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Geometria Analítica
Cônicas
Prof° Marcelo Maraschin de Souza
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Elipse
É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma
das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.
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Elipse
Considere dois pontos distintos no plano, 𝐹1 e 𝐹2, tal que a
distância
𝑑 𝐹1, 𝐹2 = 2𝑐
e um número real positivo 𝑎 tal que 2𝑎 > 2𝑐. Onde 2𝑎 é a
soma das distâncias,
𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
Obs: quando 𝐹1 = 𝐹2 tem-se uma circunferência de raio a.
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Elipse
Notação:
• 𝐹1 𝑒 𝐹2: focos;
• 2c: distância focal;
• C: centro (ponto médio focos)• 2𝑎: eixo maior, segmento 𝐴1𝐴2,
de comprimento 2a.
• 2𝑏: eixo menor, segmento 𝐵1𝐵2,
perpendicular a 𝐴1𝐴2 no seu ponto
médio.
• Vértices: 𝐴1, 𝐴2, 𝐵1, 𝐵2
Obs: 𝐵2𝐹1 + 𝐵2𝐹2 = 2𝑎, assim, 𝐵2𝐹2 = 𝑎 = 𝐵2𝐹1. Logo, do triângulo
retângulo
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
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Elipse
• Excentricidade:
𝑒 =𝑐
𝑎(0 < 𝑒 < 1)
A excentricidade é responsável pela forma da elipse: quando a
excentricidade estiver próxima de 0, são quase circulares, quando
a excentricidade estiver próxima de 1, são elipses “achatadas”.
Quando fixamos uma determinada excentricidade, todas as
infinitas elipses têm a mesma forma, diferem apenas pelo
tamanho.
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Elipse
Aplicação:
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Elipse
Seja a elipse de centro C(0,0). Temos dois casos:
Caso 1) O eixo maior está sobre o eixo x.
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Elipse
Seja P(x,y) um ponto qualquer de uma elipse de focos
𝐹1(−𝑐, 0) e 𝐹2 𝑐, 0 . Da definição temos,
𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎
Fazendo as contas, temos
𝑎2 − 𝑐2 𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2 𝑎2 − 𝑐2
Mas, 𝑎2 − 𝑐2 = 𝑏2, daí temos a equação reduzida da elipse
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
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Elipse
Seja a elipse de centro C(0,0). Temos dois casos:
Caso 2) O eixo maior está sobre o eixo y.
De maneira análoga, obtemos
𝑥2
𝑏2+𝑦2
𝑎2= 1
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Elipse
Observação:
• Em toda elipse 𝑎 > 𝑏, logo, para saber se a elipse tem
eixo maior sobre o eixo x ou eixo y, basta verificar onde
está o maior denominador na equação reduzida.
• Se for denominador de 𝑥2, o eixo maior está sobre o eixo
x
• Se for denominador de 𝑦2, o eixo maior está sobre o eixo
y.
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Elipse
Exemplo:
𝑥2
4+𝑦2
9= 1
Temos,
𝑎 = 3𝑏 = 2
Portanto, o eixo maior da elipse está sobre o eixo y. O
centro é C(0,0), e as interseções com os eixos os quatro
pontos (0,∓3) e (∓2,0).
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Elipse
Exemplo:
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Elipse
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Elipse
Seja a elipse de centro C(h,k). Temos dois casos:
Caso 1) O eixo maior é paralelo ao eixo x.
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Elipse
Logo, a sua equação reduzida é
𝑥′2
𝑎2+𝑦′2
𝑏2= 1
Para expressar em relação ao plano cartesiano usual,
utilizamos as fórmulas de translação,
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2+(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
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Elipse
Seja a elipse de centro C(h,k). Temos dois casos:
Caso 2) O eixo maior é paralelo ao eixo y.
Analogamente ao caso 1, temos
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2+(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2= 1
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Equação Geral da Elipse
Se eliminarmos os denominadores, desenvolvermos os
quadrados e ordenarmos os termos, obtemos a equação
geral da elipse,
𝛼𝑥2 + 𝛽𝑦2 + 𝛾𝑥 + 𝜉𝑦 + 𝜆 = 0
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Elipse
Exercícios:
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Equação Paramétrica da Elipse
Considere a elipse de equação:
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1.
Tracemos a circunferência de centro O e raio igual ao semi
eixo maior “a” da elipse.
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Equação Paramétrica da Elipse
Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse. A reta que passa
por P e é paralela ao eixo dos y, intercepta a circunferência
em A e o raio AO determina com o eixo dos x um ângulo 𝜃.
Do triângulo A’AO vem,
cos 𝜃 =𝑂𝐴′
𝑂𝐴Ou
𝑥 = a cos(𝜃)
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Equação Paramétrica da Elipse
Substituindo x na equação da elipse, temos
𝑎 cos 𝜃 2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
Donde,
𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃
Para cada valor de 𝜃 corresponde somente um ponto P da
elipse e, quando 𝜃 varia de 0 a 2𝜋, o ponto P parte de (a,0)
e descreve a elipse no sentido anti-horário.
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Equação Paramétrica da Elipse
Então, 𝜃 é o parâmetro e o sistema
𝑥 = 𝑎 cos(𝜃)𝑦 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
Constitui as equações paramétricas dessa elipse.
Obs:
1) Para o eixo maior da elipse sobre o eixo y, temos
𝑥 = 𝑏 cos(𝜃)𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
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Equação Paramétrica da Elipse
Obs:
2) Quando o centro da elipse for C(h,k), pela translação de
eixos obtemos
𝑥 − ℎ = 𝑎 cos(𝜃)𝑦 − 𝑘 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
Ou seja,
𝑥 = ℎ + 𝑎 cos(𝜃)𝑦 = 𝑘 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
Para o eixo maior paralelo ao eixo dos x.
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Equação Paramétrica da Elipse
Obs:
3)
𝑥 = ℎ + 𝑏 cos(𝜃)𝑦 = 𝑘 + 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
Para o eixo maior paralelo ao eixo dos y.
4) Quando as equações são dadas na forma paramétrica e
se deseja escrever a elipse na forma padrão, lembre que
cos2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 1
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Equação Paramétrica da Elipse
Exercícios:
3) Obtenha uma equação geral da elipse dada pela
equação paramétricas
𝑎) 𝑥 = 5cos(𝜃)𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑏) 𝑥 = 2 + 4cos(𝜃)𝑦 = 3 + 2𝑠𝑒𝑛(𝜃)