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RedistribuciónGeometría y medición

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Las matemáticas en contexto es un currículo exhaustivo para los grados intermedios. Se desarrolló entre 1991 y 1997 en colaboración con el Wisconsin Center forEducation Research (Centro de Investigación Educativa de Wisconsin), Facultad deEducación, de la Universidad de Wisconsin-Madison y el Freudenthal Institute(Instituto Freudenthal), de la Universidad de Utrecht, Países Bajos, con el apoyo delsubsidio n.º 9054928 de la National Science Foundation (Fundación Nacional paralas Ciencias).

La revisión curricular se realizó entre los años 2003 y 2005, con el apoyo del subsidion.º ESI 0137414 de la National Science Foundation.

National Science FoundationLas opiniones expresadas pertenecen a los autores y no reflejan necesariamente las de la Fundación.

Gravemeijer, K., Abels, M., Wijers, M., Pligge, M. A., Clarke, B. y Burrill, G. (2006).Redistribución. Wisconsin Center for Education Research & Freudenthal Institute(Eds.), Las matemáticas en contexto. Chicago: Encyclopædia Britannica, Inc.

Copyright © 2006 Encyclopædia Britannica, Inc.

Reservados todos los derechos.Impreso en los Estados Unidos de América.

Este trabajo está protegido por las actuales leyes estadounidenses de propiedadintelectual, que rigen también su uso público, su presentación y otros usos aplicables.Queda prohibido cualquier uso no autorizado por la ley de propiedad intelectual delos Estados Unidos sin nuestro expreso consentimiento escrito, que incluye, aunqueno exclusivamente, su copia, adaptación y transmisión televisiva o por otros medioso procesos. Para obtener mayor información con respecto a una licencia, escriba aEncyclopædia Britannica, Inc., 331 N. LaSalle St., Chicago, IL 60610.

ISBN 0-03-093041-3

1 2 3 4 5 6 073 09 08 07 06

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Equipo de desarrollo de Las matemáticas en contextoDesarrollo 1991–1997

Koeno Gravemeijer desarrolló la primera versión de Redistribución. La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Margaret A. Pligge y Barbara Clarke.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg Joan Daniels Pedro Jan de LangeDirector Asistente del Director Director

Gail Burrill Margaret R. Meyer Els Feijs Martin van ReeuwijkCoordinadora editorial Coordinadora Coordinadora Coordinador

Personal del proyecto

Jonathan Brendefur Sherian Foster Mieke Abels Jansie NiehausLaura Brinker James A. Middleton Nina Boswinkel Nanda QuerelleJames Browne Jasmina Milinkovic Frans van Galen Anton RoodhardtJack Burrill Margaret A. Pligge Koeno Gravemeijer Leen StreeflandRose Byrd Mary C. Shafer Marja van den Heuvel-Panhuizen Peter Christiansen Julia A. Shew Jan Auke de Jong Adri TreffersBarbara Clarke Aaron N. Simon Vincent Jonker Monica WijersDoug Clarke Marvin Smith Ronald Keijzer Astrid de WildBeth R. Cole Stephanie Z. Smith Martin KindtFae Dremock Mary S. SpenceMary Ann Fix

Revisión 2003–2005

Mieke Abels y Monica Wijers desarrollaron la versión revisada de Redistribución. La adaptación para su uso en las escuelas estadounidenses es de Gail Burrill.

Wisconsin Center for Education Personal del Freudenthal InstitutePersonal de investigación

Thomas A. Romberg David C. Webb Jan de Lange Truus DekkerDirector Coordinador Director Coordinadora

Gail Burrill Margaret A. Pligge Mieke Abels Monica WijersCoordinadora editorial Coordinadora editorial Coordinadora Coordinadora

del contenido del contenido

Personal del proyecto

Sarah Ailts Margaret R. Meyer Arthur Bakker Nathalie KuijpersBeth R. Cole Anne Park Peter Boon Huub Nilwik Erin Hazlett Bryna Rappaport Els Feijs Sonia PalhaTeri Hedges Kathleen A. Steele Dédé de Haan Nanda QuerelleKaren Hoiberg Ana C. Stephens Martin Kindt Martin van ReeuwijkCarrie Johnson Candace UlmerJean Krusi Jill VettrusElaine McGrath

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© 2006 Encyclopædia Britannica, Inc. Las matemáticas en contextoy el logotipo de Las matemáticas en contexto son marcas registradas de Encyclopædia Britannica, Inc.

Créditos de las fotografías de la portada: (de izquierda a derecha) © Comstock Images; © Corbis; © Getty Images

Ilustraciones1 James Alexander; 39 Holly Cooper-Olds; 49 James Alexander

Fotografías5 M.C. Escher, Symmetry Drawing E21 y Symmetry Drawing E69 © 2005 The M.C.Escher Company-Holland. Reservados todos los derechos. www.mcescher.com;17 © Age Fotostock/SuperStock; 25 (arriba) Sam Dudgeon/HRW Photo; (medio)Victoria Smith/HRW; (abajo) EyeWire/PhotoDisc/Getty Images; 30 PhotoDisc/Getty Images; 32, 40 Victoria Smith/HRW

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Contenido

Contenido V

Carta al alumno VI

Sección A El tamaño de las figurasHojas y árboles 1Campos de tulipanes 2Precios justos 2Teselados 4Estados grandes, estados pequeños 7Islas y figuras 8Resumen 10Verifica tu trabajo 11

Sección B Patrones de áreaRectángulos 13Patrones cuadriláteros 15Búsqueda de patrones 15Estrategias y fórmulas 20Resumen 22Verifica tu trabajo 24

Sección C Medida del áreaConversión al sistema métrico 25Área 26Embaldosar 30La recepción del hotel 32Resumen 34Verifica tu trabajo 35

Sección D Perímetro y áreaPerímetro 37El área y el perímetro ampliados 38Circunferencia 40Trazar un círculo 40Círculos 41Círculos y área 44Resumen 46Verifica tu trabajo 47

Sección E Área de la superficie y volumenEmpaques 49Medida del interior 51Modificar compensadamente 54Resumen 60Verifica tu trabajo 62

Práctica adicional 64

Respuestas para verificar tu trabajo 70

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VI Redistribución

Querido alumno:

Bienvenido a la unidad Redistribución.

En esta unidad, estudiarás distintas figuras y aprenderás a medirciertas características de cada una. También estudiarás figurasbidimensionales y cuerpos tridimensionales.

Averiguarás, por ejemplo, cuántas personas caben de pie en tu salón de clase. ¿Cómo podrías averiguarlo sin colocarlas en el salón?

También investigarás el borde o perímetro de unafigura, la cantidad de superficie o área que cubre y lacantidad de espacio interior o volumen de un cuerpotridimensional.

¿Cómo puedes hacer para que una figura comoesta cubra un piso sin dejar espacios vacíos?

Al final, habrás aprendido algunas ideasimportantes sobre álgebra, geometría yaritmética. Esperamos que disfrutes de esta unidad.

Atentamente.

El equipo de desarrollo de Las matemáticas en contexto

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Este es un bosquejo de una hoja de olmo yde una hoja de roble. Un pastelero usa estasfiguras para decorar los pasteles.

Supón que bañara un lado de cada hoja conuna capa delgada de chocolate.

1. ¿Qué hoja tendrá más chocolate? Explica tu razonamiento.

Sección A: El tamaño de las figuras 1

AEl tamaño de las figuras

Hojas y árboles

Roble

Olmo

Este mapa muestra dos bosques separados por un río y una ciénaga.

2. ¿Qué bosque es más grande? Usa las siguientes figuras y describe elmétodo que empleaste.

Figura A Figura B

Ciénaga

Prado

Río

Bosque

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2 Redistribución

El tamaño de las figurasA

Campos de tulipanes

Campo A Campo B

Campo C

Precios justos

80¢

C.

B.

D.

I.H. J.

E.

G.F.

A.Ana María trabaja en una tienda deartesanías. Una de sus tareas es poner elprecio a distintas piezas de corcho. Decideque $0.80 es un precio justo para la piezacuadrada grande (figura A). Tiene quedecidir el precio de las otras piezas.

4. Usa la Hoja de actividad del

estudiante 2 para hallar el precio de las otras piezas. Nota: todas laspiezas tienen el mismo grosor.

Estos son tres campos de tulipanes.

3. ¿Qué campo tiene más plantas detulipanes? Usa los campos de tulipanesde la Hoja de actividad del estudiante 1

para justificar tu respuesta.


A

Estos son dibujos de baldosas de distintas formas. Ana María decide queun precio justo para la baldosa pequeña es $5.


El tamaño de las figuras

$5

A. B. C. D.

E. F. G.

H. I.

K.

J.

5. a. Usa la Hoja de actividad del estudiante 3 para hallar el precio delas otras baldosas.

b. Reflexiona Comenta tus estrategias con algunos de tuscompañeros. ¿A qué baldosa te resultó más difícil ponerle precio?¿Por qué?

Para averiguar precios, comparaste el tamaño de las figuras con el de labaldosa cuadrada de $5. El cuadrado fue la unidad de medida. Cuando se comparan tamaños, es útil usar una unidad de medida.

El número de unidades de medida que se necesita para cubrir una figurase llama área de la figura.


Cuando revistes un piso, una pared o un mostrador,quieres que todas las baldosas encajen sin espaciosvacíos entre una y otra. Los patrones que no tienenespacios vacíos entre las figuras se llamanteselados.

Algunas veces debes cortar las baldosas para queencajen sin intersticios. Las teselas de este patrónencajan sin ningún intersticio. Forman un teselado.

6. Usa el cuadrado de $5 para estimar el preciode cada tesela.

4 Redistribución


Teselados

$5

A. B.

Cualquiera de las dos baldosas en las figuras A y Bse pueden usar para armar una teselado.

7. a. ¿Cuál de las baldosas del problema 5 de lapágina 3 puede usarse en teselados? Usa laHoja de actividad del estudiante 4 para quete ayude a decidir.

b. Elige dos de las baldosas (de la parte a) y arma un teselado.


A

Los teselados producen a menudo hermosos patrones. Artistas de muchasculturas han usado teselados en sus obras. Las siguientes fotografíasmuestran creaciones del artista holandés M. C. Escher.




8. ¿Cuántos cuadrados completos forman cada una de las figuras de lasletras A a D?

La figura D puede transformarse en un pez quitando y agregando algunaspartes. Este es el pez.

6 Redistribución


Esta es una manera de armar un teselado. Comienza con una baldosarectangular y cambia la figura según la siguiente regla.

Lo que se cambia en un lugar debe compensarse en otro.

Por ejemplo, si agregas una figura en una baldosa como esta,

tienes que quitar la misma figura de algún otro lado. Estas son algunas posibilidades.

A.

A.

B.

B.

C. D.

Teselación

Figura

9. a. Dibuja en tu cuaderno la figura de un pez.

b. Muestra en tu dibujo cómo puedes volver a transformar el pez en una figura que tenga sólo cuadrados completos.

c. ¿Cuántos cuadrados forman un pez?

Otra manera de formular la última pregunta, de la parte c, es: ¿Cuál es elárea de un pez medida en cuadrados? El cuadrado es la unidad de medida.


A

Arriba aparecen tres estados de los Estados Unidos, trazados a la misma escala.

11. Estima la respuesta a las siguientes preguntas. Explica cómohallaste cada estimación.

a. ¿Cuántos estados de Utah caben en California?

b. ¿Cuántos estados de Utah caben en Texas?

c. ¿Cuántos estados de California caben en Texas?

d. Compara el área de estos tres estados.

Cuarenta y ocho estados de los Estados Unidos son contiguos, o están conectados físicamente. En la Hoja de actividad del estudiante 5,encontrarás el dibujo de los estados contiguos.

12. Elige tres de los 48 estados contiguos y compara el área de tuestado con el área de cada uno de estos tres estados.



Estados grandes, estados pequeños

Texas

California

Utah

La figura de un estado se puede encontrar a menudo en folletosturísticos, papelería oficial y carteles en el límite de los estados.

10. a. Sin mirar un mapa, traza la figura del estado en que vives.

b. Si hicieras una lista de los 50 estados, ordenados del másgrande al más pequeño según el territorio, ¿dónde ubicaríastu estado, aproximadamente?


Si una figura está trazada en una cuadrícula, puedes usar los cuadrados dela cuadrícula para hallar el área de la figura. Estas son dos islas: la isla delEspacio y la isla de los Peces.

8 Redistribución


Islas y figuras

Isla del Espacio Isla de los Peces

A. B.

C. D.

E. F.

G. H.

13. a. ¿Qué isla es más grande? ¿Cómo lo sabes? Usa la Hoja de actividad

del estudiante 6 para justificar tus respuestas.

b. Estima el área de cada isla en unidades cuadradas.

Dado que las islas tienen forma irregular, sólo puedes estimar su área.

Puedes hallar el área exacta del número de cuadrados enteros pero tienesque estimar la de las partes restantes. Hallar el área exacta de una figura esposible si la figura tiene forma más regular.

14. ¿Cuál es el área de cada partesombreada? Usa la Hoja de

actividad del estudiante 7 paraque te ayude. Da las respuestasen unidades cuadradas. Prepáratepara explicar tus razonamientos.


A

Si conoces el área de una figura, a veces puedes usar esa informaciónpara que te ayude a hallar el área de otra figura. Esto funciona sólo sipuedes establecer alguna relación entre las dos figuras.

Estas son algunas figuras que están sombreadas.



A.

F. G.E.

H. I. J.

K.

B. C. D.

15. a. Elige cuatro figuras azules y describe cómo puedes hallar el áreade cada una. De ser posible, usa relaciones entre las figuras.

b. Ahora halla el área (en unidades cuadradas) de cada parte azul.

c. Describe la relación entre el área azul de las figuras C y D.


10 Redistribución


Esta sección trata el área (tamaño) de las figuras. Usaste distintos métodospara comparar el área de dos bosques, campos de tulipanes, piezas de corcho,baldosas y varios estados e islas. Tú:

• puedes haber contado tulipanes;

• comparado piezas de corcho de distinta forma con una pieza cuadradamás grande; y

• dividido y juntado figuras para crear otras figuras.

También hallaste realmente el área de figuras mediante mediciones. El árease describe usando unidades cuadradas.

Exploraste varias estrategias para medir el área de distintas figuras.

• Contaste el número de cuadrados completos que había dentro de unafigura y luego redistribuiste las piezas restantes para formar otroscuadrados.

Dentro de esta figura, hay cuatro cuadrados completos.

A

1 2

43

Las piezas restantes pueden combinarsey formar otros cuatro cuadrados.

• Quizá hayas usado relaciones entre figuras.

Puedes ver que la pieza sombreada es la mitad del rectángulo.

O puedes ver que dos figuras juntas forman una tercera.



• Quizá hayas dividido una figura en partes más pequeñas cuya áreapuedas hallar más fácilmente.

• Además, quizás hayas encerrado una figura en un rectángulo y hayasrestado las áreas vacías.

1. Sue pagó $3.60 por una tabla rectangular de 9 in (pulgadas) por 13 in.Ella corta la tabla en tres piezas, como se muestra aquí. ¿Cuál es elprecio justo de cada pieza?

13 in

9 in$3.60

13 in

6 in

3 in


4. Elige dos de estas figuras y halla el área de los triángulos verdes.Explica cómo hallaste cada área.

12 Redistribución

2. A continuación puedes ver la figura de dos lagos.

a. ¿Qué lago es más grande? ¿Cómo lo sabes?

b. Estima el área de cada lago.

3. Halla el área de cada una de estas partes anaranjadas en unidades cuadradas.

A. B. C. D.

¿Por qué crees que esta unidad se llama Redistribución?

A. B. C. D. E.



Sección B: Patrones de área 13

BPatrones de área

Rectángulos1. Halla el área encerrada en cada rectángulo trazado en las siguientes

figuras. Explica tus métodos.

A. B.

C. D.

E.

4 cm

5 cm

2. a. Describe al menos dos métodos diferentes que puedas usar parahallar el área encerrada en un rectángulo.

b. Reflexiona ¿Qué método prefieres? ¿Por qué?


14 Redistribución

Patrones de áreaB

La clase de la señorita Petry quierehacer un tapiz de figuras geométricas.Para las figuras geométricas, usaránfieltros de distintos colores. El fieltrose vende en paños de 4 pies (ft) por 6 ft. Cada paño cuesta $12. La tiendale cobrará a la clase de la señoritaPetry sólo las figuras que se cortan.

Meggie quiere comprar esta parte sombreada.

3 a. Explica por qué la parte que Meggie quiere comprar costará $6.00.

b. Estas son las otras figuras que planean comprar. Usa la Hoja de

actividad del estudiante 8 para calcular el precio de las figurasgeométricas (las partes sombreadas).

6

4 $12.00

4

3 3

A. 2 4

4

D. 3 3

4

G. 2 4

4

H. 3 1 2

4

I. 3 3

4

E. 2 4

4

F. 2 4

4

B. 2 4

4

C. 2 4

4

6

4 $12.00



BPatrones de área

Un cuadrilátero es una figura de cuatro lados.

Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero.

Un paralelogramo es una figura de cuatro lados con ladosopuestos paralelos.

4. ¿Es un rectángulo un paralelogramo? Sí o no, ¿por qué?

Patrones cuadriláteros

Búsqueda de patrones

Repítelo una vez

corta pega

Repítelo otra vez

corta pega

corta pega

Actividad

Puedes transformar un rectángulo en muchos paralelogramos distintoscortando y pegando varias veces. Intenta hacerlo con papel cuadriculadoo con una ficha de 4 in por 6 in.

I. Traza un rectángulo que tenga dosunidades de ancho y tres unidades dealto, o usa la ficha como rectángulo.

II. Recorta por la diagonal y luego pegapara formar otro paralelogramo.

III. Repite el paso II unas veces más.

¿En qué se diferencia el últimoparalelogramo del rectángulo? ¿En qué se parece?


5. a. Además de tener la misma área, ¿en qué se parecen todos los paralelogramos que se muestran aquí?

b. Describe cómo se podría transformar cada uno de losparalelogramos de la B a la E en la figura A.

6. ¿Cómo se puede usar tu método para hallar el área encerrada en cualquier paralelogramo?

En la Sección A, aprendiste a modificar compensadamente figuras.Cortaste una parte de una figura y pegaste esa misma parte en un lugar distinto. Si haces esto, el área no se modifica.

Estos son tres paralelogramos. El primer diagrama muestra cómocortando y pegando se transforma un paralelogramo en un rectángulo.

7. Copia los otros dos paralelogramos en papel cuadriculado y muestra cómo se transforman en rectángulos.

8. Calcula el área de los tres paralelogramos.

Todos los siguientes paralelogramos encierran la misma área.

16 Redistribución

Patrones de áreaB

A. B. C.

D. E.

a. b. c.


20 cm

30 cm

1 m


BPatrones de área

La balsa es una madera liviana que se usa para hacer aviones a escala.Por comodidad, se vende en longitudes estándar, que hace más sencillocalcular los precios. El precio de una tabla de 1 m (metro) de largo, 1 cm(centímetro) de ancho y 1 cm de espesor es $0.86. Jim le puso el precioa cada una de las tres pilas.

9. Explica cómo habrá calculado Jim el precio de cada pila.

1 cm1 m

1 cm

costo $0.86

Estas tablas también miden 1 m de largo.

10. a. Estima el precio de toda la pila.

b. Jim enderezó la pila. Ahora es mucho más sencillo ver cómose calcula el precio. Calcula el precio de esta pila.

c. Compáralo con tu estimación inicial.

30 cm

20 cm

1 m

1 cm 2 cm

10 cm

10 cm$8.60

10 cm$17.20

10 cm$86.00

Pila A Pila B

Pila C

1 m 1 m

1 m


11. a. Usa la Hoja de actividad del estudiante 9 para calcular el área decada cuadrilátero sombreado. Muestra tus métodos de solución;puedes describirlos con palabras, con cálculos o con un dibujo.Pista: puede ser útil trazar las líneas de la cuadrícula dentro de losrectángulos.

b. Trata de pensar en una regla para hallar el área de un cuadriláterocuyos vértices tocan los lados de un rectángulo. Explica tu regla.

12. a. En papel cuadriculado, traza ocho figuras distintas, de modo quecada una tenga un área de cinco unidades cuadradas.

No es fácil hallar el área de algunos cuadriláteros.

Estos son cuatro cuadriláteros sombreados que no son paralelogramos.Cada uno está trazado dentro de un rectángulo. Cada vértice toca unlado del rectángulo.

18 Redistribución

Patrones de áreaB

A.

2

2

2

2

D.2 3

2 3

3

1

2

2

B.2 3

2 3

2

2

2

2

C.4 1

2

2

2

2

2 1–2 2 1–

2

2 1–2 2 1–

2

2 1–2 2 1–

2


base

triángulo

altura

Jaime, Mike, Jolene, Carmen y Bárbaratrazaron estas figuras.

b. ¿Trazaron todos una figura conun área de cinco unidadescuadradas? Explica, sí o no,¿por qué?

c. Traza dos triángulos quetengan un área de cincounidades cuadradas.


BPatrones de área

JaimeJaime MikeMikeMikeMike

JoyceJoyceJoyceJoyceJoyceJoyce CarmenCarmenCarmenCarmen

BarbBarbBarbBarbJaime MikeMikeMike

JoyceJoyceJolene CarmenCarmenCarmen

BarbBarbBárbara

baserectángulo paralelogramo

altura

base

altura

En esta sección, trabajaste con tres figuras. Cuando describes unrectángulo, un paralelogramo o un triángulo, son importantes las palabras base y altura. La base describe cuán ancha es la figura. La altura describe cuán alta es.

13. a. Usa las palabras base y altura para describir maneras de hallar elárea de rectángulos, paralelogramos y triángulos. Prepárate paraexplicar porqué funcionan tus maneras de hacerlo.

b. Verifica si funciona tu descripción para hallar el área averiguando el área de algunos de los rectángulos, paralelogramos y triángulosde los problemas que resolviste antes en esta sección y en laSección A.

c. Traza un triángulo de base 4 y altura 2. Ahora traza un triángulo de base 2 y altura 4. ¿Qué observaciones puedes hacer?


Él área encerrada en un paralelogramo es igual al área encerrada en unrectángulo de igual base y altura. Puedes hallar el área encerrada encualquier paralelogramo usando esta fórmula.

El área (A) es igual a la base (b) multiplicada por la altura (h).

A rectángulo � b � h

A paralelogramo � b � h

Un triángulo tiene siempre la mitad del tamaño de algún rectángulo oparalelogramo. Puedes hallar el área encerrada en un triángulo usando esta fórmula.

El área (A) es igual a un medio de la base (b) multiplicada por la altura (h).

A triángulo � 1��2 b � h

14. Calcula el área encerrada en estas figuras.

15. a. En papel cuadriculado, traza un paralelogramo que encierre un área de 8 unidades cuadradas.

b. En papel cuadriculado, traza un triángulo que encierre un área de 8 unidades cuadradas.

20 Redistribución

Patrones de áreaB

Estrategias y fórmulas

A.B.

C.


En algunos triángulos, no es fácil establecer la longitud de la base o de laaltura. Esto sucede en este triángulo. Como el triángulo está “inclinado”,la cuadrícula no te ayuda a hallar la longitud de la base y de la altura.

16. Usa una estrategia parahallar el área encerrada eneste triángulo “inclinado”.

Miguel halló el área encerrada en el triángulo trazando un cuadrado a su alrededor. Luego calculó el área de los tres triángulos sombreados.


BPatrones de área

Área del cuadrado = ?

Área del triángulo anaranjado = ?

Área = ?

Área = ?

Área = 3

A. B.

17. Termina el trabajo de Miguel. ¿Cuál es el área encerrada en eltriángulo anaranjado?

18. Copia estas imágenes en papel cuadriculado y usa la estrategiade Miguel para hallar el área.


22 Redistribución

Patrones de área

En esta sección, aprendiste muchas maneras de calcular el área encerrada en una variedad de figuras.

Para hallar el área encerrada en esta figura puedesusar cualquiera de las siguientes estrategias.

1. Cuenta los cuadrados, corta y pega las

unidades incompletas.

Cuenta el número de cuadrados completos que hay dentro de la figura,corta las partes restantes y cámbialas de lugar para formar otros cuadrados.

2. Modifica compensadamente la figura.

Corta partes más grandes de la figura original y pégalas en otro lugar.

3. Encierra la figura y resta los sobrantes.

Traza un rectángulo alrededor de la figura demodo que puedas restar fácilmente las áreasque no forman parte de la figura.

En este caso, el área encerrada en elparalelogramo es el área encerrada en elrectángulo menos el área de los dos triángulos.

24 � 8 � 8

El área es igual a 8 unidades cuadradas.

B

Paso 1 Paso 2

Paso 1 Paso 2

8

8



4. Duplica la figura o córtala por la mitad.

El área del triángulo verde es la mitad del área encerrada en el rectángulocorrespondiente (cuadrado).

5. Usa fórmulas.

Puedes usar la relación entre un paralelogramo y un rectángulo.

El área encerrada en un paralelogramo es igual al área encerrada en un rectángulo de igual base e igual altura.

Esta relación te da la fórmula:

A paralelogramo � b � h

También puedes usar fórmulas para el área encerrada en un rectángulo y un triángulo.

A rectángulo � b � h

A triángulo � 1��2 b � h

b b

h


24 Redistribución

1. a. En la Hoja de actividad del estudiante 9,sombrea un rectángulo que encierre la mismaárea que el paralelogramo de la izquierda.

b. Usa este paralelogramo para sombrear un triángulo de la Hoja de actividad del

estudiante 9 que encierre la mitad del área del paralelogramo.

A. B. C. D.

2. Usa la Hoja de actividad del estudiante 9 para determinar el áreade cada una de estas figuras. Usa cualquier método.

3. Para cada estrategia descrita en el Resumen, halla un ejemplo de unproblema de la Sección A o B donde hayas usado esa estrategia.

4. En papel cuadriculado, traza dos paralelogramos distintos y dos triángulos distintos que encierren, cada uno, un área de 12 unidades cuadradas.

¿Cuál de los métodos para hallar el área de una figura que se describenen el Resumen crees que será más útil? Explica tu razonamiento.

Patrones de áreaB


Las unidades métricas son fáciles de usar porque la relación entre ellas sebasa en múltiplos de 10. Los Estados Unidos es uno de los pocos paísesque todavía usan el sistema de medidas angloamericano.

Hoy, los estadounidenses compran y venden productos a otros países.Podrás observar que muchos productos de la tienda de comestibles, como elagua envasada y las frutas enlatadas, se miden en unidades métricas. Sicorres en una pista, probablemente midas la distancia usando metros. Losjuegos internacionales, como los Olímpicos, usan distancias expresadas enmetros. Los medicamentos también se pesan en unidades métricas. En lasetiquetas de los alimentos, la lista de grasas, proteínas y carbohidratosaparece a menudo en unidades métricas.

Estas son algunas descripciones para que te ayuden a entender y recordarel tamaño de algunas de las unidades métricas usadas comúnmente parala longitud.

Sección C: Medida del área 25

CMedida del área

Conversión al sistema métrico

Longitud

1 centímetro: tu pulgar tiene aproximadamente uncentímetro de ancho, que es menos de una pulgada.

1 metro: un paso largo mide cerca de un metro delargo, que es un poco más de una yarda.

1 kilómetro: la longitud de unos diez estadios de fútbolamericano tiene más o menos un kilómetro,que es aproximadamente 0.6 de milla.


1. Haz una lista de cosas que tengan aproximadamente el siguiente tamaño:

a. un centímetro

b. un metro

c. un kilómetro

Probablemente, ya trabajaste con el sistema métrico. Fíjate para versi recuerdas las respuestas a los siguientes problemas.

2. a. ¿Cuántos centímetros hay en un metro?

b. ¿Cuántos metros hay en un kilómetro?

c. Escribe otros dos enunciados sobre la forma en que serelacionan las unidades métricas entre sí.

26 Redistribución

Medida del áreaC

ÁreaUna unidad métrica para medir el área es el centímetro cuadrado. Las dimensiones del cuadrado pequeño son exactamente 1 cm por 1 cm. El área puede expresarse como 1 cm2.

Un ejemplo de una unidad de medida angloamericana para el área es la pulgada cuadrada (in2).

3. a. Traza en tu cuaderno esta unidad.

b. Aproximadamente, ¿cuántos centímetros cuadrados necesitaspara cubrir una pulgada cuadrada?

4. Da un ejemplo de algo que tenga más o menos el siguiente tamaño:

a. un centímetro cuadrado

b. una pulgada cuadrada

c. un metro cuadrado

d. un kilómetro cuadrado

1 cm

1 c

m

1 cm2


Sabes que una figura que tenga un metro cuadrado de área no es necesariamente un cuadrado. Trabajaste con muchos ejemplos en las Secciones A y B donde una figura se modificaba pero el área permanecía igual. Creaste un teselado cortando y pegando partes en diferentes lugares, y manteniendo la misma área.

Esta es una variedad de figuras que encierran un área de uncentímetro cuadrado.

5. En papel cuadriculado, traza dos figuras distintas que encierren un área de 1 centímetro cuadrado.

Para medir el área, se usan muchos tipos distintos de unidades cuadradas,como metros cuadrados, centímetros cuadrados, yardas cuadradas o piescuadrados. Si se necesita medir la misma área con más precisión, se usan a menudo unidades cuadradas más pequeñas.

En un papel para notas autoadhesivo, traza uncuadrito de 1 cm2. (Asegúrate de que la parteadherente esté en la parte de atrás.)

Recorta tu centímetro cuadrado.

Pide a un grupo de cuatro estudiantes que use una regla de 1 m y cuatro cuadritos de uncentímetro para marcar las cuatro esquinas del cuadrado cuyos lados miden 1 m, como en el esquema.

¡Nota que este esquema no está trazado a escala!


CMedida del área

Actividad

6. ¿Cuál es el área de esta figura en metros cuadrados?


Esta figura representa tu cuadrado con lados de 1 m de longitud.

Puedes llenar la figura cuadrada con cuadrados más pequeños.

En este dibujo, se ha llenado la fila inferior de la figura.Cada cuadrado pequeño representa un área de 1 cm2.Nota que los cuadrados son muy, muy pequeños,apenas puedes verlos, pero están ahí.

28 Redistribución

Medida del áreaC

7. a. ¿Cuántos centímetros cuadrados necesitas paracompletar la fila inferior? (Piensa en la relaciónentre el metro y el centímetro.)

b. ¿Cuántas filas se necesitan para llenar todo el cuadrado?

c. ¿Cuál es el área de la figura en centímetroscuadrados? ¿Cómo lo calculaste?

d. Hallaste el área de este cuadrado usando dosunidades distintas, primero, metros cuadrados y después centímetros cuadrados. Si pudieraselegir, ¿qué unidades preferirías para el área de este cuadrado? Explica tu elección.

El área también puede medirse usando el sistema de medidas angloamericano.

Se puede usar un dibujo para comparar la pulgadacuadrada con la yarda cuadrada. Este es un cuadradocon lados de 1 yarda de longitud; no está trazado detamaño real.

8. a. ¿Cuál es el área de la figura en pulgadas cuadradas?

b. ¿Cuál es el área de la figura en yardas cuadradas?

c. ¿Cuál es el área de la figura en pies cuadrados?


Un dibujo de la unidad cuadrada más grande puede ayudarte a hallar elárea en una unidad de medida más pequeña. Puedes imaginar cómo secompleta el cuadrado más grande con cuadrados más pequeños. Sólonecesitas recordar la relación entre las unidades, como:

1 metro � 100 centímetros 1 kilómetro � 1,000 metros

1 yarda � 3 pies 1 pie � 12 pulgadas 1 yarda � 36 pulgadas

Puedes usar esta información para averiguar la relación. Si la olvidas, siempre puedes recrear cómo se llena el espacio más grande con cuadradosmás pequeños.

9. Completa lo siguiente:

a. 1 metro cuadrado �_______ centímetros cuadrados

b. 1 yarda cuadrada � ______ pulgadas cuadradas

10. a. Reflexiona ¿Qué unidades de medida son más fáciles de usar:unidades métricas, como el metro y el centímetro, o unidadesangloamericanas, como la yarda y la pulgada? Explica tu elección.

b. ¿Qué unidades de medida usarías para hallar:

I. la longitud de una mosca de la fruta,

II. la distancia de un salto de rana,

III. el área de una cancha de fútbol,

IV. el área del tablero de tu mesa?


CMedida del área


11. ¿Cuántos metros cuadrados de mármol se necesitan para cada piso?Muestra tus cálculos.

También es necesario cubrir con mármol este piso.

Para calcular el área de este piso, Roberto usó la fórmula que aprendiste enla sección anterior.

Arectángulo � base � altura

Este es su trabajo:

Área del piso � 31��2 � 21��2 m2

12. ¿Cómo calcularías 31��2 � 21��2 ?

30 Redistribución

Medida del áreaC

4 m

2 m1–2

2 m1–2

3 m

4 m

3 m

A. B. C.

EmbaldosarEn el Hotel Barón, se cubrirán varios pisos con mármol italiano. El mármolviene en cuadrados que tienen exactamente 1 m2. Las piezas sobrantes no se desperdiciarán, se cortarán de modo que cubran los espacios dondeno cabe una baldosa entera.

Esta es una baldosa de mármol italiano.

Se cubrirán con mármol italiano estos tres pisos.

312

212

m

m


El hotel tiene que cubrir con mármol dos pisos más.

El piso del pasillo mide 11��2 m de ancho por 8 m de largo.

El piso de la sala de estar mide 31��2 m por 51��2 m.

14. Calcula el área de ambos pisos. Puede resultarte útil hacer un dibujocomo el de Aisha.

Roberto no recordaba cómo se multiplican estos números.

Aisha ayuda a Roberto. Ella traza el dibujo del piso para explicar cómo se multiplicanestos números.

13. ¿Cómo puede usarse el dibujo de Aisha

para hallar la respuesta a 31��2 � 21��2 ?

Muestra su trabajo.


CMedida del área

312

212

m

m

Se puede conseguir otro tipo de baldosas demármol en cuadrados más pequeños, quetienen aristas de 10 cm de largo.

Estas baldosas más pequeñas vienen en varioscolores. Al acomodar estas baldosas de coloresse producen distintos patrones en el piso.

15. a. ¿Cuántas baldosas pequeñas componen este metro cuadrado?

b. ¿Cuántas baldosas pequeñas necesitas para cubrir este piso?

c. ¿Cuántas baldosas pequeñas necesitas para cubrir el piso del problema 11?

3 m

4 m

1 m

1 m


La recepción de un hotel nuevo tiene 14 yardas de largo y 6 yardasde ancho.

32 Redistribución

Medida del áreaC

Recepción del hotel

Piso de la recepción

14 yd

6 yd



CMedida del área

Tú eres el vendedor de una compañía de revestimiento de pisos. El gerentedel hotel te pide que le muestres con dibujos a escala cómo puede quedarla recepción con cada tipo de revestimiento y que calcules el precio de cadauna de las tres opciones para cubrir el piso. Por último, te pide que lerecomiendes qué comprar.

16. Usa la Hoja de actividad del estudiante 10 (que tiene dibujos a escaladel piso de la recepción) y la 11 para que te sirvan de ayuda al escribirun informe donde analices la opción de cada revestimiento. Haz undibujo del diseño de cada opción y calcula el precio para cada ejemplo.No te olvides de incluir una recomendación sobre la mejor elección derevestimiento y las razones para esa elección.

Para cubrir el piso de la recepción, los dueños están analizando tresopciones: alfombra (que viene en dos medidas, de 3 yardas o de 4yardas) o vinilo. A continuación se muestra el precio vigente de cadatipo de revestimiento. Nota que la alfombra viene en 3 yardas o en 4 yardas de ancho.

Alfombra A

5 yd

4 yd

Alfombra B

3 yd

Vinilo

$25/yd 2$24/yd 2

$22/yd 2


34 Redistribución

Medida del área

El sistema métrico y el sistema angloamericano son dos sistemas diferentesde medidas. Cada sistema usa distintas unidades de medida para lalongitud y el área.

Para familiarizarse con estas unidades, es útil hacer una lista de cosas quetienen aproximadamente el tamaño de la unidad. Por ejemplo, un metro es como un paso largo, un poco más de una yarda. Un kilómetro es más o menos la distancia que caminas en diez minutos; para caminar una millase tarda unos quince minutos.

Un kilómetro cuadrado puede llenarse con cuadrados más pequeños, porejemplo, con metros cuadrados.

Dado que 1 km � 1,000 m, una fila ocuparía 1,000 m2. Habría 1,000 filas de manera que para cubrir completamente un kilómetro cuadrado senecesitarían un millón de metros cuadrados (1,000 � 1,000 � 1,000,000).

Hallar el área

Para calcular o estimar el área, puedes hacer un dibujo, usar una fórmula o reacomodar partes.

Este es un ejemplo.

El dibujo muestra que son necesarias 12baldosas enteras, siete mitades de baldosa(o 31��2 baldosas enteras) y 1��4 de una baldosapara cubrir el piso.

Juntas, 12 � 31��2 � 1��4 � 15 3��4 baldosas de

manera que el área del piso son 15 3��4 m2.

C

412 m

312 m

Longitud Área

Angloamericano

Métrico

pulgadas

pies

yardas

millas

centímetros

metros

kilómetros

pulgadas cuadradas

pies cuadrados

yardas cuadradas

millas cuadradas

centímetros cuadrados

metros cuadrados

kilómetros cuadrados



Una baldosa hexagonal

Pasillo central

1. Usa el dibujo del Pasillo central de la Hoja de actividad del estudiante 12

para responder a las siguientes preguntas.

a. ¿Cuántas baldosas hexagonales se usaron para crear este pasillo?

En la fábrica, las baldosas hexagonales se crearon a partir de baldosastriangulares pequeñas.

b. ¿Cuántas baldosas triangulares pequeñas hay en el piso del Pasillo central?

Este es el plano del pasillo central de un centro comercial nuevo. Las baldosas usadas para este piso tienen la forma de un hexágono,una figura de seis lados.


36 Redistribución

Medida del área

2. Calcula el área (en yardas cuadradas) de cada piso.

3. Los pisos del problema 2 están cubiertoscon baldosas de colores. Los lados de cadauna tienen un pie de longitud.

a. ¿Cuántas baldosas necesitas para cubrir cada piso?

b. Termina este enunciado: 1 yarda cuadrada � ____ pies cuadrados.

4. Nombra un objeto y estima su área usando por lo menos dos de lasunidades de medida mencionadas en el Resumen.

5. Haz una lista de todas las unidades métricas y angloamericanas delResumen ordenadas de menor a mayor.

C

5 yd 6 yd

4 yd

A. B.

C. 312 yd

312 yd

212 yd

Nombra por lo menos tres situaciones en tu casa en las que resultóimportante hallar el área.


Dani fue contratado para construir una senda para bicicletas y para correralrededor de cada uno de los siguientes lagos. El dueño quiere pagarle lamisma cantidad de dinero por las dos sendas porque los lagos tienen áreas iguales. Dani está de acuerdo con que los lagos tienen áreas iguales,pero quiere cobrar más por la construcción de la senda alrededor del lago María.

1. ¿Estás de acuerdo con que Dani debería recibir más dinero por la sendadel lago María? Sí o no, ¿por qué?

Estos son dibujos de cuatro huertos que la ciudad quiere sembrar en un parque del centro. Alrededor de las aristas de cada huerto, la ciudadconstruirá una cerca decorativa. Cada cuadrado de la cuadrícula representa 10 m por 10 m.

2. ¿Cuánto alambrado necesitas para cercar cada huerto?

Sección D: Perímetro y área 37

DPerímetro y área

Perímetro

Lago Cristal

Lago María

10 m

A.

B. C. D. E.


3. La distancia al rededor de una figura se llama el perímetro de la figura.

a. ¿En qué se diferencia el área de una figura de su perímetro?

b. Halla el área de cada huerto.

c. Compara el área y el perímetro de estos huertos.

Este es un dibujo de un jardín que tiene unárea de 15 unidades cuadradas.

4. Usa papel cuadriculado para diseñar otroscuatro jardines con la misma área perocon perímetro distinto. Rotula el área y el perímetro de cada jardín.

Estos son tres pares de figuras. En cada par, la Figura II es la ampliación dela Figura I. Cada par tiene la misma forma, pero no el mismo tamaño.

38 Redistribución

Perímetro y áreaD

El área y el perímetro ampliados

Figure iFigure i Figure iFigure iFigure iFigure i

Figure Figure iiii Figure Figure iiii Figure iiFigure ii

Figura I Figura IFigura I

Figura II Figura II Figura II

Par A Par B Par C

5. Para cada par, calcula y compara el área y el perímetro de la Figura I

y de la Figura II. Describe cómo cambian el área y el perímetro siamplías una figura por determinado factor.


Esta es una pintura original de naves espaciales (Pintura A).

6. Usa una regla de centímetros para medir las dimensiones de la pintura.

Es posible ampliar esta pintura. Las distintas ampliaciones de la mismapintura tienen la misma forma pero no las mismas dimensiones.

Esta es una ampliación (Pintura B) de la pintura original. Se ha ampliado eloriginal por un factor de dos. Esto significa que se duplicó tanto el largocomo el ancho.


DPerímetro y área

B

A


El perímetro de las figuras que tienen lados rectos puede medirse ocalcularse con bastante facilidad. En las figuras con aristas curvas es unpoco más difícil hallar el perímetro.

40 Redistribución

Perímetro y áreaD

Circunferencia

Trazar un círculo

• Toma un cordel de 20 cm a 30 cm de longitud.

• Dóblalo y anuda juntos los extremos.

• Mantén el nudo en un punto de tu papel.

• Coloca el lápiz en el otro extremo,dentro del bucle.

• Mantén el cordel estirado y traza un círculo.

• Corta el nudo con una tijera.

Para enmarcar la pintura original (A), el vidrio cuesta $5, y el marco demadera de 28 cm cuesta $10.

7. a. Si el costo del vidrio por centímetro cuadrado de área es el mismo,¿cuál es el costo para cubrir la ampliación (pintura B)?

b. Si el costo del marco por centímetro de longitud es el mismo, ¿cuáles el costo de un marco de madera para la ampliación?

Supón que el original se amplió a 18 cm por 24 cm.

8. a. ¿Cuál es el costo para cubrir con vidrio esta ampliación?

b. ¿Cuál es el costo para colocar un marco de madera a esta ampliación?

c. Cuando se amplía una figura, ¿se amplía de la misma forma el áreay el perímetro? Explica tu respuesta.

Actividad


9. a. ¿Qué nombre específico se le da a la longitud del cordel?

b. ¿Cuántas veces aproximadamente cabe la longitud del cordelen el perímetro del círculo?

c. Compara tu respuesta de la parte b con la de tus compañeros.


DPerímetro y área

CírculosSería muy útil un método más preciso para hallar el perímetro de un círculo.

Primero, necesitas un triángulo equilátero.

Equilátero significa que todos los ladostienen la misma longitud.

Usando seis de estos triángulos regulares,puedes hacer un hexágono regular.

10. a. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo regular?

b. ¿Cuál es el perímetro de un hexágono regular?

Esta es una ampliación de este hexágono.

Alrededor del hexágono se trazó un círculo.El círculo pasa sobre los seis vértices.

Se ha encerrado el círculo y el hexágono en un cuadrado.

11. Usa los dibujos para estimar elperímetro de este círculo. Muestra tu trabajo.

El perímetro de un círculo se llamausualmente circunferencia de un círculo.

La línea recta que pasa por el centro delcírculo se llama diámetro del círculo.

12. ¿Cuál es la longitud del diámetro del círculo del problema 11?

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

di·metro

C I

RC

UN

FER

EN

CI

A


Estos son otros tres dibujos trazados usando distintos tamaños detriángulos equiláteros. En cada dibujo se muestra el tamaño del triángulo.

42 Redistribución

Perímetro y áreaD

2 cm

4 cm

3 cm

diameterdiameterdiámetro

13. Usa las figuras anteriores para calcular el perímetro de cadacuadrado y cada hexágono. Usa el diámetro de cada círculo paraestimar su circunferencia. Escribe todos los resultados en la tablade la Hoja de actividad del estudiante 13.

Revisa los resultados en tu tabla.

14. a. ¿Cómo se relaciona la circunferencia de cada círculo con elperímetro del hexágono y del cuadrado correspondiente?

b. Describe la relación entre el diámetro de un círculo y su circunferencia.

c. Compara este resultado con los que hallaste en el problema 9.

Con triángulos Con triángulos Con triángulos Con triángulos

de 1 cm de 2 cm de 3 cm de 4 cm

Estimación de la circunferencia

Circunferencia

aproximada del círculo

Perímetro del cuadrado

Perímetro del hexágono

Diámetro del círculo


Hace mucho tiempo, las personas descubrieron la relación entre lacircunferencia de un círculo y el diámetro del círculo. Describieron esta relación así:

“La circunferencia del círculo es un NÚMERO FIJO multiplicado por eldiámetro del círculo”.

15. Basándote en las conclusiones que sacaste hasta el momento, ¿cuál es el valor de este número fijo?

Los antiguos griegos usaban un nombre determinado para este númerofijo. Lo llamaban π (una letra del alfabeto griego, que se pronuncia PI).

Pi es aproximadamente 3.14 o 22—7 .

Una estimación aproximada para el valor de pi es el número 3.

La fórmula moderna para la circunferencia del círculo es:

circunferencia del círculo � π � diámetro del círculo

Usando una aproximación para π, la fórmula es:

circunferencia del círculo � 3.14 � diámetro del círculo

Hoy la mayoría de las calculadoras traen una tecla π para este número fijo.

16. a. ¿Qué valor muestra tu calculadora para el número π?

b. Usa una de las fórmulas anteriores para verificar tus estimacionessobre la circunferencia de los círculos que anotaste en la tabla delproblema 13.

Algunas personas, cuando hallan la circunferencia de un círculo, prefierenusar el radio del círculo.

El radio de un círculo tiene la mitad del tamaño del diámetro.

17. a. Traza un círculo de 6 cm de diámetro en tu cuaderno. Colorea elradio del círculo y escribe su longitud al lado del dibujo. Halla lacircunferencia del círculo.

b. Usa tu dibujo para explicar esta fórmula:

circunferencia del círculo � 2 � π � radio del círculo


DPerímetro y área


La madre de Pedro tiene una terraza en forma de L.Le gustaría transformarla en una forma circular.Este es un dibujo que representa su diseño.

18. a. ¿Cuántas baldosas hay en la terraza conforma de L? Usa la Hoja de actividad

del estudiante 14 para que te ayude aresponder a la pregunta. Explica cómohallaste la respuesta.

b. Estima el número de baldosas necesariaspara crear una terraza circular.

44 Redistribución

Perímetro y áreaD

Círculos y área

Una fórmula antigua usada para estimar elárea comprendida en un círculo es: el áreaes aproximadamente 3 � radio � radio.

19. a. Usa el dibujo pequeño anterior y el dibujo del problema 18 de la Hoja de actividad del estudiante 14 para explicar porqué esta fórmula antigua es una buena estimación del áreacomprendida en un círculo.

b. Usa esta fórmula antigua para verificar tu respuesta al problema 18b.

¡El número más preciso que puedes usar en lugar de 3 es,sorprendentemente, el número π!

Una fórmula moderna para el área comprendida en un círculo es:

área comprendida en un círculo � π � radio � radio

o área � 3.14 � radio � radio

Las baldosas cuadradas del problema 18 tienen 30 cm por 30 cm.

20. a. Calcula el área de la terraza circular usando una de las fórmulas anteriores.

b. Compara este resultado con los que estimaste para 18b y 19b.


21. Tamae iba a comprar el espejo más grande que encontrara.

a. ¿Cuál de los dos espejos tiene un área de visión más grande?Explica tu razonamiento.

b. ¿Cuál de los dos espejos tiene un perímetro mayor? ¿Cómo lo sabes?

c. ¿Qué espejo debería comprar Tamae? ¿Por qué?

Una pizza que tiene 10 in de diámetro cuesta $9.60, mientras una pizza de12 in cuesta $11.80. Joni dice: “Por 2 in más, tengo que pagar $2.20 más”.

Alex afirma: “Pero tienes mucha más pizza si compras la grande”.

22. a. Haz comentarios sobre las afirmaciones de Joni y Alex.

b. ¿Cuánta pizza más tiene la grande comparada con la pequeña?

Las fórmulas de área y perímetro del círculo tienen muchos usos prácticos.Estos son los diseños de dos espejos, uno circular y otro rectangular con unsemicírculo en el extremo superior.


DPerímetro y área

72 in.

72 in

.36

in.

2 in.72 in.

2 in.

moldura de roble de 2 in de ancho

moldura de arce de 2 in de ancho

48 in

.48

in.

96 in.

Espejo circular Espejo de extremo circular


46 Redistribución

Perímetro y área

En esta sección, estudiaste relaciones entre el perímetro y el área.Aprendiste que:

• dos figuras con el mismo perímetro pueden tener distinta área, y

• dos figuras con la misma área pueden tener distinto perímetro.

Investigaste lo que sucede con el área y el perímetro cuando se amplíauna figura.

Cuando se duplican todas las longitudes de una figura, el perímetro dela ampliación se duplica, pero el área se amplía por un factor de 4.

Descubriste fórmulas para el círculo.

• El perímetro o la distancia del contorno del círculo esla circunferencia del círculo (C) y

es igual a π por el diámetro (d).

D

C = π � d

La circunferencia (C) es igual a dos veces πmultiplicado por el radio (r).

C = 2 � π � r

• El área comprendida en un círculo:

El área (A), comprendida en el círculo es iguala π por el radio (r) por el radio (r).

A = π � r � r o A = π � r2

Si duplicas el radio, obtienes la longitud del diámetro. Otra fórmula es:

π es un número fijo. Una buena aproximación es 3.14 o 22—7 . Una estimación aproximada es 3.

r

d

r



1. a. Traza tres rectángulos que encierren un área de 16 cm2. ¿Cuál es elperímetro de cada rectángulo?

b. ¿Cuál es el perímetro menor que puede tener un rectángulo queencierra un área de 16 cm2? Explica tu respuesta.

2. a. En papel cuadriculado, traza un rectángulo que encierre un área de12 cuadrados. ¿Cuál es su perímetro?

b. Traza una ampliación de tu rectángulo duplicando cada lado.

c. ¿Cuál es el área encerrada en el rectángulo ampliado? ¿Cuál es el perímetro?

d. En general, si duplicas todos los lados de un rectángulo, ¿qué sucede con el área encerrada? ¿Qué sucede con el perímetro? Explica tus respuestas.

3. Suze quiere un reloj que no sea demasiado grande. Está mirando dosrelojes en un catálogo. Uno tiene la forma de un círculo de 30 cm dediámetro. El otro tiene forma rectangular (con el reloj centro) de 32 cmpor 22 cm.

Compara el área y el perímetro de los relojes. ¿Cuál debería comprar?Justifica tu respuesta.

4. El señor Anderson quiere asegurar los vidrios de su casa. La prima de este seguro se basa en el área de las ventanas de vidrio que dan al exterior.

La mayoría de las ventanas exteriores de la casa del señor Andersontienen forma de rectángulo.

a. Describe cómo puede calcular el señor Anderson el área de vidriode estas ventanas.

b. Tres ventanas tienen la forma que se muestra en el diagrama, con un semicírculo en la partesuperior de un rectángulo.Describe cómo puede calcularel señor Anderson el área devidrio de este tipo de ventanas.Incluye un ejemplo del cálculodel área de la ventana quetiene las dimensionesindicadas en el dibujo.

80 cm

50 cm


48 Redistribución

Perímetro y área

5. a. ¿Qué sucede con la circunferencia de un círculo si duplicasla longitud del diámetro? Justifica tu respuesta.

b. ¿Qué sucede con el área comprendida en un círculo simultiplicas el diámetro por 2? Justifica tu respuesta.

Haz una lista de todos los términos y las fórmulas de esta sección.Crea un diagrama que muestre cómo se relacionan los términosentre sí y con las fórmulas.

D


En la Sección D, investigaste la relación entre el perímetro y el área.

De manera similar, puedes analizar la relación entre el área de la superficie

y el volumen. Esto es lo mismo que comparar la cantidad de papel deenvolver que necesitas para cubrir un paquete incluido su espacio interior.

Sección E: Área de la superficie y volumen 49

EÁrea de la superficiey volumen

Paquetes

A.

B.

El área cubierta con papel de envolver es el área de la superficie delpaquete. La parte superior, la parte inferior y los costados son lassuperficies o caras.

Una máquina corta y dobla cartón para empaque.

Este es un paquete de regalo y el cartón para hacer el empaque. El dibujo del cartón que puede doblarse para hacer el empaque sellama plantilla.

Los paquetes pueden llenarse con cubos.

Estos son dos paquetes distintos de arcilla para modelar trazados a lamisma escala.

1. a. ¿Qué paquete crees que tiene más arcilla? ¿Por qué?

b. ¿Qué paquete crees que necesita más papel de envolver? ¿Por qué?

Superior

Inferior


Los paquetes se clasifican por el número máximo de cubos que pueden contener.

2. a. ¿Cuántos cubos caben en cada paquete?

b. En papel cuadriculado, traza una plantilla para cada paquete.

c. ¿Qué paquete lleva la menor cantidad de cartón? Muestra tu trabajo.

La máquina para fabricar paquetes los produce de muchos tamaños.

3. ¿Es posible fabricar un paquete que contenga exactamente 100 cubos?

Si tu respuesta es “sí”, da las dimensiones de ese paquete.

Si tu respuesta es “no”, explica por qué la máquina no puede fabricarese paquete.

Esta es el área inferior de un paquete nuevo. El paquete tendrá una altura de 4 cubos.

4. ¿Cuántos cubos caben en este paquete?

50 Redistribución

Área de la superficie y volumenE

A. B. C. D.


Un paquete rectangular que contendrá exactamente 24 cubos de 1 cmpor 1 cm por 1 cm tiene un volumen de 24 cm3.

7. a. Usa cubos de un centímetro para hallar todos los tamaños depaquetes que puedas que contengan exactamente 24 cubos. Usa dimensiones que sean números naturales.

Si trazas una figura como esta y la doblas porlas partes correspondientes, puedes construirun cubo de un centímetro. Cada arista del cubodebe medir exactamente 1 cm.

La figura se llama plantilla de un cubo.

5. a. Usa papel cuadriculado en centímetrospara trazar la plantilla de un cubo de un centímetro.

Recórtala y dóblala para formar un cubo de un centímetro. No es necesario que la pegues.

b. Corta la parte superior de una caja de pañuelos de papel. ¿Cuántos centímetros cúbicos se necesitan para llenarla? Explica cómo hallaste la respuesta.

Se dice que un cubo de 1 cm por 1 cm por 1 cm tiene un volumen de uncentímetro cúbico, que se escribe 1 cm3.

6. ¿Cuál es el área de la superficie de un cubo de un centímetro?


EÁrea de la superficie y volumen

1 cm1 cm Volumen � 1 cm3

1 cm

Medida del interior


b. Determina cuánto cartón se necesita para hacer cada paquete. Notengas en cuenta el cartón para las solapas para pegar las aristas.Usa una tabla como la siguiente para anotar tus resultados.

52 Redistribución


Altura

Altura

Ancho

Ancho

Part

esu

per

ior

Part

ein

feri

or

Largo

Larg

o

24

24

24

24

24

24

24

Largo Ancho Altura Volumen Área de la

(en cm) (en cm) (en cm) (en cm3) superficie (en cm2)

Dimensiones del paquete

María está tratando de hallar el volumen de este paquete. El paquetese ha llenado en parte con cubos. María dice: “¡Puedo hallar fácilmenteel volumen de este paquete! La parte inferior del paquete mide 8 cmpor 7 cm. Puedo colocar 56 cubos en la capa inferior…”.

8. a. Explica qué más tiene que hacer María para hallar el volumende este paquete.

b. ¿Cuál es el volumen del paquete de María?

7 cm 8 cm

4 cm


Jonathan compró un florero para su amiga Erin, que vive en Irlanda.Necesita empacar el florero con mucho cuidado para poder enviarlo alexterior por correo. La caja para el envío mide 35 cm por 16 cm y tieneuna altura de 10 cm. Él compró una bolsa de material de empaque paraproteger y acomodar el florero. En la bolsa, la garantía asegura que“llenará una caja de 6,000 centímetros cúbicos de tamaño”.

9. ¿Será suficiente material de empaque para que el florero estéprotegido? Muestra tu trabajo.



10 cm

10 cm

1 decímetro cúbico

10 cm

1 cm3

10. a. Si todos en tu clase construyen uncentímetro cúbico, ¿sería suficiente para llenar 1 dm3?

b. ¿Cuántos centímetros cúbicos se necesitanpara llenar 1 dm3?

11. a. Nombra algunos objetos cuyo volumen se mediría en decímetros cúbicos y enmetros cúbicos.

b. Escribe cuatro enunciados sobre cómo serelacionan los centímetros cúbicos, losdecímetros cúbicos y los metros cúbicos.

Para medir el volumen de paquetes más grandes, usas cubos de tamañomás grande. En el sistema métrico, usas decímetros cúbicos o metroscúbicos. Este dibujo representa un decímetro cúbico (dm3). Nota que undecímetro (dm) � 10 cm.

Los cubos de la izquierda representan una pulgadacúbica y un pie cúbico, dos unidades de medidaangloamericanas para el volumen.

12. a. Escribe un enunciado sobre cómo serelacionan las pulgadas cúbicas y los pies cúbicos.

b. Escribe otros dos enunciados sobrecómo se relacionan los pies cúbicosy las yardas cúbicas.


Estos sólidos están formados por bloques de un centímetro cúbico.

13. Halla el volumen de cada sólido y describe tu estrategia para la solución.

14. a. Describe dos estrategias distintas para hallar el volumende la figura anterior.

b. Usa una de estas estrategias para hallar el volumen.

54 Redistribución


Modificar compensadamente

A.

B.

C.




A. B.

C. D. Tu salón de clase

E. La siguiente pila de tablas. F. Una lata de refresco

G.

Área de

la base:

100 cm2

5 cm

20 cm

30 cm

1 m

3 in

3 in

3 in

15. Halla el volumen de cada objeto y describe tu estrategia.


La lata tiene una altura de 16 cm y el diámetro deuna sección es de 6 cm.

18. a. Calcula el área de una sección.

b. Usa tu respuesta del punto a para calcularel volumen de la lata.

c. Halla una lata con forma de cilindro quetenga el mismo volumen pero distintasdimensiones.

56 Redistribución


16 c

m

Si un objeto, gracias a su forma, puede cortarse en secciones que tengan elmismo tamaño puedes calcular de manera sencilla el volumen del objetousando la fórmula:

volumen � área de una sección � altura

17. Explica por qué la fórmula no sirve para un cono ni una pirámide.

16. a. ¿Para qué objetos del problema 15 puedes usar esta fórmula de volumen?

b. Para cada objeto que elijas, describe la forma de la sección. ¿Cuál es el área de cada sección de cada objeto que elegiste?




Todas las secciones de este recipiente son rectángulos de dimensiones iguales.

La altura es 10 pulgadas.

19. a. Menciona un uso para este recipiente.

b. Calcula el volumen del recipiente. Muestra tu trabajo.

4 1 2

2

in

in1 2


Un contenedor tiene las siguientes dimensiones: 11��2 in por 21��2 in por 6 in.

21. Calcula el volumen de este recipiente.

Una caja de regalo tiene un volumen de 240 cm3.

22. a. ¿Qué dimensiones tiene esta caja de regalo? Halla tresposibilidades distintas. Nota: no es necesario que la caja tenga la forma de un bloque.

b. Nombra tres objetos que tengan este mismo volumen.

c. Reflexiona ¿Tienen todas las cajas de regalo de 240 cm3 lamisma área total? Explica tu razonamiento. Usa tus ejemplos de la parte a para apoyar tu respuesta con cálculos.

58 Redistribución


Este recipiente tiene 41��2 in de altura. La base de este recipiente tiene 10 in por 21��2 in.

Puedes reemplazar las palabras “área de una sección” por las palabras“área de la base”.

20. a. Vuelve a escribir la fórmula de volumen usando la palabra base.

b. Calcula el volumen de este recipiente.

c. Compara tu respuesta con la del problema 19. ¿Qué observas? Explícalo.


Historia de ππ es uno de los números más antiguos conocidos en la historia. Representala razón más famosa de las matemáticas, la razón de la circunferencia de uncírculo a su diámetro.

Para hallar el valor de π, puedes usar una calculadora. Pero ¿qué usaba lagente en la antigüedad?

Hace mucho, las personas usaban el número 3. No es muy exacto, pero erafácil de usar en los cálculos.

Los babilonios usaban un valor más exacto: 3 + 1��8 .

En el papiro egipcio de Rhind, que data aproximadamente del 1650 a. de C.,se calculó el valor de π como 4 � 8��9 � 8��9 .

Cerca del 250 a. de C., Arquímedes, el famoso matemático e inventor de laGrecia antigua, usaba la siguiente estrategia.



Historia de las matemáticas

Construía un polígono de seis ladosdentro del círculo y otro alrededor de élcomo los que ves aquí. Sabía calcular la circunferencia de los dos polígonos.¡Luego duplicaba el número de lados(12) una y otra vez hasta que obteníapolígonos de 96 lados! Entonces,calculaba el perímetro de estospolígonos y descubría que el valor de π se hallaba entre 223��71 y 22��7 .

En el siglo V, el matemático chino Zu Chungzhi halló un valor distinto para los 223��71 de Arquímedes. El valor más exacto fue 355��113 y entoncesse conocieron los seis decimales de π.

Este récord perduró hasta 1400, cuando el matemático persa Al-Kashicalculó el valor con 16 decimales. Él usó la estrategia de Arquímedes,pero duplicó el número de lados 23 veces.

En 1700, William Jones, un matemático inglés, introdujo el símbolomoderno de pi. Fue elegida la letra π porque en griego esta sepronuncia como la letra p en inglés que se usa para “perímetro”.

Como resultado del desarrollo de la tecnología los decimalesconocidos de pi ahora exceden 1 billón.

De manera que el número de veces que el diámetro cabe en elcontorno de su círculo es 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751…


60 Redistribución

Área de la superficie y volumen

En esta sección, estudiaste paquetes. Los paquetes tienen área de lasuperficie y volumen.

El área de la superficie es la cantidad derevestimiento que necesitas para envolvertodas las caras de un paquete. El área de lasuperficie se mide en unidades cuadradas.

El área de la superficie de este paquete es 32 unidades cuadradas.

El volumen de un paquete indica cuántos cubos llenan por completo el paquete.

Para medir el volumen de un paquete, puedes contar o calcular cuántas unidades cúbicas caben dentro de él.

El volumen se mide en unidades cúbicas. Una unidad de medidacomún para el volumen es el centímetro cúbico (cm3).

Investigaste las relaciones entre el área de la superficie y el volumen.Aprendiste que dos objetos con el mismo volumen pueden tener distintaárea de la superficie.

El volumen es 4 cm3. El volumen es 4 cm3.El área de la superficie es 16 cm2. El área de la superficie es 18 cm2.

E

Contengo 12 unidades cúbicas.

Mi volumen es de 12 unidades cúbicas.

1 cm

1 cm Volumen � 2 cm3

2 cm



Fórmula para el volumen

Si un objeto, gracias a su forma, puede cortarse en secciones que tenganel mismo tamaño, puedes calcular su volumen con la fórmula:

volumen � área de la sección � altura

o

volumen � área de la base � altura

Esta fórmula no sirve para figuras como conos y pirámides.

Alt

ura

Alt

ura


62 Redistribución

Área de la superficie y volumen

Estos son dos paquetes.

1. a. ¿Qué paquete contiene más cubos? ¿Cuántos cubos más?

b. ¿Qué paquete tiene más área de la superficie? ¿Cuánta más?

2. a. Margarita tiene 4 paquetes distintos. Cada paquete puede contenerexactamente 18 cubos de un centímetro. Describe las dimensionesposibles de los paquetes de Margarita.

b. ¿Cuál es el área de la superficie de cada posible paquete?

Puedes comprar acuarios de distintas formas.

Este es un acuario con forma de L con sus dimensiones.

3. ¿Cuál es el volumen de este acuario? Muestra tu trabajo.

E

A. B.

36 in

24 in

18 in 18 in

36 in



Escribe una carta a algún familiar donde expliques qué es el perímetro, elárea, el área de la superficie y el volumen, y cómo se usan. Puedes hacerdibujos si crees que te ayudarán a explicar las ideas. Describe cómo puedeevitar el lector la confusión de ideas y fórmulas.

10 in

5 in

25 in

8 in

9 in

10 in

10 in

10 in

A.

B.

C.

4. Estos son tres basureros distintos. ¿Cuál puede contener más basura?Explica cómo lo sabes.


1. Esta tabla cuadrada cuesta $20. Si se la cortaen las piezas que se muestran, ¿cuántocostará cada una? Explica tu razonamiento. ¿Qué suposiciones tuviste que hacer?

2. ¿Cuál es el área en unidades cuadradasde la figura que se muestra a la derecha?Muestra tu trabajo.

3. Un trozo de fibra de vidrio que tiene un área de 4 unidadescuadradas cuesta $6. ¿Cuánto cuestan las piezas anteriores? (Las áreas sombreadas representan las piezas de fibra de vidrio.)

64 Redistribución

Práctica adicional

Sección El tamaño de las figurasA

A.B.

C.

F.

E.D.

A. B. C.

D. E. F.


1. a. En una cuadrícula, dibuja tres triángulos que tengan distinta formapero la misma área, y sombréalos.

b. Dibuja tres paralelogramos distintos que tengan la misma área.Indica la medida de la base y de la altura de cada figura.

2. Halla él área de las siguientes figuras. Usa cualquier método.

3. Elroy quiere embaldosar el piso de la cocina como se muestra a continuación. Puede usar conjuntos grandes de baldosas, conjuntos medianos o baldosas sueltas. ¿Qué combinaciones deconjuntos y baldosas sueltas puede usar Elroy para cubrir el piso? Halla dos posibilidades.


Sección Patrones de áreaB

A. B. C.

Conjunto grande de baldosas

Conjunto mediano de baldosas

Piso de la cocina Baldosa suelta


1. a. Traza un cuadrado. Indica las medidas de los lados de manera que elcuadrado encierre un área de 9 ft2.

b. ¿Cuáles son las medidas de los lados de esta figura, en yardas?¿Cuál es el área en yardas cuadradas?

c. ¿Cuáles son las medidas de los lados de esta figura, en pulgadas?¿Cuál es el área en pulgadas cuadradas?

2. Convierte las siguientes medidas de área. Haz esquemas de rectángulos para que te ayuden.

a. 5 m2 �_____cm2

b. 3 ft2 � ____in2

c. 18 ft2 � __yd2

d. 50 cm2 � ___mm2

3. La nueva oficina de la directora, que tiene 4 m por 5.5 m, necesita algún tipo de revestimiento. Existen las tres siguientes opciones.

Escribe un informe que compare las tres opciones. Ilustra tu informe conesquemas del piso cubierto con cada uno de los revestimientos. Asegúratede incluir el costo de cada opción. (La alfombra y las baldosas se puedencortar para que se adapten a la forma de la oficina.)

4. a. Supón que 10 personas de pie caben en un metro cuadrado. ¿Qué área se necesita para todos los estudiantes de tu clase?

b. ¿Qué área se necesita para todos los estudiantes de tu escuela?

c. ¿Sería posible que todas las personas de tu ciudad cupieran de pie en tu salón de clase? Explícalo.

66 Redistribución

Práctica adicional

Sección Medida del áreaC

Alfombra

2 m

$12 por metro cuadrado

Baldosas grandes Baldosas pequeñas

$13 cada una $4 cada una

1 m

1 m 0.5m0.5m


1. ¿Cuál es el área y el perímetro de cada una de las siguientes figuras?¿Qué observas?

2. a. El vidrio del cuadro de Alberto está roto. Quiere comprar unvidrio nuevo. El vidrio debe medir 12 cm por 15 cm. El vidriocuesta 10 centavos por centímetro cuadrado. ¿Cuánto tieneque pagar Alberto por el vidrio?

b. Alberto hace una ampliación del cuadro: ahora, el largo y elancho tienen el doble de longitud. ¿Cuánto costará el vidriopara esta ampliación?

3. Supón que se recorta el recipiente anterior en tres partes planas (parte superior, parte inferior y el lado).

a. Traza las partes y coloca sus medidas.

b. ¿Cuál es el área de la parte superior de este recipiente?

c. ¿Cuál es la circunferencia del recipiente?

d. ¿Cuál es el área de la superficie total de este recipiente? Explica tu método.


Práctica adicional

Sección Perímetro y áreaD

A.

C.

D.

B.

14 cm

6 cm


1. Halla cajas de distintos tamaños que contengan exactamente 20 cubos de un centímetro y usa números enteros para expresar lasdimensiones. Halla todas las que puedas. Averigua también cuántocartón se necesitaría para hacer cada caja, incluida la parte superior.Anota tus respuestas en una tabla como la siguiente.

2. a. Nombra o traza dos objetos en los que puedas aplicar la fórmula


b. Nombra o traza dos objetos en los que no puedas aplicar esta fórmula.

3. Halla el volumen de cada uno de los objetos anteriores. Describe tu método.

a. Una caja de 15 cm por 6 cm por 20 cm.

b. Una lata con un diámetro de 10 cm y una altura de 15 cm.

c. Un bloque con forma de H. La base de todas las partes tiene 3 cmpor 3 cm, la altura de las partes verticales es de 10 cm, la altura dela parte de unión es de 4 cm.

68 Redistribución

Práctica adicional

Sección Área de la superficie y volumenE

20

20

20

20

Largo Ancho Altura Volumen Área de la

(en cm) (en cm) (en cm) (en cm3) superficie (en cm2)

15 cm

6 cm

20 cm

10 cm

15 cm

3 cm

3 cm

10 cm

4 cm

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

A.

B.

C.


4. El 27 de enero de 1967, Chicago sufrió una espantosa tormenta de nieveque duró 29 horas. A pesar de que enero en Chicago es generalmentefrío y nevoso, no es común que caigan 60 cm de nieve en unatormenta. Los autobuses no funcionaron durante tres días. No habíatrenes. No se recolectaba la basura ni se entregaba la correspondencia.Pocas personas iban a trabajar. Muchas tiendas estaban cerradas.Chicago parecía una ciudad fantasma.

a. Si la tormenta de nieve duró 29 horas, ¿por qué la ciudad se vioafectada durante tres días?

b. ¿Cuánto son 60 cm de nieve?

c. Usa el siguiente mapa para estimar el volumen de nieve que sepultóa Chicago el 27 de enero de 1967.


Práctica adicional

294

290 290

294

10

43

41

41

41

90

94

57

12 20

55

55

14

50

50

43

6464

94

19

19

9094

9094

N

S

EO

Kilómetros

Millas

0

0 5

5 10


1. La pieza rectangular más grande de la tabla costará $2.40 y cada unade las dos piezas triangulares costará $0.60.

Ejemplos de respuesta:

Los dos triángulos de la parte inferior forman una pieza de 3 in por13 in. Dividí por la mitad la pieza de 6 in por 13 in. Ahora tengo trespiezas de 3 in por 13 in. Dado que la tabla completa cuesta $3.60, cadapieza de 3 in por 13 in costará $1.20. Así, dos piezas de 3 in por 13 incostarán $2.40. Una pieza triangular es la mitad de una pieza de 3 inpor 13 in, por lo tanto cuesta $0.60.

2. a. Podrías creer que tienen más o menos el mismo tamaño porque simodificas compensadamente el lago de la derecha para que tengauna forma más condensada tendrá casi la misma figura y tamañoque el de la izquierda. También podrías contar el número decuadrados enteros de cada lago y determinar que el lago de laderecha es el más grande porque tiene más cuadrados enteros.

b. Puedes hallar tu respuesta de distintas maneras. Una es tratar deformar todos los cuadrados enteros que puedas. El lago de laizquierda tiene unos 23 cuadrados; y el de la derecha, cerca de 28 cuadrados.

3. A. 1 unidad cuadrada

B. 41��2 unidades cuadradas

C. 4 unidades cuadradas

D. 3 unidades cuadradas

E. 6 unidades cuadradas

70 Redistribución

Respuestas para verificar tu trabajo

Sección El tamaño de las figurasA

$1.20

$1.20

$1.20

13 in

3 in

6 in $2.40

13 in

60¢ 60¢ 3 in

6 in


4. El área encerrada en cada triángulo es de 6 unidades cuadradas.Puedes hallar la respuesta:

• redistribuyendo partes del triángulo;

• restando las piezas que no deseas. Por ejemplo, para hallar elárea encerrada en el triángulo D, puedes usar la siguienteestrategia de resta.

Área encerrada en el rectángulo: 3 � 9 � 27 unidades cuadradas

Área de las partes no deseadas:

71��2 � 131��2 � 21 unidades cuadradas

Área de la región sombreada �27 � 21 � 6 unidades cuadradas

1. a. Puedes tener distintos dibujos. Este esun dibujo posible.

Asegúrate de que el área encerrada en tu rectángulo sea de 25 unidadescuadradas.

b. Puedes tener distintos dibujos. Estos son tres dibujos posibles.

2. A. 10 unidades cuadradas B. 9 unidades cuadradas

C. 6 unidades cuadradas D. 10 unidades cuadradas



1312

71 2

2 3

5

Sección Patrones de áreaB


Compara los métodos que usaste con los métodos usados por uno de tus compañeros.

3. Quizá hayas usado estrategias distintas de las de tus compañeros.Estas son algunas respuestas posibles.

• Contar, cortar y pegar unidades incompletas: Sección A, problema 5h.

• Modificar compensadamente la figura: Sección A, problemas 5e y f;Sección B, problema 7.

• Encerrar la figura y restar: Sección A, algunas figuras de los problemas 14 y 15.

• Duplicar la figura o cortarla por la mitad: Sección A, problema 4,algunas figuras de los problemas 14 y 15; Sección B, problema 18.

• Usar fórmulas: Sección B, problema 13.

4. Puedes obtener distintas respuestas. Por ejemplo, podrías tener unparalelogramo de base 3 y altura 4, un paralelogramo de base 6 yaltura 2, un triángulo de base 6 y altura 4, y uno de base 8 y altura 3.Pide a un compañero que verifique tus trazados hallando el áreaencerrada en cada uno.

72 Redistribución


Sección Medida del áreaC

1. a. Necesitas 13 baldosas de estas.

b. Para el piso del pasillo central, se necesitan 702 baldosaspequeñas. En una baldosa hexagonal, puedes ver seis triángulos,cada uno con 9 baldosas pequeñas. De manera que una baldosahexagonal contiene 6 � 9 � 54 baldosas pequeñas. Todo elpasillo tiene 13 � 54 � 702 baldosas pequeñas.

1

4

6

7

8

9

1010

1111

1212

1313

5

2

3

12

34

5

6

una baldosa pequeña

1

4

6

7

8

9

10

11

12

13

5

2

3


2. A. El área tiene 4 � 5 � 20 yardas cuadradas. Puedes usar la fórmulaárea � b � h o dividir el piso en partes de 1 yarda por 1 yarda.

B. El área tiene 21–2 � 6 � 15 yardas cuadradas. Puedes usar la fórmulaárea � b � h o dividir el piso en partes como en el siguiente dibujoy calcular el número de cuadrados.

C. El área tiene 31��2 � 31��2 � 121��4 yd2.

Puedes usar cualquiera de las estrategias aplicadas para B.

3. a. Una yarda son 3 pies, de manera que 1 yd2 son 9 ft2. Puedes hacerun dibujo para ver por qué se aplica en este caso.

De manera que para el piso A se necesitan 20 � 9 �180 baldosas, o podrías razonar que las dimensiones son 15 ft por 12 ft que serían 15 � 12 � 180 baldosas.

Para el piso B se necesitan 15 � 9 � 135 baldosas, o 18 � 71��2 � 135 baldosas.

Para el piso C se necesitan121��4 � 9 � 1101��4 baldosas, o 101��2 � 101��2 � 1101��4 baldosas.

b. 1 yd2 � 9 ft2

4. Las respuestas variarán. Podrías dar algunas de estas respuestas:

• Una uña tiene cerca de 1 cm2 o 100 mm2.

• Un póster tiene más o menos 1 m2 o 9 ft2.

• Un almohadón para un asiento tiene cerca de 1 ft2 o 144 in2.

• El lago Tahoe tiene unas 200 mi2 o 100 km2.

5. Las medidas en orden son: 1 cm, 1 in, 1 ft, 1 yd, 1 m, 1 km, 1 mi.




1. a. Puedes hacer distintos trazados. Por ejemplo:

b. El perímetro menor que puedes tener es el perímetro del cuadradoque es de 16 cm.

2. a. Quizá hayas trazado uno de los siguientes rectángulos.

74 Redistribución


Sección Perímetro y áreaD

4 cm P � 16 cm

4 cm

P � 20 cm2 cm

8 cm

P � 34 cm1 cm

16 cm

Perímetros

26 cm

16 cm

14 cm


c. El área encerrada en el rectángulo ampliado que mide 2 por 24es de 48 cuadrados. El perímetro de este rectángulo es 52.

El área encerrada en el rectángulo ampliado que mide 4 por 12es de 48 cuadrados.

El perímetro de este rectángulo es 32.

El área encerrada en el rectángulo ampliado que mide 6 por 8es de 48 cuadrados.

El perímetro de este rectángulo es 28.

d. El área es cuatro veces más grande, dado que el primerrectángulo encierra un área de 12 cuadrados, y el rectánguloampliado, un área de 48 cuadrados. (4 � 12 � 48).



b.


76 Redistribución


3. Los relojes parecen tener casi el mismo tamaño. Se te pide quecompares el área y el perímetro de ellos.

Área del reloj redondo:

El área es π � r � r; el radio r es la mitad del diámetro, de manera que es 15 cm.

De manera que el área es: π � 15 � 15 � 707 cm2.

El área del reloj rectangular es b � h, que es 32 � 22 � 704 cm2.

De manera que el área del reloj circular es apenas mayor.

El perímetro del reloj circular es 2 � π � 15 � 94 cm.

El perímetro del reloj rectangular es 2 � 32 � 2 � 22 � 108 cm.

De manera que el perímetro del reloj rectangular es mayor.

Suze usará probablemente el área para determinar qué reloj es elmás pequeño. El rectangular ocupará un área apenas menor enla pared. Si, por otro lado, Suze quiere colgar el reloj en un lugarque tiene una altura y un ancho máximos de 30 cm, cabrá sólo elreloj redondo.

121

2

3

4

56

7

8

9

10

1112 1

2

3

4

567

8

9

10

11

30 cm

32 cm

22 c

m


4. a. El señor Anderson puede calcular el área del vidrio de las ventanasrectangulares midiendo la altura y el ancho de cada ventana, usandola fórmula área � h � b, y luego sumando todas las áreas.

b. El señor Anderson puede dividir la forma de la otra ventana en una parte rectangular y un semicírculo en la parte superior.

El área de la parte rectangular es altura � base, que en este caso es 50 � 80 � 4,000 cm2.

El área del semicírculo es 0.5 � π � r � r, que en este caso es 0.5 � π � 40 � 40 � 2,513 cm2.

De manera que el área de vidrio de esta ventana es 4,000 � 2,513, o cerca de 6,513 cm2.

5. a. La circunferencia se duplica. Podrías decir:

Si se duplica el diámetro, también se duplica la circunferencia. Si el diámetro es 10 cm, entonces la circunferencia es 3.14 � 10 cmo 31.40 cm. Si el diámetro es 20 cm, entonces la circunferencia es3.14 � 20 cm o 62.80 cm.

b. El área es cuatro veces mayor o se cuadriplica. Podrías dar la siguiente explicación.



Círculo A Círculo B

Puedes trazar círculos en una cuadrícula. Cada círculo esaproximadamente 3–4 del área encerrada en un cuadrado.

El área contenida en el círculo A es:3–4 � 2 � 2 � 3 unidades cuadradas.

El área contenida en un círculo B es:3–4 � 4 � 4 � 12 unidades cuadradas, que es cuatro veces 3.


1. a. El paquete de la izquierda (A) está compuesto de cuatro capasde ocho cubos, de manera que 4 � 8 � 32 cubos. El paquete dela derecha (B) está compuesto de tres capas de 12 cubos: 3 � 12 � 36 cubos. De manera que el paquete de la derechacontiene más cubos.

b. El área de la superficie del paquete de la izquierda tiene cuatro carascon 8 cuadrados, 4 � 8 � 32.

Dos caras con 16 cuadrados: 2 � 16 � 32

Total: 32 � 32 � 64 cuadrados. Puedes trazar la plantilla delenvoltorio para averiguar esto.

El área de la superficie del paquete de la derecha es: 4 � 12 � 2 � 9 � 48 � 18 � 66.

De manera que el de la derecha tiene mayor área de la superficie.

2. a. Las respuestas pueden variar. Si usas sólo números enteros, las dimensiones posibles de los paquetes son:

Paquete A: 3 cm � 3 cm � 2 cm

Paquete B: 1 cm � 2 cm � 9 cm

Paquete C: 1 cm � 3 cm � 6 cm

Paquete D: 1 cm � 1 cm � 18 cm

b. El área de la superficie de los paquetes de la parte a puedecalcularse haciendo un esquema de la plantilla de cada uno yaveriguando el área de la parte superior, de la inferior, del frentey de la parte de atrás, y de los lados izquierdo y derecho.

Paquete A: 9 cm2 � 2 � 6 cm2 � 4 � 18 � 24 � 42 cm2

Paquete B: 2 � 2 cm2 � 2 � 9 cm2 � 2 � 18 cm2 � 58 cm2

Paquete C: 2 � 3 cm2 � 2 � 6 cm2 � 2 � 18 cm2 � 54 cm2

Paquete D: 2 � 1cm2 � 4 � 18 cm2 � 74cm2

78 Redistribución


Sección Área de la superficie y volumenE


3. El volumen es 23,328 in3. Ejemplos de estrategia:

• La L puede modificarse compensadamente para que forme unbloque rectangular con una base de 18 in por (36 � 18) in y unaaltura de 24 in.

• La L puede dividirse en un bloque rectangular de 18 in por 36 in debase y un bloque rectangular de 18 in por 18 in de base. Los dostienen la misma altura, 24 in.

• La figura en L es la diferencia de un bloque rectangular de 36 in por 36 in de base y 24 in de altura, y un bloque rectangular de 18 in por 18 in de base y 24 in de altura.

• La figura en L puede dividirse en tres bloques rectangulares iguales de 18 in por 18 in de base y 24 in de altura.

4. El recipiente de la izquierda, el C, puede contener más basura.

Puedes justificar tu respuesta mostrando tus cálculos para el volumen de cada uno.

A. volumen � área de la base � altura

� (10 � 5) � 25

� 1,250 in3.

B. La base es un círculo de 5 in de radio.


El área de la superficie de la parte inferior es:

π � radio � radio � 3.14 � 25,

que es cerca de 78.5 in2.

De manera que, volumen � 78.5 � 10 � 785 in3.

C. volumen � área de la base � altura

volumen � (8 � 9) � 10 � 720 in3.




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