Géomathsla Terre en équations

Ariel Provost, laboratoire Magmas et Volcans

Syène (Assouan), 1799

Eratosthène, 275-195 av. J-C

1 stade = 157,5 m

50 jours 100 st/j = 5000 stades

5000 50 = 250 000 stades = 39 375 km

, Terre ronde

Terre plate,

Potentiel de gravitation

• Développement en harmoniques sphériques :

• Les Pn sont les Polynômes et fonctions de Legendre.

• Les Jn, cn,p et sn,p sont des coefficients numériques. Pour la Terre :

J2 = 1,082625103 (aplatissement polaire)

J3 = 2,534106 c2,2 = 1,571106 s2,2 = 0,903106

J4 = 1,623106 c3,1 = 2,190106 s3,1 = 0,272106

, ,2 1

, ,

1 cos cos cos sinn n

pen n n n p n p

n p

U r

RGMJ P P c p s p

r r

/ 22

2 ( ) 211 d d

1 12 ! d 2 ! d

pn n p

n npn nn n n n p

sP s s P s s

n s n s

Le géoïde

V(z)

z

Propagation des ondes sismiques dans un sous-sol stratifié

d sin

d ( )

t i zp

x V z

1 2

1 2

sin sin d

d

i i tp

V V x

V1

V2

V3

O X

2 2

2 2

dtan

d 1

d 1 1

d cos 1

x pV zi

z p V z

t

z i p V z

zmax

X(p)O

i

dx

dzp reste constant

→ on peut intégrer…

max

max

2 20

2 20

2 d1

12 d

1

z

z

pV zX p z

p V z

Z p zp V z

i1

i2

V(z)

z

Propagation des ondes sismiques dans un sous-sol stratifié

d sin

d ( )

t i zp

x V z

1 2

1 2

sin sin d

d

i i tp

V V x

V1

V2

V3

O X

2 2

2 2

dtan

d 1

d 1 1

d cos 1

x pV zi

z p V z

t

z i p V z

zmax

X(p)O

i

dx

dzp reste constant

→ on peut intégrer…

max

max

2 20

2 20

2 d1

12 d

1

z

z

pV zX p z

p V z

T p zp V z

i1

i2

Ondes sismiques dans une terre homogène

Source

Station

R

2 sin2

D R

Distance parcourue Temps de trajet

( ) 2 sin2

RT

V

Distance angulaire

Tem

ps d

e tr

ajet

T 2R/V

2 sin2

D R

D

PkP

R ~ 4 km/s

SkS

Multiple S

Core shadow

La terre est un milieu élastique stratifié

avec des perturbationslatérales de l'ordre de 1 à 5 %

Hodochrones de la terre globale

Hodochrones de la terre globale

Hodochrones de la terre globale

Tomographie sismique

4 1S

S

d11,1 10 K

d

V

V T

2S S

5 1 5 1

1110

10

11 10 K 11 10 K00 KT

V V

Granitedu Velay

Granitedu Velay

Granitedu Velay

Granitedu Velay

y a x b

1

1

ln 1

t

t

a e

a

t 297 ±16 Ma

Saint-Véran (Queyras, France)

Métamorphisme

Olivine

Modélisation

La formation des Alpes

→ Animation

Eruption volcanique

Croissance des bulles