geometria 3do secundaria

7/21/2019 Geometria 3do Secundaria

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-3do-secundaria 1/28

ROGER VELASQUEZ M. 55

G E O M E T R I A

FUNDAMENTO TEÓRICO1. Intersección.- Es un conjunto de punto opuntos donde dos o más figuras geométricasse cortan.

Una figura plana, tiene todos sus puntos sobreun mismo plano.M

F R S

(b)(a)

(c)

En la figura (a) las rectas M ! se intersectanen un punto. En (b), R intersecta a la figura Fen dos puntos ! para (c), la intersecci"n de S! la figura #, es de tres puntos. En todos loscasos anteriores diremos $ue las figuras sonsecantes, se cortan en %, & " ' puntos

respectiamente.

2. Líneas Conveas.- Son a$uellas $ue seintersecan con alguna recta, en un máimo dedos puntos.

%

%

%&

&

&

&

%

!. Líneas no Conveas.- Si alguna rectasecante determina sobre ellas, más de dospuntos de corte.

%

%

%

%

&

&

&

&

'

''

'

*

*

O"servaciones#A. +os rectas contenidas en un mismo plano !$ue no se intersecan, reciben el nombre deparalelas.

$. Una recta ! una circunferencia, puedenser

Recta ! circunferencia tangentes entre si(% pto. de intersecci"n)

Recta ! circunferencia secantes entre si

(& ptos. de intersecci"n)

o se intersecan(- ptos. de intersecci"n)

C. eamos algunos gráficos de intersecci"nentre un triángulo ! una circunferencia.

1 punto 2 puntos

5 puntos 6 puntos4 puntos

1 punto3 puntos

otamos $ue, el m/nimo n0mero de puntos de

intersecci"n (diferente de cero) entre estasfiguras, es % ! el máimo 1

%. M&'IMO N(MERO DE )UNTO* DECORTE

*.% M23 de 4n5 rectas secantes

M236 n(n7%)8&

INTERSECCIÓN DE FIGURAS

GEOMÉTRICAS PLANAS.

CAPACIDADES A DESARROLLAR

9dentificar los diferentes tipos de

intersecci"n de figuras geométricas

planas.

3alcular el máimo n0mero de puntos de

corte de diferentes figuras geométricasplanas.



ormaci n hol stica que asegura el éxito profesional56

I.E.S.P. “Divino MAESTRO”

*.& M23 para 4n5 circunferenciasSecantes

M236 n(n7%)

*.' M23 para 4n5 triángulos

M236 'n(n7%)

*.* M23 para 4n5 ángulos

M236 &n(n7%)

*.: M23 para 4n5 cuadriláteros

coneos

M236 *n(n7%)

*.1 M23 para 4n5 pentágonos coneos

M236 :n(n7%)

EN +ENERAL# n pol/gonos coneos de #lados cada uno, se cortan como máimoen

M236 # . n(n7%)

E,e/o 1. ;En cuántos puntos se cortan,como máimo, %- icoságonos coneos<

Soluci"n. n 6 %- n0mero de pol/gonos # 6 &- n0mero de lados

M23 6 #.n(n7%)

M23 6 &-.%-(%- 7%) 6 %=--

E,e/o 2. ;En cuántos se intersecan, comomáimo, : oct"gonos coneos<

Soluci"n.

%.0 MN)C e os o/íonos e i3erenten4ero

Se intersecan, como máimo, en un n0merode puntos e$uialentes al doble del n0mero delados del menor.

>si por ejemplo% triángulo ! % cuadrilátero.

2 x 3 = 6

% cuadrilátero ! % pentágono.

2 x 4 = 8

% cuadrilátero ! % circunferencia

2 x 4 = 8

#a circunferencia se considera como un pol/gono deinfinitos lados.

*.= M23 de n rectas secantes con pparalelas

M23 6 p . n

M23 6 p . n

n 6 :

p 6 *

M23 6 * . : 6 &-

*.? M23 de n circunferencias ! m rectas

M23 6 &.m.n

= circunferencias& secantes

M23 6 &.&.= 6 '&




G E O M E T R I A

*.%- M23 de n triángulos ! ccircunferencias

M23 6 1.n.c

%- triángulos: circunferencias

M23 6 1.%-.: 6 '--

*.%% M23 de n triángulos ! p rectassecantes

M23 6 &.n.p

& triángulos' rectas

M23 6 &.&.' 6 %&

*.%& M23 de n elipses secantes

M23 6 &n(n7%)

' elipses

M23 6 &.'('7%) 6 %&

*.%' M23 de n parábolas secantes

M23 6 &n(n7%)

2ara & parábolas

M23 6 &.&(&7%) 6 *

2roblema eplicatio@allar el M23 entre %% rectas ! : triángulos,al cortarse todas estas figuras todas estasfiguras entre si.

Luego, sumando los resultados:55 + 60 + 110 = 225

MNP = 225 ptos!

"# Las 11 re$tas, por s% solas

MNP = = 55 ptos!

&# Los 5 tr%'ngulos entre s%: MNP =3!5(5 ) 1# = 60 ptos!# Las 11 se$antes a los 5

tr%'ngulos 2 ! 11 ! 5 = 110 ptos!

11(11)1#2

N*mero de tr%'ngulos

N*mero de se$antes

N*mero de ptos entre 1 se$ant 1 tr%'ngulo

-%. 3alcular el máimo n0mero de puntos decortes en %: triángulos, 1 oct"gonos ! %&rectas secantes

>) %*-- A)%&1- 3) %==- +)%B1- E) %?=-

-&. 3alcular el máimo n0mero de puntos decortes en %& eágonos, 1 circunferencias ! %*pentágonos.

>)%%& A)B'1* 3) '=:* +) *B%& E) :%%1

-'. 3alcular el máimo n0mero de puntos decortes en %: rectas secantes, '- cuadriláteros! = decágonos.

>) *B&- A) 1'&- 3)'?1- +)=1*- E) B&-:

-*. 3alcular el máimo n0mero de puntos decortes en %& eptágonos, %: circunferencias,%& icoságonos ! : rectas secantes

>)%&:1- A)%B'*- 3)%*'&-+) %'B1- E) :?%-

-:. @allar el M23 entre %- rectas ! :circunferencias, al cortarse todas estas figurasentre si.

>) 1: A)%&- 3)%*: +) %1: E) .>.

-1. @allar el M23 entre %% secantes ! :triángulos al cortarse todas estas figuras entresi.

>) &&: A) %&: 3)%%: +) %B: E) &-:

-B. @allar el M23 entre %% circunferencias !

= triángulos al intersectarse todas estasfiguras entre si.

>) B&1 A) B-1 3) =-1 +)?-1 E) &B=

-=. @allar el M23 entre &% rectas secantes,%: circunferencias ! %& triángulos, alintersectarse todas estas figuras entre si.

>) *%%- A) *%-- 3) *--% +)*-&- E) .>.

-?. @allar el M23 entre &% triángulos ! %-

cuadriláteros coneos, todos secantes entresi.

ACTIVIDAD EN EL

AULA





>) &-=- A) &=== 3) ==- +) &B=- E) &==-

%-. @allar el M23 entre 1 cuadriláterosconeos, %% pentágonos coneos ! &%oct"gonos coneos, al intersectarse todasestas figuras entre si.>) Falta conocer # A) 1 3) & +) ' E) *

%%. @allar el M23 entre %- rectas paralelas !1 triángulos ! : rectas paralelas alintersectarse todas estas figuras entre s/.

>) '1- A) '*- 3) ':- +) 'B- E) ''-

%&. Si un grupo de rectas en un plano, se leagrega una, el máimo n0mero de puntos decorte se duplicar/a. @allar el n0mero de rectasoriginal.

>) ' A) * 3) : +) 1 E) B

%'. Si un grupo de 4n5 triángulos se le $uitauno, el máimo n0mero de puntos de cortedisminu!e en %=. @allar 4n5.

>) ' A) * 3) 1 +) : E) ?

%*. >l duplicarse el n0mero de rectassecantes, el máimo n0mero de puntos decorte se $uintuplica. @allar el n0mero inicialde rectas.

>) ' A) 1 3) %: +) %- E) .>.

%:. Sea un grupo de 4n5 pol/gonos coneos,de 4#5 lados cada uno, se agrega otro de lamisma naturaleCa ! cantidad de lados, elmáimo n0mero de puntos de corte seduplica. @allar 4n5.

NI5EL II%1. @allar el n0mero máimo de puntos decorte, entre : oct"gonos ! %- icoságonos,todos coneos.

>) &1B- A)&BB- 3)*B1- +) &=B- E) B&1-

%B. @allar el máimo n0mero de puntos decorte, entre %- rectas secantes, 1 triángulos !%% cuadriláteros coneos.

>) %'%% A)%'%& 3)%&%' +)%'&% E) .>.

%=. 3alcular el máimo n0mero de puntos deintersecci"n de %- rectas paralelas, %& rectassecantes ! %1 circunferencias secantes.

>) %%'- A) '-1 3) '%1 +) B*1 E) %-?=

%?. Si a un conjunto de rectas secantes, se leagregase una cantidad igual de rectas, sun0mero máimo de puntos de corteaumentar/a en ''-. 3alcular cuántas rectastiene el conjunto.>) %- A)&: 3)%: +) %& E) %=

&-. Si a un grupo de 4n5 rectas secantes seagrega una recta, el máimo n0mero depuntos de corte aumentar/a en %&. @allar elalor de 4n5.

>) %& A) %% 3)%' +)1 E) &*

&%. Si a un grupo de 4n5 rectas secantes seagregan dos rectas, el máimo n0mero depuntos de corte aumentar/a en %:. @allar 4n5.>) : A) 1 3) B +) = E) .>.

&&. Se tienen 4n5 circunferencias secantes. Sise $uitan dos circunferencias, el n0meromáimo de puntos de corte disminu!e en '-.

@allar 4n5.>) ? A) = 3) 1 +) %- E) %&

&'. @allar el máimo n0mero de puntos deintersecci"n de '- circunferencias secantes !%-- rectas secantes.

>)%%=&- A)&=-- 3)%&-- +)%=-- E) .>.

&*. @allar el máimo n0mero de puntos deintersecci"n entre si $ue originan ? rectas, %-

circunferencias ! %% triángulos.

>)%*?- A)11- 3) %:-- +)%*?* E) .>.

&:. 3alcular el máimo n0mero de puntos deintersecci"n de %- circunferencias, %% rectassecantes ! %& rectas paralelas.

>) B&B A)B'B 3)B*B +) =*B E) .>.

NN PRACTICA

DOMICILIARIA




G E O M E T R I A

-%. @allar el M23 de * circunferenc A)%=:3) %== +) %?- E) .>.

-&. ;3uál es el M23 de 45 circunferenciassecantes ! 45 pentágonos coneossecantes<-'. 3alcular el m/nimo n0mero deintersecciones de * rectas paralelas $ue soncortadas por ' rectas secantes

-'. Si se $uitan * rectas de un grupo derectas secantes, los puntos de intersecci"ndisminu!en en &1. 3alcular los puntos deintersecci"n del sistema.

>) ': A) '1 3) '= +) *- E) .>.

-*. ;3uántos rectas se cortan sabiendo $ue sise $uitan *, el%11' 3) %11: +) %1-- E).>.

-:. +eterminar el M23 de %- cuadriláteroscon : circunferencias.

>) B-- A) B&- 3) B=- +) B:- E) .>.

NI5EL II

-%. Si el M23 entre 4&n5 rectas secantes ! 4(nD%)5 circunferencias es igual al M32 de('n7&) triángulos entre si. @allar el M32 $ueoriginan 4'n5 cuadriláteros coneos alintersectarse

>) %-- A)%&- 3) &-- +) &*- E) .>.

-&. En un plano se tiene 4m5 rectas secantes !

4n5 circunferencias secantes. @allar el máimon0mero de intersecci"n total.Rpta. m(m7%)8& D n(n7%) D &mn

-'. @allar el M23 de 45 cuadriláterossecantes ! 45 triángulos secantes (pol/gonosconeos)

A) &(%'7') 3)&(7') +) (%'7B)E) .>.

-*. ;3uántos puntos de intersecci"n eistenen %: triángulos con &- circunferencias ! &:cuadriláteros<

>) %%*1- A) %%:1- 3) %&*1- +) %&:1- E).>.-:. @allar M23 de %' circunferenciassecantes, B rectas secantes ! &% rectasparalelas.

>) %-:- A) %-:&A)&**= 3) &:--+) &:*= E) .>.

-1. ;3uál es el M23 de 1 circunferencias ! =pentágonos<

>) %:- A) %'- 3) &:- +) '-- E) .>.

-B. @allar el M23 de B pentágonos, Boct"gonos ! B decágonos, coneosrespectiamente

>)&1'- A)&B-- 3) &B' +) &B&- E) .>.

=. 3alcular M23 de B? rectas secantes, ?paralelas ! ? circunferencias secantes.

>) :%' A) :%& 3) :%- +) =-- E) .>.

?. @allar M23 entre 4n5 circunferencias, 4&n5rectas secantes ! 4n5 triángulos, al cortarse

todas estas figuras entre si.

>) :n(*n7%) A) *n(:n7%) 3) :n(*nD%)+) *n(:nD%) E) .>.

%-. @allar el M23 entre : elipses.

>) *- A) '= 3) &- +) &: E) .>.

%?. Encontrar el M23 $ue a! entre 'pol/gonos coneos de & lados ! 1 pol/gonos

coneos de ' lados cada uno.

>) %-& A)%%& 3)%&& +) %:* E) %B*

%%. Encontrar la cantidad de decágonos $uese intersecan, sabiendo $ue al acerlodeterrninan como máimo 1&:- puntos, enlos cuales están también considerados losértices.

>) &- A) :- 3) &: +) 1- E) '-


Resoler ! operar con abilidad !

destreCa problemas de segmentos.

Reconocer ! diferenciar rectas, ra!o,

semirrectas ! segmentos.





INTRODUCCIÓNEl ombre de la pre istoria con sus conceptosagos de n0mero ! de la medida es probable$ue contara con los dedos u otros objetos !$ue midiera las longitudes con ciertas l/neas.

FUNDAMENTO TEÓRICO*E+MENTO.- Es la porci"n de recta limitadapor dos puntos llamados etremos.El segmento >A de la figura.

> A

Se denota>A o A>, los puntos > ! A son los etremos.Si la longitud >A es %- unidades, podemosescribir>A 6 %- o m >A 6 %-

*E+MENTO CON+RUENTE*.- Son a$uellos$ue tienen igual longitud.El segmento >A de la figura.

>3 +

A

>s/ >A ! 3+, son congruentes. Se escribe >AG 3+H simplemente >A 7 3+

)UNTO MEDIO DE UN *E+MENTO.- Esa$uel $ue lo diide en dos congruentes. Sedice $ue dico punto biseca al segmento.M es punto medio de >A.

>M 6 MA>M 6 MA 6 >A8&

> M A

)UNTO* COLINEALE*.- Son los $uepertenecen a una misma recta. 2or ejemplolos puntos >, A, 3, +.

> 3A +

#

>demás los puntos >, A, 3 ! + sonconsecutios.

O)ERACIONE* CON *E+MENTO*2ostulado El total es igual a la suma de suspartes.Ienemos

> 3A

>A D A3 6 >3

2ostulado 4El total es igual a la suma de suspartes5.

2J D JR D RS 6 2S

> 3 FA + E

>ADA3D3+D+EDEF6>F

>AD AE 6 >E >3 D 3+ D+E 6 >E A+ D +F 6 AF

Iambién podemosefectuar

diferencias M 6 MI 7 I I 6 MI G M

O"servacionesEn algunos gráficos, se a a representar laslongitudes de los segmentos con letras,usualmente min0sculas.

SEGMENTOS:

OPERACIONES CON

SEGMENTOS.

> A

d e m á s . . . . . . . . ( % )

2 e r o , > A 6 > 3 7 A 3 % 1 7 A 3 . . . . . . . . ( & ) > + 6 & * 3 + 6 =

R e e m p l a C a n d o ( & ) e n ( % )

% 1 6 * A 3 A 3 6 *

> AA 3

% 1 7 A 33

> +3 +

& * =

=

=

2 4




G E O M E T R I A

>

2

E

>

n

a

&a a

b

A

R

L

3

J

F

A

>A 6

2R 6 a D b

FL 6 n 7

A3 6 a

>A 6 &a

2R 6 2J D JR

FL 6 EL 7 EF

>A 6 &A3

En a$uellos casos de segmentos congruentes

M

R

dd

R

#

I

S

M 6 R 6

M 6 R 6

6 # 6 d

RS 6 SI

MR

&

MR

&

)ro"/eas e/icativos

-%. Se tiene los puntos colineales !

consecutios >, A, 3, +N tales $ue>+ 6 &*, >3 6 %1 !

>) ' A) * 3) 1 +) ',1 E) :Solución.

> 3 +A

168

24

-&. #os puntos >, A, 3 ! + son consecutios

cumpliendo la relaci"n *>A 7 A+ 7 & +3 6 * @allar >+. Si >A 6 ' ! >3 6 :>) : A) 1 3) = +) ? E) B

-%. Sobre una l/nea recta se consideran lospuntos consecutios >, A ! 3N ! luego seubican los puntos medios M ! F de >A ! M3.

Si >A D EF 7 >M 6 &O:

>) : A) O: 3) &O: +) %- E) :

-&. Sobre una l/nea recta se marcan lospuntos consecutios >, A, 3, + ! F. Iales $ue>A 6 A3 ! 3+ ! 3F 6 &AE 6* >+. @allar 3Esabiendo $ue EF

>) %* A) %- 3) &% +) &- E) .>.

-'. Sean los puntos colineales ! consecutios>, A, 3, M ! +N donde M es el punto medio de3+N 3+ 6&A3 ! >M 6 '-. @allar A3,sabiendo además A+.>3 6 &A3.>M D A3.3+-1. >, A, 3, + ! F son puntos colineales !consecutios >3>) 1 A) %& 3) = +) %- E) %1

-*. Se tienen los puntos colineales !consecutios >, A, 3 ! +N siendo A> 6 & A36 '3+ en >A ! 3+ se ubican los puntos R ! SNtal $ue estos puntos RA 6 +S ! >R 7 3S 6

&:. @allar RS.

>) &: A) %: 3) %= +) '- E) &-

-:. Se marcan los puntos colineales de unarecta >, A, 3, +, E. Iales $ue >3 6 A3, A3 6%8'+E ! '8&>A D +E 6 '1. @allar >E.

>) &* A) B& 3) *= +) :* E) &B

-1. Sobre una l/nea recta se consideran lospuntos consecutios >, A, 3, + ! E. 3alcular lalongitud del segmento $ue une los puntosmedios >A ! +E. Si 3E 6 =, A+ 6 %& ! >36 %->) : A) %- 3) %& +) %: E) %=

-B. Sobre una l/nea recta se consideran lospuntos consecutios >, A, ! 3 de modo $ue>A 6 'A3N >3 6 =. 3alcular la longitud de>A.

>) % A) & 3) ' +) : E) B

ACTIVIDAD EN EL

AULA

> A

A 3

> +

3 +=

+ e l d a t o , * ( ' ) 7 ( & D ) 7 & 6 *

% & 7 & 7 7 & 6 * 6 &

# u e g o 3 + 6 &

2 o r l o t a n t o , > + 6 > 3 D 3 + 6 : D & 6 B

S o l u c i ó n .

X2





-=. En los puntos colineales >, A, 3, +, E semarca el punto medio M del segmento +E.@allar 3+, si >+ 6 %-, AM 61 ! >A 6 A3 D +E

>) % A) & 3) ' +) * E) -,:

-?. En una l/nea recta se ubican los puntosconsecutios >, A, 3, +, E tal $ue %B.>36: 3+ ! :.A+ 7 %B.>A 6 %'&. Encontrar A3.

>) ' A) %& 3) * +) = E) 1

%-. En los puntos colineales >, A, 3, + secumple $ue >A 6 B, >3 6 A+ D A3. 3alcular>+.

>) %& A) %* 3) &% +) &= E) %1

%%. Sobre una recta se toman los puntosconsecutios >, A, 3, + de modo $ue *.>A 6'.A3 6 1.3+, además '.(A3 7 >A) 6 &.(A3 7 3+) 7 &. Encontrar >+.>) &* A) %= 3) && +) %& E) '-

%&. Sean >, A, 3 ! + puntos consecutios deuna l/nea recta. Si >3 D A+ 6 %1N A3 6 *.@allar la longitud de >+.>) ? A) %- 3) %% +) %& E) %'

%'. Sobre una l/nea recta se tienen los puntosconsecutios >, A, ! + entre los puntos A ! +entre los puntos A ! + se toma un punto 3Ntal $ue >3 6 3+8*. +eterminar la longitud de A3 sabiendo $ueA+ 7 *>A 6 &-.

>) % A) & 3) ' +) * E) :

%*. Sobre una l/nea recta se tienen los puntosconsecutios M, >, A, ! 3 de modo $ue A3 6'>A. Entonces MA es igual a

%:. Sobre una l/nea recta se ubican los puntosconsecutios >, A, 3 ! + de modo $ue >3 6B ! A+ 6 :. >demás >A& 7 3+& 6 &-.3alcular la longitud del segmento A3.

>) -,: A) %,- 3)%,: +) -,B: E) &,:

NI5EL II%1. Sobre una l/nea recta se ubican los puntosconsecutios >, A, 3, +, E ! as/sucesiamente. 3alcular la suma de lsosegmentos dados. Si >A 6 %, A3 6 Q, 3+ 6%8*, +E 6 %8=, ............

>) & A) * 3) 1 +) = E) %-

%B. Sobre una l/nea recta se tiene los puntosconsecutios >, A, M ! 3. Si M es bisector deA3 ! >A D >3 6 %&. 3alcular la longitud de>M.

>) ' A) * 3) : +) 1 E) B

%=. Se tienen los puntos colineales !

consecutios >, A, ! 3N >A 6 %1. M es puntomedio de >A ! además >A.M3 6 A3.>3.3alcular A3.

>) 'O& A)*O& 3) =O& +) &O& E) O&

%?. Sean los puntos colineales ! consecutios>, A, 3 ! +N tales $ue A3 6 3+ ! >+& 7 A&6 1-. 3alcular >3.3+

>) %: A) %& 3) %' +) %* E) %1

&-. >, A, ! 3 son puntos colineales !onsecutios M biseca >3 ! a A3. Si M 6%&. 3alcular >A.

>) %& A) %1 3) %= +) &- E) &*

&%. En una recta se ubican los puntosconsecutios >3 6 ?, A+ 6 = ! >+ 6 %&.3alcular A3.

>) %- A) = +) B E) .>.

&&. En una recta se ubican los puntosconsecutios >, A, 3 ! +, tal $ue >3.+3 6A+. >A, si >A 6 '. 3alcular 3+.

>) % A) & 3) ' +) %,: E) &,:

&'. Sobre una recta se tienden los puntosconsecutios >, A, 3, +, E ! F sabiendo $ue>A 6 EF 6 AE8'. @allar AE ! se sabe al $ue

>3 D A+ D 3E D +F 6 &*.

>) 1 A) ? 3) %& +) %= E) '

> ) A ) 3 )

+ ) E )

M > D M 3&

& M > D M 3&

' M > D M 3'

M > D ' M 3

*

' M > D & M 3

&




G E O M E T R I A

&*. En una recta se toman los puntos H, >, A! , 3 tal $ue >A 6 A38', simplifica '>H DH3.

>) 'HA A)*HA 3):HA +) &HA8: E) &HA

&:. Sobre una recta # se ubican los puntosconsecutios >, A, 3 ! +. M es el punto mediode A3, calcular la longitud de >3, si >A.3+ 6>+ .A3, además ?(>+ 7 AM) 6 &>+.>A

>) %: A) %B 3) *,: +) %= E) &-

&1. Se tienen los puntos consecutios >, A,M ! 3 tales $ue M es el punto medio de A3,siendo >m& D AM& 6 %BN @allar >A& D >c&

>) '- A) %B 3) =,' +) '* E) *'

&B. Sobre una recta se ubican los puntosconsecutios >, A, 3 ! + de modo $ue secumple la siguiente relaci"n >A.3+ 6 A3.>+! además :(&>A D A+) 6 >A. >+, calcula lalongitud de >3.

>) %: A) %- 3) : +) %1 E) .>.

&=. Se dan dos puntos consecutios >, A, 3,+ ! E sobre una recta, si se cumple $ue >+ DAE 6 &- ! A+ 6 >E8', calcular A+.

>) %- A) : 3) = +) * E) %

&?. En una recta se toman los puntosconsecutios >, A ! 3 tal $ue A3 7 >A 6 *Nluego se ubican los puntos medios M, ! 2

(puntos medios) de los segmentos >bN A3 !M respectiamente. 3alcular la longitud deA>.>) % A) & 3) ' +) * E) :

'-. En una recta se ubican los puntosconsecutios >, A, 3 ! + tal $ue M ! sonpuntos medios de >3 ! A+ respectiamente.Si >A D 3+ 6 *-. 3alcular M.>) %- A) &- 3) %= +) %& E) &:

-%. En una l/nea recta se ubican los puntosconsecutios >, A, 3, + tal $ue >A D 3+ 6&.A3, además >3 D 3+ 6 &%. @allar A3.

>) : A) B 3) 1 +) ' E) *

-&. Sobre una recta se toman los puntosconsecutios >, A, 3, + donde A es puntomedio de >3. Encontrar A+, si >3.A+ D 3+&6 %& D >A&>) * A) '8' 3) &8& +) 8' E) &8'

-'. En los puntos consecutios >, A, 3, +, E$ue se encuentran sobre una l/nea recta secumple $ue >A 6 AE, 3+ 6 +E. @allar el alornumérico de

>AA3

>EA+

D

>) & A) ' 3) * +) : E) 1

-*. En los puntos colineales >, A, 3, + secumple $ue 3 es punto medio de >+, >A 6 *,A+ 6 %-. @allar A3.

>) % A) & 3) ' +) * E) %,:

-:. #os puntos colineales >, A, 3, + se

encuentran sobre una l/nea recta tal $ue>A.3+ 6 >+.A3, además >A D >+ 6 &.>A.>+.@allar >3.

>) -,: A) % 3) %,: +) & E) '

-1. Sobre una recta se toman los puntosconsecutios >, A, 3, +, E tal $ue >+ 6 3E,>A 6 &.A3 ! +E D A3 6 %1. 3alcular >A.>) * A) 1 3) %- +) = E) %&

-B. #os puntos colineales >, A, 3, +, E seencuentran sobre una l/nea recta de modo $ue&.>E 6 :.A+, además >+ D AE 6 *&.Encontrar A+

>) B A) %& 3) %* +) %1 E) %-,:

-=. En los puntos colineales >, A, 3, +, E semarca el punto medio M del segmento +E.@allar 3+, si >+ 6 %-, AM 61 ! >A 6 A3 D +E

>) % A) & 3) ' +) * E) -,:

NN PRACTICA

DOMICILIARIA





-?. En una l/nea recta se ubican los puntosconsecutios >, A, 3, +, E tal $ue %B.>36: 3+ ! :.A+ 7 %B.>A 6 %'&. Encontrar A3.

>) ' A) %& 3) * +) = E) 1

%-. En los puntos colineales >, A, 3, + secumple $ue >A 6 B, >3 6 A+ D A3. 3alcular>+.

>) %& A) %* 3) &% +) &= E) %1

%%. Sobre una recta se toman los puntosconsecutios >, A, 3, + de modo $ue *.>A 6'.A3 6 1.3+, además '.(A3 7 >A) 6 &.(A3 7 3+) 7 &. Encontrar >+.>) &* A) %= 3) && +) %& E) '-

%&. En los puntos consecutios >, A, 3, + secumple $ue 3 es el punto medio de A+. ;3uálde las siguientes alternatias es igual a >3&<

%'. Sobreuna recta se toman los puntos consecutios

J, 2, J, R de manera $ue b.2R 6 a.JR !.HR 6 a.HJ 7 b. H2. 3alcular .

>)a 7 b A) a D b 3) &8a.b +)a.b E)(aDb)8&

%*. Sobre una recta se toman los puntosconsecutios >, A,3 luego se toma el puntomedio M del segmento A3, de modo $ue >A&D >3& 6 .(>M& D AM&). Encontrar

>) % A) & 3) ' +) %, : E) -,:

%:. En los puntos consecutios >, A,3, + $uese encuentran sobre una l/nea recta se cumple$ue >A.3+ 6 &.>+.A3, >demás

P>3

K>A

>+6 D

3alcular P D K D

>) ' A) * 3) : +) 1 E) =

NI5EL II

%1.. +ado los puntos consecutios >, A, 3, +sobre una l/nea recta tal $ue >A.>+ 6

'.A3.3+, además%

3+ / '6D *

>3

3alcular >A.

>) % A) & 3) 8& +) 8' E) &8'

%B. Sobre una l/nea se toman los puntosconsecutios >, A, 3, + tal $ue A es puntomedio de >+.

@allar

>) %,: A) & 3) ' +) * E) :

%=. Sobre una l/nea se toman los puntos

consecutios >, A, 3, +, E de modo $ue>3 D A+ D 3E&.>E 7 >A 7 +E

6 &n61

@allar n.

>) - A) % 3) 7% +) & E) '

%?. En los puntos colineales >, A, 3, +, E, F secumple $ue >3 D A+ D 3E D +F 6 *&,además

@allar AE.

&-. Sobre una l/nea se toman los puntosconsecutios >, A, 3, +, E de modo $ue >A .A+ 6 >+.A3 !

3alcular 4 n5.

>) = A) ? 3) ' +) * E) :

&%. #os puntos >, A, 3, + son colineales tal

$ue :.>3 7 &.A+ 6 '.>+. Encontrar >A83+

>) -,: A) % 3) %,: +) & E) &,:

&&. En una recta se toman los puntosconsecutios >, A, 3, + tal $ue >A . A+ 6>3.A3 ! >A 6 m, 3+ 6 n. @allar A3.

&'. #os puntos >,A, 3, + se encuentran sobre una l/nea rectade modo $ue >+.>3 6 :.A+.>A !

) > A D A ) > A . > + D 3 ) > + D

+ ) > A . > + 7 E ) > A . > + D

A +*

&

A +*

&

A + &

A +

*

&

A +&

&

> 3 7 3 +

A 3( #

: . > F

?A E 6

> An 7 %= . A 3

%A +

6D

) A ) 3 )

) E )

m D n

m D n&

m . n

m D n

m . n

&

m . n

%6 ' -D




G E O M E T R I A

@allar >3.>) %8& A) &8' 3) %81 +) &8: E) '8*

&*. #os puntos >, A, 3, +, E se encuentransobre una l/nea recta de modo $ue n.>+ 6

m.AE, '.>A 6 &.3+, +E 6 &.A3, 3+ 6 ?m 7'n. @allar A3

>)mDn A):n7'm 3)&m7n +)'m7:n E) :m7&n

&:. En los puntos colineales >, A, 3, + secumple $ue >A.3+ 6 .>+.A3, además

%

>+>A

&7'>3

D 6

3alcular 45

>) & A) ' 3) * +) : E) %-

&1. En los puntos colineales >, A, 3, +, E secumplen $ue >A 6 3+, >A.+E 6 3+.>+, A3D +E 61. @allar A+.

>) % A) & 3) ' +) * E) :

&B. #os puntos >, A, 3, +, E se encuentransobre una l/nea recta de modo $ue AE 6 &&,

además se cumple $ue

3alcular >+.>) &- A) &% 3) '- +) && E) &:

&=. Sobre una l/nea recta se toman los puntosconsecutios >, A, 3, +, tal $ue >A.3+ 6>+.A3, >A.A3 6 %', >+.3+ 6 '=. @allar A+.

>) * A) ' 3) 1 +) & E) :

&?. #os puntos >, A, 3, + se encuentran sobreuna l/nea recta de modo $ue A3 6 3+.3alcular

>) % A) & 3) %,: +) ' E) -,:

INTRODUCCIÓN

>ntiguamente la distribuci"n de los terrenos ola tarea de dar forma a los blo$ue de piedrapara la construcci"n de templos o pirámideseigieron a los egipcios el traCado de l/neasrectas, ángulos ! en consecuencia tuieron lanecesidad de trabajar con sus respectiasmedidas.

>ctualmente con las medidas de las l/neas !de los ángulos se sigue trabajando porejemplo los top"grafos al realiCarleantamientos topográficos

FUNDAMENTO TEÓRICO

&N+ULO*

CLA*IFICACIÓN DE LO* &N+ULO* DEACUERDO A *U MA+NITUD

&n7/os conveos# Son a$uellos ángulos$ue en medida son ma!ores $ue - peromenores $ue %=-.

%

%

- T T %=-

&n7/os cóncavos# #lamadas también no

coneos, son a$uellos ángulos $ue enmedida son ma!ores $ue %=- pero menores$ue '1-.

% %%=- T T '1-

&n7/os o"t7sos# Son a$uellos ángulos $ueen medida son ma!ores $ue ?- peromenores $ue %=-.

% %?- T T %=-

ÁNGULOS


9dentificar las clases de ángulos $ue eisten deacuerdo a su magnitud.

Reconocer ! aplicar las operaciones $uepueden realiCarse con su medida.

Resoler problemas sobre complemento !suplemento de un ángulo.

A + D & . > A

> A

A + D & . + E

+ E6

> A D > +A 3 D > 3

2 2

ÁNGULOS





&n7/os a7os# Son a$uellos $ue deacuerdo a su medida son ma!ores $ue -pero menores $ue ?-.

%% - T T ?-

&n7/o recto# Es a$uel ángulo cu!a medidae$uiale a ?-.

%

%

6 ?-

&n7/o //ano# Iambién llamado rectil/neo, esa$uel cu!a medida e$uiale a %=-.

% 6 %=-

Nota#+ebemos saber $ue en geometr/a no eisten de acuerdo asu clasificaci"n los ángulos negatios, !a $ue todos sonma!ores $ue -.

COM)LEMENTO DE UN &N+ULOEs lo $ue le falta a la medida de un ángulopara $ue sea igual a la medida de un ángulorecto.

?- 7

P

C(x) = 90° - x

)RO)IEDAD#Si 45 es la medida de un ángulo, donde - ≤ ≤ ?-, además 3 6 complemento. #uego

CCC ... C 8

>

n eces

X si “n” es ! " v

C si “n” es i# ! " X v

Ejm. -%. 3alcular 45 en 33 ... 3P 6 =-

Reso/7ción#Hbseramos $ue %B es un n0mero impar,entonces

333 ...3P 6 3P

#uego 3P 6 %=-, es decir ?- 7 6 =-

P 6 %- Rpta.

Ejm. -&. 3alcular 45 en 33 ... 3P 6 :-

Reso/7ción#Hbseramos $ue :- es un n0mero par,

entonces333 ...3P 6

#uego 6 :- Rpta.

*U)LEMENTO DE UN &N+ULOEs lo $ue le falta a la medida de un ángulo para$ue sea igual a %=-.

%=- 7

S(x) = $%0° - x

)RO)IEDAD#Si 45 es la medida de un ángulo, donde - ≤ ≤ %=-, además S 6 suplemento. #uego

SSS ... S 6

>X si “n” es ! " v

S si “n” es i# ! " X vn eces

Ejm. -%. 3alcular 45 en SSS ... SP 6 %1-

Reso/7ción#Hbseramos $ue %? es un n0mero impar,entonces

SSS ......SP 6 SP

#uegoSP6%1-, es decir%=- 7 6 %1-

P 6 &- Rpta.Ejm. -&.3alcular 45 enSSS ... SP 6 %%:

Reso/7ción#Hbseramos $ue %-- es un n0mero par,entonces

SSS ...SP 6

#uego 6 %%: Rpta.

% B ( e c e s

% B ( e c e s

: - e c e s

- - ( e c e s

- - ( e c e s

ACTIVIDAD EN EL

AULA




G E O M E T R I A

-%. El suplemento del complemento de 4α5 esigual al $u/ntuplo del complemento de 4α5.3alcular el complemento del suplemento de

4&α5.

>) '- A) &: 3) *: +) :- E) .>.

-&. El suplemento del complemento delcomplemento de 4α55 es %1-. 3alcular larelaci"n del suplemento de 4α55 alcomplemento de 4&α55.>) %,: A) ' 3) & +) : E) .>.

-'. Si a la ra/C cuadrada de 4α5 leaumentamos su complemento, se obtiene los&8' del complemento del complemento de

?-. 3alcular 4α5.

>) B& A) ? 3) %= +) '1 E) B-

-*. #a diferencia de los complementos de > !A es igual a %8= de la ?-Dα 3)*: +) ?-E) *:7α

%*. El eceso del suplemento de α sobre elduplo de a es igual al complemento de a.3alcular el ángulo α.

>) %: A) &- 3) '- +) *: E) :-

%:. 3alcular el alor de la raC"n aritméticaentre el cuádruplo del complemento de lacuarta parte de un ángulo ! la cuarta partedel suplemento del cuádruplo de dico ángulo.>) '1- A) '&- 3) '%: +) ''- E) .>.

%1. #a suma de las medidas de dos ángulos es=- ! el complemento de la medida delprimero es el doble de la medida del segundo.

@allar el alor de la raC"n de aritmética de lasmedidas de dicos ángulos.

>) '- A) *: 3) 1- +) 'B E) :'

%B. Si la raC"n geométrica del complementode un ángulo 4α5 entre el suplemento delángulo 4φ5 es igual a la raC"n geométrica delsuplemento 4α5 entre el complemento de 4φ5.3alcular la suma de las medidas de ambosángulos.

>) '-- A) &B-3) 'B- +) %B- E) %:-

%=. Si la medida de un ángulo ledisminuimos su cuarta parte más $ue la mitadde su complemento, resulta un tercio de lasustracci"n entre el complemento ! elsuplemento de la medida del mismo ángulo.>) ?- A) *: 3) 1- +) - E) %--

%?. Si el complemento de un ángulo 45ecede en sus *8B a la medida de 45.+etermine

33333.............3

>) '= A) '1 3) *1 +) 'B E) *B

&-. Sea 45 la medida de un ángulo obtuso,con la condici"n'S(333333.....3) 6 SSSS........S

n∈D>) %'* A) %:' 3) %': +) %*: E) .>.

&%. Si S es suplemento, calcular 4n5 si esimpar en

SSa D SSSS'a D SSSSSS:a SS.....Sna 6 =SSa D SSSS'a D SSSSSS:a D

SSSSSS...Sna 6 =

>) %B A) '& 3) %= +) B% E) %1

&&. Si la seta parte del suplemento delcomplemento de un ángulo es igual a latercera parte de su suplemento disminuido en?. 3alcular el suplemento del triple delcomplemento de la mitad de dico ángulo.>) *1 A) %B 3) %= +) %? E) &-

&'. El complemento de la suma entre elsuplemento ! el complemento de un ángulo

45 es igual al duplo del complemento de 45.@allar el suplemento de la mitad de dicoángulo 45.

>) %'-A) %'% 3) %'& +)%'* E) %':

&*. Si el suplemento de suplemento delsuplemento de un ángulo se le aade elcomplemento del complemento complementodel doble de la medida de dico ángulo, seobtiene el triple de la medida del ángulo, se

obtiene el triple de la medida del ángulomencionado. 3alcular la medida del

& n ( e c e s

n D ' ( e c e s

n D % ( e c e s





suplemento del complemento delcomplemento de dico ángulo.>) *- A) :- 3) 1- +) B- E) =-

&:. #a bisectriC de un ángulo 4α5 forma conuno de sus lados un ángulo 4β5 $ue es igual a

la octaa parte del suplemento de 4α5.3alcular el suplemento del complemento delcomplemento del suplemento de 4'α5.

>) %-: A)%-1 3) %-B +) %-= E) %-?

&1. Si el complemento de la sustracci"n deefectuar entre dos ángulos es igual alsuplemento de la suma de dicos ángulos.+eterminar uno de los ángulos.

>) *: A) *1 3) *B +) *= E) .>.

&B. Si los 8! del complemento de lasustracci"n entre el suplemento ! elcomplemento de θ es igual a los m8n de lasustracci"n entre el complemento de θ ! elsuplemento del suplemento de θ. @allar θ.

>) *- A) *% 3) *& +) *' E) *:

&=. Si los 8! de suplemento del complemento

de los !8 de la sustracci"n entre elsuplemento del suplemento de ! elcomplemento del complemento de ! es igual also !8 del suplemento del complemento delos 8! de la sustracci"n entre el complementodel complemento de ! el suplemento delsuplemento de !. 3alcular el complemento dela sustracci"n entre e !.>) 1- A) B- 3) =- +) ?- E) %--

-%. El suplemento del complemento de unángulo ecede en =- al complemento delmismo ángulo. 3alcular el complemento delángulo cu!a medida es el doble de la medidadel primer ángulo.

>) %- A) %% 3) %& +) %' E) %*

-&. Sea 45 la medida de un ángulo, si secumple $ue

SSSSSP D 333333&P 6 &-- @allar 45

>) &- A) *- 3) ': +) &: E) ?-

-'. Si al suplemento de un ángulo se le

aumenta el doble de su complemento resultala medida de dico ángulo pero más =-.3alcular dico ángulo.

>) :- A) 1- 3) B- +) =- E) ?-

-*. 3alcular el alor de la raC"n aritméticaentre el cuádruplo del complemento de lacuarta parte de un ángulo ! la cuarta partedel suplemento del cuádruplo de dicoángulo.

>) '%: A) '%-3) &%: +) ':- E) >

-:. Si la raC"n geométrica del complementode un ángulo 4a5 entre el suplemento delángulo 4$5 es igual a la raC"n geométrica delsuplemento de 4a5 entre el complemento de

4$5. 3alcular la suma de las medidas deambos ángulos.

>) &:- A) &B- 3) &=- +) 'B- E) .>.

-1. El suplemento del complemento de unángulo ecede en =- al complemento delmismo ángulo. 3alcular el complemento delángulo cu!a medida es el doble de la medidadel primer ángulo.

>) %- A) %% 3) %& +) %' E) %*

-B. Si 3 6 complemento

3a D 33&a D 333'a6 %:-

@allar 4a5

>) %: A) '- 3) 1- +) && E) ''

-=. #a suma del complemento con elsuplemento de cierto ángulo es igual a %'-.@allar la medida de dico ángulo.

>) :- A) 1- 3) B- +) =- E) ?-

-?. ;3uál es la mitad de la tercera parte delcomplemento del suplemento de ?1 <>) & A) % 3) ' +) * E) :

NN PRACTICADOMICILIARIA




G E O M E T R I A

%-. 3alcular el complemento de la mitad de%&-.

>) &= A) '- 3) %: +) ': E) *-

NI5EL II1. Si S 6 Suplemento !3 6 3omplemento

3alcular SSSS.....S%:- D 3333.....3:- D SSS33SS3*-

%:: eces %:1 eces >) %:- A)%1- 3)%*- +)%'- E)&--

%&. El doble de la medida de un ángulo esigual al triple de la medida de sucomplemento. @allar la medida del ángulo.

>) :* A) '1 3) '& +) &B E) :=

%'. @allar la medida de un ángulo sabiendo$ue su complemento ! su suplemento suman&-=.

>) 1& A) '% 3) &? +) '? E) >

%*. El doble del complemento de un ángulomás el triple del suplemento del mismo, es:--. @allar la medida del ángulo.

>) *= A) && 3) :* +) &* E) **

%:. Si los '8& del complemento de un ángulo 4a5 es igual al suplemento del complementodel mismo ángulo. @allar 4a5.

>) %: A) &= 3) %= +) : E) =

%1. Encontrar la medida de un ángulo,sabiendo $ue dico ángulo es igual a un

octao de su suplemento.

>) %= A) &- 3)&: +) '- E) *:

%B. #a diferencia entre el suplemento ! elcomplemento de la medida de un ángulo esigual al sétuplo de la medida del ángulo.;3uánto mide el ángulo<.

>) %- A) %: 3) &- +) '- E) 1-

%=. 3alcular 4a5 , si 333a D SSSS'a 6 S33SSBa

>) %: A) &- 3) %- +) &: E) .>.

%?. El complemento de 45, más elsuplemento de 4&5, es igual a un tercio de

45. @allar el suplemento de 45.

>) ?? A)%-- 3) %&- +) %%- E) 1-

&-. Si S 6Suplemento ! 3 63omplemento 3alcular

>) -,: A) % 3) %,: +) & E) '

&%. El suplemento del complemento delsuplemento de la medida de un ángulo esigual a oco eces la medida del ángulo.Encontrar el suplemento del triple de lamedida del ángulo<.

>) %-- A) %&- 3) 1- +) *- E) =-

&&. +os ángulos suman B: ! uno de ellos

mide el doble del complemento de esta suma.+eterminar la diferencia de estos dosángulos.>) '- A) *: 3) &- +) %: E) &:

&'.3alcular el suplemento del complementode la mitad de la diferencia entre elsuplemento ! el complemento de un mismoángulo.

>) *: A) 1- 3) B: +) ?- E)%':

&*.#a diferencia entre el suplemento ! elcomplemento de 4a5, es igual al sétuplo de

4a5. 3alcular el suplemento del complementode 4a5.>) %-- A) %-: 3%%- +)%%: E) %&-

&:.El complemento de 45 más el

complemento de 4&5 es igual a 4'5. @allar 45.>) %- A) &- 3) '- +) *- E) :-

3 7 S S

: - % ' ?

3 3 3= ?

6E





INTRODUCCIÓN#os 3aldeos (>ntigua ciiliCaci"n) diidieron elc/rculo en '1- partes, sustentándose en el

eco de $ue la reoluci"n del Sol se efect0aen unos '1- d/as, de modo $ue, tomando porunidad el camino recorrido por el astro en und/a, debieron llegar, por aproimacionessucesias a dica diisi"n $ue, trasmitida aloccidente por los griegos, se conseratoda/a.2ara los fabricantes del famoso transportador,es en realidad todo un reto, conseguirdiisiones de grado con muca precisi"n. Estose debe a $ue la diisi"n de la circunferenciaen '1- partes no es eacta.

&N+ULO*

CLA*IFICACIÓN DE LO* &N+ULO**E+(N *U* CARACTER9*TICA*

1. &N+ULO* COM)LEMENTARIO*#Es lo $ue le falta a la medida de un ángulopara medir ?-

>

α

βH

A M

J2

#os ángulos >HA ! M2J, son complementarios

α β+ = 90

COM)LEMENTO DE UN &N+ULO :Ca;

Es lo $ue le falta a la medida de un ángulopara medir ?-.Sea 4a5 el ánguloN - T a T ?-

Ca 8 <= - a

)RO)IEDAD#

Sea 45 es la medida de un ángulo, donde - ≤

P ≤ ?-

CCC ... C 8

>

n eces

X si “n” es ! " v

X si “n” es i#!" v

2. &N+ULO* *U)LEMENTARIO*#Son dos ángulos cu!as medidas suman %=-.

>

α β

H

A M

J2

#os ángulos >HA ! M2J, son suplementarios.α D β 6 %=-

*U)LEMENTO DE UN &N+ULO :* ;Es lo $ue le falta a la medida de un ángulopara medir %=-.Sea 4a5 el ánguloN - T αT %=-

)RO)IEDAD#Sea 45 es la medida de un ángulo, donde - ≤

P ≤ %=-

'. VLU#HS >+K>3EIES3HM2#EMEI>R9HS

Son dos ángulos $ue tienen el mismo értice !cu!as medidas suman ?-.

α

β

H

3

>

A

#os ángulos >HA ! AH3, son ad!acentescomplementarios. α D β 6 ?-

%. AN+ULO* AD>ACENTE**U)LEMENTARIO*#Son dos ángulos $ue tienen el mismo értice !cu!as medidas suman %=-.

αβ

H3 >

A

* * * . . . * 8

n e c e s

X s i “ n ” e s ! "

X s i “ n ” e s i # ! "


9dentificar las clases de ángulos $ue eisten deacuerdo a su magnitud.

Reconocer ! aplicar las operaciones $ue

pueden realiCarse con su medida.Resoler problemas sobre complemento !

suplemento de un ángulo.

ÁNGULOS II




G E O M E T R I A

#os ángulos >HA ! AH3, son ad!acentessuplementarios.

α D β 6 %=-E,ercicios e/icativos#%. @allar el suplemento del complemento delos '8* del cuádruple del complemento de B-

Resoluci"n %=- 7 W?- 7 ('8*)(*)(?- 7 B-)X

%:- Rpta.

&. Se tiene dos ángulos ad!acentessuplementarios >HA ! AH3. Si HM es bisectriCdel ángulo >HA. 3alcular AHM, siendo ademásAH3 7 >HA 6 *-Lraficando

A

>

αα

θ

H3

Lraficando

R!"olución#

+el gráfico, & D 6 %=- ........... (%)

2or dato, 7

6 %%-

En (&),

%%- 7 & 6 *-

α θ

θ α

θ

θ

θ α

α

α

& 6 %=- ........... (&)

Sumando (%) D (&), & 6 &&-

7 & 6 %=-

6 ':

-%. En la siguiente figura, los ángulos >HA !>H3 son complementarios. @allar la medidadel ángulo >HP, siendo HP bisectriC del ánguloAH3.

A

P

3

>

H

>) *: A) '- 3) &: +) &&'-Y E) 1B'-

-&. Se tienen los ángulos consecutios >HA !AH3, calcular la medida del ángulodeterminado por H> ! la bisectriC del ángulo

AH3, si >HA 6 a, >H3 6 b.

>) A) 3)

+) E)

b&

b&

a &a

a D b &

a D b '

D D

&'

(a D b)

'. Se tienen los ángulos consecutios >HA !AH3, $ue determinan un par lineal, ademásH+ ⊥ HA, tal $ue 3 pertenece a la regi"nangular del AH+. Si >H+ 6>HA D '-. @allar AH3.

>) :- A) %&- 3)%:- +) 1- E) *-

-*. Se tienen sucesiamente los ángulosconsecutios >HA, AH3, $ue determinan unpar lineal, además H+ ⊥ HA, tal $ue >H3 6=- ! AH+ 6 1-. @allar la medida delángulo determinado por las bisectrices de losángulos >HA ! 3H+.

>) =- A) 1: 3) B- +) :- E) B:

-:. En la siguiente figuraH es bisectriC del >HJHM es bisectriC del >H2>HM 6 AHJ3alcular AHJ

>) && A) :1 3) '* +) 11 E) '&-1. Se tienen sucesiamente los ángulosconsecutios >HA, AH3 ! 3H+ cu!a suma demedidas es B:. @allar la >HA, si AH3 63H+, además la bisectriC del ángulodeterminado por H> ! el ra!o opuesto de H3,es perpendicular a HA.>) &: A) :- 3) '- +) && E) '1

-B. Se tienen los ángulos consecutios >HA !AH3 cu!as medidas son respectiamente '1! *-. ;3uánto mide el ángulo determinadopor HA ! la bisectriC del ángulo determinadopor las bisectrices de los ángulos >HA !AH3 <>) % A) & 3) * +) 1 E) =

-=. En la siguiente figuraAH3 6 +HE 6 %8' H+. @allar la medida delángulo determinado por las bisectrices de los

ángulos AH3 ! +HE.

P

B

2 2

N

M

A

ACTIVIDAD EN EL

AULA





A O

E

D

X

C

B A

-?. En la siguiente figura las medidas de los

ángulos >HA, AH3, 3H+ ! +HE están enprogresi"n aritmética, @allar la medida delángulo 3H+.

D

E

B

X

X+R

X+2R

X+3RX+4R

O

C

A

>) 1- A) =- 3) ?- +) =1 E) B&

%-. Se tienen sucesiamente los ángulos >HA,AH3 ! 3H+ tal $ue, >H3 6 1&, >H+ 6 ?&.3alcular la medida del ángulo 3H+.

>) '* A) &= 3) '- +) && E) &1

%%. Se tienen sucesiamente los ángulosconsecutios >HA, AH3, 3H+ ! +HE tal $ueH> ! HE son ra!os opuestos, además AH3 !+HE son complementarios, 3H+ ! >HAtambién son complementarios. >demás la

medida del AH+ aumentada en el doble de lamedida del +HE es %:-. 3alcular la medidadel ángulo 3HE.

>) B& A) 1- 3) =- +) 11 E) B:

%&. Se tienen sucesiamente los ángulosconsecutios >HA, AH3, 3H+, tal $ue HA CH+, además HA es bisectriC del >H3, si >HA 6&-. @allar el ángulo 3H+.

>) =- A) 1- 3) *- +) :- E) B-

%'. >HA ! AH3 son dos ángulos consecutios,tales $ue >HA 7 AH3 6 *& se traCa HF,bisectriC del >H3. @allar el ángulo FHA.>) *& A) &% 3) '- +) *: E) %%,:

%*. >HA ! AH3 son dos ángulos consecutiossi >HA 6 AH3 DB&, HM es bisectriC del >HA,H bisectriC del AH3 ! HR bisectriC del MH.@allar la medida del ángulo RHA.

>) B& A) '1 3) %= +) ? E) 1

%:. Se tienen los ángulos consecutios si >HA,AH3, 3H+, +HE ! EHF, de modo $ue el ángulo>HF sea llano, si >HA G AHF, AH3 Z +HE !>H+ 6 %&'. 3alcular 3H+.>) 1& A) 1' 3) 1* +) 1: E) 11

NI5EL II%1. +ado el >HA ! su bisectriC HM, 2 es unpunto de la regi"n interior al ángulo >HM. SetraCan 2J H>, 2R HM ! 2F HA. 3alcular>HA, si 'F2J 6 *F2R.

>) :* A) :& 3) %-* +) %-= E) %%=

%B. Sean los ángulos consecutios >HA, AH3,3H+ ! +HE. HA biseca el >H3 ! H+ biseca el3HE, 3alcular >HE, si >H+ D AHE 6 %*%.>) ?B A) ?1 3) ?* +) ?= E) ?&

%=. Sean >HA, AH3 ! 3H+ ángulosconsecutios >H+ 6 %--, >H3 6 B& !AH+ 6 ='. 3alcular AH3.

>) '- A) *: 3) 1- +) =- E) .>.

%?. Sean los ángulos consecutios FM> !>ML, FML 6 B1. 3alcular la medida delángulo $ue forman las bisectrices de losángulos FM> ! >ML.

>) ': A) =: 3) B- +) %&- E) .>.

&-. +ado los ángulos consecutios 2HJ, JHR! RHS, 2HS 6 =- ! 2HR D JHS 6 %%-.3alcular JHR.

>) =: A) %: 3) 1- +) %*- E) .>.

&%. >HA, AH3 ! 3H+ son ángulosconsecutios. 3alcular la medida del ángulo

$ue forman las bisectrices del >HA ! 3H+sabiendo $ue >H3 D AH+ 6 ?1.

>) %: A) ': 3) 1? +) =- E) .>.

NI5EL I%. +os ángulos consecutios >HA ! AH3

cumplen con la siguiente condici"n el ma!ortiene ': menos $ue el triple del menor, si la

NN PRACTICA

DOMICILIARIA




G E O M E T R I A

medida del <>H3 es de %'-. @allar la medidadel ma!or de los ángulos.

>) *% A) == 3) :1 +) B& E) .>.

&. >l rededor de un punto ! en un plano se a

formado * ángulos, cada uno de ellos es &-ma!or $ue el anterior. 3alcular la medida delángulo menor.

>) '- A) *- 3) *= +) :& E) .>.

'. Se tienen los ángulos consecutios >HA,AH3 ! 3H+N si >H3 6 1: ! AH+ 6 B:.@allar la medida del ángulo formado por lasbisectrices de los ángulos >HA ! 3H+.

>) B- A) 1- 3) =- +) :- E) .>.

*. Se tienen los ángulos consecutios >H3,3HA. Se traCan HM bisectriC de >HA. 3alcularla medida del ángulo 3HM, si AH3 7 >H3 6*&

>) '- A) *& 3) &% +) '1 E) %=

:. 3uatro consecutios H>, HA, H3 ! H+forman cuatro ángulos consecutios $ue sonentre s/ como %, &, ' ! *. 3alcular los &8' delángulo formado por las bisectrices de >HA !AH3.

>) %= A) '1 3) :* +) *= E) &-

1. #a de dos ángulos consecutios >HA ! AH3es de '-. ;Jué ángulo forma la bisectriC delángulo >H3

>) %- A) %: 3) &- +) '- E) :

B. Sean los ángulos consecutios >HA ! AH3,3H+ ! +HEN HA biseca a >H3N H3 biseca a>H+ ! H+ biseca a >HE. Si &>HA D 'AH3 D*3H+ D >HE 6 &%-. @allar la medida de>HA.

>) %- A) &% 3) *& +) : E) %1

=. >lrededor del punto 4H5, en formaconsecutia, se traCan los ra!os H>, HA, H3,H+ ! HEN de modo $ue H3 C H+N HE ! HA son

ra!os opuestosN HE biseca a >H+. @allar lamedida de >HA si AH3 6 &8%% >HA.

>) ?- A)%%- 3) %-- +) %&- E) .>.

?. Se tienen sucesiamente los ángulosconsecutios >HA, AH3 ! 3H+, tal $ue >H3 6=- ! AH+ 6 1-. @allar la medida del ángulodeterminado por las bisectrices de los ángulos

>HA ! 3H+.>) =- A) :- 3) B- +) B: E) .>.

%-. >lrededor de un punto ! en un plano (Tde '1-) se an formado cuatro ángulos.3ada uno de ellos es &- ma!or $ue elanterior. 3alcular la medida del ángulo menor. Rpta. ....................................%%. >l rededor de un punto ! en un plano sean formado * ángulos la medida del &[ es la'[ parte de la %[, el '[ ángulo mide '- más$ue el %[ ! el *[, la '[ parte de la del '[ángulo. 3alcular la medida del ángulo ma!or.

%&. #as rectas >HA ! 3H+ se cortan en elpunto H. #a bisectriC del ángulo forma con HAun ángulo de %*&. ;3uánto mide el ángulo>H3<.

Rpta. .................................

%'. +os ángulos $ue tiene el mismo értice !un lado com0n están situados a una mismaregi"n del lado com0n. Si el alor de su raC"naritmética es un ángulo agudo, calcular elmáimo alor entero $ue forman susbisectrices. Rpta. ..............................

%*. Se tienen los ángulos consecutios >HA,AH3 ! 3H+N tal $ue 2HJ D RHS 6 %*%.Siendo los ra!os H2, HJ ! HS las bisectrices

de los ángulos >HA, 3H+ ! AH+respectiamente. @allar >H+. Rpta. ................................

%:. >lrededor de un punto 4H5 se traCan losra!os coplanares ad!acentes H>, HA, H3 !H+ en sentido orario, de tal manera $ue labisectriC H2 del ángulo >HA es perpendicular ala bisectriC H3 del ángulo AH+ ! la bisectriCHJ del ángulo 3H+ es perpendicular a labisectriC HA del ángulo >H3. 3alcular la

medida del ángulo 2HJ. Rpta. .................................





NI5EL II%1. Se tienen los ángulos consecutios >HA,AH3 ! 3H+, además los ra!os HM ! H sonbisectrices de los ángulos >HA ! 3H+,respectiamente. 3alcular la medida delángulo >H3. Si MH 6 a ! >H3 7 AH+ 6 b

Rpta. ....................................%B. >lrededor de un punto ! en un plano sean formado * ángulos. Uno de ellos mide':, el segundo ecede al primero en %- !los otros dos están en relaci"n de & es a '.3alcular la medida del ángulo ma!or.Rpta. ....................................

%=. >lrededor de un punto en un plano se anformado * ángulos en progresi"n geométricacu!a raC"n es '. 3alcular la medida del ánguloma!or. #as rectas >HA ! 3H+ se cortan en H.#a bisectriC del ángulo >H3, forma con HA unángulo de %::. @allar la medida del ángulo>H3.

Rpta. ....................................

%?. Ires ángulos consecutios $ue se anformado alrededor de un punto ! en un mismosemiplano, están en progresi"n aritmética. Siel primer ángulo tiene por medida la

diferencia $ue a! entre el segundo ! eltercero. @allar la medida del ángulo ma!or. Rpta. ....................................

&-. Se tienen los ángulos consecutios >HA !AH3, tal $ue AH3 D >H3 6 B-. 3alcular elángulo formado por H3 ! la bisectriC delángulo >HA respectiamente. @allar AH, siAHK 7 >HP 6 &$

Rpta. ....................................

&%. Se tienen los ángulos consecutios >HA !AH3 ! 3H+ tal $ue los ángulos >H3 ! AH+son suplementarios. 3alcular la medida delángulo $ue forman las bisectrices de losángulos >HA ! 3H+. Si AH3 6 %: ! >HA 6&3H+

&&. +ado los ángulos consecutios MH !HJ, donde HP es bisectriC del ángulo MH !

HK bisectriC del ángulo HJ ! H es bisectriCdel ángulo PHK. Si HJ 7 MH 6 1-.3alcular la medida del ángulo H.

>) %: A) %= 3) %& +) &- E) .>.

&'. Se tienen los ángulos consecutios >HA,AH3, 3H+, +HE cu!a suma de sus medidas esel triple de la medida de su complemento. Si

los cuatro ángulos están en progresi"ngeométrica en el $ue el menor ángulo es %8=del ma!or. @allar la medida del ángulo menor.

>) %& A) %= 3) ? +) &- E) .>.

&*. El ángulo >HA ecede en *= al ánguloAH3N HP es la bisectriC del ángulo formadopor las bisectrices de los dos primeros. @allarla medida del ángulo AHP.

>) = A) %- 3) %% +) %& E) .>.

&:. Se tienen los ángulos consecutios >HA !AH3 de modo $ue >HA 6 1* se traCan lasbisectrices HM ! H de los ángulos >HA !AH3 respectiamente. Si el ángulo formadopor las bisectrices de los ángulos >H ! MH3mide ':. 3alcular la medida del ángulo AH3.

>) B: A) B1 3) 1- +) =& E) .>.

&1. Se tienen los ángulos consecutios >HA !AH3, luego se traCan los ra!os HP ! HK con lasiguiente condici"n

AOX

AOB

CO Y

BOC= =;

1

3

1

3

3alcular la medida del ángulo $ue forman lasbisectrices de los ángulos >HK ! 3HP sabiendo$ue >H3 6 %&-.

>) &' A) %= 3) &: +) &- E) .>.

&B. Se tienen los ángulos consecutios >HA,AH3 ! 3H+N se traCan las bisectrices HP,HK, H de los ángulos >HA, 3H+ ! PHKrespectiamente. @allar AH, si AHK 7 >HP 6&θ.

>) 'θ A) &θ 3) *θ +) θ E) .>.

&=. Se tienen los ángulos consecutios >HA,AH3 ! 3H+ tal $ue los >H3 ! AH+ son

suplementarios. 3alcular la medida del ángulo$ue forman las bisectrices de los ángulos >HA! 3H+. Si AH3 6 %: ! >HA 6 &3H+




G E O M E T R I A

>) =: A) B: 3) ?: +) ?- E) .>.

&?. Se traCan los ángulos consecutios >HA,AH3 ! 3H+, luego las bisectrices de losángulos >HA ! AH3 son HM ! H

respectiamente. 3alcular MH, si 3H+ 6'MH ! >H3 D HM D 3H+ 6 &B-.

>) :- A) *= 3) *& +) *: E) .>.

'-. +el gráfico calcular 4 D ! D C5

P

K

>) 1*- A) :=- 3) B&- +) 1=: E) .>.

'%. +el gráfico calcular 4 5

>) *- A) :- 3) 1- +) B- E) =-

'&. +el gráfico calcular 4 5

>) %-- A) %&- 3) %'- +)%:- E) .>.

''. +el gráfico mostrado la medida del ángulo+RH 6 ' mT >RE. calcular 4 5

>) ? A) %= 3) &- +) '1 E) &&

INTRODUCCIÓN

3uando transitamos por las calles o iajamos

en autob0s emos una estructura de metal enforma de torres, $ue son llamadas 4torres dealta tensi"n5 encargadas de soportar !conducir los cables de alta tensi"n, dicasestructuras como emos representan rectasparalelas cortadas por rectas secantes, dondeeremos ángulos $ue se forman en esta partetrataremos de los ángulos $ue se formancuando paralelas son cortadas por secantes.

FUNDAMENTO TEÓRICO

)O*ICIONE* RELATI5A* ENTRE DO*RECTA*A; )ARALELA*# Son a$uellas dos rectas $ueno tienen punto en com0n, perteneciendo aun mismo plano.

L L1 2

L1 L2

$; *ECANTE*# Son a$uellas dos rectas $ueperteneciendo a un mismo plano, tiene unpunto en com0n.


Vngulos $ue se forman cuando rectasparalelas son cortadas por rectassecantes.

Reconocer ! aplicar las propiedades delos ángulos formados $ue se formancuando las rectas paralelas soncortadas por rectas secantes.

ÁNGULOS III





α = -0.

α

α

/1 /1

&L"/

P34P3N5L"43/

/2

/2

AN+ULO* FORMADO* )OR DO* RECTA*)ARALELA* > UNA *ECANTE

L1

L3

L2

d

7

a

$

g

e

#% 88 #&N #' Recta secante>lternos 9nternos d ! e, c ! f Eternos a ! , b ! g

3onjugados 9nternos c ! e, d ! f

Eternos a ! g, b !

3orrespondientes a ! e, b ! f c ! g, d !

\ #as medidas de los VLU#HS >#IERHS9IERHS, son iguales entre s/.

c 6 f d 6 e

\ #as medidas de los VLU#HS >#IERHSEPIERHS, son iguales entre s/.

a 6 b 6 g

\ #os VLU#HS 3HUL>+HS 9IERHS, sonsuplementarios c D e 6 %=- d D f 6 %=-

\ #os VLU#HS 3HUL>+HS EPIERHS, sonsuplementarios

a D g 6 %=- b D 6 %=-

\ #as medidas de los VLU#HS3HRRES2H+9EIES, son iguales entre s/.

a 6 e b 6 f

c 6 g d 6

)RO)IEDADE*%. Si entre dos rectas paralelas, se traCa unal/nea $uebrada, se cumple lo siguiente#a suma de las medidas de los ángulos $ueestán en su sentido, ienen a ser igual a la

suma de las medidas de los ángulos $ue estánen sentido contrario.

ββ

ααaa

$$

L1L1

L2L2

Si #% 88 #& a D b D c 6 a D b

Si #% 88 #&

6 a D b

&. +adas dos paralelas #% ! #&, se cumplirá losiguiente

an

a4

a3

a2a1

L1L1

L2L2

...

.

Si #% 88 #&

P 6a% D a& D a' D a* D ..... D an 6 %=-

3uando dos ángulos tiene sus ladosperpendiculares, resultan ser

A; CON+RUENTE*# +os ángulos cu!os ladosson respectiamente perpendiculares, seráncongruentes si los dos ángulos son agudos olos dos obtusos.

=α θ

α

θ

=α θ

θ

α

x =

x

L 1L 1

L 2

a

x

6




G E O M E T R I A

$; *U)LEMENTARIO*# Si uno es agudo ! elotro obtuso.

+ 180.α θ =

θ

α

)RACTICA DE CLA*ENI5EL I%. Si #% 88 #& @allar 45

L1 L2

x+50. x)10.

&. Si #% 88 #& @allar 45

L1

L2

52.

x

'. Si #% 88 #& @allar 45

L1

L2

110.

100.

x

*. Si #% 88 #& @allar 45

L1L2

1-

=:

:. Si #% 88 #& @allar 45

L1

L2

52.

40.

αα

ββ

1. @allar . Si #% 88 #&

xº

60º l1

l2

a) 1-? b) %&-] c) ?-]d) %--] e) %1-]

B. @allar ( G !). Si #% 88 #& 88 #'

160º

x

y

l1

l2

l3

a) &-] b) %1-] c) ?-]d) %=-] e) .>.

=. Si #% 88 #& 88 #' 88 #*. @allar el alor de ]

xº

40º l1

l2

l3 l4

a) *-] b) %*-] c) ?-]d) %--] e) .>.

?. Si #% 88 #& 88 #'. @allar ( D !)].

609

x9

9

1509

l1

l2

l3

a) %*-] b) %:-] c) %1-]d) %B-] e) .>.

%-. Si #% 88 #& alar el alor de 45





xº

35º

68º

l1

l2

a) %--] b) %:-] c) %'-]d) %1-] e) .>.

%%. +e acuerdo con las siguientes figuras ;3uálesson rectas paralelas<

56º65º

56º

124º

124º

a

$

x

a) %-- b) %-' c) %'-d) %1- e) .>.

%&. Si #% 88 #&. @allar el alor de 45.

l1

l2

x + 10º

3x - 30º

a) %- b) &- c) '-d) *- e) .>.

%'. Si #% 88 #& son paralelas. @allar (a D b)

l1

l2

b

70º

a 35º

a) %*-] b) %:-[ c) %=-]d) '1-] e) .>.

%*. @allar el alor de ( G !)]. Si #% 88 #&

l1

l2

2x + y

3x - y55º

%:. @allar 45. Si #% 88 #&.

l1

l2

xº

10º

70º

25º

%1. Si las tres rectas oriContales son paralelascalcular el ángulo 45.

50º

xº20º

a) %--] b) %&-] c) %'-]

d) %*-] e) %:-]

%B. En la figura 6 =-].

@allar 45 ! #% 88 #&.

l1

l2

xº

β α

φφβ

α

a) %&-] b) %1-] c) %:']d) %:-] e) =-]

%=. Si recta 21L//L + .

@allar la medida del ángulo DCB .

l1

l2

3x 10º5x - 20º

3x + 20º

a) %-] b) *-] c) *:]d) :-] e) 1:]

%?. @allar 45, si #% 88 #&.

l1

l2

xº50º

2m+5

m+30

a) B:] b) %-:[ c) ?-]d) =:] e) .>.

&-. 3alcular 45, Si #% 88 #& 88 #'




G E O M E T R I A

10x

3x

xº

l1

l2

l3

12+x

a) %] b) &] c) ']d) *] e) :]

NI5EL III. En cada caso siguiente, allar el alor 45.

-%. #% 88 #&.

2xº (x+15)º

L1 L2

a) &:] b) %:] c) 1:]d) ::] e) .a.

-&. #% 88 #&.

L1

L2

52°

x

a) %=-] c) '-=] c) '-1]d) '--] e) .>.

-'. #% 88 #& 88 #'

L1

L2

45º

L3

xº

60º

a) %-:] b) %-'] c) %--]d) 1?] e) .>.

-*. #% 88 #&.

x300º

L1

L 2

a) 1:] b) '-] c) 1-]d) *:] e) .>.

-:. #% 88 #&.

L1

L 2

60º

x

85º

a) :-] b) &:] c) ':]d) *:] e) .>.

-1. #% 88 #&.

L1

L2

x

30°

a) 1-] b) *-] c) :=]d) 1'] e)=-

-B. #% 88 #&.

L1

L2

80º x

α α

a) %':] b) %&-] c) %-:]d) %'-] e) .>.

-=. #% 88 #&.

L1

L2

x

100º

a) 1-] b) =-] c) ?-]d) %--] e) .>.

-?. #% 88 #&.

L1

L2

x100º

αα

a) B- b) *: c) *-d) 1- e) .>.





%-. #% 88 #&.

L1

L2

x

150°

a) %-- b) %'- c) %-'d) %&- e) .>.

%%. #% 88 #& 88 #'.L1

L 2

L3

α

xº

α

100º

a) *-] b) %*-] c) ?-]

d) %--] e) .>.

%&. Si las rectas →← →←

bay son cortadas por recta →←

c será

→← →←

ba// ;2or $ue<

7x + 13°

8x + 3°

a

b

11x - 5°

c

a) Si b) o c) F.+.d) 9mposible e) .>.

%'. Si →← →←

ba

// @allar α, si →← →←

QPy son bisectrices de los

ángulos > ! A.

P

B

a

b

c

Qα

a) 1- b) B- c) =-d) ?- e) :-

%*. @allar D α D β si #% 88 #&

120°

70° 2α

L1

L2

50° β

β

α α

x°

a) %:- b) %=- c) %--d) %&- e) %B:

%:. Si →← →← →← →←

!//

cb//

ay ,

→← →←"

//m . @allar ( 7 !)

c

y

2x - 30°

m

"

70°

x°

a

b

!

a) &- b) '- c) *-d) :- e) %-

NI5EL I-%. En la siguiente figura allar el alor de ( 21 L//L

)

x

L 1

L 2

x

x

a) &- b) '- c) *:

d) 1- e) %:

-&. Si 21 L//L allar el alor de

x+50L 1

L 2

x

2x

x+60

a) : b) %- c) %:

d) &- e) &:

-'. Si 21 L//L ! 43 L//L , allar el alor de

20°L 1

L 2

x

80°

L 3 L 4

a) 1- b) *- c) B-d) :- e) =-

)RACTICA DOMICILIARIA




G E O M E T R I A

-*. En la figura, #% 88 #& ! α D β 6 %1-. @allar θ

L

L

1

2

α

β

θ

a) ': b) *- c) :-d) :: e) =-

-:. @allar el ángulo en la figura, si #% 88 #&

L

L

1

2

α

x

3x/2

a) %** b) %:* c) %'*d) %'1 e) %*1

-1. Si #$$//#%% .@allar β 7 α.

α

%

β

%#100°100°

$ $#38°

a) B& b) '& c) %-d) 7'& e) 7%-

-B. En la figura, D&'&(//B es

perpendicular a C ! α ! β son entre sicomo & es a B. @allar β 7 α

α

β

B

CD

& (

a) %-- b) =- c) -d) 1- e) *-

-=. En la figura #$$//#%% . @allar ∧x

;

< <;

α

α

x

30°

30°

a) '- b) 1- c) ?-d) %&- e) %:-

-?. En la figura mostrada #$$//#%% .+eterminar α D β

;

< <;

α

35°

β

120°

150°

a) %B: b) %=: c) 1:d) %:: e) ?:

%-. En la figura #$$//#%% ! >A3+ es uncuadrado. @allar el ángulo α.

;

< <;α

120°

B

C

D

a) 1- b) '- c) *:d) %: e) .>.

%%. En la figura #% 88 #& ! #' 88 #*. 3alcular 8!

L1

140°

L2

L3 L4

60°y

x

a) %8& b) &8' c) '8*d) %8* e) %8'

%&. En la figura #% 88 #&. 3lacular la medida del

ángulo ∧

x sabiendo $ue α 7 β 6 %1-

L1

L2

α

β

x

a) ': b) *- c) :-d) '? e) :-

%'. En la figura, determinar el suplemento de b, sise sabe $ue #% 88 #& ! además *a 7 b 6 '-

L1

L2 a

b

4a

a)?- b) %-: c) %&-d) %': e) %'-




NI5EL II

%*. +el gráfico, calcular el alor de 45. Si #% 88 #&

L1

L2

α

x

α

5

3 α4

a) %- b) :- c) B-d) =- e) .>.

%:. Si #% 88 #&. @allar3

)xy( −

L1

L2

y

35°

30°

x

a) : b) 1 c) Bd) %- e) .>.

%1. En la figura mostrada, #% 88 #&. 3alcular 45

L1

L2

3

2"

"

αα

β

βθ

θ

x

mm

a) %-- b) %': c) %*-d) %=- e) &--

%B. En la figura, calcular 45. Si #% 88 #&

L1

L2

3

α

αβ

β

x

x

a) '1 b) *- c) :-d) &- e) .a.

%=. Seg0n el gráfico, #% 88 #&. 3alcular el alor de 45

L1

L2

ααθ

x

θ

130°

a) %- b) %:^ c) &-d) '- e) .a.

%?. Si #% 88 #&. @allar 45

L1

L2

2x

3x

x°

a) %: b) %= c) %&

d) &- e) '-

&-. Si #% 88 #&. @allar 45. Si a D b D c D d 6 %*-

L1

L2

b

a

x°

c

!

a) '- b) *- c) :-d) 1- e) B-

&% En la figura #$$//#%% . @allar ∧x

;

< <;

α

α

x

30°

30°

a) '- b) 1- c) ?-

d) %&- e) %:-

geometria 3do secundaria

Documents