geometri analitik ruang 1
TRANSCRIPT
![Page 1: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/1.jpg)
Kelompok V
A2• Siti Rohana• Agnes Ervinda• Farly Galih S• Marianus Hengki• Robby Dini S• Kukuh Imaduddin
![Page 2: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/2.jpg)
Kosinus sudut antara dua vektor
![Page 3: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/3.jpg)
Cosinus sudut antara dua vektor sama dengan jumlah hasil kali cosinus arah dua vektor tersebut yang berkorespondensi.
Misalkan O adalah pusat bola satuan, dan titik O ini adalah titik awal segmen-segmen garis yang mewakili dua vektor u dan v yang tidak nol . Misalkan P₁ dan P₂ adalah titik yang merupakan irisan antara segmen yang mewakili vektor–vektor tersebut dengan permukaan bola satuan di atas. Maka koordinat P₁ adalah (ℓ₁ , m₁ , n₁ ) dan koordinat P₂ adalah (ℓ₂ , m₂ , n₂ ) dengan ℓ₁ ,m₁ dan n₁ adalah cosinus arah u dan ℓ₂ , m₂ dan n₂ adalah cosinus arah v. Sudut antara u dan v kita sebut θ adalah sudut antara segmen garis berarah ₁ dan ₂
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Pengertian
![Page 4: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/4.jpg)
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Gambar
![Page 5: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/5.jpg)
Jika Kita gunakan rumus cosinus, maka kita peroleh |² = |₁|² + | ₂|² - 2|₁||₂| cos θ Kita ketahui bahwa |₁| = |₂| = 1 ( jari–jari bola satuan ) dan||² = ( ℓ₂ - ℓ₁ )² + ( m₂ - m₁ )² + ( n₂ - n₁ )² maka menjadi :( ℓ₂ - ℓ₁ )² + ( m₂ - m₁ )² + ( n₂ - n₁ )² = 1 + 1 – 2 cos θcos θ = cos θ = cos θ = cos θ =
GEOMETRI ANALITIK RUANG
lanjutan
Cos Ө = ℓ₁ℓ₂ + m₁m₂ + n₁n₂
![Page 6: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/6.jpg)
Jika u = [u₁ , u₂ , u₃ ] dan v = [v₁ , v₂ ,v₃ ], maka cosinus sudut antara vektor u dan u adalah :cos θ = ℓ₁ℓ₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = + + ⦁ ⦁ ⦁cos θ = Contoh :Jawab: Cari cosinus sudut antara vektor u = [2 ,-1 ,3 ] dan v = [ 3 ,2 ,4 ].Penyelesaian : cos θ = =
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Lanjutan
![Page 7: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/7.jpg)
Bentuk u₁v₁ + u₂v₂ +u₃v₃ Kita beri nama khusus, yaitu “perkalian skalar” atau “dot product” (perkalian titik ) atau “linear product” dari dua vektor u dan v dan kita tulis u ⦁ v .
Jadi perkalian skalar atau perkalian titik atau linier product dari dua vektor di atas yang berkorepondensi.
Jadi :
Juga jika vektor u dan v kedua duanya bukan vektor nol, cosinus sudut antaradua vektor diatas adalah
Dari perkalian ini kita peroleh : u ⦁ v = |u| . |v| cos θ
atauu₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃ = |u| . |v| cos
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Perkalian skalar
u ⦁ v = u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃
![Page 8: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/8.jpg)
jika u ⦁ v = 0 u ⊥ v atau v ⊥Dengan alasan definisi di atas vektor nol selalu tegak lurus kepada setiap vektor.
Jika u dan v vektor nol, tapi u ⦁ v = 0, maka sudut antara kedua vektor di atas adalah 90° atau 270°.
u // vDua vektor u dan v yang bukan vektor nol adalah sejajar, jika komponen skalar vektor u sebanding dengan komponen skalar vektor v.
Jika u₁ = k v₁ , u₂ = k v₂ , dan u₃ = k v₃ atau v₁ = k’ u₁ , v₂ = k’ u₂ , dan v₃ = k’ u₃ , dengan k atau k’ tidak sama dengan nol, maka u // v. • Jika k atau k’ positif maka kedua vektor tersebut sejajar dan searah.• jika k atau k’ negatif maka kedua vektor diatas sejajar tapi berlawanan arah.
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Lanjutan
![Page 9: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/9.jpg)
Cosinus arah dua vektor u dan v disebut sama, jika dan hanya jika kedua vektor tersebut sejajar dan searah. Kita lihat contoh berikut.
Misalkan = , = dan =
Dari ketentuan ini kita peroleh u₁ = v₁ , u₂ = v₂ , u₃ = v₃
Yang selanjutnya bisa kita tulis :u₁ = k v₁ , u₂ = k v₂ dan u₃ = k v₃ dengan k > 0 , maka vektor u dan v adalah sejajar dan searah.
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Kesamaan Cosinus arah dua vektor
![Page 10: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/10.jpg)
Sebaliknya :Kita misalkan u₁ = k v₁ , u₂ = k v₂ dan u₃ = k v₃ Kita kuadratkan bentuk-bentuk di atas itu maka diperoleh :u₁² = k² v₁²u₂² = k² v₂²
u32 = k2 v3
2
GEOMETRI ANALITIK RUANG
Lanjutan
![Page 11: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/11.jpg)
Karena syaratnya k adalah positif, kita ambil nilai k yang positif saja.Jika k =
Maka:u₁ = , u₂ = , u₃ = atau = , = dan =
Karena itulah vektor u dan v sejajar dan searah.
GEOMETRI ANALITIK RUANG
contoh
![Page 12: Geometri analitik ruang 1](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022081417/587000901a28ab427f8b4bd3/html5/thumbnails/12.jpg)
SEKIAN&
TERIMAKASIH