geomatem aticas: funci on, pretensiones y...
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Geomatematicas funcion pretensiones ypotencial
Ludger O Suarez-Burgoa (PhD)
Departamento de Ingenierıa CivilUniversidad Nacional de Colombia
1 de septiembre de 2014
1
Resumen
En esta presentacion se vera cual es la funcion que hoy en dıaesta desempenando la rama denominada geologıa matematica ycuales son sus pretensiones y el potencial que puede tener esta enAmerica Latina Para ello se presenta como ejemplo una de lasprimeras aplicaciones de las matematicas en la geologıa (la proyeccionesferica para la caracterizacion de las discontinuidades) Luego severa los acontecimientos historicos que dieron lugar a esta disciplinaPara finalizar se discutira aspectos necesarios para que esta disciplinaevolucione en el medio desde la academia universitaria para la region
Palabras clave geologıa matematica America Latina pretensiones
2
La Geologıa
Geologıa ciencia que estudia la corteza terrestre la Tierra y sus relacionescon el medio ambiente
Rama mas antigua de las geociencias
En principio fue una ciencia descriptiva
iquestQue la convirtio en una ciencia no-descriptiva
Manejo de muchos datos de inventario
Datos expresados en forma alfa-numerica o numerica
Uso de objetos matematicos para definir objetos fısicos
3
Objeto abstracto y objetos real
Los numeros las funciones los triangulos las matrices los espaciosvectoriales las series infinitas etcetera todos ellos son objetos matematicosLos objetos matematicos son abstractos
Si se usa un objeto abstracto para representar un Es decir objeto fısicoentonces hemos creado un primer modelo
4
Figura 1 Modelo de una red de discontinuidades de un macizo rocoso
5
Geologıa Matematicas y Estadıstica
La geologıa se apoya hoy en dıa en
matematicas del medio continuo (eg algebra lineal y tensorialregularizacion y problemas inversos analisis de Fourier solucionnumerica de ecuaciones diferenciales parciales)
matematicas del medio discontinuo
la estadıstica (eg problemas estocasticos analisis multivariadoestadıstica espacial)
Esto logra explicar fenomenos que antes eran explicados solo desde unadescripcion heurıstica
6
Geologıa del Siglo XX
Desarrollo de la ciencia
1 Acertadas teorıas hacia el entendimiento de la Tierra como la teorıa deplacas
2 Desarrollo acelerado de una nueva disciplina la geofısica
7
Geologıa del Siglo XX
Surgimiento de nuevas ramas de las Ciencias
geologıa nuclear
astrofısica
cosmo-geofısica
8
Geologıa del Siglo XX
Aplicacion intensa en los campos de las ingenierıas
civil (la geotecnia)
minas (control de estratos)
petroleos (geomecanica)
9
La Geologıa del Siglo XXI
El uso de solo el martillo cateador el mapa geologico y la seccion delgadacada vez son complementados por conceptos basados en las ciencias basicasy una aplicacion intensiva de matematicas estadıstica e informatica
La geologıa del Siglo XXI tiene componentes fundamentales y exigentesde Fısica Matematicas y Estadıstica y ahora tambien de Quımica
10
La Geologıa del Siglo XXI
Busca soluciones concretas siguiendo una metodologıa general queinvolucra
reconocer el problema
identificar los objetos (matematicos) variables
caracterizar esos objetos desde el punto de vista de su variabilidad
plantear la solucion con bases matematicas (matematizacion de lasolucion)
emplear metodos numericos computacionales
usar de forma extensiva un computador a traves de un lenguaje deprogramacion
11
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
12
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
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Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
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Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
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Resumen
En esta presentacion se vera cual es la funcion que hoy en dıaesta desempenando la rama denominada geologıa matematica ycuales son sus pretensiones y el potencial que puede tener esta enAmerica Latina Para ello se presenta como ejemplo una de lasprimeras aplicaciones de las matematicas en la geologıa (la proyeccionesferica para la caracterizacion de las discontinuidades) Luego severa los acontecimientos historicos que dieron lugar a esta disciplinaPara finalizar se discutira aspectos necesarios para que esta disciplinaevolucione en el medio desde la academia universitaria para la region
Palabras clave geologıa matematica America Latina pretensiones
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La Geologıa
Geologıa ciencia que estudia la corteza terrestre la Tierra y sus relacionescon el medio ambiente
Rama mas antigua de las geociencias
En principio fue una ciencia descriptiva
iquestQue la convirtio en una ciencia no-descriptiva
Manejo de muchos datos de inventario
Datos expresados en forma alfa-numerica o numerica
Uso de objetos matematicos para definir objetos fısicos
3
Objeto abstracto y objetos real
Los numeros las funciones los triangulos las matrices los espaciosvectoriales las series infinitas etcetera todos ellos son objetos matematicosLos objetos matematicos son abstractos
Si se usa un objeto abstracto para representar un Es decir objeto fısicoentonces hemos creado un primer modelo
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Figura 1 Modelo de una red de discontinuidades de un macizo rocoso
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Geologıa Matematicas y Estadıstica
La geologıa se apoya hoy en dıa en
matematicas del medio continuo (eg algebra lineal y tensorialregularizacion y problemas inversos analisis de Fourier solucionnumerica de ecuaciones diferenciales parciales)
matematicas del medio discontinuo
la estadıstica (eg problemas estocasticos analisis multivariadoestadıstica espacial)
Esto logra explicar fenomenos que antes eran explicados solo desde unadescripcion heurıstica
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Geologıa del Siglo XX
Desarrollo de la ciencia
1 Acertadas teorıas hacia el entendimiento de la Tierra como la teorıa deplacas
2 Desarrollo acelerado de una nueva disciplina la geofısica
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Geologıa del Siglo XX
Surgimiento de nuevas ramas de las Ciencias
geologıa nuclear
astrofısica
cosmo-geofısica
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Geologıa del Siglo XX
Aplicacion intensa en los campos de las ingenierıas
civil (la geotecnia)
minas (control de estratos)
petroleos (geomecanica)
9
La Geologıa del Siglo XXI
El uso de solo el martillo cateador el mapa geologico y la seccion delgadacada vez son complementados por conceptos basados en las ciencias basicasy una aplicacion intensiva de matematicas estadıstica e informatica
La geologıa del Siglo XXI tiene componentes fundamentales y exigentesde Fısica Matematicas y Estadıstica y ahora tambien de Quımica
10
La Geologıa del Siglo XXI
Busca soluciones concretas siguiendo una metodologıa general queinvolucra
reconocer el problema
identificar los objetos (matematicos) variables
caracterizar esos objetos desde el punto de vista de su variabilidad
plantear la solucion con bases matematicas (matematizacion de lasolucion)
emplear metodos numericos computacionales
usar de forma extensiva un computador a traves de un lenguaje deprogramacion
11
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
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El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
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Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
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Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
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iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
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metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
La Geologıa
Geologıa ciencia que estudia la corteza terrestre la Tierra y sus relacionescon el medio ambiente
Rama mas antigua de las geociencias
En principio fue una ciencia descriptiva
iquestQue la convirtio en una ciencia no-descriptiva
Manejo de muchos datos de inventario
Datos expresados en forma alfa-numerica o numerica
Uso de objetos matematicos para definir objetos fısicos
3
Objeto abstracto y objetos real
Los numeros las funciones los triangulos las matrices los espaciosvectoriales las series infinitas etcetera todos ellos son objetos matematicosLos objetos matematicos son abstractos
Si se usa un objeto abstracto para representar un Es decir objeto fısicoentonces hemos creado un primer modelo
4
Figura 1 Modelo de una red de discontinuidades de un macizo rocoso
5
Geologıa Matematicas y Estadıstica
La geologıa se apoya hoy en dıa en
matematicas del medio continuo (eg algebra lineal y tensorialregularizacion y problemas inversos analisis de Fourier solucionnumerica de ecuaciones diferenciales parciales)
matematicas del medio discontinuo
la estadıstica (eg problemas estocasticos analisis multivariadoestadıstica espacial)
Esto logra explicar fenomenos que antes eran explicados solo desde unadescripcion heurıstica
6
Geologıa del Siglo XX
Desarrollo de la ciencia
1 Acertadas teorıas hacia el entendimiento de la Tierra como la teorıa deplacas
2 Desarrollo acelerado de una nueva disciplina la geofısica
7
Geologıa del Siglo XX
Surgimiento de nuevas ramas de las Ciencias
geologıa nuclear
astrofısica
cosmo-geofısica
8
Geologıa del Siglo XX
Aplicacion intensa en los campos de las ingenierıas
civil (la geotecnia)
minas (control de estratos)
petroleos (geomecanica)
9
La Geologıa del Siglo XXI
El uso de solo el martillo cateador el mapa geologico y la seccion delgadacada vez son complementados por conceptos basados en las ciencias basicasy una aplicacion intensiva de matematicas estadıstica e informatica
La geologıa del Siglo XXI tiene componentes fundamentales y exigentesde Fısica Matematicas y Estadıstica y ahora tambien de Quımica
10
La Geologıa del Siglo XXI
Busca soluciones concretas siguiendo una metodologıa general queinvolucra
reconocer el problema
identificar los objetos (matematicos) variables
caracterizar esos objetos desde el punto de vista de su variabilidad
plantear la solucion con bases matematicas (matematizacion de lasolucion)
emplear metodos numericos computacionales
usar de forma extensiva un computador a traves de un lenguaje deprogramacion
11
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
12
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
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metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
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La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
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El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
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Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
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Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
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10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
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datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Objeto abstracto y objetos real
Los numeros las funciones los triangulos las matrices los espaciosvectoriales las series infinitas etcetera todos ellos son objetos matematicosLos objetos matematicos son abstractos
Si se usa un objeto abstracto para representar un Es decir objeto fısicoentonces hemos creado un primer modelo
4
Figura 1 Modelo de una red de discontinuidades de un macizo rocoso
5
Geologıa Matematicas y Estadıstica
La geologıa se apoya hoy en dıa en
matematicas del medio continuo (eg algebra lineal y tensorialregularizacion y problemas inversos analisis de Fourier solucionnumerica de ecuaciones diferenciales parciales)
matematicas del medio discontinuo
la estadıstica (eg problemas estocasticos analisis multivariadoestadıstica espacial)
Esto logra explicar fenomenos que antes eran explicados solo desde unadescripcion heurıstica
6
Geologıa del Siglo XX
Desarrollo de la ciencia
1 Acertadas teorıas hacia el entendimiento de la Tierra como la teorıa deplacas
2 Desarrollo acelerado de una nueva disciplina la geofısica
7
Geologıa del Siglo XX
Surgimiento de nuevas ramas de las Ciencias
geologıa nuclear
astrofısica
cosmo-geofısica
8
Geologıa del Siglo XX
Aplicacion intensa en los campos de las ingenierıas
civil (la geotecnia)
minas (control de estratos)
petroleos (geomecanica)
9
La Geologıa del Siglo XXI
El uso de solo el martillo cateador el mapa geologico y la seccion delgadacada vez son complementados por conceptos basados en las ciencias basicasy una aplicacion intensiva de matematicas estadıstica e informatica
La geologıa del Siglo XXI tiene componentes fundamentales y exigentesde Fısica Matematicas y Estadıstica y ahora tambien de Quımica
10
La Geologıa del Siglo XXI
Busca soluciones concretas siguiendo una metodologıa general queinvolucra
reconocer el problema
identificar los objetos (matematicos) variables
caracterizar esos objetos desde el punto de vista de su variabilidad
plantear la solucion con bases matematicas (matematizacion de lasolucion)
emplear metodos numericos computacionales
usar de forma extensiva un computador a traves de un lenguaje deprogramacion
11
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
12
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
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Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
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Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
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iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
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Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Figura 1 Modelo de una red de discontinuidades de un macizo rocoso
5
Geologıa Matematicas y Estadıstica
La geologıa se apoya hoy en dıa en
matematicas del medio continuo (eg algebra lineal y tensorialregularizacion y problemas inversos analisis de Fourier solucionnumerica de ecuaciones diferenciales parciales)
matematicas del medio discontinuo
la estadıstica (eg problemas estocasticos analisis multivariadoestadıstica espacial)
Esto logra explicar fenomenos que antes eran explicados solo desde unadescripcion heurıstica
6
Geologıa del Siglo XX
Desarrollo de la ciencia
1 Acertadas teorıas hacia el entendimiento de la Tierra como la teorıa deplacas
2 Desarrollo acelerado de una nueva disciplina la geofısica
7
Geologıa del Siglo XX
Surgimiento de nuevas ramas de las Ciencias
geologıa nuclear
astrofısica
cosmo-geofısica
8
Geologıa del Siglo XX
Aplicacion intensa en los campos de las ingenierıas
civil (la geotecnia)
minas (control de estratos)
petroleos (geomecanica)
9
La Geologıa del Siglo XXI
El uso de solo el martillo cateador el mapa geologico y la seccion delgadacada vez son complementados por conceptos basados en las ciencias basicasy una aplicacion intensiva de matematicas estadıstica e informatica
La geologıa del Siglo XXI tiene componentes fundamentales y exigentesde Fısica Matematicas y Estadıstica y ahora tambien de Quımica
10
La Geologıa del Siglo XXI
Busca soluciones concretas siguiendo una metodologıa general queinvolucra
reconocer el problema
identificar los objetos (matematicos) variables
caracterizar esos objetos desde el punto de vista de su variabilidad
plantear la solucion con bases matematicas (matematizacion de lasolucion)
emplear metodos numericos computacionales
usar de forma extensiva un computador a traves de un lenguaje deprogramacion
11
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
12
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
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Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
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Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
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Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
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[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Geologıa Matematicas y Estadıstica
La geologıa se apoya hoy en dıa en
matematicas del medio continuo (eg algebra lineal y tensorialregularizacion y problemas inversos analisis de Fourier solucionnumerica de ecuaciones diferenciales parciales)
matematicas del medio discontinuo
la estadıstica (eg problemas estocasticos analisis multivariadoestadıstica espacial)
Esto logra explicar fenomenos que antes eran explicados solo desde unadescripcion heurıstica
6
Geologıa del Siglo XX
Desarrollo de la ciencia
1 Acertadas teorıas hacia el entendimiento de la Tierra como la teorıa deplacas
2 Desarrollo acelerado de una nueva disciplina la geofısica
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Geologıa del Siglo XX
Surgimiento de nuevas ramas de las Ciencias
geologıa nuclear
astrofısica
cosmo-geofısica
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Geologıa del Siglo XX
Aplicacion intensa en los campos de las ingenierıas
civil (la geotecnia)
minas (control de estratos)
petroleos (geomecanica)
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La Geologıa del Siglo XXI
El uso de solo el martillo cateador el mapa geologico y la seccion delgadacada vez son complementados por conceptos basados en las ciencias basicasy una aplicacion intensiva de matematicas estadıstica e informatica
La geologıa del Siglo XXI tiene componentes fundamentales y exigentesde Fısica Matematicas y Estadıstica y ahora tambien de Quımica
10
La Geologıa del Siglo XXI
Busca soluciones concretas siguiendo una metodologıa general queinvolucra
reconocer el problema
identificar los objetos (matematicos) variables
caracterizar esos objetos desde el punto de vista de su variabilidad
plantear la solucion con bases matematicas (matematizacion de lasolucion)
emplear metodos numericos computacionales
usar de forma extensiva un computador a traves de un lenguaje deprogramacion
11
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
12
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
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iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Geologıa del Siglo XX
Desarrollo de la ciencia
1 Acertadas teorıas hacia el entendimiento de la Tierra como la teorıa deplacas
2 Desarrollo acelerado de una nueva disciplina la geofısica
7
Geologıa del Siglo XX
Surgimiento de nuevas ramas de las Ciencias
geologıa nuclear
astrofısica
cosmo-geofısica
8
Geologıa del Siglo XX
Aplicacion intensa en los campos de las ingenierıas
civil (la geotecnia)
minas (control de estratos)
petroleos (geomecanica)
9
La Geologıa del Siglo XXI
El uso de solo el martillo cateador el mapa geologico y la seccion delgadacada vez son complementados por conceptos basados en las ciencias basicasy una aplicacion intensiva de matematicas estadıstica e informatica
La geologıa del Siglo XXI tiene componentes fundamentales y exigentesde Fısica Matematicas y Estadıstica y ahora tambien de Quımica
10
La Geologıa del Siglo XXI
Busca soluciones concretas siguiendo una metodologıa general queinvolucra
reconocer el problema
identificar los objetos (matematicos) variables
caracterizar esos objetos desde el punto de vista de su variabilidad
plantear la solucion con bases matematicas (matematizacion de lasolucion)
emplear metodos numericos computacionales
usar de forma extensiva un computador a traves de un lenguaje deprogramacion
11
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
12
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
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metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
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La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
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Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
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Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
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10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
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datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Geologıa del Siglo XX
Surgimiento de nuevas ramas de las Ciencias
geologıa nuclear
astrofısica
cosmo-geofısica
8
Geologıa del Siglo XX
Aplicacion intensa en los campos de las ingenierıas
civil (la geotecnia)
minas (control de estratos)
petroleos (geomecanica)
9
La Geologıa del Siglo XXI
El uso de solo el martillo cateador el mapa geologico y la seccion delgadacada vez son complementados por conceptos basados en las ciencias basicasy una aplicacion intensiva de matematicas estadıstica e informatica
La geologıa del Siglo XXI tiene componentes fundamentales y exigentesde Fısica Matematicas y Estadıstica y ahora tambien de Quımica
10
La Geologıa del Siglo XXI
Busca soluciones concretas siguiendo una metodologıa general queinvolucra
reconocer el problema
identificar los objetos (matematicos) variables
caracterizar esos objetos desde el punto de vista de su variabilidad
plantear la solucion con bases matematicas (matematizacion de lasolucion)
emplear metodos numericos computacionales
usar de forma extensiva un computador a traves de un lenguaje deprogramacion
11
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
12
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
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Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Geologıa del Siglo XX
Aplicacion intensa en los campos de las ingenierıas
civil (la geotecnia)
minas (control de estratos)
petroleos (geomecanica)
9
La Geologıa del Siglo XXI
El uso de solo el martillo cateador el mapa geologico y la seccion delgadacada vez son complementados por conceptos basados en las ciencias basicasy una aplicacion intensiva de matematicas estadıstica e informatica
La geologıa del Siglo XXI tiene componentes fundamentales y exigentesde Fısica Matematicas y Estadıstica y ahora tambien de Quımica
10
La Geologıa del Siglo XXI
Busca soluciones concretas siguiendo una metodologıa general queinvolucra
reconocer el problema
identificar los objetos (matematicos) variables
caracterizar esos objetos desde el punto de vista de su variabilidad
plantear la solucion con bases matematicas (matematizacion de lasolucion)
emplear metodos numericos computacionales
usar de forma extensiva un computador a traves de un lenguaje deprogramacion
11
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
12
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
La Geologıa del Siglo XXI
El uso de solo el martillo cateador el mapa geologico y la seccion delgadacada vez son complementados por conceptos basados en las ciencias basicasy una aplicacion intensiva de matematicas estadıstica e informatica
La geologıa del Siglo XXI tiene componentes fundamentales y exigentesde Fısica Matematicas y Estadıstica y ahora tambien de Quımica
10
La Geologıa del Siglo XXI
Busca soluciones concretas siguiendo una metodologıa general queinvolucra
reconocer el problema
identificar los objetos (matematicos) variables
caracterizar esos objetos desde el punto de vista de su variabilidad
plantear la solucion con bases matematicas (matematizacion de lasolucion)
emplear metodos numericos computacionales
usar de forma extensiva un computador a traves de un lenguaje deprogramacion
11
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
12
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
La Geologıa del Siglo XXI
Busca soluciones concretas siguiendo una metodologıa general queinvolucra
reconocer el problema
identificar los objetos (matematicos) variables
caracterizar esos objetos desde el punto de vista de su variabilidad
plantear la solucion con bases matematicas (matematizacion de lasolucion)
emplear metodos numericos computacionales
usar de forma extensiva un computador a traves de un lenguaje deprogramacion
11
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
12
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
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El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
La geologıa matematica
Es la disciplina cientıfica que concretiza los conocimientos de lasmatematicas en problemas de la geologıa con el uso de la estadıstica y laaplicacion de las ciencias computacionales
Vistelius[15] (geologo matematico del siglo pasado) define a la geologıamatematica como una ciencia sobre modelos estocasticos de procesosgeologicos Bajo esta definicion la geologıa matematica tiene un altocaracter estadıstico
12
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
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Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
El termino geologıa matematica tiene otros nombres algunos usados anteso despues del mismo por ejemplo
geologıa cuantitativa
geologıa analıtica
geologıa numerica
geomatematicas
13
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Capacidades necesarias para practicar la
geologıa matematica
1 Uso de un lenguaje matematico en matematicas se necesita escogernombres a los objetos matematicos formular definiciones describir yexplicar El nombre de un objeto no cambia sus propiedades pero estepuede cambiar el sentido en que el objeto es percibido en el medio
2 Matematizar que es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacionmatematica un proceso por el cual el cientıfico transforma loobservado de la naturaleza en un modelo matematico
14
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
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Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
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datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
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El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Concepto de matematizar
Segun Hans Freudenthal (1971) la matematizacion es la actividad deorganizar cualquier disciplina a partir de los conceptos de las matematicas ysu lenguaje
Aquı se entiende como matematicas como aquella palabra que englobalas ciencias matematicas que incluye
matematica pura
matematica aplicada
estadıstica
computacion
investigacion de operaciones
15
Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
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[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
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Matematizacion y concretizacion
La matematizacion es un proceso que disena y desarrolla modelosconceptuales basados en leyes de la naturaleza en notacion matematica Esdecir un proceso por el cual el cientıfico transforma lo observado de lanaturaleza en un modelo matematico No solo se trata de entender elproceso sino de encontrar las variables que mas influyen en el proceso y lasrelaciones entre estas expresadas a traves del correcto lenguaje matematico
La concretizacion es el proceso inverso a la matematizacion y es el procesode transferir un modelo matematico a la realidad
Al igual del uso del termino matematizacion emergio el terminocomputarizacion de una disciplina m as que automatizacion de algunproblema
16
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Etapas de la matematizacion de una ciencia
El proceso de matematizacion logra sistematizar el conocimiento de unaciencia a traves de la observacion experimentacion y el estudio Las etapaspor las cuales pasa una ciencia en su desarrollo son las siguientes [14]
1 Recoleccion de datos e informacion su analisis e interpretacion
2 Formulacion cuantitativa de los principios cientıficos y las leyesempıricas
3 Formulacion estudio y validacion de los modelos matematicos
4 Empleo de los modelos matematicos para ganar el conocimientocientıfico
17
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
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Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
iquestDonde puede matematizar el Ingeniero Civil
El ingeniero civil tiene que empezar desde lo mas basico y esencial hastalo importante para su carrera puede matematizar por ejemplo en
la escritura
manejo de datos alfanumericos
lo demas eg en la geologıa
18
Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
19
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
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Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
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Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
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Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
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GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
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[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
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Aplicaciones de la geologıa matematica
Algunas aplicaciones de uso actual en las geologıa matematica son
analisis de series de tiempos registro seleccion de outliers captura deerrores mediante FFT
solucion de ecuaciones diferenciales parciales
solucion de problemas inversos
estadıstica generacion de funciones aleatorias problemas multivariadosestadıstica espacio-temporal
estadıstica direccional funciones de distribucion vectoriales ytensoriales
geoestadıstica univariada y multivariada de multiples puntos
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metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
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La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
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Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
metodos estocasticos no lineales para modelos dinamicos
relaciones fractales para obtener relaciones independientes de la escala
vision artificial en tiempo real y diferido
visualizacion 3D de modelos
estereologıa para estimacion de formas y volumenes a partir deinformacion en el plano
morfologıa matematica en el analisis de formas para la caracterizaciongeologica
20
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
La proyeccion esferica (PE) primera aplicacion
de la geologıa matematica
Inventada y usada por los griegos Retomada en la geologıa a finales delsiglo XIX difundida a inicios del siglo XX [2] y aplicada intensamente a partirde mediados del mismo siglo
Coordenadas Cartesianas en R3 harr Coordenadas esfericas en R2 (1)
21
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Figura 2 Una fotografıa transformada a la proyeccion esferica
22
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Con la proyeccion esferica
Los planos en R3 se convierten en un arco circular en R2
Las lıneas en R3 se convierten en un punto en R2
23
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
(a) diagrama estereografico (b) estructura geologica
24
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
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datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
El fundamento de la PE
Figura 3 Modificado de Ramsay [10]
25
Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
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Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
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[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
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Desarrollo historico de la PE
1 A finales del siglo XIX se propone la PE para mostrar simplemente laorientacion espacial de facciones geologicas orientadas en el espacio
2 En 1917 el geologo aleman W Schmidt sugiere usar la PE para el analisisestadıstico de facciones orientadas en el espacio el metodo lo publicaen la Academica de Ciencias Alemana[12]
3 En 1925 se vuelve a publicar el metodo de Schmidt[13] para la fecha yaaparecen algunas aplicaciones del metodo por otros geologos alemanes(eg [5])
4 En 1930 se pubica en idioma aleman el texto del aleman B Sanderdonde explica el metodo de Schmidt[11]
5 En la decada de los cincuenta del mismo siglo se publica un libro sobre
26
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
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datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
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Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Tectonica por el geologo aleman K Metz[7] Lehrbuch del TektonischenGeologie (en idioma aleman) donde se describe vagamente el metodode Schmidt
6 En la misma decada aparecen los primeros libros en idioma ingles sobreel metodo de Schmidt descrito en forma detallada ahı sobresale el librode Donn amp Shimer[4] con el tıtulo Graphic methods in structural geology
7 A principios de la decada de los 60 se crea en EEUU e Inglaterra losprimeros programas del uso de la PE de uso para en la geologıa[6]
8 En 1963 se traduce el libro de Metz al idioma espanol
9 En la decada de los 70 el uso del metodo se hace extensivo en los paisesdel idioma inglesa
27
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
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15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
10 A finales de los setenta aparecen los primeros textos academicos enidioma espanol escritos por autores colombianos[3]
11 Para la decada de los 80 del siglo XX se traducen varios libros detectonica del idioma ingles al espanol donde aparece detalladamente elmetodo de la PE aplicados a la geologıa (eg [9])
12 En 1982 se publica en la UN-Medellın la primera tesis de geologıa queaplica el metodo de Schmidt[1]
13 En 1983 se trae a Colombia expertos internacionales en geologıaestructural que transmiten los conocimientos de la PE aplicadas a lageologıa y a partir de ahı el uso de la PE se hace extensivo en laacademia
14 Para la decada de los 80 del siglo XX se tienen en los centros deinvestigacion de EEUU y Europa varios programas de analisis de
28
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
datos en la PE aplicados a la geologıa
15 En la decada de los 90 del mismo siglo el uso de la PE aplicada a lageologıa en Colombia se hace extensivo y forma parte del conocimientode la industria
16 A finales del siglo XX aparecen los primeros programas comercialesrobustos pero de de codigo cerrado del uso del PE en la geologıa
17 Para la primera decada del siglo XXI aparecen programas de codigoabierto de PE
18 A principios de la segunda decada del este siglo se crean los primeroscodigos abiertos de PE en America Latina
29
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
El relieve topografico se puede representar con
un grafo
Un grafo (del griego grafos dibujo imagen) es un conjunto de objetosllamados vertices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos quepermiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto
30
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
La superficie del terreno se puede representar
por una triangulacion Delone
Una triangulacion Delone (Delaunay) es una red de triangulos quesatisface que la circunferencia circunscrita de cada triangulo de la red nocontenga ningun vertice de otro triangulo adyacente
La triangulacion Delone maximiza los angulos interiores de los triangulosque pertenecen a la triangulacion Esto permite que los errores de redondeosean mınimos
Condicion una red de triangulos es una triangulacion tipo Delone si todaslas circunferencias circunscritas de todos los triangulos de la red son vacıasy una circunferencia es vacıa si no contiene otros vertices aparte de los tresque la definen
31
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
La superficie del terreno se puede representar
por una NURBS
B-splines racionales no uniformes o NURBS (acronimo del ingles de non-uniform rational B-spline) es un modelo matematico muy utilizado en lacomputacion grafica para generar y representar curvas y superficies
32
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
El volumen de un macizo se puede representar
por un complejo simplicial
Un complejo simplicial K es un conjunto de objetos V (K) y S(K) dondeel primero define los vertices de los simplejos y el segundo define cada uno delos simplejos El conjunto S(K) no puede ser vacıo y es un subconjunto deV (K) tal que si σ isin S(K) y τ sub σ τ 6= empty entonces τ isin S(K) siendo τ lacara de σ
Por ejemplo en el plano el siguiente complejo simplicial K = V S deelementos
V (K) = 0 1 2 3 4
S(K) = 0 1 2 3 4 0 1 0 2 1 2 2 3 3 4 0 1 2
es una figura geometrica
33
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Varios objetos de estudio en geologıa son un
tensor de 2do orden
Un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes quegeneraliza los conceptos de escalar vector y matriz de una manera que seaindependiente de cualquier sistema de coordenadas elegido
Por ejemplo
el estado de esfuerzos en un punto es un tensor de 2do orden (TSO)
la permeabilidad en un medio se representan por un TSO
la susceptibilidad magnetica de una roca es un TSO
34
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Un TSO no es una matriz de 3times 3
T 6= T (2)t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
6=
t11 t12 t13t21 t22 t23t31 t32 t33
(3)
Un TSO esta relacionada con una matriz como
T = T (ei otimes ej) (4)
35
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Un TSO tiene que cumplir con la condicion de la mutua ortogonalidadcuando se representa por sus vectores propios
Para verificar que las tres orientaciones propias (vgr las tres orientacionesprincipales) de un tensor cualquiera T son ortogonales entre sı se representanlos tres vectores propios como una matriz P donde cada una de las columnasson los vectores unitarios de valores reales de las tres orientaciones principales
De ahı se tiene que verificar que P sea
una matriz ortogonal y
una matriz gramiana simetrica y hermıtica
36
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Una matriz es ortogonal es una matriz ortonormal cuadrada donde suscolumnas y sus filas son vectores unitarios ortogonales entre sı (vgr vectoresorotonormales) y cumplen con que
P P = Pminus1 (5a)
P PP = P P P = I (5b)
37
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Una matriz gramiana (o matriz de Gram) simetrica hermıtica garantizaque los elementos sean reales que la matriz sea cuadrada y que sea simetricay que las columnas y filas sean linealmente independientes Para que la matrizsea de este tipo el determinante de Gram tiene que ser no-nulo que para elcaso de una matriz de 3times 3 serıa
G(p1p2p3) =
(p1 middot p1) (p1 middot p2) (p1 middot p3)(p2 middot p1) (p2 middot p2) (p2 middot p3)(p3 middot p1) (p3 middot p2) (p3 middot p3)
(6)
38
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Las condiciones de mutua ortogonalidad se cumpliran si se define o semiden las seis componentes independientes del TSO T
Sin embargo en las ciencias de la tierra el TSO en sı no se obtienedirectamente designando cada uno de los seis elementos Muchas veces semiden las orientaciones principales directamente y de ahı se trata dereconstruir un tensor
39
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
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El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Los inconvenientes
1 Las medidas en sı tienen errores sistematicos y aleatorios
2 Este problema genera matrices y problemas mal condicionados (vgr illpossed problems)
Un problema mal condicionado hace perder la simetrıa de la matriz sucaracter no-singular de la matriz o su consistencia o se puede perder lacapacidad de que la matriz sea invertible diagonizable o que de ella se puedanobtener sus vectores y valores propios (estos ultimos positivos y reales) o sepueda hacer una transformacion de semejanza de la matriz1
1En realidad se esta diciendo lo mismo de diferente modo debido a que muchos de estosterminos representan lo mismo pero con diferente nombre o una propiedad es consecuenciade la otra
40
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
iquestProblema directo o inverso
Por lo normal en la ingenierıa los problemas se plantearon de forma detener una solucion donde se conocen las causas y se desconocen los efectosestos ultimos los que se desean conocer Esta forma de proponer el problemaconlleva por lo normal a un problema directo
Sin embargo existen problemas donde se conocen los efectos y mas biense desconocen las causas dando lugar a tener un problema inverso
41
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
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nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
En geotecnia y geologıa la mayorıa de los problemas utiles son los inversosTomare un ejemplo de [8] donde plantea el estudio de la deformacion de lasrocas desde el punto de vista de un problema directo e inverso
problema directo iquestComo las propiedades mecanicas de la roca y suscondiciones de carga influencian en la deformacion de las rocas
problema inverso iquestA partir de la observacion de una roca deformadaque se puede inferir respecto la historia de su deformacion
Entre estas dos formas de plantearse el problema la segunda opcion tieneintereses significativos
42
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
El problema inverso de exploracion sısmica
Se nos da un numero n de geofonos para cada uno de ellos (i) mdashde 1 anmdash conocemos un punto en el espacio si que es la localizacion de la fuenteun punto espacial ri que es la localizacion del sensor y el tiempo de viaje dela onda ti Se necesita encontrar la funcion v(x) tal que para cada i
minγsiminusrarrri
intγ
ds
v(x)= ti (7)
donde el mınimo se toma en todos las posibles rutas γ que parten en si yterminan en ri
43
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Ejemplo interpretacion de bimsoils
Aquellos materiales compuestos por bloques en una matriz de textura finase llaman bimsoils (del ingles blocks in soil matrix ) o aquellos compuestospor bloques en matriz de tambien de roca se llaman bimrocks (del ingles blocksin rock matrix ) Ambos tipos se llaman bims
44
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Los bims pueden diferenciarse de aquellos netamente suelos o rocascuando estan
en zonas de alta deformacion ruptil (roca fragmentada)
en zonas de alta deformacion ductil pero meteorizada
inicialmente sanos pero fuertemente meteorizados y deteriorados por laaccion quımica de agua
en zonas de falla (cataclasitas)
no consolidados alterados y con fragmentos de roca (regolitos)
forman rocas melagenas (melanges)
son transportados y depositados (eg depositos de vertiente ysedimentarios)
45
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Descripcion de bimsoils
El paso inicial para entender el comrpotamiento mecanico de un bims essu descripcion y caracterizacion
46
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
El problema durante el algoritmo
Se deseaba crear un algoritmo que separe los bloques de la matriz en unaventana de exploracion a traves de una fotografıa
47
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
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El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
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16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
El problema durante el algoritmo
En este caso se tenıa la informacion del volumen de pıxeles que ocupabatoda la imagen el volumen de pıxeles que ocupaba los bloques (vgrpartıculas) mas su complemento y el volumen de pıxeles que ocupaba lamatriz con su complemento pero no el volumen que ocupaba la matriz
48
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
49
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
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El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
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14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Planteamiento del problema
El problema se planteo a partir de la teorıa de conjuntos y fue el siguiente
Sean tres conjuntos M P y B para referirse al conjunto de pıxeles quepertenecen de forma respectiva a la matriz las partıculas y el fondo se pidehallar la expresion que obtenga (BminusM)cminus (BminusP )c conocidos (P minusM)cminus(P minusB)c (M minusB)cminus (M minusP )c y sus complementos ademas de M cupP cupBTomando en cuenta que se tiene las siguientes particularidades M cap P =M capB = P capB = M cap P capB = empty y (M cup P cupB)c = empty
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Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
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16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Interpretacion del problema
50
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Solucion
RespuestaM c minus P
Implementacion
La implementacion en codigo serıa
numWholeIm =numel(imageArrayCelli)
[ numOfPrtls numOfMtrxsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitParticleImageArrayCelli )
[ numOfMtrxs numOfPrtlsAndBkgrnds ] =twobitsimagehist
( twobitMatrixImageArrayCelli )
wholeParticlesPixelsCelli =numOfPrtls
wholeMatrixPixelsCelli =numOfMtrxs
wholeBckgrndPixelsCelli =numOfPrtlsAndBkgrnds -numOfPrtls
51
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
El GI de Geologıa Matematica
S
270
10
11
12
13
14
15
16
17
nablaaaa = Th
1000111
11001011101111
δφδ t+
pε
52
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Objetivo
Aplicar las matematicas a los diversos problemas de la geologıa e ingenierıageologica
Objetivos secundarios
aplicar el lenguaje matematico para definir problemas geologicos
matematizar los problemas geologicos
plantear rutas de solucion de los problemas geologicos aplicando lasmatematicas
solucionar los problemas geologicos matematizados
53
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
iquestComo se logra estos objetivos Estos objetivos se logran si se concentratambien la atencion a
crear algoritmos en lenguajes diversos (eg MATLABr Python y C++)para automatizar calculos geologicos repetitivos
crear algoritmos para la solucion rapida generalizada y automatica delos problemas geologicos planteados
crear modelos virtuales de ensenanza de la geologıa
54
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Retos
El principal reto del Grupo de Investigacion en Geologıa Matematica esel de convertir la geologıa y la ingenierıa geologica colombiana en unaciencia menos descriptiva y mas predictiva con el uso de modelosmatematicos desarrollados para ese fin desarrollando los propios codigoscomputacionales
Vision
En diez anos el GI de Geologıa Matematica habra solucionado losprincipales problemas numerico-matematicos de uso comun y particularesaplicados a la geologıa y geotecnia para America Latina plasmados encodigos abiertos
55
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Lıneas de investigacion
Algoritmos aplicados a la Geotecnia y Geologıa Estructural
Objetivo de la Lınea crear algoritmos en lenguajes de programacion(experimentales o industriales como MATLABr Python C++) deproblemas direccionales de Geologıa Estructural
Problemas inversos en Geologıa
Objetivo de la Lınea Encontrar y desarrollar en algoritmos las solucionesa problemas inversos presentes en geologıa
56
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
Logros
1 GeonetDigitizer algoritmo para digitalizar datos en mallas Wulff yLambert
2 Buzy+ caja de herramientas para la manipulacion de orientaciones deplanos de discontinuidad
3 Vision Artificial para el levantamiento de discontinuidades de macizosrocosos ejemplo en la Cantera Santa Rita Medellın (Colombia)
57
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
[4] WL Donn and JA Shimer Graphic methods in structural geologyAppleton Century Crofts inc New York 1958
59
[5] EClar Gefugestatistisches zur metasomatose Zeitschrift furKristallographie Mineralogie und Petrographie 43(3)129ndash143 May1933
[6] TV Loudon Computer analysis of orientation data in structuralgeology Technical Report 13 Northwestern University EvanstonIllinois Nov 1964 Office of Naval Research Geography BranchContract 1228(26) ONR Task 389-135
[7] K Metz Lehrbuch der Tektonischen Geologie Ferdinand Enke VerlagStuttgart 1 edition 1957
[8] MA Peletier Applied mathematics the Hans van Dujin way http
arXiv12045386v1 Apr 2012
60
[9] DM Ragan Geologıa estructural introduccion a las tecnicasgeometricas Ediciones Omega sa Barcelona 1 edition 1986 Traducedfrom English to Spanish by M Domingo Miro
[10] JG Ramsay Folding and fracturing of rocks McGraw-Hill New York1967
[11] B Sander Gefugekunde der Gesteine Anon Leipzig 1930
[12] W Schmidt Statistische Methoden zur Gefugeuntersuchung kristallinerSchiefer Sitzungsber d k Akad d Wissensch Wien 1917
[13] W Schmidt Gefugestatistik Tschermaks mineralogische undpetrographische Mitteilungen 38(1)392ndash423 1925 Article 23
[14] M Thompson Mathematics tomorrow chapter Mathematization in thesciences pages 243ndash250 Number 24 Springer New York 1981
61
[15] AB Vistelius Mathematical geologists and development of thegeological sciences Mathematical Geology 8(1)3ndash8 1976
62
GI Geologıa Matematica asociado a
58
Referencias
[1] ID Arango Cruz and LF Monotoya Osorio Fracturamiento delBatolito Antioqueno y sus relaciones tectonicas e hidroestructurales Bscthesis Departamento de Recursos Minerales y Energeticos UniversidadNacional de Colombia Medellın Colombia 1982 T5518 A71
[2] WH Bucher The mechanical interpretation of joints Part I Journalof Geology 28707ndash730 1920
[3] A Chica Sanchez Aspectos mecanicos e hidraulicos de las rocasUniversidad Nacional de Colombia Medellın 1 edition Nov 1979
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arXiv12045386v1 Apr 2012
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62
Referencias
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