geometria analítica espacial - apostila
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CEFET-SP Uned CubatãoTecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
CEFET-SP Uned Cubatão
Curso: Curso Superior de Tecnologia em Automação e
Controle de Processos Industriais Contínuos
Turma: SAI – 171
Matéria: Geometria Analítica
Aluno: Flávio Alves MonteiroMatrícula: 051017
Geometria Analítica Espacial 1
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Geometria Analítica Espacial 2
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GEOMETRIA ANALÍTICA
Conceito de vetor Definição 1
Um, segmento orientado é um par ordenado (A, B) de pontos do espaço. A é dito
origem, B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma
(A, A) são ditos nulos. Se A B, (A, B) é diferente de (B, A).
Definição 2
Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm o mesmo
comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo
comprimento.
Suponha (A, B) e (C, D) não nulos. Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm
mesma direção se AB // CD (AB // CD inclui o caso em que as retas suportes
coincidem) . Nesse caso dizemos que (A, B) e (C, D) são paralelos.
.Suponha que (A, B) e (C, D) têm mesma direção.
a) Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido
se a intersecção entre os segmentos AC e BD for vazia. Caso AB CD ,
dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrário.
b) Se as retas AB e CD coincidem, tome (A', B') tal que A' não pertença à reta AB e
(A', B') tenha mesma direção, e mesmo sentido que (A, B). Então dizemos que (A, B)
e (C, D) têm mesmo sentido se (A', B' ) e (C, D) têm mesmo sentido. Se não, dizemos
que (A, B) e (C, D) têm sentido contrario.
Geometria Analítica Espacial 3
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Definição 3 .
Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes, e indica-se (A,B)
(C,D), se um dos casos seguintes ocorrer:
a) ambos são nulos;
b) nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.
Proposição 1: A relação de equipolência goza das seguintes propriedades:
a) (A , B) (A , B) (reflexiva)
b) (A ,B) (C , D) (C,D) (A,B) (simétrica)
c) (A,B) (C,D) e (C,D) (E ,F) (A ,B)(E,F) (transitiva)
Observação: (Uma relação que goza das propriedades a), b) e c) se chama de relação
de equivalência.
Definição 4
Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados de E3. Se
(A,B) é um segmento orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo
representante é (A,B)) será indicado por . Usam-se também letras latinas
minúsculas encimadas por uma seta ( , , etc.), não se fazendo desse modo
referência ao representante.
Chamaremos vetor nulo ao vetor cujo representante é um segmento orientado
nulo (A,A) e indica-se o vetor nulo por .
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Os vetores e não-nulos são paralelos ( // ) se um representante de é
paralelo a um representante de (e portanto a todos). Se // , e têm mesmo
sentido se um representante de e um representante de têm mesmo sentido.
Consideramos o vetor nulo paralelo a qualquer vetor.
Chamaremos norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor ao comprimento
de qualquer um de seus representantes; indica-se a norma de por . Se = 1,
dizemos que o vetor é unitário.
Observação
O vetor é chamado vetor oposto do vetor e eles só diferem no sentido (se
AB), já que seus representantes (A,B) e (B,A) têm mesma direção, mesmo
comprimento e sentido contrário. O vetor oposto do vetor é indicado também por
- ; o vetor oposto de um vetor é indicado por - .
OPERAÇÕES COM VETORES
ADIÇÃO DE VETORES
Sejam os vetores e representados pelos segmentos orientados AB e BC.
Os pontos A e C determinam o vetor soma dos vetores e
Propriedades da adição
A1) PROPRIEDADE ASSOCIATIVA
( + ) + = + ( + ), , , V3
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A2) PROPRIEDADE COMUTATIVA
+ = + , V3
A3) ELEMENTO NEUTRO
Existe um só vetor nulo tal que para todo vetor se tem:
+ = + = , V3
+ = + = = .
A4) ELEMENTO OPOSTO
Dado um vetor qualquer, existe um vetor que somado a dá como resultado o
vetor nulo: trata-se do vetor oposto de , que se indica por - .
+ ( - ) = - + =
+ ( - ) = + = =
Diferença de vetores
Chama-se diferença de dois vetores e , e se representa por = - , ao vetor
+ ( - ) .
Dados dois vetores e , representados pelos segmentos orientados AB e AC,
respectivamente, e construído o paralelogramo ABCD verifica-se que a soma = +
é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e pela diferença =
- é representada pelo segmento orientado CB (a outra diagonal)
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Multiplicação por um número real
Dado um vetor e um número real k 0, chama-se produto do número real k
pelo vetor o vetor = k , tal que:
a) módulo: = =
b) direção: a mesma de
c) sentido: o mesmo de se k 0 , e contrário ao de se k 0.
Observações:
a) Se k = 0 ou = , o produto é o vetor , isto é k = .
b) Dados dois vetores e , colineares, sempre existe k R tal que = k .
Exemplo: se = =
c) O versor de um vetor 0 é o vetor unitário = ou
= De fato, ele é unitário = = = 1
Daí, concluí-se que = isto é, o vetor é o produto de seu módulo pelo
vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de
Propriedades da multiplicação de número por vetor.
Se e são vetores quaisquer e e são números reais, temos:
M1) ( + ) = + , R , , V3 (distributiva em relação
à adição de vetores)
M2) ( + ) = + , , R , V3
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M3) 1 . = , V3
M4) ( ) = ( ) = ( ) , , R , V3
Observação
Se R e V3 , com 0 , significa
Soma de ponto com vetor
Cada ponto P E3 e cada vetor V3 associa um único ponto Q de E3 indicado
por P + e chamado soma de P com . Assim: P E3 , V3 : P + = Q
= donde P + = Q
Observação:
A notação P - indica a soma do ponto P com o vetor oposto do vetor Assim:
P - = P + ( )
Propriedades dessa operação:
P1 P + = P P E3
P + = P
P2 P + = P + +
Seja Q = P + = P + por def. decorre = e =
Logo =
P3 ( P + ) + = P + ( + ) , V3 P E3
Sejam A = P + e B = A + ( logo B = (P + ) + )
por def. decorre que = e = somando, temos:
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+ = + mas, + = , portanto temos = +
Pela definição de soma de ponto com vetor, temos: B = P ( + )
e portanto: (P + ) + = P + ( + )
P4 A + = B + A = B
A + = B + (A + ) - = (B + ) -
A + ( - ) = B + ( - ) A + = B + A = B
P5 ( P - ) + = P
( P - ) + = [P + ( - ) ] + P + [ - + ] = P + P
Dependência Linear
Dados n vetores , , ,....., chama-se combinação linear dos n vetores
a qualquer vetor da forma: a1 + a2 + ....+ an em que a1 , a2 , a3 ,......,an são
números reais.
Observe que os números a1 , a2 , a3 ,......, an que figuram na combinação linear podem
ser nulos ou não.
O vetor nulo é combinação linear de qualquer vetor pois: = 0 + 0 + +..... +
0 , onde p é qualquer número natural, maior do que zero.
Exemplo:
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No triângulo ABC, M é o ponto médio de BC. Escrever o vetor como
combinação linear de e
A
B M C
Solução:
Traçar pelo ponto M, paralelas aos lados AB e AC. Pelo teorema de Pitágoras P e
N são pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.
A
P N
B M C
Como o quadrilátero APMN é um paralelogramo, temos:
= + e = e =
portanto: = +
Condições para que um vetor possa ser dado como combinação linear de outros
vetores.
Proposição 1 (para dois vetores)
Dados um vetor , não nulo, e um vetor , tais que // , então existe um único
número real m tal que = m
a) Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0.
b) Se o vetor também também não for nulo, teremos:
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= m = m m = , sendo m 0 se e têm mesmo
sentido e m 0 se e têm sentidos contrários.
“Dois vetores são paralelos se e somente se um deles é igual ao outro multiplicado
por um número real” .
exemplo: Sejam dados os vetores e , paralelos e de sentidos contrários tais que
= 4 e = 7. Escreva em função de e em função de .
Solução: Como e têm sentidos contrários, o número que multiplicando um deles
dá o outro será um número negativo.
4 = 7
= e =
Quando a combinação linear existe, dando um vetor em função do outro,
dizemos que existe uma dependência linear entre eles e, o conjunto formado por
dois vetores paralelos é linearmente dependente. ( LD ).
Um vetor não nulo forma uma base para o conjunto de todos os vetores que
possuem a mesma direção de , isto é, todos os vetores paralelos a são múltiplos
de .
Proposição 2 ( para 3 vetores )
Dados os vetores e , LI, e o vetor tais que , e sejam coplanares, então
existem e são únicos os números n e m , tais que = m + n .
a) Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0 e n = 0.
b) Se o vetor for paralelo a , basta fazer n = 0 e achar m conveniente.
c) Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e achar n conveniente.
d) Se o vetor não for nulo e não for paralelo a nenhum dos dois vetores,
tomemos os três vetores aplicados em um mesmo ponto A e seja =
B P
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A C
Traçando-se por P paralelas a e a forma-se o quadrilátero ABPC
paralelogramo = +
Como // , existe um número real m tal que = m e como // ,
Existe um número real n tal que = n e, portanto: = m + n .
Pela definição da operação adição de dois vetores pode-se afirmar que “ = m +
n então , e são coplanares” pois , m e n possuem representantes que
são lados de um triângulo, sendo portanto coplanares e, conseqüentemente , e
também são coplanares.
“Três vetores são coplanares se e somente se um deles é igual a uma combinação
linear dos outros dois”.
Exemplo:
Dados os vetores , e , como na figura, e sendo = 2 , = 3 e = 6,
Obter como combinação linear de e .
= 600 C P
A B
Por P traça-se // a e a . Assim, ABPC é um paralelogramo sendo que o triângulo
ABP é eqüilátero.
= 3 e = 2 , logo:
= +
= 3 + 2
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Dados três vetores coplanares, sendo dois deles LI, o outro poderá ser expresso
como combinação linear dos dois primeiros.
Como essa combinação linear sempre existe, dando um vetor em função dos outros
dois pode-se dizer que existe uma dependência linear entre eles ou seja, o conjunto
formado por três vetores coplanares é LD.
O conjunto formado por três vetores não coplanares é LI.
Dois vetores LI formam uma base para o conjunto de todos os vetores coplanares
com eles isto é, todo vetor , coplanar com e , LI , pode ser sempre escrito como
combinação linear de e .
Proposição 3 ( para 4 vetores )
Dados , e , LI , e o vetor qualquer, então existem e são únicos os números
reais m , n e p tais que = m + n + p
a) Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0 , n = 0 e p = 0.
b) Se o vetor for paralelo a , basta fazer n = 0 e p = 0 e encontrar o m
conveniente.
c) Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e p = 0 e encontrar o n
conveniente.
d) Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e n = 0 e encontrar o p
conveniente.
e) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas
for coplanar a e , basta fazer p = 0 e encontrar m e n convenientes.
f) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas
for coplanar a e , basta fazer m = 0 e encontrar n e p convenientes.
g) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas
for coplanar a e , basta fazer n = 0 e encontrar m e p convenientes.
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h) Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, nem
coplanar com dois deles, tomemos os quatro vetores aplicados em um mesmo
ponto A .
Seja = . Traçando por P paralelas a , a e a obtemos, assim, um
paralelogramo.
Portanto: = + +
Como // existe um número real m tal que = m ; // existe um
número real n tal que = n ; // existe um número real p tal que = p
= m + n + p
E
P
A D
B C
“ Dados quatro vetores no espaço, sempre um deles é combinação linear dos outros
três” – Os vetores são LD.
Exemplo:
Dados os vetores , e , ortogonais dois a dois; sendo = 1; = 2; = 3;
= 6 e sabendo que forma ângulos iguais com , e , obter como
combinação linear de , e .
Solução:
E
P
A D
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B C
Tracemos por P, paralelas a , e .
Obtemos, assim, um cubo de aresta 6 logo:
= 6 = 3 = 2 portanto = 6 + 3 + 2
Base
Chama-se base de V3 a qualquer trinca ordenada de vetores LI. Assim, se ( , ,
) é uma base de V3 então qualquer vetor de V3 é gerado por , , , ou seja,
existem números reais m, n e p tais que = m + n + p . Como esses números são
únicos, associamos a cada vetor de V3 uma única trinca de números reais ( m, n, p).
Esses números são chamados de coordenadas de vetor em relação à base ( , , ) ;
os vetores m , n e p são componentes do vetor .
Exemplos:
Fixada uma base E = ( , , )
1) Verificar se são LI ou LD os vetores:
a) = (1, 2, 3) e = ( 2, 1, 1)
eles não são proporcionais ( , ) é LI
b) = (1, 7, 1) e = ( , , )
= = são proporcionais - fator de proporcionalidade: 2
= 2 ( , ) é LD
2) Verificar se são LI ou LD os vetores:
= (1, -1, 2) = ( 0, 1, 3) = ( 4, -3, 11)
1 -1 2
0 1 3 = 0
4 -3 11Geometria Analítica Espacial 15
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resulta que ( , , ) é LI
3) Sejam: = 2 -
= - + 2
= + 2
Mostre que ( , , ) é LI e portanto base de V3
Resolução:
Tem-se: = (2 , - 1 , 0 )
= (1, - 1, 2 )
= ( 1, 0, 2 ) 2 -1 0
1 -1 2 = -4 0 logo ( , , ) é LI
1 0 2
4) Calcule as coordenadas do vetor = ( 1, 1, 1 )E na base F do exercício anterior.
Resolução:
Sabemos que: = 2 -
= - + 2
= + 2
Resolvendo as equações acima com relação a , , temos:
= - = -
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= 2 - = 2 - ( - ) + - = 2
= - +
= + 2 - = 2 - ( - + ) =
= - +
= - +
= - + +
como = ( 1, 1, 1 )E , temos = + + e, portanto:
= - +
donde
= ( , - , ) isto é, as coordenadas de na base F são: , - ,
BASE
Chama-se base V3 a qualquer tripla ordenada E = ( , , ) LI de vetores de V3.
Se ( , , ) é uma base de V3, todo vetor de V3 é gerado por , e , isto
é, para todo V3, existem escalares , , , tais que
= + + .
Geometria Analítica Espacial 17
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Essa tripla ( , , ) de escalares é única.
Escolhida uma base E de V3 fica associada univocamente a cada vetor uma tripla
ordenada de escalares ( , , ). Essa tripla é denominada tripla de coordenadas
do vetor em relação à base E. Observe que é importante a ordem dos escalares ,
, ; trata-se de uma tripla ordenada = + + . A notação
utilizada para indicar que , , são coordenadas (nessa ordem) do vetor em
relação à base E é
= ( , , )E ou = ( , , )
É conveniente que as operações entre vetores sejam feitas diretamente com
coordenadas, evitando perda de tempo.
a) Adição: Se = ( , , ) e = ( , , ) então
+ = ( + , + , + )
De fato:
= ( , , ) = + +
= ( , , ) = + +
Logo:
+ = ( + ) + ( + ) +( + )
ou seja:
+ = ( + , + , + )
Para o procedimento acima é essencial que e estejam referidos a uma mesma
base.
Geometria Analítica Espacial 18
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b) Multiplicação por escalar: Se = ( , , ) e é um escalar, então
= ( , , )
De fato:
= ( , , ) = + + = ( + +
) =
= ( ) + ( ) + ( ) = ( , , )
Observação: = = ( 0, 0, 0 )
Vamos reexaminar em termos de coordenadas o conceito de dependência e
independência linear.
Proposição 1: Os vetores = ( , , ) e = ( , , ) são LD se e
somente se , , , são proporcionais a , ,
Proposição 2: = ( , , ) , = ( , , ) , = ( , , ) são LI
se e somente se
0
O conceito de ortogonalidade de vetor com setas e planos se define de modo natural,
usando os mesmos conceitos para os segmentos orientados que representam o vetor.
Definição:
= é ortogonal à reta r [ ao plano ] se existe um representante (A, B) de
tal que o segmento AB é ortogonal a r [ a ]. O vetor nulo é considerado
ortogonal a toda reta r e a todo plano .
Os vetores e são ortogonais se um deles é nulo, ou, caso contrário,
admitirem representantes perpendiculares.
Para ortogonalidade usaremos o símbolo .Geometria Analítica Espacial 19
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Proposição 3:
Os vetores e são ortogonais se e somente se + 2 = 2 + 2 .
Demonstração:
Tomando um ponto ) qualquer, se e somente se os pontos 0, 0 + , 0 + + ,
são vértices de um triângulo retângulo.
0 + +
+
0 0 +
Definição: Uma base E = ( , , ) é ortonormal se , , são unitários
( = = = 1) e dois a dois ortogonais.
0
Proposição 4: Se E = ( , , ) é base ortonormal, e = x + y + z
então = x2 + y2 + z2
Ângulo entre vetores – Produto Escalar
Seja os vetores não nulos e . Tomemos um ponto 0 E3 e, sejam P, Q
E3 tais que = , = . Seja a medida em radianos (graus) do ângulo POQ
satisfazendo 0 [ 0 1800 ]
Geometria Analítica Espacial 20
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P P’
0 Q 0 Q’
Se tivéssemos tomado outro ponto 0’ E3 em lugar de 0, e P’, Q’ com = ,
= obteríamos que a medida em radianos [graus] de P’Ô’Q’, ainda seria (como
na figura)
Definição 1
O número se chama medida em radianos [graus] do ângulo e .
Para encontrar uma expressão que forneça em termos de e fixa-se uma base
ortonormal ( , , ) e sejam = ( , , ) e = ( , , )
Observação:
1) Uma base no espaço é ortonormal se os vetores forem unitários e dois a dois
forem ortogonais.
2) Sendo a base ortonormal a norma de qualquer vetor pode ser calculada
= ( a, b, c ) = a2 + b2 + c2
Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo POQ resulta:
P
2 = 2 + 2 – 2 + cos ( 1 )
0 Q
2 = - 2 = 2 + 2 = - , - , - 2 =
= ( - )2 +( - )2 +( - )2 = + + + + + - 2( + +
)
Substituindo em ( 1 ), resulta
Geometria Analítica Espacial 21
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cos = + + ( 2 )
expressão esta que nos permite calcular cos , pois = + + e
= + +
A expressão ( 2 ) nos mostra que + + não depende da base
ortonormal fixada, pois o primeiro membro não depende.
Se ou são nulos, a expressão do 2º membro é nula.
Definição 2:
Chama-se produto escalar dos vetores e ao número dado por:
0 se = ou =
cos se ou
sendo a medida do ângulo entre e .
Desde que as coordenadas usadas se referirem a uma base ortonormal podemos
escrever: = + +
Da definição, resulta que se ou então:
cos =
Observe que decorre da própria definição que: =
pois = + + = + + = 2
proposição 1
Quaisquer que sejam , , de V3 e qualquer que seja real, tem-se:
1) ( + ) = +
2) ( ) = ( ) = ( )
3) =
Geometria Analítica Espacial 22
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4) 0 ; = 0 =
proposição 2
= 0
Demonstração
Se ou é nulo, é imediato.
Se = 0 cos = 0 = ( lembre-se que 0 )
Observação:
“ uma condição necessária e suficiente para que uma tripla ( , , ) de vetores
de V3 seja uma base ortonormal é que
= = = 1
e
= = = 0
resumindo: = 1, se i = j
0, se i j
Atenção:
Evite o erro seguinte: sendo = , cancelar e concluir que = .
ISTO É FALSO
= - = 0 ( - ) = 0 ( - )
Exemplos:
É fixada uma base ortonormal
1) Ache a medida em radianos do ângulo entre os vetores = (2, 0,-3) e = (1,
1, 1).
Resolução:
= (2, 0, -3) (1, 1, 1) = 2 . 1 + 0 . 1 + (-3) . 1 = -1
Geometria Analítica Espacial 23
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= = 22 + 02 + (-3)2 =
= = 12 + 12 + 12 =
cos = = - 1 = - 1
= ARC COS ( )
2) Ache a medida em graus do ângulo entre os vetores = (1, 10, 200) e
= ( -10, 1, 0)
Resolução:
= (1, 10, 200) ( -10, 1, 0) = 1 . (-10) + 10 . 1 + 200 . 0 = 0
Logo: , e = 900 (em graus)
3) Demonstre a desigualdade de Schwarz:
Resolução:
Se ou é nulo, é imediato, pois ambos os membros se anulam.
Se e , então a desigualdade de Schwarz resulta imediatamente de cos
= e │ cos │≤ 1
Observe que a igualdade vale se e somente se um dos dois vetores é nulo ou, caso
contrário, se │ cos │≤ 1
4) O ângulo entre e mede 1200 . Sendo = 4, = 3, = + e =
- 2 , o ângulo entre e é agudo, reto ou obtuso?
Solução:
Geometria Analítica Espacial 24
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X = ( + ) X ( - 2 ) = X - 2 X + X - 2 ( X )
X = 2 – 2 2 - X
Mas, X = cos 1200 = 4 . 3 . = -6 Assim,
X = 16 – 2 . 9 – ( -6) = 4.
Como o produto escalar entre e é positivo, concluímos que o ângulo entre e
é agudo.
5) Qual o valor de m para que os vetores sejam ortogonais?
a) = (m, 2, 3) e = ( 2, -1, 2)
b) = ( m, 3, 4 ) e = ( m, -2, 3 )
Solução:
a) X = ( m, 2, 3 ) X ( 2, -1, 2 ) = 2m –2 + 6 = 0 m = -2
b) X = ( m, 3, 4 ) X ( m, -2, 3 ) = m2 –6 + 12 = m2 + 6 = 0
não existe m real, ou seja, os vetores nunca são ortogonais, para um mesmo
valor de m real.
6) Calcular o ângulo entre os vetores:
a) = (1, 2, 2 ) e = ( 1, -4, 8 )
b) = ( 4, -1, 3 ) e = ( 1, 1, -1 )
Solução:
a) cos = = arc cos 710
b) cos = (4, -1, 3) X (1, 1, -1 ) = 0 = zero = 900
. . isto é, e são ortogonais.
Ângulos diretores
Geometria Analítica Espacial 25
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Os ângulos que um vetor forma com os eixos coordenados são chamados de
ANGULOS DIRETORES. Eles são assim chamados porque fornecem a direção do
vetor (e também o sentido)
Como os eixos coordenados possuem a mesma direção e sentido dos vetores ,
e .
Assim, temos: z
= (a, b, c) = a + b + c
então:
cos = X (1, 0, 0) cos = 0 y
cos = X (0, 1, 0) cos = x
cos = X (0, 0, 1) cos =
Os co-senos dos ângulos diretores , e são chamados de COSSENOS
DIRETORES.
PROPRIEDADES:
a) Seja o vetor = ( a, b, c ). Designando o versor de por , vem:
= = ( , , ) ou
= ( cos , cos , cos )
Portanto, as componentes do versor de um vetor são os cossenos diretores deste
vetor.
b) Como o versor de é um vetor unitário, o módulo de um versor é igual a 1,
assim temos:
cos , cos , cos = 1
mas, cos , cos , cos = cos2 + cos2 + cos2
logo:
cos2 + cos2 + cos2 = 1 cos2 + cos2 + cos2 = 1Geometria Analítica Espacial 26
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Exemplos:
1) Achar os ângulos diretores do vetor = -2 + 2 = (1, -2, 2)
Solução: cos = = arc cos 710
cos = = arc cos 1320
cos = = arc cos 480
2) Os ângulos diretores de um vetor são , 450 e 600. Determinar .
Solução:
Substituindo na igualdade: cos2 + cos2 + cos2 = 1
por 450 e por 600, temos:
cos2 + cos2 450 + cos2 600 = 1
cos2 + 2 + 2 = 1
cos2 = 1 - - cos2 = cos = cos =
logo: = 600 ou = 1200
Vetor – componente
Um problema de muita aplicação na Física Geral é o de achar o vetor-componente
ou vetor-projeção de um vetor dado em uma direção dada, ou ainda, a decomposição
de um vetor em dois vetores. Veja a figura a seguir:
- -
=
O vetor é chamado de vetor-componente ou vetor-projeção de na direção de
, não nulo.
Para encontrarmos o vetor , conhecidos e , basta observarmos que:
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( i ) // e ( ii ) -
De ( i ) , vem; existe m tal que = m
De ( ii ) , vem:
( - ) X = 0 ( - m ) X = 0 X - m ( X ) = 0
X = m ( X ) m = X = X . Temos assim o vetor
X 2
isto é, = X .
X
= ( X ) .
Exemplo: Decompor o vetor = ( 6, -3, 9 ) em dois vetores e , sendo paralelo a e ortogonal a , onde = ( 1, 2, 2).
Solução: Veja a figura Decompor um vetor é encontrar vetores que somados dão, como resultante o vetor Neste caso, = + sendo o vetor-componente de na direção de e o vetor
o vetor-diferença entre e , isto é: = - . Assim, temos:
= [ ( 6, -3, 9 ) X ] .
= 6 . = (2, 4, 4) = 2 +4 + 4
= - = (6, -3, 9) – (2, 4, 4) = (4, -7, 5) = 4 -7 + 5
Observações:( i ) Os vetores e , do exemplo acima, são as componentes ortogonais do vetor , tendo a direção de ( ii ) O módulo do vetor-componente ou vetor-projeção será dado por
= X que é o módulo da expressão que está dentro
dos colchetes, na segunda indicação da fórmula do vetor-componente .
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Projeção de um Vetor Sejam os vetores e , com 0 e 0, e o ângulo por eles formado. Deve-se calcular o vetor que representa a projeção de sobre .Observe a figura:
Como e têm a mesma direção, segue-se que: = k , k
Então: = k ou
k= = k = logo: =
Portanto, o vetor projeção de sobre ( proj. = ) é:
proj. = X
ou proj. =
Exemplos:1) Determinar o vetor projeção de = ( 2,3,4 ) sobre = ( 1, -1, 0 )
Solução:
Utilizando a fórmula proj. = obtem –se:
proj. = (1, -1, 0) = (1, -1, 0)
proj. = ( 1, -1, 0 ) = - ( 1, -1, 0 ) = ( - , , 0 )
2) Dada a base ortonormal B = ( , , ), sejam = 2 -2 + e = 3 - 6a) Obtenha a projeção ortogonal de sobre b) Determine e tais que = + , sendo paralelo e ortogonal a
Solução:a) Em relação a B, = ( 2, -2, 1 ) e = ( 3, -6, 0 ).
Logo, 2 = 22 + (-2)2 + 12 = 9 e X = 3 . 2 + ( -6) (-2) + 0 . 1 = 18
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Logo, proj. = = ( 2, -2, 1 ) = ( 4, -4, 2 )
b) O vetor é a projeção ortogonal calculada em ( a ), e é a diferença - . Portanto = - = ( 3, -6, 0 ) – ( 4, -4, 2) = ( -1, -2, -2 )
PRODUTO VETORIAL
Definição:
Dados os vetores = a + b + c e = d + e + f , definimos produto vetorial dos vetores e como sendo o vetor dado pelo determinante formal:
^ = a b c = b c . - a c . + a b .
d e f e f d f d e onde, o 2º lado da igualdade corresponde à expansão do determinante, pela regra de Laplace, através da primeira linha.
Exemplo: a) ( 1, 3, 5 ) ^ ( 1, 1, 1 ) = 1 3 5 = -2 + 4 -2 1 1 1
b) ( 1, 1, 1 ) ^ ( 1, 3, 5 ) = 1 1 1 = 2 - 4 + 2 1 3 5
c) ( 0, 0, 0 ) ^ ( 2, 1, 7 ) = 0 0 0 = 0 + 0 + 0 = 2 1 7
d) ( 2, 4, 6 ) ^ ( 3, 6, 9 ) = 2 4 6 = 0 + 0 + 0 = 3 6 9
Propriedades:
P1. X = ( o determinante possui duas linhas iguais)
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P2. ^ = - ^ , V3 Anti-comutativa
P3. ^ ( + ) = ^ + ^ , , V3 Distributiva
P4. m . ( ^ ) = ( m ) ^ = ^ ( m ) , V3 e m
Associativa com um número real
P5. a) Se = ou = ^ = ;
b) Se ou , ^ = //
P6. Se e são LI, isto é, ^ então ( ^ ) é ortogonal a e a ,
ao mesmo tempo.
P7. ^ 2 = 2 . 2 – ( X ) Identidade de Lagrange
P8. ^ = . . sen , V3 com , e
o ângulo entre e
P9. Se e são L I é habitual afirmar-se que os vetores , e ^
possuem orientação positiva ou dextrógira (regra da mão direita).
Observação:
1) Se dois vetores são LD, isto é, paralelos ou pelo menos um deles nulo,
então o produto vetorial deles será o vetor nulo;
2) Se dois vetores, e são LI, isto é, o ângulo entre suas direções não é zero,
então o produto vetorial deles será um vetor não nulo, tal que:
Direção: a direção de ^ será perpendicular a um plano que contenha
representantes de e ;
Módulo: o módulo de ^ será numericamente igual ao produto dos módulos de
e de multiplicado pelo seno do ângulo entre e ;
Sentido: Supondo que o plano, que contém representantes de e , seja horizontal e
que o ângulo entre eles seja percorrido no sentido anti-horário, quando
vamos de para , nessas condições, o sentido de ^ será para cima.
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Vetor ortogonal a dois vetores LI
Dados dois vetores paralelos ou pelo menos um deles nulo então o produto vetorial
será o vetor nulo.
Dados dois vetores LI o produto vetorial deles será um vetor não nulo ortogonal
aos dois vetores operados.
Esta é a principal aplicação física ou geométrica do produto vetorial.
Exemplo:
Sejam dados os vetores = ( 2, -2, 1 ) e = ( 2, 0, -1 ). Ache o conjunto dos vetores
ortogonais a e a , ao mesmo tempo. Encontre um vetor unitário pertencente a
esse conjunto.
Solução:
Como o vetor ^ tem direção perpendicular a e a , então todos vetores que
forem ortogonais a e a serão paralelos a ^ . Assim, o conjunto será formado
pelos vetores m ( ^ ).
^ = 2 -2 1 = ( 2, 4, 4 )
2 0 -1
Assim, temos o conjunto: { m . ( 2, 4, 4 ), m }. Um vetor unitário pode ser o
versor do vetor ( 2, 4, 4 ), isto é, = ( , , ).
Observação importante:
Se conhecemos um vetor ortogonal a e a , então é paralelo ao vetor ^
, isto é: e // ( ^ )
Área do paralelogramo
Geometria Analítica Espacial 32
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Consideremos o paralelogramo ABCD, cujos lados AB e AC são representantes dos
vetores e , respectivamente.
A área S do paralelogramo ABCD é dada por: S = b . h, onde b é o comprimento de
AB e h é o comprimento de CH. Mas, no triângulo retângulo ACH, temos: h = c . sen
, onde c é o comprimento de AC. Assim, S = b . c . sen .
Por outro lado, o módulo de ^ é igual a . . sen , logo S é numericamente
igual ao módulo de ^ , isto é: SABCD = ^
Observação:
O módulo ou comprimento de um vetor é uma medida linear enquanto que área é
uma medida em unidades quadradas, daí, dizemos que a área do paralelogramo é
numericamente igual ao módulo do vetor produto vetorial de vetores cujos
representantes sejam os lados não paralelos desse paralelogramo. Em unidades : Se o
vetor, resultado do produto vetorial, tiver módulo 15 cm então a área do
correspondente paralelogramo será 15 cm2.
Exemplo:
Calcular a área do paralelogramo cujos vértices são A = ( 4, 1, 5), B = ( 6, 0,
5 ), C = ( 4, 2, 4 ) e D = ( 6, 1, 4 ).
Solução:
Geometria Analítica Espacial 33
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Sejam B – A = ( 2, -1, 0 ) = e C – A = ( 0, 1, -1 ) =
Assim: C D
S = ^ = 2 -1 0 = ( 1, 2, 2 )
0 1 -1
S = 3 unidades quadradas. A B
Área do triângulo
A diagonal de um paralelogramo divide-o em C D
dois triângulos iguais (simétricos em relação
a essa diagonal). Assim, a área de um triângulo
é sempre igual à metade da área do paralelogramo A B
de modo que um dos lados do triângulo seja a diagonal do paralelogramo.
Seja o triângulo ABC da figura. A área S do triângulo será dada por:
S = . ( B – A ) ^ ( C – A )
Exemplo:
Calcular a área do triângulo ABC, onde A = ( 2, 0, 3 ), B = ( 8, 8, -3 ) e C = ( 2,
2, 2 )
Solução:
É preciso encontrar os vetores cujos representantes C
são os lados do triângulo ABC.
B – A = ( 6, 8, -6 ) e C – A = ( 0, 2, -1 )
A área do triângulo será: A B
S = . ( B – A ) ^ ( C – A )= 6 8 -6 = . ( 4, 6, 12 )= . 14
0 2 -1
S = 7 unidades quadradas.
Observação:
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O cálculo da área do triângulo não depende dos lados escolhidos. Assim, no exemplo
acima, poderíamos ter escolhido os lados AB e BC ou, então, os lados AC e BC.
Produto Misto
Dados os vetores = x1 + y1 + z1 , = x2 + y2 + z2 e = x3 + y3 + z3 , tomados nessa ordem, chama-se produto misto dos vetores ,
e ao número real . ( X ). Indica-se o produto misto por ( , , ). Tendo em vista que:
X = x2 y2 z2 = y2 z2 - x2 z2 + x2 y2
x3 y3 z3 y3 z3 x3 z3 x3 y3
e levando em consideração a definição de produto escalar de dois vetores, o valor de . ( X ) é dado por:
( , , ) = x1 y2 z2 - y1 x2 z2 + z1 x2 y2
y3 z3 x3 z3 x3 y3
ou
x1 y1 z1
( , , ) = x2 y2 z2
x3 y3 z3
Exemplo:Calcular o produto misto dos vetores = 2 + 3 + 5 , = - + 3 + 3 e = -4 -3 + 2 .
2 3 5 ( , , ) = -1 3 3 = 27 -4 -3 2
Observação:
Produto escalar de dois vetores é número real.
Produto vetorial de dois vetores é vetor.
Propriedades do Produto Misto/
1) ( , , ) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três
são coplanares.
Geometria Analítica Espacial 35
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2) O produto misto independe da ordem circular dos vetores, isto é:
( , , ) = ( , , ) = ( , , )
Entretanto, o produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois
vetores consecutivos, isto é:
( , , ) = - ( , , )
Esta propriedade do produto misto é uma conseqüência da propriedade dos
determinantes relativamente à circulação de linhas e à troca de duas colunas.
Observação:
Resulta desta propriedade, denominada propriedade cíclica, que os sinais . e X
permutam entre si no produto misto de três vetores:
. ( X ) = ( X ) .
3) ( , , + ) = ( , , ) + ( , , ) =
4) ( , , m ) = ( , m , ) = ( m , , ) = m ( , , )
Observação:
O produto vetorial e o produto misto não são definidos no 2
Exemplos:
1) Verificar se são coplanares os seguintes vetores:
= ( 3, -1, 4 ) , = ( 1, 0 –1 ) , = ( 2, -1, 0 )
Solução:
Os três vetores são coplanares se: ( , , ) = 0
3 -1 4
mas, ( , , ) = 1 0 -1 = -5 0
2 -1 0
Logo, os vetores não são coplanares.
2) Qual deve ser o valor de m para que os vetores = ( m, 2, -1 ) , = ( 1, -
1, 3 ) , = ( 0, -2, 4 ) sejam coplanares?
Geometria Analítica Espacial 36
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Solução:
Para que , e sejam coplanares, deve-se ter: ( , , ) = 0
Isto é: m 2 -1
1 -1 3 = 0
0 -2 4
ou: -4m + 6m –8 + 2 = 0 2m –6 = 0 2m = 6 m = 3
3) Verificar se os pontos A ( 1, 2, 4 ), B ( -1, 0, -2 ), C ( 0, 2, 2 ) e D ( -2, 1, -
3 ) estão no mesmo plano.
Solução:
Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores , e ,
e, para tanto, deve-se ter: ( , , ) = 0
e,
-2 -2 -6
( , , ) = -1 0 -2 = 0
-3 -1 -7
Logo, os pontos dados são coplanares.
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto
Geometria Analítica Espacial 37
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Geometricamente, o produto misto . ( X ) é igual, em módulo, ao volume
do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores = , = e =
.
Sabe-se que o volume V de um paralelepípedo é V = (área da base X altura)
ou: V = Ab X h mas, X e sendo o ângulo entre os vetores e X
, lembrando que o vetor X é perpendicular à base, a altura do paralelepípedo é
dada por: h = cos
( É necessário considerar o valor absoluto cos , pois pode ser um ângulo obtuso)
Logo, o volume do paralelepípedo é: V = X cos
Fazendo X = , vem: V = cos ( 1 )
Mas, . = cos
E, em conseqüência: . = cos ( 2 )
Comparando ( 1 ) e ( 2 ), temos:
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V = .
Logo: V = . ( X ) = ( , , )
Volume do tetraedro
Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais. Como todo
prisma triangular equivale a três pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e
altura equivalentes à base e à altura do prisma, o volume de cada uma destas
pirâmides é do volume do paralelepípedo.
Sendo A, B, C e D quatro pontos do espaço, não situados num mesmo plano, e três
a três não colineares, as arestas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores
, , e, portanto, o volume do tetraedro ABCD é V = ( , , )
Exemplos:
1) Dados os vetores = ( x, 5, 0 ) , = ( 3, -2, 1 ) e = ( 1, 1, -1 ), calcular o valor
de x para que o volume do paralelepípedo determinado por , e seja 24 u.v.
(unidades de volume).
Solução:
Geometria Analítica Espacial 39
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O volume do paralelepípedo é dado por: V = ( , , ) e, no caso presente, deve-
se ter: ( , , )= 24 mas,
x 5 0
( , , ) = 3 -2 1 = x + 20
1 1 -1
logo: x + 20 = 24
pela definição de módulo, implica duas hipóteses:
x + 20 = 24 ou -x –20 = 24
portanto: x = 4 ou x = - 44
2) Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: A ( 1, 2, 1 ), B ( 7, 4,
3 ), C ( 4, 6, 2 ) e D ( 3, 3, 3 )
Solução:
O volume do tetraedro é dado por: V = ( , , )
mas: = ( 6, 2, 2), = ( 3, 4, 1 ) , = ( 2, 1, 2 )
e: 6 2 2
( , , ) = 3 4 1 = 24
2 1 2
Portanto, o volume do tetraedro é: V = . 24 = 4 u. v.
Duplo Produto Vetorial
Dados os vetores = x1 + y1 + z1 , = x2 + y2 + z2 e
= x3 + y3 + z3 , chama-se duplo produto vetorial dos vetores , e
ao vetor X ( X ).
Observação:
Tendo em vista que o produto vetorial não é associativo, em geral
X ( X ) ( X ) X
Decomposição do duplo Produto Vetorial
Geometria Analítica Espacial 40
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O duplo produto vetorial pode ser decomposto na diferença de dois vetores com
coeficientes escalares: X ( X ) = ( . ) - ( . )
Com efeito, o vetor X ( X ) é coplanar com e , isto é:
X ( X ) = m + n ( 1 )
Para determinar m e n, escolhe-se a base ortonormal { , , } com paralelelo a ,
coplanar com e , e paralelo a X
De acordo com a figura, pode-se escrever:
=
= + ( 2 ) = + + Por outro lado:
X = a 0 0 = ac b c 0e
X ( X ) = x y z = acy - acx 0 0 ac
ou:
Geometria Analítica Espacial 41
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X ( X ) = acy - acx + abx - abx
X ( X ) = ( bx + cy ) - ax ( + )
tendo em vista as igualdades em ( 2 ):
X ( X ) = ( bx + cy ) - ax ( 3 )
comparando as igualdades ( 1 ) e ( 3 ), temos:
m = bx + cy n = - ax
mas, de acordo com a definição de produto escalar e tendo em vista as igualdades
( 2 ), temos:
bx + cy = . e ax = .
logo:
m = . e n = - .
substituindo m e n em ( 1 ), temos:
X ( X ) = ( . ) - ( . )
Esta forma pode ser escrita sob a forma de determinante:
X ( X ) =
. .
exemplo:
Se = 3 - 2 - 6 , = 2 - e = + 3 + 4 , temos:
. = 3 x 2 – 2 x ( - 1) – 6 x 0 = 8
. = 3 x 1 – 2 x 3 – 6 x 4 = - 27
logo:
X ( X ) = =
. . 8 - 21
X ( X ) = - 21 - 8 = - 21 (2 - ) – 8 ( + 3 + 4 )
X ( X ) = - 42 + 21 - 8 - 24 - 32 = - 50 - 3 - 32
por outro lado;
Geometria Analítica Espacial 42
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. = 1 x 3 – 3 x 2 – 4 x 6 = - 27
. = 1 x 2 – 3 x 1 + 4 x 0 = - 1
logo:
X ( X ) = =
. . -27 -1
X ( X ) = -1 + 27 = - (3 - 2 - 6 ) + 27 (2 - )
X ( X ) = -3 + 2 + 6 + 54 - 27 = 51 - 25 + 6
comparando
X ( X ) e X ( X ) , verifica-se que :
X ( X ) X ( X )
Geometria Analítica Espacial 43