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Geometria Analítica: Cônicas 1

Matemática Profº. Álvaro Maciel

Geometria Analítica: Cônicas

1. Parábola

Definição: Considere em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente à d.

Parábola é o lugar geométrico formado pelo conjunto de todos os pontos do plano que são

equidistantes do ponto F e a reta d.

1.1 Elementos

Foco: é o ponto F.

Diretriz: é a reta d.

Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz.

Vértice: é o ponto V de intersecção da parábola com o seu eixo.

Parâmetro: é o módulo da distância entre o foco e a diretriz, ou duas vezes a distância entre o

foco e o vértice.

1.2 Equação da Parábola de Vértice na Origem

1º caso: quando o eixo da parábola é o eixo dos y



No caso de uma parábola em que o seu eixo é o eixo dos y, e com a concavidade

voltada para cima, a sua equação reduzida é dada na forma , mas quando a parábola

possui a concavidade voltada para baixo, sua equação reduzida é dada na forma .

Demonstração:

2º caso: quando o eixo da parábola é o eixo dos x

No caso de uma parábola em que o seu eixo é o eixo dos x e que a concavidade é

voltada para a direita, sua equação reduzida é dada por , e quando a concavidade

concavidade é voltada para a esquerda, sua equação é dada por .

Demonstração:



Exemplo 1: Determinar o foco e a equação das parábolas e Construir

também seus gráficos.

Exemplo 2: Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:

a – vértice V(0,0) e foco F(1,0).

b - vértice V(0,0) e diretriz y = 3.



c – vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e concavidade voltada para cima.

2. Elipse

Definição: Sejam dois pontos e tais que e dois pontos e tais que

, e que, . É chamada elipse o lugar geométrico que representa o

conjunto de pontos P, tais que, a soma da distância de P ao ponto coma distância entre o

mesmo ponto P com o ponto é constante e vale .



2.1 Elementos

Focos: são os pontos e .

Distância Focal: é a distância 2c entre os focos.

Centro: é o ponto médio C do segmento .

Eixo Maior: é o segmento de comprimento 2a (o segmento contém os focos e os

seus extremos pertencem à elipse).

Eixo Menor: é o segmento de comprimento 2b.

Vértices: são os pontos , , e .

Quando o eixo maior da elipse encontra-se no eixo x, sua equação reduzida é dada por

, analogamente, quando o eixo maior da elipse encontra-se no eixo y, sua equação

reduzida é dada por

. Vale ressaltar que a relação pitagórica é

verdadeira, e a abertura da elipse é determinada pela excentricidade,

, onde, 0 < e < 1,

pois a > c.

OBS.: Sabendo-se que , . Portanto, o valor de

representa o semi-eixo maior e o de o semi-eixo menor.

Demonstração:



Exemplo 3: Nos problemas abaixo, determinar: a) a medida dos semi-eixos; b) um esboço do

gráfico; c) os focos e d) a excentricidade das elipses descritas pelas equações:

1)

2)

3)



Exemplo 4: Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3,0) e a medida do eixo

maior é 8. Determinar sua Equação.

3. Hipérbole

Definição: Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P(x, y) de um plano tal que a

diferença (em módulo) de suas distâncias a dois pontos fixos e é constante (2a < 2c),

com = 2c.



3.1 Elementos

Focos: são os pontos e .

Distância Focal: é a distância 2c entre os focos.

Centro: é o ponto médio C do segmento .

Vértices: são os pontos e .

Eixo Real ou Transverso: é o segmento de comprimento 2a.

Eixo Imaginário ou Conjugado: é o segmento de comprimento 2b.

O processo de dedução da equação reduzida da hipérbole é análogo ao processo de

dedução da elipse, sendo na hipérbole, segundo a definição tem-se

, onde, realizado-se as simplificações, conclui-se que quando o eixo focal fica sobre o eixo

x, a equação reduzida da hipérbole é dada por

, analogamente, quando o eixo focal

está sobre o eixo y, a equação reduzida da hipérbole é dada por

. Cabe ressaltar

que, em uma hipérbole, a relação pitagórica é verdadeira e a excentricidade,

assim como na elipse, é dada por

.



As assíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que

os pontos se afastam dos focos. Esta aproximação é “contínua” e “lenta” de forma que a

tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito.

Demonstração:



Exemplo 5: Nos exemplos abaixo, determinar para cada uma das hipérboles a) a medida dos

semi-eixos; b) um esboço do gráfico; c) os vértices; d) os focos; e) a excentricidade e f) as

equações as assíntotas:

1 .

2 .



3 .

Lista de Exercícios

1 – Estabeleça as equações reduzidas das parábolas abaixo:

a ) foco F(2, 0) e diretriz d: x + 2 = 0

b ) vértice V(0, 0) e foco F(-3, 0)

2 – Em cada uma das parábolas, determinar o vértice, o foco e a equação da geratriz das

parábolas:

a ) x² = - 12y

b ) y² - x = 0

3 – Determinar os vértices, os focos e a excentricidade das elipses dadas:

a )

b ) 9x² + 5y² - 45 = 0

4 – Determine as equações das elipses abaixo:

a ) eixo maior mede 10 e focos ( 4, 0)

b ) centro C(0, 0), um foco F(

, 0) e um vértice A (1,0)



5 – Determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles abaixo:

a )

b ) x² - 2y² - 8 = 0

6 – Determinar a equação das hipérboles abaixo:

a ) focos F( 5, 0) e vértices V( 3, 0)

b ) focos F(0, 3), e vértices V(0, 2)

Referências

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único. 1ª Ed. – São Paulo: Ática, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. Makron Books, São

Paulo, 1987.

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