geometria eppipolarna
TRANSCRIPT
Geometria epipolarna
Krzysztof Wegner
Politechnika PoznańskaKatedra Telekomunikacji Multimedialnej i Mikroelektroniki
15 grudnia 2014
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 1 / 118
Definicja i oznaczenia
Skalary zMacierze APołożenie punktu w przestrzeni trójwymiarowej M = [X , Y , Z ]TPołożenie punktu na płaszczyźnie obrazu m = [u, v , 1]T
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 2 / 118
Model kamery otworkowej
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 3 / 118
Parametry wewnętrzne kamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 4 / 118
Parametry wewnętrzne kamery
m = [u, v , 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T
u = f XkameryZkamery
v = f YkameryZkamery
m =[f Xkamery
Zkamery, f Ykamery
Zkamery, 1
]T
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 5 / 118
Parametry wewnętrzne kamery
m = [u, v , 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T
u = f XkameryZkamery
v = f YkameryZkamery
m =[f Xkamery
Zkamery, f Ykamery
Zkamery, 1
]T
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 5 / 118
Parametry wewnętrzne kamery
m = [u, v , 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T
u = f XkameryZkamery
v = f YkameryZkamery
m =[f Xkamery
Zkamery, f Ykamery
Zkamery, 1
]T
/ · Zkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 6 / 118
Parametry wewnętrzne kamery
m = [u, v , 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T
u = f XkameryZkamery
v = f YkameryZkamery
Zkamery m = [f Xkamery , f Ykamery , Zkamery ]T
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 7 / 118
Parametry wewnętrzne kamery
m = [u, v , 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T
u = f XkameryZkamery
v = f YkameryZkamery
Zkamery m =
f 0 00 f 00 0 1
[Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 8 / 118
Parametry wewnętrzne kamery
m = [u, v , 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T
u = f XkameryZkamery
v = f YkameryZkamery
Zkamery m =
f 0 00 f 00 0 1
Xkamery
YkameryZkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 9 / 118
Parametry wewnętrzne kamery
m = [u, v , 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T
u = f XkameryZkamery
v = f YkameryZkamery
Zkamery m =
f 0 00 f 00 0 1
M
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 10 / 118
Parametry wewnętrzne kamery
m = [u, v , 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T
u = f XkameryZkamery
v = f YkameryZkamery
Zkamery m = K M
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 11 / 118
Parametry wewnętrzne kamery
m = [u, v , 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T
K =
f 0 00 f 00 0 1
Zkamery m = K M
K - macierz parametrów wewnętrznych kamery.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 12 / 118
Parametry wewnętrzne kamery
m = [u, v , 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T
K =
f 0 00 f 00 0 1
Zkamery m = K M
K - macierz parametrów wewnętrznych kamery.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 12 / 118
Punkt główny kamery
Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]TRzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m′ = K′M
m = m′ + o
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 13 / 118
Punkt główny kamery
Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]TRzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m′ = K′M
m = m′ + o/ · Zkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 14 / 118
Punkt główny kamery
Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]TRzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m′ = K′M
Zkamery m = Zkamery m′ + Zkamery o
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 15 / 118
Punkt główny kamery
Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]TRzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m′ = K′M
Zkamery m = K′M + Zkamery o
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 16 / 118
Punkt główny kamery
Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]TRzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m′ = K′M
Zkamery m = K′M +
0 0 ou0 0 ov0 0 0
Xkamery
YkameryZkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 17 / 118
Punkt główny kamery
Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]TRzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m′ = K′M
Zkamery m =
f 0 00 f 00 0 1
M +
0 0 ou0 0 ov0 0 0
M
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 18 / 118
Punkt główny kamery
Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]TRzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m′ = K′M
Zkamery m =
f 0 00 f 00 0 1
+
0 0 ou0 0 ov0 0 0
M
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 19 / 118
Punkt główny kamery
Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]TRzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m′ = K′M
Zkamery m =
f 0 ou0 f ov0 0 1
M
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 20 / 118
Punkt główny kamery
Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]TRzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m′ = K′M
Zkamery m = K M
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 21 / 118
Punkt główny kamery
Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]TRzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m′ = K′M
Zkamery m = K M K =
f 0 ou0 f ov0 0 1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 22 / 118
Punkty obrazu - pixelePołożenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
uv1
=
u′
suv ′
sv1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 23 / 118
Punkty obrazu - pixelePołożenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
uv1
=
u′
suv ′
sv1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 23 / 118
Punkty obrazu - pixelePołożenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
uv1
=
u′
suv ′
sv1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 23 / 118
Punkty obrazu - pixelePołożenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
uv1
=
u′
suv ′
sv1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 23 / 118
Punkty obrazu - pixelePołożenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
uv1
=
1su
0 00 1
sv0
0 0 1
u′
v ′1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 24 / 118
Punkty obrazu - pixelePołożenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
m =
1su
0 00 1
sv0
0 0 1
m′
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 25 / 118
Punkty obrazu - pixelePołożenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
m =
1su
0 00 1
sv0
0 0 1
m′/ · Zkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 26 / 118
Punkty obrazu - pixelePołożenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
Zkamery m =
1su
0 00 1
sv0
0 0 1
Zkamery m′
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 27 / 118
Punkty obrazu - pixelePołożenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
Zkamery m =
1su
0 00 1
sv0
0 0 1
K′M
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 28 / 118
Punkty obrazu - pixelePołożenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
Zkamery m =
1su
0 00 1
sv0
0 0 1
f 0 o′u0 f o′v0 0 1
M
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 29 / 118
Punkty obrazu - pixelePołożenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
Zkamery m =
fsu
0 o′u
su
0 fsv
o′v
sv0 0 1
M
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 30 / 118
Punkty obrazu - pixele
Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresupróbkowania.
Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementuświatłoczułego su × sv
Zkamery m = K M
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 31 / 118
Macierz parametrów wewnętrznych
K =
fsu
0 o′u
su
0 fsv
o′v
sv0 0 1
fsu
= fu długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi ufsv
= fv długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi vo′
usu
= ou położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresupróbkowania wzdłuż osi uo′
vsv
= ov położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresupróbkowania wzdłuż osi v
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 32 / 118
Macierz parametrów wewnętrznych
K =
fsu
0 o′u
su
0 fsv
o′v
sv0 0 1
fsu
= fu długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi u
fsv
= fv długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi vo′
usu
= ou położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresupróbkowania wzdłuż osi uo′
vsv
= ov położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresupróbkowania wzdłuż osi v
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 32 / 118
Macierz parametrów wewnętrznych
K =
fsu
0 o′u
su
0 fsv
o′v
sv0 0 1
fsu
= fu długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi ufsv
= fv długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi v
o′u
su= ou położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresu
próbkowania wzdłuż osi uo′
vsv
= ov położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresupróbkowania wzdłuż osi v
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 32 / 118
Macierz parametrów wewnętrznych
K =
fsu
0 o′u
su
0 fsv
o′v
sv0 0 1
fsu
= fu długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi ufsv
= fv długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi vo′
usu
= ou położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresupróbkowania wzdłuż osi u
o′v
sv= ov położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresu
próbkowania wzdłuż osi v
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 32 / 118
Macierz parametrów wewnętrznych
K =
fsu
0 o′u
su
0 fsv
o′v
sv0 0 1
fsu
= fu długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi ufsv
= fv długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi vo′
usu
= ou położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresupróbkowania wzdłuż osi uo′
vsv
= ov położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresupróbkowania wzdłuż osi v
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 32 / 118
Macierz parametrów wewnętrznych
K =
fu 0 ou0 fv ov0 0 1
fsu
= fu długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi ufsv
= fv długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłużosi vo′
usu
= ou położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresupróbkowania wzdłuż osi uo′
vsv
= ov położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresupróbkowania wzdłuż osi v
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 33 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 34 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 35 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 36 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
T = [tx , ty , tz ]T
R =
r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33
M = T + R−1 Mkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 37 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
T = [tx , ty , tz ]T
R =
r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33
M = T + R−1 Mkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 37 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
T = [tx , ty , tz ]T
R =
r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33
M = T + R−1 Mkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 37 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
T = [tx , ty , tz ]T
R =
r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33
M = T + R−1 Mkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 37 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
T = [tx , ty , tz ]T
R =
r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33
M = T + R−1 Mkamery/ − T
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 38 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
T = [tx , ty , tz ]T
R =
r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33
M − T = R−1 Mkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 39 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
T = [tx , ty , tz ]T
R =
r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33
M − T = R−1 Mkamery/R·
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 40 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
T = [tx , ty , tz ]T
R =
r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33
R (M − T) = RR−1 Mkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 41 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
T = [tx , ty , tz ]T
R =
r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33
R (M − T) = Mkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 42 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
T = [tx , ty , tz ]T
R =
r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33
R[I −T
] [M1
]= Mkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 43 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
T = [tx , ty , tz ]T
R =
r11 r12 r13r21 r22 r23r31 r32 r33
[R −R T
] [M1
]= Mkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 44 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Mkamery
Rt =[R −R T
]
Rt =
r11 r12 r13 t ′xr21 r22 r23 t ′yr31 r32 r33 t ′z
Rt[M1
]= Mkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 45 / 118
Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej
Zkamery m = K Rt[M1
]
Rt =[R −R T
]
Rt =
r11 r12 r13 t ′xr21 r22 r23 t ′yr31 r32 r33 t ′z
Rt[M1
]= Mkamery
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 46 / 118
Parametry zewnętrzne kamery
Zkamery m = K Rt[M1
]
Rt =[R −R T
]
Rt =
r11 r12 r13 t ′xr21 r22 r23 t ′yr31 r32 r33 t ′z
Macierz Rt nazywamymacierzą parametrówzewnętrznych kamery.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 47 / 118
Głębia punktu M
Zkamery m = K Rt[M1
]
Odległość Zkamery nazywa sięgłębią punktu M i oznacza z .
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 48 / 118
Głębia punktu M
z m = K Rt[M1
]
Odległość Zkamery nazywa sięgłębią punktu M i oznacza z .
Informacja o głębi punktu Mjest bezpowrotnie tracona wwyniku rzutowania.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 49 / 118
Głębia punktu M
z m = K Rt[M1
]
Odległość Zkamery nazywa sięgłębią punktu M i oznacza z .
Informacja o głębi punktu Mjest bezpowrotnie tracona wwyniku rzutowania.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 49 / 118
Macierz projekcji
Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę
z m = K Rt[M1
]
P = K Rt
Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery.Macierz K nazywamy macierzą parametrów wewnętrznych kamery.Macierz Rt nazywamy macierzą parametrów zewnętrznych kamery.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 50 / 118
Macierz projekcji
Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę
z m = K Rt[M1
]
P = K Rt
Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery.Macierz K nazywamy macierzą parametrów wewnętrznych kamery.Macierz Rt nazywamy macierzą parametrów zewnętrznych kamery.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 50 / 118
Macierz projekcji
Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę
z m = K Rt[M1
]
P = K Rt
Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery.
Macierz K nazywamy macierzą parametrów wewnętrznych kamery.Macierz Rt nazywamy macierzą parametrów zewnętrznych kamery.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 50 / 118
Macierz projekcji
Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę
z m = K Rt[M1
]
P = K Rt
Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery.Macierz K nazywamy macierzą parametrów wewnętrznych kamery.
Macierz Rt nazywamy macierzą parametrów zewnętrznych kamery.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 50 / 118
Macierz projekcji
Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę
z m = K Rt[M1
]
P = K Rt
Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery.Macierz K nazywamy macierzą parametrów wewnętrznych kamery.Macierz Rt nazywamy macierzą parametrów zewnętrznych kamery.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 50 / 118
Macierz projekcji
Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę
z m = P[M1
]
P = K Rt
Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery.Macierz K nazywamy macierzą parametrów wewnętrznych kamery.Macierz Rt nazywamy macierzą parametrów zewnętrznych kamery.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 51 / 118
Macierz projekcji
Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę
z m = P[M1
]
P = K[R −R T
]Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery.Macierz K nazywamy macierzą parametrów wewnętrznych kamery.Macierz R i wektor T określa położenie kamery w globalnych układziewspółrzędnych.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 52 / 118
Geometria Epipolarna
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 53 / 118
Linia Epipolarna
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 54 / 118
Linia Epipolarna
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 55 / 118
Linia Epipolarna
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 56 / 118
Linia Epipolarna
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 57 / 118
Linia Epipolarna
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 58 / 118
Linia Epipolarna
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 59 / 118
Linia Epipolarna
Dysponujemy tylko położeniem m1.
Chcemy znaleźć potencjalnepołożenie punktu m2.
z1 m1 = P1
[M1
]
Macierz projekcji P1 nie odwracalna.
Rozszerzamy macierz projekcji.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
Linia Epipolarna
Dysponujemy tylko położeniem m1.
Chcemy znaleźć potencjalnepołożenie punktu m2.
z1 m1 = P1
[M1
]
Macierz projekcji P1 nie odwracalna.
Rozszerzamy macierz projekcji.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
Linia Epipolarna
Dysponujemy tylko położeniem m1.
Chcemy znaleźć potencjalnepołożenie punktu m2.
z1 m1 = P1
[M1
]
Macierz projekcji P1 nie odwracalna.
Rozszerzamy macierz projekcji.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
Linia Epipolarna
Dysponujemy tylko położeniem m1.
Chcemy znaleźć potencjalnepołożenie punktu m2.
z1 m1 = P1
[M1
]
Macierz projekcji P1 nie odwracalna.
Rozszerzamy macierz projekcji.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
Linia Epipolarna
Dysponujemy tylko położeniem m1.
Chcemy znaleźć potencjalnepołożenie punktu m2.
z1 m1 = P1
[M1
]
Macierz projekcji P1 nie odwracalna.
Rozszerzamy macierz projekcji.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
Linia Epipolarna
Dysponujemy tylko położeniem m1.
Chcemy znaleźć potencjalnepołożenie punktu m2.
z1 m1 = P1
[M1
]
Macierz projekcji P1 nie odwracalna.
Rozszerzamy macierz projekcji.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
Macierz projekcji
z1 m1 = P1
[M1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 61 / 118
Macierz projekcji
[z1 m11
]=
[P1wT
] [M1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 62 / 118
Macierz projekcji
[z1 m11
]=
[P1wT
] [M1
]
w = [0, 0, 0, 1]T
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 63 / 118
Macierz projekcji
[z1 m11
]=
[P1wT
] [M1
]
w = [0, 0, 0, 1]T
w =[0T 1
]T
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 64 / 118
Macierz projekcji
[z1 m11
]= P′1
[M1
]
P′1 =[
P1wT
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 65 / 118
Macierz projekcji
[z1 m11
]= P′1
[M1
]
P′1 =[
P1wT
]
P1 = K1[R1 −R1 T1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 66 / 118
Macierz projekcji
[z1 m11
]= P′1
[M1
]
P′1 =[
P1wT
]=
[K1 00T 1
] [R1 −R1 T10T 1
]
P1 = K1[R1 −R1 T1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 67 / 118
Macierz projekcji
[z1 m11
]= P′1
[M1
]
P′1 =[
P1wT
]=
[K1 00T 1
] [R1 −R1 T10T 1
]=
[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
]
P1 = K1[R1 −R1 T1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 68 / 118
Linia Epipolarna
Dysponujemy tylko położeniem m1.
Chcemy znaleźć potencjalnepołożenie punktu m2.
[z1 m11
]= P′1
[M1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 69 / 118
Linia Epipolarna
Dysponujemy tylko położeniem m1.
Chcemy znaleźć potencjalnepołożenie punktu m2.
[z1 m11
]= P′1
[M1
]/P′1
−1·
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 70 / 118
Linia Epipolarna
Dysponujemy tylko położeniem m1.
Chcemy znaleźć potencjalnepołożenie punktu m2.
P′1−1
[z1 m11
]=
[M1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 71 / 118
Linia Epipolarna
Dysponujemy tylko położeniem m1.
Chcemy znaleźć potencjalnepołożenie punktu m2.
P′1−1
[z1 m11
]=
[M1
]
Punkt m2 jest obrazem punktu M napłaszczyźnie obrazu kamery 2.
[z2 m21
]= P′2
[M1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 72 / 118
Linia Epipolarna
Dysponujemy tylko położeniem m1.
Chcemy znaleźć potencjalnepołożenie punktu m2.
P′1−1
[z1 m11
]=
[M1
]
Punkt m2 jest obrazem punktu M napłaszczyźnie obrazu kamery 2.
[z2 m21
]= P′2 P′1
−1[z1 m11
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 73 / 118
Linia Epipolarna
[z2 m21
]= P′2 P′1
−1[z1 m11
]
Parametryczny opis linii epipolarnejl1.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 74 / 118
Odwrotność macierzy projekcji
P′1 =[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
]
P′1−1 =
[R1−1 K1
−1 T10T 1
]
I = P′1 P′1−1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 75 / 118
Odwrotność macierzy projekcji
P′1 =[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
]
P′1−1 =
[R1−1 K1
−1 T10T 1
]
I =[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
] [R1−1 K1
−1 T10T 1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 76 / 118
Odwrotność macierzy projekcji
[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
][R1−1 K1
−1 T10T 1
] [� �� �
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 77 / 118
Odwrotność macierzy projekcji
[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
][R1−1 K1
−1 T10T 1
] [R1−1 K1
−1 K1 R1 �� �
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 78 / 118
Odwrotność macierzy projekcji
[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
][R1−1 K1
−1 T10T 1
] [R1−1 K1
−1 K1 R1 −R1−1 K1
−1 K1 R1 T1 + T1� �
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 79 / 118
Odwrotność macierzy projekcji
[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
][R1−1 K1
−1 T10T 1
] [R1−1 K1
−1 K1 R1 −R1−1 K1
−1 K1 R1 T1 + T10T �
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 80 / 118
Odwrotność macierzy projekcji
[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
][R1−1 K1
−1 T10T 1
] [R1−1 K1
−1 K1 R1 −R1−1 K1
−1 K1 R1 T1 + T10T 1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 81 / 118
Odwrotność macierzy projekcji
[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
][R1−1 K1
−1 T10T 1
] [R1−1 I R1 −R1
−1 I R1 T1 + T10T 1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 82 / 118
Odwrotność macierzy projekcji
[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
][R1−1 K1
−1 T10T 1
] [R1−1 R1 −R1
−1 R1 T1 + T10T 1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 83 / 118
Odwrotność macierzy projekcji
[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
][R1−1 K1
−1 T10T 1
] [I −T1 + T1
0T 1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 84 / 118
Odwrotność macierzy projekcji
[K1 R1 −K1 R1 T1
0T 1
][R1−1 K1
−1 T10T 1
] [I 0
0T 1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 85 / 118
Linia epipolarna
P′1−1 =
[R1−1 K1
−1 T10T 1
]
P′2 =[K2 R2 −K2 R2 T2
0T 1
]
[z2 m21
]= P′2 P′1
−1[z1 m11
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 86 / 118
Linia epipolarna
P′1−1 =
[R1−1 K1
−1 T10T 1
]
P′2 =[K2 R2 −K2 R2 T2
0T 1
]
[z2 m21
]=
[K2 R2 −K2 R2 T2
0T 1
] [R1−1 K1
−1 T10T 1
] [z1 m11
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 87 / 118
Linia epipolarna
P′1−1 =
[R1−1 K1
−1 T10T 1
]
P′2 =[K2 R2 −K2 R2 T2
0T 1
]
[z2 m21
]=
[K2 R2 R1
−1 K1−1 K2 R2 (T1 − T2)
0T 1
] [z1 m11
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 88 / 118
Linia epipolarna
P′1−1 =
[R1−1 K1
−1 T10T 1
]
P′2 =[K2 R2 −K2 R2 T2
0T 1
]
[z2 m21
]=
[K2 R2 R1
−1 K1−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
1
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 89 / 118
Linia epipolarna
P′1−1 =
[R1−1 K1
−1 T10T 1
]
P′2 =[K2 R2 −K2 R2 T2
0T 1
]
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 90 / 118
Linia epipolarna
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów.
z ′2 m2′ dla z1 = 0
z ′′2 m2′′ dla z1 = 1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 91 / 118
Linia epipolarna
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów.
z ′2 m2′ dla z1 = 0
z ′′2 m2′′ dla z1 = 1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 91 / 118
Linia epipolarna
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów.
z ′2 m2′ dla z1 = 0
z ′′2 m2′′ dla z1 = 1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 91 / 118
Linia epipolarna
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów.
z ′2 m2′ dla z1 = 0 mamy
z ′2 m2′ = K2 R2 (T1 − T2)
z ′′2 m2′′ dla z1 = 1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 92 / 118
Linia epipolarna
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów.
z ′2 m2′ dla z1 = 0 mamy
z ′2 m2′ = K2 R2 (T1 − T2)
z ′′2 m2′′ dla z1 = 1 mamy
z ′′2 m2′′ = K2 R2 R1
−1 K1−1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 93 / 118
Linia epipolarna
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów.
z ′2 m2′ dla z1 = 0 mamy
z ′2 m2′ = K2 R2 (T1 − T2)
z ′′2 m2′′ dla z1 = 1 mamy
z ′′2 m2′′ = K2 R2 R1
−1 K1−1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
l1 = (z ′2 m2′) × (z ′′2 m2
′′)
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 94 / 118
Linia epipolarna
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów.
z ′2 m2′ dla z1 = 0 mamy
z ′2 m2′ = K2 R2 (T1 − T2)
z ′′2 m2′′ dla z1 = 1 mamy
z ′′2 m2′′ = K2 R2 R1
−1 K1−1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
l1 = (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 R1−1 K1
−1 m1 + K2 R2 (T1 − T2))
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 95 / 118
Linia epipolarna
l1 = (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 R1−1 K1
−1 m1 + K2 R2 (T1 − T2))
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 96 / 118
Linia epipolarna
l1 = (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 R1−1 K1
−1 m1)+ (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 (T1 − T2))
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 97 / 118
Linia epipolarna
l1 = (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 R1−1 K1
−1 m1)
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 98 / 118
Iloczyn wektorowy
Macierzą [a]× nazywamy macierz
[a]× =
0 −a3 a2a3 0 −a1
−a2 a1 0
a × b = [a]× b
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 99 / 118
Linia epipolarna
l1 = (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 R1−1 K1
−1 m1)
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 100 / 118
Linia epipolarna
l1 = [K2 R2 (T1 − T2)]×K2 R2 R1−1 K1
−1 m1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 101 / 118
Macierz fundametalna
l1 = [K2 R2 (T1 − T2)]×K2 R2 R1−1 K1
−1 m1
F = [K2 R2 (T1 − T2)]×K2 R2 R1−1 K1
−1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 102 / 118
Macierz fundametalna
l1 = [K2 R2 (T1 − T2)]×K2 R2 R1−1 K1
−1 m1
F = [K2 R2 (T1 − T2)]×K2 R2 R1−1 K1
−1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 102 / 118
Macierz fundametalna
l1 = F m1
F = [K2 R2 (T1 − T2)]×K2 R2 R1−1 K1
−1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 103 / 118
Linia Epipolarna
Linia epipolarna punktu m1
l1 = F m1
Dla dowolnego punktu m leżącegona prostej l1 prawdziwe jest
mT l1 = 0
W szczególności wiec
m2T l1 = 0
m2T F m1 = 0
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
Linia Epipolarna
Linia epipolarna punktu m1
l1 = F m1
Dla dowolnego punktu m leżącegona prostej l1 prawdziwe jest
mT l1 = 0
W szczególności wiec
m2T l1 = 0
m2T F m1 = 0
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
Linia Epipolarna
Linia epipolarna punktu m1
l1 = F m1
Dla dowolnego punktu m leżącegona prostej l1 prawdziwe jest
mT l1 = 0
W szczególności wiec
m2T l1 = 0
m2T F m1 = 0
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
Linia Epipolarna
Linia epipolarna punktu m1
l1 = F m1
Dla dowolnego punktu m leżącegona prostej l1 prawdziwe jest
mT l1 = 0
W szczególności wiec
m2T l1 = 0
m2T F m1 = 0
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
Linia Epipolarna
Linia epipolarna punktu m1
l1 = F m1
Dla dowolnego punktu m leżącegona prostej l1 prawdziwe jest
mT l1 = 0
W szczególności wiec
m2T l1 = 0
m2T F m1 = 0
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
Linia Epipolarna
Linia epipolarna punktu m1
l1 = F m1
Dla dowolnego punktu m leżącegona prostej l1 prawdziwe jest
mT l1 = 0
W szczególności wiec
m2T l1 = 0
m2T F m1 = 0
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
Macierz fundametalna
m2T F m1 = 0
F = [K2 R2 (T1 − T2)]×K2 R2 R1−1 K1
−1
Wyraża związek pomiędzy położeniem obrazu punktu M w obrazie zkamery 1 i 2.
Definiuje linie epipolarne dla dowolnego punktu obrazu
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 105 / 118
EpipoleLinia epipolarna punktu m1
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Dla z1 = 0 punkt Modpowiada środkowioptycznemu kamery 1
z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2)
Położenie obrazu środkaoptycznego kamery 1 napłaszczyźnie obrazu kamery 2nazywamy epipolem
e2 = K2 R2 (T1 − T2)
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 106 / 118
EpipoleLinia epipolarna punktu m1
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Dla z1 = 0 punkt Modpowiada środkowioptycznemu kamery 1
z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2)
Położenie obrazu środkaoptycznego kamery 1 napłaszczyźnie obrazu kamery 2nazywamy epipolem
e2 = K2 R2 (T1 − T2)
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 106 / 118
EpipoleLinia epipolarna punktu m1
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Dla z1 = 0 punkt Modpowiada środkowioptycznemu kamery 1
z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2)
Położenie obrazu środkaoptycznego kamery 1 napłaszczyźnie obrazu kamery 2nazywamy epipolem
e2 = K2 R2 (T1 − T2)
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 106 / 118
EpipoleLinia epipolarna punktu m1
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Dla z1 = 0 punkt Modpowiada środkowioptycznemu kamery 1
z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2)
Położenie obrazu środkaoptycznego kamery 1 napłaszczyźnie obrazu kamery 2nazywamy epipolem
e2 = K2 R2 (T1 − T2)
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 106 / 118
EpipoleLinia epipolarna punktu m1
z2 m2 = K2 R2 R1−1 K1
−1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)
Dla z1 = 0 punkt Modpowiada środkowioptycznemu kamery 1
z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2)
Położenie obrazu środkaoptycznego kamery 1 napłaszczyźnie obrazu kamery 2nazywamy epipolem
e2 = K2 R2 (T1 − T2)K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 106 / 118
Epipole
Linia epipolarna dowolnego punktu m
z ′m′ = K2 R2 R1−1 K1
−1 z m + K2 R2 (T1 − T2)
Wszystkie linie epipolarneprzecinają się w punkcieepipola.
e2 = K2 R2 (T1 − T2)
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 107 / 118
Epipole
Linia epipolarna dowolnego punktu m
z ′m′ = K2 R2 R1−1 K1
−1 z m + K2 R2 (T1 − T2)
Wszystkie linie epipolarneprzecinają się w punkcieepipola.
e2 = K2 R2 (T1 − T2)
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 107 / 118
Macierz fundamentalna
Macierz fundamentalna
F = [K2 R2 (T1 − T2)]×K2 R2 R1−1 K1
−1
Korzystając z położeniaepipola
e2 = K2 R2 (T1 − T2)
F = [e2]×K2 R2 R1−1 K1
−1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 108 / 118
Macierz fundamentalna
Macierz fundamentalna
F = [K2 R2 (T1 − T2)]×K2 R2 R1−1 K1
−1
Korzystając z położeniaepipola
e2 = K2 R2 (T1 − T2)
F = [e2]×K2 R2 R1−1 K1
−1
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 108 / 118
Wyznaczanie macierzy projekcji kamer
Na podstawie obrazu i podpowiadających sobie par punktów
m2T F m1 = 0
można wyznaczyć macierz fundamentalną algorytmem 8-punktowym.
Dysonując macierz fundamentalna
F = [K2 R2 (T1 − T2)]×K2 R2 R1−1 K1
−1
Możemy dokonać jej rozkładu na macierze P1 i P2
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 109 / 118
Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer
[z1 m11
]= P′1
[M1
]
[z2 m21
]= P′2
[M1
]
[z2 m21
]= P′2 P′1
−1[z1 m11
]
Co prowadzi do wyznaczeniamacierzy fundamentalnej Fm2
T F m1 = 0
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 110 / 118
Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer
Przekształćmy przestrzeń zapomocą homografii H w takisposób aby punkty obrazypunktu M na płszczyźnieobrazu kamer pozostały niezmienione
np. Przeskalujmy cały układwzdłuż osi Z.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 111 / 118
Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer
Przekształćmy przestrzeń zapomocą homografii H w takisposób aby punkty obrazypunktu M na płszczyźnieobrazu kamer pozostały niezmienionenp. Przeskalujmy cały układwzdłuż osi Z.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 111 / 118
Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer
Przekształćmy przestrzeń zapomocą homografii H w takisposób aby punkty obrazypunktu M na płszczyźnieobrazu kamer pozostały niezmienionenp. Przeskalujmy cały układwzdłuż osi Z.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 112 / 118
Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer
Przekształćmy przestrzeń zapomocą homografii H w takisposób aby punkty obrazypunktu M na płszczyźnieobrazu kamer pozostały niezmienionenp. Przeskalujmy cały układwzdłuż osi Z.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 113 / 118
Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer
[z1 m11
]= P′1 H−1 H
[M1
]
[z2 m21
]= P′2 H−1 H
[M1
]
[z2 m21
]= P′2 H−1 H P′1
−1[z1 m11
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 114 / 118
Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer
[z1 m11
]= P′1 H−1 H
[M1
]
[z2 m21
]= P′2 H−1 H
[M1
]
[z2 m21
]= P′2 P′1
−1[z1 m11
]
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 115 / 118
Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer
[z1 m11
]= P′1 H−1 H
[M1
]
[z2 m21
]= P′2 H−1 H
[M1
]
[z2 m21
]= P′2 P′1
−1[z1 m11
]
Co prowadzi do takiej samejmacierzy fundamentalnej F iidentycznych obrazówrejestrowanych przez kamery.
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 116 / 118
Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer
Macierz projekcji P1′ jest nie rozróżnialna jedynie na podstawia analizy
obrazu od macierzy P1′H−1
Macierz projekcji P1′ może zostać wyznaczona tylko z dokładnością do
homografii
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 117 / 118
Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer
Macierz projekcji P1′ jest nie rozróżnialna jedynie na podstawia analizy
obrazu od macierzy P1′H−1
Macierz projekcji P1′ może zostać wyznaczona tylko z dokładnością do
homografii
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 117 / 118
Dziękuje za uwagę
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 118 / 118