pág. 1

Trabajo Especial

GEOMETRIA ANALITICA

PRESENTA:

José Manuel González Padilla

José Enrique Romero Flores

Omar Alejandro Rodríguez Cervantes

Athony Gamaliel Combo Ruiz

María Concepción Jiménez Ruiz

Dilean Nohemí Cortes Lili

PROFESORA:

MTRA. TREJO GOMEZ ELIZABETH

PUERTO VALLARTA, JALISCO MEXICO 07 DE MAYO DEL 2010

pág. 2

Temas

1. Conceptos Básicos punto, plano, función y línea recta

2. Cónica

a. Circunferencia

b. Elipse

c. Parábola

d. Hipérbola

3. Transformación de coordenadas

a. Polares a rectangulares

b. Rectangulares a polares

4. Ecuaciones paramétricas

a. Línea recta

b. Circunferencia

c. Elipse

d. Parábola

e. Hipérbola

pág. 3

Conceptos básicos punto, plano, función y línea recta

Segmento rectilíneo dirigido. La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama

segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremo del segmento.

En el segmento se puede decir que el punto de origen es A y su punto final es B, lo cual expresa que el

segmento va de A a B, aunque también puede expresar que va de B a A y en este caso el punto de origen seria

B y el punto final A.

Desde un el punto de vista de la Geometría elemental, las longitudes de los segmentos dirigidos, AB y BA, son

la mismas. En Geometría Analítica, sin embargo, se hace una distinción entre los signos de estas longitudes. Así,

especificamos, arbitrariamente, que un segmento dirigido en un sentido sería considerado de longitud positiva,

mientras que otro, dirigido en sentido opuesto seria considerado como un segmento de longitud negativa. De

acuerdo con esto si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud positiva, entonces el

segmento dirigido BA tiene una longitud negativa, y escribimos.

pág. 4

Distancia entre dos puntos.

Para calcular la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano se utiliza la formula siguiente:

Ejemplo:

Encuentra la distancia que hay entre el punto A y B.

Coordenadas

A (2,4)

B (7,4)

Expresión algebraica

Distancia del segmento

Formula

Sustitución

En este paso reemplazamos los valores de la formula por los datos de las coordenadas y lo resolvemos.

Respuesta: la distancia que hay del punto A al B es 5, ósea que el segmento tiene un valor de 5.

pág. 5

Gráfica.

Pendiente y punto medio.

Para calcular la pendiente de un segmento ó línea utilizaremos la formula siguiente:

Para calcular el punto medio de un segmento ó línea utilizaremos las formulas siguientes:

Ejemplo.

Calcular la pendiente, el punto medio y la distancia que existen en cada una de las pendientes que se forman

con los puntos .

Coordenadas

A (-2,-3)

B (6,1)

C (-2,5)

00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

Segmento AB

pág. 6

Primero debemos graficar y observamos que se forman tres segmentos:

AB

BC

CA

Segmento

AB

Distancia

Sustitución

Resultado

pág. 7

Segmento

AB

Pendiente

Sustitución

Resultado

pág. 8

Segmento

AB

Punto medio

Sustitución

Resultado

pág. 9

Segmento

BC

Distancia

Sustitución

Resultado

pág. 10

Segmento

BC

Pendiente

Sustitución

Resultado

pág. 11

Segmento

BC

Punto medio

Sustitución

Resultado

pág. 12

Segmento

CA

Distancia

Sustitución

Resultado

pág. 13

Segmento

CA

Pendiente

Sustitución

Resultado

Nota: el segmento CA es una línea vertical por eso su pendiente es 0

pág. 14

Segmento

CA

Punto medio

Sustitución

Resultado

Gráfica.

pág. 15

Razón.

Para calcular razón se utiliza la formula siguiente.

Condición.

Ejemplo

Calcula la razón del segmento AB.

A (-3, -4)

B (6, 11)

Razón

Sustitución

pág. 16

Resultado

Gráfica.

pág. 17

Otros ejemplos 1.

Encuentra el valor de la pendiente y b de la ecuación siguiente

Primero tenemos que hacer la ecuación de la forma , que es la ecuación ordinaria de la línea.

Resolución

=36-9x

Resultado

2.

Cuando los datos son nada más las coordenadas de un punto y la pendiente, utilizamos la siguiente formula

.

A (1, 3); m=2

Sustitución

Resultado

pág. 18

Gráfica.

3.

Cuando los datos son nada más dos puntos utilizaremos la siguiente formula .

Ejemplo

A (-1, 3)

B (5, -4)

pág. 19

Sustitución

3

( 3)(6)

18

11

Resultado

Gráfica.

pág. 20

Línea perpendicular, paralela e inclinada.

Calcular el ángulo de dos líneas inclinadas.

1.

2.

3.

Cuando dos líneas son inclinadas.

pág. 21

Cuando dos líneas son inclinadas.

Ejemplo.

A (3, -2)

B (-5, 8)

C (4, 5)

Segmento

AC

Calculamos primero las pendientes de cada segmento.

Sustitución

Resultado

pág. 22

Segmento

BA

Resultado

Segmento

CB

Sustitución

Resultado

Una vez que ya conocemos las pendientes de cada segmento podemos utilizar la formula tres ya que son líneas

inclinadas.

pág. 23

Segmento

AC

BA

Sustitución

Resultado

Valor del ángulo que se encuentra entre el segmento AC y BA es

pág. 24

Segmento

BA

CB

Sustitución

pág. 25

Resultado

Valor del ángulo que se encuentra entre el segmento BA y CB es

Para encontrar el valor del último ángulo que se encuentra en el cruce del segmento AC y CB, no es necesario

hacer de nuevo todo ese procedimiento solo realizamos lo siguiente.

Cuando dos líneas son perpendiculares.

Ejemplo

Para calcular en el punto A (1, 4)

Sustitución

pág. 26

Solución

Ecuación para

Línea 2

Sustitución

Solución

Ecuación para

pág. 27

Gráfica.

Recta perpendicular y paralela.

Determina una recta perpendicular y paralela si conoces un punto y la ecuación de otra recta.

Ejemplo

(1, 4)

Sustitución

Solución

pág. 28

Solución

Solución

Ecuación para

Nota: .

.

pág. 29

En este caso buscamos que

Sustitución

Solución

Ecuación para

Nota: .

Gráfica.

pág. 30

Intersección de dos líneas inclinadas.

Resolución

Paso 1.

)

Paso 2.

Solución

pág. 31

Paso 3.

Solución

Nota: la intersección de

Gráfica.

pág. 32

Ejercicio 1. Encontrar las coordenadas de los vértices de un triángulo con sus puntos medios.

Coordenadas

P (-2, 1)

Q (5, 2)

R (2, -3)

Nota: para encontrar los valores de “X” usamos la formula de punto medio

Resolución

Para punto P

Para punto Q

Para punto R

pág. 33

Nota: Ahora utilizamos la siguiente formula encontrar los valores de “Y”

pág. 34

Resolución

Para el punto P

Para el punto Q

Para el punto R

pág. 35

Nota: Coordenadas de los vértices del triangulo son:

A (-5, -4)

B (1, 6)

C (9, -2)

pág. 36

Hoja de formulas del segmento ó línea.

Distancia entre dos puntos

Pendiente

Punto medio

Razón

Líneas paralelas

Líneas perpendiculares

Dos líneas inclinadas

Ecuación ordinaria de la recta

Cuando nos dan solo dos puntos como datos

Cuando nos dan solo un punto y la pendiente como datos

pág. 37

Circunferencia

Definición. Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera se

conserva siempre un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia

constante de un punto fijo de ese plano. Le punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia

constante se llama radio.

Ecuación General +F=0

Ecuación Ordinaria

r: radio

c: centro (h, k)

c

Si

Si

Si =0 “es un punto”

pág. 38

Ejemplo.

Sustitución

Resultados

Gráfica.

pág. 39

Ejemplo.

Encontrar el punto medio AB, es c (h, k)

Sustitución

Para

Para

Las coordenadas del centro de la circunferencia son.

pág. 40

Gráfica.

Para calcular el radio de la circunferencia.

Resolución

Utilizamos las coordenadas del punto A.

pág. 41

Sustitución

Para encontrar la ecuación general de la circunferencia.

Sustitución

Ecuación de la circunferencia

Ejemplo.

Encuentra la ecuación ordinaria y general de la siguiente circunferencia.

pág. 42

Identificamos los valores para y

Sustituimos los valores de y en la siguiente formula

Sustitución

Ecuación ordinaria

Ecuación General

Gráfica.

pág. 43

Línea tangente a la circunferencia

Ejemplo.

Encuentra la ecuación para y , determina el punto tangencial, el valor de y la ecuación de la

circunferencia.

Datos.

Línea tangente

1. Encontrar el valor de .

Para encontrar el valor de debemos de encontrar primero el valor de

Tomamos la ecuación de la línea tangente ( ).

Y la expresamos en su forma.

Sustitución

Resultado

pág. 44

Ahora que conocemos el valor de podemos calcular el valor de .

Utilizamos la formula siguiente

¿Por qué usamos esa formula?

Por que la línea tangente es perpendicular a .

Sustitución

Resultado

Ahora que ya encontramos el valor de la pendiente de , podemos saber cual es su ecuación.

Datos.

pág. 45

2. Ecuación

Para eso utilizamos esta formula.

Sustituimos y por los valores de las coordenadas del centro y por el valor de .

Sustitución

Resultado

3. Determinar el punto tangencial

Resolución

Multiplicamos la ecuación de por 5 y la ecuación de por 12, en este caso para eliminar las “y”.

Sumamos las dos ecuaciones y eliminamos las “y”.

pág. 46

Resultado

Ahora solo sustituimos el valor de “x” en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar

el valor de “y”.

Sustitución

Multiplicamos cruzado (50)(1), (13)(-2) y por ultimo los divisores (13)(1).

Resultado

pág. 47

Punto tangencial

4. Determinar .

Los valores para “k” y “h” son las coordenadas del punto C y los valores de “x” y “y” son los valores de

las coordenadas del punto tangencial, utilizamos la siguiente formula.

Sustitución

Nos enfocamos en esta parte de la ecuación

Primero los signos – nos da +2.

Segundo multiplicando de forma cruzada.

Nos queda la siguiente expresión y la pasamos al mismo lado de donde lo tomamos y continuamos.

pág. 48

Resultado

5. Ecuación de la circunferencia.

Sustituimos los valores del punto “C” y en la siguiente ecuación.

Sustitución

Resultado

Gráfica.

pág. 49

Cuando solo conocemos tres puntos sobre la circunferencia.

Ejemplo.

Paso No.1

Utilizamos la formula general de la circunferencia y sustituimos , por los valores de cada uno de los

puntos y obtenemos tres ecuaciones.

+F=0

Ecuación P

Sustituimos

+F=0

9+3E+F=0

Ecuación Q

+F=0

9+3D+F=0

Ecuación Q

+F=0

F=0

pág. 50

Paso No.2

Tomamos las tres ecuaciones y acomodamos sus términos.

3E+F+9=0

3D+ F+9=0

F=0

Como podemos observar ya tenemos el valor para “F” que es igual a cero, ahora solo sustituimos el valor de

“F” en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de “D” ó “E”.

Valor de E

Sustitución

Valor de D

Paso No.3

Sustituimos los valores que obtuvimos en a ecuación general de la circunferencia y nos queda este resultado.

pág. 51

Nota: En este ejemplo para encontrar los valores de “D”, “E”, y “F” fue sencillo quizás en otros ejercicios

tendrás que utilizar el método de gauss o determinantes para poder resolver este sistema de ecuación con tres

incógnitas.

Gráfica.

pág. 52

Elipse

Definición. Elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos es

constante. Los puntos fijos se llaman

focos.

Ecuación ordinaria.

O bien.

Si los focos fueran los puntos de

coordenadas , el eje ,

con la que la ecuación resulta de la forma.

Ecuación General.

Condición. Siempre que A y B sean del mismo signo.

Lado recto.

Lado recto se denomina a la cuerda perpendicular al eje mayor por uno de los focos.

Para calcular el valor de “c”

La excentricidad.

pág. 53

Directriz.

Como la elipse tiene dos focos también tendrá dos directrices.

Si estuviera sobre la eje de las y

Los puntos en los cuales la elipse corta al eje mayor se llaman vértices. Si el centro de la elipse es el punto

y el eje mayor tiene dirección del eje “x” la ecuación de la elipse es de la forma.

Si el eje mayor fuera paralelo o bien al eje “y”.

En cualquiera de los caso la forma general de la ecuación de la elipse es.

Condición. Siempre que A y B sean del mismo signo.

pág. 54

Ejemplo.

Encuentra la ecuación ordinaria para la siguiente elipse, los valores de a, b, c, e, lado recto y directriz.

Debemos convertir esa ecuación a esta otra expresión.

Resolución

Para convertir el 576 a 1 lo dividimos entre su mismo valor, después dividimos 576/ 9 y el resultado lo

sustituimos en de igual forma 576/16 y el resultado lo sustituimos por .

Nos queda la siguiente expresión que es la ecuación ordinaria de la elipse.

Entonces:

Para saber cuanto vale “a” y “b”, solo le sacamos la raíz cuadrada a cada uno de los términos.

pág. 55

Para “a”

Para “b”

Para “c”.

Sustitución

Excentricidad.

Sustitución

Lado recto.

Sustitución

pág. 56

Directrices.

Sustitución

La primera directriz toma un valor positivo.

Lo mismo pero ahora con un valor negativo.

pág. 57

Gráfica.

Coordenadas.

P (5.29, 4.5)

Q ( 5.29, 4.5)

R (5.29, 4.5)

Q ( 5.29, 4.5)

Vértices (a, 0)

Focos (c, 0)

pág. 58

Cuando la elipse esta a fuera del origen, los focos y los vertices se calculan igual solo por un pequeño

cambio.

Para los focos.

F (h k)

Para los vértices

V (h k)

Este símbolo significa que la variable va tomar dos valores uno positivo ( ) y despues uno negativo( .

Ejemplo.

Datos

h= 8

c= 4

k=10

F (h k)

Sustitución

Cuando toma valor positivo.

(8 10)

(12 10)

Cuando toma valor negativo.

(8 10)

(4 10)

pág. 59

Parábola

Definiciones. La ecuación de la parábola la deduciremos a partir de su definición como el lugar geométrico de un punto que se mueve de acuerdo con una ley especificada. Definición. Una parábola es un lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola. La definici6n excluye el caso en que el foco está sobre la directriz.

Parábola con vértice en el origen .

Tabla de formulas.

Vértice Foco Directriz Ecuación Abre

I. Derecha

II. Izquierda III. Arriba

IV. Abajo

LR es igual al lado recto.

pág. 60

II.

III. IV.

pág. 61

Ejemplo:

Al observar la ecuación el signo negativo nos dice que abre hacia la izquierda sobre la eje de las “x”, ya que la

ecuación que la satisface es.

Sabemos que el LR es 4 veces el valor de “a”

Sustitución

Foco.

F (−4,0)

Sustitución

Directriz.

Sustitución

pág. 62

Parábola con vértice en el origen .

Tabla de formulas.

Vértice Foco Directriz Ecuación Abre

I. Derecha II. Izquierda

III. Arriba

IV. Abajo

Ejemplo.

; directriz determina ecuación de la parábola.

Datos.

Primero ubicamos el foco y la directriz en la grafica, si ponemos atención la directriz nos dice hacia

donde se abre la parábola, en este caso la directriz , quiere decir que nuestra parábola abre

hacia arriba.

Resolución

pág. 63

Sustitución

Ecuación Ordinaria

Ecuación General

Foco.

Sustitución

Gráfica.

pág. 64

Transformación de coordenadas

Rectangular – Polar

Polar – Rectangular

Nota. El radio siempre es positivo

Ejemplo de Rectangular – Polar.

Q esta coordenas rectangulares ¿coordenas polar del punto Q?

Resolución

pág. 65

Debemos de observar hacia donde se abre nuestro ángulo para así saber si le vamos a sumar o

restar grados.

Coordenadas Polares

Ejemplo de Polar – Rectangular.

Encuentra las coordenadas rectangulares para el punto “R”.

Resolución

pág. 66

Coordenadas rectangulares

pág. 67

Ecuaciones Paramétricas

Línea recta.

Para resolver los ejemplos necesitamos hacer una tabla en Excel y colocar las siguientes formulas en la columna y fila correspondiente, para poder obtener una línea recta con las coordenadas de los dos puntos.

b3=b2-b1

c3=c2-c1

Para “t” intervalo.

A7=(A6+(1/20))

Para los valores de “x”.

B6=($B$1+$B$3*A6)

Para los valores de “y”.

C6=($C$1+$C$3*A6)

En todos los ejemplos en la tablas solo se muestran tres valores iníciales y tres valores finales de la

misma. Todas las tablas inician desde A6 hasta A26.

pág. 68

Ejemplo No.1

¿Cuál es la línea recta que forman los puntos A y B?

P 8 16

Q 4 8

(Q-P) -4 -8

t x y

0 8 16

0,05 7,8 15,6

0,1 7,6 15,2

0,9 4,4 8,8

0,95 4,2 8,4

1 4 8

Gráfica.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

pág. 69

Ejemplo No.2

¿Cuál es la línea recta que forman los puntos C y D?

P 12 6

Q 3 9

(Q-P) -9 3

t x y

0 12 6

0,05 11,55 6,15

0,1 11,1 6,3

0,9 3,9 8,7

0,95 3,45 8,85

1 3 9

Gráfica.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10

Y

X

Series1

pág. 70

Ejemplo No.3

¿Cuál es la línea recta que forman los puntos E y F?

P 10 2

Q 15 12

(Q-P) 5 10

t x y

0 10 2

0,05 10,25 2,5

0,1 10,5 3

0,9 14,5 11

0,95 14,75 11,5

1 15 12

Gráfica.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Y

X

Series1

pág. 71

Circunferencia.

Formulas.

Para intervalo “t”

A7=(A6+(1/20)*2*PI())

Para los valores de “x”

B6=($B$1+$B$2*COS(A6))

Para los valores de “y”

C6=($C$1+$B$2*SENO(A6))

Ejemplo No.1

Gráfica la circunferencia con su centro en las coordenadas y con un radio de 8.

c 0 0

r 8

t X Y

0 8 0

0,3 7,6 2,472135955

0,6 6,5 4,702282018

0,9 4,7 6,472135955

5,7 6,5 -4,702282018

6,0 7,6 -2,472135955

6,3 8,0 -1,96024E-15

pág. 72

Ejemplo No.2

Gráfica la circunferencia con su centro en las coordenadas y con un radio de 4.

c 8 2

r 4

t X Y

0 12 2

0,3 11,8 3,236067977

0,6 11,2 4,351141009

5,7 11,2 -0,351141009

6,0 11,8 0,763932023

6,3 12,0 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 2 4 6 8 10

Y

X

Series1

pág. 73

Gráfica.

Ejemplo No.3

Gráfica la circunferencia con su centro en las coordenadas y con un radio de 2.

c 6 2

r 2

t X Y

0 8 2

0,3 7,9 2,618033989

0,6 7,6 3,175570505

5,7 7,6 0,824429495

6,0 7,9 1,381966011

6,3 8,0 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 2 4 6 8 10

Y

X

Series1

pág. 74

Gráfica.

Elipse.

Formulas.

Para intervalo “t”

A7=(A6+(1/20)*2*PI()) Para valores de “x”

B6=($B$1+$B$2*COS(A6)

Para valores de “y”

C6=($B$1+$B$3*SENO(A6))

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 2 4 6 8 10

Y

X

Series1

pág. 75

Ejemplo No.1

Gráfica la elipse con , y

0 10

a 8

b 2

t X Y

0 18 10

0,3 17,6084521 10,618034

0,6 16,472136 11,1755705

5,7 16,472136 8,8244295

6,0 17,6084521 9,38196601

6,3 18 10

Gráfica.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20

Y

X

Series1

pág. 76

Ejemplo No.2

Gráfica la elipse con , y .

2 5

a 36

b 2

t X Y

0 41 5

0,3 39,2380346 5,61803399

0,6 34,1246118 6,1755705

5,7 34,1246118 3,8244295

6,0 39,2380346 4,38196601

6,3 41 5

Gráfica.

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30

Y

X

Series1

pág. 77

Ejemplo No.3

Gráfica la elipse con , y .

16 20

a 6

b 42

t X Y

0 26 20

0,3 25,7063391 32,9787138

0,6 24,854102 44,6869806

5,7 24,854102 -4,6869806

6,0 25,7063391 7,02128624

6,3 26 20

Gráfica.

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20 25 30

Y

X

Series1

pág. 78

Parábola

Para “t” intervalo,

A7=(A6+($C$3-$B$3)/20)

Para los valores de “x”

B6=((A6-$C$1)^2)/(4*$B$2)+$B$1

Para los valores de “y”

C6=(A6)

Ejemplo No.1

Gráfica la parábola con , y

v 0 0

p 1

t 2 15

t X Y

-5 6,3 -5,0

-4,35 4,7 -4,35

-3,70 3,4 -3,70

6,70 11,2 6,70

7,35 13,5 7,35

8,00 16,0 8,00

pág. 79

Gráfica.

Ejemplo No.2

Gráfica la parábola con , y

v 5 2

p 1

t 2 20

t X Y

-5 17,3 -5,0

-4,10 14,3 -4,10

-3,20 11,8 -3,20

11,20 26,2 11,20

12,10 30,5 12,10

13,00 35,3 13,00

-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

-10.0 -5.0 0.0 5.0

Y

X

Series1

pág. 80

Gráfica.

Ejemplo No.3

Gráfica la parábola con , y .

v -9 2

p 1

t 2 14

t X Y

-5 3,3 -5,0

-4,40 1,2 -4,40

-3,80 -0,6 -3,80

5,80 -5,4 5,80

6,40 -4,2 6,40

7,00 -2,8 7,00

-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

-10.0 -5.0 0.0 5.0

Y

X

Series1

pág. 81

Gráfica.

Hipérbola

Formula.

Para “t” intervalo,

A7= (A6+(1/20)*2*PI())

Para los valores de “x”

B6= $B$1+$B$2/COS(A6)

Para los valores de “y”

C6=$C$1+$B$3*TAN(A6)

Para graficar la hipérbola se toma los valores siguientes.

Serie 1

x= hiperbola! $B$7:$B$15

-6.0

-4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

-10.0 -5.0 0.0 5.0

Y

X

Series1

pág. 82

y= hiperbola! $C$7:$C$15

Serie 2

x=Hiperbola! $B$17: $B$25

y= Hiperbola! $C$17: $c$25

Ejemplo No.1

Gráfica la hipérbola con ,

0 9 8

a 16

b 8

t x y

-1,571 2,61193E+17 -1,30596E+17

-1,257 60,77708764 -16,6214683

-0,942 36,22082587 -3,011055364

4,084 -18,22082587 19,01105536

4,398 -42,77708764 32,6214683

4,712 -8,70643E+16 4,35321E+16

pág. 83

Gráfica.

Ejemplo No.2

Gráfica la hipérbola con ,

0 5 0

a -32

b 8

t x y

-1,571 -5,22386E+17 -1,30596E+17

-1,257 -98,55417528 -24,6214683

-0,942 -49,44165173 -11,01105536

4,084 59,44165173 11,01105536

4,398 108,5541753 24,6214683

4,712 1,74129E+17 4,35321E+16

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4

Y

X

Series1

Series 2

pág. 84

Gráfica.

Ejemplo No.3

Gráfica la hipérbola con ,

0 0 0

a 1

b 1

t x y

-1,571 1,63246E+16 -1,63246E+16

-1,257 3,236067977 -3,077683537

-0,942 1,701301617 -1,37638192

4,084 -1,701301617 1,37638192

4,398 -3,236067977 3,077683537

4,712 -5,44152E+15 5,44152E+15

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4

Y

X

Series1

Series 2

pág. 85

Gráfica.

Bibliografía. Geometría Analítica (Charles H. Lehmann - Limusa, 1989).

Software usado para las graficas “graphmatica”

Pagina web. http://www.graphmatica.com/

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4

Y

X

Series1

Series 2