geometria 2 - people.unica.it · 2 generalità sugli spazi aﬃni la dimensione di uno spazio...

A.A.2013-14

Geometria 2

UNICA Stefano Montaldo

ii

S. Montaldo - Geometria Analitica - A.A. 2012/13

Indice

1 Generalità sugli spazi affini 11.1 Spazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Sottospazi affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Intersezione di sottospazi affini parallelismo . . . . . . 41.1.3 Coordinate affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Cambiamenti di coordinate affini . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Trasformazioni affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Il gruppo affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Generalità sugli spazi euclidei 132.1 Il prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Proiezioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Il procedimento di Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . 172.1.3 Applicazioni della proiezione ortogonale . . . . . . . 18

2.2 Spazi euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1 Coordinate ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Trasformazioni ortogonali . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3 Endomorfismi simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4 Trasformazioni euclide ed isometrie . . . . . . . . . . 242.2.5 Il gruppo delle isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


iv INDICE

3 Geometria euclidea del piano e dello spazio 293.1 Riferimento Cartesiano nello spazio . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Sottospazi affini del piano e dello spazio . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 La retta affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2 Geometria piana della retta . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.4 Il piano affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Problemi geometrici sulle rette ed i piani nello spazio . . . . . 483.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Classificazione delle isometrie del piano e dello spazio 604.1 Trasformazioni ortogonali di uno spazio di dimensione 2 . . . 614.2 Classificazione delle isometrie del piano . . . . . . . . . . . . 644.3 Classificazione delle trasformazioni ortogonali in dimensione 3 684.4 Angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5 Classificazione delle isometrie dello spazio . . . . . . . . . . 724.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 Geometria quadratica 1 765.1 Sfere e circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.1 Circonferenza per tre punti e sfera per quattro punti . . 785.1.2 Parametrizzazione della circonferenza e della sfera . . 805.1.3 Intersezione di una sfera (circonferenza) con una retta 815.1.4 Potenza di un punto rispetto ad una sfera (circonferenza) 855.1.5 Intersezione di due circonferenze . . . . . . . . . . . 885.1.6 Fasci di circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.1.7 Circonferenza su un piano qualunque dello spazio . . . 905.1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Cilindri e Coni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.2.1 Equazione cartesiana del cilindro e del cono . . . . . . 975.2.2 Cono e cilindro circoscritto ad una sfera . . . . . . . . 985.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3 Coniche come luogo geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . 995.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.2 Parametrizzazioni delle coniche in forma canonica . . 105

5.4 Superfici di rivoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.4.1 Equazione parametrica di una superficie di rivoluzione 107


INDICE v

5.5 Quadriche di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.5.1 Ellissoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.5.2 Iperboloidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.5.3 Paraboloidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.5.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche affini 1166.1 La definizione di quadrica e conica . . . . . . . . . . . . . . . 1166.2 Intersezione di una quadrica con un piano . . . . . . . . . . . 1216.3 Intersezione di una quadrica con una retta . . . . . . . . . . . 123

6.3.1 Asintoti di una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.3.2 Asintoti di una quadrica . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.3.3 Generatori rettilinei di una quadrica . . . . . . . . . . 1296.3.4 Rette tangenti ad una quadrica . . . . . . . . . . . . . 130

6.4 Centro di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.5 Diametri di una quadrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.6 Classificazione affine delle quadriche . . . . . . . . . . . . . . 138

6.6.1 Invarianti affini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.6.2 Classificazione affine delle quadriche . . . . . . . . . 143

7 Geometria quadratica 3: quadriche e coniche euclidee 1487.1 Direzioni principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.2 Classificazione euclidea delle coniche e delle quadriche . . . . 151

7.2.1 Invarianti euclidei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.3 Riduzione di una conica e di una quadrica in forma canonica . 160

7.3.1 Quadriche a centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1607.3.2 Quadriche non degeneri senza centro . . . . . . . . . 1617.3.3 Quadriche degeneri con ρ = 2 . . . . . . . . . . . . . 1617.3.4 Quadriche degeneri con ρ = 1 . . . . . . . . . . . . . 1627.3.5 Forma canonica delle coniche . . . . . . . . . . . . . 163

7.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163


vi INDICE


1Generalita sugli spaziaffini1.1 Spazi affiniDefinizione 1.1. Uno spazio affine è una terna (A,V, η), doveA è un insieme,V è uno spazio vettoriale mentre η è una applicazione

η : A ×A→ V

che ad ogni coppia ordinata (A, B), A, B ∈ A, associa un vettore v = η(A, B) de f====

AB , tale che:

(i) per ogni punto A ∈ A, l’applicazione ηA : A → V definita, per ogniB ∈ A, da ηA(B) = η(A, B) è una biezione;

(ii) per ogni A, B,C ∈ A vale la relazione AB = AC+CB (regola di Chasles).

L’insieme A si chiama spazio dei punti, mentre lo spazio vettoriale V prendeil nome di spazio vettoriale associato allo spazio dei punti A o giacitura dellospazio affine.


2 Generalità sugli spazi affini

La dimensione di uno spazio affine (A,V, η) è definita come la dimensionedello spazio vettoriale V . Si osservi che quest’ultima potrebbe essere infinita.In ogni caso in questo testo ci occuperemo esclusivamente del caso in cui ladimensione sia finita ed, in particolare, del caso di dimensione 1, 2 o 3.Dalla definizione di spazio affine segue immediatamente che, per ogni A, B ∈A, AA = 0 e AB = −BA.

Esempio 1.2.

(i) L’insieme vuoto è uno spazio affine rispetto a qualsiasi spazio vettorialeassociato. Si conviene che in questo caso lo spazio affine non abbiadimensione.

(ii) L’insieme formato da un unico elemento è uno spazio affine, con spaziovettoriale associato V = {0}, di dimensione zero.

(iii) Uno spazio vettorialeV si può pensare in modo naturale (canonico) comelo spazio affine (V,V, η) con η(u, v) = v − u, u, v ∈ V .

(iv) Se (A1,V1, η1) e (A2,V2, η2) sono due spazi affini si consideri il prodottocartesiano A1 ×A2. Definendo l’applicazione

η : (A1 ×A2) × (A1 ×A2)→ V1 × V2

come η((A1, A2), (B1, B2)) = (η1(A1, B1), η2(A2, B2)) è facile verificareche η soddisfa la Definizione 1.1. Quindi la terna (A1 × A2,V1 × V2, η)definisce uno spazio affine chiamato spazio affine prodotto.

Da ora in poi, quando non vi è pericolo di ambiguità, indicheremo con A unospazio affine intendendo che è chiaro dal contesto lo spazio vettoriale associato.

Osservazione 1.3. Dato uno spazio affine A e fissato un punto O ∈ A segue,dalla definizione, che ad ogni punto B ∈ A resta associato un unico vettorev ∈ V . Possiamo quindi introdurre sull’insieme dei punti A una struttura dispazio vettoriale nel modo seguente. Dati A, B ∈ A definiamo A + B = Q conOA +OB = OQ, mentre dato un numero λ ∈ R definiamo λA come quel puntodiA tale cheOλA = λ(OA). Si noti, tuttavia, che la struttura di spazio vettorialeintrodotta su A dipende dal punto O ∈ A che gioca il ruolo del vettore nullo.


1.1 Spazi affini 3

1.1.1 Sottospazi affiniDefinizione 1.4. Un sottoinsieme F ⊂ A di uno spazio affine (A,V, η) è unsottospazio affine se è vuoto o se contiene un punto A tale che ηA(F) è unsottospazio vettoriale di V .

La definizione di sottospazio affine non dipende dalla scelta del punto A, infattisi ha

Proposizione 1.5. SiaF un sottospazio affine diA. Allora esiste un sottospaziovettoriale W di V tale che, per ogni B ∈ F, ηB(F) = W.

Dimostrazione. Essendo F un sottospazio affine esiste A ∈ F tale che ηA(F) ={AC : C ∈ F} = W è un sottospazio vettoriale di V . Sia adesso B ∈ F un altropunto e si consideri ηB(F) = {BC : C ∈ F}. Dalla regola di Chasles segueche BC = BA + AC = −AB + AC ∈ W. Quindi ηB(F) ⊆ W. Dimostriamo cheηB(F) è un sottospazio vettoriale di W. Siano v,w ∈ ηB(F), dalla definizioneesistono C,C′ ∈ F tali che v = BC e w = BC′. Siccome v + w ∈ V esisteC′′ ∈ A con v + w = BC + BC′ = BC′′. Per dimostrare che v + w ∈ ηB(F)bisogna verificare che C′′ ∈ F. Da BC′′ = BA + AC′′ = AC′′ − AB, essendoBC′′, AB ∈ W, segue che AC′′ ∈ W da cui, per definizione di W, C′′ ∈ F. Allostesso modo si dimostra che se v ∈ ηB(F) e λ ∈ R allora λv ∈ ηB(F). In fine,AC = AB + BC = −BC + BC ∈ ηB(F) da cui W ⊆ ηB(F). !

Vice versa, si ha la seguente

Proposizione 1.6. Sia W un sottospazio vettoriale di V e sia A ∈ A. Alloraesiste un unico sottospazio affine F contenente A con giacitura W.

Dimostrazione. Sia A ∈ A e definiamo

F = {B ∈ A : AB ∈ W} = η−1A (W) .

Chiaramente A ∈ F e ηA(F) = W, quindi F è un sottospazio affine contenenteA il cui spazio vettoriale associato è W. Per l’unicità, supponiamo per assurdoche esista F′ ! F con ηA(F′) = W e A ∈ F′. Osserviamo per primo che F′ nonpuò essere un sottoinsieme proprio di F, essendo entrami in corrispondenzabiunivoca tramite ηA con W. Sia quindi C ∈ F′ con C " F. Segue che ηA(C) ∈W e, per la biettività di ηA, si ha che C = η−1A (ηA(C)) ∈ F. !

Esempio 1.7.



(i) Tutti i punti di uno spazio affine sono sottospazi di dimensione zero.

(ii) Un sottospazio affine di dimensione uno si chiama retta affine.

(iii) Un sottospazio affine di dimensione due si dice piano affine.

Proposizione 1.8. Sia V uno spazio vettoriale visto come spazio affine e siaf : V → W un’applicazione lineare da V in un altro spazio vettoriale W. Perogni w ∈ f (V), l’insieme delle contro immagini f −1(w) ⊂ V è un sottospazioaffine di V con giacitura ker( f ).

Dimostrazione. Basta mostrare che, dato u ∈ f −1(w), si ha

ηu( f −1(w)) = ker( f ) ,

dove, per definizione, ηu(x) = x− u. Sia y ∈ ker( f ), allora f (y+ u) = f (u) = w,quindi y + u = x ∈ f −1(w). Segue che y = x − u = ηu(x) ∈ ηu( f −1(w)),cioè ker( f ) ⊆ ηu( f −1(w)). Vice versa, sia y ∈ ηu( f −1(w)), allora y = x − uper qualche x ∈ f −1(w). Segue che f (y) = f (x) − f (u) = w − w = 0, quindiηu( f −1(w)) ⊆ ker( f ).

!

Osservazione 1.9. La proposizione precedente dice che tutti i punti del sotto-spazio affine f −1(w) si possono scrivere nella forma u0 + y dove u0 è un puntofissato di f −1(w) mentre y è un elemento del nucleo. Più in generale, si può mo-strare che i sottospazi affini di uno spazio vettoriale V sono della formaW + v0,doveW è un sottospazio vettoriale e v0 è un vettore di V . Si osservi cheW + v0definisce un sottospazio vettoriale solo se v0 ∈ W o, in altri termini, W + v0definisce un sottospazio vettoriale solo se contiene il vettore nullo.

1.1.2 Intersezione di sottospazi affini parallelismoProposizione 1.10. Siano F1 e F2 due sottospazi affini di uno spazio affine A.Allora l’intersezione F1 ∩ F2 è un sottospazio affine di A.

Dimostrazione. Sia V la giacitura di A. Se F1 ∩F2 = ∅ allora è un sottospazioaffine. Altrimenti si scelga A ∈ F1 ∩ F2. Segue che ηA(Fi) = Wi ⊂ V è lagiacitura di Fi per ogni i = 1, 2. Poniamo W = W1 ∩ W2. Allora F1 ∩ F2 èl’unico sottospazio affine passante per A con giacituraW. !


1.1 Spazi affini 5

Definizione 1.11. Due sottospazi affini F1 e F2 di uno spazio affine A sonodetti paralleli (si scrive F1 ∥ F2) se hanno la stessa giacitura.

Osservazione 1.12. Si noti che due sottospazi possono essere disgiunti senzaessere paralleli, per esempio una retta affine la cui giacitura è un sottospaziodella giacitura di un piano affine non è parallela al piano. In ogni caso in unospazio affine di dimensione 2 due rette affini sono parallele se e solo se sonodisgiunte.Qualche volta si utilizza una definizione di parallelismo più debole: due sot-tospazi affini F1 e F2 di uno spazio affine A sono detti debolmente parallelise la giacitura di uno è un sottospazio vettoriale della giacitura dell’altro. Conquesta terminologia ha senso parlare di retta affine parallela ad un piano affine.

Esempio 1.13. Se f : V → W è una applicazione lineare, allora tutti i sotto-spazi f −1(w), w ∈ f (V), sono paralleli avendo la stessa giacitura ker( f ).

1.1.3 Coordinate affiniSia (A,V, η) uno spazio affine. Fissato un puntoO ∈ A, ad ogni altro punto A ∈A resta associato un unico vettore OA ∈ V . Scelta una base B = {e1, . . . , en}dello spazio vettoriale V il vettore OA ammette un unica decomposizione ri-spetto alla base B:

OA = a1e1 + · · · + anen =n

∑

i=1ai ei , ai ∈ R.

Definizione 1.14. Definiamo coordinate affini del punto A rispetto alla baseB ed al punto O la n-pla (a1, . . . , an) delle componenti del vettore OA rispettoalla base B. La coppia (O,B) prende il nome di riferimento affine.

Al punto O resta associata la n-pla (0, . . . , 0) ed è comunemente chiamatoorigine.Quando l’origine O e la base B sono fissate useremo la notazione breve

A = (a1, . . . , an)

per indicare un punto di uno spazio affine. Facendo riferimento alla struttura dispazio vettoriale definita su uno spazio affine nella Osservazione 1.3, si vedefacilmente che le operazioni ivi descritte diventano:



A + B = (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn)

λA = λ(a1, . . . , an) = (λa1, . . . , λan)

A, B ∈ A, λ ∈ R.Osservazione 1.15. Se A = (a1, . . . , an) e B = (b1, . . . , bn) rispetto ad un ri-ferimento affine (O,B) su A, allora le componenti del vettore AB sono (b1 −a1, . . . , bn − an). Infatti, dalla regola di Chasles si ha

AB = AO + OB = OB − OA.

1.1.4 Cambiamenti di coordinate affiniSia (A,V, η) uno spazio affine. Siano (a1, . . . , an) le coordinate affini di un pun-to A ∈ A rispetto ad un origine O ∈ A ed ad una base B = {e1, . . . , en} di V .Vediamo come cambiano le coordinate affini se si cambia l’origine e/o la basedella giacitura.

Iniziamo cambiando solo l’origine. Sia O′ ∈ A un altro punto di A di coor-dinate affini (o′1, . . . , o′n) e siano (a′1, . . . , a′n) le coordinate affini di A rispetto alriferimento (O′,B). Dalla regola di Chasles si ha

OA = OO′ + O′A

o, equivalentemente,O′A = OA − OO′

da cui segue che per un cambiamento d’origine le coordinate affini rispettoalla nuova origine sono le vecchie coordinate meno le coordinate della nuovaorigine rispetto alla vecchia. In formula

(a′1, . . . , a′n) = (a1, . . . , an) − (o′1, . . . , o′n).

Vediamo adesso il caso in cui cambiamo la base dello spazio vettoriale V . Siadunque B′ = {e′1, . . . , e′n} una nuova base di V . La matrice M = (mij) delcambiamento di base è definita da

ei = m1i e′1 + · · · + mni e′n, ∀i = 1, . . . n.


1.1 Spazi affini 7

Se le componenti del vettore OA rispetto alla base B sono (a1, . . . , an) allora lecomponenti di OA rispetto alla base B′ sono date da

a′i =n

∑

j=1mij a j. (1.1)

Infatti, da una parte si ha

OA =n

∑

j=1aj e j =

n∑

j=1aj

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

n∑

i=1mij e′i

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=

n∑

i=1

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

n∑

j=1mij a j

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

e′i ,

dall’altra, scomponendo il vettore OA rispetto alla base B′ si trova

OA =n

∑

i=1a′i e′i .

Per semplificare le notazioni da ora in poi indicheremo con

AO,B =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

a1...

an

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

il vettore colonna delle componenti del vettoreOA rispetto al riferimento affine(O,B). Con questa notazione la (1.1) diventa

AO,B′ = M AO,B.

Combinando il cambiamento di origine con quello di base si ha:

Proposizione 1.16. Sia (A,V, η) uno spazio affine e siano (O,B) e (O′,B′) dueriferimenti affini. Allora per ogni A ∈ A si ha

AO′,B′ = M(AO,B − O′O,B),

dove M rappresenta la matrice del cambiamento di base (la i-esima colonnadi M rappresenta le componenti del i-esimo vettore di B rispetto alla base B′).



1.2 Trasformazioni affiniSiano (A,V, η) e (A′,V ′, η′) due spazi affini di dimensione n. Una trasforma-zione geometrica da A ad A′ è una applicazione biettiva

ϕ : A→ A′.

Le trasformazioni geometriche si possono comporre: se ϕ : A → A′ e ψ :A′ → A′′ sono due trasformazioni geometriche, la composizione

ψ ◦ ϕ : A→ A′′

è definita da ψ ◦ ϕ(A) = ψ(ϕ(A)), A ∈ A. È facile mostrare che l’operazionedi composizione è associativa. Per definizione ogni trasformazione geometricaϕ : A → A′ è invertibile, cioè esiste la trasformazione inversa ϕ−1 : A′ → A

tale che ϕ−1 ◦ ϕ = IdA e ϕ ◦ ϕ−1 = IdA′ .

Un caso molto speciale si ha quando la trasformazione ϕ è definita dallo spazioaffine in se stesso. Sia

Tras(A) = {ϕ : A→ A : ϕ biettiva}

l’insieme di tutte le trasformazioni geometriche di uno spazio affine in se stes-so. Dotando l’insieme Tras(A) dell’operazione di composizione segue, dal-le proprietà viste sopra, che (Tras(A), ◦) è un gruppo algebrico. Tale gruppoprende il nome di gruppo delle trasformazioni geometriche.

Sia ϕ : A→ A′ una trasformazione geometrica. Se introduciamo un riferimen-to affine (O,B) su A ed uno (O′,B′) su A′, e se indichiamo con (x1, . . . , xn) lecoordinate di un punto P ∈ A e con (x′1, . . . , x′n) le coordinate di ϕ(P) ∈ A′,segue che l’applicazione ϕ si scrive, in coordinate, come:

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x′1 = ϕ1(x1, . . . , xn)...

x′n = ϕn(x1, . . . , xn)

per delle opportune funzioni ϕi : Rn → R, i = 1, . . . , n. Quindi per cono-scere una trasformazione geometrica in coordinate è sufficiente conoscere le nfunzioni ϕi.


1.2 Trasformazioni affini 9

Dato un punto O ∈ A una trasformazione geometrica ϕ : A → A′ induceun’applicazione biettiva f : V → V ′, chiamata applicazione indotta, definitanel modo seguente. Sia v ∈ V , con v = OA, allora f (v) = ϕ(O)ϕ(A) . Si osserviche la funzione f non è necessariamente lineare.Viceversa, fissati due punti O ∈ A e O′ ∈ A′, un’applicazione biettiva f : V →V ′ (con f (0) = 0) induce una trasformazione geometrica ϕ : A → A′, tale cheϕ(O) = O′, definita nel modo seguente: dato A ∈ A, ϕ(A) = A′ dove A′ ∈ A′ èl’unico punto di A′ tale che f (OA) = O′A′.

Definiamo adesso un sottogruppo notevole del gruppo delle trasformazionigeometriche. Per far questo diamo la seguente

Definizione 1.17. Siano (A,V, η) e (A′,V ′, η′) due spazi affini. Una trasforma-zione geometrica

ϕ : A→ A′

è una trasformazione affine se esistono due riferimenti affini (O,B) e (O′,B′)di A e A′ rispettivamente, tale che, per ogni A ∈ A, le coordinate del pun-to A rispetto al riferimento (O,B) e le coordinate del punto ϕ(A) rispetto alriferimento (O′,B′) coincidono.

In altre parole, la Definizione 1.17 dice che una trasformazione geometrica è af-fine se esistono due riferimenti affini (O,B) e (O′,B′) diA eA′ rispettivamente,tali che l’espressione di ϕ in coordinate diventi:

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x′1 = x1...

x′n = xn .

Proposizione 1.18. Una trasformazione affine ϕ : A → A′ si scrive, rispettoa due riferimenti affini qualsiasi (O,B) e (O′,B′) di A e A′ rispettivamente,come

x′i =n

∑

j=1mijx j + βi i = 1, . . . , n

o, usando la notazione matriciale,

X′O′,B′ = M XO,B + β ,

dove M = (mij) rappresenta una matrice invertibile n×n e β un vettore colonnadi componenti βi ∈ R , i = 1, . . . , n.



Dimostrazione. Siano (O, B) e (O, B) i riferimenti affini di A e A′ rispettoai quali la trasformazione affine si scrive come X′O,B = XO,B. Operando gliopportuni cambiamenti di riferimento affine si ha che X′O,B = M X′O′,B′ + βmentre XO,B = M XO,B + β con M e M matrici non singolari n × n (sono lematrici del cambiamento di base). Dalla X′O,B = XO,B, segue che

M X′O′,B′ + β = M XO,B + β

da cuiX′O′,B′ = M

−1M XO,B + M−1(β − β) = M XO,B + β

dove abbiamo posto M = M−1M e β = M−1(β − β). !

In particolare, si ha il seguenteCorollario 1.19. Siano V e W due spazi vettoriali di dimensione n pensaticome spazi affini. Allora una trasformazione geometrica ϕ : V → W è affinese e solo se esiste un vettore w0 ∈ W ed un isomorfismo f : V → W tale cheϕ(v) = f (v) + w0 per tutti i v ∈ V.Si osservi che se ϕ : A → A′ è una trasformazione affine, l’applicazione in-dotta f : V → W è un isomorfismo. La dimostrazione che f è un isomorfismoè lasciata per esercizio.Segue che una definizione alternativa di trasformazione affine è la seguenteDefinizione 1.20. Siano (A,V, η) e (A′,V ′, η′) due spazi affini. Una trasforma-zione geometrica

ϕ : A→ A′

è una trasformazione affine se esiste un punto O ∈ A e un isomorfismo f :V → W tale che per ogni A ∈ A

f (OA) = ϕ(O)ϕ(A).

Osservazione 1.21. Si noti che se ϕ : A → A′ è affine la definizione dell’iso-morfismo indotto non dipende dal puntoO. Infatti, sia O′ un altro punto, allorasi ha

ϕ(O′)ϕ(A) =ϕ(O′)ϕ(O) + ϕ(O)ϕ(A)= − ϕ(O)ϕ(O′) + ϕ(O)ϕ(A)= − f (OO′) + f (OA)= f (OA − OO′) (usando la linearità di f )= f (O′A).


1.3 Esercizi 11

La stessa proprietà non vale se ϕ è una trasformazione geometrica qualunquein quanto abbiamo utilizzato la linearità di f .

1.2.1 Il gruppo affineDalla Proposizione 1.18 segue immediatamente che la composizione di tra-sformazioni affini è una trasformazione affine ed allo stesso modo che l’inversadi una trasformazione affine è affine. L’insieme delle trasformazioni affini dauno spazio affine in se stesso forma quindi un sottogruppo del gruppo delletrasformazioni geometriche denotato con Aff(A).La geometria affine studia le proprietà delle figure in uno spazio affine cherimangono invarianti per trasformazioni affini.

1.3 Esercizi1. Siano A1, A2, . . . , An, n punti arbitrari di uno spazio affine. Un puntoG sichiama baricentro se

GA1 +GA2 + · · · +GAn = 0.

• Dimostrare che se G esiste allora è unico.• Sia O un qualsiasi punto dello spazio affine. Dimostrare che OG ècaratterizzato dalla formula

OG =1n(OA1 + OA2 + · · · + OAn)

Soluzione (1)Supponiamo esista H con HA1 + HA2 + · · · + HAn = 0.Segue che 0 = GA1 + GA2 + · · · + GAn − (HA1 + HA2 + · · · + HAn) =(GA1−HA1)+· · ·+(GAn−HAn) = (GA1+A1H)+· · ·+(GAn+AnH) = nGH,da cui la tesi G = H. (2) OG = OAi + AiG, ∀i = 1, . . . , n. Segue chenOG =

∑

OAi +∑

AiG =∑

OAi.

2. Dimostrare che le diagonali di un parallelogramma si intersecano nelloro punto medio, cioè se AA′B′B è un parallelogramma e se M soddisfaAB′ = 2AM, allora A′B = 2A′M.

3. Dati tre punti A, B e C di un piano affine si consideri il baricentro G.



• Dimostrare cheG è il punto di incontro delle mediane del triangoloA, B,C e che divide ogni mediana in due parti una doppia dell’altra.

• Dimostrare che noti due vertici del triangolo ed il baricentro è notoil rimanente vertice.

4. Dimostrare che esiste un’unica retta affine contenente due dati punti A, Bdi uno spazio affine.

5. Sia ϕ : A → A′ una trasformazione affine. Dimostrare che l’applicazio-ne indotta f : V → V ′ è un isomorfismo.

6. Data una trasformazione affine ϕ : A→ A un punto M ∈ A si dice fissose ϕ(M) = M. Dimostrare che ϕ ha un unico punto fisso se e solo sel’isomorfismo indotto f : V → V ha solo il punto fisso 0 ∈ V .

7. Dimostrare che una trasformazione affine ϕ : A → A′ manda tre puntiallineati in tre punti allineati. Allineati significa che appartengono ad unastessa retta affine.

8. Determinare una trasformazione affine di un piano affine che mandi ivertici di un triangolo A, B,C sui loro punti simmetrici rispetto ai puntimedi dei lati opposti. Dove dato P il suo simmetrico rispetto a M è ilpunto P′ tale cheMP+MP′ = 0. (Aiuto: fissare un sistema di riferimentoaffine utilizzando i punti A, B,C).

9. Una trasformazione affine ϕ di un piano affine A in se stesso è unaprospettività se ha una retta affine F di punti fissi e se per ogni puntoA, B ∈ A i vettori Aϕ(A) e Bϕ(B) sono paralleli.

• Fissato un riferimento affine (O, e1, e2) sul piano con O ∈ F, e1parallelo alla giacitura di F e e2 parallelo a Aϕ(A), determinare leespressioni x′1 = ϕ1(x1, x2), x′2 = ϕ2(x1, x2) della prospettività.• Se rispetto ad un sistema di riferimento affine del piano una trasfor-mazione è data da x′1 = 4x1+ x2−5, x′2 = 6x1+3x2−10, dimostrareche è una prospettività.


2Generalita sugli spazieuclidei2.1 Il prodotto scalareUn prodotto scalare su uno spazio vettoriale V è una forma bilineare

⟨, ⟩ : V × V → R

simmetrica e definita positiva, cioè tale che:

(a) ⟨v,w⟩ = ⟨w, v⟩ per tutti i v,w ∈ V;

(b) ⟨v, v⟩ ≥ 0 per tutti i v ∈ V e ⟨v, v⟩ = 0 se e solo se v = 0.

Definizione 2.1. Uno spazio vettoriale euclideo è uno spazio vettoriale dotatodi un prodotto scalare.

Esempio 2.2. Lo spazio Rn con il prodotto scalare canonico

⟨v,w⟩ =n

∑

i=1viwi

dove v = (v1, . . . , vn), w = (w1, . . . ,wn), è uno spazio vettoriale euclideo.


14 Generalità sugli spazi euclidei

Ricordiamo alcune definizioni e proprietà.

• Dato uno spazio vettoriale euclideo definiamo la norma di un vettorev ∈ V come ∥v∥ =

√⟨v, v⟩.

• Due vettori v,w ∈ V si dicono perpendicolare o ortogonali (si scrivev ⊥ w) se ⟨v,w⟩ = 0.

• Una base B = {e1, . . . , en} si dice orto-normale se

⟨ei, e j⟩ = δi j =⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

1 se i = j0 se i ! j

cioè se i vettori della base hanno tutti norma 1 e sono a due a dueortogonali.

• Un vettore v ∈ V si decompone rispetto ad una base orto-normale B ={e1, . . . , en} come v =

∑

i⟨v, ei⟩ ei.

• Rispetto ad una base orto-normale, il prodotto scalare tra due vettori v =∑

i vi ei e w =∑

i wi ei si scrive, in forma matriciale, come

⟨v,w⟩ = XTY

dove X e Y rappresentano i vettori colonna le cui entrate sono le compo-nenti di v e w, rispettivamente.

Proposizione 2.3. Sia V uno spazio vettoriale euclideo e siano v,w ∈ V. Allorasi ha:

(a) la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

|⟨v,w⟩| ≤ ∥v∥ ∥w∥

e l’uguale vale se e solamente se v e w sono linearmente dipendenti;

(b) la disuguaglianza triangolare

∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥;

(c) il teorema di Pitagora: se v ⊥ w, allora

∥v + w∥2 = ∥v∥2 + ∥w∥2.


2.1 Il prodotto scalare 15

Dimostrazione. (a) Dato un numero reale λ si ha, dalla positività del prodottoscalare, che per ogni v,w ∈ V

⟨v + λw, v + λw⟩ ≥ 0.

Espandendo quest’ultima si trova la disequazione quadratica in λ

⟨w,w⟩λ2 + 2⟨v,w⟩λ + ⟨v, v⟩ ≥ 0. (2.1)

Se w ! 0, segue, per le note proprietà delle disequazioni di secondo grado, cheil discriminante dell’equazione associata è non positivo, cioè

⟨v,w⟩2 − ⟨v, v⟩⟨w,w⟩ ≤ 0.

Quest’ultima implica⟨v,w⟩2 ≤ ∥v∥2 ∥w∥2

da cui, estraendo la radice, si ha la tesi. Se w = 0 la disuguaglianza è banale.Dimostriamo adesso il caso in cui valga l’uguale. Se v e w sono linearmentedipendenti esiste un numero λ tale che w = λv. Si ha quindi

|⟨v,w⟩| = |λ|⟨v, v⟩ = |λ| ∥v∥ ∥v∥ = ∥w∥ ∥v∥.

Viceversa, se|⟨v,w⟩| = ∥w∥ ∥v∥

il discriminante della (2.1) vale zero, da cui segue che esiste un unico λ0 con

⟨w,w⟩λ20 + 2⟨v,w⟩λ0 + ⟨v, v⟩ = 0,

ovvero,⟨v + λ0w, v + λ0w⟩ = 0.

L’ultima equazione implica che v + λ0w = 0, quindi v e w sono linearmentedipendenti.(b) Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si ha

∥v + w∥2 = ⟨v + w, v + w⟩ = ⟨v, v⟩ + 2⟨v,w⟩ + ⟨w,w⟩≤ ∥v∥2 + 2∥v∥ ∥w∥ + ∥w∥2 = (∥v∥ + ∥w∥)2.

(c) Segue immediatamente dalla dimostrazione di (b). !



2.1.1 Proiezioni ortogonaliSia V uno spazio vettoriale euclideo e siaW ⊂ V un suo sottospazio. Definiamoil complemento ortogonale di W come

W⊥ = {v ∈ V : ⟨v,w⟩ = 0∀w ∈ W}.

È facile mostrare cheW⊥ è un sottospazio vettoriale. Inoltre lo spazio vettorialeV si decompone come somma diretta (dimostrarlo per esercizio)

V = W ⊕W⊥. (2.2)

vW W

v⊥ v

Figura 2.1 – Proiezione di v suW.

Sia v ∈ V un vettore e sia W un sottospaziovettoriale di V . Dalla decomposizione (2.2)segue che v si può scrivere come

v = vW + v⊥

con vW ∈ W e v⊥ ∈ W⊥. Chiamiamo vWla proiezione ortogonale di v su W. Sedim(W) = k e se B = {e1, . . . , ek} è una baseorto-normale di W, segue che

vW =k

∑

i=1⟨vW , ei⟩ ei =

k∑

i=1⟨v, ei⟩ ei.

La proiezione ortogonale di un vettore v su un sottospazio W si puòcaratterizzare come l’unico vettore vW ∈ W tale che

⟨vW ,w⟩ = ⟨v,w⟩ , ∀w ∈ W. (2.3)

La dimostrazione dell’equivalenza tra le due definizioni di proiezione ortogo-nale è lasciata per esercizio.

La proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio ha la seguente in-terpretazione geometrica. Dato un vettore v ∈ V ed un sottoinsieme S ⊂ Vdefiniamo la distanza di v da S come

d(v, S ) = infs∈S∥v − s∥.

Se S non è uno spazio vettoriale non è detto che l’inf sia raggiunto. Invece, nelcaso in cui S sia un sottospazio vettoriale di V , si ha la seguente



Proposizione 2.4. Sia V uno spazio vettoriale euclideo, sia W ⊂ V un sotto-spazio vettoriale e sia v ∈ V. Allora

d(v,W) = ∥v − vW∥.

Dimostrazione. Sia w un vettore di W. Allora v − vW = v⊥ è ortogonale avW − w ∈ W. Segue, dal Teorema di Pitagora, l’uguaglianza

∥v − w∥2 = ∥v − vW + (vW − w)∥2 = ∥v − vW∥2 + ∥vW − w∥2

la quale implica, se w ! vW ,

∥v − w∥2 > ∥v − vW∥2.

!

2.1.2 Il procedimento di Gram-SchmidtSia V uno spazio vettoriale euclideo e sia B = {v1, . . . , vn} una sua base. Ilprocedimento di Gram-Schmidt permette di costruire, a partire dalla base B,una base ortonormale B′ = {e1, . . . , en}. Si procede nel modo seguente.

• Si pone u1 = v1.

• A partire dal vettore v2 si costruisce un vettore che sia combinazionelineare di u1 e v2 e sia perpendicolare al primo. Geometricamente bastasottrarre a v2 la proiezione ortogonale di v2 su u1. Se scriviamo u2 =v2 + λu1 la condizione ⟨u1, v2⟩ = 0 implica che λ = −⟨u1, u2⟩/∥u1∥2.Poniamo quindi

u2 = v2 −⟨u1, v2⟩∥u1∥2

u1 .

• In modo analogo si costruisce un vettore u3 che sia combinazione linearedi u1, u2 e v3 e che sia perpendicolare ai primi due, Scrivendo u3 =v3 + λ1u1 + λ2u2 si orriene

u3 = v3 −⟨u1, v3⟩∥u1∥2

u1 −⟨u2, v3⟩∥u2∥2

u2 .

• Ripetendo il procedimento per tutti i vettori della base B si ottiene unabase {u1, . . . , un} costituita da vettori a due a due ortogonali. Dividendociascuno degli ui per la corrispondente norma, si ottiene la base ortonor-male B′ = {e1, . . . , en} con ei = u1/∥ui∥, i = 1, . . . n.


u2

v2


2.1.3 Applicazioni della proiezione ortogonaleLa Proposizione 2.4 si applica in molte situazioni in cui si debba determinare,di una data famiglia di oggetti, quello più vicino ad un altro dato. Vediamoqualche esempio.

Esempio 2.5. Determinare la successione aritmetica i cui primi tre terminimeglio approssimano la terna (3, 4, 6). Una successione aritmetica è data daan = a0 + nd ed i primi tre termini sono

(a0 + d, a0 + 2d, a0 + 3d)

i quali si possono decomporre come

(a0 + d, a0 + 2d, a0 + 3d) = a0(1, 1, 1) + d(1, 2, 3).

Possiamo quindi pensare la terna v = (3, 4, 6) come un vettore dello spazio vet-toriale R3 dotato del prodotto scalare canonico, mentre i vettori e1 = (1, 1, 1) ee2 = (1, 2, 3) generano un sottospazio vettorialeW = L((1, 1, 1), (1, 2, 3)) ⊂ R3che coincide con lo spazio dei primi tre termini di una successione aritmeti-ca. Segue dalla Proposizione 2.4 che la terna che meglio approssima la ternav = (3, 4, 6) è la proiezione ortogonale di v su W. Sia vW = a0e1 + de2 allora,dalla (2.3), a0 e d sono soluzioni del sistema

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

⟨vW , e1⟩ = ⟨v, e1⟩⟨vW , e2⟩ = ⟨v, e2⟩

cioè⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

3a0 + 6d = 136a0 + 14d = 29

la cui soluzione è a0 = 4/3 e d = 3/2.

Esempio 2.6. Sullo spazio delle funzioni continue C([a, b],R) si può definireil seguente prodotto scalare. Siano f , g : [a, b] → R due funzioni continue.Definiamo il prodotto scalare tra f e g come

( f , g) =∫ b

af (x)g(x)dx. (2.4)

Lasciamo per esercizio la dimostrazione che la (2.4) definisce un prodottoscalare su C([a, b],R)



Si consideri il seguente problema: determinare tra tutti i polinomi di primogrado definiti in [0, 1] quello che meglio approssima il polinomio x2.Per risolvere il problema possiamo pensare lo spazio dei polinomi di primogrado come il sottospazio W delle funzioni continue da [0, 1] in R generatodalle funzioni x→ 1 e x→ x, cioè

W = L(1, x) ⊂ C([1, 0],R).

Dalla Proposizione 2.4 il polinomio cercato è dato dalla proiezione ortogonaledella funzione f (x) = x2 suW. Sia fW = ax+ b la proiezione di f suW, allora,dalla (2.3), a e b sono soluzioni del sistema

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

( fW , 1) = ( f , 1)( fW , x) = ( f , x)

cioè⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

a/2 + b = 1/3a/3 + b/2 = 1/4

le cui soluzioni sono a = 1 e b = −1/6. Si veda in, Figura 2.2, la rappre-sentazione grafica della funzione y = x2 e della approssimazione y = x −1/6.

1

y=x2

y=x− 16

Figura 2.2 – Approssimazione della funzione x2.



2.2 Spazi euclideiDefinizione 2.7. Uno spazio affine euclideo (o semplicemente spazio eucli-deo) è uno spazio affine (E,V, η) il cui spazio vettoriale associato è uno spaziovettoriale euclideo.

A differenza di uno spazio affine in uno spazio euclideo è possibile definire ilconcetto di distanza tra due punti. Ricordiamo che una distanza su E è unafunzione d : E × E→ R che soddisfa alle seguenti proprietà:

(i) d(A, B) = d(B, A)

(ii) d(A, B) ≥ 0 e d(A, B) = 0 se e solo se A = B

(iii) d(A, B) ≤ d(A,C) + d(C, B) (disuguaglianza triangolare) .

Se adesso definiamo

d(A, B) = ∥AB∥ , A, B ∈ E (2.5)

è facile verificare che la (2.5) soddisfa alle proprietà (i)–(iii): la dimostrazionedelle quali segue dalle proprietà del prodotto scalare (quali la disuguaglianzadi Cauchy-Schwarz) ed è lasciata come esercizio. Si osservi inoltre che l’ugua-glianza nella disuguaglianza triangolare vale se e solo se i punti A, B,C sonoallineati (nel senso che appartengono ad una stessa retta affine) e C si trova traA e B.

2.2.1 Coordinate ortogonaliSeguendo lo stesso procedimento fatto negli spazi affini dotiamo uno spazioeuclideo di coordinate. Sia (E,V, η) uno spazio euclideo. Fissato un punto O ∈E ad ogni altro punto A ∈ E resta associato un unico vettore OA ∈ V . Sceltauna base B = {e1, . . . , en} orto-normale dello spazio vettoriale V il vettore OAammette un unica decomposizione rispetto B:

OA = a1e1 + · · · + anen, ai ∈ R.

Definizione 2.8. Definiamo coordinate ortogonali (o cartesiane) del puntoA rispetto alla base orto-normale B ed al punto O la n-pla (a1, . . . , an) dellecomponenti del vettore OA rispetto alla base B. La coppia (O,B) prende ilnome di riferimento ortogonale (o cartesiano).


2.2 Spazi euclidei 21

Le coordinate ortogonali sono un caso speciale delle coordinate affini. In par-ticolare, tute le formule valide per le coordinate affini continuano a valere perquelle ortogonali. Naturalmente nel caso delle coordinate ortogonali valgonodelle proprietà peculiari. Per esempio, per i cambiamenti di coordinate si ha:

Proposizione 2.9. Sia (E,V, η) uno spazio euclideo e siano (O,B) e (O′,B′)due riferimenti ortogonali. Allora per ogni A ∈ E si ha

AO′,B′ = M(AO,B − O′O,B),

dove la matrice M del cambiamento di base soddisfa alla relazione

MTM = MMT = Id .

Dimostrazione. Basta dimostrare che la matrice di passaggio da una base orto-normale ad una base orto-normale soddisfa alla condizione MTM = MMT =

Id. Per definizione, posto M = (mij), si ha

ei =∑

k

mki e′k

Segue che

δi j = ⟨ei, e j⟩ = ⟨∑

k

mki e′k,∑

ℓ

mℓ j e′ℓ⟩ =∑

k

∑

ℓ

mki mℓ j⟨e′k, e′ℓ⟩

=∑

k

∑

ℓ

mki mℓ j δkℓ

=∑

k

mki mk j

dalla quale segue, per la definizione di prodotto di matrici, che MTM = Id. !

Le matrici soddisfacenti alla condizione MTM = Id sono dette matrici orto-gonali è formano un gruppo, rispetto alla moltiplicazione di matrici, comune-mente denotato con O(n) e chiamato gruppo ortogonale.

2.2.2 Trasformazioni ortogonaliSiano V eW due spazi vettoriali euclidei di dimensione n. Denotiamo con ⟨, ⟩Ve ⟨, ⟩W i prodotti scalari su V e W rispettivamente.



Definizione 2.10. Un isomorfismo f : V → W è detto un’isometria lineare otrasformazione ortogonale se

⟨v,w⟩V = ⟨ f (v), f (w)⟩W

per ogni v,w ∈ V .

Osservazione 2.11. Per verificare che un isomorfismo f : V → W sia un’iso-metria lineare è sufficiente mostrare che

∥v∥V = ∥ f (v)∥W ∀v ∈ V.

Infatti il prodotto scalare si può descrivere in funzione della norma di opportunivettori come mostra la seguente formula:

⟨v,w⟩ =14

(

∥v + w∥2 − ∥v − w∥2)

.

Data una trasformazione ortogonale f : V → W la matrice associata, rispetto adue basi orto-normali di V e W, è una matrice ortogonale. La dimostrazione èsimile a quella della Proposizione 2.9 e viene lasciata per esercizio.

2.2.3 Endomorfismi simmetriciDiamo la seguente

Definizione 2.12. Sia V uno spazio vettoriale euclideo. Un endomorfismo f :V → V si dice simmetrico se per ogni v,w ∈ V vale la seguente identità:

⟨v, f (w)⟩ = ⟨ f (v),w⟩ .

Gli endomorfismi simmetrici, come avremo modo di vedere nei prossimi capi-toli, hanno un ruolo fondamentale nella descrizione e classificazione di alcunecurve notevoli.

Una proprietà semplice, che in parte giustifica il nome, afferma che la matriceassociata ad un endomorfismo simmetrico rispetto ad una base ortonormale diV è simmetrica. Lasciamo la dimostrazione di questo fatto per esercizio.



La proprietà più importante degli endomorfismi simmetrici è che sono dia-gonalizzabili. Per dimostrarlo verifichiamo per primo che tutti gli autovalorisono reali ed in seguito mostriamo che esiste una base dello spazio vettorialeV costituita da autovettori dell’endomorfismo simmetrico f .

Proposizione 2.13. Sia f : V → V un endomorfismo simmetrico di uno spaziovettoriale euclideo. Allora tutti gli autovalori sono reali.

Dimostrazione. Supponiamo che λ sia un autovalore e scriviamo λ = a + ib,con a, b ∈ R e i l’unità immaginaria. Sia adesso v ! 0 un autovettore relativoall’autovalore λ. Rispetto ad una base B = {e1, . . . , en} di V possiamo scriverev =

∑nj=1(x j + iy j)e j, xi, y j ∈ R. Sia X =

∑nj=1 x je j e Y =

∑nj=1 y je j. Allora

v = X + iY . La condizione f (v) = λv diventa f (X + iY) = (a + ib)(X + iY) cioè

f (X) + i f (Y) = aX − bY + i(bX + aY) ,

la quale implica che⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

f (X) = aX − bYf (Y) = bX + aY .

Segue che⟨Y, f (X)⟩ = ⟨Y, aX − bY⟩ = a⟨Y, X⟩ − b⟨Y, Y⟩

e⟨ f (Y), X⟩ = ⟨bX + aY, X⟩ = a⟨Y, X⟩ + b⟨X, X⟩ .

Usando la simmetria di f si ottiene

b (∥X∥2 + ∥Y∥2) = 0 .

L’ultima equazione, essendo ∥X∥2 + ∥Y∥2 ! 0, implica che b = 0 da cui latesi. !

Siamo pronti per enunciare l’importante

Teorema 2.14. Sia f : V → V un endomorfismo simmetrico di uno spaziovettoriale euclideo. Allora f è diagonalizzabile.

Dimostrazione. Dimostriamo il teorema per induzione sulla dimensione n del-lo spazio vettoriale V . Sia n = 1 e sia λ un autovalore di f . Per la Proposi-zione 2.13 λ ∈ R. Sia adesso v un autovettore relativo all’autovalore λ, allora



B = {v} costituisce una base di V formata da autovettori di f . Supponiamoadesso che la tesi valga quando la dimensione di V è n − 1 e dimostriamo chevale quando la dimensione di V è n. Sia λ un autovalore di f (necessariamentereale) e sia u un autovettore relativo a λ. Sia adesso u⊥ = {v ∈ V : ⟨v, u⟩ = 0} ilcomplemento ortogonale di u in V . La dimensione di u⊥ è (n − 1) ed inoltre sev ∈ u⊥, usando la simmetria di f , si ha

⟨ f (v), u⟩ = ⟨v, f (u)⟩ = λ⟨v, u⟩ = λ 0 = 0 ,

dalla quale segue che f è un endomorfismo di u⊥. Siccome u⊥ è un sottospaziovettoriale di V ed f : V → V è simmetrico, f : u⊥ → u⊥ è un endomorfismosimmetrico. Per ipotesi induttiva, esiste una base B′ = {u1, . . . un−1} di u⊥costituita da autovettori di f . In fine, essendo u ortogonale a tutti gli elementidella base B′, l’insieme {u1, . . . , un−1, u} costituisce una base di V formata, percostruzione, da autovettori di f . !

2.2.4 Trasformazioni euclide ed isometrieSiano E e E′ due spazi euclidei e sia ϕ : E→ E′ una trasformazione geometrica.La trasformazione geometrica ϕ è:

(a) un’isometria se d(A, B) = d(ϕ(A), ϕ(B)) per ogni A, B ∈ E;

(b) una trasformazione euclidea se esistono due riferimenti ortogonali (O,B)e (O′,B′) di E e E′ rispettivamente, tali che, per ogni A ∈ E, le coordinatedel punto A rispetto al riferimento (O,B) e le coordinate del punto ϕ(A)rispetto al riferimento (O′,B′) coincidono.

Usando la notazione matriciale, una trasformazione euclidea, rispetto a dueriferimenti orto-normali qualsiasi di E e E′, si scrive come

X′O′,B′ = MXO,B + β

dove M = (mij) rappresenta una matrice ortogonale e β un vettore colonna.

Proposizione 2.15. Una trasformazione euclidea ϕ : E → E′ induce un’iso-metria lineare f : V → W. Viceversa, data un’isometria lineare f : V → W edue punti O ∈ E e O′ ∈ E′, esiste un unica trasformazione euclidea ϕ : E→ E′

tale che ϕ(O) = O′.



Dimostrazione. Supponiamo che ϕ : E→ E′ sia una trasformazione euclidea emostriamo che l’isomorfismo indotto f : V → W è un’isometria lineare. Infattisia v ∈ V e siano A, B ∈ E con v = AB. Siano X, Y e X′, Y ′ i vettori colonnadelle componenti di A, B e A′ = ϕ(A), B′ = ϕ(B) rispetto a due riferimentiorto-normali di E e E′ rispettivamente. Allora si ha

X′ = MX + β e Y ′ = MY + β

con M matrice ortogonale e β ∈ Rn. Segue che

f (v) = ϕ(A)ϕ(B) = A′B′ = Y ′ − X′ = MY − MX = M(Y − X)

Infine

∥ f (v)∥2W = ⟨ f (v), f (v)⟩W= ⟨M(Y − X),M(Y − X)⟩W = (Y − X)T MTM(Y − X)= (Y − X)T (Y − X) = ⟨(Y − X), (Y − X)⟩V= ⟨v, v⟩V = ∥v∥2V .

Mostriamo il viceversa. Sia f : V → W un’isometria lineare e siano O ∈ E

e O′ ∈ E′. Sia B = {e1, . . . , en} una base orto-normale di V . Allora (O,B) èun riferimento ortogonale in E. Siccome f conserva il prodotto scalare segueche B′ = { f (e1), . . . , f (en)} è una base orto-normale diW. Quindi (O′,B′) è unriferimento ortogonale in E′. Per costruzione ϕ(A) = A′ con f (OA) = O′A′.Siano (a1, . . . , an) le coordinate di A, cioè OA =

∑

i ai ei. Dalla linearità di fsegue che

O′A′ = f (OA) = f (∑

i

ai ei) =∑

i

ai f (ei).

Quindi A ed A′ hanno le stesse coordinate rispetto ai riferimenti ortogonali(O,B) e (O′,B′). !

Mostriamo adesso che i concetti di isometria e trasformazione euclidea coinci-dono.

Teorema 2.16. Una trasformazione geometrica ϕ : E → E′ è un’isometria see solo se è una trasformazione euclidea.



Dimostrazione. Supponiamo che ϕ : E → E′ sia una trasformazione euclideae sia f : V → W l’isometria lineare indotta. Mostriamo che ϕ è un’isometria.Siano A, B ∈ E e siano A′ = ϕ(A) e B′ = ϕ(B), allora

d(A′, B′) = ∥A′B′∥W = ∥ϕ(A)ϕ(B)∥W = ∥ f (AB)∥W = ∥AB∥V = d(A, B).

Viceversa, supponiamo che ϕ : E → E′ sia un’isometria e siano O ∈ E eO′ = ϕ(O) ∈ E′. Mostriamo che ϕ è una trasformazione euclidea. Bastamostrare che ϕ induce un’isometria lineare f : V → W. Mostriamo per primoche f conserva il prodotto scalare. Per ogni v,w ∈ V con v = OA e w = OB,A, B ∈ E, si ha

∥v∥ = ∥OA∥ = d(O, A) = d(ϕ(O), ϕ(A)) = ∥ϕ(O)ϕ(A)∥= ∥ f (v)∥ (2.6)

∥v − w∥ = ∥OA − OB∥ = ∥BO + OA∥ = ∥BA∥ = d(B, A) = d(ϕ(B), ϕ(A))= ∥ϕ(B)ϕ(A)∥ = ∥ϕ(B)ϕ(O) + ϕ(O)ϕ(A)∥ = ∥ϕ(O)ϕ(A) − ϕ(O)ϕ(B)∥= ∥ f (v) − f (w)∥ (2.7)

Confrontando le identità, valide per qualunque v,w ∈ V ,

∥v − w∥2 = ∥v∥2 + ∥w∥2 − 2⟨v,w⟩∥ f (v) − f (w)∥2 = ∥ f (v)∥2 + ∥ f (w)∥2 − 2⟨ f (v), f (w)⟩

ed utilizzando le (2.6)–(2.7) segue che

⟨v,w⟩ = ⟨ f (v), f (w)⟩.

Per terminare la dimostrazione mostriamo che f è lineare. A tal scopo, sia B ={e1, . . . , en} una base orto-normale di V . Siccome f conserva il prodotto scalaresegue che B′ = { f (e1), . . . , f (en)} è una base orto-normale di W. Adesso, perqualunque v,w ∈ V e per tutti gli ei ∈ B, si ha

⟨ f (ei), f (v + w) − f (v) − f (w)⟩ = ⟨ f (ei), f (v + w)⟩ − ⟨ f (ei), f (v)⟩−⟨ f (ei), f (w)⟩

= ⟨ei, v + w⟩ − ⟨ei, v⟩ − ⟨ei,w⟩ = 0

dalla quale segue che f (v+w) = f (v)+ f (w). Allo stesso modo si dimostra chef (λv) = λ f (v), λ ∈ R. !


2.3 Esercizi 27

2.2.5 Il gruppo delle isometrieSi vede immediatamente che la composizione di isometrie è una isometria edallo stesso modo l’inversa di una isometria è una isometria. L’insieme delleisometrie da uno spazio euclideo E in se stesso forma quindi un sottogruppodel gruppo delle trasformazioni geometriche denotato con Iso(E).La geometria euclidea studia le proprietà delle figure in uno spazio euclideoche rimangono invarianti per isometrie.

2.3 Esercizi1. Perchè il metodo delle proiezioni ortogonali non funziona se vogliamotrovare la successione geometrica che meglio approssima (1, 1, 2)?

2. Trovare l’equazione esplicita della retta (y = ax + b) che meglio appros-sima i punti (0, 0), (1, 1), (2, 1). Si illustri il risultato graficamente.

3. Si trovi una formula che descriva la pendenza di una retta per l’origineche meglio approssima i punti (1, x1), (2, x2), . . . , (n, xn).

4. Trovare la parabola y = ax2 + bx + c che meglio approssima i punti(−2, 0), (−1, 0),(0, 1),(1, 1) e (2, 2).

5. Siano e1, e2, . . . , er, r vettori di Rn, r < n, diversi da 0 ed a due a dueortogonali. Sia v un vettore di Rn e siano v1, v2, . . . , vr le proiezioni orto-gonali di v sugli spazi generati da e1, e2, . . . , er rispettivamente. Mostrareche la proiezione di v su L(e1, e2, . . . , er) è v1 + v2 + · · · + vr.

6. Siano e1, e2, . . . , ek, k vettori ortogonali di Rn. Posto ai = ⟨v, ei⟩, v ∈ Rn,mostrare che

k∑

i=1

a2i∥ei∥2

≤ ⟨v, v⟩.

7. Considerato lo spazio C([0, 2π],R) con il prodotto scalare standard, mo-strare che le funzioni

1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . , sin nx, cos nx

sono ortogonali.



8. Mostrare che in C([−1, 1],R) le funzioni 1, x, 3x2 − 1 sono ortogonali.Si trovi quindi la parabola y = ax2 + bx + c che meglio approssima lafunzione y = x4.

9. Sia V = R2 con il prodotto scalare canonico e si pensi V come uno spazioeuclideo.

• Si considerino le basi B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} e B′ = {e′1 =(1/√2, 1/

√2), e′2 = (−1/

√2, 1/

√2)}. Determinare l’espressione,

in coordinate, dell’isometria ϕ : V → V tale che f (ei) = e′i , i = 1, 2,e ϕ(0, 0) = (2, 3). Qui f denota l’isometria lineare indotta.• L’applicazione ϕ : R2 → R2 definita da ϕ(x1, x2) = (−x2 − 1, x1)è un’isometria. Se si determinare due riferimenti (O,B) e (O′,B′)rispetto ai quali ϕ è l’identità.


3Geometria euclidea delpiano e dello spazioIn questo capitolo analizziamo in dettaglio il caso in cui lo spazio euclideo siadi dimensione 2 o 3.

3.1 Riferimento Cartesiano nello spazioSia E2 l’insieme dei punti del piano ed E3 l’insieme dei punti dello spazio. Perdotare E3 della struttura di spazio affine consideriamo lo spazio vettoriale Vdei vettori liberi dello spazio. In questo caso l’applicazione η : E3 × E3 → Vassocia a due punti P e P′ il vettore libero v la cui direzione, lunghezza, e versosono definiti dal segmento orientato PP′.Dalla definizione di somma dei vettori liberi risulta che(i) fissato un punto P ∈ E3, per ogni vettore libero v esiste un unico P′ ∈ E3tale che v = PP′;

(ii) per ogni P, P′, P′′ ∈ E3 vale la relazione PP′′ = PP′ + P′P′′.Segue che la terna (E3,V, η), appena definita, soddisfa la Definizione 1.1 e quin-di costituisce uno spazio affine. In realtà la definizione di spazio affine è stata


30 Geometria euclidea del piano e dello spazio

P′

P

v

(a)

P P′

P′′

(b)

Figura 3.1 – (a) Segmento orientato. (b) Somma di vettori.

formulata imitando e generalizzando lo spazio vettoriale dei vettori liberi asso-ciato all’insieme dei punti dello spazio.

θ

w

v

Figura 3.2 – Angolo tra due vettori.

Inoltre l’usuale formula del prodottoscalare dei vettori liberi dello spazio

⟨v,w⟩ = ∥v∥ ∥w∥ cos θ, (3.1)

dove θ è l’angolo tra i vettori (si vedala Figura 3.2) mentre ∥v∥ e ∥w∥ sonole lunghezze dei vettori v e w, rendeE3 uno spazio euclideo.Come visto nel capitolo preceden-te, dato un punto O ∈ E e una base {e1, e2, e3} dello spazio deivettori liberi definiamo le coordinate affini di un punto P ∈ E co-me le componenti del vettore OP rispetto alla base {e1, e2, e3}. CioèP ha coordinate affini P = (x, y, z) se OP = xe1 + ye2 + ze3.

i j

k

Figura 3.3 – La base canonica orientata po-sitivamente dei vettori dellospazio.

Esiste una base notevole dello spa-zio dei vettori liberi, detta base ca-nonica, è costituita da tre vettoriorto-normali {i, j, k} orientati positi-vamente. Con orientati positivamen-te intendiamo che, osservato dal vet-tore k, il vettore i ruota, per sovrap-porsi a j seguendo l’angolo più pic-colo, in senso antiorario (si veda laFigura 4.5).


3.1 Riferimento Cartesiano nello spazio 31

Ricordiamo che, rispetto alla base ca-nonica {i, j, k}, il prodotto scalare edil prodotto vettoriale di due vettoriv = v1i + v2j + v3k e w = w1i + w2j + w3k sono dati da

⟨v,w⟩ = v1w1 + v2w2 + v3w3

v ∧ w =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j kv1 v2 v3w1 w2 w3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Dalla (3.1) risulta, inoltre, che la lunghezza di un vettore e l’angolo tra duevettori sono dati dalle formule

∥v∥ =√

⟨v, v⟩ =√

v21 + v22 + v

23 (3.2)

cos θ =⟨v,w⟩∥v∥ ∥w∥

=v1w1 + v2w2 + v3w3

√

v21 + v22 + v

23

√

w21 + w22 + w

23

. (3.3)

Se v è un versore (cioè ha norma 1) si ha che

v = ⟨v, i⟩i + ⟨v, j⟩j + ⟨v, k⟩k = cos γ1 i + cos γ2 j + cos γ3 k (3.4)

dove γ1, γ2 e γ3 sono gli angoli che il vettore v forma con i vettori di base i, je k rispettivamente. I numeri (cos γ1, cos γ2, cos γ3) sono detti coseni direttoridella direzione del vettore v e soddisfano la relazione, che segue dal fatto che∥v∥ = 1,

cos γ21 + cos γ22 + cos γ23 = 1.

Definizione 3.1. Le coordinate affini di un punto P0 rispetto alla base canoni-ca {i, j, k} sono chiamate coordinate cartesiane ortogonali (o semplicementecoordinate cartesiane) (Si veda la Figura 3.4). Le tre rette orientate passantiper O e parallele ai tre vettori {i, j, k} sono chiamate assi cartesiani.

Nel seguito, se non indicato diversamente, considereremo lo spazio E3 dota-to delle coordinate cartesiane. Si deve comunque osservare che molte dellecostruzioni continuano a valere nel caso si considerino coordinate affini dellospazio, cioè coordinate rispetto ad una base qualsiasi dello spazio dei vettoriliberi non necessariamente orto-normale.



x y

z

i j

k

x0 iy0 j

z0 k

P0

O

Figura 3.4 – Coordinate cartesiane.

Distanza tra due punti.

Fissato un riferimento cartesiano, siano P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2)due punti. Dall’Osservazione 1.15 segue che il vettore P1P2 ha componentiP1P2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1). La distanza tra P1 e P2, definita nella (2.5),diventa

d(P1, P2) = ∥P1P2∥ =√

⟨P1P2, P1P2⟩ =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.

Punto medio di un segmento.

Fissato un riferimento affine, siano P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2) due punti.Si definisce punto medio M di P1 e P2 il punto sulla retta passante per P1 e P2tale che

P1M + P2M = 0.

Segue che le coordinate (Mx,My,Mz) del punto medio soddisfano

0 = P1M + P2M = (x1 + x2 − 2Mx, y1 + y2 − 2My, z1 + z2 − 2Mz)

cioèM =

( x1 + x22,y1 + y22,z1 + z22

)

.


3.2 Sottospazi affini del piano e dello spazio 33

Si osservi che in uno spazio euclideo M è il punto medio se P1M e P2M hannostessa direzione, stessa lunghezza ma verso opposto (si veda la Figura 3.5).

x y

z

O

P1

P2M

Figura 3.5 – Punto medio di un segmento.

3.2 Sottospazi affini del piano e dello spazio

3.2.1 La retta affineUna retta affine r dello spazio euclideo è un sottospazio affine di dimensione1. Questo vuol dire che dato un sottospazio V1 di dimensione 1 dello spaziovettoriale dei vettori liberi ed un punto P0 dello spazio, esiste, in accordo conla Proposizione 1.6, un unica retta affine passante per P0 e con giacitura V1 (siveda la Figura 3.6).Lo spazio V1 è generato da un vettore u ! 0. Sia adesso P un punto dellospazio. Dalla definizione il punto P appartiene alla retta r se e solamente se ilvettore P0P è parallelo al vettore u. Vettorialmente si ha che P ∈ r se e solo seesiste un numero t ∈ R tale che

P0P = tu, equivalentemente P = P0 + tu.

Se P0 ha coordinate P0 = (x0, y0, z0) ed il vettore u ha componenti u = (l,m, n)allora un punto P = (x, y, z) appartiene ad r se e solo se esiste t ∈ R tale che



xy

z

O

u

V1

P0

rP

Figura 3.6 – Retta affine.

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x = x0 + l ty = y0 + m tz = z0 + n t

(3.5)

L’equazione P = P0+ tu prende il nome di equazione parametrica della rettaed esprime le coordinate dei punti P, appartenenti alla retta r passante per P0e parallela al vettore u, in funzione di un parametro reale t. Le componenti delvettore u si chiamano coefficienti direttori della retta r.Osservazione 3.2. L’equazione parametrica di una retta ha carattere affine, nelsenso che la sua espressione vale in coordinate affini.

3.2.2 Geometria piana della rettaNel caso si consideri solamente il piano euclideo E2 tutte le costruzioni vi-ste sino ad ora sono identiche. Bisognerà esclusivamente utilizzare i vettori{i, j} della base canonica cosí che i punti avranno solamente due coordinate.L’equazione parametrica della retta diventa, in questo caso,

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x = x0 + lty = y0 + mt .



Eliminando il parametro t dalle equazioni precedenti (supponendo che l e msiano entrambi diversi da 0) si trova

x − x0l=y − y0m. (3.6)

L’equazione (3.6) fornisce un legame tra le coordinate di un punto genericoP = (x, y) che appartiene alla retta r. Cioè un punto P = (x, y) appartiene allaretta r se e solo se le sue coordinate soddisfanno alla (3.6). La (3.6) si puòriscrivere nella forma

m(x − x0) − l(y − y0) = 0

o, equivalentemente,mx − ly − mx0 + ly0 = 0.

Se adesso poniamo a = m, b = −l e c = −mx0 + ly0 si ottiene l’equazione

ax + by + c = 0, (3.7)

che prende il nome di equazione cartesiana della retta nel piano. Andiamo adanalizzare l’equazione cartesiana della retta nei casi, esclusi in precedenza, incui l = −b o m = a siano uguali a zero:a = 0, b ! 0. In questo caso l’equazione diventa by + c = 0, cioè y = −c/b =costante. Tutti i punti della retta hanno la stessa ordinata, mentre l’ascissa (noncomparendo nell’equazione) può essere qualunque. Si tratta quindi di una rettaorizzontale (si veda la Figura 3.7 (a)). Se c = 0 si ottiene l’equazione dell’assedelle ascisse (delle x) y = 0.a ! 0, b = 0. L’equazione diventa ax + c = 0, cioè x = −c/a = costante. Inquesto caso si tratta di una retta verticale (si veda la Figura 3.7 (b)).Si osservi che data una retta di equazione cartesiana ax + by + c = 0 il vettoren = (a, b) risulta perpendicolare alla retta. Infatti, il vettore direzionale dellaretta è u = (l,m) = (−b, a) da cui segue che ⟨u, n⟩ = 0.

Retta per due punti

Dati due punti P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) esiste una ed una sola retta rpassante per P1 e P2. Per determinare l’equazione della retta r usiamo la (3.6).Essendo i punti P1 e P2 appartenenti alla retta, il vettore P1P2 = (x2−x1, y2−y1)ha la stessa direzione della retta e possiamo dunque scegliere u = (l,m) =



x

y

y=cost.

(a)

x

y

x=cost.

(b)

Figura 3.7 – (a) Retta orizzontale. (b) Retta verticale.

P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1). Infine, scegliendo P0 = P1 e sostituendo l = x2 − x1,m = y2 − y1 nella (3.6), si ottiene

x − x1x2 − x1

=y − y1y2 − y1

. (3.8)

L’equazione (3.8) è equivalente alla∣

∣

∣

∣

∣

∣

x − x1 y − y1x2 − x1 y2 − y1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

o, equivalentemente, alla∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 . (3.9)

Dalla (3.9) si deduce la

Proposizione 3.3. Tre punti P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) e P3 = (x3, y3) delpiano sono allineati se e solo se

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (3.10)

Equazione esplicita della retta

Se b = 0 abbiamo visto che l’equazione cartesiana ax + by+ c = 0 rappresentauna retta verticale. Se escludiamo questo caso, cioè se imponiamo b ! 0,



l’equazione cartesiana si può scrivere nella forma

y = −abx −

cb. (3.11)

Ponendo η = −a/b e q = −c/b, la (3.11) diventa

y = ηx + q (3.12)

che prende il nome di equazione esplicita della retta. I coefficienti η e q hannoentrambi un significato geometrico.

Significato di q. Data una retta di equazione y = ηx+q determiniamo le coordi-nate dell’intersezione della retta con l’asse delle ordinate. L’asse delle ordinateha equazione x = 0, quindi per trovare il punto di intersezione dobbiamo porrex = 0 nell’equazione della retta, ottenendo cosi il punto di coordinate (0, q).Dunque q rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’assedelle y ed è chiamata intercetta (si veda la Figura 3.8 (a)).

x

y

q

(a)

x

yP

Oθ

1

η⎫

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎭

η

(b)

Figura 3.8 – (a) Significato di q. (b) Significato di η.

Significato di η. Per comprendere il significato di η consideriamo la retta diequazione y = ηx. La retta passa per l’origine e per il punto P = (1, η) comemostra la Figura 3.8 (b). Mostriamo che il coefficiente η, chiamato coefficienteangolare, determina l’angolo θ che la retta forma con la direzione positiva del-l’asse delle x. Dalla Figura 3.8 (b), utilizzando i teoremi sui triangoli rettangoli,risulta che:

1 = ||OP|| cos θ e η = ||OP|| sin θ.



Esplicitando ||OP|| dalla prima si ottiene:

||OP|| =1

cos θche sostituita nella seconda fornisce il legame desiderato:

η =sin θcos θ

= tan θ.

Posizione di due rette e coefficiente angolare

Sia r una retta nel piano di equazione esplicita y = ηx + q. Dati due punti Pe P′ appartenenti alla retta il vettore PP′ è un vettore direzionale per la rettar. Una verifica diretta (sostituendo le coordinate e verificando che soddisfa-no all’equazione della retta) mostra che i punti P = (0, q) e P′ = (1, η + q)appartengono alla retta r, quindi possiamo scegliere come vettore direzionaleu = PP′ = (1, η).Se adesso consideriamo due rette r e r′ di equazione

r : y = ηx + q, r′ : y = η′x + q′

i corrispondenti vettori direzionali sono

u = (1, η), u′ = (1, η′).

Se le rette r ed r′ sono parallele, allora i vettori direzionali sono proporzionali,cioè esiste λ ∈ R, λ ! 0, tale che u = λu′ o equivalentemente (1, η) = (λ, λη′).Segue che λ = 1 e η = η′. Abbiamo così dimostrato che

r è parallele a r′ se e solo se η′ = η

Se le rette r ed r′ sono perpendicolari, allora i vettori direzionali sono perpen-dicolare, cioè ⟨u, u′⟩ = ⟨(1, η), (1, η′)⟩ = 1 + ηη′ = 0. Si ha quindi

r è perpendicolare a r′ se e solo se η′η = −1

Fascio di rette

Date due rette r e r′ di equazione cartesiana ax + by + c = 0 e a′x + b′y + c′ =si consideri l’equazione

Fλ,µ = λ(ax + by + c) + µ(a′x + b′y + c′) = 0



con λ, µ ∈ R e (λ, µ) ! (0, 0). Chiaramente Fλ,µ = 0 rappresenta l’equazionedi una retta per ogni valore di λ e µ. L’equazione Fλ,µ = 0 prende il nome diequazione omogenea del fascio di rette mentre le rette r ed r′ rappresentanole rette base del fascio. I fasci si dividono in due tipi:• Fasci propri. In questo caso le rette base del fascio si intersecano inun punto, detto centro del fascio e tutte le rette del fascio passano per ilcentro.

• Fasci impropri. In questo caso le rette base del fascio sono parallele, etutte le rette del fascio sono parallele alle rette base. Come caso parti-colare si trova quello in cui le rette base coincidono e quindi coincidonotutte le rette del fascio.

Tutte le rette di un fascio proprio di centro P0 = (x0, y0), tranne quella verticale,si possono descrivere dall’equazione

y − y0 = η(x − x0) (3.13)

che rappresenta la generica retta passante per P0 e con coefficiente angolare η.Noto il coefficiente angolare, comune alle rette base di un fascio improprio,quest’ultimo ha equazione del tipo

y = ηx + k ,

dove η è fissato mentre k varia.Osservazione 3.4. I fasci di rette sono utili per risolvere alcuni problemi geo-metrici. Mostriamo come utilizzare il fascio proprio per determinare, assegnatauna retta r di equazione y = ηx+q, una retta r′ ortogonale ad r e passante per ilpunto P0 = (x0, y0). Le rette passanti per P0 = (x0, y0) sono descritte dal fascioproprio y − y0 = η′(x − x0) con η′ che varia. Essendo la retta r′ ortogonale a rrisulta che η′ = −1

η, da cui l’equazione della retta cercata è

y − y0 = −1η(x − x0).

Distanza di un punto da una retta

Sia P0 = (x0, y0) un punto del piano e sia r la retta di equazione ax+by+c = 0,allora la distanza di P0 dalla retta r è data da

d(P0, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.



Per dimostrare la formula si procede nel modo seguente. Si determina la rettar′ per P0 ortogonale alla retta r. Chiamata con H l’intersezione di r e r′, si hache d(P0, r) = d(P0,H) (si veda la Figura 3.9).

x

y

H

P0

r

r′

Figura 3.9 – La distanza di P0 da r.

Sia u = (a, b). Allora la retta r haequazione cartesiana ⟨P, u⟩ + c = 0mentre r′ ha equazione parametricaP = P0 + tu. Intersecando r con r′si ottiene

0 = ⟨P0+tu, u⟩+c = ⟨P0, u⟩+c+∥u∥2t

da cui

tH = −⟨P0, u⟩ + c∥u∥2

.

Segue che

H = P0 − tHu .

Infine

d(P0,H) = ∥H − P0∥ = |tH | ∥u∥ =|⟨P0, u⟩ + c|∥u∥

=|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.

3.2.3 Esercizi1. Dati i punti A = (1, 2), B = (2,−2), C = (−3,−4) del piano euclideo siconsideri il triangolo ABC. Determinare:

• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette contenenti i latidel triangolo;• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette contenenti le me-diane del triangolo;• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette passanti per unvertice e parallele al lato opposto;• le equazioni cartesiane e parametriche delle rette passanti per unvertice ed ortogonali al lato opposto.



2. Si consideri il fascio di rette individuato dalle rette r : x − y + 1 = 0 e

s :⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x = 1 − ty = −1 + t

• Determinare la retta del fascio passante per il punto P(0,−1).• Determinare due rette del fascio ortogonali tra di loro.• Determinare una retta del fascio che formi un angolo di π/3 con laretta r.• Determinare la retta del fascio parallela alla retta 2x − y − 1 = 0.

3. Date le rette r : x − ky + 2k = 0 e s : kx − y + k = 0, determinare perquali valori di k ∈ R

• le rette sono parallele;• le rette sono ortogonali;• il loro punto comune appartiene alla retta x + y − 2 = 0.

4. Date le rette r : x + 2y + 1 = 0 e s :⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x = 1 + ty = −1 − 2t

• Determinare le bisettrici degli angoli individuati dalle due rette.• Determinare un punto su r che abbia distanza 2 da s.• Detto C è il punto di intersezione tra r ed s, determinare un puntoA su r ed un punto B su s tali che il triangolo ABC sia isoscele edabbia base BC pari a 2.

5. Determinare il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti daipunti A = (−1, 2) e B = (3,−4).

6. Dati i punti A = (1, 0), B = (2, 0) ed il fascio di rette y = k, determinareper quali valori di k ∈ R esiste un punto C sulla retta del fascio tale cheil triangolo ABC sia equilatero.

7. Si consideri il fascio di rette generato da r : x+2y+3 = 0 e s : x−y = 0.

• Determinare per quali valori di k ∈ R la retta kx − ky + 1 = 0appartiene al fascio



• Determinare due rette del fascio perpendicolari le cui intercettedistano 2.• Determinare le rette del fascio perpendicolari alle bisettrici dellerette r ed s.

8. Si definisce incentro di un poligono il punto equidistante da tutti i suoilati.

• Dimostrare che l’incentro è il punto comune di tutte le bisettricidegli angoli interni.• Dimostrare che l’incentro di un triangolo di vertici P1 = (x1, y1),P2 = (x2, y2) e P3 = (x3, y3) ha coordinate

(

a1x1 + a2x2 + a3x3(a1 + a2 + a3)

,a1y1 + a2y2 + a3y3(a1 + a2 + a3)

)

dove ai, i = 1, 2, 3, rappresenta la misura del lato opposto al verticePi.

9. Date le rette r : x + 2y + 3 = 0, r′ : x − y + 1 = 0 e r′′ : x + y + 3 = 0.

• Determinare l’area del triangolo individuato dalle tre rette.

3.2.4 Il piano affinePer definizione un piano affine α dello spazio euclideo E3 è un sottospazio affi-ne di dimensione 2. In virtù della Proposizione 1.6, un piano α è univocamentedeterminato da un sottospazio vettoriale V2 di dimensione 2, dello spazio vet-toriale dei vettori liberi, e da un punto P0 dello spazio. Siano u = (u1, u2, u3) ev = (v1, v2, v3) due vettori linearmente indipendenti della giacitura V2 (quindi{u, v} è una base di V2) e sia P0 = (x0, y0, z0). Un punto P = (x, y, z) dellospazio appartiene al piano α se e solo se il vettore P0P appartiene alla giacituraV2, ovvero se e solo se P0P è una combinazione lineare di u e v (si veda laFigura 3.10). Segue che P = (x, y, z) appartiene al piano α se e solo se esistonodue numeri reali t, s ∈ R tali che

P0P = tu + sv

o, equivalentemente,P = P0 + tu + sv. (3.14)



La (3.14) rappresenta l’equazione parametrica del piano α passante per P0 eparallelo ai vettori linearmente indipendenti u, v. Inserendo le coordinate nella(3.14) si ottiene

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x = x0 + u1t + v1sy = y0 + u2t + v2sz = z0 + u3t + v3s

Eliminiamo i parametri t ed s dall’equazione parametrica si ottiene l’equazionein x, y e z:

(u2v3 − u3v2)(x − x0) + (u3v1 − u1v3)(y − y0) + (u1v2 − u2v1)(z − z0) = 0

che, ponendo a = u2v3 − u3v2, b = u3v1 − u1v3, c = u1v2 − u2v1 e d = −ax0 −by0 − cz0, diventa

ax + by + cz + d = 0. (3.15)

La (3.15) prende il nome di equazione cartesiana del piano.Osservazione 3.5. I parametri t ed s dell’equazione parametrica (3.14) rappre-sentano le coordinate affini nel piano α rispetto al riferimento affine con originein P0 e base {u, v}. In particolare, se {u, v} sono orto-normali, allora (t, s) sonocoordinate cartesianei del piano affine α.

Equazione del piano nota la normale ed un punto

In coordinate cartesiane per descrivere un piano affine α è sufficiente fornire unun vettore n = (a, b, c), ortogonale al piano α ed un punto P0 = (x0, y0, z0) ap-partenente al piano. Infatti, il complemento ortogonale del vettore n individuala giacitura di α. In questo caso un punto P = (x, y, z) dello spazio appartieneal piano α se e solo se il vettore P0P è ortogonale ad n, cioè se ⟨P0P, n⟩ = 0. Siottiene che P = (x, y, z) appartiene al piano α se e solo se

a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.

Svolgendo i calcoli e ponendo d = −ax0 − by0 − cz0 si ottiene

ax + by + cz + d = 0. (3.16)

Si osservi che i coefficienti a, b, c nella (3.15) sono le componenti del prodottovettoriale u ∧ v il quale risulta ortogonale al piano α in accordo con la (3.16).



xy

z

O

uv

V2

α

P

P0

Figura 3.10 – Piano affine passante per P0 e parallelo ai vettori u e v.

Osservazione 3.6. L’equazione parametrica (3.14) del piano e l’equazione car-tesiana (3.15) hanno carattere affine, mentre il significato geometrico dei coef-ficienti a, b, c nella (3.15) come le componenti di un vettore normale al pianoha carattere euclideo.

Equazione del piano per tre punti

Per determinare un piano nello spazio sono necessari tre punti non allineatiP1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2) e P3 = (x3, y3, z3). Infatti si possono scegliereu = P1P2, v = P1P3 e P0 = P1 i quali rappresentano due vettori paralleli alpiano linearmente indipendenti ed un punto appartenente al piano. Volendoscrivere l’equazione cartesiana si può calcolare n come il prodotto vettorialetra u e v. Risulta quindi che il piano contenente tre punti non allineati P1 =(x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2) e P3 = (x3, y3, z3) ha equazione cartesiana

⟨P − P1, P1P2 ∧ P1P3⟩ = 0



che, inserendo le coordinate e scrivendo il prodotto misto come un determinan-te, diventa

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x − x1 y − y1 z − z1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 (3.17)

o, equivalentemente,∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (3.18)

Dalla (3.18) segue immediatamente laProposizione 3.7. Quattro punti P1 = (x1, y1, z1), P2 = (x2, y2, z2), P3 =(x3, y3, z3) e P4 = (x4, y4, z4) dello spazio sono complanari se e solo se

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1x4 y4 z4 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (3.19)

Osservazione 3.8. Si noti che l’equazione (3.18) rappresenta l’equazione car-tesiana del piano affine contenente i tre punti P1, P2 e P3 anche rispetto acoordinate affini qualsiasi. Il lettore dovrebbe fare, individualmente, tutto ilragionamento per convincersi di questo fatto.

Equazione normale del piano

Sia n un vettore unitario, allora n = (cos γ1, cos γ2, cos γ3), dove (γ1, γ2, γ3)sono i coseni direttori di n (si veda la (3.4)). L’equazione del piano (3.14)diventa

cos γ1 x + cos γ2 y + cos γ3 z − p = 0 (3.20)dove p rappresenta il termine noto. Per convenzione si orienta n in modo taleche il termine noto p sia positivo. L’equazione (3.20), con l’orientazione di nsopra descritta, prende il nome di equazione normale del piano.Osservazione 3.9. Nel piano un’equazione del tipo

cos γ1 x + cos γ2 y − p = 0 (3.21)

rappresenta l’equazione normale di una retta.



Equazione cartesiana della retta nello spazio

Un’equazione di primo grado in x, y e z rappresenta un piano nello spazio,cosí come un’equazione di primo grado in x, y nel piano rappresenta una retta.Attenzione che un’equazione di primo grado in x, y nello spazio rappresentasempre un piano. Per esempio, l’equazione x − y = 0 rappresenta una retta nelpiano mentre rappresenta un piano nello spazio.Per rappresentare una retta nello spazio o si utilizza l’equazione parametrica(3.5) o si pensa la retta come intersezione di due piani. Infatti, da una partela Proposizione 1.10 garantisce che l’intersezione di due piani affini non coin-cidenti e non paralleli è una retta affine. D’altra parte, data una retta r dellospazio, individuata da un punto P0 ed un vettore u, per ogni vettore v linear-mente indipendente con u il piano α passante per P0 e giacitura generata da ue v contiene la retta r.Segue che l’equazione cartesiana di una retta dello spazio è data come interse-zione di due piani incidenti α e α′, cioè

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

ax + by + cz + d = 0a′x + b′y + c′z + d′ = 0.

(3.22)

Dal punto di vista algebrico il fatto che i due piani siano incidenti vuol dire chela matrice dei coefficienti del sistema (3.22)

(

a b ca′ b′ c′

)

ha rango 2, cosí che il sistema ammetta ∞3−2=1 soluzioni, cioè infiniti puntiche formano una retta affine. Le soluzioni del sistema forniranno le coordinatedei punti della retta in funzione di un parametro, cioè l’equazione parametricadella retta (questa costruzione ha valore affine).Dal punto di vista geometrico (cioè considerando coordinate cartesiane), datal’equazione cartesiana (3.22) di una retta, per trovare l’equazione parametricaservono un punto P0 = (x0, y0, z0) ed un vettore u = (l,m, n) parallelo alla retta.Per determinare un punto P0 basta trovare una soluzione particolare del sistema(3.22) mentre la direzione della retta è data da u = n ∧ n′ dove n = (a, b, c) edn′ = (a′, b′, c′) sono i vettori normali ai piani α ed α′ rispettivamente (si vedala Figura 3.11).



r

nn′

n∧n′

α

α′

Figura 3.11 – Retta affine come intersezione di due piani.

Viceversa, per passare dalla forma parametrica a quella cartesiana basta elimi-nare il parametro t dalla (3.5). Se l,m, n sono tutti diversi da zero si ottiene

x − x0l=y − y0m=z − z0n

che può essere riscritta, per esempio, nella forma⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

m(x − x0) = l(y − y0)n(y − y0) = m(z − z0)

dove ciascuna equazione rappresenta un piano dello spazio. Se uno dei coef-ficienti direttori della retta è zero, per esempio l = 0, allora la retta appartieneal piano x = x0 e l’altro piano si ottiene eliminando il parametro dalle restantidue equazioni. Se due coefficienti direttori della retta sono zero, per esempiol = m = 0, allora la retta è intersezione dei due piani x = x0 e y = y0.

Terminiamo la sezione con la seguente

Proposizione 3.10. (a) Un piano affine α nello spazio ha un’equazione del-la forma (3.16) dove almeno uno dei coefficienti a, b, c è diverso da zero.Viceversa, un’equazione del tipo (3.16), dove non tutti i coefficienti a, b, csono uguali a zero, è l’equazione di un piano.



(b) Nello spazio una qualunque retta r è rappresentata da un sistema del tipo(3.22) dove la matrice dei coefficienti ha rango 2. Viceversa, ogni siste-ma del tipo (3.22), con matrice dei coefficienti di rango 2, rappresentauna retta dello spazio.

(c) Nel piano, una retta ha un’equazione generale del tipo (3.7) con a, b nonentrambi nulli. Viceversa un’equazione del tipo (3.7) rappresenta unaretta nel piano.

Dimostrazione. Dimostriamo solo (a) e lasciamo come esercizio (b) e (c). Ab-biamo già visto che un piano ha un’equazione cartesiana del tipo (3.16). Di-mostriamo adesso che un’equazione del tipo (3.16), dove non tutti i coefficientia, b, c sono uguali a zero, rappresenta l’equazione di un piano. Supponiamo chesia c ! 0, allora, risolvendo in z, si trova

z = −(a/c)x − (b/c)y − (d/c) = mx + ny + p (3.23)

Segue che i tre punti

A = (0, 0, p), B = (1, 0,m + p), C = (0, 1, n + p)

soddisfano la (3.23). Inoltre, essendo AB = (1, 0,m) e AC = (0, 1, n) linear-mente indipendenti, segue che i tre punti non sono allineati. Calcolando, tra-mite la (3.18), l’equazione del piano contenente A, B e C si trova la (3.23) equindi la (3.16). !

3.3 Problemi geometrici sulle rette ed i piani nellospazio

In questa sezione risolviamo una serie di problemi geometrici, che trovanosvariate applicazioni, riguardanti le rette ed i piani nello spazio.

Diastanza di un punto da un piano

Con un calcolo analogo a quello visto nel Pargrafo 3.2.2, si ottiene che la di-stanza di un punto P0 = (x0, y0, z0) dal piano α di equazione ax+by+cz+d = 0è

d(P0,α) =|ax0 + by0 + cz0 + c|√

a2 + b2 + c2.


3.3 Problemi geometrici sulle rette ed i piani nello spazio 49

Posizione reciproca di una retta ed un piano

Siano r ed α una retta ed un piano dello spazio. Sia u = (l,m, n) il vettoredirezionale della retta r e sia n = (a, b, c) il vettore normale al piano α. Sipresentano le seguenti situazioni (si veda la Figura 3.12).

r

n

u

α

(a)

r

n

u

α

(b)

Figura 3.12 – Retta incidente (a). Retta parallela (b).

• La retta r è incidente il piano. In questo caso il vettore u forma con n unangolo diverso da π/2 da cui ⟨u, n⟩ ! 0;

• La retta r è parallela al piano. In questo caso il vettore u è perpendicolaread n, da cui ⟨u, n⟩ = 0. Si hanno i seguenti sottocasi:

– r è contenuta nel piano α, basta verificare che un punto della retta,e quindi tutti, appartenga al piano;

– r non ha punti in comune con il piano α, basta verificare che unpunto qualsiasi della retta non appartenga al piano.

Dal punto di vista algebrico, se ax + by + cz + d = 0 è l’equazione cartesianadel piano α, mentre

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

a′x + b′y + c′z + d′ = 0a′′x + b′′y + c′′z + d′′ = 0

rappresenta l’equazione cartesiana della retta r, discutendo il sistema⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

ax + by + cz + d = 0a′x + b′y + c′z + d′ = 0a′′x + b′′y + c′′z + d′′ = 0,

(3.24)

si trova:



• la retta r è incidente il piano α se e solo se il sistema (3.24) ammetteun’unica soluzione, cioè se e solo se

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b ca′ b′ c′a′′ b′′ c′′

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

! 0

• la retta r è contenuta nel piano α se e solo se il sistema (3.24) ammetteinfinite soluzioni, cioè

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b ca′ b′ c′a′′ b′′ c′′

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

ed il rango della matrice completa è 2;

• la retta r non ha punti in comune con il piano α se e solo se il sistema(3.24) non è compatibile.

Osservazione 3.11. Si tenga conto che il rango della matrice dei coefficienti delsistema (3.24) è sempre maggiore di o uguale a 2 in quanto le ultime due righesono le componenti dei vettori normali ai piani la cui intersezione determina laretta r.

Fasci di Piani

Dati due piani α e α′ di equazione cartesiana ax+ by+ cz+ d = 0 e a′x+ b′y+c′z + d′ = si consideri l’equazione

Fλ,µ = λ(ax + by + cz + d) + µ(a′x + b′y + c′z + d′) = 0

con λ, µ ∈ R. Chiaramente Fλ,µ = 0 rappresenta l’equazione di un piano perogni valore di λ e µ. L’equazione Fλ,µ = 0 prende il nome di equazione omo-genea del fascio di piani mentre i piani α ed α′ rappresentano i piani base delfascio. I fasci si dividono in due tipi (si veda la Figura 3.13):

• Fasci propri. In questo caso i piani base del fascio si intersecano in unaretta, detta asse del fascio e tutti i piani del fascio contengono l’asse.

• Fasci impropri. In questo caso i piani base del fascio sono paralleli, etutti i piani del fascio sono paralleli ai piani base. Come caso particolaresi trova quello in cui piani base coincidono e quindi coincidono tutti ipiani del fascio.



Si osservi che un piano del fascio è determinato da una coppia (λ, µ) a meno diun fattore di proporzionalità. Segue che tutti i piani del fascio, tranne il pianoα′, possono essere descritti dall’equazione non omogenea

Fµ = (ax + by + cz + d) + µ(a′x + b′y + c′z + d′) = 0.

(a) (b)

Figura 3.13 – Fascio proprio (a). Fascio improprio (b).

Il procedimento appena visto si può generalizzare considerando combinazionidi tre piani. Siano α, α′ e α′′ tre piani di equazione cartesiana ax+by+cz+d = 0,a′x+ b′y+ c′z+ d′ = 0 e a′′x+ b′′y+ c′′z+ d′′ = 0 e si si consideri l’equazione

Fλ,µ,ν = λ(ax+by+cz+d)+µ(a′x+b′y+c′z+d′)+ν(a′′x+b′′y+c′′z+d′′) = 0

con λ, µ, ν ∈ R. L’equazione Fλ,µ,ν = 0 prende il nome di equazione della stelladi piani. Le stelle di piani si dividono in quattro tipi (si veda la Figura 3.14):

• Stella propria. I tre piani base del fascio si intersecano in un punto,detto centro della stella e tutti i piani del fascio passano per il centro.

• Stella impropria. I tre piani del fascio sono paralleli ad una stessa rettama non contengono una retta comune. In questo caso tutti i piani dellastella sono paralleli alla stessa retta.

• Fascio proprio. I tre piani contengono una stessa retta. In questo casouno dei piani base appartine al fascio generato dai restanti due e la stellasi riduce al fascio proprio di due piani.

• Fascio improprio. I tre piani sono paralleli, e tutti i piani della stellasono paralleli ai piani base.



(a) (b)

Figura 3.14 – Stella propria (a). Stella impropria (b).

Posizione reciproca di due rette

Siano r ed r′ due rette nello spazio euclideo tridimensionale. Le due rette sipossono trovare in una delle seguenti posizioni reciproche:

• r ed r′ sono complanari. In questo caso si hanno i seguenti sottocasi:

– r è parallela ad r′;– r è incidente ad r′.

• r ed r′ non sono complanari. In questo caso si dice che le due rette sonosghembe.

Se le rette sono date come intersezione di due piani per determinare la loroposizione reciproca si può utilizzare la seguente

Proposizione 3.12. Siano

r :⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

ax + by + cz + d = 0a′x + b′y + c′z + d′ = 0

r′ :⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

a′′x + b′′y + c′′z + d′′ = 0a′′′x + b′′′y + c′′′z + d′′′ = 0.

le equazioni cartesiane delle rette r = α ∩ α′ e r′ = α′′ ∩ α′′′ . Allora r ed r′sono complanari se e solo se

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c da′ b′ c′ d′a′′ b′′ c′′ d′′a′′′ b′′′ c′′′ d′′′

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0. (3.25)



Dimostrazione. Se le rette sono complanari esiste un piano β che le contieneentrambe. Segue che β appartiene sia al fascio generato da α e α′ che al fasciogenerato da α′′ e α′′′. Sostituendo nella (3.25) alla seconda riga la combinazio-ne lineare delle prime due righe che fornisce i coefficienti di β e alla terza rigala combinazione lineare delle ultime due righe che fornisce i coefficienti di β,si trova una matrice con due righe uguali il cui determinante è necessariamentezero. Supponiamo adesso che valga la (3.25) e mostriamo che le rette sonocomplanari. Dalla (3.25), segue che una delle righe, per esempio la prima, ècombinazione lineare delle restanti tre. Esistono quindi λ′, λ′′, λ′′′ ∈ R tali che

α = λ′α′ + λ′′α′′ + λ′′′α′′′,

o, equivalentementeα − λ′α′ = λ′′α′′ + λ′′′α′′′.

Quest’ultima condizione implica che esiste un piano appartenente sia al fasciogenerato da α e α′ che al fascio generato da α′′ e α′′′ contenente le due rette. !

r

r′

P0

P′0

u

u′

Figura 3.15 – Retta sghembe.

Se le rette sono descritte in forma parametri-ca

r : P = P0 + tu , r′ : P = P′0 + tu′

con P0 = (x0, y0, z0), P′0 = (x′0, y′0, z′0), u =(l,m, n) e u′ = (l′,m′, n′) è immediato verifi-care, si veda la Figura 3.15, che le rette sonocomplanari se e solo se i vettori u, u′ e P′0−P0sono complanari, ovvero, se e solo se

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

l m nl′ m′ n′

x′0 − x0 y′0 − y0 y′0 − y0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 . (3.26)



Distanza di un punto da una retta

rP0

P

u

Figura 3.16 – Distanza di un puntoda una retta.

Sia P = (x, y, z) un punto dello spazio esia r una retta data in forma parametrica daP = P0 + tu. Per calcolare la distanza di Pdalla retta r si procede nel modo seguente.Si considerano i vettori u e P0P. Essendo lanorma del prodotto vettoriale tra u e P0P pa-ri all’area del parallelogramma generato daivettori u e P0P, segue che la distanza tra P ela retta r è l’altezza del parallelogramma (siveda la Figura 3.16), da cui

d(P, r) =∥u ∧ P0P∥∥u∥

(3.27)

Distanza tra due rette

r

r′

r′′

Figura 3.17 – Retta perpendicolaread r e r′.

Date due rette r ed r′ la distanza tra r ed r′ èdefinita come la minima distanza tra un puntodi r ed uno di r′. Se le rette sono complanarila loro distanza vale zero nel caso siano inci-denti mentre è data dalla distanza di un puntoqualsiasi della retta r dalla retta r′ nel caso ledue rette siano parallele. Se le due rette sonosghembe non è difficile convincersi che la di-stanza tra le due rette è la distanza tra i puntidi intersezione della retta r′′, perpendicolaresia ad r che ad r′, con le rette r ed r′ (si vedala Figura 3.17).Per calcolare tale distanza si può procederein due modi. Il primo metodo consiste nel calcolare la distanza di un puntoqualsiasi della retta r′ dal piano passante per r e parallelo alla retta r′ (si vedala Figura 3.18 (b)). Il secondo metodo si basa sul seguente ragionamento. Ladistanza tra le due rette è pari alla lunghezza del vettore w congiungente i puntidi intersezione delle rette r ed r′ con la perpendicolare comune r′′. Tale vettoreè parallelo al vettore u ∧ u′, dove u ed u′ sono i vettori direzionali delle rette red r′ rispettivamente. Presi due punti P0 e P′0 sulle rette r ed r′ rispettivamente,



per costruzione, la proiezione ortogonale di P0P′0 su u∧u′ è il vettore w cercatola cui lunghezza è pari alla distanza tra le due rette r ed r′ (si veda la Figura 3.18(a)). Segue che

d(r, r′) =|⟨P0P′0, u ∧ u′⟩|∥u ∧ u′∥

(3.28)

u∧u′

r

r′

P0

P′0

u

u′

(a)

rα

r′

(b)

Figura 3.18 – Distanza tra due retta sghembe.

Distanza di due punti su una retta

Sia r una retta di equazione parametrica P(t) = P0 + tu. Siano P1 = P(t1) eP2 = P(t2) due punti sulla retta r corrispondenti ai valori del parametro t1 e t2.Un calcolo diretto mostra che

d(P1, P2) = ∥P0 + t2u − (P0 + t1u)∥ = ∥(t2 − t1)u∥ = |t2 − t1| ∥u∥. (3.29)

In particolare, se si sceglie il vettore direzionale della retta unitario, cioè ∥u∥ =1, si ha

d(P1, P2) = |t2 − t1|.

Simmetrico di un punto rispetto ad una retta o ad un piano

Data una retta r del piano euclideo ed un punto P " r diciamo che P′ è ilsimmetrico di P rispetto alla retta r se PP′ ⊥ r ed il loro punto medio M ∈ r.Fissato un sistema cartesiano sul piano sia ax+by+c = 0 l’equazione cartesianadella retta r. Sia P0 = (x0, y0) un punto del piano. Il simmetrico P′0 giace sullaretta per P0, perpendicolare ad r, e soddisfa alla condizione d(P0, r) = d(P′0, r).La retta r′ per P0 perpendicolare ad r ha equazione parametrica P(t) = P0 + tn



dove n = (a, b). Sia t1 il valore del parametro per il quale la retta r′ interseca laretta r, cioè P(t1) ∈ r. Allora dalla (3.29) segue che il simmetrico P′0 del puntoP0 è dato da

P′0 = P(2t1).

Allo stesso modo si definisce e si calcola il simmetrico di un punto dello spazioeuclideo rispetto ad un piano di equazione cartesiana ax + by + cz + d = 0.

Problemi di separazione relativi a rette e piani

Proposizione 3.13. Siano P1 e P2 due punti del piano o dello spazio. Un puntoP appartiene al segmento di estremi P1 e P2 se e solo se

P = τP1 + (1 − τ)P2

con 0 ≤ τ ≤ 1.

Dimostrazione. L’equazione parametrica della retta passante per P1 e P2 è datada

P = P2 + t(P1 − P2) = tP1 + (1 − t)P2.

Per concludere la dimostrazione bisogna verificare che P appartiene al segmen-to se e solo se 0 ≤ t ≤ 1. Se 0 ≤ t ≤ 1 segue che d(P(t), P2) = t∥P1 − P2∥ ≤∥P1 − P2∥. Allo stesso modo si dimostra che d(P(t), P1) ≤ ∥P1 − P2∥. QuindiP(t) appartiene al segmento. Viceversa se P(t) appartiene al segmento si hache |t|∥P1 − P2∥ = d(P(t), P2) ≤ ∥P1 − P2∥ da cui |t| ≤ 1. Essendo P(0) = P2e P(1) = P1 segue immediatamente che i punti P(t) per valori di t negativi nonappartengono al segmento P1, P2, da cui 0 ≤ t ≤ 1. !

In generale si dice che un punto P è combinazione convessa dei punti P1 e P2se

P = λ1P1 + λ2P2con 0 ≤ λ1, λ2 ≤ 1 e λ1 + λ2 = 1. Generalizzando, dati n punti P1, . . . , Pn sidefinisce combinazione convessa degli n punti una combinazione

P =n

∑

i=1λiPi

con 0 ≤ λ1, . . . , λn ≤ 1 e∑ni=1 λi = 1.



Un fatto geometrico interessante è che una retta r divide un piano in due parti,chiamati semi-piani, in modo che due punti P1 e P2 appartengono a due semi-piani distinti se la retta r interseca il segmento P1P2 in un suo punto interno.Allo stesso modo un piano α divide lo spazio in due semi-spazi. Per determi-nare se due punti dati appartengono allo stesso semi-spazio (o semi-piano nelcaso della retta) si può utilizzare il seguente criterio

Proposizione 3.14. Siano P1 e P2 due punti dello spazio (del piano) e sia

F(x, y, z) := ax + by + cz + d = 0

l’equazione affine di un piano α (F(x, y) := ax + by + c = 0 nel caso dellaretta). Allora i due punti P1 e P2 appartengono a due semi-spazi (semi-piani)differenti se e solo se

F(P1) F(P2) < 0.

Dimostrazione. Un punto P appartenente alla retta per P1 e P2 se esiste t ∈ Rtale che

P = tP1 + (1 − t)P2.

La funzione F si può scrivere come F(x, y, z) = A(x, y, z) + d con A(x, y, z) =ax + by + cz. Si osservi che A : R3 → R è lineare. Segue che

F(P) = A(P) + d = A[tP1 + (1 − t)P2] + d = tA(P1) + (1 − t)A(P2) + d= t[A(P1) + d] + (1 − t)[A(P2) + d]= tF(P1) + (1 − t)F(P2).

Un punto P della retta per P1 e P2 appartiene al piano α se e solo solo seF(P) = 0, cioè se e solo se P = P(t) con t soluzione dell’equazione

tF(P1) + (1 − t)F(P2) = 0. (3.30)

Con un calcolo diretto si può mostre che la soluzione t della (3.30) soddisfa0 < t < 1 se e solo se F(P1) F(P2) < 0. !

3.3.1 Esercizi1. Sia r la retta dello spazio euclideo E3 passante per due punti P1 e P2 esia P0 un terzo punto dello spazio. Dimostrare che



• la retta r ha equazione parametrica P = P1 + t(P2 − P1);• la distanza di P0 dalla retta r è pari alla distanza di P0 dal puntodella retta r ottenuto per

t =< P0 − P1, P2 − P1 >< P2 − P1, P2 − P1 >

•

d(P0, r)2 =∥P2 − P1∥2∥P0 − P1∥2− < P2 − P1, P0 − P1 >2

|P2 − P1|2

2. Sia P un punto interno al triangolo di vertici A, B,C ∈ E3. Dimostrareche

P = rA + sB + tCdove r + s + t = 1, r, s, t > 0, r, s, t ∈ R.

3. Dati i punti P1 = (2, 1, 4), P2 = (1, k, 2) e P3 = (3, 3, 6), k ∈ R:

• determinare per quali valori di k i punti sono allineati;• nel caso non siano allineati si trovi l’equazione del piano che licontiene;• si trovi l’equazione cartesiana e parametrica delle rette ri j passantiper Pi e Pj, i < j, e si determini al variare di k il coseno dell’angoloformato da r12 e r13.

4. Se A = (2, 3, 1) e B = (3, 7, 4), trovare un punto P sulla retta per AB taleche |PA|/|PB| = 2/5.

5. Sia r la retta per A = (1, 2, 3) parallela alla retta per B = (2, 2, 0) e C =(4, 1, 7) e sia r′ la retta per E = (1, 1, 8) ed F = (10, 1, 11). Dimostrareche r e r′ si intersecano e trovare il punto di intersezione.

6. Date le rete, k ∈ R,

rk =⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x + y + z + k = 0x + 2 = 0

r′k =⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x + kz + 1 = 0kx + z + 1 = 0



• determinare l’insieme S ⊂ R dei valori di k per i quali rk e r′k sianorealmente due rette;• determinare per quali valori di k ∈ S le rette sono complanari;• determinare al variare di k ∈ S la distanza tra le due rette;• nel caso in cui siano complanari determinare l’equazione del pianoche le contiene, questo piano è sempre unico?

7. Lo stesso esercizio del punto precedente ma con

rk =⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x + y + k = 0y − kz − 1 = 0

r′k =⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x + kz + 2 = 0ky − kz − 1 = 0

8. Data la retta r passante per i punti P1 = (1, 2, 3) e P2 = (0, 1, 4). Sidetermini:

• l’equazione cartesiana e parametrica del piano α perpendicolarealla retta r e passante per P1;• l’equazione cartesiana e parametrica del piano α contenente la rettar e tale che α tagli il piano x − y = 0 sotto un angolo di 30o.

9. Dato il piano α di equazione x − y − z + 1 = 0 e la retta

r =

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x = −1 + ty = 2tz = −t

Dimostrare che r ⊂ α e scrivere l’equazione di r rispetto a delle coordi-nate cartesiane su α.


4Classificazione delleisometrie del piano edello spazioIn questo capitolo daremo una classificazione completa di tutte le isometrie(trasformazioni euclidee) del piano e dello spazio. Sia ϕ : E → E una trasfor-mazione euclidea da uno spazio euclideo in se stesso. Fissato un riferimento,cartesiano abbiamo visto nel paragrafo 2.2.4 che la trasformazione euclidea siscrive, in coordinate, come

X′ = MX + β

dove M = (mij) rappresenta una matrice ortogonale e β un vettore colonna. Inpiù la trasformazione euclidea induce una trasformazione ortogonale

f : V → V,

dove V indica la giacitura di E.Per comprendere le trasformazioni euclidee iniziamo dando la classificazionedelle trasformazioni ortogonali.


4.1 Trasformazioni ortogonali di uno spazio di dimensione 2 61

4.1 Trasformazioni ortogonali di uno spazio di di-mensione 2

Sia V2 lo spazio vettoriale dei vettori liberi del piano e sia f : V2 → V2 unatrasformazione ortogonale, cioè tale che ⟨ f (v), f (w)⟩ = ⟨v,w⟩, per ogni v,w ∈V2. Sia B = {i, j} la base canonica orientata positivamente di V2 ed andiamo adeterminare la matrice associata ad f rispetto alla base B. Si hanno le seguentipossibilità:

• la base { f (i), f (j)} è orientata positivamente (si veda la Figura 4.1 (a));

• la base { f (i), f (j)} è orientata negativamente (si veda la Figura 4.1 (b)).

i

jf(i)f(j)

θ

(a)

i

jf(i)

f(j)

θ

(b)

Figura 4.1 – La base { f (i), f (j)}.

Nel primo caso, chiamato con θ l’angolo tra i e f (i), si ha:

f (i) = ⟨ f (i), i⟩ i + ⟨ f (i), j⟩ j = cos θ i + cos(π/2 − θ) j = cos θ i + sin θ j,

mentre

f (j) = ⟨ f (j), i⟩ i + ⟨ f (j), j⟩ j = cos(π/2 + θ) i + cos(θ) j = − sin θ i + cos θ j.

Segue che la matrice associata ad una trasformazione ortogonale che conserval’orientazione della base è

M+ =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

.


62 Classificazione delle isometrie del piano e dello spazio

Nel secondo caso, cioè quando l’orientazione non è conservata, un calcolodiretto (si utilizzi la Figura 4.1 (b)) mostra che

f (i) = cos θ i + sin θ jf (j) = sin θ i − cos θ j

.

Segue che la matrice associata ad una trasformazione ortogonale che non con-serva l’orientazione della base è

M− =(

cos θ sin θsin θ − cos θ

)

.

Osservazione 4.1. Si osservi che det(M+) = 1 mentre det(M−) = −1. Talerisultato non è sorprendente visto che, dalla regola di Binet, il determinante diuna matrice ortogonale è sempre uguale a ±1.Le matrici ortogonali con determinante uguale a 1 formano un sottogruppodel gruppo ortogonale, chiamato gruppo ortogonale speciale e denotato conSO(n). Lasciamo per esercizio la verifica che formano un sottogruppo. Di-versamente le matrici ortogonali con determinante uguale a −1 non formanoun sottogruppo, basti pensare che il prodotto di due matrici con determinantenegativo ha determinante positivo.

Definizione 4.2. Un vettore u ∈ V2 si dice invariante per f se f (u) = u.

Sia adesso U l’insieme dei vettori invarianti. È facile verificare cheU definisceun sottospazio vettoriale di V2 (U è l’autospazio corrispondente all’autovalore1).Sia adesso f una trasformazione ortogonale la cui matrice associata sia M+. Seθ ! 0, cioè se f ! Id, un calcolo diretto mostra che lo spazio U = {0}. Infatti,l’equazione caratteristica diventa, in questo caso,

λ2 − 2 cos θλ + 1 = 0,

le cui soluzioni sono reali se e solo se θ = 0. Quindi non esiste l’autovalore1. Per comprendere la geometria della trasformazione f con matrice associataM+ calcoliamo l’angolo tra v e f (v). Se v = v1i + v2j, si ha

cos!v f (v) =⟨v, f (v)⟩∥v∥2

=⟨v1i + v2j, (v1 cos θ − v2 sin θ)i + (v1 sin θ + v2 cos θ)j⟩

∥v∥2

=∥v∥2 cos θ∥v∥2

= cos θ.


4.1 Trasformazioni ortogonali di uno spazio di dimensione 2 63

Segue che la trasformazione f ruota il vettore v di un angolo θ. Si osservi chela rotazione avviene, in questo caso, in senso antiorario. Se si cambia θ con −θla matrice M+ diventa

M+ =(

cos θ sin θ− sin θ cos θ

)

che rappresenta una rotazione in senso orario.

Vediamo adesso il caso delle trasformazioni ortogonali con matrice associataM−. In questo caso il polinomio caratteristico è

λ2 − 1 = 0,

le cui soluzioni sono λ = ±1. L’autospazio corrispondente all’autovalore 1 èil sottospazio U dei vettori invarianti. Un calcolo diretto mostra che una basedi U è data dal vettore u = cos θ/2 i + sin θ/2 j. Sia adesso v un versore del-l’autospazio relativo all’autovalore −1. Si osservi che, essendo la matrice M−simmetrica, v ⊥ u (qui stiamo utilizzando il fatto che autospazi relativi ad auto-valori diversi di una matrice simmetrica sono perpendicolari, la dimostrazioneè lasciata per esercizio). I vettori {u, v} formano una nuova base orto-normaledi V2 (si veda la Figura 4.2 (a)). Se adesso scriviamo la matrice associata ad frispetto alla base {u, v} si trova

S =(

1 00 −1

)

.

Sia adesso w = w1u + w2v un altro vettore di V2, si trova f (w) = w1u − w2v dacui segue immediatamente che f (w) è il simmetrico ortogonale di w rispetto adu (si veda la Figura 4.2 (b)).

i

j f(i)

u

v

θ/2

(a)f(w)

w

u

v

(b)

Figura 4.2 – La base {u, v}.

Abbiamo così dimostrato il seguente



Teorema 4.3. Sia f una trasformazione ortogonale di V2. Allora f è una delleseguenti:

(a) la trasformazione identica;

(b) una rotazione di un angolo θ la cui matrice associata rispetto alla base{i, j} è:

Rθ =(


)

;

(c) una simmetria ortogonale rispetto ad un vettore u ∈ V2 con f (u) = u, lacui matrice associata rispetto alla base {i, j} è:

(

cos θ sin θsin θ − cos θ

)

;

mentre la matrice associata rispetto alla base {u, v} con v ⊥ u (∥u∥ =∥v∥ = 1) è:

S 0 =(

1 00 −1

)

.

4.2 Classificazione delle isometrie del pianoSia E2 il piano euclideo. Rispetto ad un riferimento cartesiano (O, {i, j}) un’i-sometria ϕ : E2 → E2 si scrive, in coordinate, come

(

x′y′)

=

(

m11 m12m21 m22

) (

xy

)

+

(

β1β2

)

(4.1)

dove la matrice M = (mij) è una matrice ortogonale mentre β = (β1, β2) è unvettore del piano.Chiamiamo movimento diretto del piano un’isometria la cui matrice ortogo-nale associata ha determinante uguale a 1.Un punto del piano P si dice fisso, rispetto all’isometria ϕ, se ϕ(P) = P.Dal Teorema 4.3 ci sono tre tipi di isometrie.


4.2 Classificazione delle isometrie del piano 65

Traslazioni

Se M = I l’isometria è una traslazione in direzione del vettore β = (β1, β2)ed è un movimento diretto (si veda la Figura 4.3 (a)). In questo caso la (4.1)diventa

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x′ = x + β1y′ = y + β2.

o, in forma matriciale,P′ = Tβ(P),

dove con Tβ : E2 → E2 indichiamo la traslazione in direzione β. È facileverificare che una traslazione non ha punti fissi tranne nel caso in cui β = 0 el’isometria diventa l’applicazione identità.

Rotazioni

Supponiamo che la matrice M sia

Rθ =(


)

con θ ! 0. La (4.1) diventa⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x′ = x cos θ − y sin θ + β1y′ = x sin θ + y cos θ + β2.

(4.2)

Cerchiamo i punti fissi. Questi sono soluzione del sistema⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x = x cos θ − y sin θ + β1y = x sin θ + y cos θ + β2,

che è equivalente al sistema⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

(1 − cos θ)x + sin θ y = β1− sin θ x + (1 − cos θ) y = β2.

(4.3)

Essendo il determinante della matrice dei coefficienti 2(1−cos θ) segue che perθ ! 0 esiste un’unica soluzione. Sia quindi P0 = (x0, y0) l’unico punto fisso.Dalla (4.3) si ottiene

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

β1 = (1 − cos θ)x0 + sin θ y0β2 = − sin θ x0 + (1 − cos θ) y0.



Tenendo conto di queste ultime la (4.2) diventa, in forma matriciale,

P′ = P0 + Rθ(P − P0)

che rappresenta una rotazione di un angolo θ attorno al punto P0 (si veda laFigura 4.3 (b)).La rotazione attorno ad un punto P0 si può scomporre come: una traslazione indirezione di −P0, in modo che P0 coincida con l’origine, seguita da una rota-zione di un angolo θ attorno all’origine, seguita da una traslazione in direzionedi P0. In formula, indicata con RP0θ la rotazione attorno ad un punto P0, si ha

P′ = RP0θ (P) = TP0 ◦ Rθ ◦ T−P0(P)

β

(a)

P0θ

(b)

Figura 4.3 – Una traslazione (a). Una rotazione (b).

Simmetrie e glissosimmetrie

Supponiamo che la matrice ortogonale M corrisponda ad una simmetria or-togonale. In questo caso conviene fissare il riferimento cartesiano (O, {u, v})dove O è un punto del piano, u è il versore invariante per M e v un versore per-pendicolare ad u. Rispetto al riferimento (O, {u, v}) l’isometria (4.1) si scrivecome

(

x′y′)

=

(

1 00 −1

) (

xy

)

+

(

β1β2

)

da cui⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x′ = x + β1y′ = −y + β2.


4.2 Classificazione delle isometrie del piano 67

L’immagine del punto di coordinate (x, β2/2) è (x+β1, β2/2). Segue che i puntidella retta r di equazione y = β2/2 sono trasformati in punti della stessa retta.Si presentano due sottocasi.Se β1 = 0 tutti i punti della retta r sono fissi e l’isometria è una simmetriaortogonale rispetto alla retta r, Figura 4.4 (a).Se β1 ! 0, nessun punto è fisso e l’isometria si può pensare come la compo-sizione di una simmetria S , rispetto alla retta r, seguita da una traslazione Tparallela alla retta stessa, si veda la Figura 4.4 (b). Tale isometria è chiamataglissosimmetria. In formula

(x, y) S6−→ (x,−y + β2)

T6−→ (x + β1,−y + β2)

(a)

β

(b)

Figura 4.4 – Una simmetria (a). Una glissosimmetria (b).

Esempio 4.4. Da un punto di vista operativo se si vuole determinare la sim-metria rispetto ad una retta r la cui equazione cartesiana, rispetto al sistema diriferimento cartesiano (O, {i, j}), è ax + by + c = 0 si opera nel modo seguen-te. Si sceglie un punto P0 ∈ r e si applica la traslazione T−P0 in modo che laretta passi per l’origine. Si cambiano le coordinate rispetto al riferimento {u, v}dove u è un versore parallelo alla retta r mentre v un versore perpendicolare au. Si opera la simmetria S 0. Si ricambiano le coordinate rispetto al riferimentooriginale (O, {i, j}) ed infine si trasla con TP0 . I vettori u, v sono dati da

u =1

√a2 + b2

(−b, a)

v =1

√a2 + b2

(a, b).



Segue che la matrice del cambiamento di base è

A =⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

− b√a2+b2

a√a2+b2

a√a2+b2

b√a2+b2

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

Se P0 = (x0, y0) allora la simmetria rispetto alla retta r è

P′ = TP0 ◦ A ◦ S 0 ◦ AT ◦ T−P0(P)

che in coordinate diventa:⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x′ =a2(2x0 − x) + 2ab(y0 − y) + b2x

a2 + b2

y′ =a2y + 2ab(x0 − x) + b2(2y0 − y)

a2 + b2.

4.3 Classificazione delle trasformazioni ortogona-li in dimensione 3

Sia f : V3 → V3 una trasformazione ortogonale. Classifichiamo f a secondadella dimensione dello spazio dei vettori invarinati

U = {u ∈ V3 : f (u) = u}.

Il caso: dim(U) = 3

In questo caso tutti i vettori sono invarianti e quindi la trasformazione è l’iden-tità.

Il caso: dim(U) = 2

Sia v un vettore perpendicolare a U. Dalla

⟨ f (v), u⟩ = ⟨ f (v), f (u)⟩ = ⟨v, u⟩ = 0, ∀u ∈ U (4.4)

segue che f (v) ⊥ U da cui f (v) = λv. Siccome gli autovalori di una trasfor-mazione ortogonale1 sono ±1 segue che f (v) = ±v. Di fatto non si può avere

1Se f è ortogonale e f (v) = λv, v ! 0, allora ⟨v, v⟩ = ⟨ f (v), f (v)⟩ = λ2⟨v, v⟩, da cui segueche λ2 = 1.


4.3 Classificazione delle trasformazioni ortogonali in dimensione 3 69

f (v) = v, altrimenti la dimensione di U sarebbe 3. Si ha quindi f (v) = −v.Rispetto alla base {v, u1, u2}, dove {u1, u2} è una base orto-normale di U, lamatrice associata ad f diventa

S 0 =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

−1 0 00 1 00 0 1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

La trasformazione è una simmetria ortogonale rispetto a U.

Il caso: dim(U) = 1

Sia u ∈ U un versore e sia V = u⊥. Dalla (4.4) segue che f|V : V → V èuna trasformazione ortogonale di uno spazio di dimensione 2. Quindi, dallaclassificazione delle trasformazioni ortogonali in dimensione 2, f|V può essere:l’identità, una rotazione propria o una simmetria. Se f|V fosse l’identità o unasimmetria ameterebbe vettori invarianti, così che la dimensione di U sarebbemaggiore di 1. Segue che f|V è una rotazione propria. La matrice associata adf rispetto ad una base {u, v1, v2}, con {v1, v2} base orto-normale di V , è

Rθ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

La trasformazione ortogonale rappresenta una rotazione antioraria di un an-golo θ attorno alla direzione u invariante.Osservazione 4.5. Fissata la base canonica {i, j, k} le tre rotazioni antiorarieattorno ai vettori di base sono (si veda la Figura 4.5)

Riθ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝


⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

, Rjθ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

cos θ 0 − sin θ0 1 0sin θ 0 cos θ

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

, Rkθ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

Il caso: dim(U) = 0

In questo caso non esistono vettori invarianti. Il polinomio caratteristico asso-ciato alla trasformazione f è, rispetto ad una base qualsiasi, un polinomio digrado 3. Quindi esiste sempre una soluzione reale, cioè f ammette un autova-lore reale. Siccome f non ha vettori invarianti diversi dal vettore nullo, segue



i j

k

(a) Riθ

i j

k

(b) Rjθ

i j

k

(c) Rkθ

Figura 4.5 – Le tre rotazioni attorno ai vettori della base canonica.

che esiste un vettore v con f (v) = −v. Sia W = v⊥. In modo analogo al casoprecedente si dimostra che f|W è una rotazione propria. La matrice associata adf , rispetto ad una base {v,w1,w2}, dove {w1,w2} è una base orto-normale diW,diventa

SRθ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

−1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

La trasformazione è quindi una simmetria ortogonale rispetto a W seguita dauna rotazione attorno a v che chiamiamo rotosimmetria. Infatti si ha

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝


⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝


⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

−1 0 00 1 00 0 1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

4.4 Angoli di EuleroNel paragrafo precedente abbiamo descritto la matrice associata ad una trasfor-mazione ortogonale in dimensione 3 rispetto ad una base orto-normale oppor-tuna. Ci si chiede se si può descrivere una matrice ortogonale rispetto ad unaqualsiasi base orto-normale. Una risposta positiva si può dare per il caso incui il determinante della matrice sia 1, cioè nel caso in cui la trasformazioneortogonale rappresenti una rotazione. In questo caso è facile verificare che fmanda la base canonica {i, j, k} in una nuova base orto-normale {i′, j′, k′} ancoradefinita positiva, nel senso che i′ ∧ j′ = k′, si veda la Figura 4.6.


4.4 Angoli di Eulero 71

Per descrivere la trasformazione che porta la base {i, j, k} nella base {i′, j′, k′}introduciamo tre angoli noti col nome di angoli di Eulero. Sia N = k∧k′. Gliangoli di Eulero sono così definiti:

• l’angolo ψ da i a N visto dal semispazio individuato da k si dice angolodi precessione ed è compreso tra 0 e 2π.

• l’angolo θ da k a k′ visto dal semispazio individuato da N si dice angolodi nutazione ed è compreso tra 0 e π.

• l’angolo ϕ da N a i′ visto dal semispazio individuato da k′ si dice angolodi rotazione propria ed è compreso tra 0 e 2π.

i

j

k

i′

j′

k′

N

ψ ϕ

θ

Figura 4.6 – Definizione degli angoli di Eulero.

La rotazione f si può realizzare attraverso tre rotazioni successive Rψ, Rθ, Rϕ,così individuate:

• Rψ è la rotazione di un angolo ψ attorno al vettore k:

Rkψ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 00 0 1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

che manda la terna {i, j, k} nella terna {N, j1, k}.



• Rθ è la rotazione di un angolo θ attorno al vettore N:

RNθ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝


⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

che manda la terna {N, j1, k} nella terna {N, j2, k′}.

• Rϕ è la rotazione di un angolo ϕ attorno al vettore k′:

Rk′ϕ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

cosϕ − sinϕ 0sinϕ cos ϕ 00 0 1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

che manda la terna {N, j2, k′} nella terna {i′, j3, k′}. Infine, essendo {i′, j3, k′}una base positiva si deve avere j3 = j′.

Quindi la matrice associata alla trasformazione ortogonale che manda la base{i, j, k} nella base {i′, j′, k′} è:

Rk′ϕ ◦ RNθ ◦ Rkψ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

cosϕ cosψ − cos(θ) sin ϕ sinψ − cos θ cosψ sin ϕ − cosϕ sinψ sin θ sinϕcosψ sin ϕ + cos θ cosϕ sinψ cos θ cosϕ cosψ − sin ϕ sinψ − cosϕ sin θ

sin θ sinψ cosψ sin θ cos θ

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

che rappresenta una generica matrice ortogonale del terzo ordine con determi-nante 1.

4.5 Classificazione delle isometrie dello spazioSia E3 il piano euclideo. Rispetto ad un riferimento cartesiano (O, {i, j, k})un’isometria ϕ : E3 → E3 si scrive, in coordinate, come

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

x′y′z′

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

m11 m12 m13m21 m22 m23m31 m32 m33

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

xyz

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

β1β2β3

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

(4.5)

dove la matrice M = (mij) è una matrice ortogonale mentre β = (β1, β2, β3) èun vettore dello spazio.Per classificare le isometrie, in virtù della classificazione delle trasformazioniortogonali in dimensione 3 vista nel paragrafo precedente, utilizzeremo voltaper volta un riferimento adattato piuttosto che quello canonico.


4.5 Classificazione delle isometrie dello spazio 73

Traslazioni

Se la matrice associata a f rispetto ad un riferimento è la matrice identitàl’isometria è una traslazione in direzione del vettore β.

Simmetrie e glissosimmetrie

Se la matrice associata ad f , rispetto ad una base {v, u1, u2}, con u1, u2 invariantie f (v) = −v, è

S 0 =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

−1 0 00 1 00 0 1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

l’isometria diventa⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x′ = −x + β1y′ = y + β2z′ = z + β3.

I punti del piano α di equazione x = β1/2 sono trasformati in punti dello stessopiano. Si presentano due sottocasi.

Se β2 = β3 = 0, i punti di α sono uniti e l’isometria rappresenta lasimmetria ortogonale rispetto al piano α.

Se β2 e β3 non sono entrambi nulli la simmetria si può scomporre nellasimmetria rispetto ad α seguita da una traslazione parallela al piano α.L’isometria prende il nome di glissosimmetria.

Rotazioni e rototraslazioni

Se la matrice ortogonale associata ad f , rispetto ad una base {u, v1, v2} con uunica direzione invariante e {v1, v2} base ortonormale di u⊥, è

Rθ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝


⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

, θ ! 0,


⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x′ = x + β1y′ = y cos θ − z sin θ + β2z′ = y sin θ + z cos θ + β3 ,



che rappresenta un movimento diretto. Si distinguono, in relazione ai puntiuniti, i seguenti sottocasi.

Se β1 = 0, esiste una retta r di punti uniti parallela all’asse delle x(verificare) e l’isometria è una rotazione attorno alla retta r.

Se β1 ! 0, non ci sono punti uniti e l’isometria si ottiene componendouna rotazione attorno alla retta r seguita da una traslazione parallela allaretta r. Questo tipo di isometria prende il nome di rototraslazione.

Rotosimmetrie

Se la matrice ortogonale associata ad f , rispetto ad una base {v, v1, v2} conf (v) = −v e {v1, v2} base ortonormale di v⊥, è

SRθ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝


⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

, θ ! 0,


⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x′ = −x + β1y′ = y cos θ − z sin θ + β2z′ = y sin θ + z cos θ + β3.

In questo caso l’isometria presenta un solo punto unito (verificare). L’isometriasi può scomporre nella simmetria rispetto al piano α di equazione x = β1/2 se-guita da una rotazione attorno ad una retta perpendicolare ad α. Tale isometriaprende il nome di rotosimmetria.

4.6 Esercizi1. Dimostare che la composizione di due rotazioni nel piano è ancora unarotazione.

2. Dimostrare che una rotazione piana qualunque può essere scritta comecomposizione di due simmetrie assiali piane.

3. Fissato un sistema di riferimento cartesiano. Scrivere la simmetria pianarispetto alla retta r : x − y = 0.


4.6 Esercizi 75

4. Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Trovare leequazioni della rotazione intorno alla retta x − y = z = 0.

5. Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Scrivere leequazioni della simmetria rispetto al piano x − y + z = 0.

6. Scrivere le equazioni della glissosimmetria ottenuta come composizionedella simmetria rispetto al piano x−y+1 = 0 e della traslazione di vettore(1, 1, 1).

7. Scrivere le equazioni della rototraslazione ottenuta come composizionedella rotazione di angolo π/4 intorno allÕasse delle z e delle traslazionedi vettore (0, 0, 2).

8. Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Scrivere larotosimmetria ottenuta come composizione della simmetria rispetto alpiano z + 1 = 0 e della rotazione di angolo π/3 intorno all’asse delle z.

9. Sia s la simmetria di un piano α rispetto ad una retta r ⊂ α. Descriverela simmetria s in termini di una rotazione R dello spazio. Scrivere leequazioni di s e R nel caso α : z = 0, e r : x − y = z = 0.

10. Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Trovare leequazioni di un cambiamento di riferimento rispetto al quale il pianox − y + z = 0 coincide col piano z = 0.

11. Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio. Trovare leequazioni di un cambiamento di riferimento rispetto al quale la rettax − y = z = 0 coincide con l’asse delle x.


5Geometria quadratica 1In questo capitolo iniziamo lo studio della geometria quadratica, cioè dellageometria dei luoghi di punti del piano o dello spazio le cui coordinate soddi-sfano ad un polinomio di secondo grado. Chiameremo questi luoghi conicheo quadriche a seconda che siano nel piano o nello spazio rispettivamente. Inquesto primo capitolo analizzeremo alcune situazioni particolari per procedere,nel capitolo seguente, ad uno studio generale.

5.1 Sfere e circonferenzeSia E3 (E2) uno spazio (piano) euclideo, sia C ∈ E3 (C ∈ E2) un suo punto e siaR ∈ R un numero reale positivo. Chiamiamo sfera (circonferenza) di centroC e raggio R il luogo dei punti P dello spazio (piano) tali che

∥P − C∥2 = R2 . (5.1)

In altri termini, una sfera è il luogo dei punti dello spazio che hanno distanza Rdal punto C.Rispetto a delle coordinate cartesiane di E3 la condizione (5.1) diventa

(x − α)2 + (y − β)2 + (z − γ)2 = R2, (5.2)


5.1 Sfere e circonferenze 77

o, equivalentemente,

x2 + y2 + z2 − 2αx − 2βy − 2γz + α2 + β2 + γ2 − R2 = 0 (5.3)

dove C = (α, β, γ) e P = (x, y, z). Nel caso della circonferenza si ottengono lestesse equazioni mancanti dei termini in z.Se adesso poniamo

a = −2α, b = −2β, c = −2γ, d = α2 + β2 + γ2 − R2

la (5.3) diventax2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0 (5.4)

che rappresenta una equazione polinomiale di secondo grado. Dato un poli-nomio della forma (5.4), ci si chiede se questo rappresenti una sfera per ogniquaterna a, b, c, d di numeri reali non tutti nulli. La risposta merita qualcheriflessione. Se a2 + b2 + c2 − 4d > 0 allora la (5.4) può essere riscritta nellaforma (5.2), mentre se a2 + b2 + c2 − 4d < 0 ciò non è possibile. Per esempio,x2 + y2 + z2 − 2z + 2 = 0 diventa x2 + y2 + (z − 1)2 = −1 che chiaramente nonammette soluzioni reali.

Per ovviare a questo problema, da ora in poi, invece di limitarci a considera-re punti dello spazio le cui coordinate sono numeri reali considereremo ancheil caso in cui le coordinate dei punti possano assumere valori complessi. Dalpunto di vista della definizione di spazio affine questo si traduce nella richie-sta che la giacitura dello spazio affine sia uno spazio vettoriale su C inveceche su R. Tutto quello che abbiamo fatto sugli spazi affini continua a valeresenza bisogno di modificare la teoria. Possiamo, per esempio, considerare lerette immaginarie del piano come i punti P le cui coordinate soddisfano ad unaequazione di primo grado ax + by + c = 0 con coefficienti a, b, c ∈ C e tali che(a, b) ! (0, 0). Allo stesso modo si possono definire i piani immaginari nellospazio.

Fatta questa osservazione possiamo pensare che un polinomio della forma (5.4)con a2+b2+ c2 −4d < 0 descriva una sfera i cui punti hanno coordinate imma-ginarie che chiameremo sfera immaginaria. Allo stesso modo definiamo unacirconferenza immaginaria.


78 Geometria quadratica 1

In conclusione, siano a, b, c, d ∈ R (a, b, c ∈ R) quattro (tre) numeri reali nontutti nulli, allora il luogo dei punti del piano le cui coordinate soddisfano all’e-quazione (5.4) descrive una sfera (circonferenza) reale o immaginaria di centroC = (−a/2,−b/2,−c/2) e raggio R =

√a2 + b2 + c2 − 4d/2.

5.1.1 Circonferenza per tre punti e sfera per quattro puntiL’equazione (5.4) di una circonferenza dipende da tre parametri a, b, c ∈ Rci si aspetta quindi che siano necessarie tre condizioni “indipendenti” per de-terminare l’equazione di una circonferenza in modo unico. In fatti si ha laseguenteProposizione 5.1. Siano A, B e C tre punti non allineati di un piano euclideo.Allora esiste un unica circonferenza che li contiene.Dimostrazione. Dimostriamo questo fatto in due modi.

Primo metodo. Con riferimento alla Figura 5.1, tracciamo gli assi dei seg-menti AB e BC (ricordiamo che, per definizione, l’asse di un segmento ABè il luogo di punti del piano equidistanti da A e B; esso coincide con la ret-ta perpendicolare al segmento, passante per il suo punto medio). Dato che itre punti A, B e C non sono allineati, gli assi dei due segmenti non sono pa-ralleli e quindi si incontrano in un punto che chiamiamo O. Osserviamo ched(O, A) = d(O, B) in quanto O appartiene all’asse del segmento AB. Analo-gamente, d(O, B) = d(O,C) . Dunque O è equidistante da A, B e C, per cui lacirconferenza di centro O e raggio R = d(O, A) contiene i tre punti dati, comerichiesto. L’unicità della circonferenza con questa proprietà segue dal fatto cheO è l’unico punto equidistante da A, B e C.

Secondo metodo. Rispetto ad un sistema di coordinate cartesiano del piano,siano A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3) le coordinate dei tre punti. I puntiA, B,C appartengono ad una circonferenza se le loro coordinate soddisfanol’equazione x2 + y2 +ax+by+ c = 0 per qualche a, b, c ∈ R con a, b, c non tuttinulli. Sostituendo si perviene al sistema

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x21 + y21 + ax1 + by1 + c = 0

x22 + y22 + ax2 + by2 + c = 0

x23 + y23 + ax3 + by3 + c = 0

(5.5)



nelle incognite a, b, c. La matrice del sistema è

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

e dalla Proposizione 3.3 segue che se i punti A, B,C non sono allineati ilsistema (5.5) ha rango massimo e quindi ammette un unica soluzione. !

OA

BC

asse di AB

asse di BC

Figura 5.1 – Costruzione della circonferenza passante per tre punti non allineati.

In modo analogo si dimostra la

Proposizione 5.2. Siano A, B, C e D quattro punti non complanari di unospazio euclideo. Allora esiste un unica sfera che li contiene.

Osservazione 5.3. Usando la teoria dei sistemi lineari è un semplice esercizioverificare che l’equazione della circonferenza per tre punti non allineati A =(x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3) è

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x2 + y2 x y 1x21 + y

21 x1 y1 1

x22 + y22 x2 y2 1x23 + y

23 x3 y3 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 .



Allo stesso modo l’equazione della sfera per quattro punti non complanari A =(x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3) e D = (x4, y4, z4) è

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x2 + y2 + z2 x y z 1x21 + y21 + z21 x1 y1 z1 1x22 + y

22 + z

22 x2 y2 z2 1

x23 + y23 + z

23 x3 y3 z3 1

x24 + y24 + z

24 x4 y4 z4 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 .

5.1.2 Parametrizzazione della circonferenza e della sferaSia (O, {i, j}) un riferimento ortogonale del piano euclideo e sia C una circonfe-renza di centroC = (α, β) e raggio R. Per parametrizzare la circonferenza, sia Pun punto di C e denotiamo con θ l’angolo che il vettoreCP forma con la i comemostrato nella Figura 5.2. Si ha immediatamente che CP = R(cos θi + sin θj)da cui

OP = OC +CP = (αi + βj) + R(cos θi + sin θj) .

Segue che la circonferenza C può essere parametrizzata da

γ(θ) = P(θ) = (R cos θ + α,R sin θ + β) .

Sia adesso (O, {i, j, k}) un riferimento ortogonale dello spazio euclideo e sia

x

y

O

C

P

i

j

θ

Figura 5.2 – Parametrizzazione della circonferenza.

S una sfera di centro C = (α, β, γ) e raggio R. Operiamo la traslazione T−C



in modo che il centro coincida con l’origine, parametrizziamo la sfera centratanell’origine e di seguito operiamo la traslazione TC per riportare il centro del-la sfera nella sua posizione originale. Per parametrizzare una sfera di raggioR con centro nell’origine si opera nel modo seguente. Il vettore OP si puòdecomporre nella somma della sua proiezione ortogonale OPi,j sullo spaziovettoriale generato da {i, j} e della sua proiezione OPk lungo k. Sia ϕ l’angoloche OP forma con k e sia θ l’angolo che OPi,j forma con i (si veda la Figu-ra 5.3). Ovviamente se OP ha norma R allora OPi,j ha norma R sinϕ, da cuiOPi,j = R(sinϕ cos θi + sinϕ sin θi). Allo stesso modo OPk = R cosϕk. Segueche una parametrizzazione della sfera di centro l’origine e raggio R è

X(θ, ϕ) = OPi,j + OPk = (R sinϕ cos θ,R sinϕ sin θ,R cosϕ) .

Operando, in fine, la taslazione TC si ottiene che una parametrizzazione di unasfera di raggio R e centro C = (α, β, γ) è

X(θ, ϕ) = OC +OPi,j +OPk = (R sinϕ cos θ + α,R sinϕ sin θ + β,R cosϕ + γ) .

x y

z

i j

k

θ

ϕP

O

Figura 5.3 – Parametrizzazione della sfera con centro nell’origine.

5.1.3 Intersezione di una sfera (circonferenza) con una rettaSia r una retta parametrizzata da P = P0 + tu e sia S una sfera di equazione∥P−C∥2−R2 = 0. I punti di intersezione tra r e S si ottengono determinato per



quali valori di t i corrispondenti punti della retta appartengono alla sfera, cioèsoddisfano all’equazione della sfera. Per determinare tali punti basta sostituireil generico punto P della retta nell’equazione della sfera ed imporre che lasoddisfi. Si ottiene la condizione

∥(P0 −C) + tu∥2 − R2 = 0 ,

che è equivalente alla

∥u∥2t2 + 2⟨(P0 − C), u⟩t + ∥P0 −C∥2 − R2 = 0 . (5.6)

La (5.6) rappresenta un’equazione di secondo grado in t la quale ammette duesoluzioni reali distinte, due soluzioni reali coincidenti o due soluzioni comples-se coniugate a seconda che il discriminante ∆ sia maggiore, uguale o minoredi zero. Un calcolo diretto, utilizzando l’identità di Lagrange1 e tenendo inconsiderazione la (3.27), mostra che

∆/4 = ⟨(P0 −C), u⟩2 − ∥u∥2(∥P0 − C∥2 − R2) (5.7)= −∥(P0 −C) ∧ u∥2 + ∥u∥2R2

= ∥u∥2(

R2 −∥(P0 −C) ∧ u∥2

∥u∥2

)

= ∥u∥2[R2 − d(C, r)2] .

Abbiamo quindi dimostrato che una retta r ha due soluzioni reali distinte, duesoluzioni reali coincidenti o due soluzioni complesse coniugate con una sfera Sa seconda che la distanza della retta con il centro della sfera sia minore, ugualeo maggiore del raggio della sfera.

Le stesse considerazioni fatte sino ad ora e che faremo nel seguito valgono nelcaso di una retta ed una circonferenza in un piano euclideo.

Chiameremo secante una retta che interseca una sfera in due punti reali distin-ti, esterna una che incontra la sfera in due punti immaginari. Nel caso in cui la

1Se u, v ∈ V3 l’identità di Lagrange è

∥u ∧ v∥2 = ∥u∥2∥v∥2 − ⟨u, v⟩2.



retta incontra la sfera in due punti reali coincidenti diremo che la retta è tangen-te alla sfera nel punto di contatto (il punto doppio ottenuto dall’intersezione).Si osservi che tale definizione di retta tangente è puramente algebrica.In ogni caso una retta r tangente ad una sfera in un suo punto P risulta perpen-dicolare al vettore posizione CP, dove C è il centro della sfera. Tale proprietàdiscente direttamente dal fatto che la distanza di P da C è pari al raggio R del-la sfera e che ogni altro punto della retta ha distanza maggiore di R dal centroC.

Consideriamo adesso, fissato un punto P0 dello spazio, il luogo delle rette perP0 tangenti ad una data sfera dello spazio. Sia P un punto appartenente aduna delle rette per P0 tangenti alla sfera S di centro C e raggio R. Allora ilvettore P−P0 ha la direzione della retta tangente. Segue che la retta per P0 condirezione P − P0 interseca la sfera in due punti reali coincidenti. Dalla (5.7),sostituendo u con P − P0, si ottiene

⟨(P0 −C), (P − P0)⟩2 − ∥P − P0∥2(∥P0 −C∥2 − R2) = 0 .

Adesso, sostituendo nell’ultima equazione P − P0 = P −C +C − P0, si ottiene(dopo qualche conto)

[⟨(P − C), (P0 −C)⟩ − R2]2 − (∥P − C∥2 − R2)(∥P0 − C∥2 − R2) = 0 . (5.8)

La (5.8) rappresenta l’equazione cartesiana del luogo delle rette per P0 tan-genti alla sfera di centro C e raggio R. Geometricamente, se il punto P0 nonappartiene alla sfera, questo luogo rappresenta un cono di vertice P0 tangente(circoscritto) alla sfera (per una definizione generale di cono si veda la sezio-ne 5.2). Nel caso di una circonferenza il luogo delle rette per un punto P0tangenti ad una circonferenza è formato da due rette. Si noti che se il puntoP0 è interno alla sfera si ottiene un cono immaginario, nel senso che è un conocostituito da rette immaginarie. Analogamente, nel caso della circonferenza,se il punto P0 è interno si ottengono due rette immaginarie.

Un caso notevole e di grande interesse è quando il punto P0 appartiene allasfera. In questo caso la (5.8) diventa

⟨(P −C), (P0 −C)⟩ − R2 = 0 , (5.9)

che rappresenta l’insieme di tutte le rette tangenti alla sfera nel punto P0, cioèil piano tangente alla sfera nel punto P0. Nel caso della circonferenza nel piano



la (5.9) rappresenta la retta tangente alla circonferenza nel punto P0.

Riscrivendo l’equazione cartesiana di una sfera nella forma

⟨(P − C), (P −C)⟩ − R2 = 0

si nota che, formalmente, l’equazione del piano tangente alla sfera in un suopunto P0 si ottiene sostituendo ad uno degli argomenti il punto generico P conil punto P0. Da un punto di vista operativo, se l’equazione della sfera è

x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0

e P0 = (x0, y0, z0), l’equazione del piano tangente (5.9) diventa

xx0 + yy0 + zz0 +a2(x + x0) +

b2(y + y0) +

c2(z + z0) + d = 0 .

Questa operazione prende il nome di polarizzazione. Si osservi, inoltre, che da-to un punto P0, non necessariamente appartenente alla sfera, i punti di contattodelle rette per P0 tangenti alla sfera soddisfano sia la (5.1) che la (5.8) e quindisoddisfano la (5.9). Questo fatto mostra che il piano descritto dall’equazione(5.9) ha un ruolo importante anche quando il punto non appartiene alla sfera.In particolare, data una sfera S ed un punto P0 dello spazio definiamo pianopolare del punto P0 rispetto alla sfera S il piano di equazione (5.9). Ovvia-mente se P0 ∈ S, allora il piano polare di P0 coincide con il piano tangente allasfera in P0. Inoltre, dalla simmetria della (5.9), discende il seguente fatto cheprende il nome di Teorema di Reciprocità: Se Q0 appartiene al piano polaredi P0, allora P0 appartiene al piano polare di Q0.

Nel caso della circonferenza nel piano la polare di un punto P0 è una rettaed utilizzando il Teorema di Reciprocità si può dare una costruzione graficaesplicita di tale retta come mostra il seguente esempio.

Esempio 5.4. Data una circonferenza C ed un punto P0 esterno determinaregraficamente la retta polare. Il problema ha una soluzione immediata, bastaconsiderare le due rette per P0 tangenti alla circonferenza. Infatti, come os-servato in precedenza, i punti di contatto appartengono alla retta polare di P0.Quest’ultima proprietà si può anche verificare utilizzando il Teorema di Re-ciprocità: sia P1 un punto di tangenza, allora la polare di P1, essendo la retta



tangente alla circonferenza in P1, passa per il punto P0; dalla reciprocità la pol-lare di P0 passa per P1. Si veda la Figura 5.4 (a). Se adesso supponiamo che ilpunto P0 sia interno alla circonferenza si può procedere nel modo seguente. Siprenda una qualsiasi retta r1 per P0. La retta r1 intersecherà la circonferenza indue punti Q1 e Q2. Per il Teorema di Reciprocità il punto di incontro P1 delledue rette tangenti alla circonferenza nei punti Q1 e Q2 appartiene alla polare diP0. Prendendo una seconda retta per P0 e ripetendo lo stesso procedimento siottiene un secondo punto appartenente alla polare di P0. Si veda la Figura 5.4(b).

P1

P2

P0

(a) P0 esterno

Q1

Q2

P1

P2

P0

(b) P0 interno

Figura 5.4 – Costruzione della polare per un punto esterno (a) e per un punto interno (b).

Il procedimento descritto sopra per tracciare la polare di un punto interno aduna circonferenza fallisce quando P0 coincide con il centro della circonferenza.In questa situazione le rette tangenti alla circonferenza nei punti Q1 e Q2 sonoparallele. Si verifichi, per esercizio, che se P0 coincide con il centro di unacirconferenza la (5.9) è una relazione impossibile.

5.1.4 Potenza di un punto rispetto ad una sfera (circonferen-za)

Sia S una sfera nello spazio e sia P0 un punto di E3. Sia r una qualsiasi retta perP0, che interseca la sfera in due punti reali distinti P1 e P2. Definiamo potenza



del punto P0 rispetto alla sfera S il numero

P(P0) = ⟨P0P1, P0P2⟩ . (5.10)

Mostriamo che la definizione di potenza non dipende dalla retta scelta per P0.Sia quindi r una generica retta per P0 che possiamo parametrizzare come P(t) =P0 + tu con u vettore unitario. I punti di intersezione tra r e la sfera si trovanorisolvendo l’equazione quadratica (5.6) con ∥u∥ = 1, cioè

t2 + 2⟨(P0 −C), u⟩t + d2 − R2 = 0 , (5.11)

dove abbiamo indicato con d = d(P0,C). Siano t1 e t2 le due soluzioni della(5.11) e siano

P1 = P0 + t1u e P2 = P0 + t2u

i corrispondenti punti di intersezione della retta r con la circonferenza. Allora

P0P1 = P1−P0 = P0+ t1u−P0 = t1u e P0P2 = P2−P0 = P0+ t2u−P0 = t2u

da cui segue che

P(P0) = ⟨P0P1, P0P2⟩ = t1t2⟨u, u⟩ = t1t2 = d2 − R2 , (5.12)

dove, nell’ultimo passaggio, abbiamo utilizzato le note proprietà dei polinomidi secondo grado, cioè che il prodotto delle radici di un polinomio monico disecondo grado è pari al termine noto. La (5.12), non dipendendo dal vettore u,mostra che la definizione di potenza non dipende dalla retta scelta.La (5.12) fornisce un metodo pratico per calcolare la potenza di un punto edinoltre mostra che la potenza di un punto interno è negativa, quella di un puntoesterno è positiva, mentre tutti i punti sulla sfera hanno potenza zero.

Il concetto di potenza permette di introdurre il seguente luogo geometrico.

Definizione 5.5. Date due sfere (circonferenze) S1 e S2 non concentriche sidefinisce piano radicale (asse radicale nel caso delle circonferenze) il luogodei punti dello spazio cha hanno stessa potenza rispetto alle due sfere.

Nel caso di due circonferenze C1 e C2 del piano l’asse radicale può essere trac-ciato graficamente nel modo seguente. Se le due circonferenze si intersecanoin due punti P1 e P2, essendo questi appartenenti alle due circonferenze han-no potenza zero rispetto ad entrambe e quindi appartengono all’asse radicale.



Segue che l’asse radicale è la retta per P1 e P2 (Si veda la Figura 5.5 (a)). Seinvece le due circonferenze non si intersecano si può considerare una terza cir-conferenza C che intersechi sia C1 che C2 in due punti distinti ed abbia centronon appartenente alla retta congiungenti i centri delle due circonferenze C1 eC2. Denotato con r1 l’asse radicale tra C e C1 e con r2 l’asse radicale tra C eC2 il punto P12 di intersezione tra r1 e r2 ha chiaramente stessa potenza rispettoalle tre circonferenze C, C1 e C2 e quindi appartiene all’asse radicale di C1 eC2 (Si veda la Figura 5.5 (b)). Scegliendo un’altra circonferenza e ripetendo ilprocedimento si trova un altro punto dell’asse radicale.

C1 C2

(a) Circonferenze secanti

r2r1

P12

C2C1 C2

C

(b) Circonferenze esterne

Figura 5.5 – Costruzione dell’asse radicale per due circonferenze secanti (a) e per dueesterne (b).

Se l’equazione di una circonferenza C è x2 + y2 + ax + by + c = 0, dalla (5.12)segue immediatamente che la potenza di un punto P0 = (x0, y0) rispetto a C è

P(P0) = x20 + y20 + ax0 + by0 + c.

Si dimostri che l’equazione dell’asse radicale di due circonferenze di equazionex2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a′x + b′y + c′ = 0 è

(a − a′)x + (b − b′)y + c − c′ = 0. (5.13)

Si dimostri, inoltre, che la retta congiungente i due centri di due circonferenzeè perpendicolare al corrispondente asse radicale.



5.1.5 Intersezione di due circonferenze

Siano x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a′x + b′y + c′ = 0 le equazioni didue circonferenze C1 e C2. Per determinare i punti di intersezione tra C1 e C2si risolve il sistema

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x2 + y2 + ax + by + c = 0x2 + y2 + a′x + b′y + c′ = 0

il quale è equivalente al sistema

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x2 + y2 + ax + by + c = 0(a − a′)x + (b − b′)y + (c − c′) = 0 .

(5.14)

Se le circonferenze sono concentriche, cioè se a = a′ e b = b′, la seconda equa-zione del sistema (5.14) implica che non esistono soluzioni (reali o complesse)se c − c′ ! 0 o che le circonferenze sono coincidenti se c − c′ = 0.

Se le circonferenze non sono concentriche, allora uno tra a−a′ e b−b′ è diversoda zero. Esplicitando, nella seconda equazione del sistema (5.14), la variabilecon coefficiente diverso da zero e sostituendo nella prima equazione si ottieneun’equazione quadratica con coefficiente del termine di secondo grado semprediverso da zero (verificare) la quale, quindi, ammeterà due soluzioni reali di-stinte, complesse coniugate o coincidenti. La Figura 5.6 mostra la posizionereciproca delle due circonferenze e i corrispondenti punti di intersezione.

(a) Concentriche (b) Secanti (c) Esterne (d) Tangenti

Figura 5.6 – Posizione reciproca di due circonferenze.



5.1.6 Fasci di circonferenzeSiano C1 e C2 due circonferenze non concentriche di equazione x2 + y2 + ax +by+c = 0 e x2+y2+a′x+b′y+c′ = 0. Si consideri per ogni coppia (λ, µ) ∈ R2,(λ, µ) ! (0, 0), l’equazione

Fλ,µ = λC1+µC2 = λ(x2+y2+ax+by+c)+µ(x2+y2+a′x+b′y+c′) = 0 . (5.15)

La (5.15) prende il nome di equazione omogenea del fascio di circonferen-ze generato dalle due circonferenze base C1 e C2. Il nome è giustificato dalfatto che per quasi tutti i (λ, µ) ∈ R2, (λ, µ) ! (0, 0), Fλ,µ = 0 è l’equa-zione di una circonferenza. Esistono infatti due possibilità dove l’equazioneFλ,µ cessa di essere l’equazione di una circonferenza. Il primo caso si ottienequando λ + µ = 0 e discuteremo di questa situazione più avanti. Il secon-do caso si trova quando esiste λ ! 0, 1, tale che (a′, b′, c′) = λ(a, b, c) (seλ = 1 le circonferenze base coinciderebbero). Segue che l’elemento del fascioFλ,−1 = (λ − 1)(x2 + y2) = (λ − 1)(x − iy)(x + iy) = 0 non rappresenta più unacirconferenza ma bensì due rette immaginarie incidenti. In questo caso, se ledue circonferenze base del fascio si intersecano in due punti reali, verificareche necessariamente devono, entrambi, coincidere con l’origine.

I punti P1 e P2 di intersezione di C1 e C2 sono chiamati punti base ed è imme-diato verificare che tutte le circonferenze del fascio passano per i punti base. Sinoti che i punti base possono avere coordinate complesse od essere coincidenti.

Dimostriamo adesso che, nel caso i punti base siano reali e distinti, una qua-lunque circonferenza per i punti base appartiene al fascio. Sia quindi C unacirconferenza passante per P1 e P2 e sia P un altro punto di C che non ap-partiene alle circonferenze C1 e C2. Se non fosse possibile trovare tale puntosignifica che C coincide con C1 o con C2, da cui la tesi. Siccome P1, P2 e P nonsono allineati, dalla Proposizione 5.1, esiste un’unica circonferenza che li con-tiene la quale deve coincidere con la circonferenza C. Ma, essendo C1(P) ! 0e C2(P) ! 0 (P non appartiene a C1 e C2), la coppia (λ, µ) = (−C2(P),C1(P))definisce una circonferenza C′ del fascio che contiene i punti P1, P2 e P. Perl’unicità della circonferenza per tre punti non allineati segue che C′ = C.

Se nell’equazione (5.15) si sceglie µ = −λ, si ottiene l’equazione

(a − a′)x + (b − b′)y + c − c′ = 0 (5.16)



la quale rappresenta una retta. Si osservi che l’equazione del fascio (5.15)si riduce all’equazione di una retta se e solo se µ = −λ. Dal confronto conla (5.13) si evince che la retta (5.16) coincide con l’asse radicale delle duecirconferenze base C1 e C2.Chiaramente se nella (5.15) si sostituisce una delle due circonferenze basecon una loro combinazione lineare si ottiene lo stesso fascio di circonferen-ze. Quindi l’equazione del fascio (5.15), con circonferenze base C1 e C2, puòessere sostituita con l’equazione

λC1 + µr = 0,

dove r = 0 è l’equazione dell’asse radicale.

Se le due circonferenze base C1 e C2 si scelgono concentriche, allora la (5.15)rappresenta una circonferenza concentrica per ogni coppia (λ, µ) ∈ R2, (λ, µ) !(0, 0). Anche in questo caso si può definire il fascio di circonferenze ma nonesistono sia i punti base che l’asse radicale.

Allo stesso modo si possono considerare i fasci di sfere generati dalla combi-nazione lineare dell’equazione di due sfere non concentriche, chiamate sferebase. Il lettore dovrebbe ripercorrere quanto fatto in questo paragrafo per ilcaso dei fasci di sfere.

Esempio 5.6. Mostriamo, con un esempio, l’utilizzo della nozione di fasciodi circonferenze per determinare la circonferenza passante per tre punti nonallineati del piano. Siano P1, P2 e P3 tre punti del piano non allineati. Perdeterminare la circonferenza passante per i tre punti si può considerare il fasciodi circonferenze con punti base P1 e P2 è determinare l’unica circonferenza delfascio che passa per P3. Per determinare il fascio di circonferenze possiamoconsiderare la retta passante per P1 e P2, che rappresenta l’asse radicale di duedate circonferenze del fascio, e una qualsiasi altra circonferenza passante perP1 e P2, per esempio si può considerare la circonferenza con centro nel puntomedio tra P1 e P2 e raggio R = d(P1, P2)/2.

5.1.7 Circonferenza su un piano qualunque dello spazioSia (O, {i, j, k}) un riferimento ortogonale dello spazio euclideo e sia ax + by +cz + d = 0 l’equazione di un piano α. Sia C ∈ α un punto del piano e sia R un



numero reale. Possiamo considerare la circonferenza del piano α di centro Ce raggio R. Vogliamo determinare l’equazione cartesiana e parametrica di talecirconferenza.

Per risolvere il problema analizziamo da prima l’intersezione di un piano conuna sfera. Sia quindi ∥P − C∥2 − R2 = 0 l’equazione di una sfera S e siaP = P0+su+tv una parametrizzazione di un piano α con {u, v} base ortonormaledella giacitura di α. In questo modo (s, t) sono coordinate cartesiano del piano.Risolvendo il sistema

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

∥P −C∥2 − R2 = 0P = P0 + su + tv

si perviene all’equazione in s e t

∥(P0 −C) + su + tv∥2 − R2 = 0 ,

che è equivalente alla

s2 + t2 + 2⟨(P0 − C), u⟩s + 2⟨(P0 −C), v⟩t + ∥P0 −C∥2 − R2 = 0

la quale rappresenta, tranne in un caso, una circonferenza del piano α (even-tualmente immaginaria). Il caso singolare si verifica quando l’equazione del-l’intersezione diviene s2+ t2 = 0. Questo succede quando P0 è tale che (P0−C)è perpendicolare sia u che a v ed inoltre la distanza di P0 da C è pari al rag-gio della sfera, cioè P0 è un punto della sfera. Non è difficile convincersi chesotto queste condizioni il piano α risulti tangente alla sfera nel punto P0. L’in-tersezione del piano con la sfera contiene il solo punto P0 di coordinate reali(s, t) = (0, 0). Ciò nonostante, il polinomio s2 + t2 può essere decomposto inC nella forma (t + is)(t − is) è quindi l’equazione s2 + t2 = (t + is)(t − is) = 0rappresenta due rete immaginarie incidenti in un punto reale.

Questo fatto suggerisce che l’equazione di una circonferenza di un piano αpossa essere data come intersezione del piano α con una opportuna sfera. Bi-sogna verificare che dati α e una circonferenza C di α con centro inC esista unasfera S la cui intersezione con α sia C. La verifica di questo fatto è immediata,infatti basta prendere un qualsiasi punto C′ sulla retta per C perpendicolare alpiano α e considerare la sfera di centro C′ e raggio pari alla distanza di C′ daun qualsiasi punto di C.



Esercizio costruttivo è il viceversa: data una circonferenza C ottenuta comeintersezione di una sfera di centro C e raggio R con un piano α di equazioneax+ by+ cz+ d = 0, determinare il centro ed il raggio. L’equazione cartesianadella circonferenza è

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

∥(P −C)∥2 − R2 = 0ax + by + cz + d = 0 .

Per determinare il centro C′ della circonferenza basta considerare la retta rperpendicolare ad α e passante per C, per ovvie ragioni geometriche C′ èil punto di intersezione della retta r con il piano α. Per determinare il rag-gio R′ della circonferenza basta applicare il teorema di Pitagora al triangolodi vertici CC′P dove P è un qualsiasi punto della circonferenza. Segue ched(C, P)2 = d(C,C′)2 + (C′, P)2, ovvero, R2 = d(C,C′)2 + R′2, da cui segue cheR′ =

√

R2 − d(C,C′)2.

Se invece si vuole determinare l’equazione parametrica della circonferenza α∩S si procede nel modo seguente. Sia C′ il centro della circonferenza e siaP un suo punto. Sia {u, v} una base ortonormale della giacitura del piano α.Denotiamo con θ l’angolo che C′P forma con il vettore u, segue che OP =OC′ + C′P = OC′ + R′ cos θu + R′ sin θv. Sostituendo, in quest’ultima, lecomponenti di OC′, u e v rispetto ad una base ortonormale {i, j, k} dello spazioeuclideo si ottiene la parametrizzazione della circonferenza.

5.1.8 Esercizi1. Determinare l’equazione della circonferenza avente centro nel punto diintersezione delle rette y = x e x+y+2 = 0 e passante per l’origine degliassi .

2. Determinare l’equazione della circonferenza avente per diametro il seg-mento OA con A = (−6,−4).

3. Determinare l’equazione della circonferenza avente centro nel puntoC =(−3,−2) e tangente all’asse x.

4. Determinare l’equazione della circonferenza di centro C = (−4,−1) etangente alla retta di equazione x + y + 1 = 0.



5. Dal centro della circonferenza x2 + y2 = 2ax, a ∈ R, è tracciata la rettaparallela alla retta x + 2y = 0. Detti A e B i punti di intersezione tra laretta e la circonferenza, determinare l’area del triangolo AOB.

6. Data la circonferenza x2 + y2 − 4y = 0 determinare le rette tangenti allacirconferenza (se ve ne sono), e passanti per il punto A = (0, 6).

7. Dato il fascio di circonferenze (1+ k)x2 + (1+ k)y2 −12x−4(1+ k)y = 0,k ∈ R, determinare il valore di k per cui si ottiene:

• la circonferenza passante per (−1,−1);• la circonferenza tangente nell’origine alla retta 3x + 2y = 0;• la circonferenza che ha il centro sulla retta x + y + 4 = 0;• la circonferenza che ha il raggio pari a

√5.

8. Tra le circonferenze passanti per A = (1, 0) ed ivi tangenti alla retta diequazione x − y − 1 = 0 si trovino quelle di raggio 1

2√2

9. Data la circonferenza di equazione x2 + y2 + 2x − 2y − 3 = 0 ed il suopunto A = (0, 3) determinare:

• centro e raggio;• l’equazione della retta tangente alla circonferenza in A;• gli altri vertici del quadrato inscritto nella circonferenza ed aventeun vertice in A;

10. Dati tre punti A = (1, 0), B = (3, 4) e C = (2, 3) determinare:

• l’area del triangolo di vertici ABC;• l’equazione della circonferenza circoscritta al triangolo ABC.

11. Date le circonferenze x2+y2 = R21 e (x−α)2+y2 = R22 con α−R2 > R1, α >0, determinare le equazioni delle rette tangenti alle due circonferenze.

12. Dimostrare che l’asse radicale di due circonferenze coincide con il luogogeometrico dei punti del piano aventi la stessa potenza rispetto alle duecirconferenze.



13. Dato il fascio di rette generato dalle rette y − x = 0 e y + 2x − 1 = 0,determinare l’equazione della circonferenza con centro in C = (2, 0) etangente a due rette perpendicolari del fascio.

14. Determinare la circonferenza del fascio x2 + y2 − kx = 0, k ∈ R, tangentealla retta y − x − 4 = 0.

15. Sia C una circonferenza di centro C e raggio R. Si definisce inversioneper raggi reciproci l’applicazione Inv : R2 \ {C} :→ R2 \ {C} definitanel modo seguente: per un dato punto P del piano Inv(P) = P′ è il puntodi intersezione della retta r per C e P con la polare del punto P. Lacirconferenza C è detta circonferenza di inversione.

• Se P = (x, y), dimostrare che

Inv(P) =R2(P −C)∥P − C∥2

+ C

• Dimostrare che Inv ◦ Inv(P) = P, cioè Inv ◦ Inv è la applicazioneidentità. Un’applicazione con tale proprietà si dice involuzione.• Dimostrare che l’immagine di una circonferenza contenuta all’in-terno della circonferenza di inversione non passante per l’origine èuna circonferenza.• Dimostrare che l’immagine di una circonferenza contenuta all’in-terno della circonferenza di inversione passante per l’origine è unaretta.• Cosa si può dire dell’immagine di una circonferenza secante lacirconferenza di inversione?• Studiare l’immagine di una retta nei tre casi: passante per l’origine,secante la circonferenza di inversione e tangente alla circonferenzadi inversione.

16. Sia S2(1) = {P ∈ E3 : d(O, P) = 1} la sfera centrata nell’origine diraggio 1 e sia N = (0, 0, 1) il polo nord. Si definisca l’applicazioneprN : S2(1) \ {N} → R2 nel modo seguente: prN(P) = (x, y), con (x, y)coordinate del punto di intersezione della retta r, passante per N e P,con il piano equatoriale z = 0. L’applicazione prN si chiama proiezionestereografica dal polo nord.


5.2 Cilindri e Coni 95

• Dimostrare che se P = (x0, y0, z0), allora

prN(P) =(

x01 − z0

,y0

1 − z0

)

• Dimostrare che l’inversa di prN è data da

pr−1N (x, y) =(

2x1 + x2 + y2

,2y

1 + x2 + y2,x2 + y2 − 11 + x2 + y2

)

• Calcolare in modo analogo l’applicazione prS : S2(1) \ {S } → R2dove S = (0, 0,−1) è il polo sud.• Dimostrare che l’applicazione prN ◦ pr−1S : R2 \ {O} :→ R2 \ {O} èl’inversione per raggi reciproci rispetto alla circonferenza del pianocentrata nell’origine di raggio 1.

5.2 Cilindri e ConiSia L una curva dello spazio euclideo E3 dove abbiamo fissato un riferimentocartesiano. Si pensi, per esempio, ad una retta o ad una circonferenza di unpiano α. Come abbiamo visto in precedenza sia la retta che la circonferenza sipossono parametrizzare. Pensiamo adesso ad una qualsiasi curva dello spazio Lche si possa parametrizzare, nel senso che si possano indicare in modo esplicitole coordinate dei punti appartenenti alla curva L in funzione di un parametro t.Quindi le coordinate dei punti della curva L si possono scrivere nella forma

L(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t ∈ (a, b) ⊂ R .

Con riferimento alla Figura 5.7 diamo le seguenti definizioni.

Definizione 5.7. Sia v un vettore della giacitura dello spazio euclideo E3 e siaL una curva parametrizzata. Definiamo cilindro di direttrice L l’insieme dellerette (generatrici) dello spazio con direzione v ed incidenti la curva L.

Definizione 5.8. Sia V un punto dello spazio euclideo E3 e sia L una curva para-metrizzata. Definiamo cono di direttrice L l’insieme delle rette (generatrici)dello spazio passanti per V ed incidenti la curva L.



V

L(a)

L

v

(b)

Figura 5.7 – Il cono (a) ed il cilindro (b).

Determiniamo le parametrizzazioni del cilindro e del cono. Sia L(t) = (x(t), y(t), z(t))e sia v = (v1, v2, v3), allora un punto P appartiene al cilindro con direttrice L egeneratrici parallele a v se e solo se, per qualche t ∈ (a, b), il vettore P − L(t) èparallelo a v, cioè se esiste s ∈ R tale che P − L(t) = sv. Segue che i punti delcilindro sono dati da

P(s, t) = L(t) + sv = (x(t) + sv1, y(t) + sv2, z(t) + sv3) .

Per determinare la parametrizzazione del cono con vertice in V = (x0, y0, z0)e direttrice L(t) = (x(t), y(t), z(t)) basta osservare che un punto P appartiene alcono se e solo se, per qualche t ∈ (a, b), il vettore P − V è parallelo al vettoreL(t) − V , cioè se esiste s ∈ R tale che P − V = s(L(t) − V). In questo caso ilcono risulta parametrizzato dalla

P(s, t) = V + s(L(t) − V) = (x0 + s(x(t) − x0), y0 + s(y(t) − y0), z0 + s(z(t) − z0) .

Un cono C si dice rotondo se la direttrice è una circonferenza di un piano α edil vertice appartiene alla retta per il centro della circonferenza e perpendicolareal piano α.

Un cilindro C si dice rotondo se la direttrice è una circonferenza di un piano αe le generatrici sono perpendicolari ad α.


5.2 Cilindri e Coni 97

5.2.1 Equazione cartesiana del cilindro e del conoPer equazione cartesiana del cono (o del cilindro) si intende un’equazione deltipo F(x, y, z) = 0, con F funzione delle tre variabili x, y, z, le cui soluzionideterminano le coordinate di tutti i punti del cono (o del cilindro). Determina-re l’equazione cartesiana di un cono o di un cilindro dipende dall’espressionedella parametrizzazione della direttrice L. Non esiste una procedura standard.In via teorica il metodo consiste nell’eliminare i parametri s, t dalla parame-trizzazione. Vediamo alcuni esempi.

Sia C il cilindro con direttrice la circonferenza di raggio R e centro nell’originedel piano z = 0 e sia v = (0, 0, 1). La parametrizzazione del cilindro C è

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x = R cos ty = R sin tz = s

da cui segue immediatamente che x2 + y2 = R2, che rappresenta l’equazionecartesiana del cilindro nel senso che un punto P = (x, y, z) appartiene al cilindrose e solo se le sue coordinate soddisfano alla condizione x2 + y2 = R2. Si vedequindi che fissate le prime due coordinate il valore della z, non comparendonell’equazione, può assume turi i valori reali. È bene osservare che, come nelcaso dell’equazione di un piano nello spazio, l’equazione x2 + y2 = R2 rappre-senta un cilindro nello spazio ma nel piano rappresenta una circonferenza.

Sia adesso C il cono con vertice nell’origine e direttrice la circonferenza dicentro C = (0, 0, 1) e raggio R = 1 del piano α di equazione z = 1. Lacirconferenza può essere parametrizzata da

L(t) = (cos t, sin t, 1) .

Segue che una parametrizzazione del cono è⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x = s cos ty = s sin tz = s .

Eliminando i parametri s e t si ottiene l’equazione cartesiana

x2 + y2 − z2 = 0 .



Il lettore più attento avrà subito osservato che il polinomio sopra è un polino-mio omogeneo di secondo grado. Questo fatto non è una coincidenza ed infattiisi può dimostrare la seguente affermazione (la cui dimostrazione è lasciata peresercizio): il luogo geometrico dei punti dello spazio le cui coordinate soddi-sfano una equazione polinomiale omogenea rappresenta un cono con verticenell’origine.

Se adesso operiamo una traslazione TP0 , con P0 = (x0, y0, z0), si conclude im-mediatamente che un polinomio omogeneo nelle variabili x′ = x−x0, y′ = y−y0e z′ = z − z0 rappresenta un cono con vertice in P0. A titolo di esempio, l’e-quazione (x − 1)2 + (y + 2)2 − (z − 3)2 = 0 rappresenta un cono con vertice inP0 = (1,−2, 3).

5.2.2 Cono e cilindro circoscritto ad una sferaCome già osservato in precedenza il luogo geometrico di tutte le rette per unpunto P0 dello spazio e tangenti ad una data sfera S di centro C e raggio Rforma un cono con vertice in P0 circoscritto alla sfera. In questo caso la (5.8)fornisce l’equazione cartesiana del cono, cioè

[⟨(P −C), (P0 − C)⟩ − R2]2 − (∥P − C∥2 − R2)(∥P0 −C∥2 − R2) = 0 .

Se adesso consideriamo il luogo geometrico delle rette con una data direzionev tangenti alla sfera S troviamo un cilindro circoscritto alla sfera. Per determi-nare l’equazione di tale cilindro basta considerare la (5.7) dove si considera P0come un punto arbitrario del cilindro mentre v è la direzione delle generatricidel cilindro. Si ottiene l’equazione

⟨(P −C), v⟩2 − ∥v∥2(∥P −C∥2 − R2) = 0 .

5.2.3 Esercizi1. Date le rette

r =⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

2x + y + z = 1x + 2y = −1

, r′ =⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

−2x − z + 1 = 03x + y + z = 0

• Trovare l’equazione cartesiana della sfera S passante per l’originee centro nel punto di intersezione tra r e r′.


5.3 Coniche come luogo geometrico 99

• Scrivere l’equazione cartesiana del cono tangente alla sfera S convertice in V = (2,−1, 1).• Determinare l’equazione parametrica di una direttrice L del conoche appartenga alla sfera S .• Scrivere l’equazione parametrica e cartesiana del cilindro con di-rettrice r e generatrici parallele alla retta r′.• Scrivere l’equazione del cilindro con direttrice L e generatrici pa-rallele alla retta r.

5.3 Coniche come luogo geometricoIn questo paragrafo risolveremo alcuni problemi classici che ci porteranno adintrodurre alcune curve e superfici definite da una equazione polinomiale di 2◦grado.

Iniziamo con il seguente problema: nel piano euclideo determinare il luogo deipunti P tali che la somma delle distanze da due dati punti del piano F1 e F2(chiamati fuochi) è una data costante positiva, denotata con 2a.

Questo luogo di punti si chiama ellisse e, rispetto ad un opportuno riferimentocartesiano del piano (detto riferimento canonico dell’ellisse), la sua equazionecartesiana è un’equazione polinomiale di secondo grado. Dimostriamo questofatto.Con riferimento alla Figura 5.8, scegliamo come origine del riferimento il pun-to medio tra i due fuochi F1 e F2, come vettore i quello con direzione e versoconcorde con F2F1 e j in modo tale che la base {i, j} sia orientata positivamen-te. Segue che se F1 = (c, 0), c > 0, allora F2 = (−c, 0). La condizione checaratterizza i punti appartenenti all’ellisse si scrive quindi:

d(P, F1) + d(P, F2) =√

(x − c)2 + y2 +√

(x + c)2 + y2 = 2a .

Ora, muovendo la seconda radice a destra dell’uguale, quadrando l’equazio-ne una prima volta, isolando l’unica radice rimasta, quadrando nuovamente efacendo le dovute semplificazioni si perviene all’equazione

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2) .



Adesso, essendo per costruzione a > c, possiamo porre b2 = a2 − c2, da cuil’equazione precedente può essere messa nella forma

x2

a2+y2

b2= 1 , (5.17)

che prende il nome di equazione canonica dell’ellisse.

x

y

b

−b

a−a

F1F2

P

γ

Figura 5.8 – L’ellisse in forma canonica.

È istruttivo mostrare che ogni punto P0 = (x0, y0) le cui coordinate soddisfanola (5.17) è un punto dell’ellisse. Infatti, supponiamo che d(P0, F1)+d(P0, F2) =2a′. Dobbiamo dimostrare che a′ = a. Seguendo i calcoli appena visti si trova

x20(a′)2

+y20(b′)2

= 1 , (b′)2 = (a′)2 − c2 (5.18)

che, confrontata con la (5.17), implica che

x20(

1a2−

1(a′)2

)

+ y20(

1b2−

1(b′)2

)

= 0 .

Siccome (x0, y0) sono soluzioni della (5.17) non possono essere entrambi nulli.Segue dalla (5.18) che o a2 = (a′)2 o b2 = (b′)2 ed in ogni caso, per come sonodefiniti b e b′, si conclude che a = a′.



I numeri a e b sono chiamati semi assi dell’ellisse mentre i punti di intersezionedell’ellisse con gli assi coordinati sono detti vertici. La parte dell’ellisse delprimo quadrante si può descrivere tramite la funzione

y = b√

1 − x2a2, x ∈ [0, a]

la quale indica che il grafico dell’ellisse nel primo quadrante è quello indicatoin Figura (5.8). Le restanti parti dell’ellisse si possono tracciare per simmetria(il lettore dovrebbe scrivere esplicitamente le funzioni che descrivono il graficodell’ellisse nei restanti tre quadranti e convincersi che la Figura (5.8) è corret-ta).

In modo simile definiamo l’iperbole come: il luogo dei punti P del piano taliche il valore assoluto della differenza delle distanze da due dati punti del pianoF1 e F2 (chiamati fuochi) è una data costante positiva, denotata con 2a.

Introducendo un riferimento cartesiano come nel caso dell’ellisse, un puntoP = (x, y) appartiene all’iperbole se

|d(P, F1) − d(P, F2)| = |√

(x − c)2 + y2 −√

(x + c)2 + y2| = 2a .

Con calcoli simili a quelli svolti nel caso dell’ellisse si perviene all’equazione

x2

a2−y2

b2= 1 , b2 = c2 − a2, (5.19)

che prende il nome di equazione canonica dell’iperbole. Per tracciare l’iper-bole in forma canonica procediamo nel modo seguente. In questo caso la partedell’iperbole del primo quadrante si può descrivere tramite la funzione

y = b√

x2a2− 1 , x ∈ [a,+∞) , (5.20)

la quale, utilizzando i metodi dell’analisi matematica, ha come grafico quellomostrato in Figura 5.9. In particolare, la funzione (5.20) presenta un asintotoobliquo di equazione y = (b/a)x. In fine, descrivendo la parte dell’iperbole neirestanti tre quadranti come grafico di opportune funzioni ed evidenziando lesimmetrie tra queste funzioni, si perviene al grafico dell’iperbole mostrato in



x

y

y= ba xy=− ba x

a−a F1F2

P

Figura 5.9 – L’iperbole in forma canonica.

Figura 5.9.

Descriviamo adesso l’ellisse e l’iperbole utilizzando un’altra costruzione geo-metrica la quale ci permeterà di definire una terza curva. Il problema geometri-co si può formulare nel modo seguente: fissati un punto F, detto fuoco, ed unaretta r nel piano, detta direttrice, (con F " r), determinare il luogo di punti Pdel piano tali che

d(P, F)d(P, r)

= e

dove e è una costante reale positive chiamata eccentricità. Si veda la Figu-ra 5.10.Rispetto ad un qualsiasi riferimento cartesiano dove l’asse delle x è la retta perF perpendicolare ad r, le coordinate del fuoco sono F = (c, 0), c ∈ R, mentrela direttrice ha equazione x = d, d ∈ R. La condizione

dist(P, F)dist(P, r)

= e

diventa√

(x − c)2 + y2 = e |x − d| .Elevando al quadrato si ottiene

(1 − e2)x2 + y2 + 2(de2 − c)x + (c2 − e2d2) = 0 . (5.21)



F

r

P

x

Figura 5.10 – Definizione di eccentricità.

Se e ! 1, possiamo scegliere l’origine in modo che de2 − c = 0. L’equazionediventa

x2

d2e2+

y2

d2e2(1 − e2)= 1 (5.22)

e si presentano due casi

e < 1 In questo caso i denominatori sono entrambi positivi e si tratta di unellisse.

e > 1 In questo caso i denominatori hanno segni opposti e si tratta di un iper-bole.

Dal confronto delle equazioni (5.22), (5.17) e (5.19), tenendo conto che de2 =c, si ottiene

d =a2

c, e =

ca.

Vediamo adesso il caso in cui e = 1. La (5.21) diventa

y2 + 2(d − c)x + (c2 − d2) = 0 .

Scegliendo l’origine in modo che d = −c, come mostra la Figura 5.11, l’equa-zione diventa

y2 = 2px , p = 2c , (5.23)che prende il nome di equazione canonica della parabola. La geometria dellaparabola è, in questo caso, molto semplice da comprendere visto che la (5.23) sipuò pensare come il grafico di una funzione dipendente da y con y ∈ (−∞,+∞).



F

r

P

x

y

Figura 5.11 – La parabola in forma canonica.

5.3.1 Esercizi1. Trovare due punti P e Q dell’ellisse x2

36 +y29 = 1 tali che assieme a A =

(6, 0) formino un triangolo equilatero.

2. Sia R un rettangolo con vertici nell’ellisse x249 +

y224 = 1 e con due lati

perpendicolari all’asse delle ascisse e passanti per i fuochi. Calcolarel’area di R.

3. Gli estremi A, B di un segmento rettilineo di lunghezza ℓ si muovonolungo gli assi coordinati. Determinare il luogo geometrico dei punti Mdel segmento tali che

d(A,M)d(B,M)

= k ∈ R

4. Trovare l’equazione canonica dell’iperbole con asintoti y = (±1/2)x epassante per P = (12,

√3).

5. Siano F1 e d1 un fuoco e una direttrice di un’iperbole e sia r un suoasintoto. Se F1P ⊥ r, P ∈ r, dimostrare che P ∈ d1.

6. Sia P un punto vincolato a muoversi lungo una circonferenza centratanell’origine e raggio R. Sia M un punto del segmento OP le cui coordi-



nate dividono quelle di P in segmenti di rapporto λ ∈ R. Determinare illuogo geometrico individuato da M.

7. Trovare il luogo geometrico descritto dai centri di tutte le circonferenzetangenti a due date circonferenze.

8. Scrivere l’equazione canonica di un’iperbole per la quale il punto P =(16/5, 12/5) è l’itersezione di un asintoto con una direttrice.

9. Calcolare la lunghezza dei lati di un triangolo equilatero i cui verticiappartengono alla parabola y2 − 2px = 0.

5.3.2 Parametrizzazioni delle coniche in forma canonicaRicordando l’identità fondamentale della goniometria, l’ellisse di equazione

x2

a2+y2

b2= 1

si può parametrizzare nel modo seguente:

P(θ) = (a cos θ, b sin θ) .

Per l’iperbole è necessario ricorrere alle funzioni iperboliche (come lo stessonome avrebbe dovuto suggerire). Si verifica immediatamente che l’iperbole diequazione

x2

a2−y2

b2= 1

ammette una parametrizzazione data da

P(θ) = (a cosh θ, b sinh θ) .

Il caso della parabola risulta immediato. Normalmente per una parabola diequazione

y2 = 2px

si sceglie la parametrizzazione

P(t) = (2pt2, 2pt) .



5.4 Superfici di rivoluzioneSia r una retta dello spazio euclideo E3 e sia γ una curva arbitraria dello spazio.Se ruotiamo γ attorno alla retta r (asse di rotazione) ogni punto P ∈ γ, ruotan-do attorno alla alla retta r, descrive una circonferenza appartenente al piano perP ortogonale alla retta r e con il centro sulla retta r. L’insieme di tutte questecirconferenze forma una superficie chiamata superficie di rivoluzione (si vedala Figura 5.12).

Le circonferenze descritte dalla rotazione dei punti P ∈ γ sono chiamati paral-leli mentre le curve ottenute dall’intersezione della superficie con piani conte-nenti l’asse di rotazione sono detti meridiani. Chiaramente se invece di ruo-tare la curva γ si ruota uno dei suoi meridiani si ottiene la stessa superficie dirivoluzione.Per descrivere l’equazione di una superficie di rotazione supponiamo che γsia un meridiano e scegliamo un riferimento cartesiano dello spazio in modoche il meridiano γ appartenga al piano y = 0, come mostrato in Figura 5.12.Supponiamo inoltre che la curva γ sia descritta dall’equazione

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

F(x, z) = 0y = 0 .

(5.24)

Si osservi che se un punto P0 ∈ γ ha coordinate (x0, 0, z0) allora la distanzadel punto P0 dall’asse di rotazione (l’asse z) è d = |x0|. Se per un momentosupponiamo che i punti di γ abbiano ascissa non negativa, allora d = x0. Siaadesso P = (x, y, z) un punto generico della superficie di rotazione. Siccome ilpunto P appartiene ad uno dei paralleli della superficie, esiste un punto P0 ∈γ appartenente allo stesso parallelo, si veda ancora la Figura 5.12. Sia d ilraggio del parallelo, allora le coordinate del punto P0 sono P0 = (d, 0, z) conF(d, z) = 0. Adesso, dal fatto che la distanza del punto P dall’asse di rotazioneè pari a d, si ottiene d =

√

x2 + y2. Sostituendo d =√

x2 + y2 nella condizioneF(d, z) = 0 si ottiene, essendo P un punto generico della superficie, il seguentefatto: l’equazione di una superficie di rivoluzione ottenuta ruotando una curvaγ di equazione F(x, z) = 0, y = 0 attorno all’asse z è

F(√

x2 + y2, z) = 0 . (5.25)


5.5 Quadriche di rotazione 107

x

y

z

γ

dd

P = (x, y, z)

P0 = (d, 0, z)

Figura 5.12 – Superficie di rivoluzione.

5.4.1 Equazione parametrica di una superficie di rivoluzioneSe il meridiano γ è descritto in forma parametrica dalla

γ(t) = (x(t), 0, z(t))

la parametrizzazione della superficie di rivoluzione ottenuta dalla rotazionedella curva γ attorno all’asse z si ottiene facendo agire le rotazioni antiora-rie attorno all’asse z di angolo θ ad un generico punto P della curva γ. Tenendoconto dell’Osservazione 4.5, si ottiene la parametrizzazione

X(θ, t) = Rkθ γ⊤ =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

x(t)0z(t)

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=(

x(t) cos θ, x(t) sin θ, z(t))

. (5.26)

5.5 Quadriche di rotazioneIn questo paragrafo consideriamo le superfici di rotazione ottenute facendoruotare le conica descritte nel paragrafo 5.3 attorno ad uno degli assi coordinati.



5.5.1 EllissoidiSi consideri nel piano y = 0 l’ellisse di equazione

x2

a2+z2

b2= 1 .

Ruotando l’ellisse attorno all’asse z si ottiene una superficie di rotazione, chia-mata ellissoide di rotazione, la cui equazione, tenendo conto della (5.25),è

x2 + y2

a2+z2

b2= 1 . (5.27)

L’aspetto della superficie, a seconda che a sia maggiore o minore di b, è mo-strato nelle Figura 5.13 e Figura 5.14. È un esercizio utile descrivere le curveottenute intersecando l’ellissoide di rotazione con piani perpendicolari agli assicoordinati. Per esempio, le intersezioni con piani perpendicolari all’asse dellez di equazione z = c, c ∈ R, sono circonferenze (eventualmente immaginarie)di equazione

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

z = cx2 + y2 = a2

(

1 − c2b2)

,

in accordo con il fatto che la superficie è di rotazione attorno all’asse z. Il let-tore dovrebbe descrivere i rimanenti casi.

In teoria si potrebbe considerare la superficie ottenuta dalla rotazione dell’el-lisse attorno all’asse delle x invece che attorno all’asse delle z. Non è dif-ficile convincersi che il risultato di tale operazione genera una superficie diequazione

x2

a2+y2 + z2

b2= 1

la quale, dopo il cambiamento di coordinate cartesiano x = z′, y = y′ e z = x′,si trasforma nella (5.27).

Generalizzando quanto visto in questo paragrafo definiamo ellissoide la super-ficie dello spazio che, rispetto ad un opportuno sistema di riferimento cartesia-no, ha equazione

x2

a2+y2

a2+z2

c2= 1 . (5.28)



La (5.28) rappresenta una superficie il cui aspetto è simile a quello delle Figu-re 5.13 e 5.14. L’unica differenza è che nel caso in cui a, b, c siano distinti lasuperficie non è di rotazione rispetto ad alcun asse.

x

y

z

Figura 5.13 – Ellissoide di rotazione con a > b.

5.5.2 IperboloidiProcedendo allo stesso modo del paragrafo precedente si consideri, nel pianoy = 0, l’iperbole di equazione

x2

a2−z2

b2= 1 .

Ruotando l’iperbole attorno all’asse z si ottiene una superficie di rotazione,chiamata iperboloide di rotazione ad una falda, la cui equazione, tenendoconto della (5.25), è

x2 + y2

a2−z2

b2= 1 . (5.29)

L’aspetto della superficie, è mostrato nella Figura 5.15. Anche in questo casoil lettore dovrebbe studiare le intersezioni dell’iperboloide ad una falda con ipiani perpendicolari agli assi coordinati.



x

y

z

Figura 5.14 – Ellissoide di rotazione con a < b.

Anche in questo caso l’equazione (5.29) si può generalizzare nella

x2

a2+y2

b2−z2

c2= 1 , (5.30)

la cui superficie corrispondente prende il nome di iperboloide ad una falda.

Diversamente dal caso dell’ellisse se ruotiamo l’iperbole attorno all’asse dellex la superficie ottenuta è sostanzialmente differente da quella ottenuta ruotandol’iperbole attorno all’asse delle z. Basti osservare, come mostra la Figura 5.16,che ruotando l’iperbole attorno all’asse delle x si ottiene una superficie formatada due componenti (falde). In questo caso la superficie ha equazione

x2

a2−y2 + z2

b2= 1 , (5.31)



x

y

z

Figura 5.15 – Iperboloide ad una falda.

è prende il nome di iperboloide di rotazione a due falde.

Come negli altri casi la (5.31) si generalizza nella

x2

a2−y2

b2−z2

c2= 1 , (5.32)

la cui superficie corrispondente prende il nome di iperboloide a due falde.

5.5.3 ParaboloidiIn questo paragrafo consideriamo il caso in cui si ruota una parabola attorno aduno degli assi coordinati. Si consideri quindi, nel piano y = 0, la parabola diequazione

x2 = 2pz .



x

y

z

Figura 5.16 – Iperboloide a due falde.

Se ruotiamo la parabola attorno all’asse delle x si ottiene una superficie diequazione

x2 = 2p√

y2 + z2

che, quadrando, diventax4 = 4p2(y2 + z2)

la quale rappresenta una superficie la cui equazione è data da un polinomio diquarto grado. Siccome il nostro interesse è nelle superficie la cui equazioneè data da un polinomio di secondo grado, questo esempio esula dalla nostratrattazione e non verrà considerato.

Se invece ruotiamo la parabola attorno all’asse delle z si ottiene la superficie diequazione

x2 + y2 = 2pz , (5.33)

chiamata paraboloide di rotazione. Una rappresentazione del paraboloide dirotazione è mostrata in Figura 5.17.



x

y

z

Figura 5.17 – Paraboloide di rotazione.

In fine anche in questo caso si può generalizzare la (5.33) nella

x2

a2+y2

b2= 2z , (5.34)

la cui superficie corrispondente prende il nome di paraboloide ellittico.

Una ulteriore generalizzazione della (5.34) consiste nella

x2

a2−y2

b2= 2z . (5.35)

Questa equazione rappresenta una superficie che non ha un corrispondente dirotazione come nei casi precedenti, cioè se nella (5.35) si pone a = b la cor-rispondente superficie non è di rotazione rispetto a nessuno degli assi coor-dinati. Il lettore può verificare questo fatto analizzando le intersezioni con ipiani perpendicolari agli assi coordinati e mostrando che non si ottengono maicirconferenze.La superficie rappresentata dalla (5.35) prende il nome di paraboloide iperbo-lico o paraboloide a sella. Il nome a sella trova giustificazione nella sua formache assomiglia, per l’appunto, ad una sella, come mostra la Figura 5.18.



x

y

z

Figura 5.18 – Paraboloide iperbolico.

Come mostreremo nel prossimo capitolo le equazioni delle coniche e delle qua-driche viste in questo paragrafo e riassunte nella Tabella 5.1 sono, in qualchemodo, fondamentali per la comprensione dell’equazione generale di una conicao di una quadrica e, per questo motivo sono chiamate equazioni canoniche.

5.5.4 Esercizi

1. Dato l’ellissoide Q di equazione x2 + y2 + 4z2 = 1

• Scrivere l’equazione del cono con vertice nell’origine e direttrice Ldata come intersezione di Q con il piano z = k.

• Scrivere l’equazione del cono con vertice V = (2, 0, 0) e direttriceL data come intersezione di Q con il piano x = k.

• Scrivere l’equazione del cilindro con generatrici parallele a k etangenti all’ellissoide.



Nome Equazione Di rotazione

Ellissoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 se due tra a, b, c sono uguali

Iperboloide ad una faldax2

a2+y2

b2−z2

c2= 1 se a = b

Iperboloide a due falde x2

a2−y2

b2−z2

c2= 1 se b = c

Paraboloide ellittico x2

a2+y2

b2= 2z se a = b

Paraboloide iperbolico x2

a2−y2

b2= 2z mai

Tabella 5.1 – Equazioni canoniche delle cinque quadriche incontrate in questo paragrafo.

2. Dimostrare che le ellissi ottenute intersecando l’ellissoide

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

con i piani x = k = costante hanno la stessa eccentricità.

3. Mostrare che il piano 2x + 3y − 6z − 6 = 0 interseca l’iperboloide

x2

9+y2

4− z2 = 1

lungo due rette.

4. Determinare il fuoco della parabola ottenuta come intersezione del para-boloide

x2

16−y2

4= z

con il piano y = 2.


6Geometria quadratica2: quadriche e conicheaffiniLa geometria quadratica studia i luoghi dei punti del piano e dello spazio le cuicoordinate, rispetto ad un riferimento affine, soddisfano ad un’equazione qua-dratica di secondo grado. Nel piano tali luoghi sono chiamati coniche e nellospazio quadriche. Nel capitolo precedente abbiamo studiato diversi esempi diconiche e di quadriche. Il presente capitolo si occupa della trattazione gene-rale di questi luoghi di punti. In particolare, ci occuperemo dello studio dellequadriche e delle coniche dal punto di vista affine.

6.1 La definizione di quadrica e conicaIniziamo, anche per fissare le notazioni, con la seguenteDefinizione 6.1.(a) Fissato un sistema di riferimento affine nello spazio una quadrica Q

è il luogo dei punti P le cui coordinate (x, y, z), rispetto al sistema di


6.1 La definizione di quadrica e conica 117

riferimento affine scelto, soddisfano ad una equazione del tipo

a11x2 + a22y2 + a33z2+2a12xy + 2a13xz + +2a23yz+2a10x + 2a20y + 2a30z + a00 = 0 , (6.1)

con a11, a22, a33, a12, a13, a23 non tutti nulli.

(b) Fissato un sistema di riferimento affine nel piano una conica Q è il luo-go dei punti P le cui coordinate (x, y), rispetto al sistema di riferimentoaffine scelto, soddisfano ad una equazione del tipo

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 , (6.2)

con a11, a12, a22 non tutti nulli.

Osservazione 6.2. Per semplicità espositiva, quando non vi è necessità di spe-cificare, denoteremo con Q sia la quadrica che il polinomio di secondo gradoche la descrive.Se denotiamo con

P =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

xyz

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

il vettore colonna delle coordinate di un punto P dello spazio e introduciamole matrici

A =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

, a =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

a10a20a30

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

una verifica diretta mostra che l’equazione di una quadrica (6.1) si può scriverenella forma matriciale

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0. (6.3)

Nel caso di una conica nel piano, introducendo le matrici

A =(

a11 a12a12 a22

)

, a =(

a10a20

)

,

l’equazione di una conica (6.2) si può scrivere nella stessa forma matriciale(6.3).


118 Geometria quadratica 2: quadriche e coniche affini

Questo fatto ci permette di trattare la teoria delle coniche e delle quadriche sen-za distinzione, basterà tener conto che la matrice A nel caso di una quadrica èdi ordine 3 mentre è di ordine 2 per una conica. Le stesse osservazioni valgonoper il vettore colonna a.La matrice A prende il nome di matrice dei termini quadratici mentre il vet-tore a rappresenta i coefficienti dei termini di primo grado. È bene osservaresin da adesso che la matrice A è simmetrica.

Se adesso denotiamo con

P =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

xyz1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

, e con A =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

a11 a12 a13 a10a12 a22 a23 a20a13 a23 a33 a30a10 a20 a30 a00

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

l’equazione di una quadrica diventa

P⊤AP = 0. (6.4)

Un’equazione analoga vale per una conica con

A =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

a11 a12 a10a12 a22 a20a10 a20 a00

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

e P =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

xy1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

Proposizione 6.3. La definizione di quadica (conica) non dipende dal riferi-mento affine scelto.

Dimostrazione. SiaP⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0

l’equazione di una quadrica Q rispetto ad un riferimento affine (O,B). Sia(O′,B′) un altro riferimento affine allora, tenendo conto della Proposizione 1.16,

P = MP′ + β ,

dove M è una matrice non singolare e β un vettore colonna. Segue che l’equa-zione della quadrica rispetto al riferimento (O′,B′) è

(MP′ + β)⊤A(MP′ + β) + 2a⊤(MP′ + β) + a00 = 0 .


6.1 La definizione di quadrica e conica 119

Svolgendo i conti l’ultima equazione diventa

(P′)⊤M⊤AMP′+(P′)⊤M⊤Aβ+β⊤AMP′+2a⊤MP′+β⊤Aβ+2a⊤β+a00 = 0 . (6.5)

Osserviamo che, da un lato (β⊤AMP′)⊤ = β⊤AMP′ (sono matrici di ordine 1),dall’altro, usando che A è simmetrica, si ha (β⊤AMP′)⊤ = (P′)⊤M⊤Aβ. La (6.5)diventa

(P′)⊤M⊤AMP′ + 2(β⊤AM + a⊤M)P′ + Q(β) = 0,

la quale, ponendo

A′ = M⊤AM , (a′)⊤ = β⊤AM + a⊤M , a′00 = Q(β),

assume l’espressione

(P′)⊤A′(P′) + 2(a′)⊤(P′) + a′00 = 0 ,

che, essendo A′ = M⊤AM una matrice simmetrica, rappresenta un’equazionequadratica nel riferimento (O′,B′). !

Un’ispezione attenta della dimostrazione della Proposizione 6.3 ci permette diprovare la seguente

Proposizione 6.4. Siano A e A le matrici associate ad una quadrica Q rispettoad un riferimento affine dello spazio (O,B) e siano A′ e A′ le matrici associa-te alla stessa quadrica Q rispetto ad un altro riferimento affine dello spazio(O′,B′). Allora,

rank(A) = rank(A′) , rank(A) = rank(A′)

edet(A) = λ det(A′) , det(A) = λ det(A′) , con λ > 0 .

Dimostrazione. Dalla dimostrazione della Proposizione 6.3 si ha

A′ = M⊤AM

con M matrice non singolare. Segue che A e A′ hanno lo stesso rango. Inoltre

det A′ = det(M⊤AM) = det(M⊤) det(A) det(M) = det(M)2 det(A) .



Sia adesso

P =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

xyz1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=

(

P1

)

dove (x, y, z) rappresentano le coordinate rispetto al riferimento (O,B) . Uncalcolo diretto mostra che, rispetto al cambiamento di coordinate affini

P = MP′ + β ,

dove M è una matrice non singolare e β un vettore colonna,

P =(

P1

)

=

(

M β

0 1

) (

P′1

)

= MβP′ ,

dove Mβ è una matrice di ordine 4 con lo stesso determinante della matrice M.L’equazione (6.4) della quadrica diventa, dopo il cambiamento di riferimento,

(MβP′)⊤A(MβP′) = (P′)⊤(M⊤β AMβ)(P′) = 0 .

Segue cheA′ = M⊤β AMβ

da cui A e A′ hanno lo stesso rango e

det(A′) = det(M⊤β AMβ) = det(Mβ)2 det(A) .

!

La Proposizione 6.4 mostra che i due numeri det(A) e det(A) hanno un impor-tanza nello studio affine delle quadriche. Da ora in poi indicheremo questi duenumeri con le seguenti lettere

δ = det(A) , ∆ = det(A) .

Vediamo adesso quanti punti sono necessari per determinare una conica o unaquadrica. Si ha la seguente

Proposizione 6.5. Dati cinque punti nel piano in posizione qualunque esisteuna conica che li contiene. Dati nove punti nello spazio in posizione qualunqueesiste una quadrica che li contiene.


6.2 Intersezione di una quadrica con un piano 121

Dimostrazione. La dimostrazione è immediata considerando l’equazione (6.2)di una conica in un dato riferimento affine nel piano. Infatti, i coefficientidell’equazione della conica passante per cinque punti Pi = (xi, yi), i = 1, . . . , 5,si ottengono risolvendo il sistema

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

a11x21 + a22y21 + 2a12x1y1 + 2a10x1 + 2a20y1 + a00 = 0

a11x22 + a22y22 + 2a12x2y2 + 2a10x2 + 2a20y2 + a00 = 0a11x23 + a22y

23 + 2a12x3y3 + 2a10x3 + 2a20y3 + a00 = 0

a11x24 + a22y24 + 2a12x4y4 + 2a10x4 + 2a20y4 + a00 = 0a11x25 + a22y

25 + 2a12x5y5 + 2a10x5 + 2a20y5 + a00 = 0

(6.6)

il quale, essendo un sistema omogeneo di cinque equazioni nelle sei variabi-li a11, a22, a12, a10, a20, a00, ammette ∞(6−ρ) soluzioni (dove ρ è il rango dellamatrice dei coefficienti). Siccome ρ è al massimo 5 esiste una soluzione nonbanale. Se tale soluzione avesse a11 = a22 = a12 = 0, la (6.2) diventerebbel’equazione 2a10x + 2a20y + a00 = 0 di un piano ed, in ogni caso, la conica(2a10x + 2a20y + a00)2 = 0 passerebbe per i cinque punti dati.

La dimostrazione per la quadrica è analogo e quindi lasciata come esercizio.!

Osservazione 6.6. La conica passante per i cinque punti non è unica. L’uni-cità si ha quando il rango della matrice dei coefficienti del sistema (6.6) è 5,infatti, in questo caso, si avrebbero ∞1 soluzioni ed, essendo i coefficienti del-l’equazione di una conica univocamente determinati a meno di un fattore diproporzionalità non nullo, si deduce che si ottiene un’unica conica. La stessadiscussione vale nel caso delle quadriche.

6.2 Intersezione di una quadrica con un pianoAndiamo a considerare adesso l’intersezione di una data quadrica con un pianodello spazio. Sia

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0

l’equazione di una quadrica Q in un dato riferimento affine e sia

P = P0 + sv + tw



l’equazione parametrica di un piano α nello stesso riferimento affine. Il luogodei punti di intersezione tra Q e α si ottiene risolvendo il sistema

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0P = P0 + sv + tw ,

dal quale si ottiene la condizione

(P0 + sv + tw)⊤A(P0 + sv + tw) + 2a⊤(P0 + sv + tw) + a00 = 0.

Con semplici calcoli e tenendo conto che, per esempio, v⊤a = a⊤v o v⊤Aw =w⊤Av, l’ultima equazione diviene

(v⊤Av)s2+ (w⊤Aw)t2+2(v⊤Aw)st+2v⊤(AP0+a)s+2w⊤(AP0+a)t+Q(P0) = 0.(6.7)

Se (v⊤Av), (w⊤Aw) e (v⊤Aw) non sono tutti nulli la (6.7) rappresenta l’equazio-ne di una conica nelle coordinate affini (s, t) del piano rispetto al riferimentoaffine (P0,B = {v,w}) del piano.

Non discutiamo adesso tutti i casi in cui (v⊤Av) = (w⊤Aw) = (v⊤Aw) = 0 iquali saranno trattati più agevolmente una volta nota la classificazione dellequadriche. A titolo di esercizio, se (v⊤Av) = (w⊤Aw) = (v⊤Aw) = 0 definiamola forma bilineare simmetrica ϕ : R3 × R3 → R come ϕ(u1, u2) = u⊤1Au2.Rispetto ad una base di R3 con primi due vettori v e w, cioè {v,w, e3}, la matriceassociata alla forma bilineare ϕ è

M =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

0 0 m130 0 m23m13 m23 m33

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

,

la quale ha rango ρ ≤ 2. Segue che anche la matrice A ha rango al massimo 2.Tenendo conto della Proposizione 6.4 possiamo concludere che se una quadricaha matrice dei termini di secondo grado non singolare, allora l’intersezione diQ con un qualsiasi piano α è una conica del piano α.Osservazione 6.7. Il lettore dovrebbe, per esercizio, scrivere le matrici A e Adi tutti gli esempi di quadriche visti nel Capitolo 5. Inoltre, nei casi descrittidovrebbe cercare di capire se l’intersezione con un piano è sempre una conica.Esiste anche la possibilità che l’intersezione di un piano con una quadrica sial’insieme vuoto, come vedremo più avanti. Infine, risulta molto utile rivederela discussione fatta nella sezione 5.1.7 sull’intersezione di un piano con unasfera.


6.3 Intersezione di una quadrica con una retta 123

6.3 Intersezione di una quadrica con una rettaIn questo paragrafo discuteremo l’intersezione di una quadrica (conica) conuna retta. Da questa discussione scaturiranno la maggior parte delle nozioniche ci permetteranno di comprendere la geometria delle quadriche (coniche) edi classificarle.Sia quindi Q una quadrica di equazione

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0

e sia r una retta parametrizzata da

P = P0 + tu .

Per semplicità espositiva supporremo inizialmente che la retta r non sia conte-nuta nella quadrica.Per determinare i punti di intersezione della retta con la quadrica dobbiamorisolvere il sistema

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0P = P0 + tu .

Sostituendo la seconda equazione nella prima, svolgendo i calcoli e raccoglien-do i termini, si perviene all’equazione in t:

(u⊤Au) t2 + 2(u⊤AP0 + u⊤a) t + Q(P0) = 0 . (6.8)

Gli eventuali punti di intersezione della quadrica con la retta si ottengono ri-solvendo la (6.8) ed andando a sostituire le eventuali soluzioni nella parame-trizzazione della retta.

La (6.8) può presentare una delle seguenti tipologie:

(a) esistono due soluzioni reali o due soluzioni complesse coniugate;

(b) esistono due soluzioni reali coincidenti;

(c) esiste al massimo una soluzione (quindi reale);

(d) non esiste nessuna soluzione (reale o complessa);



Analizziamo per primo i casi (c). Se esiste al massimo una soluzione vuol direche il coefficiente del termine di secondo grado della (6.8) vale zero. In questocaso diamo la seguenteDefinizione 6.8. Una direzione u si dice asintotica per la quadrica Q se tuttele rette con direzione u (non contenute nella quadrica) intersecano la quadricain al massimo un punto, cioè se u soddisfa alla condizione

u⊤Au = 0 .Se u = (l,m, n) l’insieme delle direzioni asintotiche di una data quadrica ècaratterizzato dall’equazione

u⊤Au = a11l2 + a22m2 + a33n2 + 2a12lm + 2a13ln + 2a23mn = 0 . (6.9)La (6.10), essendo definita da un polinomio omogeneo nelle variabili (l,m, n)rappresenta un cono di direzioni asintotiche.

Nel caso di una conica la definizione di direzione asintotica è del tutto analogama, in questo caso, la (6.10) si riduce alla

a11l2 + a22m2 + 2a12lm = 0 , (6.10)che rappresenta una coppia di direzioni reali distinte, complesse coniugate ocoincidenti a seconda che il discriminante a212 − a11a22 = −δ sia maggiore, mi-nore o uguale a zero.

Con riferimento alla situazione (d) diamo la seguenteDefinizione 6.9. Una retta r è un asintoto per una quadrica (conica) se l’inter-sezione tra la retta e la quadrica (conica) è l’insieme vuoto. Con riferimentoalla (6.8) una retta è un asintoto se e solo se

u⊤Au = 0 , u⊤AP0 + u⊤a = 0 , Q(P0) ! 0 .Nella definizione precedente dire che l’intersezione di una retta con una qua-drica è l’insieme vuoto significa che non ci sono punti di intersezione sia concoordinate reali che complesse.Osservazione 6.10. La retta r è completamente contenuta in una quadrica se la(6.8) è soddisfatta per ogni valore di t, cioè se

u⊤Au = 0 , u⊤AP0 + u⊤a = 0 , Q(P0) = 0 .Quindi le rette contenute in una quadrica hanno, formalmente, direzione asin-totica, nel senso che u⊤Au = 0.



6.3.1 Asintoti di una conicaSia Q una conica nel piano con equazione, rispetto ad un riferimento affine,

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0 .

Dalla Definizione 6.9 una retta r : P = P0 + tu, non contenuta nella conica,è un asintoto se u è una direzione asintotica ed inoltre, essendo P0 un puntogenerico della retta, se ogni punto della retta soddisfa alla condizione

u⊤AP + u⊤a = 0 . (6.11)

La ricerca degli asintoti di una conica si può quindi schematizzare nel modoseguente.

• Si cercano le soluzioni u⊤ = (l,m) dell’equazione

u⊤Au = a11l2 + a22m2 + 2a12lm = 0 .

• Per ogni soluzione u tale che u⊤A ! 0, si considera la retta r di equazione

u⊤AP + u⊤a = 0 .

Se esiste un punto P0 di r contenuto nella conica, allora r è tutta conte-nuta nella conica, altrimenti, se esiste un punto P0 non contenuto nellaconica, la retta r è un asintoto.

Applichiamo la procedura appena descritta per determinare gli asintoti delleconiche descritte nel Capitolo 5.Consideriamo assieme il caso dell’ellisse e dell’iperbole la cui equazione puòessere scritta come (si vedano le (5.17)–(5.19)):

x2

a2±y2

b2− 1 = 0 ,

con + nel caso dell’ellisse e − in quello dell’iperbole. Le matrici A, a ed Asono

A =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

1a2

0

0 ±1b2

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

, a =(

00

)

, A =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

1a2

0 0

0 ±1b2

00 0 −1

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.



Si osservi che δ = det(A) = ±1/(a2b2), mentre ∆ = det(A) = ∓1/(a2b2). Ledirezioni asintotiche u⊤ = (l,m) sono date dalle soluzioni dell’equazione

l2

a2±m2

b2= 0 ,

la quale si può riscrivere come(

la−mb

) (

la+mb

)

= 0 , nel caso dell’iperbole

o(

la− i

mb

) (

la+ i

mb

)

= 0 , nel caso dell’ellisse .

Si conclude che, nel caso dell’iperbole, esistono due direzioni asintotiche reali

u⊤1 = (a, b) , u⊤2 = (a,−b)

ed i corrispondenti asintoti hanno equazione

u⊤1AP + u⊤1a = (a, b)

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

1a2

0

0 −1b2

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

(

xy

)

=xa−yb= 0

e

u⊤2AP + u⊤2a = (a,−b)

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

1a2

0

0 −1b2

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

(

xy

)

=xa+yb= 0 ,

in accordo con quanto trovato nella sezione 5.3, si veda anche la Figura 5.9.

Nel caso dell’ellisse si trovano le due direzioni immaginarie

u⊤1 = (a, ib) , u⊤2 = (a,−ib)

ed i corrispondenti asintoti sono le rette immaginarie di equazionexa+ i

yb= 0 , x

a− i

yb= 0 .

Vediamo adesso il caso della parabola di equazione (si veda la (5.23)):

y2 − 2px = 0 .



Le matrici A, a ed A sono

A =(

0 00 1

)

, a =(

−p0

)

, A =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

0 0 −p0 1 0−p 0 0

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

In questo caso δ = det(A) = 0, mentre ∆ = det(A) = −p2. Le direzioniasintotiche u⊤ = (l,m) sono date dalle soluzioni dell’equazione

m2 = 0 ,

la quale ha l’unica soluzione doppia u⊤ = (1, 0). Le rette con tale direzionesono le rette orizzontali che, dall’osservazione della Figura 5.11, hanno unasola intersezione con la parabola. In questo caso

u⊤A = (1, 0)(

0 00 1

)

=

(

00

)

,

quindi, per la parabola, non esiste alcun asintoto.

6.3.2 Asintoti di una quadricaLa discussione degli asintoti di una quadrica è più complessa. Anche per unaquadrica un asintoto è caratterizzato dal fatto che ogni suo punto soddisfa lacondizione (6.11) la quale, nel caso in cui u sia una direzione asintotica conu⊤A ! 0, rappresenta l’equazione di un piano. Tale piano associato alla dire-zione asintotica u è chiamato piano asintotico della quadrica. In generale sipuò solo concludere che un asintoto di una quadrica appartiene a qualche pianoasintotico associato ad una direzione asintotica della quadrica.

Sia adesso α un piano asintotico che intersechi la quadrica Q lungo una conicaC = Q ∩ α. Sia adesso r un asintoto della conica C. Siccome r non ha punti incomune con C e r ⊂ α segue che r non ha punti in comune con la quadrica Q,cioè r è un asintoto della quadrica. Viceversa, se r è un asintoto della quadrica,allora r appartiene a qualche piano asintotico α e, di conseguenza, r è un asin-toto della conica C = Q ∩ α.

Questo ragionamento mostra che, per determinare gli asintoti di una quadri-ca, bisognerebbe studiare gli asintoti delle coniche intersezione di tutti i piani



asintotici della quadrica con la quadrica stessa.

Nel caso delle quadriche descritte nella sezione 5.5, le direzioni asintoticheu⊤ = (l,m, n) sono soluzione delle equazioni:

l2

a2+m2

b2+n2

c2= 0 , Ellisoidi;

l2

a2±m2

b2−n2

c2= 0 , Iperboloidi;

l2

a2±m2

b2= 0 , Paraboloidi.

A questo punto non è difficile convincersi (il lettore deve però convincersi)che le rette generatrici dei seguenti coni con vertice nell’origine (chiamati coniasintotici) sono asintoti delle corrispondenti quadriche.

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 0 , Cono asintotico per gli Ellisoidi;

x2

a2±y2

b2−z2

c2= 0 , Cono asintotico per gli Iperboloidi;

x2

a2±y2

b2= 0 , Cono asintotico per i Paraboloidi.

Nel caso dell’ellissoide il cono asintotico è immaginario, nel caso degli iperbo-loidi si trova un cono reale, mentre nel caso dei paraboloidi il cono asintoticodegenera in due piani incidenti reali (paraboloide iperbolico) o incidenti imma-ginari (paraboloide ellittico).

Si osservi infine che i coni asintotici sopra descritti non esauriscono tutti ipossibili asintoti di una quadrica. Per esempio se prendiamo il paraboloideiperbolico di equazione z = x2 − y2, ogni piano z = costante interseca il para-boloide lungo un’iperbole i cui asintoti sono anche asintoti dell’iperboloide enon passando per l’origine non appartengono al cono.



6.3.3 Generatori rettilinei di una quadricaDefinizione 6.11. Una retta r contenuta in una quadrica (conica) si chiama ungeneratore rettilineo della quadrica (conica).

La nozione di generatore rettilineo è interessante solo nel caso di una quadrica.Infatti, se una retta r di equazione ax+by+c = 0 è completamente contenuta inuna conica, necessariamente il polinomio che definisce la conica si scomponenel prodotto (ax+ by+ c)(a′x+ b′y+ c′) per qualche polinomio di primo gradoa′x + b′y + c′ e la conica si spezza in una coppia di rette.

Come indicato nell’Osservazione 6.10, una retta r di equazione parametricaP = P0 + tu è completamente contenuta in una quadrica di equazione

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0

seu⊤Au = 0 , u⊤AP0 + u⊤a = 0 , Q(P0) = 0 .

In questo testo non faremo un analisi teorica partendo dalle condizioni indicatesopra ma ci limiteremo a dimostrare la seguente

Proposizione 6.12. Il paraboloide iperbolico e l’iperboloide ad una faldapossiedono due famiglie ad un parametro di generatori rettilinei.

Dimostrazione. L’equazione (5.30) di un iperboloide ad una falda si può scri-vere come

( xa−zc

) ( xa+zc

)

=

(

1 − yb

) (

1 + yb

)

.

Segue che, per ogni t ∈ R, t ! 0, le rette di equazione

rt :

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

xa−zc= t

(

1 − yb

)

xa+zc=1t

(

1 + yb

)

, r′t :

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

xa−zc= t

(

1 + yb

)

xa+zc=1t

(

1 − yb

)

appartengono all’iperboloide ad una falda. Si veda la Figura 6.1 per una rap-presentazione grafica della famiglia rt.Allo stesso modo si fa vedere che, per ogni t ∈ R, t ! 0, le rette

rt :

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

xa−zc= 2t

xa+zc=zt

, r′t :

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

xa+zc= 2t

xa−zc=zt



appartengono al paraboloide iperbolico. !

Figura 6.1 – Una delle famiglie di generatori rettilinei dell’Iperboloide ad una falda.

Il lettore dovrebbe dimostrare adesso che le altre tre quadriche descritte nellasezione 5.5 e riassunte nella Tabella 5.1 non contengono generatori rettilinei.

6.3.4 Rette tangenti ad una quadricaTorniamo adesso all’equazione (6.8) e diamo la seguenteDefinizione 6.13. Se una retta interseca una quadrica (conica) in due punti realicoincidenti P = P1 = P2, la retta si dice tangente alla quadrica (conica) nelpunto di contatto P.Ricordando l’equazione quadratica in t dell’intersezione tra una retta ed unaquadrica,

(u⊤Au) t2 + 2(u⊤AP0 + u⊤a) t + Q(P0) = 0 ,si ricava immediatamente che una retta per P0 è tangente alla quadrica se e solose il vettore direttore u soddisfa alla condizione

(u⊤AP0 + u⊤a)2 − (u⊤Au)Q(P0) = 0 . (6.12)



Cerchiamo adesso il luogo geometrico delle rette per P0 tangenti alla quadri-ca Q. Se un punto P appartiene al luogo cercato, allora P appartiene ad unadelle rette del luogo e, di conseguenza, il vettore P − P0 ha la direzione dellaretta tangente. Segue che l’equazione del luogo delle rette per P0 tangenti allaquadrica si ottiene sostituendo u = P − P0 nella (6.12). Si ottiene

[(P − P0)⊤AP0 + (P − P0)⊤a]2 − [(P − P0)⊤A(P − P0)]Q(P0) = 0 . (6.13)

Con un semplice calcolo il termine al primo addendo si può scrivere come

(P − P0)⊤AP0 + (P − P0)⊤a = P⊤AP0 − P⊤0AP0 + a⊤P − a⊤P0= P⊤AP0 + a⊤P + a⊤P0 + a00− (P⊤0AP0 + 2a⊤P0 + a00)

=Q(P, P0) − Q(P0) ,

dove abbiamo posto

Q(P, P0) = P⊤AP0 + a⊤P + a⊤P0 + a00 . (6.14)

La (6.13) diventa

Q(P, P0)2−2Q(P0)Q(P, P0)+Q(P0)2−[(P−P0)⊤A(P−P0)]Q(P0) = 0 . (6.15)

Metendo in evidenza Q(P0) negli ultimi tre addendi della (6.15) e svolgendo icalcoli si perviene alla condizione

Q(P, P0)2 − Q(P0)Q(P) = 0 . (6.16)

La condizione (6.16) è del tutto analoga alla (5.8) trovata nel caso in cui laquadrica fosse una sfera. L’espressione diQ(P, P0) si ottiene per polarizzazionedel polinomio di secondo grado che definisce la quadrica. OperativamenteQ(P, P0) si ottiene tramite le seguenti sostituzioni

x2 6→ xx0y2 6→ yy0z2 6→ zz0xy 6→ (xy0 + x0y)/2xz 6→ (xz0 + x0z)/2yz 6→ (yz0 + y0z)/2x 6→ (x0 + x)/2y 6→ (y0 + y)/2z 6→ (z0 + z)/2 .



Un altro modo per calcolare Q(P, P0) è utilizzare la matrice A. Infatti è imme-diato verificare che

Q(P, P0) = P⊤AP0 . (6.17)

La (6.16) rappresenta l’equazione cartesiana del luogo delle rette per P0 tan-genti alla quadrica.

Se Q è una conica nel piano e P0 non appartiene a Q, allora (6.16) rappresentadue rette reali o immaginarie distinte. Se P0 appartiene alla conica la (6.16) siriduce alla

Q(P, P0) = 0 (6.18)

che rappresenta l’equazione della retta tangente alla conica in P0.

Se Q è una quadrica e P0 non appartiene a Q, la (6.16) rappresenta un cono rea-le o immaginario, con vertice in P0, tangente alla quadrica. Se P0 appartienealla quadrica la (6.18) rappresenta l’equazione del piano tangente alla quadricain P0.

In modo completamente analogo a quanto visto nel caso della sfera, definiamopiano (retta) polare di un punto P0 rispetto ad una quadrica (conica)Q il piano(la retta) di equazione

Q(P, P0) = 0 .

Anche in questo caso vale il teorema di reciprocità.

Il lettore dovrebbe ripercorrere le costruzioni grafiche della polare, viste nel-l’Esempio 5.4 per il caso della circonferenza, ed addatarle al caso di una conicaqualunque.

Terminiamo questo paragrafo descrivendo l’equazione del luogo delle rette pa-rallele ad una data direzione u e tangenti ad una quadrica. Se consideriamo la(6.12) con u fissato e P0 generico, si ottiene l’equazione del luogo cercato, cioè

(u⊤AP + u⊤a)2 − (u⊤Au)Q(P) = 0 . (6.19)

Nel caso di una conica la (6.19) rappresenta due rette parallele, mentre nel casodi una quadrica la (6.19) è un cilindro con generatrici parallele a u.


6.4 Centro di simmetria 133

6.4 Centro di simmetriaDiamo la seguente

Definizione 6.14. Un punto C è un centro di simmetria per una quadrica(conica) Q se per ogni retta per C che interseca la quadrica in due punti distintiP1, P2, C è il punto medio tra P1 e P2.

Il cento di simmetria, se esiste, è caratterizzato dalla seguneteProposizione 6.15. Sia Q una conica di equazione

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0.

Allora un punto C è un centro di simmetria se e solo se C è soluzione delsistema

AP + a = 0 . (6.20)

Dimostrazione. Supponiamo che C sia un centro di simmetria e sia r una rettaper C con direzione u non asintotica, cioè tale che u⊤Au ! 0. Siano P1 e P2 idue punti di intersezione di Q con r. Allora, per definizione di centro,

C =P1 + P22

.

Se parametrizziamo la retta r come P = C + tu i due punti di intersezione sonoP1 = C + t1u e P2 = C + t2u dove t1 e t2 sono le soluzioni dell’equazione

(u⊤Au) t2 + 2(u⊤AC + u⊤a) t + Q(C) = 0 .

Segue che, da un lato,

C =P1 + P22

=C + t1u +C + t2u

2= C +

t1 + t22

u,

quindi t1 + t2 = 0, dall’altro lato

−(t1 + t2) =2(u⊤AC + u⊤a)

u⊤Auda cui

u⊤AC + u⊤a = 0 .Infine, siccome esiste sempre una base dello spazio formata da direzioni nonasintotiche, l’ultima equazione implica che AC + a = 0 come richiesto.Ripercorrendo i passaggi al contrario si ottiene immediatamente il viceversa.

!



Osservazione 6.16. Dato un punto C si definisce riflessione centrale con cen-tro in C la trasformazione affine ϕ : E3 → E3 definita da ϕ(P) = 2C − P.Una definizione alternativa di centro di simmetria è la seguente: C è un cen-tro di simmetria per una quadrica Q se il polinomio F(x, y, z) che definisce laquadrica soddisfa alla condizione

∀P ∈ Q , F(P) = λ F(2C − P) , λ ∈ R, λ ! 0, (6.21)

cioè se la riflessione centrale con centro in C trasforma la quadrica in se stessa.Il lettore dovrebbe provare a dimostrare che le due definizioni sono equivalenti.Per questo basta dimostrare che un punto C soddisfa la (6.21) se e solo se èsoluzione del sistema (6.20).Essendo gli eventuali centri di simmetria di una quadrica soluzioni di un si-stema lineare la cui matrice dei coefficienti è la matrice A della quadrica,un discussione attenta del sistema, utilizzando il Teorema di Rouché-Capelli,conduce alla seguente

Proposizione 6.17. Sia Q una quadrica (conica).

(a) Se δ = det(A) ! 0, allora esiste un unico centro di simmetria.

(b) Se δ = det(A) = 0 e ∆ = det(A) ! 0, allora non esiste alcun centro disimmetria.

(c) Se δ = det(A) = 0 e ∆ = det(A) = 0 e Q è una conica allora esiste unaretta di centri di simmetria. Se Q è una quadrica esistono tre possibilità:non esiste alcun centro; esiste una retta di centri; esiste un piano dicentri.

Dimostrazione. Un eventuale centro di simmetria è soluzione del sistema (6.20).

(a) – Se δ = det(A) ! 0 la matrice del sistema ha rango massimo e quindi ilsistema ammette un unica soluzione.

(b) – Supponiamo adesso che δ = det(A) = 0 e ∆ = det(A) ! 0. La matrice deicoefficienti del sistema AP + a = 0 è A mentre la matrice completa del sistema(a meno del segno dell’ultima colonna che in ogni caso non altera il rango) è

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

a11 a12 a13 a10a12 a22 a23 a20a13 a23 a33 a30

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

. (6.22)


6.4 Centro di simmetria 135

Essendo det(A) = 0 la matrice dei coefficienti del sistema ha rango minore di3 mentre la matrice completa del sistema, essendo una sottomatrice della ma-trice A ed avendo quest’ultima rango massimo, ha rango 3. Dal Teorema diRouche-Capelli segue che il sistema è incompatibile e quindi non esiste alcuncentro di simmetria.

(c) – Supponiamo che δ = det(A) = 0 e ∆ = det(A) = 0 e che Q sia una conica.Il rango della matrice A è 1. Dimostriamo che anche il rango della matricecompleta

(

a11 a12 a10a12 a22 a20

)

(6.23)

vale 1. Siccome det(A) = 0 una delle colonne di A è combinazione linearedelle altre. Se fosse la terza colonna allora anche la terza colonna della (6.23)sarebbe combinazione lineare delle altre ed il sistema risulterebbe compatibile.Supponiamo adesso che la terza colonna non sia combinazione lineare dellealtre e che il rango della (6.23) sia, per assurdo, 2. Dalla simmetria di A lerighe della matrice (6.23) corrispondono alle prime due colonne della matriceA. Siccome per ipotesi la (6.23) ha rango 2 le prime due colonne di A sonolinearmente indipendenti ed essendo la terza colonna linearmente indipendentecon le prime due segue che il rango di A è uguale a 3 in contraddizione col fattoche det(A) = 0. Il sistema risulta quindi compatibile ed ammette∞1 soluzioniche formano una retta.Nel caso in cuiQ sia una quadrica la situazione è più complessa. Infatti il rangodi A può essere sia 2 che 1. Se il rango di A fosse 2 un ragionamento analogoa quello visto sopra dimostrerebbe che il sistema AP + a = 0 è compatibile edammette ∞1 soluzioni che formano una retta. Se il rango di A è 1 ci sono duepossibilità: il rango di (6.22) è due, ed in questo caso il sistema è incompatibile;il rango di (6.22) vale 1 e il sistema AP + a = 0 è compatibile ed ammette ∞2

soluzioni che formano un piano. !

L’importanze del centro in geometria affine risiede nella sua invarianza pertrasformazioni geometriche come illustrato nella seguente

Proposizione 6.18. Fissato un riferimento affine nello spazio (piano) sia C ilcentro di una quadrica (conica) Q definita dall’equazione F(x, y, z) = 0 e siaϕ : E3 → E3 una trasformazione affine. Allora C′ = ϕ(C) è il centro dellaquadrica Q′, immagine di Q tramite ϕ, definita dall’equazione F′(x′, y′, z,′ ) =F ◦ ϕ−1(x′, y′, z′) = 0.



Dimostrazione. Usiamo la definizione di centro data nella Osservazione 6.16.Quindi C è un centro per la quadrica Q se esiste λ ∈ R, λ ! 0 tale che F(P −2C) = λF(P) per ogni P ∈ Q. Sia quindi P′ = ϕ(P), con P ∈ Q. Allora

F′(P′) = F ◦ ϕ−1(P′) = F(P) = λ F(2C − P)= λ F(2ϕ−1ϕ(C) − ϕ−1(P′))= λ F ◦ ϕ−1(2C′ − P′)= λF′(2C′ − P′) . (6.24)

La (6.24) dice esattamente che C′ = ϕ(C) è un centro per la quadrica Q′. Il let-tore dovrebbe però fare attenzione che la trasformazione affine ϕ non è lineare,quindi l’uguaglianza tra la seconda e la terza riga della (6.24) non discende perlinearità e, di conseguenza, va dimostrata (per esercizio) esplicitamente. !

Se una quadrica (conica) ha un centro di simmetria C possiamo scegliere unriferimento affine con origine in C. Rispetto a tale riferimento l’equazione chedefinisce la quadrica (conica) è di tipo speciale, come mostra la seguente

Proposizione 6.19. Rispetto ad un riferimento affine con origine in un centrodi una quadrica (conica) Q il polinomio F(x, y, z) che definisce la quadrica(conica) non presenta i termini di primo grado. Viceversa, se il polinomioF(x, y, z) che definisce la quadrica (conica) non presenta i termini di primogrado l’origine è un centro di simmetria.

Dimostrazione. Supponiamo che il centro di una quadrica Q di equazione

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0

sia l’origine. Sia P un punto della quadrica, allora, essendo l’origine il puntomedio tra P e P′ = −P, segue che P′ = −P ∈ Q. Si ottiene quindi

P⊤AP + 2a⊤P + a00 − [(−P)⊤A(−P) + 2a⊤(−P) + a00] = 0 − 0 = 0 ,

la quale, dopo le ovvie semplificazioni, implica che

4a⊤P = 0 , ∀ P ∈ Q.

Viceversa, se a = 0 allora il sistema (6.20) che caratterizza i centri di unaquadrica è omogeneo di conseguenza l’origine è un centro di simmetria. !


6.5 Diametri di una quadrica 137

6.5 Diametri di una quadricaSia u una direzione non asintotica per una quadrica Q. Allora tutte le rettacon direzione u intersecano la quadrica in due punti P1 e P2, eventualmenteimmaginari. In ogni caso il punto medio tra P1 e P2 è un punto di coordinatereali. Diamo quindi la seguente

Definizione 6.20. Sia Q una quadrica (conica) e sia u una direzione non asin-totica. Il luogo dei punti medi dei punti di intersezione delle rette con direzioneu con la quadrica Q si chiama diametro della quadrica (conica) coniugato alladirezione u.

Il diametro di una quadrica (conica) è caratterizzato dalla seguente

Proposizione 6.21. Sia u una direzione non asintotica per una quadrica (co-nica) di equazione

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0

allora il diametro coniugato è un piano (una retta nel caso di una conica) diequazione

u⊤AP + a⊤u = 0 . (6.25)

Dimostrazione. Sia u una direzione non asintotica e sia r una retta con dire-zione u. Siano P1 e P2 i punti di intersezione di r con Q e sia M il loro puntomedio. Se parametrizziamo la retta r come P = M + tu i punti di intersezionedi Q con r sono dati da P1 = M + t1u e P2 = M + t2u dove t1 e t2 sono soluzionidella (6.8) con M = P0:

(u⊤Au) t2 + 2(u⊤AM + u⊤a) t + Q(M) = 0 . (6.26)

Siccome M è il punto medio tra P1 e P2 segue che 2M = P1 + P2 = 2M +(t1 + t2)u, da cui t1 + t2 = 0. Essendo t1 e t2 soluzione dell’equazione (6.26), siottiene

0 = t1 + t2 = −2(u⊤AM + u⊤a)

(u⊤Au).

Quindi i punti medi M soddisfano alla condizione u⊤AM + u⊤a = 0 la qualerappresenta l’equazione di una retta nel caso di una conica e l’equazione di unpiano nel caso di una quadrica. !



Da ora in poi chiameremo diametro il diametro coniugato ad una direzioneu rispetto ad una conica mentre chiameremo piano diametrale il diametroconiugato a u.Il nome diametro, ricordando la nomenclatura classica per una circonferenza,è stato scelto poiché se una quadrica (conica) ha un centro allora un qualsiasidiametro contiene il centro. Tale proprietà è di immediata verifica, infatti uneventuale centro soddisfa la condizione AC + a = 0 da cui segue che u⊤AC +u⊤a = u⊤(AC + a) = 0.

Definizione 6.22. Una direzione v si dice coniugata alla direzione u se v èparallela al diametro coniugato a u.

Proposizione 6.23. Una direzione v è coniugata ad una direzione u se e solose

u⊤Av = 0. (6.27)

In particolare, se v è coniugata a u se e solo se u è coniugata a v.

Dimostrazione. Se v è coniugata ad u allora ogni retta r con direzione v nonha punti di intersezione con il diametro coniugato ad u o è contenuta nel dia-metro coniugato. Parametrizzando r come P = P0 + tv gli eventuali punti diintersezione con il diametro coniugato alla direzione u si ottengono risolvendoil sistema

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

u⊤AP + u⊤a = 0P = P0 + tv ,

il quale conduce alla equazione di primo grado in t

(utAv)t + u⊤AP0 + u⊤a = 0.

Per ipotesi l’ultima equazione o non ammette soluzioni o ammette infinitesoluzioni ed in entrambi i casi si deve avere utAv = 0. !

6.6 Classificazione affine delle quadricheDue quadrice (coniche) Q e Q′ si dicono affinemente equivalenti se esiste unatrasformazione affine ϕ tale che ϕ(Q) = Q′. Se, rispetto ad un riferimento affi-ne, F(x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0 sono le equazioni di Q e Q′ rispettivamente,allora Q e Q′ sono affinemente equivalenti se F(ϕ−1(P)) = G(P). In modo


6.6 Classificazione affine delle quadriche 139

equivalente, due quadriche Q e Q′ sono equivalenti dal punto di vista affine seesiste un cambiamento di coordinate affini rispetto al quale l’equazione di Qnel primo riferimento coincide con quella di Q′ nel nuovo.

Con classificazione affine delle quadriche (coniche) si intende determinare tuttii tipi di quadriche (coniche) a meno di trasformazioni affini.

Iniziamo con la classificazione affine delle coniche. Un primo risultato è chetramite una trasformazione affine l’equazione di una conica si può ricondurread una forma pre-canonica come mostra la seguente

Proposizione 6.24. Sia Q una conica di equazione

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 . (6.28)

Allora esiste una trasformazione affine rispetto alla quale la conica ha equa-zione

y2 = Ax2 + 2Bx + C , A, B,C ∈ R . (6.29)

Dimostrazione. Possiamo supporre che a22 ! 0. Infatti, se fossero a22 = 0 ea11 ! 0, basterebbe considerare la trasformazione affine che manda x in y e yin x per ricondursi al caso a22 ! 0. Se invece fossero a22 = 0 e a11 = 0, allora,necessariamente, a12 ! 0 e la trasformazione affine

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x 6→ (x − y)y 6→ (x + y)

trasformerebbe il termine xy in x2 − y2 riconducendoci al caso precedente.Sia quindi a22 ! 0. Moltiplicando la (6.28) per il reciproco di a22 possiamoassumere che a22 = 1. Completando il quadrato dei termini in y si ottiene

(y + a12x + a20)2 + (a11 − a212)x2 + 2(a10 − a12a20)x + a00 − a220 = 0 .

Ponendo A = a12 − a11, B = (a12a20 − a10) e C = a220 − a00, si ottiene

(y + a12x + a20)2 = Ax2 + 2Bx +C .

In fine, tramite la trasformazione affine⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x 6→ xy + a12x + a20 6→ y

si ottiene la (6.35). !



Siamo pronti per enunciare il seguente

Teorema 6.25. Sia Q una conica di equazione

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 . (6.30)

Allora esiste una trasformazione affine rispetto alla quale la conica assumeuna delle seguenti forme canoniche:

(i) y2 = −x2 − 1 (Ellisse immaginaria)(ii) y2 = −x2 + 1 (Ellisse reale)(iii) y2 = x2 + 1 (Iperbole)(iv) y2 = x (Parabola)(v) y2 = −x2 (Rette immaginarie incidenti)(vi) y2 = x2 (Rette reali incidenti)(vii) y2 = −1 (Rette immaginarie parallele)(viii) y2 = 1 (Rette reali parallele)(ix) y2 = 0 (Rette reali coincidenti).

Dimostrazione. Dalla Proposizione 6.24 possiamo assumere che l’equazionedella conica sia

y2 = Ax2 + 2Bx + C , A, B,C ∈ R . (6.31)Dividiamo inizialmente nei due casi A ! 0 e A = 0.

Sia A ! 0. Allora tramite la trasformazione affine⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x 6→ λxy 6→ y

il coefficiente del termine in x2 diventa Aλ2 e possiamo determinare λ tale cheAλ2 = ±1 (+1 quando A > 0 e −1 quando A < 0). L’equazione diventay2 = ±x2 + 2λBx + C. Completando il quadrato dei termini in x si trovano, aseconda del segno del coefficiente di x2, le seguenti possibilità

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

y2 = (x + λB)2 + C − λ2B2

y2 = −(x − λB)2 + C + λ2B2 .

In entrambi i casi esiste una trasformazione affine che trasforma l’equazionenella

y2 = ±x2 + D , D = C ∓ λ2B2 . (6.32)



Operando ora la trasformazione affine⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x 6→ µxy 6→ µy

la (6.32) diventay2 = ±x2 +

Dµ2. (6.33)

Si presentano due sotto casi.

Se D ! 0 allora esite µ tale che D2/µ2 ± 1 e la (6.33) diventa y2 = ±x2 ± 1. Sihanno quindi i seguenti quattro casi

(i) y2 = −x2 − 1 (Ellisse immaginaria)(ii) y2 = −x2 + 1 (Ellisse reale)(iii) y2 = x2 + 1 (Iperbole) .

Il caso y2 = −x2 − 1 non compare poiché tramite la trasformazione affine chescambia x con y si riconduce al caso (iii).

Se D = 0 la (6.33) diventa y2 = ±x2 e si presentano gli ulteriori due coniche(v) y2 = −x2 (Rette immaginarie incidenti)(vi) y2 = x2 (Rette reali incidenti) .

Vediamo adesso il caso in cui A = 0. La (6.31) diventa

y2 = 2Bx + C . (6.34)

Se B ! 0 tramite la trasformazione affine⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

(2Bx +C) 6→ xy 6→ y

la (6.34) diventa il tipo(iv) y2 = x (Parabola) .

Se B = 0 e C ! 0, tramite il la trasformazione affine che manda y in ξy, per unopportuno ξ, la (6.34) diventa y2 = ±1 e si trovano i casi

(vii) y2 = −1 (Rette immaginarie parallele)(viii) y2 = 1 (Rette reali parallele) .



In fine, se B = 0 e C = 0 la (6.34) conduce all’ultimo tipo

(ix) y2 = 0 (Rette reali coincidenti) .

!

6.6.1 Invarianti affiniA questo punto la domanda importante è se i nove tipi di equazione canonicadel Teorema 6.25 sono tutti distinti dal punto di vista affine, nel senso che nonesiste una trasformazione affine (o un cambiamento di coordinate affini) cheporti uno dei tipi in un qualunque altro tipo.Per dimostrare che non sono affinemente equivalenti utilizziamo la Proposizio-ne 6.4 dalla quale si ricava che se P = MP′ + β è una trasformazione affine e Qè una conica di equazione

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0

allorarank(A) = rank(A′) , rank(A) = rank(A′)

edet(A) = λ det(A′) , det(A) = λ det(A′) , con λ > 0 ,

dove con A′ e A′ abbiamo indicato le matrici dell’equazione della conica tra-sformata. Quindi i due ranghi e i due determinanti sono degli invarianti affini,anche se va osservato che mentre il rango rimane numericamente uguale i duedeterminanti vengono moltiplicati per una costante positiva. In ogni caso seuno dei determinanti è zero rimane zero. Bisogna però osservare che il segnodi ∆ non è un invariante. Infatti, sebbene tramite una trasformazione affine ∆viene moltiplicato per una costante positiva, il segno di ∆ per una data conicanon è univocamente determinato: se moltiplichiamo l’equazione di una conicaper −1 si ottiene la stessa conica ma il determinante della matrice A, essendodi ordine 3, viene moltiplicato per (−1)3 = −1 e quindi cambia segno. Al con-trario, il segno di δ è un invariante affine poiché la matrice A è di ordine 2.

Con un calcolo diretto degli invarianti sopra descritti per i nove tipi di equa-zioni canoniche determinati nel Teorema 6.25 si ottiene la Tabella 6.1. DallaTabella 6.1 rimane da verificare che non sono affinemente equivalenti (i) con(ii) e gli ultimi tre tipi (vii), (viii) e (ix). La conica (i) ha solo punti immaginari



Tipo Equazione ∆ δ Nome

(i) y2 = −x2 − 1 ! 0 > 0 (Ellisse immaginaria)

(ii) y2 = −x2 + 1 ! 0 > 0 (Ellisse reale)(iii) y2 = x2 + 1 ! 0 < 0 (Iperbole)

(iv) y2 = x ! 0 = 0 (Parabola)(v) y2 = −x2 = 0 > 0 (Rette immaginarie incidenti)

(vi) y2 = x2 = 0 < 0 (Rette reali incidenti)(vii) y2 = −1 = 0 = 0 (Rette immaginarie parallele)

(viii) y2 = 1 = 0 = 0 (Rette reali parallele)(ix) y2 = 0 = 0 = 0 (Rette reali coincidenti).

Tabella 6.1 – Gli invarianti affini per i nove tipi di coniche

mentre (ii) è reale quindi non possono essere affinementi equivalenti. Per lostesso motivo (vii) non può essere affinemente equivalente con (viii) o con (ix).In fine, la matrice A del tipo (ix) è l’unica con rango uno.

La Tabella 6.1 mostra che le coniche affini si dividono in quelle con ∆ ! 0e quelle con ∆ = 0. Chiamiamo coniche non degeneri quelle con ∆ ! 0e coniche degeneri quelle con ∆ = 0. Un osservazione attenta della Tabel-la 6.1 mostra che una conica è non degenere se non contiene nessuna retta edi conseguenza il polinomio che la descrive è irriducibile, nel senso che nonsi può scrivere come prodotto di due polinomi (eventualmente con coefficienticomplessi) di primo grado.

6.6.2 Classificazione affine delle quadricheCon una dimostrazione simile a quella della Proposizione 6.24 si dimostra laseguente.Proposizione 6.26. Sia Q una quadrica di equazione (6.1). Allora esiste unatrasformazione affine rispetto alla quale la quadrica assume l’equazione

z2 = F(x, y) , (6.35)



dove F(x, y) è un polinomio di secondo grado in x e y.

Possiamo adesso enunciare il seguente

Teorema 6.27. Sia Q una quadrica di equazione (6.1). Allora esiste una tra-sformazione affine rispetto alla quale la conica assume una delle seguentiforme canoniche:

(i) z2 = −x2 − y2 − 1 (Ellissoide immaginario)(ii) z2 = −x2 − y2 + 1 (Ellissoide reale)(iii) z2 = −x2 + y2 + 1 (Iperboloide ad una falda)(iv) z2 = x2 + y2 + 1 (Iperboloide a due falde)(v) z2 = −y2 + x (Paraboloide ellittico)(vi) z2 = y2 + x (Paraboloide iperbolico)(vii) z2 = −x2 − y2 (Cono immaginario)(viii) z2 = −x2 + y2 (Cono reale)(ix) z2 = −y2 − 1 (Cilindro immaginario)(x) z2 = −y2 + 1 (Cilindro ellittico)(xi) z2 = y2 − 1 (Cilindro iperbolico)(xii) z2 = y (Cilindro parabolico)(xiii) z2 = −y2 (Piani immaginari incidenti)(xiv) z2 = y2 (Piani reali incidenti)(xv) z2 = −1 (Piani immaginari paralleli)(xvi) z2 = 1 (Piani reali paralleli)(xvii) z2 = 0 (Piani reali coincidenti)

Dimostrazione. Dalla Proposizione 6.26 esiste una trasformazione affine ri-spetto alla quale la quadrica assume la forma

z2 = F(x, y) ,

dove F(x, y) è un polinomio di secondo grado in x e y. Se F(x, y) = 0 descriveuna conica esiste una trasformazione affine

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

x 6→ x′ = ϕ1(x, y)y 6→ y′ = ϕ2(x, y) ,

del piano z = 0, rispetto alla quale la conica F(x, y) = 0 assume una delle noveforme canoniche descritte nel Teorema 6.25. Quindi rispetto alla trasformazio-



ne affine⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

x 6→ x′ = ϕ1(x, y)y 6→ y′ = ϕ2(x, y)z 6→ z

l’equazione z2 = F(x, y) assume una delle seguenti forme canoniche (tenendoin conto che l’opposto di una forma canonica per F(x, y) è ancora una formacanonica):

(i) z2 = −x2 − y2 − 1 (Ellissoide immaginario)(ii) z2 = −x2 − y2 + 1 (Ellissoide reale)(iii) z2 = −x2 + y2 + 1 (Iperboloide ad una falda)(iv) z2 = x2 + y2 + 1 (Iperboloide a due falde)(v) z2 = −y2 + x (Paraboloide ellittico)(vi) z2 = y2 + x (Paraboloide iperbolico)(vii) z2 = −x2 − y2 (Cono immaginario)(viii) z2 = −x2 + y2 (Cono reale)(ix) z2 = −y2 − 1 (Cilindro immaginario)(x) z2 = −y2 + 1 (Cilindro ellittico)(xi) z2 = y2 − 1 (Cilindro iperbolico)(xiii) z2 = −y2 (Piani immaginari incidenti)(xiv) z2 = y2 (Piani reali incidenti).

Rimangono da studiare i casi in cui il polinomio F(x, y) è di grado uno o digrado zero. Nel primo caso, supponendo che il coefficiente in y sia diversoda zero (altrimenti si effettua la trasformazione affine che scambia x con y) siottiene, tramite l’ovvia trasformazione affine, l’unica forma canonica

(xii) z2 = y (Cilindro parabolico),

Nel secondo caso F(y, x) = c, con c costante, e, a seconda che il valore di c siamaggiore, minore o uguale a zero, si trovano le ultime tre forme canoniche:

(xv) z2 = −1 (Piani immaginari paralleli)(xvi) z2 = 1 (Piani reali paralleli)(xvii) z2 = 0 (Piani reali coincidenti).

!

Anche in questo caso un calcolo esplicito degli invarianti δ e ∆ restituisce laTabella 6.2. Si osservi che nel caso delle quadriche il segno di δ non può



essere un invariante affine, infatti in questo caso la matrice A ha ordine dispari,mentre è un invariante il segno di ∆. Dall’osservazione della Tabella 6.2 ci sirende conto che i soli due invarianti δ e ∆ non sono sufficienti per distinguerei vari tipi di quadriche affini. Abbiamo in questo caso aggiunto nella tabellaanche i relativi valori dei ranghi delle matrici A e A.

Tipo Equazione ∆ δ (ρ(A), ρ(A)) Nome

(i) z2 = −x2 − y2 − 1 > 0 ! 0 (4, 3) (Ellissoide immaginario)

(ii) z2 = −x2 − y2 + 1 < 0 ! 0 (4, 3) (Ellissoide reale)(iii) z2 = −x2 + y2 + 1 > 0 ! 0 (4, 3) (Iperboloide ad una falda)

(iv) z2 = x2 + y2 + 1 < 0 ! 0 (4, 3) (Iperboloide a due falde)(v) z2 = −y2 + x < 0 = 0 (4, 2) (Paraboloide ellittico)

(vi) z2 = y2 + x > 0 = 0 (4, 2) (Paraboloide iperbolico)(vii) z2 = −x2 − y2 = 0 ! 0 (3, 3) (Cono immaginario)

(viii) z2 = −x2 + y2 = 0 ! 0 (3, 3) (Cono reale)(ix) z2 = −y2 − 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro immaginario)

(x) z2 = −y2 + 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro ellittico)

(xi) z2 = y2 − 1 = 0 = 0 (3, 2) (Cilindro iperbolico)(xii) z2 = y = 0 = 0 (3, 1) (Cilindro parabolico)

(xiii) z2 = −y2 = 0 = 0 (2, 2) (Piani immaginari incidenti)(xiv) z2 = y2 = 0 = 0 (2, 2) (Piani reali incidenti)

(xv) z2 = −1 = 0 = 0 (2, 1) (Piani immaginari paralleli)(xvi) z2 = 1 = 0 = 0 (2, 1) (Piani reali paralleli)

(xvii) z2 = 0 = 0 = 0 (1, 1) (Piani reali coincidenti)

Tabella 6.2 – Gli invarianti affini per i 17 tipi di quadriche

Per terminare dobbiamo verificare che i diciassette tipi di quadrica nella Ta-bella 6.2 non sono a due a due affinementi equivalenti. Tramite l’uso degliinvarianti, rimangono ancora alcuni casi irrisolti dei quali discutiamo adesso.



Il tipo (i) non è equivalente al tipo (iii) in quanto in un caso la quadrica è imma-ginaria e nell’altro caso è reale. Il tipo (ii) non è equivalente al tipo (iv) poichéil cono asintotico di (ii) è immaginario mentre quello di (iv) è reale. Il tipo (vii)essendo immaginario non è equivalente al tipo (viii). Il tipo (ix) essendo im-maginario non può essere equivalente al tipo (x) o al tipo (xi), mentre i due tipi(x) e (xi) avendo coni asintotici rispettivamente immaginari e reali non sonoequivalenti. Il tipo (xiii) è una quadrica immaginaria e quindi non equivalenteal tipo (xiv). In fine il tipo (xv), poiché immaginario, non è equivalente al tipo(xvi).


7Geometria quadratica3: quadriche e conicheeuclideeQuesto capitolo è dedicato allo studio delle quadriche e delle coniche dal pun-to di vista euclideo. In particolare, daremo la classificazione euclidea dellequadriche e delle coniche.

7.1 Direzioni principaliSia Q una quadrica (conica) in uno spazio (piano) euclideo e sia (O,B) unriferimento cartesiano dello spazio (piano). Rispetto al riferimento (O,B), es-sendo un particolare riferimento affine, la quadrica ha un equazione del tipo(6.3), cioè

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0 .

Ricordando che il prodotto scalare tra due vettori v e w, rispetto ad una baseortonormale, è dato da ⟨v,w⟩ = v⊤w, si ottiene che la (6.3) può essere riscritta


7.1 Direzioni principali 149

nella forma⟨P, AP⟩ + 2⟨a, P⟩ + a00 = 0.

Diamo adesso l’importante

Definizione 7.1. Una direzione u è una direzione principale per una quadrica(conica) se è perpendicolare a tutte le direzioni ad essa coniugate.

In pratica una direzione u è principale se ⟨u, v⟩ = 0 per ogni direzione v taleche ⟨u, Av⟩ = 0. Segue immediatamente che il piano diametrale (il diametro)coniugato ad una direzione principale u è perpendicolare ad u.

Geometricamente, dalla definizione di diametro coniugato, si ottiene imme-diatamente che se un punto P appartiene ad una quadrica (conica), allora ilsuo simmetrico rispetto ad un piano diametrale coniugato (diametro coniuga-to) ad una direzione principale appartiene ancora alla stessa quadrica (conica).Questa proprietà implica che un diametro coniugato ad una direzione princi-pale divide la quadrica (conica) in due parti simmetriche rispetto al diametro.Questo fatto suggerisce la seguente

Definizione 7.2. Il diametro coniugato ad una direzione principale prende ilnome di piano di simmetria nel caso di una quadrica e asse di simmetria nelcaso di una conica.

Diamo adesso un criterio per determinare le direzioni principali.

Proposizione 7.3. Sia Q una quadrica (conica) di equazione

⟨P, AP⟩ + 2⟨a, P⟩ + a00 = 0.

Una direzione u è principale se e solo se è un autovettore della matrice Arelativo ad un autovalore diverso da zero.

Dimostrazione. Sia u una direzione principale, per ogni direzione v tale che⟨Au, v⟩ = 0 si ha ⟨u, v⟩ = 0. Segue che sia Au che u sono perpendicolari allagiacitura del piano coniugato ad u la quale ha dimensione 2. Quindi Au e uappartengono ad un sottospazio vettoriale di dimensione 1 e quindi sono pro-porzionali, cioè esiste un λ ! 0 tale che Au = λu.


150 Geometria quadratica 3: quadriche e coniche euclidee

Viceversa, sia u tale che Au = λu, con λ ! 0. Sia v una direzione coniugata au, allora

0 = ⟨Au, v⟩ = ⟨λu, v⟩ = λ⟨u, v⟩

dalla quale, essendo λ ! 0, segue che ⟨u, v⟩ = 0. !

Ricordando che un endomorfismo simmetrico è sempre diagonalizzabile e cheuna matrice simmetrica si può pensare come la matrice associata ad un endo-morfismo simmetrico, rispetto ad una base ortonormale, segue che la matriceA di una quadrica (conica) è sempre diagonalizzabile. Inoltre, siccome la ma-trice A non può essere la matrice nulla esiste almeno un autovalore λ ! 0 i cuiautovettori corrispondenti sono direzioni principale. Questo ragionamento cipermette di enunciare la seguente

Proposizione 7.4. Ogni quadrica (conica) ammette almeno un piano (asse) disimmetria.

Se il piano di simmetria di una quadrica coincide con uno dei piano cartesianiallora l’equazione della quadrica nella forma mostrata dalla seguente

Proposizione 7.5. Se, per esempio, x = 0 è un piano (asse) di simmetria peruna quadrica (conica) Q, allora o Q contiene il piano (l’asse) o l’equazione diQ non contiene i termini dove la variabile x compare di primo grado.

Dimostrazione. Dimostriamo il risultato per una conica. Sia

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 (7.1)

l’equazione di una conica. Se la retta x = 0 è un asse di simmetria e (x, y)soddisfa la (7.1) allora anche (−x, y) soddisfa la (7.1). Segue che, per ogniP = (x, y) ∈ Q, si ha

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00 = 0a11x2 + a22y2 − 2a12xy − 2a10x + 2a20y + a00 = 0

o, equivalentemente,⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

a11x2 + a22y2 + 2a20y + a00 = 0a12xy + a10x = 0.

(7.2)


7.2 Classificazione euclidea delle coniche e delle quadriche 151

Siccome le equazioni in (7.2) devono essere soddisfate entrambe dalle coordi-nate di tutti i punti della conica si perviene, dopo un attenta analisi, alla conclu-sione che l’equazione della conica deve essere una delle due di (7.2) mentre icoefficienti dell’altra devono essere nulli (cioè la condizione è un’identità). Ladimostrazione per le quadriche è analoga e viene lasciata come esercizio. !

A questo punto il lettore dovrebbe ripercorrere gli esempi di coniche e qua-driche visti nel Capitolo 5 e determinare per ognuno le direzioni principali e icorrispondenti piani o assi di simmetria.

7.2 Classificazione euclidea delle coniche e dellequadriche

Due quadriche (coniche) Q eQ′ si dicono isometriche (o equivalenti per isome-trie) se esiste una isometria ϕ tale che ϕ(Q) = Q′. Se, rispetto ad un riferimentocartesiano, F(x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0 sono le equazioni di Q e Q′ rispet-tivamente, allora Q e Q′ sono isometriche se F(ϕ−1(P)) = G(P). In modoequivalente, due quadriche Q e Q′ sono isometriche se esiste un cambiamentodi coordinate cartesiane rispetto al quale l’equazione di Q nel primo riferimen-to coincide con quella di Q′ nel nuovo.

Con classificazione euclidea delle quadriche (coniche) si intende determinaretutti i tipi di quadriche (coniche) a meno di isometrie.

Diamo inizialmente la classificazione delle coniche

Teorema 7.6. Sia Q una conica che, rispetto ad un riferimento cartesiano delpiano, ha equazione

a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 . (7.3)

Allora esiste un opportuno riferimento cartesiano e delle opportune costanti(denotate, a seconda dei casi, con a, b o p), rispetto ai quali la conica assumeuna delle seguenti forme canoniche:



(i)x2

a2+y2

b2= −1 (Ellisse immaginaria)

(ii)x2

a2+y2

b2= 1 (Ellisse reale)

(iii) x2

a2−y2

b2= 1 (Iperbole)

(iv) y2 = 2px (Parabola)

(v) x2 + b2 y2 = 0 (Rette immaginarie incidenti)

(vi) x2 − b2 y2 = 0 (Rette reali incidenti)

(vii) x2 = −a2 (Rette immaginarie parallele)

(viii) x2 = a2 (Rette reali parallele)

(ix) x2 = 0 (Rette reali coincidenti).

Dimostrazione. Sia Q una conica di equazione (7.3). Dalla Proposizione 7.4esiste un asse di simmetria e se scegliamo un riferimento cartesiano con l’assex coincidente con l’asse di simmetria l’equazione della conica, tenendo contodella Proposizione 7.5, diventa:

a11x2 + a22y2 + 2a10x + a00 = 0 . (7.4)

Le intersezioni dell’asse delle x con la conica sono date risolvendo l’equazione

a11x2 + 2a10x + a00 = 0 . (7.5)

Se a11 ! 0 possiamo sempre assumere che a11 = 1 (altrimenti dividiamo la(7.4) per a11) e la (7.5) ha le due soluzioni

−a10 ±√

a210 − a00 .

Se scegliamo l’origine coincidente con il punto medio tra le due intersezionidell’asse delle x con la conica allora a10 = 0 e si presentano i seguenti tre casi.



1) L’asse x ha due intersezioni immaginarie con la conica. In questo casoa00 > 0 e la (7.4) si riduce ad un equazione del tipo

x2 + a22y2 + m2 = 0 , (m ∈ R)

la quale, a seconda del segno di a22, rappresenta:

(i)x2

a2+x2

b2= −1 Ellisse imm. (a2 = m2, b2 = m2/a22, a22 > 0)

(iii)x2

a2−x2

b2= −1 Iperbole (a2 = m2, b2 = −m2/a22, a22 < 0)

(vii) x2 = −a2 Rette imm. paral. (a2 = m2, a22 = 0).

2) L’asse x ha due intersezioni reali distinte con la conica. In questo casoa00 < 0 e la (7.4) si riduce ad un equazione del tipo

x2 + a22y2 − m2 = 0 , (m ∈ R)


(ii) x2

a2+x2

b2= 1 Ellisse reale (a2 = m2, b2 = m2/a22, a22 > 0)

(iii)x2

a2−x2

b2= 1 Iperbole (a2 = m2, b2 = −m2/a22, a22 < 0)

(viii) x2 = a2 Rette reali paral. (a2 = m2, a22 = 0).

3) L’asse x ha due intersezioni reali coincidenti con la conica. In questo casoa00 = 0 e la (7.4) si riduce ad un equazione del tipo

x2 + a22y2 = 0 ,


(v) x2 + b2 y2 = 0 Rette imm. incid. (b2 = a22, a22 > 0)

(vi) x2 − b2 y2 = 0 Rette resali incid. (b2 = −a22, a22 < 0)

(ix) x2 = 0 Rette reali coinc. (a22 = 0).



Se a11 = 0 la (7.5) si riduce alla

2a10x + a00 = 0

e si presentano i seguenti casi4) L’asse x ha direzione asintotica ma non è un asintoto. In questo caso a10 ! 0e scegliendo l’origine coincidente con l’unico punto di intersezione dell’asse xcon la conica si deve avere a00 = 0 e la (7.4) si si riduce al caso

(iv) y2 = 2px Parabola (p = −a10/a22).

5) L’asse x è un asintoto. In questo caso a10 = 0 e a00 ! 0 e la (7.4) si riducealla

a22y2 + 1 = 0

che presenta i seguenti due casi

(vii) x2 = −a2 Rette imm. paral. (a2 = −1/a22, a22 > 0).(viii) x2 = a2 Rette reali paral. (a2 = −1/a22, a22 < 0).

6) L’asse x è contenuto nella conica. In questo caso a10 = a00 = 0 e la (7.4) siriduce all’unico caso

(ix) y2 = 0 Rette coincidenti.

!

Per le quadriche si ottiene la seguente classificazione euclidea.

Teorema 7.7. Sia Q una quadrica che, rispetto ad un riferimento cartesianodello spazio, ha equazione (6.1). Allora esiste un opportuno riferimento carte-siano e delle opportune costanti (denotate, a seconda dei casi, con a, b, c o p),rispetto ai quali la quadrica assume una delle seguenti forme canoniche:



(i)x2

a2+y2

b2+z2

c2= −1 (Ellissoide immaginario)

(ii)x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 (Ellissoide reale)

(iii) x2

a2+y2

b2−z2

c2= 1 (Iperboloide ad una falda)

(iv) x2

a2−y2

b2−z2

c2= 1 (Iperboloide a due falde)

(v)x2

a2+y2

b2= 2z (Paraboloide ellittico)

(vi)x2

a2−y2

b2= 2z (Paraboloide ipererbolico)

(vii) x2

a2+y2

b2+z2

c2= 0 (Cono immaginario)

(viii) x2

a2+y2

b2−z2

c2= 0 (Cono reale)

(ix) x2

a2+y2

b2= −1 (Cilindro immaginario)

(x)x2

a2+y2

b2= 1 (Cilindro ellitico)

(xi) x2

a2−y2

b2= 1 (Cilindro iperbolico)

(xii) y2 = 2px (Cilindro parabolico)

(xiii) x2 + b2y2 = 0 (Piani immaginari incidenti)

(xiv) x2 − b2y2 = 0 (Piani reali incidenti)

(xv) x2 = −a2 (Piani immaginari paralleli)

(xvi) x2 = a2 (Piani reali paralleli)

(xvii) x2 = 0 (Piani reali coincidenti)

Dimostrazione. Sia Q una quadrica di equazione (6.1). Dalla Proposizione 7.4esiste un piano di simmetria e se scegliamo un riferimento cartesiano con ilpiano z = 0 coincidente con l’asse di simmetria l’equazione della quadrica,



tenendo conto della Proposizione 7.5, diventa:

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a10x + 2a20y + a00 = 0 . (7.6)

Se adesso intersechiamo la quadrica con il piano di simmetria z = 0 otteniamouna conica la quale, rispetto ad un opportuno riferimento cartesiano del pia-no z = 0, assume una delle nove forme canoniche indicate nel Teorema 7.6.Per ognuna delle nove forme canoniche della conica sul piano z = 0 si ottienela corrispondente equazione della quadrica aggiungendo il termine a33z2 all’e-quazione della conica. Un analisi attenta di tutti i casi e tenendo conto che ilcoefficiente a33 può essere positivo, negativo o zero, si ottiene la classificazionecercata. !

7.2.1 Invarianti euclideiSeguendo quanto fatto nel caso affine determiniamo gli invarianti euclidei diuna quadrica (conica) al fine di distinguere i tipi di quadriche (coniche) utiliz-zando questi invarianti.Naturalmente, essendo una trasformazione euclidea una trasformazione affine,gli invarianti affini sono anche invarianti euclidei, quindi seP = MP′ + β è unatrasformazione euclidea (M è ortogonale), e se Q è una quadrica di equazione

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0

allorarank(A) = rank(A′) , rank(A) = rank(A′)

edet(A) = det(A′) , det(A) = det(A′) ,

dove con A′ e A′ abbiamo indicato le matrici dell’equazione della conica tra-sformata.In più al caso affine per una trasformazione euclida si trovano i seguenti ulte-riori invarianti. Tenendo conto che la matrice M è ortogonale la matrice A′ siottiene come

A′ = M⊤AM = M−1AM .

Quindi le matrici A ed A′ sono simili il che implica che hanno gli stessi autova-lori. In conclusione gli autovalori della matrice A sono invarianti euclidei peruna quadrica (conica).



Con un calcolo diretto degli invarianti euclidei per i nove tipi di equazioni cano-niche di coniche, come descritte nel Teorema 7.6, si ottiene la Tabella 7.1 doveper gli autovalori della matrice A usiamo la notazione che ++ indica autovaloridello stesso segno (non necessariamente positivi), +− indica due autovalori disegno opposto e + 0 indica che un autovalore è zero.

Tipo Equazione ∆ δ Autov. (ρ, ρ) Nome

(i)x2

a2+y2

b2= −1 ! 0 > 0 ++ (3, 2) (Ell. imm.)

(ii) x2

a2+y2

b2= 1 ! 0 > 0 ++ (3, 2) (Ell. reale)

(iii) x2

a2−y2

b2= 1 ! 0 < 0 +− (3, 2) (Iperbole)

(iv) y2 = 2px ! 0 = 0 + 0 (3, 1) (Parabolga)

(v) x2 + b2y2 = 0 = 0 > 0 +− (2, 2) (Rette imm. inc.)

(vi) x2 − b2y2 = 0 = 0 < 0 +− (2, 2) (Rette reali inc.)

(vii) x2 = −a2 = 0 = 0 + 0 (2, 1) (Rette imm. parall.)

(viii) x2 = a2 = 0 = 0 + 0 (2, 1) (Rette reali parall.)

(ix) x2 = 0 = 0 = 0 + 0 (1, 1) (Rette reali coinc.).

Tabella 7.1 – Gli invarianti euclidei per i nove tipi di coniche

Utilizzando la Tabella 7.1 si verifica immediatamente che i nove tipi di conichedescritti nel Teorema 7.6 non sono a due a due equivalenti per isometrie, nelsenso che non esiste una isometria del piano che trasformi l’equazione di un ti-po di conica in un altro tipo. Inoltre è bene osservare che dato uno dei nove tipidi conica i valori delle costanti a, b o, eventualmente, p determinano conichenon equivalenti per isometrie. Quindi anche se la classificazione euclidea delleconiche presenta 9 tipi come nel caso della classificazione affine delle coniche,



nella classificazione euclidea ogni tipo presenta infinite coniche che non sonoequivalenti per isometrie e quindi distinte dal punto di vista euclideo.

Nel caso delle quadriche il calcolo degli invarianti euclidei per i 17 tipi di equa-zioni canoniche, come descritte nel Teorema 7.7, conduce alla Tabella 7.2.

Anche in questo caso l’uso degli invarianti ci permette di affermare che i 17tipi di quadrica non sono a due a due equivalenti per isometrie. Inoltre, comenel caso delle coniche, le costanti a, b, c e p determinano quadriche (anche sedello stesso tipo) non isometriche.



Tipo Equazione ∆ δ Autov. (ρ, ρ) Nome

(i)x2

a2+y2

b2+z2

c2= −1 > 0 ! 0 + + + (4, 3) (Elliss. imm.)

(ii)x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 < 0 ! 0 + + + (4, 3) (Elliss. reale)

(iii) x2

a2+y2

b2−z2

c2= 1 > 0 ! 0 + + − (4, 3) (Iperb. una falda)

(iv) x2

a2−y2

b2−z2

c2= 1 < 0 ! 0 + + − (4, 3) (Iperb. due falde)

(v) x2

a2+y2

b2= 2z < 0 = 0 + + 0 (4, 2) (Parab. ellittico)

(vi)x2

a2−y2

b2= 2z > 0 = 0 + − 0 (4, 2) (Parab. iper.)

(vii)x2

a2+y2

b2+z2

c2= 0 = 0 ! 0 + + + (3, 3) (Cono imm.)

(viii) x2

a2+y2

b2−z2

c2= 0 = 0 ! 0 + + − (3, 3) (Cono reale)

(ix) x2

a2+y2

b2= −1 = 0 = 0 + + 0 (3, 2) (Cilindro imm.)

(x)x2

a2+y2

b2= 1 = 0 = 0 + + 0 (3, 2) (Cilindro ell.)

(xi)x2

a2−y2

b2= 1 = 0 = 0 + − 0 (3, 2) (Cilindro iper.)

(xii) y2 = 2px = 0 = 0 + 0 0 (3, 1) (Cilindro parab.)

(xiii) x2 + b2y2 = 0 = 0 = 0 + + 0 (2, 2) (Piani imm. inc.)

(xiv) x2 − b2y2=0 = 0 = 0 + − 0 (2, 2) (Piani reali inc.)

(xv) x2 = −a2 = 0 = 0 + 0 0 (2, 1) (Piani imm. parall.)

(xvi) x2 = a2 = 0 = 0 + 0 0 (2, 1) (Piani reali parall.)

(xvii) x2 = 0 = 0 = 0 + 0 0 (1, 1) (Piani reali coinc.)

Tabella 7.2 – Gli invarianti euclidei per i 17 tipi di quadriche



7.3 Riduzione di una conica e di una quadrica informa canonica

Nel caso affine la riduzione di una quadrica (conica) in forma canonica è unaoperazione semplice. Infatti, una volta riconosciuto il tipo affine di una qua-drica (conica), rispetto ad un opportuno cambiamento di coordinate affini laquadrica (conica) assume l’unica forma canonica associata a quel tipo. Nelcaso euclideo la situazione è differente poiché, anche se dello stesso tipo, a se-conda del valore delle costanti a, b, c e p si ottengono quadriche (coniche) nonisometriche. Questo vuol dire che una data quadrica (conica) si può ricondurretramite un opportuno cambiamento cartesiano delle coordinate e per opportunecostanti a, b, c e p ad uno dei 17 (9) tipi con i relativi valori delle costanti.

Il tipo di una data quadrica (conica) si ottiene con l’utilizzo degli invariantieuclidei. Quindi determinare la forma canonica di una data quadrica (conica)si riduce al calcolo delle costanti a, b, c ed eventualmente p.

7.3.1 Quadriche a centroSe una quadrica possiede un unico centro, cioè se δ ! 0, per determinare la suaforma canonica si procede nel modo seguente.Un analisi della Tabella 7.2 mostra che tutte le quadriche con δ ! 0 hanno unaforma canonica del tipo

Lx2 + My2 + Nz2 + µ = 0 . (7.7)

Sia adesso Q una quadrica di equazione

P⊤AP + 2a⊤P + a00 = 0

con δ = det(A) ! 0 e siano λ1, λ2, λ3 gli autovalori di A. Siccome gli autovaloridi A sono degli invarianti euclidei e la matrice dei termini quadratici della (7.7)ha autovalori L,M,N si deve avere che

L = λ1 , M = λ2 , N = λ3 .

Si osservi che l’ordine con cui gli autovalori λi si associano a L,M,N puòcambiare e che questo comporta solamente un eventuale scambio tra le cori-spondenti coordinate (x, y, z) nella forma canonica.


7.3 Riduzione di una conica e di una quadrica in forma canonica 161

Per determinare la forma canonica resta da determinare il coefficiente µ della(7.7). Utilizzando che ∆ = det(A) è un invariante euclideo si ottiene

∆ = LMNµ = λ1λ2λ3µ

da cuiµ =

∆

λ1λ2λ3.

7.3.2 Quadriche non degeneri senza centroPer le due quadriche non degeneri senza centro, cioè per i due paraboloidi, siprocede nel modo seguente. L’equazione canonica è del tipo

Lx2 + My2 + 2µz = 0 . (7.8)

I coefficienti L e M sono come nel caso delle coniche a centro i due autovaloriλ1 e λ2 della matrice A diversi da zero, quindi

L = λ1 , M = λ2 .

Per determinare P si utilizza come nel caso delle coniche a centro l’invariante∆. Si ottiene

∆ = −LMP2

da cuiµ2 = −

∆

λ1λ2.

Si osservi che il segno di ∆ e degli autovalori λ1 e λ2, nel caso dei due parabo-loidi, assicurano che −∆/(λ1λ2) sia una quantità positiva.

7.3.3 Quadriche degeneri con ρ = 2La forma canonica delle quadriche degeneri con ρ = rank(A) = 2 è del tipo

Lx2 + My2 + µ = 0 . (7.9)

Come negli altri casi si ha

L = λ1 , M = λ2 ,



ma non possiamo utilizzare l’invariante ∆ poiché vale zero. Per determinare laforma canonica procediamo nel modo seguente. Siccome ρ = 2 esistono duedirezioni principali u1, u2 (che scegliamo ortonormali) e il sistema AP + a = 0ha ∞1 soluzioni, cioè esiste una retta r di centri. Si osservi che r = du1 ∩ du2 ,dove du1 e du2 sono i piani di simmetria corrispondenti alle direzioni u1 e u2rispettivamente. Sia α un qualsiasi piano perpendicolare alla retta r. Alloraα interseca la quadrica Q in una conica che, a seconda del tipo, è: un ellisseimmaginaria (ix); un ellisse reale (x); un iperbole (xi); due rette immaginarieincidenti (xiii); due rette reali incidenti (xiv). Se adesso parametrizziamo ilpiano α come

P = P0 + su1 + tu2 ,

con P0 ∈ r, la curva di intersezione Q ∩ α ha equazione, tenendo conto della(6.7),

λ1s2 + λ2t2 + Q(P0) = 0 , (7.10)

e rappresenta la forma canonica della quadrica Q.

7.3.4 Quadriche degeneri con ρ = 1In questo caso esiste un’unica direzione principale u ed il corrispondente pianodi simmetria du interseca la quadrica, a seconda del tipo, in: una retta r (xii);nessun punto (xv e xvi); se stesso (xvii). Nel caso la quadrica Q sia un cilindroparabolico (tipo xii) un qualunque piano α perpendicolare a r intersecaQ lungouna parabola. Se parametrizziamo il piano α come

P = P0 + su + tv ,

con P0 ∈ r e v vettore unitario ortogonale ad u, la curva di intersezione Q ∩ αha un equazione del tipo

Ls2 + 2µt = 0 ,

e rappresenta la forma canonica della quadrica Q.Nel caso la quadrica sia uno dei restanti tre casi (xv, xvi e xvii) un piano αparallelo ad u e perpendicolare al piano di simmetria du interseca la quadrica,a seconda del tipo, in: du rette parallele immaginarie (xv); due rette paralleleincidenti (xvi); due rette reali coincidenti (xvii). Parametrizzando il piano αcome

P = P0 + su + tv ,


7.4 Esercizi 163

con P0 ∈ du e v vettore unitario ortogonale ad u, la curva di intersezione Q ∩ αha un equazione del tipo

Ls2 + µ = 0 ,

e rappresenta la forma canonica della quadrica Q.

7.3.5 Forma canonica delle conichePer le coniche ha centro (tipi (i), (ii), (iii), (v), (vi)) e per la parabola (iv) siprocede in modo analogo al caso delle quadriche a centro e dei paraboloidi.Per gli ultimi tre casi si procede in modo geometrico. Il rango di A è 1, quindiesiste un unica direzione principale u ed un unico asse di simmetria du. Unaqualsiasi retta r con direzione u incontra la conica in due punti che, a secon-da del tipo, sono: immaginari (vii), reali distinti (viii), reali coincidenti (ix).Parametrizzando la retta r come

P = P0 + tu

con P0 ∈ du, l’equazione di intersezione r ∩ Q è del tipo

t2 = µ

che rappresenta la corrispondente forma canonica della conica Q il cui tipo èdeterminato a seconda che µ sia minore, maggiore o uguale a zero.

7.4 EserciziDelle quadriche seguenti determinare: l’eventuale centro, gli eventuali coniasintotici, le direzioni principali e i piani di simmetria; il tipo. Determinare poiun cambiamento di riferimento rispetto al quale l’equazione della quadrica siriduce ad una delle forme canoniche euclidee e determinare la forma canonica.

1. z − xy = 0

2. 6xz + 8yz − 5x = 0

3. 6xz + 8yz − 5 = 0

4. 3x2 + 2y2 + 2xz + 3z2 − 4 = 0



5. 3x2 + 2y2 + 2xz + 3z2 = 0

6. 3x2 + 2y2 + 2xz + 3z2 + 4 = 0

7. x2 + 2xy + y2 + 2z2 − 4x = 0

8. x2 + 2xy + y2 + 2z2 − 4 = 0

9. 2x2 − 2y2 − 2yz − 2z2 − 3 = 0

10. 2x2 − 2y2 − 2yz − 2z2 + 3 = 0

11. 2x2 − 2y2 − 2yz − 2z2 = 0

12. x2 − 2xy + y2 − 4x − 4y − 4z + 4 = 0

13. x2 + 2xy + y2 − z2 + 2x + 2y + 2z = 0


geometria 2 - people.unica.it · 2 generalità sugli spazi aﬃni la dimensione di uno spazio...

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