geomanalitica julio tomio

7/29/2019 GeomAnalitica Julio Tomio

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Material Bsico de Estudo

Vetores e lgebra Vetorial

Professor: Jlio Csar Tomio

Paisagem fractal com Mandelbrot

Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condies nas quais eles possam aprender.(Albert Einstein)

Acadmico(a): _________________________________________________

Turma: _____________________________ Segundo Semestre de 2010.

Instituto Superior Tupy

Sociedade Educacional de Santa Catarina SOCIESC


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Vetores e lgebra Vetorial Professor Jlio Csar Tomio

2

MENSAGEM PARA O(A) ACADMICO(A)

Com satisfao, apresento este material que tem como finalidade dar suporte ao curso de Geometria Analtica que seestende durante a primeira fase de seu curso superior, e, conseqentemente, auxiliar em futuras aplicaes nas disciplinassubseqentes que necessitaro dos conhecimentos e conceitos aqui trabalhados e desenvolvidos. A concepo deste,baseada na experincia de alguns anos de docncia, tambm objetiva otimizar o processo de estudo, principalmente noambiente de sala de aula.

Esta obra almeja mediar com excelncia o processo de ensino-aprendizagem de Vetores e de lgebra Vetorial. Para tanto,contribuies em forma de crtica, sugestes ou correes sero calorosamente recebidas. Ficarei imensamente agradecidocaso voc queira fazer parte do processo de aprimoramento deste material.

A realizao de um curso superior um fato muito importante em sua vida pessoal e profissional. Dedique-se! Faa tudo damelhor maneira que puder, pois desta forma voc estar justificando um dos maiores (e tambm um dos melhores)investimentos que voc j fez em voc mesmo.

Desejo que a sua vivncia no ambiente acadmico seja a melhor possvel, e que a passagem por esta nova etapa de suavida contribua para o seu engrandecimento profissional e pessoal (e tambm espiritual), possibilitando uma melhora

significativa na sua qualidade de vida e tambm na daqueles que convivem prximos de voc.

Muita garra, e sucesso!

Professor Jlio Csar Tomio.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS (Comentadas)

Este material foi produzido com base na bibliografia abaixo e tambm com contribuies minhas e de colegas professores.

Normalmente, as Referncias Bibliogrficas aparecem nas ltimas pginas de um livro. Apresento estas referncias aqui,objetivando sempre lembr-lo que a busca por outras fontes de informao um fator de grande importncia em qualquerestudo que se queira realizar.

WINTERLE, Paulo.Vetores e Geometria Analtica. So Paulo: Makron Books, 2000. Neste livro voc encontrar a grande maioria dos contedos desenvolvidos na disciplina com umalinguagem bastante objetiva e acessvel e tambm uma grande quantidade de exerccios (esse o nossolivro texto).

VENTURI, Jacir J.lgebra Vetorial e Geometria Analtica. 7. ed. Curitiba: Unificado, s.d. Neste livro voc encontrar a grande maioria dos contedos desenvolvidos na disciplina, porm com umalinguagem diferenciada do anterior. Este livro pode ser baixado na internet na ntegra. O endereo :www.geometriaanalitica.com.br.

Os livros abaixo, tanto quanto os anteriores, so timas fontes de consulta e tambm se encontram em nossa biblioteca.

ANTON, Howard; RORRES, Chris. lgebra Linear com aplicaes. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.STEINBRUCH, Alfredo. WINTERLE, Paulo. Geometria Analtica. 2. ed. So Paulo: Makron Books, 1987.ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Matemtica Avanada para Engenharia 2: lgebra linear e clculo vetorial. 3. ed.

Porto Alegre: Bookman, 2009.

No tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de ficar parado. (Provrbio chins)


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NDICE

GEOMETRIA ANALTICA

Sistemas de Coordenadas .................................................................................................................................... 04

Sistemas de Coordenadas Retangulares (ou Cartesianas) ................................................................................ 04

Sistemas de Coordenadas Unidimensional (1 ou E1) ........................................................................................ 05Eixo Real (ou eixo das abscissas) .............................................................................................................................. 06

Estudo do Ponto no 1 Distncia entre dois Pontos ................................................................................................. 06

Sistemas de Coordenadas Bidimensional ........................................................................................................... 07

Sistema Cartesiano Ortogonal O Plano 2 ou E2 ...................................................................................................... 07

Tpico Extra: Bissetrizes dos Quadrantes do 2......................................................................................................... 08

Sistemas de Coordenadas Tridimensional .......................................................................................................... 09

Sistema Cartesiano Ortogonal O Espao 3 ou E3 .................................................................................................... 09

VETORES E LGEBRA VETORIAL

Vetores ................................................................................................................................................................. 14Introduo .............................................................................................................................................................. 14Noes Bsicas ........................................................................................................................................................ 15Particularidade dos Vetores ...................................................................................................................................... 17Operaes com Vetores na Forma Geomtrica ........................................................................................................... 18

Vetores no 2 .......................................................................................................................................................... 22

Operaes com Vetores na Forma Algbrica (Analtica) no 2 ..................................................................................... 25

Vetores no 3 .......................................................................................................................................................... 29

Operaes com Vetores na Forma Algbrica (Analtica) no 3 ..................................................................................... 30

Paralelismo (ou Colinearidade) de Vetores ................................................................................................................. 33Clculo do Mdulo de um Vetor ................................................................................................................................ 35Vetor Unitrio .......................................................................................................................................................... 37Tpico Especial: Desigualdade Triangular .................................................................................................................. 38Versor de um Vetor .................................................................................................................................................. 40

Produto Escalar .................................................................................................................................................... 41Definio Algbrica do Produto Escalar ...................................................................................................................... 41Definio Geomtrica do Produto Escalar ................................................................................................................... 42ngulo entre dois vetores ......................................................................................................................................... 43

ngulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor .................................................................................................. 48Tpico Especial: Projeo de um Vetor sobre Outro .................................................................................................... 50

Produto Vetorial ................................................................................................................................................... 52Definio ................................................................................................................................................................. 52Outras Aplicaes do Produto Vetorial ....................................................................................................................... 54

Produto Misto ....................................................................................................................................................... 58Definio ................................................................................................................................................................. 58Interpretao Geomtrica do Produto Misto ............................................................................................................... 58Uma Aplicao do Produto Misto (na Mecnica Geral) ................................................................................................. 59

Estudo da Reta no Espao3.............................................................................................................................. 63

Apndice ............................................................................................................................................................... 66


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4

Referencial (origem)

x

A Geometria faz com que possamos adquirir o hbito de raciocinar,e esse hbito pode ser empregado, ento, na pesquisa da verdade

e ajudar-nos na vida! (Jacques Bernoulli)

SISTEMAS DE COORDENADAS

Um sistema de coordenadas pode ser considerado como um dispositivo organizado para posicionar e localizar com relativapreciso, pontos, objetos, partculas, pessoas, equipamentos, como um avio numa viagem intercontinental, por exemplo,entre outros.

Um simples mapa cartogrfico ou um sofisticado GPS (Sistema de Posicionamento Global) so exemplos, entre outros, deaplicaes de sistemas de coordenadas.

Nosso estudo estar concentrado no sistema de coordenadas cartesianas (retangulares) de duas e trs dimenses, por ser osistema mais difundido. Entretanto, em alguns casos, torna-se melhor a utilizao de outros modelos de sistema.

Podemos classificar os principais sistemas de coordenadas em:

Unidimensional:1

RRealRetaouEixo

Bidimensional:

Polar

RCartesianoouRetangular2

Tridimensional:

Esfrico

C ilndrico

RCartesianoouRetangular3

Matematicamente possvel se trabalhar com sistemas de coordenadas com mais de 3 dimenses, como por exemplo, o R4,onde poderamos considerar a 4 coordenada como sendo o tempo, entretanto sua representao grfica ficaria restrita asomente 3 dimenses. Desta forma, poderemos criar um espao Rn, onde as vrias coordenadas podem assumir outros

valores de interesse.

SISTEMAS DE COORDENADAS RETANGULARES (OU CARTESIANAS)

Como nosso estudo estar baseado principalmente no sistema de coordenadas retangulares, vamos considerar algumassituaes para melhor exemplificar a utilizao dos sistemas de coordenadas, quanto s dimenses necessrias para cadacaso. Vejamos a seguir:

1)Posio de um pisto no cilindro de um motor

O desenho abaixo representa de forma bastante simplificada, um pisto num cilindro de um motor de combusto interna.

Considere que seja de interesse a posio deste cilindro durante o funcionamento do motor.

Observe que o sistema trabalha com uma dimenso,ou seja, para determinarmos a posio exata dopisto, necessitamos de apenas uma coordenada,considerando um referencial dado.

Matematicamente, podemos escrever a posio P dopisto com a medida x P (x).

A medida x dita coordenada do ponto P, ou ainda,abscissa do ponto P.

Sistema de CoordenadasUnidimensional


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5

2) Posio de uma bola de sinuca numa mesa

O desenho abaixo apresenta uma viso superior de uma mesa de sinuca. Considere que seja de interesse a posio da bolabranca sobre a mesa (de maneira que esta esteja sempre em contato com a superfcie de jogo da mesa).

Observe que o sistema trabalha com duas dimenses, ou seja, para determinarmos a posio exata da bola, necessitamosde duas coordenadas, considerando um referencial dado.

Matematicamente podemos escrever a posio P da bola com as coordenadas x e y P (x , y).As medidas x e y so ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, x a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P.

3)Posio de uma bola de basquete numa quadra (em jogo)

Abaixo, temos um desenho que representa esquematicamente uma quadra de basquete. Considere que seja de interesse aposio da bola em qualquer momento do jogo.

Observe que o sistema trabalha com trs dimenses, ou seja, para determinarmos a posio exata da bola, necessitamosde trs coordenadas, considerando um referencial dado.

Matematicamente podemos escrever a posio P da bola com as coordenadas x, y e z P (x , y , z).As medidas x, y e z so ditas coordenadas do ponto P, ou ainda, x a abscissa do ponto P, y a ordenada doponto P e z a cota do ponto P.

SISTEMAS DE COORDENADAS UNIDIMENSIONAL (1 ou E1)Vamos fazer um breve estudo sobre este sistema de coordenadas, que na verdade dar origem aos outros que veremos em

seguida (2 e 3, sendo este ltimo o nosso campo de maior interesse).

Nas rodovias podemos observar no acostamento pequenas placas chamadas de marcos quilomtricos. Elas determinam asua posio na rodovia a partir de um referencial (origem), o quilmetro zero, que numa rodovia federal, localiza -se nadivisa de um estado com o outro. Apesar da rodovia no ser uma linha reta, podemos dizer que os marcos quilomtricoscorrespondem a um sistema de coordenadas unidimensional, pois com uma nica informao quilomtrica poderemosdeterminar a posio de um veculo com problemas mecnicos, por exemplo. Matematicamente, teremos:


y

x

z


y

x

Sistema de CoordenadasBidimensional

Sistema de CoordenadasTridimensional


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6

dAB = | xB xA |

Eixo Real (ou eixo das abscissas)

origemA B C D E F G

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x

2

1 ucObs.: uc unidade de comprimento

Temos que a abscissa (ou coordenada) do pontoA 4. Podemos escrever ento: A 4 .

Da, temos que: B

5

17, C 2 , D

3

8, E 4 , F 5 e G 7 .

Estudo do Ponto no 1Distncia entre dois Pontos:

No caso do 1, torna-se simples determinarmos a distncia entre dois pontos. Veremos intuitivamente atravs de algumasperguntas...

a) Qual a distncia entre os pontos F e E? Resposta: 1 uc

b) Qual a distncia entre E e G? Resposta: 3 uc

c) Qual a distncia entre A e F? Resposta: 9 uc, que podemos escrever d(A,F) = 9 uc

d) Qual a distncia entre B e D?

Antes de responder esta pergunta, faremos uma generalizao matemtica. Veja:

Logo:

Distncia entre dois pontos na reta 1,ou comprimento do segmento de reta AB.

Obs.: Note que dAB = dBA.

Veja:

dPQ = | xP xQ | ou dQP = | xQ xP |

dPQ = | 6 7 | dQP = | 7 ( 6) | = | 7 + 6 |

dPQ = | 13 | dQP = | 13 |

dPQ = 13 uc dQP = 13 uc

Observe que a distncia entre dois pontos quaisquer sempre um valor absoluto, ou seja, positivo.Agora, podemos retornar a pergunta d, que ficou em aberto, e respond-la:

d) Qual a distncia entre B e D?

x

xA xB

A B

dAB

x

6

P Q

0 7

5

17

2

1

3

8 14159265,3


7/68


7

Ento temos:

BDBD xxd 15

91BDd

3

8

5

17BDd

15

91BDd

15

4051

BDd ucdBD 07,6

Observaes: Segmento de reta AB: AB

Semi-reta (partindo de A)

r Retar(elemento infinito)

Reta que passa por M e N: MN

Para refletir: Verdadeiramente, o que mais prazer me proporciona, no o saber mas o estudar; no a posse mas a conquista; no oestar aqui mas o chegar alm. (Carl Friedrich Gauss)

SISTEMAS DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL

Sistema Cartesiano Ortogonal O Plano 2 ou E2O Sistema Cartesiano Ortogonal, tambm conhecido como Plano Cartesiano formado por dois eixos reais, perpendiculares(ortogonais) entre si, gerando quatro regies denominadas quadrantes. O eixo x tambm dito eixo das abscissas e oeixo ytambm dito eixo das ordenadas.

A interseco dos eixos coordenados determina um ponto nico, denominado origem (0 , 0). Cada ponto neste plano determinado por um par (ou dupla) ordenado(a) na forma (x , y), sendo que x e y formam as coordenadas de umponto.

Faamos ento a marcao dos pontos:

A(7, 5)

B(7, 5)

C(3,5)

D(6,2)

E(8, 0)

F(5, 0)

G(0, 8)

H(0,3)

O(0, 0) origem do sistema

Observaes:

Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas ter ordenada nula, ou seja, ser da forma: (x , 0). Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas ter abscissa nula, ou seja, ser da forma: (0 , y).

A B

A

y

x

1 Q.2 Q.

3 Q. 4 Q.

origem

1 2 3 4 5 6 7 8 9

M N


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8

Tpico Extra: Bissetrizes dos Quadrantes do2Veja os casos:

A(4, 4) C(3, 3)

B(3,3) D(4, 4)

Genericamente Genericamente(p , p) (p , p) ou (p , p)

Os pontos (x, y) do plano, onde x = y, ou seja, de coordenadas iguais, definem uma reta denominada bissetriz dosquadrantes mpares (1 e 3 quadrantes b1,3), cuja equao evidentemente y = x.

J os pontos (x, y) do plano, onde x = y (ouy = x), ou seja, de coordenadas opostas, definem uma reta denominadabissetriz dos quadrantes pares (2 e 4 quadrantes b2,4), cuja equao evidentemente y = x.

EXERCCIOS Sistema Cartesiano Ortogonal

1) Observando a pea plana ao

lado, determine as coordenadas

dos pontosA, B, C, D,..., M e N,

considerando:

a) a origem no pontoA;

b) a origem no centro da

pea ( ).

2)Calcule o valor de m de modo que o ponto Q(m2 + 5, 6m) pertena bissetriz do 2 e 4 quadrante.

RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS

1) Veja tabela abaixo: 2) m =1 ou m = 5

A B C D E F G H I J L M Na (0,0) (0,20) (20,40) (20,55) (40,80) (80,80) (80,60) (120,60) (120,20) (100,0) (60,0) (60,10) (25,0)b (-60,-40) (-60,-20) (-40,0) (-40,15) (-20,40) (20,40) (20,20) (60,20) (60,-20) (40,-40) (0,-40) (0,-30) (-35,-40)

2020 40

25 35 40

120

20

20

25

15

20

2

0

40

1

0

A

B

C

D

E F

G H

I

JL

M

N

y

x

b1,3

4

3

3

4

45

A

B

y

x

b2,4

1353

3 4

4

C

D


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9

O

x

y

z

x y

z

1

24

3

SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONAL

Sistema Cartesiano Ortogonal O Espao 3 ou E3

Consideramos como sendo o espao cartesiano 3 (ou E3), o conjunto dado por trs eixos reais perpendiculares dois a dois,denotados por x , y e z, que se interceptam em uma origem (ponto O), com orientao conforme abaixo:

z (eixo da cotas)

O

y (eixo das ordenadas)

x (eixo das abscissas)

5

Os trs planos do 3

: yOz, xOy e xOz, geram oitos regies (sub-espaos) chamadas de octantes (ou oitantes) que podemser observados na figura acima e a direita (os nmeros identificam cada octante).

Os valores reais contidos nos trs eixos esto ordenados de forma crescente conforme indicao das setas dos respectivoseixos. No espao tridimensional, a cada terna ou tripla ordenada de nmeros reais (x, y, z), associamos um nico ponto;assim:

zPP (xP , yP , zP)

yP

xP

Observao: Origem O (0 , 0 , 0)

Mquinas operatrizes, sistemas automatizados esistemas de robtica utilizam, na sua grandemaioria, um sistema de 3 eixos cartesianos, como

no exemplo da fresadora ao lado:

Por questes tcnicas, as posies dos eixoscoordenados podem diferir das usadas no estudocientfico (na geometria analtica e outras reas deaplicabilidade da matemtica).

A figura apresenta oseixos de deslocamentodeuma fresadora.

Para refletir: A receita para a ignorncia perptua permanecer satisfeito com suas opinies e contente com seus conhecimentos.(Elbert Hubbard)

...


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10

Para melhor exemplificao, tomemos o paraleleppedo da figura abaixo, onde temos P(2 , 4 , 3).

Com base na figura ao lado, e levando em considerao que umponto qualquer (x , y , z) est no:

eixo xquando y = 0 e z = 0, tem-se A(2 , 0 , 0);eixo y quando x = 0 e z = 0, tem-se C(0 , 4 , 0);eixo z quando x = 0 e y = 0, tem-se E(0 , 0 , 3);

plano xy quando z = 0, tem-se B(2 , 4 , 0);plano xz quando y = 0, tem-se F(2 , 0 , 3); plano yz quando x = 0, tem-se D(0 , 4 , 3).

Assim, a figura direita destaca os 3 planos do sistema3.

Ao lado (esquerdo) podemos observar uma representao usual dedois pontos (e suas coordenadas) para um sistema cartesiano de umamquina operatriz com CNC (comando numrico computadorizado).Vale observar que, neste caso, temos os eixos x, y e z em posiesdiferentes daquelas que faro parte de nosso estudo. Este fato nointerfere no entendimento da posio dos pontos, pois mesmo assim,a marcao e identificao dos pontos so processos anlogos aosque estudamos aqui.

Para marcar um ponto no espao, como por exemplo, oponto A(3 ,2 , 4), sugerimos o seguinte procedimento:

1) marca-se o ponto A(3 , 2 , 0) no plano xy; 2) desloca-se A paralelamente ao eixo z, 4 unidades paracima (se fosse 4, seriam 4 unidades para baixo) para se obterento o ponto A desejado.

A figura ao lado ilustra este procedimento.

EXEMPLOS:

1) Considerando os pontos P(0,3,2) e Q(4, 3, 7), localize-os no sistema

de coordenadas cartesianas 3 e faa a representao do segmento PQ .

Assim sendo, temos a representao ao lado:

(desenho fora da escala)

E D

P

F

A B

CO

42

3

y

z

x

x

y

z

P

Q

4

3

7

3

2


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11

2) Construa dois sistemas de coordenadas 3 e localize os pontos A(2, 4,3) e B(3, 5, 4) separadamente, determinandoem qual octante se encontra cada ponto.

EXERCCIOS1) Observando a figura ao lado, determine ascoordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e P.

A( , , )

B( , , ) E( , , )

C( , , ) F( , , )

D( , , ) P( , , )

2) Represente cada um dos pontos dados a seguir em seu respectivo sistema 3 e compare suas representaes com as dosseus colegas de classe, discutindo cada caso, se necessrio.

a) A(1, 5, 4) b) B(1,5, 4) c) C(2, 0,5) d) D(2, 4, 1) e) E(2,3,1) f) F(1,4,3)

3) No referencial da figura ao lado est representada uma pirmide debase quadrangular regular em que B(6, 0, 0) e V(3, 0, 8). Determine:

a) as coordenadas do ponto A e do ponto C.b) a altura da pirmide.

Observao: Medidas em metros.

4) Seja a pirmide de base OABC e P o seu vrtice superior. Dados O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 0) e P(1, 1, 9),faa a representao geomtrica da pirmide e especifique o formato da base da pirmide e tambm sua altura.

Para refletir: uma pena que mesmo a mentira tendo perna curta, a verdade muitas vezes s consiga rastejar. (Mr. Pi)

C D

PB

A F

EO

73

5

y

z

x


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12

x

y

z

A

B

C

DE

F

G

HI

J

5) Na figura a seguir, dois vrtices de um paraleleppedo retangular com as faces paralelas ao planos coordenados estoindicados. Determine as coordenadas dos seis vrtices restantes.

6) Observando a pea a seguir, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado.

7) Observando a pea abaixo, determine as coordenadas cartesianas de cada ponto indicado.

x

y

z

A

B

C

E

F

G

H

I

D


13/68


13

A

C

GF

D

B

H

x

z

y

E

1

2

3

1

2

3

8) Observando a pea ao lado, determine ascoordenadas cartesianas de cada ponto indicado.

9) A figura abaixo apresenta um paraleleppedo retngulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2, 1 e 3.

Escrevas as coordenadas dos vrtices deste slido, sabendo que )2,1,2( A . Note que o ponto A est no 4 octante.

10) A figura abaixo apresenta um paraleleppedo retngulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 1, 2 e

3. Escrevas as coordenadas dos vrtices deste slido, sabendo que 2)1,3,A ( . Observe atentamente que o pontoA se

encontra no 6 octante.

x

y

z

A

C

G

F

E

DB

H

I

x


14/68


14

11) Representando os pontos A(10,2,2), B(2, 0, 4) e C(4,2, 4) num 3 e ligando-os, temos o tringulo ABC.Faa a representao grfica e diga se possvel determinar o tipo de tringulo em questo, quanto aos seus ladose quanto aos seus ngulos?


1) A(3, 0, 0), B(3, 0, 5), C(0, 0, 5), D(0, 7, 5), E(0, 7, 0), F(3, 7, 0) e P(3, 7, 5) 2) Veja com seus colegas de classe!

3a) A(3,3, 0) e C(3, 3, 0) 3b) 8 m 4) A base da pirmide quadrada tendo lado com 2 uc e altura igual a 9 uc.

5)Vrtices Superiores: (3, 3, 7), (3, 6, 7) e (1, 3, 7) Vrtices Inferiores: (3, 6, 4), (1, 6, 4) e (1, 3, 4)

6)A(40, 0, 0), B(40, 25, 0), C(0, 25, 0), D(0, 25, 25), E(10, 25, 25), F(0, 0, 25), G(30, 0, 25), H(40, 0, 25), I(30, 10, 25) e J(40, 25, 10)

7) A(0, 0, 30), B(20, 0, 15), C(50, 0, 10), D(50, 0, 0), E(50,20, 0), F(50,20, 20), G(50,20, 30), H(20,20, 30) e I(0,20, 30)

8) A(0, 30, 0), B(0, 30, 10), C(5, 30, 10), D(25, 30, 0), E(30, 30, 10), F(30, 10, 10), G(0, 10, 10), H(15, 10, 25) e I(15, 0, 40)

9) B(2,3, 2), C(3,3, 2), D(3,1, 2), E(3,1, 5), F(2,1, 5), G(2,3, 5) e H(3,3, 5)

10) B(3, 2,2), C(5, 2,2), D(5, 1,2), E(5, 1,5), F(3, 1,5), G(3, 2,5) e H(5, 2,5)

11) Neste caso, graficamente no possvel (ou torna-se muito difcil) determinar com segurana o tipo de

tringulo (em relao aos lados e aos ngulos), pois a perspectiva aqui utilizada no permite tal verificao e mesmo

utilizando uma escala conveniente, algumas medidas no aparecem na sua verdadeira grandeza. Entretanto,

algebricamente (ou analiticamente) possvel determinarmos com preciso absoluta o tipo de tringulo. As medidas dos

lados do tringulo podem ser calculadas atravs da frmula da distncia entre dois pontos A e B no espao dada

por:222 )()()( ABABABAB zzyyxxd e atravs destas medidas conhecidas, utilizando-se do Teorema

de Pitgoras, podemos classificar o tringulo quanto aos seus ngulos. Assim sendo, veremos que o tringulo ABC

EQILTERO, pois ucCABCAB 2672 e desta forma tambm ACUTNGULO, pois tem os seus ngulos

internos iguais a 60 . Em breve, poderemos calcular com preciso cada um dos 3 ngulos internos de um tringulo

qualquer atravs da aplicao do conceito deproduto escalar.

VETORES Introduo

Antes de tratarmos propriamente de vetores, precisamos identificar aquilo que chamamos de grandezas fsicas. Namatemtica e em outras cincias ditas exatas, s podemos equacionar e quantificar situaes que envolvem grandezasfsicas, ou seja, aquelas que, no mnimo, podem ser associadas a uma escala de medida conhecida, como a distncia entre asua casa e a padaria mais prxima, por exemplo. Essa distncia pode ser dada em metros, quilmetros, ou ainda, em umaoutra escala que possa ser conveniente.

As grandezas fsicas podem ser divididas em escalares ou vetoriais. Veja o esquema abaixo:

Sentido-

Direo-

unidade)(nmeroMdulo-

Vetoriais

unidade)(nmeroMduloEscalares

FsicasGrandezas

Exemplos de grandezas fsicas escalares:Distncia, tempo, massa, temperatura.

Exemplos de grandezas fsicas vetoriais:

Velocidade, acelerao, fora, torque (momento), campo magntico.

Com o crescimento da tecnologia e da rea industrial, tornou-se crescente tambm a necessidade de equacionar situaesque envolvessem grandezas vetoriais. Nesse momento, a sistematizao da teoria vetorial ganha impulso, possibilitandoestudar mais profundamente fenmenos ligados a tais situaes.


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15

VETORES Noes Bsicas

Conceito:

O vetor pode ser definido de vrias maneiras:

um ente matemtico utilizado para representar grandezas fsicas vetoriais.

uma tripla constituda de uma direo, um sentido e um nmero no negativo (mdulo).

o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direo, de mesmo sentido e de mesmo comprimento.

Etimologia da Palavra Vetor:

O termo vetor pode ser oriundo do verbo latino vehere [transportar, levar]. Assim, vetor seria o particpio passado devehere, significando transportado, levado. Os romanos chamavam de vector aquele que carregava alguma coisa. Implicava oportador de uma mensagem, por exemplo. Pois: veho [levar] + or [aquele que faz]. Da tambm a palavra vehiculum(veculo). No caso especfico de Matemtica, podemos dizer que um vector um transportador de trs informaes de umagrandeza vetorial: direo, sentido e magnitude, ou ainda, que um ponto A transportado (pelo vetor) at um ponto B.

Apesar de esses significados aparentarem um pouco abstratos para o momento, veremos a seguir que, na verdade, fazembastante sentido.

Representaes e Notaes:

Algumas convenes so importantes para que possamos desfrutar ao mximo da utilizao da linguagem vetorial.Vejamos algumas notaes e representaes usuais.

Um vetor normalmente representadopor uma letra minscula juntamente comuma flechinha sobre ela, mas tambm

podemos representar um vetor pelos doispontos que o definem.

Ento, no caso ao lado: ABv

Podemos considerar ainda que:

BvA

ABv

Resumindo, temos:

ABABv

Esquentando o Processador!

1) Tente ligar os nove pontos (quadradinhos) da figura ao lado com apenas quatrosegmentos de reta unidos (consecutivos), passando em cada ponto exatamenteuma vez, de modo que nenhum segmento de reta seja traado duas vezes!

2) Qual o valor do nmerox na seqncia: { 2 , 10 , 12 , 16 , 17 , 18 , 19 ,x } ?

Para refletir: A vida um eco. Se voc no est gostando do que est recebendo, observe o que est emitindo. (Lair Ribeiro)

A

B

y

x

extremidade do vetor

origem do vetor

v

|| v

mdulo do vetor(depende de escala)

0


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16

Detalhando, temos:

Mdulo (intensidade, norma ou comprimento):Determina a magnitude da grandeza que esta sendo representada pelo vetor, ou seja, um nmero real no negativoacompanhado de sua unidade. Geometricamente, o mdulo o comprimento do vetor (segundo uma escala adequada dedesenho).

Mdulo do vetor v

: |AB||AB||v|

Direo: a reta suporte de atuao do vetor. A direo pode ser vertical, horizontal ou oblqua. Quando a direo oblqua,normalmente est associada a um ngulo de referncia.

Sentido:Para cada direo sempre teremos 2 sentidos. Por exemplo, se a direo for vertical, o sentido poder ser para cima oupara baixo.

Exemplos:

cimapara:sentido

vertical:direo

N150|f|:mdulo

:f

baixopara:sentido

horizontalacom160:direo s/cm26|v|:mdulo:v

Vetor Livre:

Considere que os vetores v

, v

, v

e v

apresentados abaixo, tenham mesmo mdulo, mesma direo e sentido. Assim

sendo, devemos considerar que v

= v

= v

= v

. Isso faz com que um vetor seja qualificado como livre, pois pode ser

transladado de uma posio para outra mantendo suas caractersticas de mdulo, direo e sentido.

v

o vetor posio.

Os vetores v

, v

e v

so denominados imagens geomtricas de v

e esse vetor v

dito, representante natural

de v

, v

e v

. O vetor que for representado com sua origem coincidente com a origem de um sistema de coordenadas

chamado vetor posio, no caso acima, o vetor v

.

A

B

v

|| v

mdulo do vetor(depende de escala)

f

v

160

y

x0

v

v

v

v


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Particularidades dos Vetores:

Vetores Iguais:

Dois vetores u

e w

so iguais, e indica-se por wu

, se tiverem iguais todas as suas trs caractersticas: mdulo,

direo e sentido. Caso contrrio, escrevemos: wu

. Uma ilustrao sobre a igualdade de vetores j foi apresentada

anteriormente.

Vetores Paralelos:

Dois vetores u

e w

so paralelos, e indica-se por wu

// , se os seus representantes tiverem a mesma direo. Na figura

abaixo temos vwu

//// .

Observe que u

e w

tm mesmo sentido eque u

e w

tm sentido contrrio ao de v

. u

w

v

A direo dos vetores dados ao lado vertical.

Vetores Ortogonais:

Dois vetores u

e w

so ortogonais, e indica-se por wu

, se algum representante de u

formar ngulo reto (90) comalgum representante de w

, como na figura [a] abaixo.

u

Na figura [b] ao lado, temos dois representantesdos vetores u

e w

, com origem (em comum)no ponto O, onde se forma o ngulo reto. w

w

Podemos utilizar, em alguns casos especficos, O u perpendicular como sinnimo de ortogonal.

[a] [b]

Vetor Nulo (ou Zero):Qualquer ponto do espao pode ser um representante do vetor NULO ou vetor ZERO, e indica-se por 0

ou tambm por AA(a origem do vetor coincide com a extremidade, ambas, neste caso, no ponto A).

Desta forma temos:

definidono:sentido

definidano:direo

0|0|:mdulo

:0

Pelo fato do vetor nulo no possuir direo e sentido definidos; em algumas situaes torna-se conveniente considerar ovetor nulo paralelo (ou perpendicular) a qualquer vetor.

Vetor Oposto:

A cada vetor 0

v corresponde um vetor oposto v

, de mesmo mdulo e direo, porm, de sentido contrrio.

B

v

v

A

Se o vetor oposto de v

o vetor v

, ento o vetor oposto de AB o vetor AB , que pode ser escrito BA .

Algebricamente temos: ABABABBABA )()(

importante observar que: |||| vv , porm vv . Destacamos ainda que: 0)( vv .

Para refletir: Existem vitrias da alma e do esprito. s vezes, mesmo quando voc perde, voc ganha. (Elie Wisel)


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EXERCCIOS Vetores Noes Bsicas

1) Considerando o losango EFGH inscrito no retngulo ABCD, e sendo O ponto de interseo das diagonais deste losango,decida se verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes abaixo:

D H C

E G

A F B

2) A figura abaixo representa um paraleleppedo retngulo. Decida se cada uma das afirmaes verdadeira ou falsa.

a) BFDH f) |||| HFAC

b) GEAC g) |||| DFAG

c) CGAB h) GHAB //

d) BCAF i) DFDG

e) EDBG // j) )()( HDDB


1a)V 1b) F 1c)V 1d)V 1e) F 1f) F 1g)V 1h)V 1i)V 1j) F 1k)V 1l)V 1m)V 1n) F 1o)V

2a)V 2b) V 2c)V 2d)V 2e) F 2f)V 2g)V 2h)V 2i) F 2j) V

OPERAES COM VETORES NA FORMA GEOMTRICA

Multiplicao de um Vetor por um Escalar

Dado um vetor 0

v e um nmero real (escalar) 0n , chama-se produto do nmero real n pelo vetor v

, o novo vetorvn. , tal que:

vdecontrriosentidotemvn0nse

vdesentidomesmootemvn0nse:sentido

vdemesmaa:direo

|v|.|n||vn|:mdulo

vn

Abaixo, segue um vetor v

com alguns de seus mltiplos escalares:

v

v

1 v

2 v

2 v

5 v

3

v

2

1

Nota: Observe que qualquer um dos mltiplos escalares de v

possui a mesma direo de v

. Logo, todos os vetores doexemplo acima so paralelos. Assim, podemos escrever que, se dois vetores (no nulos) u

e v

so paralelos, ento existeum nmero real 0n , tal que vnu

.

a) OGEO f) COEH k) OC//AO

b) CHAF g) |BD||AC| l) OHAB

c) HGDO h) |DB|21

|OA| m) CBEO

d) |BO||OC| i) CD//AF n) HFAO

e) |DH||OH| j) HG//GF o) FEOB

O

G

F

A B

CD

E

H


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Adio (e Subtrao) de Vetores

CASO 1: Vetores com mesma direo (paralelos ou colineares):

O processo de adio de dois ou mais vetores paralelos bastante intuitivo. Veja os exemplos a seguir.

0ffR 21

N0|R|

N100|f| 1

e N100|f| 2

NOTA: Quando adicionamos dois ou mais vetores, temos como resultado um novo vetor denominado vetor soma ouvetor resultante; sendo este ltimo termo o mais comum.

1f

2f

1f

21 ffR

N220|R|

21 ff

R

N120|f| 1

e N100|f| 2

2f

1f

2f

21 ffR

N70|R|

1f

N50|f| 1

e N120|f| 2

21 ff

R

CASO 2: Vetores com direes diferentes (no paralelos):

Abordaremos de forma sucinta dois mtodos para adio de vetores no paralelos (no colineares). Veja a seguir:

Mtodo do Paralelogramo

Para adicionarmos dois vetores pelo mtodo do paralelogramo, inicialmente esses vetores devem ter uma origem comum[situao I]. Traam-se linhas auxiliares paralelas a esses vetores em cada uma das suas extremidades [situao II],formando um paralelogramo. O vetor resultante (vetor soma) ter sua origem comum aos vetores somados e suaextremidade ser a interseco das linhas auxiliares [situao III]. Note que o vetor resultante est sobre a diagonal doparalelogramo.

I II III

1f

1f

1f

R

2f

2f

2f

Podemos dizer, de maneira informal, que o vetor resultante faz o mesmo papel, ou que tem a mesma funo, ou ainda queexecuta o mesmo trabalho dos vetores que o resultaram.

1f

21 ff

R

2f

2f

1f

2f


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20

Observao: o clculo do mdulo do vetor resultante para o mtodo do paralelogramo pode ser feito atravs da frmula:

cos.|f|.|f|2.|f|f||R| 212

22

1

| (sendo o ngulo entre os vetores 1f

e 2f

)

A relao acima muito comum no estudo da Fsica. Trata-se de uma adaptao da lei dos cossenos (aplicada em tringulosquaisquer). Entretanto essa frmula apresenta grande limitao em situaes tridimensionais, que o foco de nossosestudos futuros. Veremos mtodos analticos mais eficazes para o clculo do mdulo de um vetor resultante e tambm dasua direo, em estudos posteriores.

Mtodo do Polgono (Linha Poligonal)

Para adicionarmos dois vetores pelo mtodo do polgono [situao I], translada-se um dos vetores (mantendo obviamentesuas caractersticas de mdulo, direo e sentido), colocando sua origem na extremidade do outro vetor [situao II],formando um caminho. O vetor resultante (vetor soma) ter sua origem comum ao primeiro vetor e sua extremidadecomum extremidade do ltimo vetor [situao III]. Note que o vetor resultante fecha um polgon o com os vetoressomados.

I II III

2f

2f

1f

1f

1f

21 ff

R 2f

Para somarmos mais que dois vetores (trs, no caso a seguir), o processo anlogo ao descrito acima.

I II III

1f

1f

1f

2f

3f

3f

3f

321 fff

R

Qualquer seqncia escolhida para a soma dos vetores resultar no mesmo vetor resultante. Veja:

I II III

1f

2f

2f

2f

R

3f

3f

1f

3f

1f

No caso abaixo, o vetor resultante NULO. Observe que organizando os vetores na sequencia extremidade-origem, alinha poligonal se fecha no deixando espao para o vetor resultante.

1f

2f

2f

3f

3f

4f

0ffff 4321

R

4f

1f

Comentrio: O mtodo do paralelogramo adiciona apenas dois vetores em cada operao, entretanto o mtodo do polgonopode adicionar uma quantidade finita qualquer de vetores numa nica operao, tornando-se assim um processo mais verstil.

2f

2f


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21

A Subtrao de Vetores: Um Caso Particular da Adio

A expresso 21 ff

R pode ser escrita como )ff 21

(R .

Portanto, para subtrair 2f

de 1f

devemos ADICIONAR 1f

com 2f

, sendo este ltimo, o vetor oposto de 2f

.

Veja o exemplo abaixo:

I II III

R

1f

1f

1f

com 21 ff

R

2f

2f

2f

21 ff

21 ff

Agora, veja no esquema ao lado, o vetor resultante

da soma e da subtrao dos mesmos dois vetores. 1f

2f

NOTA: Quando subtramos dois vetores, temos como resultado um novo vetor denominado vetor diferena ou mesmovetor resultante; sendo este ltimo termo o mais comum.

EXERCCIOS Operaes com Vetores na Forma Geomtrica

1) Com base na figura ao lado, determine os vetores resultantes D H Cpara cada caso, expressando-os com origem no ponto A.

OE G

a) CHOC d) EFEH A F B

b) FGEH e) BGEO g) EHBC2

1 i) HOOG

c) AFAE .2.2 f) OCOE .2.2 h) FGFE j) AOFOAF

2) Nos cubos abaixo, represente a soma dos vetores indicados:

a) b)

3) No hexgono regular ao lado, obter o vetor resultante de:

a) (B A) + (E F) + (F A) expressando-o com origem no ponto A

b) (D A) (E A) + (E B) expressando-o com origem no ponto B

c) (C D) + (F B) (A B) expressando-o com origem no ponto F

d) (C A) (C E) + (B C) expressando-o com origem no ponto C

A

F

B C

E

D

A B

CD

E F

H G

A B

CD

E F

H G


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22

C

A B

M N

4) Decida se verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes abaixo.

a) Os vetores v

3 e v

4 so paralelos e de mesmo sentido.

b) Se vu

// , ento |||| vu

.

c) Se vu

// , 2|| u

e 6|| v

, ento uv

3 ou uv

3 .

d) Se |||| vu

ento vu

.

5) Dois vetores tm mdulo 10 e 14. Qual o mdulo mximo possvel do vetor soma desses vetores? E o mnimo possvel?

6) Demonstre algebricamente que o segmento cujos extremos so os pontos mdios de dois lados de um tringuloqualquer paralelo ao terceiro lado e igual a sua metade.

Sugesto: Devemos demonstrar que: ABMN2

1


1a) AE 1b) AC 1c) AC 1d) AB 1e) AO 1f) AD 1g) AH 1h) AD 1i) AO 1j) AC

2a) AG 2b) AE 3a) AD 3b)BD 3c) FF 3d)CD 4a) F 4b) F 4c) V 4d) F

5) Mdulo Mximo: 24 [Vetores com mesma direo e sentido] Mdulo Mnimo: 4 [Vetores com mesma direo e sentidos contrrios]

VETORES NO 2

Considere os pontos O(0 , 0), P(4 , 3), A(5 , 5), B(9 , 8), C( 4, 6) e D(0, 3) no Sistema Cartesiano Ortogonal. Destaforma, podemos considerar tambm os vetores: OPv

, ABw

e CDu

. Representando-os no plano, temos:

Lembre-se que um vetor tem infinitos representantes, sendo estes de mesmo mdulo, direo e sentido. Ento podemos

afirmar que uwv ou que CDABOP . Dentre estes vetores, o que melhor caracteriza-os o vetor OPv .

O vetor v

tambm chamado de vetor posio ou representante natural dos vetores AB ou CD , pois aquele que

tem sua origem coincidindo com a origem do sistema cartesiano ortogonal.

C

x

y

4

3

6

4 5 9

3

O

8

P

A

B

D

5

v

w

u


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23

Tomando um vetor qualquer definido por dois pontos A e B , podemos escrever:

),(),( AABB yxyxABAB . Da tem-se que: ),( ABAB yyxxAB .

Ento, considerando os vetores mencionados anteriormente, podemos fazer:

OPv

ABw

CDu

OPv

ABw

CDu

)0,0()3,4( v

)5,5()8,9( w

)6,4()3,0( u

)03,04( v

)58,59( w

)63,40( u

)3,4(v

)3,4(w

)3,4(u

Pode-se observar que as igualdades uwv

e CDABOP vistas anteriormente, confirmam-se algebricamente.Formalizando, podemos dizer que dados dois vetores )y,x(m 11

e )y,x(n 22

, eles sero iguais [ nm

] se, e

somente se, 21 xx e 21 yy (Igualdade de vetores). Isto dar garantia de que estes vetores tero mesmo mdulo,

direo e sentido.

A forma )y,x(v

dita expresso analtica do vetor v

e determina que o vetor no plano um par ordenado de

nmeros reais com sua extremidade no ponto )y,x( e sua origem coincidindo com a origem )0,0( do SistemaCartesiano Ortogonal . Tambm se utiliza em alguns casos, a seguinte notao para um vetor: y,xv

.

Versores de um Sistema de Coordenadas:

Ainda se tratando do Sistema Cartesiano Ortogonal, convencionou-se que

i

e j

, nesta ordem, so os versores dos eixos cartesianos x e y,tendo estes versores, origem no ponto )0,0(O .

Desta forma temos: )0,1(i

e )1,0(j

sendo que 1|j||i|

.

Estes vetores i

e j

formam o que chamamos de base do plano, esta em especial dita Base Cannica. Isto quer dizer

que podemos escrever qualquer vetor no plano, de forma nica, atravs da combinao linear dos versores i

e j

.

Observao: Qualquer conjunto ordenado de dois vetores no paralelos constitui uma base no plano. Na prtica, as basesmais utilizadas so as ortonormais (que so bases formadas por vetores unitrios perpendiculares entre si).

Escrevendo um vetor utilizando uma combinao linear:

Multiplicando i

por 4 e j

por 3, teremos os vetores i4

e j3

,que esto representados no plano ao lado.

Observe que, se adicionarmos (mtodo do paralelogramo) os

vetores i4

e j3

, teremos como resultante o vetor v

, e por isso,

podemos escrever o vetor v

como combinao linear dos

vetores i

e j

. Ento escrevemos: j3i4v

, ou ainda,

)3,4(v

como vimos anteriormente.

Generalizando, teremos: jy .ix.y ),(xv

Acima temos: j3i4)3,4(v


Uma lesma comea a subir num poste de 10m de altura. De dia ela sobe 2m e noite desce 1m.Em quantos dias a lesma atingir o topo do poste?

y

xi

j

O

v

P

y

xi4

j3

O


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24

Exemplificando e localizando osvetores posiono 2, temos:

)3,2(j3i2a

)5,6(j5i6b

2

7,0j

2

7c

0),(4i4e

EXEMPLO:

1) Dados os pontos A(1, 4), B(1,7) e C(5, 2),

represente no Sistema Cartesiano Ortogonal abaixo:a) o vetorBA;

b) o vetor u

, que o vetor posio de BA;

c) o vetor u

com origem no ponto C.

EXERCCIOS Vetores no 21) Representar graficamente o vetor AB e o correspondente vetor posio v

para cada um dos casos abaixo:

a)A(1 , 3) e B(3 , 5) b) A(1 , 4) e B(4 , 1) c)A(4 , 0) e B(0 ,2) d)A(3 , 1) e B(3 , 4)

2) Qual o ponto inicial Ado segmento orientado (vetor) representado pelo vetor posio )3,1(v

, sabendo que sua

extremidade est no ponto B(3, 1). Represente graficamente vetor v

e o segmento orientado em questo.


1a) v

= (4, 2) 1b) v

= (5,3) 1c) v

= ( 4,2) 1d) v

= (0, 3) 2) A(4,2)

x

y

)2,4(i4j2d

y

x4

2

3

6

5

7/2

4

2

a

b

c

d

e


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25

OPERAES COM VETORES NA FORMA ALGBRICA (ANALTICA) NO 2Os vetores podem ser operados em suas formas geomtricas (atravs de suas representaes em desenho, como vimosanteriormente). Porm, se estas operaes forem realizadas algebricamente (analiticamente), teremos preciso absoluta dosresultados e maior quantidade de informaes (mdulo, direo e sentido), principalmente quando os vetores se encontramnum espao tridimensional. Inicialmente trataremos do espao bidimensional. Vejamos:

Multiplicao de um Escalar (nmero real) por um Vetor:

Dado um vetor ),( 11 yxv

no 2e um nmero n , define-se que: )( 11 n.y,n.xvn.

.

Vamos exemplificar essa operao algebricamente e tambm graficamente.

EXEMPLO:

1) Considere o vetor w

= (2, 1) no Sistema Cartesiano Ortogonal.

a) Determine o vetor v

de modo que w3v

. c) Determine o vetor u

de modo que w2

1u

.

b) Determine o vetor t

de modo que w2t

. d) Represente os vetores w

, v

, t

e u

no 2.

Resoluo:

a) w3v

b) w2t

1)2,3.(v

1)2,2.(t

3)6,(v

2)(4 ,t

c) w2

1u

1)2,(2

1u

2

1,1u

Observao:

Note que no exemplo acima todos os vetores tm mesma direo (so colineares ou paralelos).

Quando um vetor qualquer 0v

multiplicado por um escalar n (n ), tem-se um novo vetor vn

que pode ser

denominado mltiplo escalar de v

.

Atravs do exemplo anterior podemos RELEMBRARo conceito de multiplicao de um escalar por um vetor. Ento:

Quando multiplicamos um nmero real n por um vetor 0v

, temos um novo vetor vn

, sendo que:

vdecontrriosentidotemvn0nse

vdesentidomesmootemvn0nse:sentido

vdemesmaa:direo

|v|.|n||vn|:mdulo

vn

Adio (e Subtrao) de Vetores:

Dados os vetores ),( 11 yxv

e ),( 22 yxw

no 2

, define-se:

),( 2121 yyxxwv

),()( 2121 yyxxwvwv

Vamos exemplificar essa(s) operao(es) algebricamente e tambm graficamente.


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26

EXEMPLOS:

1) Considere uma bia Bflutuando num lago de guas calmas(na origem) e que os vetores i40t

e 30)(0,v

representam duas foras (em N) aplicadas simultaneamente nabia em questo. Determine o vetor R

que representa a foraresultante aplicada e represente esquematicamente a situao

no 2

ao lado.

Note que, para este caso: 30N|v|

, 40N|t|

e 50N|R|

.

2) Dados os vetores v

= (4, 1), j5iw

e 1)1,(t

, determine o vetor R

sabendo que twvR

, e faa a

representao desses no 2 ao lado.y

x

Observe que: w,v

teremos vwwv

(propriedade comutativa da adio de vetores).

3) Considerando os vetores ji3u

e 2)1,(v

, determine o vetor t

de modo que: tu2t3

1)vu(4

.

x

y

B


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27

Particularidades dos Vetores no 2:

Vetor Oposto:

Relembramos que, a cada vetor 0v

corresponde um vetor oposto v

, de mesmo mdulo e direo, porm, de sentido

contrrio. Analiticamente, podemos concluir que o vetor 2),(3t

o vetor oposto de 2)3,(w

e vice-versa. Veja a

representao grfica abaixo:

Ento, verdade que:

wt

ou tw

N

ONOP ou OPON

Observe que:

|w||t|

, porm wt

0wt

Atravs do exposto, podemos generalizar que a SOMA de qualquer VETOR com o seu OPOSTO, resulta no vetor NULO. Parao caso acima, algebricamente, temos:

00)(0,2)23,(32)3,(2)(3,wt

Relembrando o Vetor Posio:

Observando o 2 abaixo, podemos escrever: OBABOA .

Ento: OAOBAB

B )()( OAOBAB OAOBAB

v

ABAB

A ABv

v

v

o vetor posio de AB .O

EXERCCIOS Operaes com Vetores na Forma Algbrica (Analtica) no 21) Dados os vetores )1,3(u

e )2,1(v

, determine o vetor t

de modo que: )u3t4(2)uv2(t3

.

2) Dados os pontos A(1, 3), B(2, 5), C(3,1) e O(0, 0) determine os vetores resultantes de:

a) ABOA b) BCOC c) CB4BA3

3) Dados os pontos A(3,4) e B(1, 1) e o vetor )3,2(v

, calcule os vetores determinados por:

a) v2)AB(

b) v)BA(

c) )AB(2B d) )BA(2v3

4) Dados os pontos A(1, 2) e B(3,1) e C(2, 4), determine o ponto D de modo que AB2

1CD .

5) Dados os vetores jiu

2 e iw

3 , determine t

de modo que:

wutwut

4

3

2

15)24(3

y

x

3

2

0

t

P

3

2

w

x

y


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28

6) Determine algebricamente o vetor resultante nos casos a seguir e, ao final, represente-o graficamente:

a)

b)

7) Considere os vetores

0,2

1v

,

5

1,

4

3w

, j3it

e

10

1,2s

. Determine o vetor u

de modo que o

vetor resultante na expresso s5t3

4w2vuR

seja o vetor nulo.

8) Dados os pontos 2)(1,A e 5)3,(B , determine: D(14, 16)

a) o ponto M que divide o segmento AB em duas partes iguais.[neste caso, o ponto M chamadoponto mdio do segmento AB] P

b) os pontos P e Q que dividem o segmento AB em trs partes iguais.

9) O segmento de reta CD (figura ao lado) foi dividido em partes iguais.Assim, determine as coordenadas do ponto P.

C(6,1)


29/68


29

z

y

x

i

j

k


1)

5

11,

5

232a) ( 4, 1) 2b) (2, 5) 2c) (5,30) 3a) (8, 11) 3b) (6,8) 3c) (9, 11)

3d) (14, 19) 4)

2

5,0D 5)

16

13,

32

121t

6a) 2)(1,R

6b) 1)(5,R

7)

10

39,

3

31u

8a)

2

31,M 8b)

3

1,

3

1 e

3

8,

3

5 9)

5

63,10P

O ponto mdio )y,x( MMM de um segmento AB, tambm pode ser calculado diretamente pelas expresses

2

xx BAMx e

2

yy BA My , normalmente estudadas na Geometria Analtica do Ensino Mdio.

VETORES NO 3As definies e concluses relativas ao 3, dar-se-o de forma anloga ao que vimos at ento para o 2. Sendo assim:

Vetor definido por dois pontos:

Um vetor definido por dois pontos A e B ser:

)z,y,x()z,y,x(ABAB AAABBB . Da tem-se que: )zz,yy,xx(AB ABABAB

Igualdade de vetores:

Dados dois vetores )z,y,x(v 111

e )z,y,x(w 222

, 212121 zzeyyexxwv

.

Isto garante que os vetores em questo tero mesmo mdulo, direo e sentido.

Versores da Base Cannica:

Os versores que formaro a base cannica do3 so: i

, j

e k

.

Sendo que: 1|k||j||i|

onde:

)0,0,1(i

, )0,1,0(j

e )1,0,0(k

Da tem-se que: kzjyix)z,y,x(v

Vetores nos Eixos e Planos Coordenados:

Se um vetor posio v

est sobre o: eixox, ento esse vetor do tipo: )0,0,(xv

ou ixv

.

eixoy, ento esse vetor do tipo: )0,,0( yv

ou jyv

.

eixo z, ento esse vetor do tipo: ),0,0( zv

ou kzv

.

Se um vetor posio v

est sobre o:

planoxy, ento esse vetor do tipo: )0,,( yxv

ou jyixv

.

planoyz, ento esse vetor do tipo: ),,0( zyv

ou kzjyv

.

planoxz, ento esse vetor do tipo: ),0,( zxv

ou kzixv

.

Vetor Nulo (ou Zero):

No3, o vetor nulo definido pela terna (0, 0, 0) que tambm define a origem do sistema de coordenadas em questo.


30/68


30

2

3,5,0

2

35 kjc

Representao Geomtrica:

Exemplificando e localizando osvetores posiono 3, temos:

)3,3,2(332 kjia

)5,0,4(54 kib

)0,2,1(2 jid

)4,0,0(4 ke

)2,1,5(52 ikjf

Finalizando:

Um vetor posio w qualquer, tem algumas maneiras de ser representado algebricamente. A expresso analtica usual)zy ,x,(w

apresentada a seguir com as suas notaes equivalentes: zy ,,xkz.jy .ix.z),y,(xw

.

Acrescentaremos ainda, um exemplo para finalizar esse tema. Veja:

J sabemos que o vetor kj3i4w

pode ser escrito na forma analtica 1)3,(4,w . Podemos verificar facilmente

esta correlao, substituindo os correspondentes versores: 0)0,(1,i

, 0)1,(0,j

e 1)0,(0,k

. Assim:

kj3i4w

1)0,(0,0)1,3(0,0)0,4(1,w

1)0,(0,0)3,(0,0)0,(4,w

1)3,(4,w

Uma outra notao para vetores, que importante e conveniente em algumas situaes, a MATRICIAL . Assim, um vetor

qualquer )zy ,x,(w

pode ser escrito como matriz-coluna:

zy

x

w

, ou ainda, como matriz-linha: zyxw

.

OPERAES COM VETORES NA FORMA ALGBRICA (ANALTICA) NO 3As operaes com vetores na forma algbrica tornam-se especialmente importantes no espao tridimensional, devido dificuldade de uma representao geomtrica inteligvel para muitos casos; sem mencionar a preciso absoluta dosresultados analticos. Novamente, todos os processos descritos a seguir so anlogos aos estudados no sistemabidimensional. A diferena nos processos algbricos reside apenas no acrscimo de uma coordenada, a cota (z). Vejamos asoperaes:

Dados os vetores )z,y,x(v111

e )z,y,x(w222

no 3 e um nmero n , define-se:

Multiplicao de um Escalar (nmero real) por um Vetor:

)n.z,n.y,(n.xvn. 111

z

y

x


31/68


31

Adio (e Subtrao) de Vetores:

)zz,yy,xx(wv 212121

)zz,yy,xx()w(vwv 212121

EXEMPLOS COMPLEMENTARES:

1) Considere o vetor PQw

sendo que P = (2, 3, 4) e Q = (2, 3, 5). Determine o vetor t

, tal que: w4t

.

Resoluo I:

Inicialmente, vamos calcular o vetor w

. Assim: PQw

4)3,(2,5)3,2,(PQw

1)0,4,(w

Agora podemos calcular o vetor pedido. Ento: w4t

1)0,4,4.(t

4)0,(16,t

Resoluo II:

Sabemos que w4t

e que PQw

, ento, substituindo o vetor w

, temos:

PQ4.t

P)4.(Qt

4P4Qt

4)3,4.(2,5)3,2,4.(t

16)12,(8,20)12,(8,t

Assim, o vetor solicitado : 4)0,(16,t

2) Dados os pontos A(2,2, 1) e B(1, 3, 5) e o vetor )4,0,1(w

, determine o vetor: AB)BA(3w2

Resoluo:

Inicialmente chamaremos de R o vetor solicitado. Ento: R ABBAw )(32

Organizando... R )(332 ABBAw

R ABBAw 332

R ABw 222

Substituindo o vetor w

e os pontos A e B ... R )1,2,2(2)5,3,1(2)4,0,1(2

Multiplicando os valores... R )2,4,4()10,6,2()8,0,2(

R )2,4,4()2,6,4(

Enfim, temos o vetor solicitado: R )0,10,0(

3) Encontrar o vrtice oposto B, no paralelogramo ABCD, sabendo que A(3,1, 0), B(4, 2, 0) e C(5, 5, 0).


32/68


32

4) Determine o vetor resultante de twu

, sendo que: 0)2,(3,u

, 4)2,(0,w

e 0)3,(0,t

.

Resoluo:

Inicialmente chamaremos de R

o vetor resultante solicitado.

Ento: twuR

0)3,(0,4)2,(0,0)2,(3,R

Logo: 4)7,(3,R

Ao lado, temos o problemarepresentado graficamente.

EXERCCIOS Vetores no 3 + Operaes com Vetores na Forma Algbrica (Analtica) no3

1) Determinar o vetor v

, sabendo que: (3, 7, 1) + 2 v

= (6, 10, 4) v

.

2) Dados os pontos A(2,2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor )4,3,1(v

, calcular:

a) A + v3

b) (A B) v

c) B + 2(B A) d) v2

3(B A)

3) Dados os pontos A(3, 4,2) e B(2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB, tal que AB5

2AN .

4) Considerando os vetores )1,0,3( u

e )2,3,1( v

e os pontos )1,4,0( A e )7,6,2( B , determine o

vetor w

tal que: wBAuwvu

23

1)(4 .

5) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(2, 1, 4) e C(1, 3, 1), determinar o ponto D tal que 0CDAB

. Em seguida

representar os vetores posio de AB e CD no 3.

6) Sabendo que w2v4u3

, determinar a, b e c, sendo u

= (2,1 , c), v

= (a , b2 , 3) e w

= (4 ,1 , 0).

7) Dados os vetores )1,3,2(u

, )1,1,1(v

e )0,4,3(w

;

a) determinar o vetor x

de modo que w2x4xvu3

;b) encontrar os nmeros 1a , 2a e 3a tais que )5,13,2(wavaua 321

.

8) Encontrar o vrtice oposto a B no paralelogramo ABCD e representar este paralelogramo no 3. Considere 2 casos:a) A(1, 0, 3), B(1, 1, 2) e C(3,2, 5) b) A(4, 0, 1), B(5, 1, 3) e C(3, 2, 5)

9) Sendo A(2,5, 3) e B(7, 3, 1) vrtices consecutivos de um paralelogramo ABCD, e M(4,3, 3) o ponto de intersecodas diagonais, determinar os vrtices C e D.


1) v

= (1, 1, 1) 2a) (5, 7,9) 2b) (0,6, 2) 2c) (1, 7, 9) 2d) (5,3,14) 3) N =

5

6,2,1

4)

12,

221,6w 5) D = (2,6, 8) 6)

21a ,

47b , 4c 7a)

34,

32,

311x

7b) 1a,3a,2a 321 8a) D = (1,3, 6) 8b) D = (2, 1, 3) 9) C = (6,1, 3) e D = (1,9, 7)


33/68


33

Paralelismo (ou Colinearidade) de Vetores

Dois ou mais vetores so paralelos (ou colineares) entre si, quando seus representantes possurem a mesma direo.

w//v

equiversossentidomesmo

direomesma

w//v

oscontraverscontrriossentidos

direomesma

Analiticamente:

Considere os vetores )z,y,x(v 111

e )z,y,x(w 222

. Simbolicamente temos: Se w//v

n / wn.v

Da expresso wn.v

escrevemos:

)z,y,x( 111 )z,y,n.(x 222

)z,y,x( 111 )n.z,n.y,(n.x 222

Comparando as coordenadas na igualdade acima, segue que:

21 n.xx e 21 n.yy e 21 n.zz

nxx

2

1 nyy

2

1 nzz

2

1 Ento, de uma outra forma, temos: (n)zz

yy

xx

2

1

2

1

2

1

Sendo esta ltima, uma relao prtica para determinao de paralelismo (ou co linearidade) de vetores.

Assim, vamos exemplificar:

a) Os vetores 6)1,4,w1 (

e 18)3,(12,w2

so paralelos, pois18

6

3

1

12

4

com

3

1n .

b) Os vetores 0)6,10,v1 (

e 0)3,5,(v2

so paralelos, pois

3

6

5

10

com 2n .

c) Os vetores 1)6,10,u1 (

e 2)3,5,(u2

NO so paralelos, pois2

1

3

6

5

10

]n[ R .

d) Os vetores 6)1,4,t1 (

e 18)3,(12,t2

NO so paralelos, pois18

6

3

1

12

4

]n[ R .

Observaes:

Quando um vetor tiver uma das coordenadas nula, um outro vetor paralelo a este, tambm ter a coordenadacorrespondente nula. Observe o exemplo (b) acima e veja o exemplo 2 a seguir.

Alguns autores consideram o vetor nulo 0

colinear a qualquer vetor, ou seja: u//0 .

Para refletir: O fracasso quebra as almas pequenas e engrandece as grandes, assim como o vento apaga a vela e atia o fogo da floresta. (Benjamim Franklin)

x

y

v

w

x

y

w

v


34/68


34

EXEMPLOS:

1) Verifique se os vetores u

= (2,4, 3) e k6j8i4w

so paralelos, representando-os no 3.

Nota: Observe que n pode assumir dois valores. Quando n = 2, temos neste caso que um vetor o dobro do outro, e,quando n = 1/2, temos que um vetor metade do outro. Os dois valores, obviamente, identificam a mesma situao. Ovalor encontrado depender da seqncia de escolha dos vetores em questo.

2) Dados os vetores )0,4,3a(v

e )2b,6,8(w

, determine-os, sabendo que w//v

.

EXERCCIOS Paralelismo (ou Colinearidade) de Vetores

1) Quais dos vetores: 2),6,(4u

, 3),9,6(v

, 9),21,(14w

e 5),15,(10t

so paralelos?

2) Dado o vetor w

= (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os vetores u

= (3, 2,1) e v

= (a, 6, b)+2w

sejamparalelos.

3) A reta que passa pelos pontos A(2, 5, 1) e B(1, 3, 0) paralela reta determinada por C(6,1,1) e D(0, m, n).Determine o ponto D.

4) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence reta que passa pelos pontos A(1 ,2 , 3) e B(2 , 1 ,5), calcule m e n.

5) Utilizando mtodos vetoriais, verifique se os pontos A(1,5, 0), B(2, 1, 3) e C(2,7,1) so colineares.

6) Os vetores

0,0,7

v

e

0,0,

3

5w

so paralelos? Justifique sua resposta.


35/68


35


1) So paralelos: u

, v

e t

2) a = 9, b =15 3) D(0, 3, 1) 4) m = 5, n =13

5) A, B e C so colineares 6) Sim, so paralelos, pois ambos esto sobre o eixo das abscissas (eixo x).

Clculo do Mdulo de um Vetor

J vimos e sabemos que, geometricamente, o mdulo (ou norma) de um vetor definido pelo seu comprimento.

Agora, definiremos como calcular o mdulo de um vetor posio no 2 ou 3, a partir de suas coordenadas. Veja:

Considerando um vetor posio )y,x(v

no 2 abaixo:

Note que: OP|v|

Por Pitgoras, temos:

(hip)2 = (cat)2 + (cat)2

222 yx|v|

22 yx|v|

Conseqentemente, para um vetor posio )z,y,x(w

no 3 teremos: 222 zyx|w|

Observao:

Algumas literaturas utilizam uma outra notao para o mdulo de um vetor u

que : ||u||

Perceba que os vetores descritos a seguir so DIFERENTES, mas tm todos o mesmo mdulo, que neste caso 5. Veja:

4),(3v1

4),3(v2

4),(3v3

4),3(v4

3),(4w1

3),4(w2

3),(4w3

3),4(w4

EXEMPLOS:

1) Determine o mdulo do vetor PQw

, representando o vetor posio w

no 3.

Dados: )105,(6,P e )1020,(7,Q

y

y

x

P

x0


36/68


36

2)Determine o valor m de modo que o vetor k3j4imv

tenha mdulo igual a 7.


2

1,

2

1,

2

1u

e 0)4,(3,w

. Determine |w3u2|

.

4) Calcule a distncia entre os pontos A(1, 3) e B(4,2) e represente graficamente a situao.

y

x


37/68


37

OBSERVAO:

Para calcular o mdulo de um vetor definido por dois pontos ),,( AAA zyxA e ),,( BBB zyxB no espao (ou

simplesmente calcular a distncia entre dois pontos A e B quaisquer) podemos utilizar a frmula da distncia entre doispontos:

222 )()()( ABABABAB zzyyxxd

que para o caso da sua utilizao no clculo do mdulo de um vetor AB , ficaria:

222 )()()(|| ABABAB zzyyxxAB

Vetor Unitrio

Um vetor dito unitrio quando seu mdulo for igual a 1. Em diversas situaes faremos uso desse conceito.

Formalizando, temos:

Se )z,y,x(w

UNITRIO, ento podemos escrever 1|w|

.

Pela frmula do mdulo de um vetor, temos: 222 zyx|w|

Se unitrio, ento:222zyx1

Simplificando, encontraremos: 1zyx 222

Observaes:

As coordenadas de qualquer vetor unitrio )z,y,x(w

fazem parte do intervalo 1z,y,x1 .

No caso de um vetor unitrio, ter uma das coordenadas igual a 1 ou1, as demais obrigatoriamente devero ser nulas.

No 3, isso se resumo a somente 6 casos. Quais so esses vetores?

EXEMPLOS:


2

1,

2

1,

2

1u

e 0)4,(3,w

. Verifique se u

e/ou w

so unitrios.

Para refletir: Bem melhor arriscar coisas grandiosas mesmo expondo-se derrota, do que formar fila com os pobres de esprito, os quaisvivem nessa penumbra cinzenta, e no conhecem nem vitria, nem derrota. (Theodore Roosevelt)


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38

2) Determine o valor de p de modo que o vetor k2

1j3

1ipu

seja unitrio.

Resoluo:

Para que o vetor u

seja unitrio, necessrio que: 1zyx 222

Substituindo as coordenadas do vetor u

, temos: 1

2

1

3

1p)(

22

2

Note que: 22 pp)(

Assim, buscando isolar o p na equao:

14

1

9

1p2

4

1

9

11p

2

36

9436p2

36

23p2

36

23p

6

23p

Tpico Especial: DESIGUALDADE TRIANGULAR

A expresso |||||| vuvu

conhecida como desigualdade triangular e afirma que: o mdulo da soma de doisvetores sempre menor ou igual soma dos mdulos desses mesmos vetores.

Pense a respeito!

Em que situao ocorre que: |||||| vuvu

? E quando ocorre que: |||||| vuvu

?

EXERCCIOS Clculo do Mdulo de um Vetor + Vetor Unitrio

1) Dados os vetores )0,1(u

, )4,3(v

e )6,8( w

, calcular:

a) ||u

b) || v

c) ||w

d) |||| vu

e) || vu

f) |2| wu

g) |3| uw

Observao: compare as respostas das sentenas (d) e (e) e tire suas concluses!

2)Calcular os valores de a para que o vetor u

= (a,2) tenha mdulo 4.

3) Verificar se so unitrios os seguintes vetores: )1,1,1(u

e

6

1,

6

2,

6

1v

4)Determinar o valor de n para que o vetor

5

4,

5

2,nv

seja unitrio.

5) Seja o vetor k5j)2m(i)7m(v

. Calcular m para que | v

| = 38 .

6) Calcule a distncia do ponto T(12, 9) origem.

7) Determine o valor de y para que o vetor

3

4,,

2

1yw

seja unitrio.

8) Calcular o permetro do tringulo de vrtices A(0, 1, 2), B(1, 0,1) e C(2,1, 0) e classific-lo quanto aos seus lados.

9) Dados os pontos A(3, m 1, 4) e B(8, 2m1, m), determinar m de modo que 35|AB| .

10)Encontrar um ponto do eixo x de modo que a sua distncia ao ponto A(2, 3) seja igual a 5 uc.

11) Obter um ponto P, do eixo das cotas, cuja distncia ao ponto T(1, 2,2) seja igual a 3 uc.

12) Dados A(1, 0,1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determine o valor de m para que || v

= 7, sendo que BCACmv .

.

13) Obter um ponto P, do eixo das abscissas, eqidistante dos pontos A(2,3, 1) e B(2, 1,1).


39/68


39

x

y

z

A

B

C

DE

F

M

N L

I

G

HJ

KP O

14) Determine o mdulo do vetor j)(cosi)(senv

.

15) Considerando a pea plana apresentada

ao lado, determine a distncia entre os furos:

a) A e B b) B e C

Observao: medidas em mm

16) Determine as distncias do ponto P(1, 4,2) aoseixos coordenados x, y e z, representando P no 3.

17) Na pea apresentada abaixo, determine a distncia entre os pontos:

a) A e Db) G e Ic) L e E

Observao: medidas em mm

18) Prove que os pontos A(2 ,1), B(2 , 2), C(1 , 6) e D(5 , 3), nesta ordem, so vrtices de um quadrado.

19) Utilizando a frmula distncia:222 )()()( ABABABAB zzyyxxd , demonstre que os pontos

)0,2,1(P , )3,2,2( Q e )6,10,7(R so colineares.


1a) 1 1b) 5 1c) 10 1d) 6 1e) 52 1f) 26 1g) 61 2) 32 3) apenas v

unitrio

4)55 5) {5, 4} 6) 15 uc 7) 1||/ wRy

8) 32112 uc / Tringulo Issceles, pois CABCAB

9) {3,1} 10) (6, 0) ou (2, 0) 11) P(0, 0, 0) ou P(0, 0, 4) 12) 3 ou13/5 13) Faa: |||| PBPA e P(1, 0, 0)

14) 1 15a) 32,70 mm 15b) 25 mm 16) 52 , 5 e 17 uc 17a) 1145 mm 17b) 705 mm

17c) 25mm 19) Demonstre que: QRPRPQ ddd


1) Se a metade de XII no seis, ento quanto ? 2) O pai do padre filho de meu pai. O que sou do padre?

Para refletir: Todos ganham presentes, mas nem todos abrem o pacote. (Nei Ferrarini)

C

A

B


40/68


40

Versor de um Vetor

O versor de um vetor 0w

o vetor UNITRIO que tem a mesma direo e sentido de w

e representamos por wvers

.

y

wdemesmo:sentido

wdemesma:direo

1|wvers|:mdulo

:wvers

0 x

Para encontrarmos as coordenadas do versor de um vetor w

, basta dividir cada uma das coordenadas de w

pelo seumdulo. Assim, para determinarmos o versor w

, usaremos:

|w|

wwvers

conveniente lembrar que, por exemplo, se um vetor v

de mdulo 10, for multiplicado pelo escalar 1/10, isso resultarnum vetor de mdulo 1, pois 1/10 de 10 equivale a 1.

Agora, vale a pena destacarmos os versores da base cannica do 3.

)0,0,1(i

, )0,1,0(j

e )1,0,0(k

Observe que: .1|k||j||i|

Ao lado temos um 3 mostrando os versores da base cannica.

Observaes:

Um vetor unitrio coincide com o seu prprio versor.

Encontramos em algumas literaturas: wu

como sendo a notao para o versor do vetor w

(vetor unitrio de w

).

EXEMPLO:

1) Dado o vetor )5,4,(2u

, determine o seu versor. Em seguida, represente estes vetores no 3.

1

1

1

z

y

x

i

j

k

w

wvers


41/68


41

Observao:

Represente no 2 o vetor v

e os vetores encontrados nasquestes 4a, 4b e 4c.

EXERCCIOS Versor de um Vetor

1) Dados os vetores 1),(1u

, 4),3(v

e 6),(8w

, calcular:

a) vvers

b) wvers

c) uvers

d) |uvers|

2)Determinar o valor de a para que u

= (a,2a, 2a) seja um versor.

3) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(6,2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor w

, tal que BC2BA3w

.

4) Dado o vetor )3,1( v

, determinar o vetor paralelo a v

que tenha:

a) sentido contrrio ao de v

e duas vezes o mdulo de v

;

b) o mesmo sentido de v

e mdulo 2;

c) sentido contrrio ao de v

e mdulo 4.

5) Determinar o vetor de mdulo 5, paralelo ao vetor v

= (1,1, 2).

6) Dado o vetor )3,1,2( v

, determinar o vetor paralelo a v

que tenha:

a) sentido contrrio ao de v

e trs vezes o mdulo de v

;

b) o mesmo sentido de v

e mdulo 4;

c) sentido contrrio ao de v

e mdulo 5.


1a)

5

4,

5

31b)

5

3,

5

41c)

2

1,

2

1 1d) 1 2)

3

1 3) versw

=

9

4,

9

4,

9

7

4a) (2, 6) 4b)

10

6,

10

2 4c)

10

12,

10

4 5) Os 2 possveis so:

6

10,

6

5,

6

5

6a) (6, 3, 9) 6b)

14

12,

14

4,

14

8 6c)

14

15,

14

5,

14

10


Um grande industrial, na necessidade de ir a So Paulo, chegou a seu guarda-noturno e ordenou:- Amanh, acorde-me s 6 horas, por favor. Tenho que pegar o avio para So Paulo.- Pois no, chefe!Pontualmente s 6 horas o guarda apertou a campainha da residncia do industrial e tentou demov-lo da idia de viajar:- Patro disse o guarda estou com mau pressgio: sonhei esta noite que o Sr. teria um acidente com o avio e me permita sugerir queno viaje.O industrial titubeou, mas viajou mesmo assim. Sem incidentes, chegou a So Paulo e por telefone mandou despedir o guarda. Por qu?

PRODUTO ESCALARDefinio Algbrica do Produto Escalar:

Considerando o espao 3 e os vetores ),,( 111 zyxu

e ),,( 222 zyxw

, chamamos de Produto Escalar de u

e w

, o

nmero real dado por:

212121 ... zzyyxxwu

Observaes:

O produto escalar tambm conhecido como produto interno (ou ainda multiplicao interna) e pode ser indicado por

wu

, wu

ou wu

, (l-se: u

escalar w

). A notao wu

para o produto escalar j est em desuso, e a

utilizaremos mais adiante para representar o produto vetorial.

Observe que: uwwu

(propriedade comutativa).

Para o caso de se trabalhar somente no plano, ou seja, no 2, apenas suprime-se a coordenada z.


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42

Definio Geomtrica do Produto Escalar:

Considerando os vetores ),,( 111 zyxu

e ),,( 222 zyxw

no nulos eo ngulo entre eles, o Produto Escalar deu

e w

pode ser escrito por:

cos.. wuwu

(com 0 180)

Prova das definies:

Considerando dois vetores u

e w

quaisquer e o nguloentre eles, podemos representar geometricamente (abaixo):

Aplicando a Lei dos Cossenos para o ngulo , temos:

Acos2.b.c.cba 222

|.w|.|u.||w||u||wu| cos2222

|.w|.|u.||w||u||w|wu|u| cos2)(2 2222

|.w|.|u.||w||u||w|wu|u| cos2)(2 2222

|.w|.|u.|wu cos2)(2

]2[

|.w|.|u|wu cos

Como queramos demonstrar!

Agora, provaremos a definio algbrica. Inicialmente, vamos considerar que: ),,( 111 zyxu

e ),,( 222 zyxw

e

conseqentemente: ),,( 212121 zzyyxxvu .

Aplicando a Lei dos Cossenos para o ngulo (veja figura acima), temos:

Acos2.b.c.cba 222

|.w|.|u.||w||u||wu| cos2222

222cos2 |wu||w||u||.w|.|u.|

22212212212

22

22

22

221

21

21 )()()(cos2 zzyyxxzyxzyx|.w|.|u.|

])()()( 2212

21

2

21

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1 [cos2 zzyyxxzyxzyx|.w|.|u.|

].2.2.2 22212

1

2

221

2

1

2

221

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1 [cos2 zzzzyyyyxxxxzyxzyx|.w|.|u.|

].2.2.2 212121[cos2 zzyyxx|.w|.|u.|

212121 222cos2 zzyyxx|.w|.|u.|

]2[

212121 ...cos zzyyxx|.w|.|u|

Como j vimos que: |.w|.|u|wu cos

212121 ... zzyyxxwu

Como queramos demonstrar!

Para refletir: Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemtica; os pases socialmente atrasados so aquelesem que a atividade matemtica nula ou quase nula. (Jacques Chapellon)

A B

C

u

w

A B

C

u

w

wu


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43

ngulo entre dois vetores:

O ngulo entre dois vetores definido como sendo o menor ngulo que um vetor deve girar ao encontro do outro vetor paraque se tornem colineares. Desta forma, utilizaremos o ngulo com a seguinte variao: 0 180.

Da igualdade |.w|.|u|wu cos

, vista anteriormente, temos:

||.||cos wu

wu

como sendo a frmula a partir da qual se calcula o ngulo entre dois vetores no nulos.

A mesma relao pode ser escrita na forma:

||.||arccos

wu

wu

ou no padro americano:

||.||cos 1

wu

wu

Se for o ngulo entre os vetores u

e w

, ento podemos utilizar a notao: ),( wu

Para determinar o ngulo entre dois vetores, atravs da relao descrita acima, ser necessrio consultar uma tabelatrigonomtrica ou fazer uso de uma calculadora cientfica.

Normalmente, encontraremos os ngulos em duas unidades: o grau () e o radiano (rad).A converso entre as unidades pode ser feita atravs de uma regra de trs simples e direta: 180 rad

Lembretes:- Uma volta completa possui 360 ou 2 rad.- As calculadoras cientficas trabalham com os ngulos em trs unidades: DEG (grau), RAD (radiano) e GRAD (grados).

A seguir, tm-se as possveis situaes no estudo do ngulo e do produto escalar de dois vetores no nulos:

= 0 u

e w

so paralelos (equiversos) cos 0 = 1 wu

> 0

u

//w

= 180 u

e w

so paralelos (contraversos) cos 180 =1 wu

< 0

u//w

= 90 (ngulo reto) u

e w

so perpendiculares ( wu

)

cos 90 = 0 wu

= 0

0 < < 90 (ngulo agudo) cos > 0 wu

> 0

90 < < 180 (ngulo obtuso) cos < 0 wu

< 0

^

u

w

u

w

u

w

u

w

u

w


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Observaes:

Nulidade do produto escalar:0wu

, se:

i) Um dos vetores for nulo;ii) Os dois vetores forem ortogonais (perpendiculares) entre si, ou seja, = 90 [Lembre-se que: cos 90 = 0].

A partir disso podemos escrever: 00

u e 00 u

; e particularmente: 0 kikjji

.

Vale lembrar os versores (base cannica) dos eixos cartesianos: i

= (1 , 0 , 0), j

= (0 , 1 , 0) e k

= (0 , 0 , 1).

Em particular, o vetor nulo 0

perpendicular a qualquer outro vetor e escrevemos: u

0 .

Enfatizando:

Para os vetores 0

u e 0

w temos que wuwu

0 (o produto escalar zero para vetores ortogonais).

Aplicaes do Produto Escalar:

Na molcula de metano CH4 (figura ao lado), os tomos de hidrognio esto

posicionados nos quatros vrtices do tetraedro regular. A distncia entre o centro dotomo de hidrognio e o centro do tomo de carbono 1,10 angstroms [1 = 1010 m]e o ngulo da ligao HCH = 109,5. Vrias outras molculas tm estruturasgeomtricas espaciais que podem ser estudadas [clculo de medidas e ngulos, porexemplo] atravs da aplicao dos conceitos de produto escalar.

Nas situaes em que for necessrio o clculo ou estudo de medidas e ngulos emsituaes espaciais (com 3 dimenses) podemos muito bem aplicar os conceitos doproduto escalar. Algumas aplicaes de engenharia (na mecnica geral) seroabordadas nos exerccios que veremos a seguir.

EXEMPLOS:

1) Dados os vetores kiu

83 e )5,2,4( w determine o valor de uw .

2) Mostre que, para qualquer que seja o vetor u

, teremos:2|| uuu

.

Resoluo: Seja o vetor ),,( zyxu

. Ento, aplicando a definio algbrica do produto escalar, temos:

zzyyxxuu ...

222zyxuu

(I) Mas aplicando a frmula do mdulo, temos: 222|| zyxu

2222|| zyxu

(II)

Agora, substituindo a equao (II) em (I), temos:

2|| uuu

, como queramos mostrar.


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3) Sendo || u

= 2 , || w

= 3 e 120 o ngulo entre os vetores u

e w

, calcule wu

.

Resoluo: Considerando os dados do problema, aplicaremos a definio geomtrica do produto escalar.

Ento: cos.. wuwu

120cos.3.2wu

216wu

3wu

Note que o produto escalar negativo, pois o ngulo entre os vetores obtuso (120).

4) Calcule o ngulo entre os vetores v

= (2, 1,1) e AB , sabendo que A(3, 1,2) e B(4, 0, 4).

5) Prove que o tringulo de vrtices A(2, 3, 1), B(2, 1,1) e C(2, 2,2) retngulo em B.


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46

6) Determine um vetor ortogonal aos vetores1v

= (1,1, 0) e2v

= (1, 0, 1).

Tpico Especial: Consideraes Importantes

Notao:

Alguns autores representam um vetor v

apenas por v(sem a flechinha e em negrito) e v (sem negrito) para o mdulo

desse vetor v

. A frmula (definio geomtrica) do produto escalar com essa notao ficaria assim: u.v = u.v.cos ou

ainda, como podemos observar em alguns livros: A.B = A.B.cos . Fique atento!

Observe e reflita:

Se um vetor posio v

ortogonal ao:

eixox, escrevemos Oxv

. Ento esse vetor do tipo: ),,0( zyv

.

eixoy, escrevemos Oyv

. Ento esse vetor do tipo: ),0,( zxv

.

eixo z, escrevemos Ozv

. Ento esse vetor do tipo: )0,,( yxv

.

Vale relembrar que, se um vetor posio v

est sobre o:

eixox, escrevemos Oxv //

. Ento esse vetor do tipo: )0,0,(xv

.

eixoy, escrevemos Oyv //

. Ento esse vetor do tipo: )0,,0( yv

.

eixo z, escrevemos Ozv //

. Ento esse vetor do tipo: ),0,0( zv

.

Esquentando o

geomanalitica julio tomio

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