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  • Dirce Uesu PescoRoberto Geraldo Tavares Arnaut

    Volume 1 - Mdulo 12 edio

    Geometria Bsica

    Apoio:

  • Copyright 2008, Fundao Cecierj / Consrcio Cederj

    Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Fundao.

    Referncias Bibliogrfi cas e catalogao na fonte, de acordo com as normas da ABNT.

    P383gPesco, Dirce Uesu.

    Geometria bsica. v.1 / Roberto Geraldo Tavares Arnaut. -- 2.ed. -- Rio de Janeiro: Fundao CECIERJ, 2010.

    280p.; 21 x 29,7 cm.

    ISBN: 978-85-7648-659-6

    1.Geometria. 2. Tringulos. 3. ngulos. 4. Figuras geomtricas. I. Uesu Pesco, Dirceu. II. Arnaut, Roberto Geraldo Tavares. III. Ttulo.

    CDD: 5162010.2/2011.1

    ELABORAO DE CONTEDODirce Uesu PescoRoberto Geraldo Tavares Arnaut

    COORDENAO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa Barreto

    DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALE REVISO Alexandre Rodrigues AlvesNilce P. Rangel Del Rio

    COORDENAO DE AVALIAO DO MATERIAL DIDTICODbora Barreiros

    Material Didtico

    EDITORFbio Rapello Alencar

    COORDENAO DE REVISOCristina Freixinho

    REVISO TIPOGRFICAEquipe CEDERJ

    COORDENAO DE PRODUORonaldo d'Aguiar Silva

    DIRETOR DE ARTEAlexandre d'Oliveira

    PROGRAMAO VISUALMarcelo Freitas

    ILUSTRAOEquipe CEDERJ

    CAPAEduardo BordoniFabio Muniz

    PRODUO GRFICAOsias FerrazPatricia SeabraVernica Paranhos

    Departamento de Produo

    Fundao Cecierj / Consrcio CederjRua Visconde de Niteri, 1364 Mangueira Rio de Janeiro, RJ CEP 20943-001

    Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725

    PresidenteMasako Oya Masuda

    Vice-presidenteMirian Crapez

    Coordenao do Curso de MatemticaUFF - Regina Moreth

    UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca

  • Universidades Consorciadas

    Governo do Estado do Rio de Janeiro

    Secretrio de Estado de Cincia e Tecnologia

    Governador

    Alexandre Cardoso

    Srgio Cabral Filho

    UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho

    UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Vieiralves

    UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania Tuttman

    UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta Miranda

    UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Alosio Teixeira

    UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Roberto de Souza Salles

  • Geometria Bsica

    SUMRIO

    Volume 1 - Mdulo 1

    Prefcio ________________________________________________________7

    Aula 1 Conceitos Bsicos __________________________________________ 11

    Aula 2 Congruncia de Tringulos __________________________________ 47

    Aula 3 Polgonos Convexos _______________________________________ 61

    Aula 4 ngulos em uma Circunferncia ______________________________ 73

    Aula 5 Quadrilteros Notveis_____________________________________ 93

    Aula 6 Pontos Notveis de um Tringulo ____________________________ 115

    Aula 7 Complementos _________________________________________ 129

    Aula 8 Segmentos Proporcionais __________________________________ 141

    Aula 9 Tringulos Semelhantes __________________________________ 155

    Aula 10 Tringulo Retngulo _____________________________________ 179

    Aula 11 Polgonos Regulares _____________________________________ 201

    Aula 12 reas de Superfcies Planas ________________________________ 223

    Exerccios Propostos _________________________________ 245

    Exerccios Resolvidos ________________________________ 253

  • Prefacio

    Os primeiros resultados geometricos sao bem antigos e sao de origem

    experimental. Foram observados pelo homem em sua atividade pratica. Como

    ciencia emprica a Geometria alcancou em seu perodo inicial um nvel singu-

    larmente elevado no Egito. Durante o primeiro milenio anterior a nossa era

    as nocoes de geometria passaram dos egpcios aos gregos, e na Grecia antiga

    iniciou-se uma nova etapa de descobrimento desta ciencia. No perodo com-

    preendido entre os seculos VII e III antes da nossa era, os geometras gregos

    enriqueceram a geometria com numerosos resultados novos.

    Euclides (300 A.C.) reuniu e sistematizou a geometria Grega em sua

    famosa obra Elementos, que foi a primeira exposicao fundamentada da

    Geometria. O livro e composto por 13 livros dos quais 8 foram dedicados

    a Geometria e os outros a Aritmetica. O primeiro livro e de definicoes,

    postulados e axiomas. Por exemplo:

    Postulado I : e possvel tracar uma reta de um ponto a outro.

    Axioma I : Duas coisas iguais a uma terceira sao iguais entre si.

    Axioma II: Se a duas coisas iguais se somam coisas iguais, se obtem somas

    iguais.

    Tanto os postulados quanto os axiomas constituem afirmacoes admiti-

    das sem demonstracao. Hoje em dia chamamos todas essas afirmacoes de

    axiomas. Dos axiomas seguem os teoremas e os problemas.

    Esta construcao de geometria sugeriu aos geometras o desejo natural

    de reduzir ao mnimo o numero de postulados e axiomas. O proprio Euclides

    e muitos geometras tentaram reduzir. Muitos deles comecaram pelo 5 pos-

    tulado. Mas em todas estas demonstracoes os geometras utilizavam alguma

    afirmacao equivalente ao 5 postulado e nao dos outros postulados e axiomas.

    Algumas dessas afirmacoes sao:

    1) Todas as perpendiculares a um lado do angulo agudo cortam seu outro

    lado.

    2) Existem triangulos de areas tao grandes quanto se queira.

    3) As retas paralelas sao equidistantes.

    As tentativas erradas de demonstracao colocaram duvidas, no fim do seculo

    XVIII, da possibilidade de se provar o 5 postulado.

    A solucao desta questao esta nas obras do grande geometra russo Nicolai

    Lobachevsky (1792-1856).

    7CEDERJ

  • Uma das equivalencias do 5 postulado e que dado uma reta r e um

    ponto P / r, pode-se passar uma e somente uma reta s passando por P eparalela a r.

    Lobachevsky substituiu o 5 postulado pelo seguinte:

    Por um ponto exterior a uma reta pertencente a um plano passam duas retas

    que nao a cortam.

    Assim como os geometras anteriores, Lobachevsky tinha esperanca de

    descobrir uma contradicao na afirmacao que se despreende do novo postulado.

    Nao chegou a contradicao alguma e concluiu que existe, uma Geometria dis-

    tinta da Euclidiana onde nao tem lugar o 5 Postulado de Euclides. Esta

    Geometria hoje, chama-se Geometria de Lobachevsky ou hiperbolica.

    Os geometras que se seguiram a Lobachevsky demonstraram que nao

    tem contradicao a Geometria de Euclides tao pouco tem a Geometria de

    Lobachevsky.

    Sao validos resultados nas duas teorias como igualdade de triangulo,

    relacao entre lados e angulo dos triangulos, etc.

    Os teoremas que usam o axioma das paralelas de Lobachevsky tem enunciados

    bem diferentes.

    Na Geometria Euclidiana temos que a soma dos angulos internos de

    um triangulo e 180. Na Geometria de Lobachevsky temos que a soma dos

    angulos internos de um triangulo e menor que 180.

    Na Geometria Euclidiana existe um numero infinito de triangulos se-

    melhantes iguais a ele. Na Geometria de Lobachevsky tem que se em dois

    triangulos os angulos sao iguais, entao os triangulos sao iguais.

    A continuada falta de reconhecimento com as suas descobertas e com

    publicacao de suas obras, Novos fundamentos de geometriaem 1835-1838,

    Investigacoes geometricas sobre a teoria das paralelasem 1840 e Pange-

    ometriaem 1855 tanto o abalaram que Lobachevsky nada mais publicou. A

    parte do leao do credito pelo desenvolvimento da Geometria nao-Euclidiana

    pertence pois a Lobachevsky.

    As informacoes historicas foram obtidas em Historia da Matematica,

    de Carl B. Boyer-publicada pela editora Edgard Blucher em 1974, traduzida

    por Elza F. Gomide e tambem na Revista do Professor de Matematica publi-

    cada pela Sociedade Brasileira de Matematica.

    CEDERJ 8

  • Estrutura do livro

    A primeira parte da disciplina Geometria Basica engloba os seguintes

    conteudos em ordem cronologica de apresentacao: Conceitos Basicos, Con-

    gruencia de Triangulos, Polgonos Convexos, angulos em uma Circunferencia;

    Quadrilateros Notaveis, Pontos Notaveis de um Triangulo, Segmentos Pro-

    porcionais, Triangulos Semelhantes, Triangulo Retangulo e Triangulo Qual-

    quer, Polgonos Regulares e Comprimento de uma Circunferencia, e areas de

    Superfcies Planas.

    O livro apresenta conteudos em forma de aulas de 01 a 12. E final-

    mente, um conjunto de Exerccios Programados e suas solucoes aplicados no

    segundo semestre do ano de 2008, para este conteudo.

    A organizacao da disciplina e de duas aulas a ser abordada semanal-

    mente, exceto a aula 01 que corresponde a primeira semana de aula.

    Apresentacao e Objetivos

    Este livro e resultado da experiencia do Professor Roberto Geraldo nas

    disciplinas lecionadas no Departamento de Geometria da Universidade Fe-

    deral Fluminense e tambem de sua experiencia de mais de 20 anos com o

    ensino medio.

    O livro foi produzido no segundo semestre de 2008 quando da coor-

    denacao da disciplina Geometria Basica, juntamente com a Professora Dirce

    Uesu Pesco, sendo direcionado a alunos do primeiro semestre do curso de

    Licenciatura em Matematica da UFF/CEDERJ/UAB.

    O objetivo da disciplina e desenvolver a visao geometrica e espacial, a

    introducao ao tratamento ax