der Name „Lot“ bzw. „lotrecht“).
Spiegelbild, …
auf sich selbst gefaltete gerade Linie
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Dezember 2003Seite 4
Das QuadratDas Quadrat
• Durch Falten erhält man ein Rechteck
• Aus einem Rechteck erhält man durch Falten ein Quadrat, dessen
Seite gleich der kürzeren Seite des Rechtecks ist.
• Durch Falten erhält man ein Rechteck
• Aus einem Rechteck erhält man durch Falten ein Quadrat, dessen
Seite gleich der kürzeren Seite des Rechtecks ist.
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Dezember 2003Seite 5
Symmetrien eines QuadratsSymmetrien eines Quadrats
• Man kann Spiegelsymmetrie dadurch entdecken, dass man entlang
der Spiegelachse faltet und die Figur mit sich selbst zur Deckung
bringt.
• Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen: 2 Diagonalen und 2
Verbindungen gegenüberliegender Seitenmitten.
• Man kann Spiegelsymmetrie dadurch entdecken, dass man entlang
der Spiegelachse faltet und die Figur mit sich selbst zur Deckung
bringt.
• Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen: 2 Diagonalen und 2
Verbindungen gegenüberliegender Seitenmitten.
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Dezember 2003Seite 6
Aus einem Quadrat ein anderesAus einem Quadrat ein anderes
• Das Quadrat über der Diagonale hat die doppelte Fläche („ist
doppelt so groß“).
• Das Quadrat über der halben Diagonale hat die halbe Fläche („ist
halb so groß“).
• Das Quadrat über der Diagonale hat die doppelte Fläche („ist
doppelt so groß“).
• Das Quadrat über der halben Diagonale hat die halbe Fläche („ist
halb so groß“).
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Dezember 2003Seite 7
Fact sheet QuadratFact sheet Quadrat
Definition. Ein Quadrat ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten und
gleichgroßen Winkeln.
Alle Winkel eines Quadrats sind rechte Winkel.
Wir betrachten ein Quadrat der Seitenlänge a.
• A = a2, U = 4a.
• Länge der Diagonale: a∙2.
Insbesondere: Bei einem Quadrat der Seitenlänge 1 hat die
Diagonale die Länge 2.
Definition. Ein Quadrat ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten und
gleichgroßen Winkeln.
Alle Winkel eines Quadrats sind rechte Winkel.
Wir betrachten ein Quadrat der Seitenlänge a.
• A = a2, U = 4a.
• Länge der Diagonale: a∙2.
Insbesondere: Bei einem Quadrat der Seitenlänge 1 hat die
Diagonale die Länge 2.
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Dezember 2003Seite 8
2. Der Kreis2. Der Kreis
Runde Dinge in der Welt?
Durch Wachsen: Pflanzen, Bäume (Jahresringe), Äpfel, Pilze, …
Durch „Physik“: Stein fällt ins Wasser, Schleuderbewegung, Sonne,
Planeten, …
Durch Abrollen: Rad, Lawine, …
Durch den Herstellungsprozess: Vasen, Teller, Flaschen, Dosen,
Pizzateig, …
Sowie: Pupillen, Brillengläser, Fingerringe, Rundtanz, …
Runde Dinge in der Welt?
Durch Wachsen: Pflanzen, Bäume (Jahresringe), Äpfel, Pilze, …
Durch „Physik“: Stein fällt ins Wasser, Schleuderbewegung, Sonne,
Planeten, …
Durch Abrollen: Rad, Lawine, …
Durch den Herstellungsprozess: Vasen, Teller, Flaschen, Dosen,
Pizzateig, …
Sowie: Pupillen, Brillengläser, Fingerringe, Rundtanz, …
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Dezember 2003Seite 9
Wie kann man einen Kreis herstellen?Wie kann man einen Kreis herstellen?
• Durch Übertragen eines schon vorhandenen Kreises (Teller, …)
Dazu braucht man den Mittelpunkt nicht zu kennen
• Durch Abrollen (Teig, Knete, …)
• Punkte gleichen Abstands um den Mittelpunkt: Schnur, Zirkel, …,
Hammerwurf, … Mond um Erde, …
• Durch Übertragen eines schon vorhandenen Kreises (Teller, …)
Dazu braucht man den Mittelpunkt nicht zu kennen
• Durch Abrollen (Teig, Knete, …)
• Punkte gleichen Abstands um den Mittelpunkt: Schnur, Zirkel, …,
Hammerwurf, … Mond um Erde, …
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Dezember 2003Seite 10
DurchmesserDurchmesser
Die längste Strecke, die zwei Punkte einer Kreislinie verbindet, ist
der Durchmesser; er geht durch den Mittelpunkt des Kreises.
Jeder Durchmesser ist eine Symmetrieachse des Kreises.
Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen.
Die längste Strecke, die zwei Punkte einer Kreislinie verbindet, ist
der Durchmesser; er geht durch den Mittelpunkt des Kreises.
Jeder Durchmesser ist eine Symmetrieachse des Kreises.
Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen.
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Dezember 2003Seite 11
Fact sheet KreisFact sheet Kreis
Definition. Ein Kreis ist der Ort aller Punkte, die den gleichen
Abstand von einem festen Punkt („Mittelpunkt“) haben.
A = r2,
U = 2r.
ist „transzendent“. Das bedeutet insbesondere, dass man mit
Zirkel und Lineal zu einem Kreis kein flächengleiches Quadrat
konstruieren kann (Unmöglichkeit der „Quadratur des Kreises“).
Definition. Ein Kreis ist der Ort aller Punkte, die den gleichen
Abstand von einem festen Punkt („Mittelpunkt“) haben.
A = r2,
U = 2r.
ist „transzendent“. Das bedeutet insbesondere, dass man mit
Zirkel und Lineal zu einem Kreis kein flächengleiches Quadrat
konstruieren kann (Unmöglichkeit der „Quadratur des Kreises“).
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Dezember 2003Seite 12
3. Der Würfel3. Der Würfel
• Vorkommen in der Natur: Kristalle
• Vorkommen in der Kultur: Mekka
• Herstellung einer Ebene
• Das Wort „Würfel“ kommt von „würfeln“. Wenn man nur das
entsprechende geometrische Objekt meint, spricht man oft auch von
einem Hexaeder (= Sechsflächner). (Man kann auch mit einem
Tetraeder „würfeln“.)
• Vorkommen in der Natur: Kristalle
• Vorkommen in der Kultur: Mekka
• Herstellung einer Ebene
• Das Wort „Würfel“ kommt von „würfeln“. Wenn man nur das
entsprechende geometrische Objekt meint, spricht man oft auch von
einem Hexaeder (= Sechsflächner). (Man kann auch mit einem
Tetraeder „würfeln“.)
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Dezember 2003Seite 13
WürfelnetzeWürfelnetze
• Ein Netz ist ein „zusammenhängender Bastelbogen“. D.h. ein Netz
ist eine ebene Figur, deren Teile die Seitenflächen sind, so dass
man sie zu dem räumlichen Objekt (hier: Würfel) zusammenfalten
kann.
• Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze.
• Wenn man einen Würfel konkret baut, braucht man auch Klebefalze.
Wie viele?
• Ein Netz ist ein „zusammenhängender Bastelbogen“. D.h. ein Netz
ist eine ebene Figur, deren Teile die Seitenflächen sind, so dass
man sie zu dem räumlichen Objekt (hier: Würfel) zusammenfalten
kann.
• Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze.
• Wenn man einen Würfel konkret baut, braucht man auch Klebefalze.
Wie viele?
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Dezember 2003Seite 14
Fact sheet WürfelFact sheet Würfel
• Ein Würfel hat 6 Flächen, 8 Ecken, 12 Kanten.
• (Es gilt die Eulersche Polyederformel:
Anz. Ecken – Anz. Kanten + Anz. Flächen = 2.)
• Ein Würfel der Kantenlänge a hat das Volumen V = a3 und die
Oberfläche O = 6a2.
• Ein Würfel hat 3+6 Symmetrieebenen.
• Der Würfel hat eine „dreizählige“ Drehsymmetrie um die
Raumdiagonalen.
• Es gibt 4 Raumdiagonalen; diese haben die Länge a3.
• Ein Würfel hat 6 Flächen, 8 Ecken, 12 Kanten.
• (Es gilt die Eulersche Polyederformel:
Anz. Ecken – Anz. Kanten + Anz. Flächen = 2.)
• Ein Würfel der Kantenlänge a hat das Volumen V = a3 und die
Oberfläche O = 6a2.
• Ein Würfel hat 3+6 Symmetrieebenen.
• Der Würfel hat eine „dreizählige“ Drehsymmetrie um die
Raumdiagonalen.
• Es gibt 4 Raumdiagonalen; diese haben die Länge a3.
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Dezember 2003Seite 15
Berühmtes Problem: Verdoppelung des WürfelsBerühmtes Problem: Verdoppelung des Würfels
Kann man – nur mit Zirkel und Lineal – zu einem gegebenen Würfel
einen Würfel mit genau doppeltem Volumen konstruieren?
Antwort: Nein! Das kann man mathematisch beweisen!
Kann man – nur mit Zirkel und Lineal – zu einem gegebenen Würfel
einen Würfel mit genau doppeltem Volumen konstruieren?
Antwort: Nein! Das kann man mathematisch beweisen!
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Dezember 2003Seite 16
Würfel: AufgabenWürfel: Aufgaben
Wenn man einen Würfel mit einem geraden Schnitt durchschneidet,
welche der folgenden Schnittflächen können dann auftreten?
Gleichseitiges Dreieck, Gleichschenkliges, aber nicht gleichseitiges
Dreieck, Quadrat, Rechteck (kein Quadrat), reguläres Sechseck?
Wenn man einen Würfel mit einem geraden Schnitt durchschneidet,
welche der folgenden Schnittflächen können dann auftreten?
Gleichseitiges Dreieck, Gleichschenkliges, aber nicht gleichseitiges
Dreieck, Quadrat, Rechteck (kein Quadrat), reguläres Sechseck?
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Dezember 2003Seite 17
4. Das Pentagramm4. Das Pentagramm
Pentagramm = 5-zackiger, regelmäßiger Stern
(griech.) penta = fünf
Auftreten:
Weihnachtssterne
Sterne auf Flaggen (U.S.A., …)
Symbol für Pythagoräer, RAF, San Pellegrino, …
Pentagramm = 5-zackiger, regelmäßiger Stern
(griech.) penta = fünf
Auftreten:
Weihnachtssterne
Sterne auf Flaggen (U.S.A., …)
Symbol für Pythagoräer, RAF, San Pellegrino, …
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Dezember 2003Seite 18
Pentagramm: EigenschaftenPentagramm: Eigenschaften
Zeichnen: Achte auf „durchgehende“ Linien!
Wenn man die Spitzen verbindet, erhält man ein reguläres Fünfeck.
Falten eines Fünfecks
Umgekehrt: Wenn man in ein reguläres Fünfeck seine Diagonalen
zeichnet, erhält man ein Pentagramm.
Im „Innern“ eines Pentagramms erkennt man ein reguläres Fünfeck,
in diesem wieder ein Pentagramm, in diesem wieder ein Fünfeck
usw. usw.
Zeichnen: Achte auf „durchgehende“ Linien!
Wenn man die Spitzen verbindet, erhält man ein reguläres Fünfeck.
Falten eines Fünfecks
Umgekehrt: Wenn man in ein reguläres Fünfeck seine Diagonalen
zeichnet, erhält man ein Pentagramm.
Im „Innern“ eines Pentagramms erkennt man ein reguläres Fünfeck,
in diesem wieder ein Pentagramm, in diesem wieder ein Fünfeck
usw. usw.
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Dezember 2003Seite 19
Fact sheet PentagrammFact sheet Pentagramm
Das Pentagramm ist in enger Weise mit dem „goldenen Schnitt“
verbunden. (Dieser ist als Zahl etwa gleich 0,618… D.h. ein Punkt
teilt eine Strecke im goldenen Schnitt, wenn er bei etwa 61,8% der
Strecke liegt.)
Die inneren Ecken teilen die Strecke „Spitze zu Spitze“ im goldenen
Schnitt.
Das Verhältnis einer Strecke „Spitze zu Spitze“ zu der
Verbindungsstrecke von zwei nebeneinander liegenden Spitzen ist
der goldene Schnitt.
Usw.
Das Pentagramm ist in enger Weise mit dem „goldenen Schnitt“
verbunden. (Dieser ist als Zahl etwa gleich 0,618… D.h. ein Punkt
teilt eine Strecke im goldenen Schnitt, wenn er bei etwa 61,8% der
Strecke liegt.)
Die inneren Ecken teilen die Strecke „Spitze zu Spitze“ im goldenen
Schnitt.
Das Verhältnis einer Strecke „Spitze zu Spitze“ zu der
Verbindungsstrecke von zwei nebeneinander liegenden Spitzen ist
der goldene Schnitt.
Usw.
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Dezember 2003Seite 20
5. Parkette5. Parkette
Vorbilder: Bienenwaben, Schachbrett, Fliesen, Pflastersteine, …
Idee: Man möchte die ein beliebig großes Stück der Ebene
überdecken.
Definition: Ein Parkett besteht aus Parkettsteinen, die insgesamt
die gesamte Ebene lückenlos und überschneidungsfrei überdecken.
Vorbilder: Bienenwaben, Schachbrett, Fliesen, Pflastersteine, …
Idee: Man möchte die ein beliebig großes Stück der Ebene
überdecken.
Definition: Ein Parkett besteht aus Parkettsteinen, die insgesamt
die gesamte Ebene lückenlos und überschneidungsfrei überdecken.
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Dezember 2003Seite 21
Reguläre ParketteReguläre Parkette
Wir betrachten nur Parkette
… aus Vielecken,
… bei denen je zwei Parkettsteine überhaupt nicht, in einer Ecke
oder eine ganzen Kante übereinstimmen.
Definition. Ein Parkett heißt regulär, wenn jeder Parkettstein ein
reguläres n-Ecke ist (jeweils dasselbe n).
Beispiele von regulären Parketten: n = 6 (Typ „Bienenwaben“), n = 4
(Typ „Schachbrett“), n = 3 (Typ „Halmabrett“).
Wir betrachten nur Parkette
… aus Vielecken,
… bei denen je zwei Parkettsteine überhaupt nicht, in einer Ecke
oder eine ganzen Kante übereinstimmen.
Definition. Ein Parkett heißt regulär, wenn jeder Parkettstein ein
reguläres n-Ecke ist (jeweils dasselbe n).
Beispiele von regulären Parketten: n = 6 (Typ „Bienenwaben“), n = 4
(Typ „Schachbrett“), n = 3 (Typ „Halmabrett“).
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Dezember 2003Seite 22
Charakterisierung regulärer ParketteCharakterisierung regulärer Parkette
Satz (Kepler). Die einzigen regulären Parkette sind die aus
Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken.
Beweis. Idee: Betrachte die Situation an einer Ecke. Dort müssen
mindestens 3 Parkettsteine zusammenkommen.
n = 5: Drei Steine sind zu wenig, vier schon zuviel.
n > 6: Schon drei Steine an einer Ecke sind zu viel.
Bemerkung: Im allgemeinen gibt es unglaublich viele verschiedenen
Parkette. Ihre Entdeckung und Beschreibung ist ein blühendes
mathematisches Forschungsgebiet.
Satz (Kepler). Die einzigen regulären Parkette sind die aus
Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken.
Beweis. Idee: Betrachte die Situation an einer Ecke. Dort müssen
mindestens 3 Parkettsteine zusammenkommen.
n = 5: Drei Steine sind zu wenig, vier schon zuviel.
n > 6: Schon drei Steine an einer Ecke sind zu viel.
Bemerkung: Im allgemeinen gibt es unglaublich viele verschiedenen
Parkette. Ihre Entdeckung und Beschreibung ist ein blühendes
mathematisches Forschungsgebiet.
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Dezember 2003Seite 23
4. Die Pyramide4. Die Pyramide
Eine Pyramide hat eine Spitze und eine Grundfläche.
Die Grundfläche ist (meist) ein reguläres n-Eck. Man spricht von
einer n-seitigen Pyramide.
Bei den ägyptischen Pyramiden ist die Grundfläche ein Quadrat.
Die Seitenflächen sind n kongruente gleichschenklige Dreiecke.
Eine Pyramide hat eine Spitze und eine Grundfläche.
Die Grundfläche ist (meist) ein reguläres n-Eck. Man spricht von
einer n-seitigen Pyramide.
Bei den ägyptischen Pyramiden ist die Grundfläche ein Quadrat.
Die Seitenflächen sind n kongruente gleichschenklige Dreiecke.
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Dezember 2003Seite 24
Daten CheopsyramideDaten Cheopsyramide
• Erbaut ca. 2000 v. Chr.
• Grundseite 230 m, Höhe 146 m (jetzt 137 m)
• 2,5 Millionen m3 Mauerwerk
• Erbaut ca. 2000 v. Chr.
• Grundseite 230 m, Höhe 146 m (jetzt 137 m)
• 2,5 Millionen m3 Mauerwerk
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Dezember 2003Seite 25
Fact Sheet PyramideFact Sheet Pyramide
Oberfläche = Fläche der Grundseite + n × Fläche der
Seitendreiecke
Volumen = 1/3 × Grundfläche × Höhe
Aufgaben: 1. Welche Maße muss ein gleichschenkliges Dreieck
haben, damit es Seitenfläche einer Pyramide mit gegebener
Grundseite sein kann?
2. Entwerfen Sie einen Bastelbogen für eine 5-seitige Pyramide.
Oberfläche = Fläche der Grundseite + n × Fläche der
Seitendreiecke
Volumen = 1/3 × Grundfläche × Höhe
Aufgaben: 1. Welche Maße muss ein gleichschenkliges Dreieck
haben, damit es Seitenfläche einer Pyramide mit gegebener
Grundseite sein kann?
2. Entwerfen Sie einen Bastelbogen für eine 5-seitige Pyramide.