geometrÍa analÍtica en el espacio … geometrÍa analÍtica en el espacio (Ángulos, distancias y...
TRANSCRIPT
1
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO (ÁNGULOS, DISTANCIAS Y SIMETRÍAS)
ÁNGULOS EN EL ESPACIO ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
El ángulo formado por dos rectas que se
cortan en un punto, o bien por dos rectas
que se cruzan, es el ángulo que forman
sus vectores directores.
)uu(uu )vv(vv 321321
23
22
21
23
22
21
332211
uuuvvv
u·vu·vu·vcos
Ejemplo:
Calcular el ángulo que forman las rectas
2t4z
t1y
3t2x
(r) y 1
3z
4
1y
5
2x(s)
Los vectores directores de ambas rectas son: 2)1,3,(v
y 1)4,(5,u
122'42º0'536)(arccos
0'5364214
13
1)(45213)(
1)(·24·15·3)(cos
222222
Por convenio, se considera que el ángulo entre dos rectas, es el menor de los dos ángulos que
forman, es decir:
57'58º 122'42º180º180º
ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
El ángulo que forma una recta (r) y un plano )( al cortarse, es el ángulo complementario del
que forman el vector director de la recta v y el vector asociado al plano n
.
2
3
3
2
2
1
1
v
az
v
ay
v
ax(r)
0dzcybxa
)(
90º
vvvcba
v·cv·bv·acos
23
22
21
222
321
Ejemplo:
Calcular el ángulo que forman la recta 1
2z
3
7y
2
1x(r)
y el plano de
ecuación 083z5yx )(
El vector director de la recta es 1)3,(2,v
, y el asociado al plano 3)5,(1,n
.
º 64'6
25'4º90º90º
25'37º0'91435
20
13)(235)(1
1·33)5)((2·1cos
222222
ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS
El ángulo que forman dos planos que se cortan en una recta, es el ángulo que forman sus
vectores normales o asociados.
)c,b,a(v0dzcybxa
c)b,(a,v 0dzcybxa
)(
)(
3
222222 cbacba
c·cb·ba·acos
Ejemplo:
Calcular el ángulo que forman los planos de ecuaciones:
012z4y2x )( y 084z5y3x )(
Los vectores asociados a ambos planos son: 2)4,2,(v
y 4)5,(3,u
50'57º
0'63cosarc0'63
5024
22
453242)(
4·25·43·2)(cos
222222
4
DISTANCIAS EN EL ESPACIO
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos )aa(aA 321 y )bb(bB 321 , se define como el módulo del vector
que une dichos puntos, es decir de AB .
2
332
222
11 )a(b)a(b)a(bBAB)d(A,
Ejemplo:
Hallar la distancia que existe entre los puntos 6)2,(3,A y 1)4,(7,B :
u8'8 77222 6)(12))((43)(7B)d(A,
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
La distancia entre un punto )pp(pP 321 y una recta (r), se puede definir, entre otras maneras,
como la altura “h” del triángulo de lados los vectores AP y v.
El punto )aa(aA 321 es un punto cualquiera de
la recta (r), y )vv(vv 321
su vector director.
Por una parte, el área del triángulo
sombreado de la figura, es la mitad del
producto vectorial de los vectores AP y v,
mientras que por otra, es la mitad del
producto de la base “v” por la altura “h”.
h·v2
1S
vAP2
1S
h·v2
1vAP
2
1
despejando h, que es la distancia entre P y (r) :
v
vAPh(r))d(P,
5
Ejemplo:
Hallar la distancia del punto 5)1,P(2, a la recta (r) 1
3z
2
6y
3
1x
.
La recta (r) pasa por el punto 3)6,A(1, y su vector director es 1)2,(3,v
2)5,(1,3)6,(1,5)1,(2,APAP
137,9,23
51,
13
2 1,
12
2 5vAP
29913)(79)(vAP 222
141)(23v 222
u4'614
299(r))d(P,
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
Se define la distancia del punto
)ppP(p 321 al plano )( de ecuación
0dczbyax , como la distancia
entre el punto P y el punto Q, que es la
proyección de P sobre el plano )( .
Como el vector QP es paralelo a v v·QPcos0º·v·QPvQP
Despejando v
vQPQPd(P
))(, , y como )qp,qp,q(pQP 332211 y c)b,(a,v
222
321321
222
332211
cba
)qcqbq(apcpbpa
cba
c)q(pb)q(pa)q(p))(d(P,
Como Q pertenece al plano )( , verificará la ecuación del plano:
)qcqbq(ad0dqcqbqa 321321 con lo que al sustituir queda:
222
321
cba
dpcpbpa)d(P,
)(
6
Ejemplo:
Hallar la distancia del punto 4)1,P(3, al plano )( , de ecuación 0106z5y2x
u4'1
65
33
65
33
65
102456
6)(52
10)(4·6)(1)(·53·2))(d(P,
222
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
La distancia entre dos rectas paralelas
(r) y (s), se define como la distancia que hay
entre un punto P de una de las rectas y la
otra recta.
(s))d(P,(s))d((r),
Ejemplo:
Hallar la distancia entre las rectas 3
z
1
2y
2
1x(r)
y
3
1z
1
y
2
2x(s)
3)1,(2,v
0)2,(1,A
3
z
1
2y
2
1x(r)
3)1,(2,u
1)0,2,(B
3
1z
1
y
2
2x(s)
Las rectas son paralelas ya que los vectores
directores coinciden.
1)2,(3,1)2,0,(0)2,(1,BABA
3)1,(2,u
14312u 222
751)(7)(5uBA1)7,(5,12
23,
32
13,
31
12uBA 222
u2'314
75(s))d((r),
7
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
La distancia entre dos rectas
(r) y (s) que se cruzan, es la
distancia que existe entre el
plano paralelo a la recta (r) y
que pasa por (s), y el paralelo a
(s) y que pasa por (r).
)vv(vv
)aa(aA(r)
321
321
)uu(uu
)bb(bB(s)
321
321
La distancia “d” entre las dos rectas, es la altura del paralepípedo
Por un lado, el volumen del paralepípedo viene dado por: AB,u,vdetV
, siendo
A y B dos puntos cualesquiera de las rectas (r) y (s), respectivamente.
Por otra parte, el volumen es igual al área de la base por la altura, es decir:
d·uvd·SV
, siendo v y u
los vectores directores de las rectas.
Igualando las dos expresiones del volumen, tenemos: d·uvAB,u,vdet
uv
AB,u,vd(s))((r),d
Ejemplo:
Hallar la distancia entre 2
8z
2
9y
3
3x(r)
y
2
1z
1
2y
2
3x(s)
2)2,(3,v
8)9,3,(A(r)
2)1,2,(u
1)2,(3,B(s) 7)7,(6,8)9,3,(1)2,(3,ABAB
Como 09
2 1 2
223
776
, las rectas (r) y (s) se cruzan
8
1)2,2,(1 2
23 ,
2 2
23 ,
2 1
22uv
31)(2)(2)(uv 222
u3
3
9
uv
AB,u,v(s))((r),d
DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
Solo tiene sentido hallar la distancia entre
una recta (r) y un plano )( cuando ambos
son paralelos. En este caso, la distancia es
la que existe desde un punto P cualquiera
de la recta, al plano.
))((P,d))(((r),d
Ejemplo:
Hallar la distancia entre la recta 1
4z
1
7y
2
3x(r)
y el plano de ecuación
0105zy3x )(
Como el producto escalar del vector director de la recta 1)1,2,(v
y el asociado
al plano 5)1,(3,n
vale cero, ambos vectores son perpendiculares, por lo que la recta
(r) y el plano )( , son paralelos.
05·11)(·1)(3·2)(nv
El punto 4)7,P(3, es un punto de la recta (r), por lo que aplicando la fórmula de la
distancia de un punto a un plano, se tiene que:
u1'01
35
6
51)(3
104)(·57)(·1)(3·3)(P,d
222)(
9
DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos
paralelos, es la diferencia de las
distancias de cada uno de ellos al
origen de coordenadas.
21 δδδ
0dczbyax )( 1
0dzcybxa )( 2
2221cba
dδ
2222cba
dδ
222222 cba
d
cba
dδ)d(
)(),( 21
Ejemplo:
Hallar la distancia entre 085zy3x )( 1 y 01210z2y6x )( 2
Como los coeficientes de ambos planos son proporcionales, los planos son paralelos
10
5
2
1
6
3
. Aplicando la fórmula que da la distancia entre dos planos paralelos:
u2'36
140
12
35
8
10)(26)(
12
51)(3
8))(π),((πd
22222221
10
HACES DE PLANOS EN EL ESPACIO
HAZ DE PLANOS PARALELOS
Al conjunto de todos los planos, que son paralelos a un plano )( 0dczbyax ,
se llama haz de planos paralelos.
Como se sabe, los planos que son paralelos entre sí,
tienen proporcionales los coeficientes de la “x”, la “y”
y la “z”, aunque no lo son sus términos independientes.
Es decir, todos ellos tienen el mismo vector asociado
c)b,(a,n
, aunque diferente término independiente
“d”.
Cualquier plano perteneciente al haz de planos
paralelos al plano )( , se puede expresar de la forma
0dczbyax
siendo “a”, “b” y “c” números fijos y “d” un número que puede tomar cualquier valor.
Ejemplo:
Dado el plano de ecuación )( 065z3y2x , escribir la ecuación del haz de planos
paralelo a él, y calcular de todos ellos, el que pasa por el punto 1)2,A(4, .
La ecuación de todos los planos paralelos al plano )( 065z3y2x es:
0d5z3y2x (haz de planos)
Para calcular el plano de este haz que pasa por el punto 1)2,A(4, , se sustituye el punto
en la ecuación del haz y se calcula el valor de “d”.
3d 0d5680d1)(·52·34·2
El plano buscado es: )( 035z3y2x
11
HAZ DE PLANOS SECANTES
Al conjunto de todos los planos que contienen a la recta (r), se llama haz de planos secantes.
Dicha recta se llama arista del haz.
Si dos planos )( 1 0dczbyax Y
)( 2 0dzcybxa se cortan según una recta
(r), cualquier otro plan )( , que contenga a (r), se puede
expresar como combinación lineal de )( 1 y )( 2 .
)( 0dzcybxadczbyax )()(
Si dividimos por y hacemos
k , la ecuación del haz queda de la siguiente manera:
)( 0)dzcybxa(kd)czby(ax
Ejemplo:
Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos, cuyo eje es la recta:
023z2yx
09z3y2x r y que pasa:
a) por el punto 3)2,P(3,
b) por el punto 1)3,Q(5,
a) El haz de planos de arista (r) es: 02)3z2yx( k9z3y2x
Para hallar el plano del haz que pasa por el punto 3)2,P(3, , sustituimos las
coordenadas del punto P en la ecuación del haz:
1k 02)943( k936603)3(2·23k(93)(2·33·2 2
Sustituyendo este valor en la ecuación del haz y simplificando queda:
072z5yx 02)3z2yx(9z3y2x
b) Para hallar el plano del haz que pasa por el punto 1)3,Q(5, , hacemos lo mismo que
en anterior apartado, sustituyendo las coordenadas de Q en la ecuación del haz.
ecuación) la verifique que k de real valor ningún hay (no11k·008)k(811
02)365k(9191002)1)3(3·25k(91)(3·35·2
12
SIMETRÍAS EN EL ESPACIO
SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO PUNTO
El simétrico de un punto 𝑨 respecto a otro
punto 𝑪 , llamado centro de simetría, es el
punto 𝑨′ que se calcula teniendo en cuenta
que el punto 𝑪 es el punto medio del
segmento 𝑨𝑨′. Si las coordenadas de los puntos 𝑨 , 𝑨′ y 𝑪 , son: 𝑨(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑), 𝑨′(𝒂′
𝟏, 𝒂′𝟐, 𝒂
′𝟑) 𝒚 𝑪(𝒄𝟏, 𝒄𝟐, 𝒄𝟑) ,
tenemos que:
𝒄𝟏 =𝒂𝟏 + 𝒂′
𝟏
𝟐
𝒄𝟐 =𝒂𝟐 + 𝒂′
𝟐
𝟐
𝒄𝟑 =𝒂𝟑 + 𝒂′
𝟑
𝟐
⟹
𝟐𝒄𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒂′𝟏
𝟐𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒂′𝟐
𝟐𝒄𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝒂′𝟑
⟹
𝒂′𝟏 = 𝟐𝒄𝟏 − 𝒂𝟏
𝒂′𝟐 = 𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟐
𝒂′𝟑 = 𝟐𝒄𝟑 − 𝒂𝟑
SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA RECTA
Para calcular el punto 𝑨′, simétrico del punto 𝑨
respecto de la recta (𝑟) , se dan los siguientes pasos:
1) Se calcula la ecuación del plano (𝝅) perpendicular
a la recta (𝒓) y que contiene al punto 𝑨 .
2) Se calculan las coordenadas del punto 𝑪 como
intersección de la recta (𝒓) dada y el plano (𝝅)
calculado.
3) Se calculan las coordenadas del punto 𝑨′ como
simétrico del punto 𝑨 respecto de 𝑪 .
𝒂′𝟏 = 𝟐𝒄𝟏 − 𝒂𝟏
𝒂′𝟐 = 𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟐
𝒂′𝟑 = 𝟐𝒄𝟑 − 𝒂𝟑
El punto 𝑪 es la proyección ortogonal del punto 𝑨 sobre la recta (𝒓)
13
Ejemplo.
Hallar las coordenadas del punto simétrico del punto 𝑨(−𝟒,−𝟐, 𝟏) respecto de la recta de ecuación:
(𝒓) 𝒙 − 𝟏
𝟏=
𝒚 − 𝟐
𝟐=
𝒛
𝟏 ⟹ (𝒓) {
𝒙 = 𝟏 + 𝒕
𝒚 = 𝟐 + 𝟐𝒕
𝒛 = 𝒕
1) El plano (𝝅) perpendicular a la recta (𝒓) , tiene como vector asociado al vector director de la
recta.
(𝒓) 𝒙 − 𝟏
𝟏=
𝒚 − 𝟐
𝟐=
𝒛
𝟏 ⟹ �⃗� (𝟏, 𝟐, 𝟏)
Por lo tanto 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 + 𝒅 = 𝟎 ⟹ 𝟏 · 𝒙 + 𝟐 · 𝒚 + 𝟏 · 𝒛 + 𝒅 = 𝟎 ⟹ 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 + 𝒅 = 𝟎 Como el punto 𝑨(−𝟒,−𝟐, 𝟏) está contenido en el plano (𝝅) , tendrá que verificar su ecuación:
−𝟒 + 𝟐 · (−𝟐) + 𝟏 + 𝒅 = 𝟎 ⟹ −𝟕 + 𝒅 = 𝟎 ⟹ 𝒅 = 𝟕
(𝝅) ≡ 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 + 𝟕 = 𝟎 2) La intersección de la recta (𝒓) y el plano (𝝅) calculado, es el punto 𝑪 (centro de simetría).
{
(𝝅) 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 + 𝟕 = 𝟎
(𝒓) {𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒚 = 𝟐 + 𝟐𝒕
𝒛 = 𝒕
⟹ (𝟏 + 𝒕) + 𝟐 · (𝟐 + 𝟐𝒕) + 𝒕 + 𝟕 = 𝟎 ⟹ 𝟔𝒕 = −𝟏𝟐 ⟹ 𝒕 = −𝟐
Las coordenadas del punto 𝑪 son: {𝒙 = 𝟏 + 𝒕𝒚 = 𝟐 + 𝟐𝒕
𝒛 = 𝒕 ⟹ {
𝒙 = 𝟏 + (−𝟐) = −𝟏𝒚 = 𝟐 + 𝟐 · (−𝟐) = −𝟐
𝒛 = −𝟐
⟹ 𝑪(−𝟏,−𝟐,−𝟐)
3) Las coordenadas del punto simétrico de 𝑨 respecto de 𝑪 son:
𝒂′𝟏 = 𝟐𝒄𝟏 − 𝒂𝟏 = 𝟐 · (−𝟏) − (−𝟒) = 𝟐
𝒂′𝟐 = 𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 = 𝟐 · (−𝟐) − (−𝟐) = −𝟐
𝒂′𝟑 = 𝟐𝒄𝟑 − 𝒂𝟑 = 𝟐 · (−𝟐) − 𝟏 = −𝟓
⟹ 𝑨′(𝟐,−𝟐,−𝟓)
14
SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A UN PLANO
Para calcular el punto 𝑨′, simétrico del punto
𝑨 respecto del plano (𝝅) , se dan
los siguientes pasos:
1) Se calcula la ecuación de la recta (𝒓)
perpendicular al plano (𝝅) y que pasa por
el punto 𝑨 .
2) Se calculan las coordenadas del punto 𝑪
como intersección de la recta (𝒓)
calculada y el plano (𝝅) dado.
3) Se calculan las coordenadas del punto 𝑨′
como simétrico del punto 𝑨 respecto de 𝑪 .
𝒂′𝟏 = 𝟐𝒄𝟏 − 𝒂𝟏
𝒂′𝟐 = 𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟐
𝒂′𝟑 = 𝟐𝒄𝟑 − 𝒂𝟑
El punto 𝑪 es la proyección ortogonal del punto 𝑨 sobre el plano (𝝅)
Ejemplo.
Hallar el punto simétrico del punto 𝑨(𝟐, 𝟑, 𝟐) respecto al plano (𝝅) ≡ 𝒙 − 𝟐𝒛 − 𝟑 = 𝟎
1) La recta (𝒓) pasa por el punto 𝑨(𝟐, 𝟑, 𝟐) y tiene como vector director al asociado al plano
(𝝅) , es decir, el vector director es �⃗⃗� (𝟏, 𝟎, −𝟐).
(𝒓)(𝑨, �⃗⃗� ) ⟹ {𝒙 = 𝟐 + 𝒕
𝒚 = 𝟑𝒛 = 𝟐 − 𝟐𝒕
2) El punto 𝑪 (centro de simetría), es la intersección de la recta calculada con el plano dado.
{
(𝝅) 𝒙 − 𝟐𝒛 − 𝟑 = 𝟎
(𝒓) {𝒙 = 𝟐 + 𝒕
𝒚 = 𝟑𝒛 = 𝟐 − 𝟐𝒕
⟹ 𝟐 + 𝒕 − 𝟐 · (𝟐 − 𝟐𝒕) = 𝟎 ⟹ 𝟒𝒕 = 𝟒 ⟹ 𝒕 = 𝟏 ⟹ 𝑪(𝟑, 𝟑, 𝟎)
3) Las coordenadas de 𝑨′, son:
𝒂′𝟏 = 𝟐𝒄𝟏 − 𝒂𝟏 = 𝟐 · 𝟑 − 𝟐 = 𝟒
𝒂′𝟐 = 𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 = 𝟐 · 𝟑 − 𝟑 = 𝟑
𝒂′𝟑 = 𝟐𝒄𝟑 − 𝒂𝟑 = 𝟐 · 𝟎 − 𝟐 = −𝟐
⟹ 𝑨′(𝟒, 𝟑,−𝟐)
15