geomet basica
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Dirce Uesu PescoRoberto Geraldo Tavares Arnaut
Volume 1 - Mdulo 12 edio
Geometria Bsica
Apoio:
Copyright 2008, Fundao Cecierj / Consrcio Cederj
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Referncias Bibliogrfi cas e catalogao na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
P383gPesco, Dirce Uesu.
Geometria bsica. v.1 / Roberto Geraldo Tavares Arnaut. -- 2.ed. -- Rio de Janeiro: Fundao CECIERJ, 2010.
280p.; 21 x 29,7 cm.
ISBN: 978-85-7648-659-6
1.Geometria. 2. Tringulos. 3. ngulos. 4. Figuras geomtricas. I. Uesu Pesco, Dirceu. II. Arnaut, Roberto Geraldo Tavares. III. Ttulo.
CDD: 5162010.2/2011.1
ELABORAO DE CONTEDODirce Uesu PescoRoberto Geraldo Tavares Arnaut
COORDENAO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa Barreto
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALE REVISO Alexandre Rodrigues AlvesNilce P. Rangel Del Rio
COORDENAO DE AVALIAO DO MATERIAL DIDTICODbora Barreiros
Material Didtico
EDITORFbio Rapello Alencar
COORDENAO DE REVISOCristina Freixinho
REVISO TIPOGRFICAEquipe CEDERJ
COORDENAO DE PRODUORonaldo d'Aguiar Silva
DIRETOR DE ARTEAlexandre d'Oliveira
PROGRAMAO VISUALMarcelo Freitas
ILUSTRAOEquipe CEDERJ
CAPAEduardo BordoniFabio Muniz
PRODUO GRFICAOsias FerrazPatricia SeabraVernica Paranhos
Departamento de Produo
Fundao Cecierj / Consrcio CederjRua Visconde de Niteri, 1364 Mangueira Rio de Janeiro, RJ CEP 20943-001
Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725
PresidenteMasako Oya Masuda
Vice-presidenteMirian Crapez
Coordenao do Curso de MatemticaUFF - Regina Moreth
UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca
Universidades Consorciadas
Governo do Estado do Rio de Janeiro
Secretrio de Estado de Cincia e Tecnologia
Governador
Alexandre Cardoso
Srgio Cabral Filho
UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIROReitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho
UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Vieiralves
UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIROReitora: Malvina Tania Tuttman
UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROReitor: Ricardo Motta Miranda
UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Alosio Teixeira
UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Roberto de Souza Salles
Geometria Bsica
SUMRIO
Volume 1 - Mdulo 1
Prefcio ________________________________________________________7
Aula 1 Conceitos Bsicos __________________________________________ 11
Aula 2 Congruncia de Tringulos __________________________________ 47
Aula 3 Polgonos Convexos _______________________________________ 61
Aula 4 ngulos em uma Circunferncia ______________________________ 73
Aula 5 Quadrilteros Notveis_____________________________________ 93
Aula 6 Pontos Notveis de um Tringulo ____________________________ 115
Aula 7 Complementos _________________________________________ 129
Aula 8 Segmentos Proporcionais __________________________________ 141
Aula 9 Tringulos Semelhantes __________________________________ 155
Aula 10 Tringulo Retngulo _____________________________________ 179
Aula 11 Polgonos Regulares _____________________________________ 201
Aula 12 reas de Superfcies Planas ________________________________ 223
Exerccios Propostos _________________________________ 245
Exerccios Resolvidos ________________________________ 253
Prefacio
Os primeiros resultados geometricos sao bem antigos e sao de origem
experimental. Foram observados pelo homem em sua atividade pratica. Como
ciencia emprica a Geometria alcancou em seu perodo inicial um nvel singu-
larmente elevado no Egito. Durante o primeiro milenio anterior a nossa era
as nocoes de geometria passaram dos egpcios aos gregos, e na Grecia antiga
iniciou-se uma nova etapa de descobrimento desta ciencia. No perodo com-
preendido entre os seculos VII e III antes da nossa era, os geometras gregos
enriqueceram a geometria com numerosos resultados novos.
Euclides (300 A.C.) reuniu e sistematizou a geometria Grega em sua
famosa obra Elementos, que foi a primeira exposicao fundamentada da
Geometria. O livro e composto por 13 livros dos quais 8 foram dedicados
a Geometria e os outros a Aritmetica. O primeiro livro e de definicoes,
postulados e axiomas. Por exemplo:
Postulado I : e possvel tracar uma reta de um ponto a outro.
Axioma I : Duas coisas iguais a uma terceira sao iguais entre si.
Axioma II: Se a duas coisas iguais se somam coisas iguais, se obtem somas
iguais.
Tanto os postulados quanto os axiomas constituem afirmacoes admiti-
das sem demonstracao. Hoje em dia chamamos todas essas afirmacoes de
axiomas. Dos axiomas seguem os teoremas e os problemas.
Esta construcao de geometria sugeriu aos geometras o desejo natural
de reduzir ao mnimo o numero de postulados e axiomas. O proprio Euclides
e muitos geometras tentaram reduzir. Muitos deles comecaram pelo 5 pos-
tulado. Mas em todas estas demonstracoes os geometras utilizavam alguma
afirmacao equivalente ao 5 postulado e nao dos outros postulados e axiomas.
Algumas dessas afirmacoes sao:
1) Todas as perpendiculares a um lado do angulo agudo cortam seu outro
lado.
2) Existem triangulos de areas tao grandes quanto se queira.
3) As retas paralelas sao equidistantes.
As tentativas erradas de demonstracao colocaram duvidas, no fim do seculo
XVIII, da possibilidade de se provar o 5 postulado.
A solucao desta questao esta nas obras do grande geometra russo Nicolai
Lobachevsky (1792-1856).
7CEDERJ
Uma das equivalencias do 5 postulado e que dado uma reta r e um
ponto P / r, pode-se passar uma e somente uma reta s passando por P eparalela a r.
Lobachevsky substituiu o 5 postulado pelo seguinte:
Por um ponto exterior a uma reta pertencente a um plano passam duas retas
que nao a cortam.
Assim como os geometras anteriores, Lobachevsky tinha esperanca de
descobrir uma contradicao na afirmacao que se despreende do novo postulado.
Nao chegou a contradicao alguma e concluiu que existe, uma Geometria dis-
tinta da Euclidiana onde nao tem lugar o 5 Postulado de Euclides. Esta
Geometria hoje, chama-se Geometria de Lobachevsky ou hiperbolica.
Os geometras que se seguiram a Lobachevsky demonstraram que nao
tem contradicao a Geometria de Euclides tao pouco tem a Geometria de
Lobachevsky.
Sao validos resultados nas duas teorias como igualdade de triangulo,
relacao entre lados e angulo dos triangulos, etc.
Os teoremas que usam o axioma das paralelas de Lobachevsky tem enunciados
bem diferentes.
Na Geometria Euclidiana temos que a soma dos angulos internos de
um triangulo e 180. Na Geometria de Lobachevsky temos que a soma dos
angulos internos de um triangulo e menor que 180.
Na Geometria Euclidiana existe um numero infinito de triangulos se-
melhantes iguais a ele. Na Geometria de Lobachevsky tem que se em dois
triangulos os angulos sao iguais, entao os triangulos sao iguais.
A continuada falta de reconhecimento com as suas descobertas e com
publicacao de suas obras, Novos fundamentos de geometriaem 1835-1838,
Investigacoes geometricas sobre a teoria das paralelasem 1840 e Pange-
ometriaem 1855 tanto o abalaram que Lobachevsky nada mais publicou. A
parte do leao do credito pelo desenvolvimento da Geometria nao-Euclidiana
pertence pois a Lobachevsky.
As informacoes historicas foram obtidas em Historia da Matematica,
de Carl B. Boyer-publicada pela editora Edgard Blucher em 1974, traduzida
por Elza F. Gomide e tambem na Revista do Professor de Matematica publi-
cada pela Sociedade Brasileira de Matematica.
CEDERJ 8
Estrutura do livro
A primeira parte da disciplina Geometria Basica engloba os seguintes
conteudos em ordem cronologica de apresentacao: Conceitos Basicos, Con-
gruencia de Triangulos, Polgonos Convexos, angulos em uma Circunferencia;
Quadrilateros Notaveis, Pontos Notaveis de um Triangulo, Segmentos Pro-
porcionais, Triangulos Semelhantes, Triangulo Retangulo e Triangulo Qual-
quer, Polgonos Regulares e Comprimento de uma Circunferencia, e areas de
Superfcies Planas.
O livro apresenta conteudos em forma de aulas de 01 a 12. E final-
mente, um conjunto de Exerccios Programados e suas solucoes aplicados no
segundo semestre do ano de 2008, para este conteudo.
A organizacao da disciplina e de duas aulas a ser abordada semanal-
mente, exceto a aula 01 que corresponde a primeira semana de aula.
Apresentacao e Objetivos
Este livro e resultado da experiencia do Professor Roberto Geraldo nas
disciplinas lecionadas no Departamento de Geometria da Universidade Fe-
deral Fluminense e tambem de sua experiencia de mais de 20 anos com o
ensino medio.
O livro foi produzido no segundo semestre de 2008 quando da coor-
denacao da disciplina Geometria Basica, juntamente com a Professora Dirce
Uesu Pesco, sendo direcionado a alunos do primeiro semestre do curso de
Licenciatura em Matematica da UFF/CEDERJ/UAB.
O objetivo da disciplina e desenvolver a visao geometrica e espacial, a
introducao ao tratamento ax