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TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

SEMEJANZA DE TRIANGULO

PRACTICA DE CLASE

01.El Permetro de un ( rectngulo es 132 y la suma de los cuadrados de los 3 lados es 6050. Hallar los lados.

02. Hallar x en la figura:

03.Hallar x en la figura:

04. Hallar el rea del tringulo:

05.Los catetos de un tringulo miden: 2 y 3. Hallar la altura relativa a la hipotenusa.

06.Si L1 // L2 // L3. Hallar x.

a) 3b) 4c) 6

d) 8e) 10

07.De la figura hallar m/n. Si L1 // L2 // L3.

a) 1/3b) 3/2c) 4/1

d) 1/4e) 3/408.Hallar AC, si AB = 15, BC = 20 y AD = 6.

09.Hallar CE, si AB = 20, BC = 10 y AC = 21.

a) 10b) 42c) 21

d) 20e) 28

10.Hallar x.

a) 10b) 12c) 15

d) 25e) 30

11.En un tringulo ABC, AB = 16, se traza la mediana BM. Hallar BM, si m (MBC = m (BAC + m (ACB.

a) 12b) 8c) 16

d) 8

e) 8

12.Hallar el lado del cuadrado PQRS. Si AP = 1, SC = 9.

13.Hallar MN, si AB = 9 , BC = 6 , MC = 2 y AB // MN.

a) 2b) 6c) 4

d) 3e) 5

14.Hallar EF. Si BF = 3; AB = 9, AC = 6.

a) 2b) 6c) 4

d) 3e) 5

15.Hallar BC si AN = 3NB = 9

a) 9b) 6c) 5

d) 4e) 7

16. En un tringulo ABC, AB = 27, por el baricentro G, se traza EF paralelo a AC (E sobre AB y F en BC). Hallar BE.

a) 9b) 18c) 25

d) 24e) 15

17.Si ABCD es un cuadrado. Hallar FE.

a) 6b) 8c) 9

d) 10e) 8,518.Hallar PQ, si PQ // AC.

a) 7,5b) 6,5c) 7

d) 6e) N.A.

19.Calcular x. Si AB = 12 y CD = 6.

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) 1

20.Si ; AC=10 MN=4 ; BC=12. Hallar BN.

a) 3,8b) 3,5c) 4

d) 4,8e) 3,5

21.Hallar el lado del cuadrado MNPQ. Si: AC=10 y la altura del tringulo es 12.

a)

b)

c)

d)

e)

22.Si: BE=3 ; EC=5 . Hallar HC

a) 10b) 12c) 16

d) 17e) 19

23.Hallar AB, Si: BN=7 ; MC=5 ; AC=8

a) 8,75b) 9c) 10

d) 9,05e) 9,52

EJERCICIOS PROPUESTOS 01

01.Hallar "MC" si : AB = 8 , TN = 2

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) N.A.

02.Calcular

si : BN = 8 y BC = 17

a) 1b) 3c) 5

d) 7e) N.A

03.En la figura mostrada

= a y

= b. Hallar "AE".

a) 2a+bb) a + bc) a + 2b

d) 0e) N.A

04.En un tringulo acutngulo ABC se traza la altura

y la mediana CM , Calcular el (MCA si BH = MC

a) 10b) 20c) 30

d) 40e) N.A

05.Calcular "x" si

= 2

; Q = Punto medio

; M = Punto medio

.

a) 20b) 21c) 24

d) 25e) N.A

06.El tringulo MNP. Se llama : ("p" un punto cualquiera)

a) Tringulo Podar

b) Tringulo Mediano

c) Tringulo A y B

d) Tringulo Ortico

e) N.A

07.En un tringulo ABC, los ngulos B y C miden 45 y 60 . Qu longitud tiene la altura bajada de A sobre el lado "a" , si el lado "b" mide 10

?

a) 5

b) 8

c) 18 d) 15 e) 12

08.Calcular

si AE = 30

a) 0b) 5c) 10

d) 15e) N.A

09.En la figura ,

es mediatriz de

es altura. Calcular el valor del ngulo A.

a) 9b) 81c) 71

d) 18e) N.A

10.En el grfico hallar

;

a) (2b) 2(2c) 8

d) 4e) N.A

11.Los lados de un tringulo cuiden 8 m, 10 m y 9 m hallar la longitud del segmento que une el incentro con el baricentro

a) 3b) 1/3c) 0,25

d) 0,5e) 1

12.En un tringulo ABC, la mediatriz de

interseca en N al lado

y a la prolongacin de AB en "E". Hallar

, si

= 16 y

= 5

a) 3b) 4c) 8

d) 5e) 7

13.Calcular el permetro de un tringulo, si sus lados miden 12; 2x+5; x-2, adems " x " es un nmero entero

a) 20b) 27c) 30

d) 35e) 31

14.En un tringulo ABC se traza la bisectriz interior

, por D se traza una paralela a

que corta a

en E. Hallar AB, si DE = 3 y BE = AB/3

a) 5b) 4,5c) 4

d) 3e) 6

15.Los tringulos ABC y CDE son equilteros, calcular AD, si BE = 9

a) 12,5b) 10c) 18

d) 9e) 12

16.En la figura, el tringulo ABC es equiltero de 8 cm de lado. Hallar MN, si BN = NC

a) 4b) 8c) 2(3

d) 4(3e) 2(2

17.Calcular uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo, si la distancia de su ortocentro a su circuncentro es igual a uno de sus catetos.

a) 15b) 20c) 30

d) 75e) 45

18.En un tringulo equiltero ABC de 8 cm de lado, por el punto medio D del lado

se traza

perpendicular a

. Hallar la distancia de E al lado

.

a) 2(3 cmb) 3(3 cmc) 4(3 cm

d) (3 cme) 4 cm

19.Cuntos puntos del plano de un tringulo equidistan de sus lados?

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) Ningn punto

20. Determinar el valor de "x" en la sgte figura

a) 3(3b) 4(3c) 4(2

d) 6(2e) 8(2TAREA DOMICILIARIA

01.En la figura mostrada ABCD es un paralelogramo.

= 4 ,

= 2 . Hallar

a) 4b) 2c) 6

d) 8e) 10

02.Hallar la longitud de

si AE = 5 ; BF = 4 y CG = 3

a) 12b) 12/5c) 5/12

d) 5e) 6

03.Los lados del rectngulo miden 20 y 30m respectivamente. Cules son las dimensiones del rectngulo de 360 m de permetro semejante al dado ?

a) 72 y 108 mb) 80 y 100 m

c) 75 y 150 md) 68 y 102 m

e) 96 y 144 m

04.Hallar " x " si AB = BC y BE = BD

a) 10b) 15c) 20

d) 25e) N.A

05.Si las reas de los siguientes tringulos semejantes estn en razn de 9 : 1

Cul ser el valor de x ?

a) 2b) 4c) 5

d) 12/9e) N.A

06.En la figura AB // CD , BC // DE si OA = 12 , OE = 48. Hallar CE

a) 24b) 26c) 28

d) 14e) N.A

07.Hallar PQ si PR = 7

a) 7b) 8c) 9

d) 10e) N.A

08.Hallar EF en funcin de a y b

a)

b)

c)

d)

e) N.a.

09.Hallar : PQ

a) 4b) 5c) 3

d) 6e) N.A

10.Si por el centro de un cuadrado de 40 cm de permetro, se traza una perpendicular al centro de dicho cuadrado, hallar la longitud de dicha perpendicular (H) para que al unir el punto exterior con los vrtices de dicho cuadrado formen 4 tringulos congruentes.

H = perpendicular ; L = lado; R = radio

a) H = Lb) H = L2 (3c) H = R

d) H = 2(R e) N.A

11.La base de un tringulo mide 4 m, calcular la paralela a la base que divide al tringulo en dos partes equivalentes.

a) 3((3 - 1)b) (5 - 2c) 2(2

d) 4((3 - 1)e) N.A

12.

Hallar NC si AB // MP // NQ; AM // PN

a)

b)

c)

d)

e)

13.Si : AB // DC // MN ; AM/MD = 1/4

AB = 7, DC = 17, Hallar MN

a) 6b) 8c) 9

d) 10e) 12

1. TEOREMA DE EUCLIDES (I)

Aplicacin:

Hallar x

Aplicando Euclides:

(10)2 = (10)2 + (8)2 2(10)x

100 = 100 + 64 20x

20x = 64

x = 3,2

2.TEOREMA DE EUCLIDES (II)

Aplicacin:

Hallar x

Aplicando Euclides:

82 = 42 + (4)2 + 2(4) (x)

64 = 16 + 32 + 8x

16 = 8x

x =

TEOREMA DE STEWART (CEVIANA)

Aplicacin:

Hallar EG

Aplicando el T de la Ceviana

x25 = 22 . 3 + (3)2 . 2 (2) (3) (5)

x25 = 12 + 90 30

x25 = 72

X =

TEOREMA DE LA MEDIANA

Aplicacin:

Hallar AM

Aplicando T. De la Mediana

82 + 102 = 2x2 +

64 + 100 = 2x2 +

x =

TEOREMA DE HERN:

Desde: P =

Aplicacin:

Hallar x

Aplicando Hern:

(P = 9

( x =

En la Circunferencia:

T : punto de tangencia

PT : tangente

CD y AB : cuerdas

PB : secante

AP : parte externa de la secante BP

PROPIEDADES:

01.TEOREMA DE LAS CUERDAS:

Si por un punto del interior de una circunferencia se trazan dos cuerdas, se cumple que los productos de los segmentos determinados en cada cuerda son iguales.

Tambin: x . y = a . b

02.TEOREMA DE LA SECANTE:

Si por un punto extensor de una circunferencia se trazan las secantes, se cumple que los productos entre cada secante entero y la respectiva parte externa son iguales.

03.TEOREMA DE LA TANGENTE:

Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante se cumple que tangente al cuadrado es igual al producto de la secante por su parte externa.

Aplicacin:

Hallar x

Solucin:

12 . 4 = (2x) (x)

x = 2

Aplicacin:

Hallar x

Solucin:

42 = (2 + x) 2

8 = 2 + x

x = 6

Aplicacin:

Hallar x

Solucin:

- En el tringulo rectngulo OTB : TB =

- Por propiedad: KT = TB =

- Por teorema de cuerdas:

5 . x = .

x = 1

PRACTICA DE CLASE

01.Hallar "x" :

a) R(

-1)b) R

c) R

d) R(1-

)e) N.A

02.Calcular x si r = 2

a)

/2b)

/4c)

d)

e) N.A

03.Hallar "x" si

=R

a) 2/9Rb) R/9c) R

d) 2Re) N.A

04.Sea un tringulo ABC, inscrito en una circunferencia, la bisectriz exterior del ngulo ( corta a la prolongacin del lado AC en D y el arco AB en E. Hallar BD si AE = 8m y EB = 4m.

a) 5mb) 6mc) 8m

d) 12me) 16m

05.En el sgte grfico calcular el ngulo AED si : CD = tangente; AB=dimetro; DCA=20

a) 160b) 145c) 135

d) 125e) 150

06.Se tiene un tringulo issceles ABC (AB = AC), tomndose AC como dimetro se traza una circunferencia que corta el lado BC en D de modo que BD = 10 m ; luego se traza DE perpendicular a AC de modo que DE = 8 m . Calcular AC.

a) 16b) 16,5c) 16,66

d) 17e) N.A

07.En la figura

= 10, arcoDE = 32. Hallar arcoFG

a) 26b) 42c) 32

d) 48 e) 52

08.dadas dos circunferencias secantes en B y D de radios 2,5 y 6 mts , la perpendicular trazada por D a la cuerda comn corta a la circunferencia menor y mayor en A y C respectivamente, la prolongacin de AB corta a la mayor en E. Hallar EB si AC = 14 m.

a) 1 mb) 0,8 mc) 1,7 m

d) 2,5 m e) 2,7 m

09.Dado un tringulo ABC recto en A, tomando como dimetro AC se describe una circunferencia que corta en M a la hipotenusa y a la prolongacin de la mediana relativa a dicha hipotenusa en N Hallar MN si AB = 4m y BM = 2m.

a)

mb) (3

/2)mc) 2

m

d) 2m e) 4m

10.Hallar "x" . P y Q incentros de los tringulos rectngulos ABH y BHC.

a) 40b) 42c) 45

d) 50e) N.A

11.Hallar "x" . I1 y I2 son incentros de los tringulos rectngulos ABH y BHC

a) 85b) 86c) 88

d) 90e) N.A

12. Hallar el permetro del

PQH. P y Q incentros de los tringulos rectngulos ABH y BHC, adems MN = 20

a) 5b) 10c) 15

d) 20e) N.A

13.En la figura hallar el radio si

= 144. Adems "O" es el centro de la circunferencia.

a) 3(2b) 4c) 12

d) 5e) 6

14.En la figura, calcular la longitud de

a) 3R/5b) R

/5c) 3R

d) 3R

/5e) N.A

15.En la figura :

,

y BC = 17 .

Hallar ED si : AB = 2BC

a) 13b) 15c) 14

d) 16e) N.A

16.Sean las rectas L1 // L2 // L3 Calcular la longitud de

a)

/7b) 2

/7c) 2

d)

/3e) 2

/3

17.Hallar

.

a) 7

/3 .Rb)

/3R

c) 2R

d) R/3

e) R/2 .

18.En la figura : Calcular :

a) 2,5b) 3c) 3,5

d) 4e) 5

19.En la figura :

y

. Calcular

a) a2b) 3a2/2c) a2/2

d) 2a2/3e) a2

20.En el semicrculo mostrado:

son tangentes. Siendo

= 10 ,

= 2,5 . Calcular

a) 2,5b) 2c) 4

d) 5e) 4,5

EJERCICIOS PROPUESTOS 02

01.Si r = 3 y AC = 9 . Calcular

a) 12b) 13c) 14

d) 15e) 16

02.En la figura : O y B. son centros. Los radios mide 6 y 10 . Hallar PE.

a) 8b) 7c) 8,2

d) 2,5e) 7,2

03.Calcular el permetro del tringulo ABC si PQ = 16.

a) 16b) 17c) 18

d) 19e) 20

04.En el grfico si : AO = OB = R y

AD = BC. Hallar "r"

a) 3R/4b) 3R/5c) R/4

d) 2R/5e) 3R/8

05.Si : AO = OB = 7 adems PH = HB = QH.Calcular OP

a) 7((2-1)b) ((2-1)c) 7((2+1)

d) ((2-1)/2e) N.A

06.En un tringulo ABC donde AB = 6, BC = 8 y AC = 9 se traza una circunferencia interior a dicho tringulo que es tangente a los lados

y

en "P" y "Q" respectivamente. calcular OM("O" es centro de la circunferencia de radio igual a 2 y "M" punto medio de

).

a) 7

/2b) 9

/2c)

/2

d) 5

/2e) 3

/2

07.El apotema de un tringulo equiltero inscrito mide 8 cm. Hallar el permetro del hexgono regular inscrito en la misma circunferencia.

a) 96 cmb) 90 cmc) 86 cm

d) 80 cme) N.A

08.En la figura adjunta hallar el radio de la circunferencia inscrita en el tringulo unixtilneo AMD.

a) 3/8.ab) 8/3.ac) 8a

d) 3ae) N.A

09. Hallar EF

a) 8b) 9c) 10

d) 11e) N.A

10.Hallar AB. m // AC

a) 6b) 7c) 8

d) 9e) N.A

11.Hallar "x"

a) 9b) 12c) 18

d) 24e) N.A

12.Hallar "x"

a) 4(3b) 6(3c) 6

d) 12e) 12(3

TAREA DOMICILIARIA

01.Calcular el lado de un tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de dimetro 6m.

a) 6(3b) 3(3c) 4(3

d) 3e) 6

02.Hallar : AB si R = 12 ; r = 3

a) 6b) 9c) 12

d) 15e) N.A

03.En un tringulo ABC (

=75(;

=90() se traza la altura BH y la mediana BM. Hallar el inradio del tringulo BHM

si AC = 12

a) 3b) 4c) 6

d) 8e) N.A

04.En un tringulo rectngulo la suma de los catetos es 20m. La suma del inradio con el circunradio es:

a) 20mb) 15mc) 10m

d) 5m e) N.A

05.Se tiene dos circunferencias O y O' secantes en A y B; se trazan los dimetros AOC y AO'D. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de

y

si CD = 8m

a) 1mb) 2mc) 3m

d) 4m e) 5m

06.Los catetos de un tringulo rectngulo miden 6m y 8m tomando como dimetros dichos catetos se trazan semicircunferencias las cuales determinan los puntos 'E" y "F" sobre la hipotenusa. Cul es la longitud de EF?

a) 2m b) 1mc) 1,4m

d) 1,5m e) 0 m

07.En un tringulo ABC se traza la circunferencia ex-inscrita relativa a BC, la prolongacin de AB es tangente a la circunferencia en "M". Hallar el permetro del tringulo ACB, si AM = 28.

a) 28b) 56c) 14

d) 42e) N.A

08.El rea del cuadrado inscrito en un semicrculo es al rea del cuadrado inscrito en el crculo completo como:

a) 1:2b) 2:5c) 2:3

d) 3:5e) 6:4

09.En una circunferencia se traza una cuerda

cuyo punto medio es M, por M se traza la cuerda

tal que CM = 4 y MD = 2. Hallar AB.

a) 8b) 4c) 4(2

d) 3(2e) (6

10.Calcular AF, si DC = CB = BA, FC = 6,

CE = 2

a) 4b) 5c) 6

d) 10e) 8

11.Por un punto exterior a una circunferencia se traza una secante cuya parte externa mide 4 y su parte interna mide 8, por el mismo punto se traza otra secante cuya parte externa mide 3. calcular la parte interna de la ltima secante trazada.

a) 16b) 10c) 12

d) 15e) 6

12.Un rectngulo se inscribe en una circunferencia de radio 5, si uno de sus lados mide 6. Hallar su otro lado desigual.

a) 7b) 6c) 8

d)

e) 11

13.El radio de la circunferencia mide (2, adems

AB = L3 , AC = L4. Hallar BC

a) (2+(6b) (2+(6c) (3+1

d) (3+2e) N.A

14.

y

son dos dimetros perpendiculares de un circulo de centro O.

es cualquier cuerda que pase por A. Dicha cuerda intersecta a

en el punto P. Entonces

.

es igual a:

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

e)

.

15.Hallar "x" (O centro)

a) 9,1b) 7,1c) 8,1

d) 5,1e) 4,1

16.De la figura : calcular "AC" CF = 6; ED = 5 y AB = 5(6.

a) 6b) 10c) 7

d) 8e) 9

17.De la figura, ABCD es un cuadrado, calcular MD, si AD = 5 ,

PB = 7.

a) 60/13b) 13/60c) 60/17

d) 17/60e) N.A

18.Si : R/r = 5/3 Hallar : AM

Si : MB = 4

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) 6

19.Hallar "BT" si AB = 4 y BC = 9

a) 5b) 6c) 7

d) 8e) 9

20.La interseccin de las mediatrices de tres cuerdas cualquiera no es el centro de una circunferencia

PORQUE

El punto de interseccin vara de acuerdo a las longitudes de las cuerdas

En el tringulo ABC

a y b : catetos

c : hipotenusa

m: proyeccin de a sobre C

n: proyeccin de b sobre C

h: altura relativa a la hipotenusa C

Propiedades:

01.Un cateto elevado al cuadrado es igual al producto de la hipotenusa por su proyeccin.

Aplicacin:

Hallar a

Solucin: (a2 = (7) (3)

a =

Solucin: (

b2 = (7) (4)

b = 2

02.El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa y su altura relativa a ella.

Aplicacin:

Halla x

Solucin: Segn el grfico la hipotenusa mide 5 luego por propiedad se cumple.

(3) (4) = (5) (x)

( x = 12/5

Aplicacin: Hallar

Rpta: ............................................................

03.La altura relativa a la hipotenusa de un tringulo rectngulo al cuadrado es igual al producto de las proyecciones de los catetos.

Aplicacin:

Hallar x

Solucin:

X2 = (3) (2)

X =

Aplicacin: Hallar x

Rpta: ..........................................................

04.En todo tringulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Aplicacin:

Hallar x

Solucin:

22 + 32 = x2

4 + 9 = x2

x =

Aplicacin:

Halla x

Rpta: ...........................................................

05.En todo tringulo rectngulo se cumple que la inversa del cuadrado de la altura es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos.

PRCTICA DE CLASE

01.Hallar "MC" si : AB = 8 , TN = 2

a) 1 b) 2c) 3

d) 4e) N.A.

02.Calcular

si : BN = 8 y BC = 17

a) 1b) 3c) 5

d) 7e) N.A

03.En la figura mostrada

= a y

= b. Hallar "AE".

a) 2a+bb) a + bc) a + 2b

d) 0e) N.A

04.En un tringulo acutngulo ABC se traza la altura

y la mediana CM , Calcular el (MCA si BH = MC

a) 10b) 20c) 30

d) 40e) N.A

05.Calcular "x" si

= 2

; Q = Punto medio

;

M = Punto medio

.

a) 20b) 21c) 24

d) 25e) N.A

06.El tringulo MNP. Se llama : ("p" un punto cualquiera)

a) Tringulo Podar

b) Tringulo Mediano

c) Tringulo A y B

d) Tringulo Ortico

e) N.A

07.En un tringulo ABC, los ngulos B y C miden 45 y 60 . Qu longitud tiene la altura bajada de A sobre el lado "a" , si el lado "b" mide 10

?

a) 5

b) 8

c) 18

d) 15e) 12

08.Calcular

si AE = 30

a) 0b) 5c) 10

d) 15e) N.A

09.En la figura ,

es mediatriz de

es altura. Calcular el valor del ngulo A.

a) 9b) 81c) 71

d) 18e) N.A

10.En el grfico hallar

;

a) (2b) 2(2c) 8

d) 4e) N.A

11.Los lados de un tringulo cuiden 8 m, 10 m y 9 m hallar la longitud del segmento que une el incentro con el baricentro

a) 3 b) 1/3c) 0,25

d) 0,5e) 1

12.En un tringulo ABC, la mediatriz de

interseca en N al lado

y a la prolongacin de AB en "E". Hallar

, si

= 16 y

= 5

a) 3b) 4c) 8

d) 5e) 7

13.Calcular el permetro de un tringulo, si sus lados miden 12; 2x+5; x-2, adems " x " es un nmero entero

a) 20b) 27c) 30

d) 35e) 31

14.En un tringulo ABC se traza la bisectriz interior

, por D se traza una paralela a

que corta a

en E. Hallar AB, si DE = 3 y BE = AB/3

a) 5b) 4,5c) 4

d) 3e) 6

15.Los tringulos ABC y CDE son equilteros, calcular AD, si BE = 9

a) 12,5b) 10c) 18

d) 9e) 12

16.En la figura, el tringulo ABC es equiltero de 8 cm de lado. Hallar MN, si BN = NC

a) 4b) 8c) 2(3

d) 4(3e) 2(2

17.Calcular uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo, si la distancia de su ortocentro a su circuncentro es igual a uno de sus catetos.

a) 15b) 20c) 30

d) 75e) 45

18.En un tringulo equiltero ABC de 8 cm de lado, por el punto medio D del lado

se traza

perpendicular a

. Hallar la distancia de E al lado

.

a) 2(3 cmb) 3(3 cmc) 4(3 cm

d) (3 cme) 4 cm

19.Cuntos puntos del plano de un tringulo equidistan de sus lados?

a) 1b) 2c) 3

d) 4e) Ningn punto

20. Determinar el valor de "x" en la sgte figura

a) 3(3b) 4(3c) 4(2

d) 6(2e) 8(2

EJERCICIOS PROPUESTOS 03

01.En un tringulo dos lado miden 9 cm y 7 cm. Hallar el permetro (2p) del tringulo sabiendo que el tercer lado es el doble de uno de los otros dos.

a) 35 cmb) 25 cmc) 30 cm

d) 34 cme) N.A

02.Los lados de un tringulo ABC miden AB = 4, BC = 5, AC = 6. Hallar el mayor segmento que determina la altura

sobre el lado

a) 3b) 3,8c) 3,9

d) 3,75e) 3,85

03.Del grfico mostrado; hallar x

a) (3b) 3c) 4

d) 6e) 7

04.La base de un tringulo mide 15 m, se trazan dos rectas paralelas a la base, dividiendo en tres superficies equivalentes. calcular la longitud del segmento paralelo ms cercano a la base

a) 3(3 mb) 4(2 mc) 5m

d) 5(6 me) 7,5 m

05.En un tringulo ABC cuyo lado AB mide 12m, se toma un punto M y se traza

paralela a

de tal manera que el tringulo quede dividido en la relacin de 1 es a 3. Calcular la longitud de

.

a) 10mb) 8mc) 6m

d) 4me) 7m

06.La diferencia de 2 lados de un tringulo es de 3 cm.; la bisectriz trazada del vrtice del ngulo formado por estos lados determina en el lado opuesto, segmentos de 12 y 14 cm. Hallar los lados que forman el ngulo.

a) 18 y 21 cmb) 19 y 20 cmc) 20 y 23

d) 16 y 19e) N.A

07. Si : = 11, = 7, 8. Hallar :

a) 16b) 17,8c)

d)

e) 19,5

08.Si los lados de un tringulo miden: 3, 3 y 7 cm respectivamente. Qu tipo de tringulo es :

a) Rectngulob) Isscelesc) Equiltero

d) Equinguloe) N.A

09.Dos lados diferentes de un tringulo issceles miden 12 y 5 metros. Hallar su permetro .

a) 24mb) 20mc) 17m

d) 22me)N.A

10.En un tringulo rectngulo cuya hipotenusa mide 48. Hallar la distancia del punto medio de la median relativa a la hipotenusa al baricentro del tringulo rectngulo.

a) 8b) 10c) 4

d) 2e) N.A

11.Hallar "x"

a) 4b) 5c) 6

d) 7e) N.A

12.Por el vrtice " B " de un tringulo ABC se trazan perpendiculares, y a las bisectrices interiores de los ngulos C y A respectivamente.

Calcular si + =14 y =10

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) N.A

13.Si BH = 2. Hallar AD

a) 4b) 5c) 6

d) 7e) 8

14.En un tringulo ABC la bisectriz del ngulo B y la mediatriz de se intersectan. Cul de los grficos es correcto ?

e) N.A

15.La relacin correcta es: (Ver figura)

a) m + a + z = n + b + k

b) abz = mnk

c) maz = nbk

d) maz = kzn

e) mna = kzb

16.En un tringulo rectngulo los catetos estn en la relacin de 3 a 4. Hallar la hipotenusa si el rea de dicho tringulo es 48.

a) 20b) 30c) 40

d) 45e) N.A

17.En un tringulo recto ABC, recto en B, la mediatriz de corta en "P".

Si = 2. Hallar .

a) 30b) 15c) 45

d) 25e) 20

18.Hallar el mnimo permetro de un tringulo, sabiendo que sus lados son tres nmeros pares consecutivos y que el mayor ngulo es el doble del menor.

a) 18 unidades

b) 30 unidades

c) 48 unidades

d) 60 unidades

e) 120 unidades

19.En un tringulo ABC, escaleno se construyen los tringulos equilteros ABR y BCQ.

Hallar : AQ si CR = 10(3

a) 10(3b) 20(3c) 25(3

d) 30(3e) N.A

20.En la figura hallar "x" si AP = PB y PC = 2AB

a) 18b) 19c) 17

d) 20e) N.A

TAREA DOMICILIARIA

01.Hallar

, si

=

,

= 8,

= 6 y CQ es bisectriz

a) 4b) 3c) 3/4

d) 4/3e) 2

02.Hallar: AC, si AB = 8 y BC = 15.

a) 17b) 18c) 19

d) 20e) 21

03.Hallar AB, si AH = 3 y AC = 12.

a) 4b) 5c) 6

d) 7e) 8

04.Hallar BH. Si AH = 1, HC = 4.

05.Hallar AH, si AB = 2 y AC = 5.

a) 0,2b) 0,4c) 0,6

d) 0,8e) 1,2

06.Hallar BH, si AB = 15, BC = 20.

a) 9b) 12c) 16

d) 6e) 8

07.Hallar: BC, si AD = 18; DC = 7, AB = BD.

a) 15b) 12c) 11

d) 12,5e) 20

08.Calcular r, si P y Q son puntos de tangencia.

a) 6b) 8c) 10

d) 12e) 16

09.Si AB = 6; PQ = 8; OF = 2. Hallar OH.

a)

b)

c)

d)

e)

10.Hallar R.

a) 8b) 9c) 10

d) 12e) 3

11.Se pide x.

a) 5b) 7c) 11d) 6e) 10

12. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, se traza la mediana BM, tal que AB=BM=6. Hallar la altura relativa a la hipotenusa.

a) 3b) 6

c) 3

d) 2e) 2

13.Hallar r si el lado del cuadrado ABCD es 32.

a) 8b) 9c) 10

d) 8,5e) 9,5

SOLUCIONARIO

NEjercicios Propuestos

010203

01DAC

02CCD

03AAB

04CED

05CAC

06ACA

07DBC

08CAE

09BAE

10BDC

11BDA

12BA

13BA

14BC

15DC

16DA

17CC

18BB

19DA

20BA

SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD

RELACIONES MTRICAS EN EL TRINGULO RECTNGULO

RELACIONES MTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Y EN LOS TRINGULOS OBLICUNGULOS

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