geomet basica

Dirce Uesu PescoRoberto Geraldo Tavares Arnaut

Volume 1 - Mdulo 12 edio

Geometria Bsica

Apoio:

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P383gPesco, Dirce Uesu.

Geometria bsica. v.1 / Roberto Geraldo Tavares Arnaut. -- 2.ed. -- Rio de Janeiro: Fundao CECIERJ, 2010.

280p.; 21 x 29,7 cm.

ISBN: 978-85-7648-659-6

1.Geometria. 2. Tringulos. 3. ngulos. 4. Figuras geomtricas. I. Uesu Pesco, Dirceu. II. Arnaut, Roberto Geraldo Tavares. III. Ttulo.

CDD: 5162010.2/2011.1

ELABORAO DE CONTEDODirce Uesu PescoRoberto Geraldo Tavares Arnaut

COORDENAO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALCristine Costa Barreto

DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONALE REVISO Alexandre Rodrigues AlvesNilce P. Rangel Del Rio

COORDENAO DE AVALIAO DO MATERIAL DIDTICODbora Barreiros

Material Didtico

EDITORFbio Rapello Alencar

COORDENAO DE REVISOCristina Freixinho

REVISO TIPOGRFICAEquipe CEDERJ

COORDENAO DE PRODUORonaldo d'Aguiar Silva

DIRETOR DE ARTEAlexandre d'Oliveira

PROGRAMAO VISUALMarcelo Freitas

ILUSTRAOEquipe CEDERJ

CAPAEduardo BordoniFabio Muniz

PRODUO GRFICAOsias FerrazPatricia SeabraVernica Paranhos

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UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROReitor: Alosio Teixeira

UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEReitor: Roberto de Souza Salles

Geometria Bsica

SUMRIO

Volume 1 - Mdulo 1

Prefcio ________________________________________________________7

Aula 1 Conceitos Bsicos __________________________________________ 11

Aula 2 Congruncia de Tringulos __________________________________ 47

Aula 3 Polgonos Convexos _______________________________________ 61

Aula 4 ngulos em uma Circunferncia ______________________________ 73

Aula 5 Quadrilteros Notveis_____________________________________ 93

Aula 6 Pontos Notveis de um Tringulo ____________________________ 115

Aula 7 Complementos _________________________________________ 129

Aula 8 Segmentos Proporcionais __________________________________ 141

Aula 9 Tringulos Semelhantes __________________________________ 155

Aula 10 Tringulo Retngulo _____________________________________ 179

Aula 11 Polgonos Regulares _____________________________________ 201

Aula 12 reas de Superfcies Planas ________________________________ 223

Exerccios Propostos _________________________________ 245

Exerccios Resolvidos ________________________________ 253

Prefacio

Os primeiros resultados geometricos sao bem antigos e sao de origem

experimental. Foram observados pelo homem em sua atividade pratica. Como

ciencia emprica a Geometria alcancou em seu perodo inicial um nvel singu-

larmente elevado no Egito. Durante o primeiro milenio anterior a nossa era

as nocoes de geometria passaram dos egpcios aos gregos, e na Grecia antiga

iniciou-se uma nova etapa de descobrimento desta ciencia. No perodo com-

preendido entre os seculos VII e III antes da nossa era, os geometras gregos

enriqueceram a geometria com numerosos resultados novos.

Euclides (300 A.C.) reuniu e sistematizou a geometria Grega em sua

famosa obra Elementos, que foi a primeira exposicao fundamentada da

Geometria. O livro e composto por 13 livros dos quais 8 foram dedicados

a Geometria e os outros a Aritmetica. O primeiro livro e de definicoes,

postulados e axiomas. Por exemplo:

Postulado I : e possvel tracar uma reta de um ponto a outro.

Axioma I : Duas coisas iguais a uma terceira sao iguais entre si.

Axioma II: Se a duas coisas iguais se somam coisas iguais, se obtem somas

iguais.

Tanto os postulados quanto os axiomas constituem afirmacoes admiti-

das sem demonstracao. Hoje em dia chamamos todas essas afirmacoes de

axiomas. Dos axiomas seguem os teoremas e os problemas.

Esta construcao de geometria sugeriu aos geometras o desejo natural

de reduzir ao mnimo o numero de postulados e axiomas. O proprio Euclides

e muitos geometras tentaram reduzir. Muitos deles comecaram pelo 5 pos-

tulado. Mas em todas estas demonstracoes os geometras utilizavam alguma

afirmacao equivalente ao 5 postulado e nao dos outros postulados e axiomas.

Algumas dessas afirmacoes sao:

1) Todas as perpendiculares a um lado do angulo agudo cortam seu outro

lado.

2) Existem triangulos de areas tao grandes quanto se queira.

3) As retas paralelas sao equidistantes.

As tentativas erradas de demonstracao colocaram duvidas, no fim do seculo

XVIII, da possibilidade de se provar o 5 postulado.

A solucao desta questao esta nas obras do grande geometra russo Nicolai

Lobachevsky (1792-1856).

7CEDERJ

Uma das equivalencias do 5 postulado e que dado uma reta r e um

ponto P / r, pode-se passar uma e somente uma reta s passando por P eparalela a r.

Lobachevsky substituiu o 5 postulado pelo seguinte:

Por um ponto exterior a uma reta pertencente a um plano passam duas retas

que nao a cortam.

Assim como os geometras anteriores, Lobachevsky tinha esperanca de

descobrir uma contradicao na afirmacao que se despreende do novo postulado.

Nao chegou a contradicao alguma e concluiu que existe, uma Geometria dis-

tinta da Euclidiana onde nao tem lugar o 5 Postulado de Euclides. Esta

Geometria hoje, chama-se Geometria de Lobachevsky ou hiperbolica.

Os geometras que se seguiram a Lobachevsky demonstraram que nao

tem contradicao a Geometria de Euclides tao pouco tem a Geometria de

Lobachevsky.

Sao validos resultados nas duas teorias como igualdade de triangulo,

relacao entre lados e angulo dos triangulos, etc.

Os teoremas que usam o axioma das paralelas de Lobachevsky tem enunciados

bem diferentes.

Na Geometria Euclidiana temos que a soma dos angulos internos de

um triangulo e 180. Na Geometria de Lobachevsky temos que a soma dos

angulos internos de um triangulo e menor que 180.

Na Geometria Euclidiana existe um numero infinito de triangulos se-

melhantes iguais a ele. Na Geometria de Lobachevsky tem que se em dois

triangulos os angulos sao iguais, entao os triangulos sao iguais.

A continuada falta de reconhecimento com as suas descobertas e com

publicacao de suas obras, Novos fundamentos de geometriaem 1835-1838,

Investigacoes geometricas sobre a teoria das paralelasem 1840 e Pange-

ometriaem 1855 tanto o abalaram que Lobachevsky nada mais publicou. A

parte do leao do credito pelo desenvolvimento da Geometria nao-Euclidiana

pertence pois a Lobachevsky.

As informacoes historicas foram obtidas em Historia da Matematica,

de Carl B. Boyer-publicada pela editora Edgard Blucher em 1974, traduzida

por Elza F. Gomide e tambem na Revista do Professor de Matematica publi-

cada pela Sociedade Brasileira de Matematica.

CEDERJ 8

Estrutura do livro

A primeira parte da disciplina Geometria Basica engloba os seguintes

conteudos em ordem cronologica de apresentacao: Conceitos Basicos, Con-

gruencia de Triangulos, Polgonos Convexos, angulos em uma Circunferencia;

Quadrilateros Notaveis, Pontos Notaveis de um Triangulo, Segmentos Pro-

porcionais, Triangulos Semelhantes, Triangulo Retangulo e Triangulo Qual-

quer, Polgonos Regulares e Comprimento de uma Circunferencia, e areas de

Superfcies Planas.

O livro apresenta conteudos em forma de aulas de 01 a 12. E final-

mente, um conjunto de Exerccios Programados e suas solucoes aplicados no

segundo semestre do ano de 2008, para este conteudo.

A organizacao da disciplina e de duas aulas a ser abordada semanal-

mente, exceto a aula 01 que corresponde a primeira semana de aula.

Apresentacao e Objetivos

Este livro e resultado da experiencia do Professor Roberto Geraldo nas

disciplinas lecionadas no Departamento de Geometria da Universidade Fe-

deral Fluminense e tambem de sua experiencia de mais de 20 anos com o

ensino medio.

O livro foi produzido no segundo semestre de 2008 quando da coor-

denacao da disciplina Geometria Basica, juntamente com a Professora Dirce

Uesu Pesco, sendo direcionado a alunos do primeiro semestre do curso de

Licenciatura em Matematica da UFF/CEDERJ/UAB.

O objetivo da disciplina e desenvolver a visao geometrica e espacial, a

introducao ao tratamento ax