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Ángulo entre dos rectas en función de sus pendientes.- El ángulo entre dos rectas esta por:

2 1

2 1

tan1m m

m m

Nota: Los vértices se toman en sentido contrario a las agujas reloj

Ejemplo 1 Hallar el ángulo entre dos rectas y cuyos pendientes son: 113

m y 112

m

Sea:

2 1

2 1

tan1m m

m m

Remplazamos valores y resolvemos

1

1 12 3

tan1 112 31 12 3tan1 112 3

5 5306 6tan 1

1 5 3016 6

tan (1)45

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Ejemplo 2 Graficar y hallar el ángulo de las rectas formado por los puntos A(-2, -1); B(6, -2) y C(4, 5); D(1, -2) Graficamos e identificamos los puntos a utilizar para calcular las pendientes (nótese que las pendientes son tomadas en cuenta en sentido contrario a las agujas del reloj): Para calcular 1m usamos los puntos

A(-2, -1) y B(6, -2) Sea: Remplazamos: Resolvemos:

Para calcular 2m usamos los puntos

C(4, 5) y D(1, -2) Sea: Remplazamos: Resolvemos:

2 11

2 1

1

1

1

1

2 ( 1)6 ( 2)2 16 21818

y ym

x x

m

m

m

m

2 12

2 1

2

2

2

2 51 473

73

y ym

x x

m

m

m

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Remplazamos los valores de las pendientes en la fórmula:

2 1

2 1

tan1m m

m m

1

7 13 8

tan7 113 8

7 13 8tan

7124

5959 24 5924tan

17 24 17 172459tan17

73.93

Ejemplo 3 Los vértices de un triángulo son A(7, -2); B(6, 6) y C(-2, 1) Calcular:

a) La pendiente de cada lado b) Los ángulos interiores (nótese que la suma de los tres ángulos

interiores es 180º) a) Graficamos e identificamos y calculamos las pendientes de cada lado:

Para calcular la pendiente ABm usaremos los puntos A(7, -2) y B(6, 6) 8ABm

Para calcular la pendiente BCm usaremos los puntos B(6, 6) y C(-2, 1)

58BCm

Para calcular la pendiente ACm usaremos los puntos A(7, -2) y C(-2, 1)

13ACm

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b) Con las pendientes encontradas encontramos el ángulo de cada vértice ( , , ):

Para el ángulo usaremos las pendientes ABm y ACm las cuales remplazaremos en

la fórmula correspondiente para encontrar el ángulo entre dos rectas…

La pendiente 1m será 8ABm y la pendiente 2m será 13ACm

1

1 83

tan11 83

1 238 23 3 233 3tan8 11 3 11 1113 3

23tan11

64.44 De igual manera calcularemos los ángulos y con sus pendientes respectivas según la gráfica.

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PRÁCTICA

1. Se da los vértices de un triángulo, Calcular sus ángulos interiores:

a) A(5, 7); B(0, 2); C(10, -2) : 74.05 , 66.8 , 39.14R b) A(2, 0); B(6, -3); C(8, 7) : 86.27 , 64.44 , 29.29R c) A(7, 0); B(3, 6); C(-2, 3) : 37.87 , 49.4 92.73R

2. Hallar el ángulo menor que forman los diagonales de los siguientes cuadriláteros: a) A(1, 1); B(9, 1); C(11, 6); D(3, 6) : 66R b) A(-1, -1); B(11, 4); C(6, 8); D(1, 6) : 63R

NOTA: Cada inciso realizar con su respectiva gráfica