geodetickÉ vÝpoČty i....geodetickÉ vÝpoČty ii. trigonometrickÉ ŘeŠenÍ Úloh sinovÁ a...

GEODETICKÉ VÝPOČTY II.

TRIGONOMETRICKÉ ŘEŠENÍ ÚLOH SINOVÁ A COSINOVÁ VĚTA

PARALAKTICKÉ MĚŘENÍ DÉLEK OBECNÁ SINOVÁ VĚTA

TROJÚHELNÍKOVÉ ŘETĚZCE

SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí

2.ročník dálkového studia

Ing. Jana Marešová, Ph.D. rok 2019-2020

TRIGONOMETRICKÉ ŘEŠENÍ ÚLOH

Dříve, kdy nebylo možno měřit délky přímo se často používalo metod jejich určení na základě měření úhlů a výpočtů v trojúhelníku.

Uvedené metody se nyní v praxi využívají jen velmi zřídka, ale jejich matematický základ je vhodné si připomenout.

Podíváme se na metody:

• sinová a cosinová věta

• paralaktické určení vzdálenosti

• metoda obecné sinové věty

• trojúhelníkové řetězce

Geodetické výpočty II. TRIGONOMETRICKÉ ŘEŠENÍ ÚLOH

SINOVÁ A COSINOVÁ VĚTA

Trigonometrické určování délek se používá tehdy, pokud je jeden z koncových bodů měřené délky nepřístupný nebo není mezi koncovými body měřené délky přímá viditelnost. V tomto případě se vychází z řešení všeobecného trojúhelníka, v kterém určovaná délka d je neznámou stranou. Neznámou délku d je třeba vypočítat s nezávislou kontrolou (např. se provede totožný výpočet pomocí základny CB).



Výsledná hodnota při trigonometrickém určování délek je vždy vodorovná délka, i když oba koncové body přímky leží v různých výškách (vyplývá z definice vodorovného úhlu).

Příklad: Pro určení vodorovné délky d mezi body A a B zvolíme bod C a určíme např. délku z = CA (základna). Základnu můžeme získat buď přímým nebo nepřímým měřením, nebo např. výpočtem ze známých souřadnic jejích dvou koncových bodů či odvozením z jiné neznámé délky. Teodolitem odměříme úhly ωA a ωC a výslednou délku určíme pomocí sinové věty:



Sinová věta nám říká, že poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v daném obecném trojúhelníku konstantní. Zapíšeme to takto:

kde r je poloměr kružnice opsané a a, b a c jsou délky stran trojúhelníku. Předchozí rovnost můžeme také přepsat do tvaru:



Cosinová věta také platí v obecném trojúhelníku, stejně jako věta sinová. Cosinová věta zní:

Všimněte si, že pokud bude jeden z úhlu pravý, tj. bude mít velikost 90 stupňů, pak nám v jednom ze vzorců zmizí poslední část vzorce a dostaneme tvar Pythagorovy věty. Protože pokud je α=90° pak cos(α) = 0 a tak dostáváme:



Mějme trojúhelník ABC se stranou c o délce |c| = 9. Velikosti úhlů jsou: α=40°,β=80 °,γ=60 °. Dopočtěte délky zbývajících dvou stran? Použijte sinovou i cosinovou větu.

c

a b


PARALAKTICKÉ URČENÍ VZDÁLENOSTI

Jedná se o metodu určení délek pomocí měření vodorovného úhlu na známou základnu. Při paralaktickém měření délek se měří paralaktický úhel δ, pod kterým vidíme oba záměrné terčíky známé základnové latě l = většinou 2 m (nebo konce základny jako takové).

v případě l = 2 m

Paralaktický úhel δ se měří v tzv. polovičních laboratorních jednotkách, pro

snížení vlivu chyb měření a pro zvýšení přesnosti určení výsledné vzdálenosti.


PARALAKTICKÉ URČENÍ VZDÁLENOSTI

Pro zvětšení možné určitelné vzdálenosti pomocí paralaktického měření délek se používali různé paralaktické články (princip výpočtu je stejný)


POZNÁMKA – MĚŘENÍ V LABORATORNÍCH JEDNOTKÁCH

Do triangulační praxe měření v laboratorních zavedl Ing. Josef Křovák v roce 1936. Kdy měření úhlů bylo použito pro určení délek jednotlivých základen k určení rozměru sítě S-JTSK. Pokud známe délku základny tak délky všech ostatních stran sítě je možné postupně vypočítat. V praxi se však měřilo několik trigonometrických stran (z důvodu zpřesnění sítě).


POZNÁMKA - ZÁKLADNOVÉ SÍTĚ

Geodetická základna navazovala na trigonometrickou stranu postupně rozvíjenou tzv. základnovou rozvinovací sítí, kterou se prostřednictvím přesného úhlového měření přenášela délka základny na délku přilehlé trigonometrické strany (zde bylo nutno zásadu „z velkého do malého“ vědomě porušit).

Postupným řešením sférických trojúhelníků s vyrovnanými úhly byly vypočteny délky všech stran v síti. Koncem 20. století byly délky základen či výchozí trigonometrické strany měřeny elektronickými dálkoměry. V současnosti se využívá metod kosmické geodézie.


OBECNÁ SINOVÁ VĚTA

Pokud jsou v n-úheníku dány vrcholové úhly, ale k výpočtu nám dva z nich chybí je možno k jejich určení použít obecné sinové věty.

Postup výpočtu:

1. Na jednom z vrcholů obrazce nebo na průsečíků směrů se volí tzv. pól

2. Vyznačí se šipkami pólové paprsky směrem od pólu

3. Zbylý obrazec se označí po obvodu šipkami budˇ v kladném nebo záporném směru

4. Vypíší se úhly stejnosměrné (šipky pokračují) a protisměrné (šipky se sbíhají) – pro definici úhlů se vychází z pólu



Obecná sinový věta zní:

po úpravě:

Součin sinů úhlů stejnosměrných se rovná součinu úhlů protisměrných

nebo

Součin sinů úhlů stejnosměrných dělený součinem úhlů protisměrných je roven jedné

- = ..... Tato rovnice je první rovnicí do soustavy rovnic pro řešení

vyčíslíme



Druhou rovnici do soustavy rovnic získáme ze znalosti pro součet v mnohoúhelníku

(n-2)*200 gon

kde n je počet vrcholů.

Tedy pro tento případ + = (5-2)*200g = 600g

Pak máme dvě rovnice pro dvě neznámé:

- = ......

+ = ......

řešíme klasicky sečtením a odečtením a určíme tak neznámé úhly a .



Příklad: Vypočtete nepřístupnou vzdálenost mezi body CE, která je nepřístupná a je měřená pomocí základny b = AB, jejíž délka byly měřena přímo:

b = 22,345 m 1 = 11,5920 g 2 = 57,8952 g 1 = 56,2451 g 2 = 22,3256 g

Postup: 1. pomocí obecné sinové věty vyčíslete a 2. pomocí sinové věty vypočtěte délky BC, BE, AC, AE 3. pomocí sinové věty vypočtěte délku e a to 2x

kontrolně z délek AC a BE (výsledek musí být stejný)


TROJÚHELNÍKOVÉ ŘETĚZCE

Přesné měření vodorovných úhlů umožňuje vhodné využití sinové ev. cosinové věty v obecných trojúhelnících pro nepřímé určení dlouhých vzdáleností.

Úloha trojúhelníkových řetězců je založena na tom, že na sebe jednou stranou navazuje řada trojúhelníků, přičemž v prvním a posledním je určena jedna délka

Sinovými větami lze pak vypočítat následující strany v ostatních trojúhelnících.

Pak lze předepsat pro výpočet souřadnic jednotlivých bodů (vrcholů trojúhelníků) polygonový pořad a určit souřadnice jednotlivých bodů a pak jejich vzdálenosti.

V současnosti se tato metoda již nepoužívá a je nahrazena vyrovnáním sítě, délky v trojúhelnících lze v současnosti prakticky zaměřovat bez problémů.



REKAPITULACE

TRIGONOMETRICKÉ ŘEŠENÍ ÚLOH

• TRIGONOMETRICKÉ ŘEŠENÍ ÚLOH

• SINOVÁ A COSINOVÁ VĚTA

• PARALAKTICKÉ MĚŘENÍ DÉLEK

• OBECNÁ SINOVÁ VĚTA

• TROJÚHELNÍKOVÉ ŘETĚZCE

• Následuje: TRIGONOMETRICKÉ URČOVÁNÍ VÝŠEK

geodetickÉ vÝpoČty i....geodetickÉ vÝpoČty ii. trigonometrickÉ ŘeŠenÍ Úloh sinovÁ a...

Documents