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TEMA : GEOMETRIA ANALITICA PLANA

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GEOMETRIA ANALITICA PLANA (SIMPLES)

1. Indica un punto y un vector de las siguientes rectas a. (𝑥, 𝑦) = (2,4) + 𝑡(5, −3) b. !"#

#= $%&

&

c. .𝑥 = −1 + 9𝑡𝑦 = −8 − 6𝑡

d. 2𝑥 − 3𝑦 + 8 = 0 2. Calcula la pendiente de las siguientes rectas:

a. 𝑦 = −3𝑥 + 2 b. 𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0

c. '#𝑥 + #

(𝑦 − 1 = 0

d. . 𝑥 = −2 + 𝑡𝑦 = −1 + 3𝑡

e. !"&&= $%'

"#

f. Recta que pasa por los puntos 𝐴(2,−𝑎)𝑦𝐵(2,5𝑎) g. Recta cuyo vector director es 𝑢9⃗ (1,2) h. Recta cuyo vector normal es 𝑛9⃗ (3, −2) i. Recta que pasa por los puntos 𝐴(1,−2)𝑦𝐵(3,1) j. Recta que pasa por los puntos 𝐴(3,4)𝑦𝐵(−1,4)

3. a. Escribe las ecuaciones generales de los ejes coordenados. ¿Cuál es la

ecuación paramétrica de cada uno? b. Escribe la ecuación paramétrica y explicita de la bisectriz del primer y

tercer cuadrante. Escribe también la de la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante.

4. a. Dibuja la recta que pasa por el punto 𝐴(−1,2) y que tiene de pendiente

− #). Halla la ecuación de dicha recta.

b. Hallar y representar la recta que pasa por los puntos 𝐴(2,1)𝑦𝐵(3,4). 5. Calcula la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de cada una de las

siguientes rectas: a. La recta que pasa por los puntos 𝐴(2,−1)𝑦𝐵(3,4) b. La recta que pasa por el punto 𝑃(3,3) y lleva la dirección del vector

𝑢9⃗ (2,1)



c. La recta que tiene como uno de sus vectores de dirección el 𝑢9⃗ (−1,2) y corta a la parte positiva del eje de abscisas en un punto que dista 2 unidades del origen de coordenadas.

d. La recta que tiene como vector director 𝑢9⃗ (1, −4) y corta a la parte negativa del eje de abscisas en un punto que dista 5 unidades del origen de coordenadas.

e. La recta que tiene por dirección la del vector 𝑢9⃗ (5,6) y corta al eje de ordenadas en un punto que dista 1 unidad negativa del origen de coordenadas.

6. Representa y halla las distintas ecuaciones de la recta que pasa por el punto 𝐴(3,1)𝑦𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑐𝑜𝑚𝑜𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟�⃗�(1, −2).

7. Encuentra la ecuación vectorial, paramétrica, continua, general, explicita, punto pendiente y segmentaria de la recta que pasa por los puntos 𝐴(3,2)𝑦𝐵(1, −1)

8. Dada la recta 𝑟: 𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0 en forma general, escribirla en forma explicita, normal, continua y vectorial.

9. Dada la recta 3𝑥 + 2𝑦 = 4, ¿Qué tipo de ecuación es? Hallar un punto, un vector normal, un vector director y la pendiente. Realizar también la representación gráfica.

10. ¿Cuál es la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos 𝐴(2,1)𝑦𝐵(1, −2)?

11. Calcular: a. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos

𝐴(2,2)𝑦𝐵(0,4)? b. La ecuación explicita e implícita o general de la recta que pasa por los

puntos 𝑃(1,4)𝑦𝑄(2,3) 12. Hallar todas las formas de la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección

con los ejes son 𝐴 = (6,0)𝑦𝐵 = (0,−2) 13. Escribe en forma explicita y continua la ecuación de la recta 2𝑥 + 3𝑦 = 6. 14.

a. Determinar si los puntos 𝐴(3,1)𝐵(5,2)𝐶(1,0) están alineados. En caso afirmativo, escribe la ecuación de la recta que los contiene.

b. Verifica si los puntos (2,1)(1,5)𝑦(12,3) están alineados. En caso afirmativo, escribe la ecuación de la recta

15. a. ¿Pertenece el punto 𝑃(3,3) a la recta que pasa por los puntos

𝐴(1,−1)𝑦𝐵(2,1)? b. ¿Pertenece el punto 𝑃(0,5) a la recta determinada por el vector (1,3) y

el punto (2,3)?



16. Escribe en la forma normal las rectas

𝑟: 4𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0𝑦𝑠: √3𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 17. ¿Cuál es el vector dirección y la pendiente de las siguientes rectas?

a. !"'&= $%&

(

b. 𝑦 = 3𝑥 − 2 18. Calcula la recta que pasa por el punto 𝐴(2,5) y forma con el eje de abscisas un

ángulo de 30 grados. Explicar los pasos a seguir. 19.

a. Halla un vector normal y otro director de la recta 𝑟: 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 b. Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto (7,3) y es

paralela a la recta que tiene por ecuación 3𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 20.

a. Calcula la recta que es paralela al eje X y que pase por el punto 𝐴(2,3). Escribe su ecuación vectorial.

b. Calcula la recta que es paralela al eje Y y que pasa por el punto 𝐴(−1,3). Escribe su ecuación paramétrica.

c. Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto 𝐴(5,−1) y es paralela a la siguiente recta:

𝑟: .𝑥 = 2 − 3𝑡𝑦 = 4 + 𝑡

21. a. Calcular la ecuación general de la recta que pasa por 𝐴(−2,5) y es

paralela al vector 𝑣(−1,3) b. Averigua la ecuación general de la recta que pasa por el punto 𝑃(2,−2)

y cuya pendiente es 𝑚 = −3 c. Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 que

pasa por el punto 𝐴(1,1) 22. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por 𝐴(2,−1) y es

perpendicular a la recta de ecuación 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 23. Calcula la ecuación de la recta perpendicular a r que pase por el punto P en los

siguientes casos:

a. .𝑥 = 2 − 3𝑡𝑦 = 1 + 𝑡 → 𝑃(3,1)

b. !"'&= $

#→ 𝑃(0,5)

c. 𝑦 = 2𝑥 − 1 → 𝑃(1,2) d. 2𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 → 𝑃(0,0)



24. Calcular: a. ¿Cómo seria la ecuación de una recta cualquiera que pase por el punto

(2, −1)? b. ¿Cuál de todas estas pasarían por el punto (0,3)? c. ¿Cuál de ellas seria paralela a la recta 𝑥 + 2𝑦 = 5?

25. Calcular la ecuación de las siguientes rectas: a. Paralela a 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 y que pasa por el punto (0,2) b. Paralela al eje de abscisas y que pasa por el punto (2, −2) c. Paralela al eje de ordenadas y que pasa por el punto 2,−2) d. Paralela a la recta 2𝑥 − 𝑦 + 8 = 0 y que pase por el origen de

coordenadas.

e. Paralela a la siguiente recta .𝑥 = −1 + 2𝑡𝑦 = 5 + 𝑡 y pase por el punto (−3,2)

f. Paralela a la bisectriz del primer cuadrante y que tiene ordenadas en el origen igual a 2.

26. Calcula la ecuación de las siguientes rectas: a. Perpendicular a 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0 y que pase por el punto (3,3). b. Perpendicular al eje de abscisas y que pase por el punto (−2,7). c. Perpendicular al eje de ordenadas y que pasa por el punto (5, −1). d. Perpendicular a 3𝑥 − 6𝑦 + 2 = 0 y que pase por el origen de ordenadas.

e. Perpendicular a la siguiente recta: .𝑥 = −1 + 2𝑡𝑦 = 5 + 𝑡 y que pase por (−1,0)

f. Perpendicular al segmento AB con 𝐴(0,2)𝑦𝐵(3,1) y que pase por (−3,3).

27. Determina el valor de t para que las siguientes rectas sean perpendiculares: 𝑟: 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0𝑡𝑥 + 8𝑦 = −15 = 0

28. a. Halla la ecuación general de la recta paralela a 3𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 y que

pasa por el punto 𝐴(−2,1). b. Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0

que pasa por el punto 𝐴(1,1) 29. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas y si son secantes,

hallar su punto de corte:

a. . 𝑟: 𝑥 − 2𝑦 − −1 = 0𝑠: 2𝑥 + 5𝑦 − 16 = 0

b. .𝑟: 𝑥 − 2𝑦 − −1 = 0𝑠: 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0

c. .𝑟: 3𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0𝑠: 6𝑥 + 8𝑦 − 24 = 0



30. Halla los valores de B y C para que las siguientes rectas sean paralelas:

a. .2𝑥 + 𝐵𝑦 − 3 = 04𝑥 + 5𝑦 + 𝐶 = 0

31. Hallar la posición relativa y el punto de corte, si existe, de estas rectas:

𝑟: .𝑥 = 3 − 𝑡𝑦 = 2𝑡 𝑠: .𝑥 = −2 + 4𝑡

𝑦 = 1 + 2𝑡


𝑟: . 𝑥 = 4 + 𝑡𝑦 = 3 − 3𝑡𝑠: .

𝑥 = 3𝑡𝑦 = 1 − 9𝑡


𝑟: . 𝑥 = 2 + 𝑡𝑦 = 5 − 3𝑡𝑠: .

𝑥 = 2𝑡𝑦 = 11 − 6𝑡

34. Dadas las siguientes rectas, averigua la posición relativa dos a dos:

𝑟: 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0

𝑠: .𝑥 = −2 + 𝑡𝑦 = 3 + 2𝑡

𝑡: .𝑥 = −2 + 3𝑡𝑦 = 3 + 𝑡

𝑢: .𝑥 = −1 + 3𝑡𝑦 = 2 + 𝑡

35. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos 𝐴(3,4)𝑦𝐵(1,2). 36. Calcula la distancia del punto 𝑃(1,−1) a cada una de las siguientes rectas:

a. 𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0 b. 𝑦 = 2𝑥 − 1

c. !%'&= $"&

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d. 4𝑥 + 3𝑦 = 2 37. Calcula la distancia entre las siguientes rectas paralelas:

𝑟: 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0

𝑠: 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 40

38. Calcula las longitudes de las tres alturas del triángulo determinado por los puntos 𝐴(1,1), 𝐵(1,3)𝑦𝐶(3,2)

39. Dados los puntos 𝐴(1,4)𝑦𝐵(−2,3) y la recta 𝑟: 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0, hallar un punto P que equidiste de A y sea incidente con r.

40.



41. a. Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que distan

del eje de abscisas el doble que del eje de ordenadas. b. Halla un punto P equidistante de 𝐴(3,1)𝑦𝐵(3,5) y que dista el triple del

eje de abscisas que del eje de ordenadas. 42. Dada la ecuación 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 hallar la ecuación de una paralela a dicha recta

a una distancia de dos unidades. 43. Hallar las coordenadas de un punto de la recta 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 que diste una

unidad de la recta 3𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0 44. Hallar las coordenadas de un punto P equidistante de 3 puntos dados

𝐴(4,4), 𝐵(5,3)𝑦𝐶(−1,3) 45. Hallar las ecuaciones de la recta que son incidentes con el punto 𝐴(2,3) y distan

dos unidades del origen de coordenadas. 46.

a. De todas las rectas que pasan por el punto 𝐴(1,2),calcular la pendiente de aquellas cuya distancia al origen es de una unidad.

b. De todas las rectas que pasan por el punto 𝐴(1,2),calcular la pendiente de aquellas cuya distancia al origen es de una unidad.

47. Determina la recta que dista 3 unidades del punto 𝑃(1,2) y es perpendicular a 𝑟: 3𝑥 − 4𝑦 + 10 = 0

48. Encuentra un punto en la recta −𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0 que equidiste de los ejes de coordenadas.

49. Halla el punto de la recta 3𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0 que diste de 𝐴(−4,0)𝑦𝑑𝑒𝐵(0, −4) 50. Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto (2,1) y forma con la recta

𝑦 = 2𝑥 − 1 un ángulo de 45 grados. 51. Calcula la distancia del punto 𝑃(1,−1) a cada una de las siguientes rectas:

a. (𝑥, 𝑦) = (1,3) + 𝑡(1, −3) b. 𝑦 = 3𝑥 − 2 c. 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 d. 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0

e. .𝑥 = 2 + 7𝑡𝑦 = 3𝑡

f. !%'*= $"'

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52. Halla las bisectrices de los ángulos que forman las rectas:

𝑟: 4𝑥 − 3𝑦 + 9 = 0; 12𝑥 + 5𝑦 − 7 = 0

53. Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección de las rectas 𝑦 = 𝑥 + 2𝑦3𝑥 + 𝑦 = 2 formando un ángulo de 45 grados con la segunda de ellas.



54. Las rectas 2𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0𝑦𝑎𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 forman un ángulo de +,𝑟𝑎𝑑¿Cuánto vale a?

55. Dadas las rectas 𝑟: 3𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0𝑦𝑠: 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0, hallar: a. El ángulo que forman b. Las ecuaciones de las bisectrices

56. La recta 𝑟:−7𝑥 + 10𝑦 − 1 = 0 es la bisectriz de un ángulo recta cuyo vértice 𝑉(−3,−2). Halla las ecuaciones de los lados del ángulo.

57. a. Dados los puntos 𝑀(−1,7)𝑦𝑁(5,4), hallar un punto P en el segmento

MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N. b. Sabiendo que 𝐴(2,4)𝑦𝐶(6,0), hallar las coordenadas del punto B de

modo que 𝐴𝐵 = '(𝐴𝐶

58. a. Halla los puntos que dividen al segmento de extremos 𝐴(−2,3)𝑦𝐵(6,2)

en tres partes iguales. b. Divide en 5 partes iguales el segmento que tiene por extremos

𝐴(−5,1)𝑦𝐵(5,6) 59. Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la siguiente recta

𝑥 + 22 =

𝑦 − 22

60. Encuentra las coordenadas del punto simétrico de 𝐴(1,1) respecto a la recta 𝑟: 𝑥 + 𝑦 − 6 = 0

61. Las coordenadas del punto medio del segmento AB son (2,1) . Calcula las coordenadas del punto A sabiendo que las coordenadas de 𝐵𝑠𝑜𝑛(1,2)

62. Encuentra la ecuación de la recta simétrica de r respecto de la recta s.

𝑟: 𝑦 =𝑥 − 43 ; 𝑠: 𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0

63. Calcula la recta simétrica de 𝑟: 3𝑥 − 𝑦 = 0 respecto de la simetría central con centro 𝑀(2,−1)

64. Calcula la recta simétrica de 𝑟: 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 respecto de la recta 𝑠: 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0

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