GENERAL EXPRESSIONS FOR CHERN FORMS UP TO THE 13th ORDER IN CURVATUREC. C. Briggs

Center for Academic Computing, Penn State University, University Park, PA 16802Friday, April 16, 1999

Abstract. General expressions are given for Chern forms up to the 13th order in curvature in terms of simple polynomial concomitants of the curvature 2-form for n-dimensionaldifferentiable manifolds having a general linear connection.PACS numbers: 02.40.-k, 04.20.Cv, 04.20.Fy

This letter presents general expressions for Chern forms c(p) for 0≤ p ≤ 13

in terms of simple polynomial concomitants of the curvature 2-form for

n-dimensional differentiable manifolds having a general linear connection.

The pth Chern forms1 c(p) representing the corresponding pth Chern classes

of such a manifold M can be defined by2-3

c(p) ≡

1, if p = 0ip

2pπp Ω[ i1i1 ∧ Ω i2

i2 ∧ … ∧ Ω ip]ip, if p > 0

, (1)

where Ωab is the curvature 2-form of M.

Some numerical properties of c(p) for 0≤ p ≤ 13 appear in Table 1. General

expressions for c(p) for 0≤ p ≤ 13 appear in Eqs. (3) through (16) in terms of

the comcomitants trA(ΩB) defined by

trA(ΩB) ≡ Ωi2i1 ∧ Ωi3

i2 ∧ … ∧ Ωi1iB ∧ ΩiB + 2

iB + 1 ∧ ΩiB + 3

iB + 2 ∧ … ∧ ΩiB + 1

i2 B ∧ … ∧ Ωi(A − 1)B + 2

i(A − 1)B + 1 ∧ Ωi(A − 1)B + 3

i(A − 1)B + 2 ∧ … ∧ Ωi(A − 1)B + 1

iA B, (2)

where A and B are integers≥ 1.

TABLE 1. SOME NUMERICAL PROPERTIES OF c(p) FOR 0 ≤ p ≤ 13

QUANTITY ORDER CURVATUREDEPENDENCE

MINIMUM NUMBEROF DIMENSIONS

NUMBER OFTERMS

1st OVERALL NUMERICALFACTOR

2nd OVERALL NUMERICALFACTOR

NUMBER OF PERMUTATIONSCOMPREHENDED

C(p) p — 2p —ip

2pπpip

2pπpp!p!

c(0) 0 Zero 0 1 + 1 + 1 1

c(1) 1 Linear 2 1 + 12π i + 1

2π i 1

c(2) 2 Quadratic 4 2 − 14π2 − 1

8π2 2

c(3) 3 Cubic 6 3 − 18π3 i − 1

48π3 i 6

c(4) 4 Quartic 8 5 + 116π4 + 1

384π4 24

c(5) 5 Quintic 10 7 + 132π5 i + 1

3840π5 i 120

c(6) 6 Sextic 12 1 1 − 164π6 − 1

46,080π6 720

c(7) 7 Septic 14 1 5 − 1128π7 i − 1

645,120π7 i 5040

c(8) 8 Octic 16 2 2 + 1256π8 + 1

10,321,920π8 40,320

c(9) 9 Nonic 18 3 0 + 1512π9 i + 1

185,794,560π9 i 362,880

c(10) 10 Decic 20 4 2 − 11024π10 − 1

3,715,891,200π10 3,628,800

c(11) 11 Undecic 22 5 6 − 12048π11 i − 1

81,749,606,400π11 i 39,916,800

c(12) 12 Duodecic 24 7 7 + 14096π12 + 1

1,961,990,553,600π12 479,001,600

c(13) 13 Tredecic 26 101 + 18192π13 i + 1

51,011,754,393,600π13 i 6,227,020,800

0th CHERN FORM

c(0) = i0

20π0 (+ 1) (3)

= i0

20π0 (+ 1)

1st CHERN FORM

c(1) = i2π Ω i1

i1 (4)

= i2π tr(Ω)

2nd CHERN FORM

c(2) = i2

22π2 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2]

i2 (5)

= i2

22π22! (− tr(Ω2) + tr2(Ω))

3rd CHERN FORM

c(3) = i3

23π3 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2

i2 ∧ Ωi3]i3 (6)

= i3

23π33! (+ 2 tr(Ω3) − 3 tr(Ω2) ∧ tr(Ω) + tr3(Ω))

4th CHERN FORM

c(4) = i4

24π4 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2

i2 ∧ Ωi3i3 ∧ Ωi4]

i4 (7)

= i4

24π44! (− 6 tr(Ω4) + 8 tr(Ω3) ∧ tr(Ω) + 3 tr2(Ω2) −

− 6 tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) + tr4(Ω))

5th CHERN FORM

c(5) = i5

25π5 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2

i2 ∧ Ωi3i3 ∧ Ωi4

i4 ∧ Ωi5]i5 (8)

1 Eguchi, T., P. B. Gilkey, and A. J. Hanson, “Gravitation, gauge theories and differential geometry,” Phys. Rep., 66 (1980) 213.2 Kobayashi, S., and K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, John Wiley & Sons, New York (1969), p. 309.3 Chern, S. S., “Characteristic classes of Hermitian manifolds,” Annals of Math., 47 (1946) 85.

2 Friday, April 16, 1999 Z-8

= i5

25π55! (+ 24 tr(Ω5) − 30 tr(Ω4) ∧ tr(Ω) −

− 20 tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) + 20 tr(Ω3) ∧ tr2(Ω) +

+ 15 tr2(Ω2) ∧ tr(Ω) − 10 tr(Ω2) ∧ tr3(Ω) + tr5(Ω))

6th CHERN FORM

c(6) = i6

26π6 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2

i2 ∧ Ωi3i3 ∧ Ωi4

i4 ∧ Ωi5i5 ∧ Ωi6]

i6 (9)

= i6

26π66! (− 120 tr(Ω6) + 144 tr(Ω5) ∧ tr(Ω) +

+ 90 tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) − 90 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω) +

+ 40 tr2(Ω3) − 120 tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) +

+ 40 tr(Ω3) ∧ tr3(Ω) − 15 tr3(Ω2) +

+ 45 tr2(Ω2) ∧ tr2(Ω) − 15 tr(Ω2) ∧ tr4(Ω) +

+ tr6(Ω))

7th CHERN FORM

c(7) = i7

27π7 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2

i2 ∧ Ωi3i3 ∧ Ωi4

i4 ∧ Ωi5i5 ∧ Ωi6

i6 ∧ Ωi7]i7 (10)

= i7

27π77! (+ 720 tr(Ω7) − 840 tr(Ω6) ∧ tr(Ω) − 504 tr(Ω5) ∧ tr(Ω2) + 504 tr(Ω5) ∧ tr2(Ω) − 420 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) + 630 tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) −

− 210 tr(Ω4) ∧ tr3(Ω) + 280 tr2(Ω3) ∧ tr(Ω) + 210 tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) − 420 tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 70 tr(Ω3) ∧ tr4(Ω) −

− 105 tr3(Ω2) ∧ tr(Ω) + 105 tr2(Ω2) ∧ tr3(Ω) − 21 tr(Ω2) ∧ tr5(Ω) + tr7(Ω))

8th CHERN FORM

c(8) = i8

28π8 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2

i2 ∧ Ωi3i3 ∧ Ωi4

i4 ∧ Ωi5i5 ∧ Ωi6

i6 ∧ Ωi7i7 ∧ Ωi8]

i8 (11)

= i8

28π88! (− 5040 tr(Ω8) + 5760 tr(Ω7) ∧ tr(Ω) + 3360 tr(Ω6) ∧ tr(Ω2) − 3360 tr(Ω6) ∧ tr2(Ω) + 2688 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) − 4032 tr(Ω5) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) +

+ 1344 tr(Ω5) ∧ tr3(Ω) + 1260 tr2(Ω4) − 3360 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω) − 1260 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω2) + 2520 tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) −

− 420 tr(Ω4) ∧ tr4(Ω) − 1120 tr2(Ω3) ∧ tr(Ω2) + 1120 tr2(Ω3) ∧ tr2(Ω) + 1680 tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr(Ω) − 1120 tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr3(Ω) +

+ 112 tr(Ω3) ∧ tr5(Ω) + 105 tr4(Ω2) − 420 tr3(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 210 tr2(Ω2) ∧ tr4(Ω) − 28 tr(Ω2) ∧ tr6(Ω) + tr8(Ω))

9th CHERN FORM

c(9) = i9

29π9 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2

i2 ∧ Ωi3i3 ∧ Ωi4

i4 ∧ Ωi5i5 ∧ Ωi6

i6 ∧ Ωi7i7 ∧ Ωi8

i8 ∧ Ωi9]i9 (12)

= i9

29π99! (+ 40,320 tr(Ω9) − 45,360 tr(Ω8) ∧ tr(Ω) − 25,920 tr(Ω7) ∧ tr(Ω2) + 25,920 tr(Ω7) ∧ tr2(Ω) − 20,160 tr(Ω6) ∧ tr(Ω3) +

+ 30,240 tr(Ω6) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) − 10,080 tr(Ω6) ∧ tr3(Ω) − 18,144 tr(Ω5) ∧ tr(Ω4) + 24,192 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω) +

+ 9072 tr(Ω5) ∧ tr2(Ω2) − 18,144 tr(Ω5) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 3024 tr(Ω5) ∧ tr4(Ω) + 11,340 tr2(Ω4) ∧ tr(Ω) +

+ 15,120 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) − 15,120 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω) − 11,340 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr(Ω) + 7560 tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr3(Ω) −

− 756 tr(Ω4) ∧ tr5(Ω) + 2240 tr3(Ω3) − 10,080 tr2(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) + 3360 tr2(Ω3) ∧ tr3(Ω) − 2520 tr(Ω3) ∧ tr3(Ω2) +

+ 7560 tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr2(Ω) − 2520 tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr4(Ω) + 168 tr(Ω3) ∧ tr6(Ω) + 945 tr4(Ω2) ∧ tr(Ω) − 1260 tr3(Ω2) ∧ tr3(Ω) +

+ 378 tr2(Ω2) ∧ tr5(Ω) − 36 tr(Ω2) ∧ tr7(Ω) + tr9(Ω))

10th CHERN FORM

c(10) = i10

210π10 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2

i2 ∧ Ωi3i3 ∧ Ωi4

i4 ∧ Ωi5i5 ∧ Ωi6

i6 ∧ Ωi7i7 ∧ Ωi8

i8 ∧ Ωi9i9 ∧ Ωi10]

i10 (13)

= i10

210π1010! (− 362,880 tr(Ω10) + 403,200 tr(Ω9) ∧ tr(Ω) + 226,800 tr(Ω8) ∧ tr(Ω2) − 226,800 tr(Ω8) ∧ tr2(Ω) + 172,800 tr(Ω7) ∧ tr(Ω3) −

− 259,200 tr(Ω7) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) + 86,400 tr(Ω7) ∧ tr3(Ω) + 151200 tr(Ω6) ∧ tr(Ω4) − 201,600 tr(Ω6) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω) −

− 75,600 tr(Ω6) ∧ tr2(Ω2) + 151,200 tr(Ω6) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) − 25,200 tr(Ω6) ∧ tr4(Ω) + 72,576 tr2(Ω5) − 181,440 tr(Ω5) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω) −

− 120,960 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) + 120,960 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω) + 90,720 tr(Ω5) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr(Ω) − 60,480 tr(Ω5) ∧ tr(Ω2) ∧ tr3(Ω) +

+ 6048 tr(Ω5) ∧ tr5(Ω) − 56,700 tr2(Ω4) ∧ tr(Ω2) + 56,700 tr2(Ω4) ∧ tr2(Ω) − 50,400 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω3) +

+ 151,200 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) − 50,400 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr3(Ω) + 18,900 tr(Ω4) ∧ tr3(Ω2) − 56,700 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr2(Ω) +

+ 18,900 tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr4(Ω) − 1260 tr(Ω4) ∧ tr6(Ω) + 22,400 tr3(Ω3) ∧ tr(Ω) + 25,200 tr2(Ω3) ∧ tr2(Ω2) −

− 50,400 tr2(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 8400 tr2(Ω3) ∧ tr4(Ω) − 25,200 tr(Ω3) ∧ tr3(Ω2) ∧ tr(Ω) + 25,200 tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr3(Ω) −

− 5040 tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr5(Ω) + 240 tr(Ω3) ∧ tr7(Ω) − 945 tr5(Ω2) + 4725 tr4(Ω2) ∧ tr2(Ω) − 3150 tr3(Ω2) ∧ tr4(Ω) + 630 tr2(Ω2) ∧ tr6(Ω) −

− 45 tr(Ω2) ∧ tr8(Ω) + tr10(Ω))

Z-8 Friday, April 16, 1999 3

11th CHERN FORM

c(11) = i11

211π11 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2

i2 ∧ Ωi3i3 ∧ Ωi4

i4 ∧ Ωi5i5 ∧ Ωi6

i6 ∧ Ωi7i7 ∧ Ωi8

i8 ∧ Ωi9i9 ∧ Ωi10

i10 ∧ Ωi11]i11 (14)

= i11

211π1111! (+ 3,628,800 tr(Ω11) − 3,991,680 tr(Ω10) ∧ tr(Ω) − 2,217,600 tr(Ω9) ∧ tr(Ω2) + 2,217,600 tr(Ω9) ∧ tr2(Ω) −

− 1,663,200 tr(Ω8) ∧ tr(Ω3) + 2,494,800 tr(Ω8) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) − 831,600 tr(Ω8) ∧ tr3(Ω) − 1,425,600 tr(Ω7) ∧ tr(Ω4) +

+ 1,900,800 tr(Ω7) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω) + 712,800 tr(Ω7) ∧ tr2(Ω2) − 1,425,600 tr(Ω7) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 237,600 tr(Ω7) ∧ tr4(Ω) −

− 1,330,560 tr(Ω6) ∧ tr(Ω5) + 1,663,200 tr(Ω6) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω) + 1,108,800 tr(Ω6) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) −

− 1,108,800 tr(Ω6) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω) − 831,600 tr(Ω6) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr(Ω) + 554,400 tr(Ω6) ∧ tr(Ω2) ∧ tr3(Ω) −

− 55,440 tr(Ω6) ∧ tr5(Ω) + 798,336 tr2(Ω5) ∧ tr(Ω) + 997,920 tr(Ω5) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) − 997,920 tr(Ω5) ∧ tr(Ω4) ∧ tr2(Ω) +

+ 443,520 tr(Ω5) ∧ tr2(Ω3) − 1,330,560 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) + 443,520 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) ∧ tr3(Ω) −

− 166,320 tr(Ω5) ∧ tr3(Ω2) + 498,960 tr(Ω5) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr2(Ω) − 166,320 tr(Ω5) ∧ tr(Ω2) ∧ tr4(Ω) + 11,088 tr(Ω5) ∧ tr6(Ω) +

+ 415,800 tr2(Ω4) ∧ tr(Ω3) − 623,700 tr2(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) + 207,900 tr2(Ω4) ∧ tr3(Ω) − 554,400 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω3) ∧ tr(Ω) −

− 415,800 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) + 831,600 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) − 138,600 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr4(Ω) +

+ 207,900 tr(Ω4) ∧ tr3(Ω2) ∧ tr(Ω) − 207,900 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr3(Ω) + 41,580 tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr5(Ω) − 1980 tr(Ω4) ∧ tr7(Ω) −

− 123,200 tr3(Ω3) ∧ tr(Ω2) + 123,200 tr3(Ω3) ∧ tr2(Ω) + 277,200 tr2(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr(Ω) − 184,800 tr2(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr3(Ω) +

+ 18,480 tr2(Ω3) ∧ tr5(Ω) + 34,650 tr(Ω3) ∧ tr4(Ω2) − 138,600 tr(Ω3) ∧ tr3(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 69,300 tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr4(Ω) −

− 9240 tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr6(Ω) + 330 tr(Ω3) ∧ tr8(Ω) − 10,395 tr5(Ω2) ∧ tr(Ω) + 17,325 tr4(Ω2) ∧ tr3(Ω) −

− 6930 tr3(Ω2) ∧ tr5(Ω) + 990 tr2(Ω2) ∧ tr7(Ω) − 55 tr(Ω2) ∧ tr9(Ω) + tr11(Ω))

12th CHERN FORM

c(12) = i12

212π12 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2

i2 ∧ Ωi3i3 ∧ Ωi4

i4 ∧ Ωi5i5 ∧ Ωi6

i6 ∧ Ωi7i7 ∧ Ωi8

i8 ∧ Ωi9i9 ∧ Ωi10

i10 ∧ Ωi11

i11 ∧ Ωi12]i12 (15)

= i12

212π1212! (− 39,916,800 tr(Ω12) + 43,545,600 tr(Ω11) ∧ tr(Ω) + 23,950,080 tr(Ω10) ∧ tr(Ω2) − 23,950,080 tr(Ω10) ∧ tr2(Ω) +

+ 17,740,800 tr(Ω9) ∧ tr(Ω3) − 26,611,200 tr(Ω9) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) + 8,870,400 tr(Ω9) ∧ tr3(Ω) + 14,968,800 tr(Ω8) ∧ tr(Ω4) −

− 19,958,400 tr(Ω8) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω) − 7,484,400 tr(Ω8) ∧ tr2(Ω2) + 14,968,800 tr(Ω8) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) −

− 2,494,800 tr(Ω8) ∧ tr4(Ω) + 13,685,760 tr(Ω7) ∧ tr(Ω5) − 17,107,200 tr(Ω7) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω) −

− 11,404,800 tr(Ω7) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) + 11,404,800 tr(Ω7) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω) + 8,553,600 tr(Ω7) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr(Ω) −

− 5,702,400 tr(Ω7) ∧ tr(Ω2) ∧ tr3(Ω) + 570,240 tr(Ω7) ∧ tr5(Ω) + 6,652,800 tr2(Ω6) − 15,966,720 tr(Ω6) ∧ tr(Ω5) ∧ tr(Ω) −

− 9,979,200 tr(Ω6) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) + 9,979,200 tr(Ω6) ∧ tr(Ω4) ∧ tr2(Ω) − 4,435,200 tr(Ω6) ∧ tr2(Ω3) +

+ 13,305,600 tr(Ω6) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) − 4,435,200 tr(Ω6) ∧ tr(Ω3) ∧ tr3(Ω) + 1,663,200 tr(Ω6) ∧ tr3(Ω2) −

− 4,989,600 tr(Ω6) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 1,663,200 tr(Ω6) ∧ tr(Ω2) ∧ tr4(Ω) − 110,880 tr(Ω6) ∧ tr6(Ω) −

− 4,790,016 tr2(Ω5) ∧ tr(Ω2) + 4,790,016 tr2(Ω5) ∧ tr2(Ω) − 7,983,360 tr(Ω5) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) +

+ 11,975,040 tr(Ω5) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) − 3,991,680 tr(Ω5) ∧ tr(Ω4) ∧ tr3(Ω) + 5,322,240 tr(Ω5) ∧ tr2(Ω3) ∧ tr(Ω) +

+ 3,991,680 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) − 7,983,360 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 1,330,560 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) ∧ tr4(Ω) −

− 1,995,840 tr(Ω5) ∧ tr3(Ω2) ∧ tr(Ω) + 1,995,840 tr(Ω5) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr3(Ω) − 399,168 tr(Ω5) ∧ tr(Ω2) ∧ tr5(Ω) +

+ 19,008 tr(Ω5) ∧ tr7(Ω) − 1,247,400 tr3(Ω4) + 4,989,600 tr2(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω) + 1,871,100 tr2(Ω4) ∧ tr2(Ω2) −

− 3,742,200 tr2(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 623,700 tr2(Ω4) ∧ tr4(Ω) + 3,326,400 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω3) ∧ tr(Ω2) −

− 3,326,400 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω3) ∧ tr2(Ω) − 4,989,600 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr(Ω) + 3,326,400 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr3(Ω) −

− 332,640 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr5(Ω) − 311,850 tr(Ω4) ∧ tr4(Ω2) + 1,247,400 tr(Ω4) ∧ tr3(Ω2) ∧ tr2(Ω) −

− 623,700 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr4(Ω) + 83,160 tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr6(Ω) − 2970 tr(Ω4) ∧ tr8(Ω) + 246,400 tr4(Ω3) −

− 1,478,400 tr3(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) + 492,800 tr3(Ω3) ∧ tr3(Ω) − 554,400 tr2(Ω3) ∧ tr3(Ω2) + 1,663,200 tr2(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr2(Ω) −

− 554,400 tr2(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr4(Ω) + 36,960 tr2(Ω3) ∧ tr6(Ω) + 415,800 tr(Ω3) ∧ tr4(Ω2) ∧ tr(Ω) − 554,400 tr(Ω3) ∧ tr3(Ω2) ∧ tr3(Ω) +

+ 166,320 tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr5(Ω) − 15,840 tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr7(Ω) + 440 tr(Ω3) ∧ tr9(Ω) + 10,395 tr6(Ω2) − 62,370 tr5(Ω2) ∧ tr2(Ω) +

4 Friday, April 16, 1999 Z-8

+ 51,975 tr4(Ω2) ∧ tr4(Ω) − 13,860 tr3(Ω2) ∧ tr6(Ω) + 1485 tr2(Ω2) ∧ tr8(Ω) − 66 tr(Ω2) ∧ tr10(Ω) + tr12(Ω))

13th CHERN FORM

c(13) = i13

213π13 Ω[ i1i1 ∧ Ωi2

i2 ∧ Ωi3i3 ∧ Ωi4

i4 ∧ Ωi5i5 ∧ Ωi6

i6 ∧ Ωi7i7 ∧ Ωi8

i8 ∧ Ωi9i9 ∧ Ωi10

i10 ∧ Ωi11

i11 ∧ Ωi12

i12 ∧ Ωi13]i13 (16)

= i13

213π1313! (+ 479,001,600 tr(Ω13) − 518,918,400 tr(Ω12) ∧ tr(Ω) − 283,046,400 tr(Ω11) ∧ tr(Ω2) + 283,046,400 tr(Ω11) ∧ tr2(Ω) −

− 207,567,360 tr(Ω10) ∧ tr(Ω3) + 311,351,040 tr(Ω10) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) − 103,783,680 tr(Ω10) ∧ tr3(Ω) −

− 172,972,800 tr(Ω9) ∧ tr(Ω4) + 230,630,400 tr(Ω9) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω) + 86,486,400 tr(Ω9) ∧ tr2(Ω2) −

− 172,972,800 tr(Ω9) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 28,828,800 tr(Ω9) ∧ tr4(Ω) − 155,675,520 tr(Ω8) ∧ tr(Ω5) +

+ 194,594,400 tr(Ω8) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω) + 129,729,600 tr(Ω8) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) − 129,729,600 tr(Ω8) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω) −

− 97,297,200 tr(Ω8) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr(Ω) + 64,864,800 tr(Ω8) ∧ tr(Ω2) ∧ tr3(Ω) − 6,486,480 tr(Ω8) ∧ tr5(Ω) −

− 148,262,400 tr(Ω7) ∧ tr(Ω6) + 177,914,880 tr(Ω7) ∧ tr(Ω5) ∧ tr(Ω) + 111,196,800 tr(Ω7) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) −

− 111,196,800 tr(Ω7) ∧ tr(Ω4) ∧ tr2(Ω) + 49,420,800 tr(Ω7) ∧ tr2(Ω3) − 148,262,400 tr(Ω7) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) +

+ 49,420,800 tr(Ω7) ∧ tr(Ω3) ∧ tr3(Ω) − 18,532,800 tr(Ω7) ∧ tr3(Ω2) + 55,598,400 tr(Ω7) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr2(Ω) −

− 18,532,800 tr(Ω7) ∧ tr(Ω2) ∧ tr4(Ω) + 1,235,520 tr(Ω7) ∧ tr6(Ω) + 86,486,400 tr2(Ω6) ∧ tr(Ω) + 103,783,680 tr(Ω6) ∧ tr(Ω5) ∧ tr(Ω2) −

− 103,783,680 tr(Ω6) ∧ tr(Ω5) ∧ tr2(Ω) + 86,486,400 tr(Ω6) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) − 129,729,600 tr(Ω6) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) +

+ 43,243,200 tr(Ω6) ∧ tr(Ω4) ∧ tr3(Ω) − 57,657,600 tr(Ω6) ∧ tr2(Ω3) ∧ tr(Ω) − 43,243,200 tr(Ω6) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) +

+ 86,486,400 tr(Ω6) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) − 14,414,400 tr(Ω6) ∧ tr(Ω3) ∧ tr4(Ω) + 21,621,600 tr(Ω6) ∧ tr3(Ω2) ∧ tr(Ω) −

− 21,621,600 tr(Ω6) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr3(Ω) + 4,324,320 tr(Ω6) ∧ tr(Ω2) ∧ tr5(Ω) − 205,920 tr(Ω6) ∧ tr7(Ω) + 41,513,472 tr2(Ω5) ∧ tr(Ω3) −

− 62,270,208 tr2(Ω5) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) + 20,756,736 tr2(Ω5) ∧ tr3(Ω) + 38,918,880 tr(Ω5) ∧ tr2(Ω4) −

− 103,783,680 tr(Ω5) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω) − 38,918,880 tr(Ω5) ∧ tr(Ω4) ∧ tr2(Ω2) + 77,837,760 tr(Ω5) ∧ tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) −

− 12,972,960 tr(Ω5) ∧ tr(Ω4) ∧ tr4(Ω) − 34,594,560 tr(Ω5) ∧ tr2(Ω3) ∧ tr(Ω2) + 34,594,560 tr(Ω5) ∧ tr2(Ω3) ∧ tr2(Ω) +

+ 51,891,840 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr(Ω) − 34,594,560 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr3(Ω) + 3,459,456 tr(Ω5) ∧ tr(Ω3) ∧ tr5(Ω) +

+ 3,243,240 tr(Ω5) ∧ tr4(Ω2) − 12,972,960 tr(Ω5) ∧ tr3(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 6,486,480 tr(Ω5) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr4(Ω) −

− 864,864 tr(Ω5) ∧ tr(Ω2) ∧ tr6(Ω) + 30,888 tr(Ω5) ∧ tr8(Ω) − 16,216,200 tr3(Ω4) ∧ tr(Ω) − 32,432,400 tr2(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) +

+ 32,432,400 tr2(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω) + 24,324,300 tr2(Ω4) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr(Ω) − 16,216,200 tr2(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr3(Ω) +

+ 1,621,620 tr2(Ω4) ∧ tr5(Ω) − 9,609,600 tr(Ω4) ∧ tr3(Ω3) + 43,243,200 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr(Ω) −

− 14,414,400 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω3) ∧ tr3(Ω) + 10,810,800 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr3(Ω2) − 32,432,400 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr2(Ω) +

+ 10,810,800 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr4(Ω) − 720,720 tr(Ω4) ∧ tr(Ω3) ∧ tr6(Ω) − 4,054,050 tr(Ω4) ∧ tr4(Ω2) ∧ tr(Ω) +

+ 5,405,400 tr(Ω4) ∧ tr3(Ω2) ∧ tr3(Ω) − 1,621,620 tr(Ω4) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr5(Ω) + 154,440 tr(Ω4) ∧ tr(Ω2) ∧ tr7(Ω) − 4290 tr(Ω4) ∧ tr9(Ω) +

+ 3,203,200 tr4(Ω3) ∧ tr(Ω) + 4,804,800 tr3(Ω3) ∧ tr2(Ω2) − 9,609,600 tr3(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr2(Ω) + 1,601,600 tr3(Ω3) ∧ tr4(Ω) −

− 7,207,200 tr2(Ω3) ∧ tr3(Ω2) ∧ tr(Ω) + 7,207,200 tr2(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr3(Ω) − 1,441,440 tr2(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr5(Ω) +

+ 68,640 tr2(Ω3) ∧ tr7(Ω) − 540,540 tr(Ω3) ∧ tr5(Ω2) + 2,702,700 tr(Ω3) ∧ tr4(Ω2) ∧ tr2(Ω) − 1,801,800 tr(Ω3) ∧ tr3(Ω2) ∧ tr4(Ω) +

+ 360,360 tr(Ω3) ∧ tr2(Ω2) ∧ tr6(Ω) − 25,740 tr(Ω3) ∧ tr(Ω2) ∧ tr8(Ω) + 572 tr(Ω3) ∧ tr10(Ω) + 135,135 tr6(Ω2) ∧ tr(Ω) −

− 270,270 tr5(Ω2) ∧ tr3(Ω) + 135,135 tr4(Ω2) ∧ tr5(Ω) − 25,740 tr3(Ω2) ∧ tr7(Ω) + 2145 tr2(Ω2) ∧ tr9(Ω) − 78 tr(Ω2) ∧ tr11(Ω) + tr13(Ω))

CONCLUDING REMARK

For a check, note that the magnitudes of the numerical factors in the preceding expressions for c(p) for 0≤ p ≤ 13 in Eqs. (3) through (16) add up—aside from

the respective overall numerical factors—to the corresponding numbers p! of covariant index permutations comprehended by c(p) per Eq. (1), values for which

numbers appear in Table 1 (see above).