generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

18

Upload: o-hadzic

Post on 06-Aug-2016

213 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

���� ����� �����

��� ����� ������� ������

����������� ������� �� ���

���� ��� �� ���������� �����

� ���

� � ������� � � � ����� ���� ��� � � � �!�"�#��$��

����� %& '��& �� �"($��&"&�) �* !+&�$&" � *$�" ,�- .�)+ � /0�)& ��*1*&$&�) �(($��2+� .+�2+ &��34& 0# )� ($��& )+�) )+& 56&� (���) �# �4#� '4�3�447�))$�2)��& �� !+&�$&" ��� � *0$)+&$ '&�&$�4�8�)��� �# �3)���&� *�$ � 2�"(4&)&9&�'&$ #(�2& ���� � � �� .+&$& � 3&4��'# )� � "�$& '&�&$�4 24�## �* 2��)��0�0#�1��$"# )+�� �� )+& ($&���0# 2�#& .+&$& � : �� �: "��� !+&�$&" �� �# �'&�&$�4�8�)��� �* !+&�$&" � *$�" ,�- !+&$&�*)&$ )+& ��)��� �* � '&�&$�4�8&� �12��)$�2)��� �* ;$�#��#&4#<�=# )7(& �# ��)$��02&� ��� � 56&� (���) )+&�$&" *�$ #02+"�((��'# �# ($��&� � �((4�2�)��� �� )+& #(�2& ��>��� � � �# '��&�

�� ����������

�� ������ ������� �� ��� ��� ���� � � ������������ ������ �������� �������� ����� ��� ������ � ������� ���� �� ������� �� ����� � �� ���� ������� �� ������������� ����� �� ����� � ������� ��� �� ������!������� ���� �� �� � ���������� ������� ���� " �� #� ��� $��� �� ��� ���������� � ��� !���� ������� ��� ���������� �� ��� ���������� ���� ��� �� ����� ������� � �� � �� ���� ���� �� $�� �������� �!������� � ��� ��� �� �� ����������� � ������������ ������ ������ ��� �� � %� &�����'���(� &)��� �� ����� ���������� ���� ��� �*������� ������� +����

�� ��� ���� ����� ����� ���� ������ ��!�������� ��� ,*� ���� ������� ������������ ������ ������ ���� ��� ����� ������������� �� �� ���� &�� �� ���� ����������� ����������� � ��� ,*� ���� ����� �� ������������ ������������ � ��� ����� � ���� �������� ���� ������ �� �+��

-�� �� �� ��� ��� � ��� ���������� �������� � ���� ���� � �#� . #�� �� � ������������ ���� �������� ������� ��� � ��� #� �� ���� ����������

� ��� . ��� $�� ���� ���� ����� �� ��� � �� � ������������ ����

��� ����� �� ������� ���������� �������� ��� ����������� ������ �������� ��� ������ ���� ��� ����� ���������� ����� ����� ����� ���� ��� ���� �� ���

��� ����������� ������� ������������� ������ ������ ������� ������

��� !��"�#�#$ ����� �� ���� %&�'����� (��'�� )��� �

Page 2: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

��� �� ������� �� ��� �� �� ����

���� �� � �� � ������� ��� �� � " ��� �������� �� �� ���� �� ����

�� �!��� ��� �� � � � ��

�����,�� ��� ������� �������"

�� ������� . � �� �!��� � � # � � . ��� � ���+� ���� . ���� �� �!��� �� � ��/� ������� . � �� ������ . � � ������0 � . � �� �� �� � � �� ��

� ����� ��� � �� + ��� ��� ���� ���� ����� �� ��� � �� � �����������

�� ������� ���� ( ������ ���� ���� +1�� �� � ������ ���� � � �� ���������� �� � ������������ ������ ������ � �� � ���������� ��� ������!���� ���� �� ��� ������� ���2������ ���"

������0 � � ���������� ������

��� �!��� �� � � � � �� �!��� � � #� � #�

3����� ���� � ������� � " #���� #��� � #��� �� ����� � ���������� ����� ���� �� ��� ������� ������� ��� �����,�"

� ��� �� . � �� �!��� � � #� ��4 � ��� �� . � ��� �� �� �!��� �� � � #� ��4

� � �� � � �� � ��� �� � � ��� ����� �� �� � � #� ��

�4

���� � ��� ��

�. �

�� ��� ��� �

� ��� �� � � #� ��

��

������� ���� $�� ������� ��� ��� ��� ����� ����"��� $�� ���� ���� ��� �� �,�� ��

����� � . ��� ��� ��

���� $�� ������ ���� ��� �� �,�� ��

����� � . � � �

����� $�� ����������� ��� �� �� �,�� ��

����� � . ��*��0 � �� #��

��!� $�� ���)��� ���� ��� ������ ������ ��� �� �,�� ��

����� � .

���� ��� � �� ��*��� � . ��

# ���������

(� ������ ��� �������� ������� �� ��!� ��� ���2��������

�� � �� � �� � ���

���� ����������� �������� ���� ��

Page 3: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

����������� ��������� ������� ��������� ���

$�� ��� �� ����� �� ����� �� �������� �� ��� ������ � ��������

�� .������ ��

�*�����+�����*���+

� �����

����� �� .�� � � �� ������� � �� �

��

$�� ��� �� ��������� �� ����� �� ��!�� �� ��� ����������� ��

�*���+����*���+

��������� �� .

���� � �� � �� ������� � �� �

��

( ��2����� ����� �� � ������������ ������ ����� ����� �� �� � 5�����

��2����� �� �� �!��� � � # �� � � �#� �� ����� �*���� ����� �� � � ���� ������������� � �� �� �� �!��� ��� � ����� ��� ( ������������ ������ ���������� �� ������� �� �!��� � 5����� ��2����� ��!����� �� ��

�� � ��� � �� ���� ���� ������

� ��� �� . �� ���� ���� � � � ��� ���� ���

��� �� ������ � �����'���� �������� ������(� �� �*������ � ��� %����� ��������� � ���������� ��� ,��� ������

� ��� �*������� � ��� ,*� ���� �� � ������ ����� ���� � ��� ��� ��!��� +6��

����� � ��� ���� � ��� �� � ������ ������ ���� ��� � " � � � �� ����� ������ � � �#� �� ��� ���� ��� ��� ������ �� � � � ��� ��� � � #

����� ���������� � ��������

���� ����� ������ � ������ �������� ��������� ���� ����� �� �

7��� ����� �� � ������� �� ����� ��� ������ � ��� ������ ���� ��������� �� ��� �� � " � � � �����,�� ����� ���� � �� ��� � ����� ������������� ���������

�� 1� �� �� ��!� ���� $����� ( ��� ��� �� ��� ���� ���� ���� � � ��� � ������� ������ ����� �� � �� � ��� � � ����� ����� ���� ���� ��������� � ��������

�����

���

�� �2���������� �� ��� ���� � . �� �����

���� �� �,�� �� ����� . � ������ ���� . ��������� �

�� � � +� � � #����

( ���!��� �*����� � � ��� � � ���� �� ��� �� ���� ���� ���� . �� � ���� � #� ���

$���� ��� �����!��� �*������ � ���� � � �����

������� ���� -�� 8� �� � �������� ��� �� �� �!��� � � �� �#

� . �� +� � �� +� ����

�� � ��� � . �� +� 0 +� �� 8��+ ����� � 0 +� �� + ���� � 0 +� �

���

��� � � � � � �� � ��� � . ������ � �� ��� � ���

������

� � � ����

���� ����������� �������� ���� ��

Page 4: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

��� �� ������� �� ��� �� �� ����

��� �����������

���

�� �2���������� �� ��� ���� � . �� ����� �����

���� � �� � ��� � � �����

9� 3�� ++� ��!� ��� ������� �������

����� �� �� � ��������� ���� � �� ��� ���� ��� ����������������������� � " � � � ��� � ���� ����� �������� ���� � � � �� � ������������ ���� ���� � �� �� ������

3�������� 3� �� $���: +;�� ����� � ����� ������ � � � ��!� ���������� �������

����� �� ��� ���� � � � �� � ������ ������ ���� ��� � � ���������� ���� ���� �� �������� ���� �� � � � � �� �� ��� ��� �� � � �� �

���� �������� ��

���� ��� ������������ ����������� � " � � � ��� � ������ ���� �����

<������ ������� �� ���� ������� ��� ��� ������ �� �� �=��( �:����� ���� � ��������� �� ������������ ������ ������� ��� �

����� � ���������� ��� ������� �� $� -� >��)� ;��

���������� ���� -�� ����� �� � ������������ ������ ����� �� � " �� �� $�� ������� � �� � � ��������� �� ����� �� � � � �#� �� ���� ���� ���!��� �� � � � �� � � # ��� ������� ���������� ���"

������� � �� �� ���������� � �� ���

����� � ;�� ��� ���� � ��� �� � ������ ������ ���� ��� � "� � � � ����������� !��� ����� ������ � ������ �������� ��������� ��������� �� �

�� ���� � � � �� � ������ ����� ���� � � ��� ���� 9� 3�� ��!�� ��� +�� ++�� ���� � " � � � �� � � ��������� �� �� ��� �� � �� � ������ �� ������� � ��� ������ ����� ��� ��� ����� � �� �,�� ��

���� �� . ���� �����

�� � �� �

��� � � ���

9� 3�� ��!� ���� $����� ? ��� �� ���� � � � �� � ������� ����������� �� ���

���� ��� �� . ��

�� ��� !��� ����������� ����� � &�����'��� &)��� �� $���: +�� �� �����!� ���� � ������������ � ��������� ��� �� �� � � ��������� �� �� ��������� ��� �� �� � ������������ � ����������

�� +� � ��� ���� � ��������� �� ������������ ������ ������ �� ���� ��� �� ��� ������� ,*� ���� ������ �� ��!��

���� ����������� �������� ���� ��

Page 5: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

����������� ��������� ������� ��������� ���

����� ���� ��� ���� � ��� �� � ������ ������ ���� ��� � " � � ��� ���� ��� ��������� ��������� ����� ��� ����� �� � � ��� ����� !� � � #"

���+�

�����!� � #� ������� � � �

������� � � ����

��!� ��

���� ����� � #�

����� � " �� ��� � �#� �� !��� � ��� � ������ ���� �����

�� � " � � � �����,�� ������ ���+� ���� �� ��� ���� � �� � ����������������������� �����������

�� &����� + � ��������'���� � $����� ��1 �� ��!�� <����� �� ��!������ ���� ��� ������� � $����� ��1 ��� ,*� ���� � � �� ���������������!� �$����� +�=�� $����� +��� ���� ���� $����� +�= ��� ��� " � � � �� ���� � � � �� � ������� ������ ������ ����� � �� � � �����@���� $����� +��� �� ��!� � ��������'���� � $����� + ��� +� �$�� ��� /�+�� $��������� ��� ���� � � ��������'� � ��������� � ���� �����)��� ���� �� ������� �� � ,*� ���� ������ �� ���� �������� ����!� �$����� /���� $����� /��� �� � ,*� ���� ������ �� � �������� . �� 0 ��� ����� �� �� � ��������'� � ��������� � ���������)��� ������ �� �� � ������ ��������

� � ������������ �� ������� ���

( ������� ��� � ����������� ��� ���� ��� ��!�� ���� �� ��!���� ��� ������� ������� ��� ��� +A��

����� ���� ��� " �� � �������� ��� ��� ������� �� � ����� �� �

���� ��� �����!�� ���

����

�� � ����� �� �������� ���#���� ���� ������������

�� ��� ���� �������� #� �� $������� ��� ������ ���������������#� " !�� ���

� #� ������

����� ��

#���� .�� !��� � !�

!��� ��� ������� � " #� ��� � #� �� ������ ��

� ��� � .

�#��� ���

�#����� #���

�� �� ��� � � �!�� ���

��

��� ��� � ���������

�� � ���������� ���

���� ����������� �������� ���� ��

Page 6: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

��� �� ������� �� ��� �� �� ����

$�� ���������� ��� � ��� $����� +�� �� ����� ��� ������� �� ��

������ ��� � � "� 7� ����� ����� � . ��!�� ���� ��

����

( ��� � �� ����� (��������� �� �� ��� ��� � � �#� ��� ����� �� ��������� � � � ���� ���� ���� � �

7� ��!� ��� ������� ��������� ������ �� �� ��������� �������� ���� ��� ��� +A��

����� ���� % ������� � " #� ��� � #� �� �� � ��������� ���� ����� ���� �� � �� �� ������� �� ����� ������ ��� ��������� %��������� �����

�� � ��� � �� (��������� ���� �� ����� �� � ��� � � ����� $������� �� ���� �� ���� ���� �� �!��� �� � �#� �� ����� �*���� � �� ���� ����

���� � �� � ��� �����������

���

����� �� �2���������� �� ���

���� � . �� >����� �� ����� �� ��� �� � " ���� ���� ��� . �� ���� ��� ��

(��������� � �!�� � �� �� � . ��!�� ���� ��

����

����� �� � � �����

$�� ������� �������� ��� ��!� �� �;��

����������� ���� % ��������� ���� � �� �� ������ �� ��� ���� ��

� . ��!�� ���� ��

����

��� ����� � � �� ���!� . �

������ ���� �� � . ��!�� ���� ��

����

�� ����� � � � ���!� . ��

���� � �� � � ���� �� ��� ������� �� ��� ��� �� �������� ��(��������� ������� ��� � � "� ��� �;��� >����� ��

8� . ���� +��� �� +������ �

��������

�� ��!� ���!� . ������ +��� . � ���� B*����� ��+��

����� ��� �>�C'�D� /��� �� � ��������� ���� � �� �� ������ ��������� ������ � ������� ����� ��� �#� �� ��� ����

����

� . �� � ��� �� . � �� � ���

$�� ������� �� ������ ���� �� ��� � ��!� � 2���� �:����� �������� ��� ��� � $����� ��1 ��� ��!� ��� ���� �� ��!����� � ��� ,*����� � � � �� ���� � � �� �� +#� 9� 3�� �������� ��� ������� ��������� � �)���� � ��� ���� >��� �� ����� ��!� � ������� ����

����� ���� ��� ���� � ��� �� � ������ ���� � � ���� ������ �� ��

��� ������� ��� �������� ������� �� " � � � � #��� ����� ��

�� ��� �� . ����� � # ������ � � � � � ��� ��� � �

��

���� ����������� �������� ���� ��

Page 7: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

����������� ��������� ������� ��������� ���

!����� �� �� � �������� ���� �� � ���� � . 0��&

+� ��� �� � �� ������ �� ����� �� ������&

/� !�� ��� �������� �� �������� ���� ��� ��� �����������

������ �� �� �� ����� ���� �� �� ��������� �� �� ��� �� . #� �� �� ��� ��. #� ����� �� ���� � � #� ������ � � � � � �� ��� � �� E� �� � . � �� ,*���� � 0�� ���� ������� . �� ����� ������� ���� � . ��

�� ��� � ��!� ��� �������� ���2������� ������ ���� �� ��� $� . � ���� �� �$� �� . � ��� $���

������� 0 ��

�� ��

������� �� ������ �

�� � � �

����� ���� ���� �� ��� �� � �0 �� ���� �� �� ��� �� � �� ��� $� 0 �� �$� ���$������� �� �� � -�*������ �������

+� &����� ���� ����� �� ������� �� ����� �� � �� 5����� ��2������

�� � � # �� � � �#� �� ��� ��!��� ����� �*���� � � � ���� ���� � � �� � �� ��-�� � � �

���� ���� �� ���� ���� �� ��� � � � � �� ��� ��� � ��� $����

���

��������� � �������� �� � � � �� � �� � �� ��� ��� � ���

���� �� ����� �� �� � 5����� ��2������

&���� ����� �� �������� ����� �*���� � � � ���� ���� �� � �� �� �

��!������ � �� 7� ��!� � ��!� ���� ����

�� ��� �� . #�

<� � ��!�� � � #� ����� �*���� �� ���� ���� �������� � � � � � �� ��� ���� �� �� ���� � �� -�� � � �� �� ,*�� �� � �� � ���� � ��� ���������� ����� ����

������� � . ��� �

�������� � � � � ��

�� � �� �� � ���� � ��������� � ������ ����� ����� �� � ����������� ���� ���� ����� �*���� � ��2����� �� � ���� � � � �� % ��� ���� ���� � � � � � � � �� � �� � � ��� �� �!��� % � �� � ���� � ��������� � ������ $���

�+��� ������� � � � � � � � �� ��� % � ��

&���� �����

� � . � �� � #� �� ��!� ���� �����

� . � $�� �������� ����� ��

� ��� ���� �������� �� ��� �+��� �� �����

������� � . �����

������� � � � ���

��� � � � . � � � �� ��� � �� � � ���

���� ����������� �������� ���� ��

Page 8: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

��� �� ������� �� ��� �� �� ����

>����� �� ��� �� � � �� ��� � � ����� � ������� ��� ��� ���� ���� � ��� ������ ��� �� ��!�� �

����� ��� ����������)�� F�����) �/��� ��� �&� �� �� � ���������� ���� ��� � " & � & ��� ���� ����� ������ � ������� � " �� ���

� #� �� �� ����

�+�+� ���� � � #����� � &��� � ���� � � �� ����� �� � ���� ������ �

��

!��� ����� ������ � ������ ���� ����� �� � ���� �� �������� ���������

�� � �����,�� �+�+�� � �� ��� � ����� ����������� ��������� �� '������������(� ����

����� �� � ��� ���� � �� � �� � ������ ���� � " � � � � ����������������������� ����������� ��� � ". ����*�+ ����� � �� �� ��������� ������

��� � !��� � �� � ����������� ��������� �� '�����������(� ���� ���������� ��

������ -�� # � � � � �� ,*�� �� ������ ���� �� ��� � � �� ��� $���

+� �� ��� � � ��

5��� � � � ���� ���� � � �� � #� $��� ������ �� � � � �� � # �� ��� !���

. � � � #� &���� �� ��� � � �� ����� �*���� ��� � � ���� ���� ������� ���� �

� � ���� $��� �������� � ������ ���� � � � ����� �� ��� ���� . �� � #�

&���� � �� � ��������'� ������������ � ��������� �� ���+� �� �����

������� � � ����

��!� ��

�� �

��!� ���� ��� �

��� ��� � #�

����� ������� ����

�� ���� �� � ��!���� ����

��� ��� ��

$�)��� ���� �� . ��!���� ����

��� ����� ����

�� ���� �� � ���� ���� ��� ��

$��� � �� � ��������'� ��������� � ���������)��� ����� �

����� ��!� ��� ��� ��� ��������� �� !����� ��1 �� �������� !���� ��� � ������ ���� ����� ���� �� �������� ���������

���� ����������� �������� ���� ��

Page 9: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

����������� ��������� ������� ��������� ���

������ -�� � �� �� ��������� ������� ��� � �� & ".�� � � �� �����

���

� <�� ��� �,����� � ��� ������ �� � �� � . ������ �� ����� ����

�� ��� ��� � �� ����� ������� ���� �� � &� $��� �&��� � �� � ������� ����������� ���� ��&� � &� 7� ��� ����� $����� +�6 �� ����� � �� �� ���������������� ��� �� ��� ������ �� ��!�� �

7� ����� ��������'� $����� +�= � ������� ������ ������ ���� � � ������� � �� � �������� ��� � � ����� <����� �� ����� ��!� ��� �������������

����� ���"� ��� ���� � � � �� � ������ ������ ���� ����� � �� ���������� ���� �� ������ ��� ����� �� � ������� ��� �#� �� ���

���� � ��� �� . � �� ��� ��� ����

� . � !��� ��� G� � ��� �� � ������

������ ���� ���� ��� ��� ��� ����������� ����� ��� ����� � � �

G������� .

�� ��

#� ������� � ��

�� � � ������� � ���

�� ������� . ��

������ �� �� ���� � ��� ���� G���� � ��� -�� �� ��!� ����

�+�/� G������ 0 � � ���

G�������� G�������

�� �!��� �� � ' � � �� �!��� �� � #� �� G������� . # � G������ . # ����

�+�/� ���� �� G������� . �� G������ . � �� � �� ���� ������� � �� ������� � �� �������� ���

������0 � � ���������� ������

�� � ��� �� . �

�� ����� ���� G������ 0 � � � . ���

G�������� G�������� &���� ��� � � �

� � �� ����� ���� �� �� � G���� ��� G� ��� �� �� � ���� ��� ��� �������� �

�� G� ����� ��� ���� ��� �� ������������ �

����� ����� ��� ���� � � � �� � ������ ������ ���� ����� ��� � ��������� ���� �� ������ !��� ����� ����������� ������������ ����������� � " � � � ��� � ������ ���� ����� ���� �� �������� ���������

������ -�� �� ��!� ���� ���+� ��� �� G� �� � � ����� G� �� ��!�� ��

-���� +��#� &����� ����� �� ��� !� � � # �� �� � �� �� ��!� G�����!�

� #� G������� � �� $��� �����!� � # �� ������� � �� � ����� �� ���+�

�+�1� ��������� � ����

��

��!� ��

��� �!��� � � #�

���� ����������� �������� ���� ��

Page 10: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

�� �� ������� �� ��� �� �� ����

7� ����� ��!� ���� �+�1� �������

�+�A� G��������� � G����

��

��!� ��

��� �!��� � � #�

�� G����

��

�*���+

�. # ���� �+�A� ���� �� G����

��

�*���+

�. � ����

��������� � ����

��

��!� ��

�� ��

>���� G��������� � � . G����

��

�*���+

�� %� $����� ��1 �� ����� ��

������� �

&���� ��� ������������ � ��������� �� � ��������'� ������������ � ���������� ����� $����� % �� ������ ���� ��� ������� ������ ����

����� ����� �� � ��������� ���� � �� ��� ���� ��� ����������������������� ����������� � " � � � ��� � ���� ����� �������� ���� � � ��� � ������ ������ ���� ���� � �� �� ������

#��� ���$���� )��� !����� +��� ���� ����� ��� ���������� ��������������� �� � ��� � ��� ������� ���� �� ����� ���� ��� ���� �� ������ �����*

<� ,*� ���� ������� � ������������ ������ ������ ���� ��� ������������ � � � ��� ���

�� ���� ���� �������� � ������ ������ �����

���������� ���� ( ������ ���� � � � �� � ���� ���� ����� �� � �� ����� !���� ������ � " � ��� �� � �� � ��� ���� � � ��� ���������� ���������� �������"

�� ����� . �� �� �!��� � � # � � . #�

+� ������ . ��

���

�� �� �!��� ! � �� ! �. #� � � #� � � ��

/� ������ 0 � � �������� ����

�� �� �!��� �� � � �� �� � #�

�� ���� � � � �� � ���� ���� ����� �� � �� � �������� ���� ����� ��� �� ��� ��� �� ������ � �������� !���� ������

7� ����� ��������'� $����� + ��� +� � ���� ���� ���������� � � �� ����� � �� � �������� ��� � � �����

���� ����������� �������� ���� ��

Page 11: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

����������� ��������� ������� ��������� ���

�� � ���� ���� ����� ���� � � � �� ���� ���� � �� � �������� ���� � ���� �� ����� �� � ��2����� ��� �#� �� �� ����� � ��� �� . ��� � �� �� ���

�� . �� ���� ��� ������ � �������� � � �� �,�� ��

��� . ���� � #� ��� � � �

��� � ���

��������� ��� ��� �� ������ �� � �� � ������ ��!�* ������$�� ������� ������ �� � ��������'���� � $����� + ��� +��

����� ���� ��� ���� � � � �� � ������ ����� ����� ���� ������� � �� � ��������� ���� �� ������ ( � �������� ������������������� ����� ��� ����� ������ �� � �� " ( � � � ����������� ������������� ����������� ��� �� " ( � � � ���� ������ ��� ���� �����0 ���� �( ��� ��� �� �( !���

<�* ��� 0 ��� �. ��

������ <�� $����� +��� �� ����� ���� �� �!��� � � ����� �* ���� � ���2�� ��� �( ���� ���� ��� . ��

����

�0 ����� 7� ����� ��!�

���� ��� ������� " " ( �( � ����� �� �,�� �� "�� . ���� �( ��� ��������� &����� ���� ���� �� � ��!������ ��2����� ��� ( ������

. � 7� ����� ��!� ����

�/��� ����

��� . ����

�� �/��� �� �� �� ���� ����� �*��� �� � # �� )� � �#� �� ���� ���� ���!��� � �� ����� �*���� �� � � � ����

�/�+� ��*��� +��*�+���� � �� )� � ��

&���� ( �� ������������ ����� �� �!��� � � �#� �� ����� �*���� � � # ��������

�/�/� ��*��� +��*�+��� � �� � � # �� �!��� � � ��

-�� �� � �#� �� �� ,*�� $��� �/�+� �� �/�/� ����� ���� �� �!��� � � #

����*��� +�����*�+���� � ��*��� +��*�+

��

���� � ���

��

-�� � . ���� � ��� �� � � $ � �� $���� �� �!��� � � #�

��*��� +��*�+��� . ����*��� +����*��� +����*�+����*�+���

���� ����������� �������� ���� ��

Page 12: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

��� �� ������� �� ��� �� �� ����

� ������*��� +�����*�+��$��� ���*�������*�+

���� $��

��

� �

���*��� +��*�+

�$�

�� ���*��� +���*�+

���� $��

��

-��

*��� ". ��� ��� ��*��� +��*�+���� � � #�

5������ * �� ������������ &���� � �� �������� �� ����������� �� ��������� �� ���

�����*��� +���*�+

���� $��

�. � ��� ��� ��������� � ���� �� �

���� ����

*��� . *

�$�

��� �!��� � � #�

����� ������� ������� ���� * �� ������������ ���� * �� � ������� �������� �#���� <�� ��� ���2������ �/�/� �� ��� ���� *��� � �� �� ���� *���� �� � �� �!��� � � #� (� � �� �� ��������� ������ ��� �#� ��� �� ������� *��� . � �� �!��� � � #� �� ���������� ���� �/�+��

(������� $����:�� ,*� ���� ������ �� " " ( �( �� ����� ����<�* �"� �. �� &���� <�* �"� � <�* ��� 0 ��� ��� ��� �� �������� �

���������� ���� ( ������� � " � � � �� � ��������'� � ���������� ���������)��� ���� �� �� ���� ���� � ���� ������� ��� ��� ���� # � � � ������� �*���� ���� �� � �#� �� ���� ���� �� �!��� �� � � � ��

� � �� ������� �� �� �������� � ��

���� ��� ������� ���������� ���"

�/�1� ������� � �� �� ����������� ���� � �� ���� ����

����� ���� �� ����� ������������ ������� ���� �����

���� �� . ���� � �� ����� �

��� ��� ���� ����������� ���� ����� � ���� ��� ��������

�� �������� � � � �� ��������

����� ���� ��� ���� � � � �� � ������ ���� ����� � � �� �� � " �� � �� � ����������� ����������� �� '�����������(� ���� ����

���� � � #����� � ���� � ���� � � �� ����� �� � ���� ������ �

��

���� ����������� �������� ���� ��

Page 13: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

����������� ��������� ������� ��������� ���

������ -�� ���� �� � �� ��� # � � � �� $��� �� ��!� ���� �� . � .��� ��0 �� �� ��� � #� ��� $�� ���2������ � � � ������� � � ���������� �� �������� �� �������� � � �� �������� H� ��� ���� ���� ��� ��

�2������ � � � ������� �� �������� � �� ������

�� � � � �� �� ��������

�� �������� � ��

&���� � �� � ��������'� � ��������� � ���������)��� ���� �� ��!��/�1�� <� �!��� � � # �� ��!�

�� ������ 0 �� � �� �������� � � � � 0 ��

�� ��������

����������� ���� 0 ��

�� �� ���� ���� 0 ���

>����

����� ��� � ���� ���� 0 �� �� �!��� � � #�

$������� ����� ��� � ���� ������ ��� ����� � �� � ��������'� ��������� ����������)��� ���� �� ��� ������ ����� ������ �

����� ���� ��� ���� � � � �� � ������ ������ ���� ����� � � �� �� � " � � � �� � ����������� ����������� �� '�����������(� ���� ���� ����������� � ������ ���� ����� �� � ���� �� �������� ���������

������ $����� /�� ����� ���������� ��� $����� +�6 �� -����/�A� �

������� ���� $�� ����� � ���� � ���� ���� � � �� ������� � ���

������ � ��� &�����'��I&)��� ������ � ���������

���,����-

����� ��

�,�� ��

���� ��� � .

�������� ��������

����� �� � . ��

��� 0 � � �����

� � � ���� #�

����� �� � . #���*��� 0 � � �� #�

� ���� � � �#���

����� �� � . ��

���� �� � �������� (��������� ��� �� �� ��� �� � � ������� (��

������� � ��� �����������

���*����-

��� ������� ���� ���

���� ����������� �������� ���� ��

Page 14: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

��� �� ������� �� ��� �� �� ����

����� �� � ��� ���� � � � �� � ����� ����� ���� �� � ��� ��� ���� " � � � � #��� �� ������ ��

�/�A� ���� � . ���� ����� � � ��

���� � ���

!��� � �� � ���� �� � ���� ������ ��� ��� ����������� ��� ���� . ��#� �� � � � �� �� � ����

9� ���� �#� ������� ��� ������� �,������

���������� ��!� -�� & �� � >����: �������� !���� ����� �� ���� ���������� ������ � ��������� � '�� �� &� ( ������ " � & ����� � �� ��������� �� �� �!��� ������ ������ + � " �� �!��� � � ������ �*���� � �������� ������� " +� " � ����"

�� ��-�� �+� �� �-�� I ������ ������+� <� �!��� � � +� �� ��� � � ��� " . & �� ��� ���� & �� �� ��������� �������� !���� ������

$�� ���� � �� ��������� �������� !���� ����� ��� ������� �� �#� �� ���� ���� �� !��� �������� �� ��� ,*� ���� ������ ����� ������ ����� � ������ ��� � ��� ������� ��� ��� ,*� ���� ����� �� ��������!�* ������ ���

�� E���� �6� ��!� ���� �!��� ��!�* ������ � � ������ ��!�*�������� !���� ����� �� ����������

$���� ��� ��� �� ������ ��!�* �������� !���� ������ ����� ������������� (� ��������� �� ������ ��!�* �������� !���� ����� �� �������� ��J��� , �� ��� �1��

K� ���� �A� ��!� ��� ������������ � ��� ������� ������ ���� ����� $� 3������ +/� ��!� ��� ������������ � ��� ����� ���#� �� �# � �� ��� $�� ������������ � ��� ������� ������ ��� ��!� �� K� ����� =��� 5� ����������� �1�� &�� ������� ������� �� ��� ������������ �����!�� �� ���� �#��

<� ������� ��������� ������ ��������� ���� ��� A���� 6� &� >��� �� �� <� LM���� ��!� ��� ������� ,*� ���� �������

����� ���"� ��� & �� � ���������� ����� ���� - � ����� �������������� �� ���� �� & " � ����� ����� ��� ��������� ������ �� & # �"

��� � " - �" � " � ��������� ������ �� ���� ��- �"� �� ���� ����� ���������

��� � .- �"� ��� � �� ���� . ��� � � �

����� ���� ����� ������ � �- �" �� ���� � . ����

���� ����������� �������� ���� ��

Page 15: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

����������� ��������� ������� ��������� ���

����� ����� ��� ���� � � � �� � ������ ����� ����� ���� ����� ��������� ���� � � �� ( � �������� ����� ����� ��� ��������������� �� � ��� �� " ( � � ��� ��� ��� ��������� ��������� �� ��������"

�� �� �� � ����������� ����������� �� '�����������(� ���� +� �� �� � ���� ������ /� ���(� 0 ���(� �( !��� ����� ������ � �( ��� ���� � . ����� 0 �����

������ <�� -���� /�; �� ����� ���� � " � � � � #��� �,�� ��

���� � . ���� ����� � � ��

��� � ����� ���������� ��!������ ������� ����� �,��� �� ��� �� ������<�� -���� /�A �� ����� ���� �� �!��� �� � � # �� �!��� �� � �

� � ���� � � �� ������ ��� � ���� ������ ��

$������� ����� �*���� �� �� ��� �� ,*� ���� ��� �( � ��� �������� �� ����� 0 ���� ��� �(�� ����� �� �!��� �� � � # �� �!��� �� � �(

� � ���� � � �� ������� 0 ����� ���� 0 ����

�. �

������� ����

�� ���� ������ ��

7� ����� ��!� ���� ��� ������� �� ��� � �(� �� ���������&����� ���� ���� �� � ��2����� ��� ( ���� ���� ���

� . ��

��!� ���� ����

��� . ���� ����� ��� . ������

�0 ���� �� � ���

��� . ������

�0 ����� ��� � ��� �������� ���� �� �� ��� ����� ����� �*���

� � # �� �� ���������� ��2����������

����

��� � ���� ����

�/��� ���*�+�� ������ � �� �!��� � ���

<��

���*�+�� ������ ���� �����*�+�� ����

�0 ����*�+�� �����

�� ����� ����

� � ���*�+�� ����������*�+�� �����

�� ���� ���

���� ����������� �������� ���� ��

Page 16: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

��� �� ������� �� ��� �� �� ����

&���� ����

�*�+ � ��

. # �� �� �� �������� �� ����� � �����������

@���� ��� >��� �� LM���� ,*� ���� ������� ��������� �� �� $����� /�+��� ����� ���� ����� �*���� � �( ���� ���� � . ����� 0 ������ �

-�� �&����� �� � / ,���� ������� ����� ��

��&����� . �� � " & � �� � �� � ����������

0�� � " & � �� � . # ����

���� 2������ ������� �� �J��� , � �� � ���������� ������ ���� ��� ����������J��� , ��� � ��

��� � ������� ���� ���� ������ ����� � �� �,��

��

����� . ,��1 1 � J�

��&�1����� � ��

� �� � �� & � ��J��� , �

��

$�� ��!������� ����� �� ��� ��� �� ����� ������� �� ��� ����

���� ��������J��� , ��� � ��

����� ��� ��!������� �� ��� �����������

@���� ��� ���� � �� ��������� ������ � � �������� !���� �������� ���������� � $����� /��� �� ��� ����� ��J��� , � �� ��!���

��������% ����� ��� � . ��J��� , � ��� ��� �� " � � � �� �� " � � ��� � ����������� ����������� �� '�����������(� ���� ��� �� �� � ���������� ���� ����� ������ �� ������ 2 � � ��� ���� 2�1� . ��

�2�1�

�0

���2�1�

�� �

������ ���� � ��� �� �� ��������� ���� ���� ����� � 3 ���� ������� ��� ��� ������� � $����� /��� ��� �����,� �� ( . �� �

��������% ����� ��� ���� � � � �� � ������ ����� ����� ���� ������������� ���� � �� ������ ( � �������� ����� ��� ����� ������ ��� ��� �� " " � � ��� ��� ��������� � + / ��� !����� /��� ���� !�������� ������ � �( ��� ���� � . ���0 ���

������ �� �� ���� )��� ���� � ��� �� ��� ��� �� ������ � ������ ��!�*�������� !���� ������ $��� ������� ���� " �� �� ��������� ������ � ��� ��� ��� ������� � $����� /��� ��� �

���� ���������� $�� ������ ����) ��� ������� ������� �� !��� ���� �������� $�� ,��� �� ���� ������ ����) �� ��� ������� ,������������� � ��� L�N��� �E$3& �;�� �� ��� L�N��� OE������� ���������� ��''� ����������P ������� �� &������ (����� � &������� �� (����

%���� �� ����� +,��� -. -//01 $����� /���� �� 3� 5������ ,*� ���������� �3� 5����� &����� � ����D��� � ���� ,*� � &������� 2��� ���� �!" �+##��� +/�I+1�� ��� ������ ��� ��������� � ������������� ��� ��� ( �

���� ����������� �������� ���� ��

Page 17: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

����������� ��������� ������� ��������� ���

���������

,�- � � �+��'� ? @ �+� ��� � 9 ;��'� �� ���������� ������ ������ �� � ����������� � ��� ��� ��2+0�� ��� �$&## ��+&�'�0� �AA��

,�- � � �+��'� B � C&&� ? @ �+�� ? D �+&�� � 9 ;��' ��� @ � @0�'� E&�&$�4�8&�2��)$�2)��� "�((��' ($��2�(4& ��� ��F&$&�)��4 &/0�)���# �� ($�3�3�4�#)�2 "&)$�2#(�2&#� �� �� ����� ����� � ��� ��� ��AAG�� ��GH���HG

,�- � ����8��2� �� )+& ��� ��1)�(�4�'7 �* ($�3�3�4�#)�2 4�2�447 2���&6 #(�2&#� ����� ������� ���� ��AH�� �A���AH

,�- � ����8��2� ��"& )+&�$&"# �� )+& 56&� (���)# �� ($�3�3�4�#)�2 "&)$�2 ��� $����"��$"&� #(�2&#� � ��� �� � ���� ������ ������ ��A�� ����A�

,I- � ����8��2� �!�� � �� ��� �� � � � � ���� "��� � ������ ����� ���� �A��,G- � ����8��2� � ��(� �!�� � �� ��� �� � �� ���������� ������ ������� ;40.&$ 2�1

�&"�2 �034�#+&$# ���$�$&2+)� �����

,H- � ��+� ��� J �K�))&$� K 3&$ J�6(0�<)& <�"(�<)&$ 33�4�0�'&� �� )�(�4�'�#2+&��&<)�$$K�0"&�� ������ ������ ��C ��AH��� ���G

,- ! C ��2<#� J�6&� (���) )+&�$7 �� ($�3�3�4�#)�2 "&)$�2 #(�2&#� ��#� � � # � �����$�� %��� ���� �� ���� �&� ���� ����� �� ��A��� G��H�

,A- @ �#+��� �� )+& ��"�##�3�4�)7 �* *0�2)��� #(�2&#� '� ��� ���� � &&��� ��#� ������ ���� ��AGI�� �A�II

,��- � ;4&&� C&$�7��2+�0�&$ )+&�$7 .�)+�0) 4�2�4 2���&6�)7� ����� ��� ��� ��AG����G��AG

,��- � � ;4&"&�)� � 9&#��$ ��� � ��(� �������� � ���� ;40.&$ 2��&"�2 �034�#+1&$#� !$&��# �� C�'�2 ���$�$&2+)� �����

,��- � ;�40"3��� ��� ����#� J$�2)�4 *0�2)���# 0#��' 2��)$�2)��� "&)+�� �� ($�3�3�4�#)�2"&)$�2 #(�2&#� ��L �� �� ( ��� ��� ���������������� ) (� ������ *++* �&�9 9 ����<�� %�$4� �2� ������� (( �II��GI

,��- 9 ;$�#��#&4#<� ��� � � ��3$&�<�� �� ���������&�� ��� �� ����� ����,����0<� ��AHI�

,��- � ;$�0)+�0#&�� -�� �!��&����, # �������� � ���� �.��� & #�!� %/����� .�� �.���� ��( �������������� ��������� ��<)�$# ��##&$)�)���� �2+&�� �AHG�

,�I- @ 9�2+� ��& �04K�##�'<&�) 0�� '&.�##& ��'&�#2+�*)&� �&$ J0�<)���&�$K�0"& ���� 0����� ���� ���� (� ����� �� -���#������ � � �$ G�� �AH�

,�G- ; 9&�'&$� �)�)�#)�2�4 "&)$�2� �� �� ���� ����� ���� �� ��A���� I�I�I�H,�H- 9 ��'0"�� �&'$&& �* "�((��'# �� 2���&6 4��&�$ )�(�4�'�2�4 #(�2&#� ����� '� ������

�� ��AI��� �AH�I��,�- � ��(� � ����8��2 ��� � 9&#��$� 56&� (���) )+&�$&" �� ($�3�3�4�#)�2 "&)$�2 #(�2&#

��� �((4�2�)���# �� *0887 #&) )+&�$7� '� ����� ���� ������ ��� ��AAG�� ������A

,�A- � ��$�0 ��� � ���0� ��"& $&"�$<# �� !�$��F=# 56&� (���) )+&�$&" �� 9&�'&$#(�2&#� � �������� ������������ �� ��AAH�� �������

,��- � ���0� $&"�$< �� 2��)$�2)���# �� 9&�'&$ #(�2&#� �&"���$ �� �$�3�3�4�)7 !+&�$7��� ((4�2�)���#� ��#� ( ����0� ���� �$ G�� �A�

,��- � ���0� ��"& 56&� (���) )+&�$&"# �� �91#(�2&#� ��L C&2)0$&# ��)&# �� 9�)+�$ ����� �($��'&$� �AH� (( �������

,��- � ���0� 1������� �� ���������� �������� %&#) ���&$#�)7 �* !�"�#��$� ��AAG�,��- ! ��&�$�2+� ��& �K�0"& ����� �� �� �� #��� 804K�##�'� 2���� $� ��� -������ ��

��AG��� ���A���I�

���� ����������� �������� ���� ��

Page 18: Generalized contraction mapping principles in probabilistic metric spaces

��� �� ������� �� ��� �� �� ����� ����������� ��������� � � �

,��- B �2+.&�8&$ ��� �<4�$� �)�)�#)�2�4 "&)$�2 #(�2&#� ����3� '� ������ �� ��AG��� �������

,�I- B �2+.&�8&$ ��� �<4�$� �� ���������� ������ ������� ��$)+1��44��� ��A��,�G- B �2+.&�8&$� � �+&$.��� ��� � 9 !�$��F� ���)$�2)���# �� ($�3�3�4�#)�2 "&)$�2

#(�2&# �6�"(4&# ��� 2�0�)&$ &6�"(4&#� �� ��������� �� ��A�� I��H,�H- � 9 �&+'�4 ��� ! B+�$02+�1�&��� J�6&� (���) �* 2��)$�2)��� "�((��' �� �9

#(�2&#� ����� ������� ��� ��� � ��AH��� AH����,�- � !�$��F� ���)$�2)��� "�(# �� ($�3�3�4�#)�2 "&)$�2 #(�2&#� '� ����� ���� ������

��� ��AA��� I�H�I��

4%����#�� ����� *5� *++*6 ��#���� -������� 5+� *++*7

������ � �� ��������� � � �������

� ������� �� ��� ��

�� �� �������� �

����� ��� ��

���� � �� �� ���

������ ������ ����� ������ ������

������ �� ���������

!��� � ������� �� ������

��� ����� �� �

�"�� ������

�� �

������ �������������������

���� ����������� �������� ���� ��