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Raffaele Santoro Geometria Classi 6-7 Scuole Europee (5 periodi per settimana) Terza edizione completa con le risposte a tutti gli esercizi proposti VECCHIARELLI EDITORE

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Page 1: Geom Estratto

Raffaele Santoro

GeometriaClassi 6-7 Scuole Europee

(5 periodi per settimana)Terza edizione completa con le risposte a tutti gli esercizi proposti

VECCHIARELLI EDITORE

Page 2: Geom Estratto

Simboli geometrici usati nel testo

Simboli SignificatoA, B, C, . . .A,B,C,. . .

Punti del piano o dello spazio

a, b, c, . . . , r, s, . . . Rette del piano o dello spazio(AB) Retta passante per i punti A e B[AB) Semiretta uscente da A e passante per B[AB] Segmento avente come estremi i punti A e BAB Lunghezza del segmento [AB]−→a ,−→b , . . . Vettori del piano o dello spazio

−−→AB,

−−→CD, . . . Vettori del piano o dello spazio di estremi assegnati

−→a ·−→b ,−−→AB ·

−−→CD Prodotto scalare di due vettori

‖−→a ‖,∥∥∥−−→AB∥∥∥ Norma o modulo di un vettore

−→a ×−→b ,−−→AB ×

−−→CD Prodotto vettoriale di due vettori(

O,−→i ,−→j)

Base ortonormata del piano euclideo(O,−→i ,−→j ,−→k)

Base ortonormata dello spazio euclideoa ‖ b Rette a e b paralleleπ1 ‖ π2 Piani π1 e π2 parallelia⊥b Rette a e b perpendicolari o ortogonaliπ1⊥π2 Piani π1 e π2 ortogonalir (A,−→u ) Retta r passante per A e avente −→u come vettore

direttoreπ (A,−→u ,−→v ) Piano π passante per A e avente i vettori −→u e −→v come

vettori direttoriπ (A,−→n ) Piano passante per A ed avente −→n come vettore

normale

Page 3: Geom Estratto

Raffaele Santoro

GeometriaClassi 6-7 Scuole Europee

(5 periodi per settimana)Terza edizione completa con le risposte a tutti gli esercizi proposti

VECCHIARELLI EDITORE

Page 4: Geom Estratto

Ai miei genitori

©Vecchiarelli Editore S.r.l. - 2011Piazza dell’Olmo, 2700066 Manziana (Roma)

Tel. 06.99674591Fax 06.99674591

[email protected]

ISBN 978-88-8247-289-4

Page 5: Geom Estratto

Indice

Prefazione alla terza edizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiPrefazione alla seconda edizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1. Matrici e Determinanti 11.1. Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Somma di due matrici dello stesso tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Moltiplicazione di una matrice per un numero reale . . . . . . . . . . . . 31.4. Determinante di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1. 1° caso: matrice 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2. 2° caso: matrice 3× 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.3. 3° caso: matrice n× n (n > 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5. Prodotto di due matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Risoluzione di sistemi lineari con la regola di Cramer . . . . . . . . . . . 101.7. Matrice inversa di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.1. 1° caso: n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.2. 2° caso: n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.3. 3° caso: n > 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Risoluzione di un sistema lineare con il calcolo matriciale . . . . . . . . . 171.9. Anello delle matrici quadrate di ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Punti, vettori e rette del piano (richiami) 232.1. Richiami sullo spazio vettoriale V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1. Somma vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.2. Moltiplicazione di un vettore per un numero reale . . . . . . . . . 262.1.3. Proprietà dello spazio vettoriale V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Dipendenza e indipendenza lineare in V2. Base di V2 . . . . . . . . . . . . 272.3. Piano affine e relazione di Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4. Prodotto scalare di due vettori di V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5. Piano euclideo (richiami di geometria analitica del piano) . . . . . . . . . 31

2.5.1. Distanza fra due punti e punto medio fra due punti dati . . . . . 312.5.2. Equazione di una retta nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.3. Angolo fra due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Trasformazioni nel piano. Aspetto analitico e matriciale 393.1. Isometrie del piano in se (richiami) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Raffaele Santoro: Geometria

Page 6: Geom Estratto

vi Indice

3.2. Simmetria ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3. Traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4. Rotazione attorno ad O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5. Simmetria centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6. Considerazioni generali sulle isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.7. Omotetie del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.8. Proiezione ortogonale su una retta passante per O . . . . . . . . . . . . . 533.9. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4. Punti, vettori, piani e rette nello spazio 594.1. Richiami di geometria elementare dello spazio . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.1. Incidenza fra piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.1.2. Parallelissmo tra rette. Direzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.3. Rette sghembe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.4. Perpendicolarità e ortogonalità fra rette . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.5. Incidenza tra retta e piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.6. Angolo fra due piani incidenti e piani ortogonali . . . . . . . . . . 634.1.7. Proiezione ortogonale su un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2. Spazio vettoriale V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.1. Spazio affine e relazione di Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2.2. Dipendenza e indipendenza lineare. Dimensione di V3. Base di V3 654.2.3. Prodotto scalare in V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.4. Coseni direttori di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2.5. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3. Coordinate nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3.1. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4. Equazione di un piano nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4.1. Equazione segmentaria del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4.2. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5. Equazione di una retta nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5.1. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.6. Distanza di un punto da un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.6.1. Applicazione: forma normale di Hesse dell’equazione cartesiana

di un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.6.2. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.7. Prodotto vettoriale di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.7.1. Distanza di un punto da una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.7.2. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.8. Prodotto misto di 3 vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.8.1. Propietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.8.2. Distanza tra due rette sghembe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8.3. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Raffaele Santoro: Geometria

Page 7: Geom Estratto

Indice vii

5. Equazione della sfera e applicazioni 1015.1. Equazione della sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.1.1. Luogo dei punti tali che−→AP �

−−→BP = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2. Posizione di un piano e di una retta rispetto ad una sfera . . . . . . . . . 1045.2.1. Piano tangente ad una sfera con centro in O(0, 0, 0). . . . . . . . . 107

5.3. Posizioni relative di due sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.4. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6. Trasformazioni nello spazio. Aspetto analitico e matriciale 1136.1. Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.2. Traslazioni nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.3. Proiezione ortogonale su un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.3.1. Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.4. Simmetria ortogonale rispetto ad un piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.4.1. Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.5. Simmetria ortogonale rispetto ad una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.5.1. Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.6. Simmetria centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.7. Rotazione attorno ad un asse fisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.7.1. Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.8. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

A. Problemi supplementari 125

B. Risposte agli esercizi proposti 139

Indice Analitico 163

Raffaele Santoro: Geometria

Page 8: Geom Estratto

Prefazione alla terza edizione

Questa nuova edizione1 del corso di Geometria dello spazio per le Scuole Europee ha iseguenti cambiamenti rispetto alla versione precedente:

• Una nuova appendice con le risposte a tutti gli esercizi proposti• Tutte le figure rifatte con il programma Geogebra• Correzione di alcuni errori residui, il che non significa che non ci siano più sviste• Una pagina interna della prima copertina con un richiamo sul simbolismo usato

per vettori, rette, piani. . .• Due pagine interne alla seconda copertina con un formulario delle principali

formule usate nel testo• Una veste grafica migliore

Anche se, da quando (1992) è uscita la prima edizione del presente corso, il panoramaeditoriale italiano offre qualche alternativa, ritengo ancora valide le motivazioni che mihanno spinto ad affrontare questa fatica.Manziana, Marzo 2011Raffaele Santoro

1Scritta con LATEX grazie all’incoraggiamento ed ad una prima introduzione del mio ex allievo LucaGalantucci, ora ricercatore di Fisica presso il Politecnico di Milano.

Page 9: Geom Estratto

Prefazione alla seconda edizione

Le ragioni della nascita della prima edizione di questo corso di Geometria restano va-lide: l’assenza, nel panorama editoriale italiano, di un corso di Geometria dello spaziocon l’ausilio dello strumento vettoriale e matriciale, come previsto dal programma diMatematica delle classi 6-7 (5 periodi per settimana) delle Scuole Europee.Tuttavia, la disponibilità di un corso ‘su misura ‘ per le Scuole Europee ha spinto al-cuni colleghi a volersi sobbarcare la fatica di una traduzione della prima edizione inaltre lingue. Sono così comparse, in ordine di tempo, una versione in francese (a curadel collega J.P. MASCLE, Luxembourg), una versione in danese (a cura del collega J.THORSEN, Luxembourg) ed una versione in tedesco (a cura del collega D. KORING,Bruxelles II). A tutti questi colleghi va un sentito ringraziamento, anche perchè hannocondiviso con me la filosofia dei ‘diritti d’autore’ di questo corso: il prezzo di ogni co-pia viene fissato aggiungendo al costo di riproduzione 100 FB da inviare ai ComitatiUnicef.Questa seconda edizione esce per rimediare ad alcune omissioni e per tener conto deisuggerimenti di alcuni colleghi. Questi i cambiamenti più importanti:

• per il capitolo terzo: omotetie e proiezione ortogonale su un retta;• per il capitolo quarto: maggior peso alle proprietà geometriche di rette e piani

nello spazio;• per tutti i capitoli: aumento del numero degli esercizi proposti e correzione di

errori residui.Anche se, ovviamente, i colleghi possono seguire l’itinerario di studio che ritengono piùopportuno, mi permetto di suggerire un itinerario che mi sembra ottimale per trarre ilmassimo profitto da questo corso:Classe 6

• Capitolo 1 (Matrici e determinanti).• Capitolo 2 (Punti, vettori e rette del piano - Richiami).• Capitolo 4 (Punti, vettori, piani e rette dello spazio).

Classe 7

• Ripasso dei capitoli 1, 2 e 4 (visti in Classe 6).• Capitolo 5 (Equazione della sfera e applicazioni)• Capitolo 3 (Trasformazioni del piano - Aspetto analitico e matriciale).• Capitolo 6 (Trasformazioni dello spazio - Aspetto analitico e matriciale).• Risoluzione di tutti i problemi previsti nell’Appendice.

Resta l’auspicio che il corso, nelle sue diverse versioni, possa servire, oltre che per lapreparazione al Bac Europeo, anche per la preparazione all’esame d’ingresso in alcuneUniversità e come punto di partenza di un primo corso di Geometria per l’Università.Luxembourg, Luglio 1994Raffaele SANTORO

Page 10: Geom Estratto
Page 11: Geom Estratto

1. Matrici e Determinanti

Indice1.1. Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Somma di due matrici dello stesso tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Moltiplicazione di una matrice per un numero reale . . . . . . . . . . 31.4. Determinante di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1. 1° caso: matrice 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2. 2° caso: matrice 3× 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.3. 3° caso: matrice n× n (n > 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5. Prodotto di due matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Risoluzione di sistemi lineari con la regola di Cramer . . . . . . . . . 101.7. Matrice inversa di una matrice quadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.1. 1° caso: n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.2. 2° caso: n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7.3. 3° caso: n > 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8. Risoluzione di un sistema lineare con il calcolo matriciale . . . . . . 171.9. Anello delle matrici quadrate di ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10. Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Raffaele Santoro: Geometria

Page 12: Geom Estratto

2 Matrici e Determinanti

1.1. Definizioni

Una matrice reale (a elementi in R, insieme dei numeri reali) è una tabella rettangolarem× n (m righe ed n colonne) di numeri reali. Sono matrici reali ad esempio:

A =

1−2

3

, B =

(2 −13 4

), C =

(1 2 −1−2 0 3

).

La matrice A è una matrice rettangolare 3 × 1 avente 3 righe ed 1 colonna. La matriceB è una matrice quadrata 2 × 2 avente 2 righe e 2 colonne. La matrice C è una matricerettangolare 2× 3 avente 2 righe e 3 colonne.In generale, una matrice A con m righe e n colonne si indica così:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

......

am1 am2 . . . amn

dove a11 (da leggere ’a uno uno’), a12 (da leggere ’a uno due’), . . ., amn (da leggere ’aemme enne’) sono gli elementi della matrice. La matrice A, a volte, è anche indicatacon [ars], oppure (ars), dove ars è un elemento generico della matrice (l’elementos-simo della riga r-sima).

Se m = n, la matrice si dice matrice quadrata di ordine n e, in questo caso, gli elementia11, a22, . . ., ann si dicono elementi della diagonale principale.Una matrice diagonale è una matrice quadrata per cui gli elementi diversi da quellidella diagonale principale sono tutti nulli.

Esempi di matrici diagonali sono:(

2 00 −1

),

3 0 00 −2 00 0 0

.

Una matrice diagonale con gli elementi della diagonale principale tutti uguali a 1 (uno)e gli altri elementi nulli si dice matrice unitaria. Ad esempio la matrice unitaria 3× 3 è:

I =

1 0 00 1 00 0 1

.

Una matrice, anche non quadrata, con tutti gli elementi uguali a 0 (zero) si dice matrice

nulla. Ad esempio, la matrice(

0 00 0

)è la matrice nulla 2× 2.

Una matrice A in cui si scambiano tra di loro le righe con le colonne dà luogo ad un’altramatrice tA o A che si chiama matrice trasposta di A. Così, ad esempio:

Raffaele Santoro: Geometria

Page 13: Geom Estratto

1.2 Somma di due matrici dello stesso tipo 3

A =

1 2−3 −11 4

⇒ A =

(1 −3 12 −1 4

).

1.2. Somma di due matrici dello stesso tipo

Sia Am×n l’insieme delle matrici m× n . In questo insieme si definisce l’operazione ’ +’ (somma) che associa a due matrici A e B una terza matrice C = A+B, tale che:

(A = [ars] , B = [brs])⇒ C = [crs] = [ars + brs]

Esempio 1.1 Date le matrici A =

1 32 −4−1 1

e B =

−1 23 01 −3

, determinare

la matrice: C = A+B.Soluzione. Risulta:

C =

1 32 −4−1 1

+

−1 23 01 −3

=

1− 1 3 + 22 + 3 −4 + 0−1 + 1 1− 3

=

0 55 −40 −2

È facile rendersi conto che la struttura (Am×n,+) è una struttura di gruppo commuta-tivo, dove l’elemento neutro è la matrice nulla m × n e la matrice inversa di A = [ars]è la matrice A′ = [−ars] (tale matrice prende anche il nome di matrice opposta di Ae viene indicata con −A). Qui le propietà di gruppo derivano dalla definizione stessadella somma di due o più matrici come somma degli elementi corrispondenti delle ma-trici da sommare: dal momento che l’insieme di numeri reali, rispetto all’operazionesomma è una struttura di gruppo commutativo, anche (Am×n,+) sarà una struttura digruppo commutativo.

1.3. Moltiplicazione di una matrice per un numero reale

Se A è una matrice di Am×n , si definisce prodotto della matrice A per il numero reale kquella matrice, B, i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicati per k:

kA = k [ars] = [kars] = [brs] = B.

Raffaele Santoro: Geometria

Page 14: Geom Estratto

4 Matrici e Determinanti

Esempio 1.2 Se A =

(2 1 −32 1 0

), determinare le matrici: −2A e 3A.

Soluzione. Risulta subito:

−2A =

(−2 −4 6−4 −2 0

), 3A =

(3 6 −96 3 0

).

La moltiplicazione di una matrice di Am×n per un numero reale è un’operazione esternaad Am×n , in quanto risulta essere un’applicazione f di R×Am×n in Am×n :

f : R×Am×n −→ Am×n

.

Si può considerare la struttura (Am×n, R,+), dove ’+’ indica la somma (operazioneinterna) di due matrici di Am×n e ’R’ sta ad indicare l’operazione esterna di moltiplica-zione degli elementi di Am×n per un elemento di R (insieme dei numeri reali e insiemedegli operatori). E’ facile rendersi conto allora che la struttura

(Am×n, R,+) è una struttura di spazio vettoriale reale.

I ’vettori’ di questa struttura sono le matrici di Am×n .

1.4. Determinante di una matrice quadrata

Il determinante di una matrice quadrata è un numero associato alla matrice stessa. Talenumero si ottiene a partire dagli elementi della matrice applicando determinate regoledi calcolo. In questa sede si considereranno principalmente i casi delle matrici quadratedi ordine n con n = 2 o n = 3 e si farà un rapido cenno a come calcolare il determinantedi una matrice quadrata con n > 3.

1.4.1. 1° caso: matrice 2× 2

Sia A =

(a11 a12a21 a22

)la matrice. Si definisce determinante di A il numero:

detA =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12

Raffaele Santoro: Geometria

Page 15: Geom Estratto

1.4 Determinante di una matrice quadrata 5

Esempio 1.3 Se A =

(−1 2

3 1

)e B =

(2 −11 4

), calcolare detA e detB .

Soluzione. Si ha:

detA =

∣∣∣∣ −1 23 1

∣∣∣∣ = −1 · 1− 3 · 2 = −1− 6 = −7

detB =

∣∣∣∣ 2 −11 4

∣∣∣∣ = 2 · 4− 1 · (−1) = 8 + 1 = 9

1.4.2. 2° caso: matrice 3× 3

Sia A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

la matrice. Si definisce determinante di A il numero:

detA =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣ =

= a11 (a22a33 − a32a23)− a12 (a21a33 − a31a23) + a13 (a21a32 − a31a22) =

= a11a22a33 − a11a32a23 − a12a21a33 + a12a31a23 + a13a21a32 − a13a31a22Ci sono 6 modi diversi per calcolare il determinante di una matrice 3×3, a secondadella riga o della colonna che si sceglie per sviluppare il calcolo. In effetti, si prendonogli elementi di una riga o di una colonna, moltiplicati per il segnante (−1)r+s (r è ilnumero di riga e s il numero di colonna dell’elemento), ciascuno moltiplicato ancoraper il determinante 2×2 che si ottiene eliminando dal determinante di partenza la rigae la colonna dell’elemento considerato; si sommano i 3 risultati ottenuti.

Esempio 1.4 Calcolare il determinante della matrice A =

1 2 −13 1 01 −2 3

.

Soluzione. Sviluppando secondo gli elementi della prima riga, si ha:

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 −13 1 01 −2 3

∣∣∣∣∣∣ = 1 ·∣∣∣∣ 1 0−2 3

∣∣∣∣− 2 ·∣∣∣∣ 3 0

1 3

∣∣∣∣− 1 ·∣∣∣∣ 3 1

1 −2

∣∣∣∣ =

= 1 · 3− 2 · 9− 1 · (−7) = −8

Oppure (sviluppando secondo gli elementi della terza colonna):

detA =

∣∣∣∣∣∣1 2 −13 1 01 −2 3

∣∣∣∣∣∣ = −1 ·∣∣∣∣ 3 1

1 −2

∣∣∣∣− 0 ·∣∣∣∣ 1 2

1 −2

∣∣∣∣+ 3 ·∣∣∣∣ 1 2

3 1

∣∣∣∣ =

= −1 · (−7) + 3 · (−5) = −8

Raffaele Santoro: Geometria

Page 16: Geom Estratto

161

Σ2: (x− 3)2+y2+(z− 5)2= 4 ;

e) S :(x− 4

3

)2+(y − 5

3

)2+(z − 10

3

)2=(23

√3)2

.39. a) i) A′ (6,−10, 4), ii) (0,−4, 1) ;

b) S1 : (x− 6)2 + (y + 8)2 + (z + 2)2 = 26 ,S2 : (x+ 2)2 + (y + 4)2+(z − 6)2 = 26 ;

c) A′′ (14

9 ,−349 ,−

329

);

d)

x′

= x+ 8

y′

= y − 6

z′

= z − 2

.

40. a) M (σ1) =

(0 11 0

),

M (σ2) =

(35

45

45 −3

5

),

M (σ1◦σ2) =

(45 −3

535

45

),

α = 36◦52′12′′ .41. a)

√11 ;

b) M(1, 3,−2) .42. a) 2

√2 ;

b) è la retta

x = 2 + 2λ

y = 2λ

z = 5 + 3λ

;

c) x±√

11y − 2z = 0 ;d) x2 + y2 + z2 ± 6x± 3y ± 6z = 0 .

43. . . . ..44. a) 51◦47′12′′ ;

b) x+ y + z = 0 .

45. a)√66 ;

b) 30◦ ;c) P1

(0, 0, 1 +

√2)

e P2

(0, 0, 1−

√2)

;

d)

x = λ

y = λ

z = 1−(√

2 + 1)λ

,(√

2− 1,√

2− 1, 0)

interno alla base della piramide;

e) S(0, 34 ,

14

).

46. a) M (0,−2, 2) , M ′ (2, 2,−2) ;b) tangenza in:

(43 ,

23 ,−

23

), ε : x+ 2y − 2z − 4 = 0 ;

Raffaele Santoro: Geometria

Page 17: Geom Estratto

162 Risposte agli esercizi proposti

c) 13 ,

23 ,

23 ;

d)

{x2 + (y + 2)2 =

(2√

3)2

z = 0;

e)

1 0 00 1 00 0 0

, t′

:

x = µ

y = −2 + 2µz = 0

;

f) 2x− y − 2 = 0 ;g) 90◦ .

47. b) 4x− y − 3z + 26 = 0 ;c) 15

13

√26 .

48. a)

x = µ

y = 1 + 2µ

z = −2 + 2µ

;

b) (x− 3)2 + (y − 7)2 + (z − 4)2 = 14 e(x− 5

3

)2+(y − 13

3

)2+(z − 4

3

)2= 14 ;

c)(x− 7

3

)2+(y − 17

3

)2+(z − 8

3

)2= 10 ;

d) D1 (7, 0, 3) e D2 (3, 0,−1) .

49. a) i)

x = 1− αy = 2 + α

z = 3 + α

, ii) (-1,0,1);

b) 35◦15′52′′;c) . . .

50. a) ii)(83 ,

43 ,

193

),√

24 ;b) 2 ;

c)

x = −2 + 2µ

y = 3 + µ

z = 7− 2µ

;

d) a = 0, b = 1 .

Raffaele Santoro: Geometria

Page 18: Geom Estratto

Indice analitico

anello, 18matrici, 18

angolo diedro, 63angolo fra due rette, 33

baseortonormata del piano, 30ortonormata nello spazio, 68

bipunti, 24dello spazio, 65equipollenti, 24

Chasles (relazione di), 29, 65classi di equivalenza, 24cofattore, 15Cramer (regola di), 10

determinante, 4diagonale principale, 2dimensione, 66dipendenza lineare, 28direzione, 61distanza, 86

di un punto da un piano, 86di un punto da una retta nello spa-

zio, 92fra due punti

nello spazio , 72fra due rette sghembe, 97

distanza fra due puntinel piano, 31

divisori dello zero, 19dominio d’integrità, 19

equipollenza (relazione di), 24

gruppo, 25

abeliano, 25

insieme quoziente, 24isometria, 40

diretta, 48inversa, 48

isometrie del piano, 40

matrice, 2aggiunta, 16diagonale, 2inversa, 13

2x2, 143x3, 15nxn, 15

isometria, 47nulla, 2prodotto per numero reale, 3quadrata, 2reale, 2regolare, 16singolare, 16trasformazione, 42trasposta, 2unitaria, 2

matrici, 3ortogonali, 48prodotto, 8

2x2, 8nxn, 8

sistemi lineari, 18somma, 3

minore, 15

omotetia, 50centro, 50

Raffaele Santoro: Geometria

Page 19: Geom Estratto

164 Indice analitico

piana, 50rapporto di, 50

operazione esterna, 4, 26, 29, 67operazione interna, 4, 24, 89

piani, 60coincidenti, 60di piani, 81incidenti, 60

angolo, 63paralleli, 60, 62

piano, 60affine, 29equazione cartesiana, 75

forma normale di Hesse, 88equazione segmentaria, 76equazione vettoriale, 74equazioni parametriche nello spazio,

74euclideo, 31, 41

proiezione ortogonale, 53su un piano, 64, 114su una retta, 53

proiezione parallela ad una retta su unpiano, 124

punti uniti, 40punto medio fra due punti

nel piano, 31nello spazio, 72

regola del parallelogramma, 25retta, 32

equazione cartesiana nel piano, 33equazione vettoriale, 32equazione vettoriale nello spazio, 80equazioni parametriche nel piano, 33equazioni parametriche nello spazio,

81vettore direttore, 33vettore normale, 33

rette, 61incidenti, 62ortogonali, 62parallele, 61

perpendicolari, 62sghembe, 62

distanza, 62riferimento affine

del piano, 31dello spazio, 66

rotazioneattorno ad una retta fissa, 121nel piano, 44

Sarrus (regola di), 6sfera, 102

equazione cartesiana, 102posizione relativa ad un piano, 104posizione relativa ad un’altra sfera,

108posizione relativa di una retta, 104

simmetria centralenel piano, 46nello spazio, 121

simmetria ortogonale, 40rispetto ad un piano, 116rispetto ad una retta nello spazio,

118sistemi lineari, 10somma vettoriale, 24spazio affine, 65spazio euclideo, 71spazio vettoriale, 4, 26

base, 28dimensione, 27

spazio vettoriale V_{3}, 65struttura di spazio vettoriale, 65

trasformazione, 40identica, 40involutoria, 49

trasformazione del piano in sé, 40Trasformazioni nello spazio, 113traslazione, 43

nel piano, 43nello spazio, 114

tre perpendicolari (teorema delle), 64

vettore, 4

Raffaele Santoro: Geometria

Page 20: Geom Estratto

Indice analitico 165

colonna, 28, 66, 68componenti numeriche, 27, 66componenti scalari, 27coseni direttori, 69direttore, 32modulo, 30, 68moltiplicazione per un numero rea-

le, 26norma, 30, 68, 72normale ad un piano, 77nullo, 24opposto, 24riga, 66, 68

vettoricollineari, 65coplanari, 67del piano, 24dello spazio, 65linearmente dipendenti, 27, 65linearmente indipendenti, 27, 65prodotto misto, 95prodotto scalare, 29prodotto scalare nello spazio, 67prodotto vettoriale, 89

Raffaele Santoro: Geometria

Page 21: Geom Estratto

Pagina bianca

Page 22: Geom Estratto

Pagina bianca

Page 23: Geom Estratto

Formulario per il piano

Base ortonormata(−→i ,−→j)

tale che−→i · −→i = 1,

−→i · −→j = 0 ,

−→j · −→j = 1

−→a = a1−→i + a2

−→j ,−→b = b1

−→i + b2

−→j(−→a = a1

−→i + a2

−→j ,−→b = b1

−→i + b2

−→j)⇒ −→a ·

−→b = a1b1 + a2b2

‖−→a ‖ =√a21 + a22

cos

(−̂→a ,−→b

)=

−→a ·−→b

‖−→a ‖∥∥∥−→b ∥∥∥ = a1b1+a2b2√

a21+a2

2

√b21+b22

Piano affine euclideo(O,−→i ,−→j)

P (x, y)⇔−−→OP = x

−→i + y

−→j ⇒ OP =

∥∥∥−−→OP∥∥∥ =√x2 + y2

(A (x1, y1) , B (x2, y2))⇒

−→AB = (x2 − x1)

−→i + (y2 − y1)

−→j

AB =∥∥∥−→AB∥∥∥ =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

I(

x1+x2

2,y1+y2

2

)I punto medio di [AB]

x−x1x2−x1

= y−y1y2−y1

equazione cartesiana di (AB)

Retta r (A,−→u ) con A (x1, y1) e −→u =

(u1

u2

):

P ∈ r ⇔−→AP = λ−→u (λ ∈ R){

x = x1 + λu1

y = y1 + λu2

equazioni parametriche

x−x1u1

= y−y1u2

equazione cartesiana

Equazione canonica della retta r: ax+ by + c = 0, dove −→u =

(−ba

)è il vettore direttore e −→n =

(ab

)è il suo vettore normale.

Distanza di P (x0, y0) dalla retta r: ax+ by + c = 0 d (P, r) = |ax0+by0+c|√a2+b2

Formulario per lo spazio

Base ortonormata(−→i ,−→j ,−→k)

tale che−→i ·−→i = 1,

−→i ·−→j = 0 ,

−→j ·−→j = 1,

−→i ·−→k = 0,

−→j ·−→k = 0 ,

−→k ·−→k = 1

−→a = a1−→i + a2

−→j + a3

−→k ,−→b = b1

−→i + b2

−→j + b3

−→k(−→a = a1

−→i + a2

−→j ,−→b + a3

−→k = b1

−→i + b2

−→j + b3

−→k)⇒−→a ·

−→b = a1b1 + a2b2 + a3b3 (prodotto scalare)

−→a ×−→b =

∣∣∣∣∣∣−→i−→j−→k

a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ (prodotto vettoriale)∥∥∥−→a ×−→b ∥∥∥ = ‖−→a ‖

∥∥∥−→b ∥∥∥ sin(−̂→a ,−→b )−→a = a1

−→i + a2

−→j + a3

−→k

−→b = b1

−→i + b2

−→j + b3

−→k

−→c = c1−→i + c2

−→j + c3

−→k

⇒ −→a ·(−→b ×−→c

)=

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ (prodotto misto)

‖−→a ‖ =√a21 + a22 + a23

cos

(−̂→a ,−→b

)=

−→a ·−→b

‖−→a ‖∥∥∥−→b ∥∥∥ = a1b1+a2b2+a3b3√

a21+a2

2+a23

√b21+b22+b23

Page 24: Geom Estratto

Spazio affine euclideo(O,−→i ,−→j ,−→k)

P (x, y, z)⇔−−→OP = x

−→i + y

−→j + z

−→k⇒ OP =

∥∥∥−−→OP∥∥∥ =√x2 + y2 + z2

(A (x1, y1, z1) , B (x2, y2, z2))⇒

−→AB = (x2 − x1)

−→i + (y2 − y1)

−→j + (z2 − z1)

−→k

AB =∥∥∥−→AB∥∥∥ =

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

I(

x1+x2

2,y1+y22

, z1+z22

)I punto medio di [AB]

x−x1x2−x1

= y−y1y2−y1

= z−z1z2−z1

equazioni cartesiane di (AB)

Retta r (A,−→u ) con A (x1, y1) e −→u =

u1

u2

u3

:

P ∈ r ⇔−→AP = λ−→u (λ ∈ R) equazione vettoriale

x = x1 + λu1

y = y1 + λu2

z = z1 + λu3

equazioni parametriche

x−x1u1

= y−y1u2

= z−z1u3

equazioni cartesiane

Equazione canonica del piano π: ax+ by + cz + d = 0, dove −→n =

abc

è il suo vettore normale.

Distanza di P (x0, y0, z0) dal piano π: ax+ by + cz + d = 0

d (P, π) = |ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2

Equazioni del piano passante per P (x0, y0, z0) e con vettori direttori −→u =

u1

u2

u3

e −→v =

v1v2v3

:

• cartesiana

∣∣∣∣∣∣x− x0 y − y0 z − z0u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = 0

• parametriche

x = x0 + λu1 + µv1

y = y0 + λu2 + µv2

z = z0 + λu3 + µv3

• vettoriale P ∈ π ⇔−→AP = λ−→u + µ−→v

• normale a (x− x0)+ b (y − y0)+ c (z − z0) = 0, dove−→n =

abc

= −→u ×−→v è un vettore normale

al piano

Distanza di P dalla retta r (A,−→u ) : d (P, r) =‖−→AP×−→u‖‖−→u‖

Distanza fra le rette r (A,−→u ) e s (B,−→v ) : d (r, s) =|−−→AB·(−→u×−→v )|‖−→u×−→v ‖ (se le rette sono coplanari la distanza è

nulla perchè il numeratore della formula è nullo)

Equazione della sfera di centro C (x0, y0,z0) e raggio R : (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2

Piano tangente alla sfera x2 + y2 + z2 = R2 nel suo punto (x0, y0, z0): x0x+ y0y + z0z = R2

Page 25: Geom Estratto

Raffaele Santoro, dopo la Laurea in Fisica conseguita presso l’Università di Torino, èstato titolare della cattedra di Matematica e Fisica presso il Liceo Scientifico LorenzoFazzini di Vieste e professore di Matematica, Fisica e Informatica presso la Scuola Eu-ropea di Lussemburgo.

e20.00