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Geometría Analítica

26th March 2008

Sistema de coordenadas cartesianas

Dos rectas perpendiculares, que se cortan un punto llamado origen O.

Una de las rectas es horizontal: OX .

Otra es vertical: OY .

P se ubica en el plano midiendo su distancia a cada recta.

La distancia de P a la recta OY se denota x .

La distancia de P a la recta OX se denota y .

31 2 4 5

5(x,y)= (3,4)

31 2 4 5

5(x,y)= (3,4)

31 2 4 5

5(x,y)= (3,4)

OX : eje de las x , o eje de las abscisas.

OY : eje de las y , o eje de las ordenadas.

Conjuntos de puntos:

A = {todos los puntos de coordenadas(x , y) tales que∈ C} ,

C: Condición que satisfacen dichas coordenadas.

Cuadrantes del sistema de coordenadas:

1er. Cuadrante = {(x , y) : x > 0, y > 0}2do. Cuadrante = {(x , y) : x < 0, y > 0}3er. Cuadrante = {(x , y) : x < 0, y < 0}4to. Cuadrante = {(x , y) : x > 0, y < 0}.

Lugares Geométricos

Definición (Lugar geométrico)Los conjuntos de puntos del plano que satisfacen alguna condicióngeométrica o algebraica, los llamaremos Lugares Geométricos.

Distancia entre dos puntos

Teorema de Pitágoras:

d(A, B)2 = d(A, C)2 + d(C, B)2.

Distancia entre dospuntos:

d(A, B) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

Distancia entre dos puntos

Teorema de Pitágoras:

d(A, B)2 = d(A, C)2 + d(C, B)2.

Distancia entre dospuntos:

d(A, B) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.

Ecuación de la circunferencia

A = (a, b) punto fijo y r un número real mayor que 0.

Circunferencia con centro en el punto A y radio r :Conjunto de puntos (x , y) del plano tales que su distancia al punto A vale r .

C = {P = (x , y) : d(P, A) = r}.

Ecuación de la circunferencia:C : (x − a)2 + (y − b)2 = r2.

Ecuación de la circunferencia

A = (a, b) punto fijo y r un número real mayor que 0.

Circunferencia con centro en el punto A y radio r :Conjunto de puntos (x , y) del plano tales que su distancia al punto A vale r .

C = {P = (x , y) : d(P, A) = r}.

Ecuación de la circunferencia:C : (x − a)2 + (y − b)2 = r2.

Observaciones

1 Si C es una circunferencia de ecuación (x − a)2 + (y − b)2 = r2 entoncessu ecuación puede escribirse como:

C : x2 + y2 + Ax + By + C = 0.

Con A = −2a, B = −2b, C = a2 + b2 − r2.

2 Si M = {(x , y) : x2 + y2 + Ax + By + C = 0} , la ecuación del conjunto Mpuede escribirse:

(x +A2

)2 + (y +B2

)2 =A2 + B2 − 4C

M : Circunferencia de centro (−A2 ,−B

2 ) y radio√

A2+B2−4C2 , cuando

A2 + B2 − 4C ≥ 0.

Si A2 + B2 − 4C < 0, entonces M = ∅.

Observaciones

C : x2 + y2 + Ax + By + C = 0.

Con A = −2a, B = −2b, C = a2 + b2 − r2.

(x +A2

)2 + (y +B2

)2 =A2 + B2 − 4C

2 ) y radio√

A2 + B2 − 4C ≥ 0.

Si A2 + B2 − 4C < 0, entonces M = ∅.

Observaciones

C : x2 + y2 + Ax + By + C = 0.

Con A = −2a, B = −2b, C = a2 + b2 − r2.

(x +A2

)2 + (y +B2

)2 =A2 + B2 − 4C

2 ) y radio√

A2 + B2 − 4C ≥ 0.

Si A2 + B2 − 4C < 0, entonces M = ∅.

Observaciones

C : x2 + y2 + Ax + By + C = 0.

Con A = −2a, B = −2b, C = a2 + b2 − r2.

(x +A2

)2 + (y +B2

)2 =A2 + B2 − 4C

2 ) y radio√

A2 + B2 − 4C ≥ 0.

Si A2 + B2 − 4C < 0, entonces M = ∅.

Ejemplo

{(x , y)/(x − a)2 + (y − b)2 > r2} Representa a la zona exterior a lacircunferencia de centro en (a, b) y radio r .

Ejemplo

{(x , y)/(x − a)2 + (y − b)2 > r2} Representa a la zona exterior a lacircunferencia de centro en (a, b) y radio r .

��

Ejemplo

{(x , y)/(x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2} Representa a la zona interior a lacircunferencia de centro en (a, b) y radio r .

Ejemplo

{(x , y)/(x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2} Representa a la zona interior a lacircunferencia de centro en (a, b) y radio r .

��

Ecuación de la recta

A = (x1, y1) y B = (x2, y2) puntos cualquiera con A 6= B.

Recta que pasa por los puntos A y B:

x1 = x2 o y1 = y2 que corresponden a rectas vertical y horizontalrespectivamente.

x1 6= x2 ey1 6= y2

P = (x , y) pertenece a la recta que pasa por A y B, sí y solamente síalguna de las siguientes condiciones se cumple:

1 P = A2 P = B3 P está en el segmento AB4 B está en el segmento AP5 A está en el segmento PB

A = (x1, y1) y B = (x2, y2) puntos cualquiera con A 6= B.

Recta que pasa por los puntos A y B:

x1 = x2 o y1 = y2 que corresponden a rectas vertical y horizontalrespectivamente.

x1 6= x2 ey1 6= y2

P = (x , y) pertenece a la recta que pasa por A y B, sí y solamente síalguna de las siguientes condiciones se cumple:

1 P = A2 P = B3 P está en el segmento AB4 B está en el segmento AP5 A está en el segmento PB

Supongamos que estamos en el caso (3). Gráficamente tenemos:

P = (x , y) ∈ L ⇐⇒ (x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1).

Supongamos que estamos en el caso (3). Gráficamente tenemos:

P = (x , y) ∈ L ⇐⇒ (x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1).

Ecuación de la recta, forma 1

Sea L la recta de ecuación (x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1).

Si a = (y2 − y1), b = −(x2 − x1), c = (x2y1 − x1y2):

Ecuación de la recta forma 1L : ax + by + c = 0.

Sea L la recta de ecuación (x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1).

Si a = (y2 − y1), b = −(x2 − x1), c = (x2y1 − x1y2):

Ecuación de la recta forma 1L : ax + by + c = 0.

TeoremaEl conjunto solución de la ecuación ax + by + c = 0 es:

i) El conjunto vacío si a = 0, b = 0, c 6= 0.

ii) Todo el plano R× R si a = b = c = 0.

iii) Una recta vertical si a 6= 0 y b = 0.

iv) Una recta horizontal si a = 0 y b 6= 0.

v) Una recta oblicua (inclinada) si a 6= 0 y b 6= 0.

Observación

ax + by + c = 0 representa siempre una recta, tal que:

Si a = 0 y b 6= 0 entonces la rectaes horizontal.

Si a 6= 0 y b = 0 entonces la rectaes vertical.

Finalmente, si a 6= 0 y b 6= 0entonces la recta es inclinada.

ProposiciónSea L : ax + by + c = 0 una recta con b 6= 0.

Si A = (x1, y1) y B = (x2, y2) son puntos cualesquiera de L, distintos entre si,entonces y2−y1

x2−x1es independiente de A y B y vale a

Demostración.......ver pizarra....

PendienteSea L una recta no vertical. Si A = (x1, y1) y B = (x2, y2) son dos puntosdiferentes de L, entonces al real m = y2−y1

x2−x1, se le llama pendiente de la recta

Ecuación de una recta, forma 2

L recta de pendiente m y que pasa por A = (x0, y0).

Ecuación de la recta forma 2L : (y − y0) = m(x − x0).

L recta de pendiente m y que pasa por A = (x0, y0).

Ecuación de la recta forma 2L : (y − y0) = m(x − x0).

L la recta que pasa por A = (x1, y1) y B = (x2, y2).

Si x1 = x2 entonces la ecuación de L es L : x = x1.

Si x1 6= x2 entonces :

Ecuación de la recta forma 3L : (y − y1) =

y2 − y1

x2 − x1(x − x1).

y2 − y1

x2 − x1(x − x1).

y2 − y1

x2 − x1(x − x1).

y2 − y1

x2 − x1(x − x1).

Ecuación de una recta, forma principal

L : ax + by + c = 0 recta no vertical (b 6= 0). Sea m su pendiente.

Ecuación de la recta forma principalL : y = mx + n.

Ecuación de una recta, forma principal

L : ax + by + c = 0 recta no vertical (b 6= 0). Sea m su pendiente.

Ecuación de la recta forma principalL : y = mx + n.

Paralelismo y perpendicularidad

SimetralDados dos puntos P, Q ∈ R2 distintos, llamamos Simetral de P y Q, al LugarGeométrico que satisface

d((x , y), P) = d((x , y), Q).

Ecuación de la Simetralver pizarra....

d((x , y), P) = d((x , y), Q).

Paralelismo

Definición: (Paralelismo)Diremos que dos rectas L1 y L2 son paralelas (denotado L1 ‖ L2) si secumple

L1 = L2 o bien L1 ∩ L2 = ∅.

Dadas las rectas no verticales

L1 : y = m1x + n1, y L2 : y = m2x + n2

se tiene que

(x , y) ∈ L1 ∩ L2 ⇐⇒ y = m1x + n1 = m2x + n2

⇐⇒ y = m1x + n1 y (m1 −m2)x = n2 − n1

Pero la ecuación (m1 −m2)x = n2 − n1 tiene solución única sólo param1 −m2 6= 0.

Paralelismo

L1 = L2 o bien L1 ∩ L2 = ∅.

L1 : y = m1x + n1, y L2 : y = m2x + n2

se tiene que

(x , y) ∈ L1 ∩ L2 ⇐⇒ y = m1x + n1 = m2x + n2

⇐⇒ y = m1x + n1 y (m1 −m2)x = n2 − n1

Paralelismo

L1 = L2 o bien L1 ∩ L2 = ∅.

L1 : y = m1x + n1, y L2 : y = m2x + n2

se tiene que

(x , y) ∈ L1 ∩ L2 ⇐⇒ y = m1x + n1 = m2x + n2

⇐⇒ y = m1x + n1 y (m1 −m2)x = n2 − n1

Paralelismo

L1 = L2 o bien L1 ∩ L2 = ∅.

L1 : y = m1x + n1, y L2 : y = m2x + n2

se tiene que

(x , y) ∈ L1 ∩ L2 ⇐⇒ y = m1x + n1 = m2x + n2

⇐⇒ y = m1x + n1 y (m1 −m2)x = n2 − n1

Paralelismo

PropiedadDos rectas no verticales L1 y L2 son paralelas si y sólo si mL1 = mL2.

Perpendicularidad

PerpendicularidadSe dice que dos rectas L y L′ son perpendiculares u ortogonales (denotadoL ⊥ L′), si se cumple que:

∀P, Q ∈ L, (P 6= Q), L′ es paralela a la simetral entre P y Q.

TeoremaSean L y L′ dos rectas. Entonces L ⊥ L′ si y sólo si una de las siguientesafirmaciones es cierta.

L es horizontal y L′ es vertical (o vice versa).

L y L′ son oblicuas y mL ·mL′ = −1.

TeoremaSean L y L′ dos rectas. Entonces L ⊥ L′ si y sólo si una de las siguientesafirmaciones es cierta.

L es horizontal y L′ es vertical (o vice versa).

L y L′ son oblicuas y mL ·mL′ = −1.

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