geometria grado 7º

5/13/2018 geometria grado 7º - slidepdf.com

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Postulados y definiciones Lagro

Rec ono ce r a lg u n as d e fi nk lo n es y p os tu la do s b a slc os e n G e om e t '!

plana y u tl li za rl o5 e n l a deducoon de d i fe r en tes propiedades

Paradenotar un punto, una recta y un plano escribimos ~ letra mayuscula A , dos letras rneyosculas

que Indican los puntos de la recta 0 una letra minuscula AB , m y una letra griega o; respectivamente.

Punto Recta Plano

A

•F ig u ra 5 .1

Tres 0 mas puntos que perte-

nezcan a una misma recta son

colineales.

EI desarrollo sistematico y loqlco de la Geometria plana nos conduce a estudiarla desde sus te rminos y reg ::::

mas fundamentales Terrninos como p un ta , r ec ta y plano no se definen par su caracter primitivo. Sin embargo ~

partir de ellos enunciamos propiedades 0 caracterlsticas de otros objetos, a traves de definiciones.

Definiciones basicas

EI espacio es el conjunto de todos los puntos.

Un segmento AB es el con-

junto de todos los puntos que

se encuentran entre los puntos

A y B, induyendolos.

~Un rayo AB es una porclon de

una recta con punto inicial A

que pasa por B.

F ig ur a S .2 a

A

F ig u ra 5 .2 b

F ig ur a S .2 c

• Cuatro 0mas puntos son copla-

nares si se encuentran en un

mismo plano. f ... jF ig ur a S .2 d

La figura formada par dos serni-;

rrectas con igual punto inicial se

denomina anqulo y se denota

con la letra del punto inicial, asi:

4B 0 LB.F ig u ra S 2 .e

En cuanto a las reglas fundamentales, de la Geometria plana, aquellos enunciados 0 afirmaciones que por su

sencillez no requieren dernostracion alguna se denominan postulados. Veamos algunos de ellos.

Dados dos puntos distintos,

Postulado 1. P os tu la do d e la r ec ta

.>xiste una unica recta que

105 contiene. F ig ur a S .3 a

postulado 2. p ostu lad o d e la

e xis te nc ia d el p la noTodo plano contiene al menos

tres puntos no colineales. F ig u ra 5 .3 b

postulado 3. postu lada

de la i nt er se c ci on d e

pianos

Si dos pianos se

inte'rsecan,entonces

su intersecci6n es una

recta:.._~ .....-F ig ura 5 Jc

postulado 4. p ostu la do d e la I la ne za d el p la l'lo

Si dos puntas se en-

cuentran en un plano,

entonces la recta que

los contiene esta en

Ese plano.ntersecar: d os li ne as 0 d os su pe rfic ie s se c orta n 0 cruzan

entre 5 1 .". nto recta 0 su perficie e n la q ue se c orta n

IntersecClon. pu 'fi' 0 do s sondes respectivamente.d os lin ea s, d os su pe r cies '

F ig u ra 5 .3 d



o

-

Habilidades de pensamiento

Comunicaci6n

Con base en la siguiente figura, realiza 1 0 que se indica en cada literal.

A• G

•C B

• •H

•E

•F

•o• F ig u ra 5 .4

2. Observa la figura y responde.

A

G

a. Los puntos A , B , C Y 0 se encuentran en un

mismo plano. LQue otro conjunto de cuatro

puntos se encuentran en un mismo plano?

b. Identifica cuatro pares de pianos intersecan-

tes y en cada par de pianos nombra el seg-

mento que corresponde a su intersecci6n.

c. Nombra todos los segmentos que confor-

man la f igura.

Conexiones

4. Observa la mesa de billar y responde.

a. Nombra tres puntos que sean colineales. __

b . Nombra tres puntos contenidos en un unico

plano _

3. Responde basado en la figura.

o C

F ig u ra 5 .6

a. Los puntos A , B , F Y G se encuentran en un

mismo plano. LQue otro conjunto de cuatro

puntos se encuentra en un mismo plano!

b. Identifica cuatro pares de planes intersecan-

tes y en cada par de pianos nombra el seg-

mento que corresponde a su intersecci6n.

c. Nombra todos los segmentos que confor-

man la figura.

a. De acuerdo con la distribuci6n de las bolas

de billar, si se golpea la bola blanca, L a cualde las otras bolas no es posible acertar direc-

tamente? Geometricaroente, (por que crees'

que suceda esto?

b . LQue trio de bolas representan puntos coli-

neales?

c. LD6nde pcdrlas situar la bola blanca para

que Junto con las bolas 14 y 1 representen

F ig u ra 5 .7 tres puntas colineales?



Razonamiento logico

5. Determina s i ca da u na de la s s ig uien tes p ro po sic io ne s e s verd ade ra 0 f als a. S i e s f als a, escribe en _

d erno , un e je mp lo que 1 0m ue stre .

a. Par un pun to pasa una un ica re c ta . g. Un p lano es la co le cc ion de todos lo s pur:o

b. P or d os p un to s p as an in fin ita s re cta s. h. E I es pa cio e s la c ole cc lo n d e to da s la s re e::.:;:

c. Una rec ta es ta con ten ida en un un ico p lano . i. E Ie spa cio e s la co le cc ion de tod os los p la ~:

d. P or tres pu nto s n o co lin ea le s pa sa un u nico

p lano .

j. Un pos tu lado es un enunc iado que sterno =verdadero .

(.

e. Un ray o es una po rc io n de un segm en to . k. U n p os tu la do d eb e d em o stra rs e n qu ro sa +e

f. Un segm en to es una pordon de un ra y o .

6. Las m as g randes p ira rn id es de Eg ip to se

encuen tran en la m ese ta de G iza y cons-

tituy en la un ica de las s ie te m ara villa s d el

m undo an tig uo que aun se encuen tra en

p ie . C on ba se en la figu ra , responde.

E

A B

Figura5.8 Figura5.9

a. V is ta s d es de a rr ib a la s p ira rn id es , [fo rm a n s us

c us pid es tre s p un to s c olln ea le s?

b. Nom bra en la figu ra , s i e xis ten , dos p ianos

para le los.

c. Nom bra todos los segm en tos que con fo r-

m an la s a ris ta s d e la p ira rn id e.

d. Nom bra todos los p ianos que se obse rvan en

l as p i ra r n id e s .

e. Nom bra dos trio s de pun to s no co linea les

qu e s e o bs erv en e n la s p ira rn id es .

Dato curioso

. I - 600 a C cuando las piramides 'Hacla e ana . , . I -

habian cumplido ya su seg,undo milenlo, e sac -= -

griego Talesde Mileta visita Eglpto EIfaraan, c:-

canada lafama deTales,I~ pidio deter~ln~r :::

altura exacta de laGran Piram~de.Parae la, ~-

espero al dia que san dos al ana, en que aa1""-=

de un obJeta vertical y su sombra presen,ta_ :

. longitud rrudio la sambra de la plram cemlsma, ., id

obtuvo la altura de lapuarm e.



Construcciones con reqla

y compas

Logro

Rea l iz a rd if e ren tes cons t ruc c iones qeome t r ic as u t il iz ando

unkamente reg ia y com pas .

-=5 a ntig uo s qe orn etra s g rieg os u tiliz aba n u nic am en te e l c orn pa s y u na re gia lisa , s in

_!ld ua r, p ar a real izer d ife re nte s tip os d e co ns tru cc io ne s. E sta e ra u na n orm a ca si d e

:.:;:r ic to c um p lim ie nto e n la G e om e trfa clasica. donde se cons ide raba a es te tip o de

= ementos co mo in strum en to s id ea liza do s y n o p ro pia me nte ffs ico s. A con t i nuac i6n

_'2 se nta re m os a lg un as c on stru cc io ne s q eo rn etr ic as fu nd am e nta le s e n la s c ua le s s e_: iza n s ola m e n te la re gia y e l com pas .

Construcci6n 1. B secc ion de un 6ngu /o dado

Dado e l LA tom am os com o

cen tro a A y COi l cua lqu ie r

a be rtu ra d el cornpas. t r a zamos

u n a rc a n am b ra nd a 105 pun tas

d e in te rs ecc lo n B y C .

A c on tin ua cio n a br im as e l co rn pas d es de B has taC y con es ta m ed ida trazam os un a rco con cen tro

en B . R epe tim os e l p ro ceso y tra zam os un a rco con

ce ntro e n C . Deno tam os con la le tra X e l pun ta de

in te rs ec ci6 n d e lo s des arcos .

T ra za m os la bisectriz d el a nq ulo q ue c orre sp an de_ _ _ _ ,. a l ra y a AX . N6tese que e l LBAX y e l LCAX son

congruentes, e s d ec ir, q ue LBAX = = LCAX .

Figura 5.10

-e-prende mas

Para denotar q ,u e d 0 5

ob J e to 5 geome t ri COS ,

c om o s eg m en to S

y a ng u1 os , s on ..

Uentes 5e ut\\\za

congr

e \ 5 (mbo lo :!.

Bisectriz: ra y o que d iV ide un anqulo

e n d o s a ng U l0 5 c on gr ue nte s

(ongruentes: dos segm en tos y ? O Sa ng ulo > s on c on gru en te s e ntre 5 1,5 1

tie ne n la m ism a m ed ld a

!r',liD" atos curiosos

L o s s ig u ie n te s p ro b lem a s dasicos sec o ns id e ra n in s olu b le s :

Lacuadratura del cfrculo tra za r u n

cu ad ra do qu e te ng a la m ism a 5 up erfic ie de

u n c irc ulo d ad o.

Duplicaci6n del cuba: d ib u ja r e lla d o

de un cubo cuy o vo lum en sea e l do b le

de o tro cubo de l cua l se canoce un lado

c om o d ato in ic ia l.

Trisecci6n del angulo d iv id ir u n a ng ulo

e n tr es a ng ulo s c on gr ue nte s.

Construcci6n 2. C on stru CC Io n d e u n 6 ng u/o co ngru en te co n u n

6 ng u/o d ad o

P a ra e l L A tom am os com o cen tro e l pun to

A y con cua lqu ie r abe rtu ra de l com pas,

tra zam os un a rco nom brando lo s pun ta s

d e in te rs ec ci6 n c an la s le tra s By C .

Trazam os un ra y o con pun to in ic ia l P ; es te

s erv ira c om o la do d el n ue vo a nqu lo .

A ho ra con la m ism a abe rtu ra can que tra -

z am os e l a re a de l a ng ulo in ic ia l, ha ce mo s

cen tro en Py d ib ujam os u n a rco m arc an do

la in te rse cc io n co n e l ra yo , ca n la le tra 0.

A br im os e l co rnpas desde B has ta C y con es ta m ed ida tra zam os

un a rco con cen tro en 0. R epe tim os e l a rco pe ro con cen tro en P

y m arc am os la in te rs ecc io n d e lo s a rc os co mo R .

---7

F in alm en te tra za mo s e l ra yo P r : !N 6te se q ue LA = = LRPo .

B

R

p o

p

Figura 5.11



/

• Comunicaci6n

1 . Cop ia en tu cuade rno cada uno de 10 5 s igu ien tes

anqu los y realiza 10 qu e se ind ica e n ca da lite ra l.

o

e

L as s ig uie nte s flg ura s p re se nta n lo s p as os p or re a-

liz ar p ara tra za r u na rec ta p erp en dicu la r qu e p ase

po r un pun to exte r io r a o tra re c ta dada . F ren te

a cada fig u ra escr ib e con tu s p rop ia s pa lab ra s e lp a so e fe c tu a do

F i g ur a 5 .1 2

a. Traza la b ise c triz de cada anqu lo con reg ia y

c om p as .

b . Traza un anqu lo que sea congruen te con

c ad a a ng u lo d ad o. F ig ura 5 : ~

3. C op ia en tu cuade rno cada re c ta y traza con re -

g ia y com pas una re c ta pe rpend icu la r que pase

po r e l pun to dado .

F i gu r a 5 . 14

4. Traza c on re gia y cornpas la s m e dia tr ic es d e cacs

u no d e lo s s iq uie nte s tr ia nq ulo s.

F i g ur a S_ ':



Razonamiento 16gico

A continuaci6n se presentan los pasos por realizar para construir un hexaqono regular con regia y com pas.

Debajo de cada figura describe con tus palabras el paso efectuado.

A

B

F i gu r a 5 .1 6

5. Observa los pasos dados para construir un trianqulo equilatero con regia y cornpas. Debajo de cada figura

describe con tus palabras el paso efectuado

A

B

A

E F E

B

A A

F i gu ra 5 .1 7



Cuadrilateros

y paralelogramos

E n la ig ura 5 .1 8 s e o bs erva n tre s tip os d e c ua drila te ro s:

e l tra pee io , e l trape zo ide y e l p ara le log ram o, co rno eada

u no tie ne d ifre nte fo rm a va rn os a e sta ble ee r lo s c rite rio s

que nos p erm iten d is tingu irlos Veam os

Logro

Ident incar,me diantedl ferentescr iter ios,cuando un cuadn lateroes

un pa ral e lo g ramo .

Trapezoide

CDefinicion

T od a fig ura fo rrn ad a p or e ua tro s eg me nto s ( lados) que se

en euen tran de te rm inad os por e ua tro p un tos eop la na res , de

lo s e ua le s tre s s on n o e olin ea le s s e d en om in a c ua drila te ro .

Los pun tos extrem os donde se in te rseean eada par de lados

de un euadrila te ro se Ilam an vertices .J---------------l

Trapecio

L~-"" 'CCVaralelogramo

tJ Figura 5 .1

Aprendemas. dos segnnen toStie n~n

Para in dlea r que '1 ' n nos la no taC iO n. d ida uti .za

la n nlsnnann t::_ I' la nned ida de l- _ nn CD, que se ee .

nn AB - . I la de l segnnen to CDs eg nn en to A B e s I gu a a

Definicion

U n e ua drila te ro e uy os la do s o pu es to s s on

p a ra le lo s s e d en om in a paralelogramo.

Criteria 1

S i lo s la do s o pu es to s d e u n e ua drila te ro s on e on gru en te s,

e s d ee ir tie ne n la rru srn a rnedida e nt on ee s e l c ua dr ila te ro

e s u n p ar ale lo gr am o .

Ejemplo

D ete rm in em os s i e l s ig uie nte c ua drila te ro e s u n p ara le lo gra mo

0r- ~3T5~em~_~C

I S c m L J 5 c mA 35em B F i gu r a 5 .1 9 .

E sta ble ze am o s s i e l s ig uie nte e ua dri-

la te ro e s u n p ar ale lo g ram o .

Criteria 2

S un euadrila te ro tiene un par

~ e la do s o pu es to S p ara le losY

e o ng ru en te s, e n to n ees es un

para le logranno.

Soluci6n _

Ya que lo s lados opues tos de l

euadrila te ro~n eongruen te~s dee ir,

rn AB = m CO y m AD = m BC , se

e on ciu ye q ue e l c ua drila te ro ABCD es

un pa ra le l og ranno .

••

·•

Soluci6n

S i b ie n lo s la do s AB y CD son

pa ra le los sus m ed idas no son

ig ua les ; po r ende , sequn e l

c rite rio 2 , e l e ua dri la te ra ABCD

n o e s u n p ara le lo gra m o.

Figura 5.20

Criteria 3

S i e ada pa r de anqu los opues to s en un

c ua drila te ro s on e on gru en te s, e nto ne es

e l c ua drila te ro e s u n p ara le lo gra m o.

O~ "CI 7B F i gu r a 5 .2 1



.os paralelogramos se clasifican en 4 tipos, observernoslos.

Rectanqulo paralelogramo cuyos anqulos

') enores son rectos.

Rombo: paralelogramo que tiene congruentes

sus cuatro lados.

D o F ig u ra 5 .2 2 cig u ra 5 .2 2 a

Cuadrado: paralelogramo cuyos lados son con-

gruentes y sus anqulos interiores son rectos.Romboide: paralelogramo cuyos lados y anqu-

los contiguos son desiguales.

D =: F i gu r a 5 . 22 di gu ra 5 .2 2 b

Definicion

Un cuadrilatero que tiene 5610 un par de lados paralelos se denomina trapecio.

Un cuadrilatero cuyos lados opuestos no son paralelos se denomina trapezoide.

_ J s siguientes criterios describen condiciones que nos permiten distinguir cuando cierto tipo de cuadrilateros

~XItrapecios.

Criterio 1

Si un euadrilatero tiene

dos lados paralelos y dos

no paralelos de igual

longitud, entonces el

ruadrilatero es un trapecio.

oriterio 2

Si un cuadril i:l tero tiene

dos lados paralelos y todos

sus lados de diferente

longitud, entonces el

cuadrilatero es un trapecio.

oi gu ra 5 .2 3

F ig u ra 5 .2 4

Criterio 3

Si un cuadrilatero tiene un lado perpendicular ados lados

paralelos y ellado opuesto al perpendicular no tiene su

misma medida, entonces el cuadnlatero es un trapecio.[Jigo" 5.25

Ejemplo

Establezcamos, sequn la informacion dada, si el siguiente Yaque AB es paralelo a CO ytodos los lados tienen

cuadrilatero es un trapecio. diferente medida, concluimos que el cuadrilatero ABCO

es un trapecio.

0

,

, - - - - 1 - - - - - . . . l \A B

Aprendemas

d 5 rectas 0 segmentoSP ara denotar Q ue 0 rpendiculares

so n paraieioS0 pe ". AB II C O

. iente notaCion ..utilizamo~ S

I9u

\ A B es pa ra \el oA B J ._ C O Que se ee -

o _ A B es perperndicular a C Oa C D 0

respectivam ente.--. . . .~""'--

F ig u ra 5 .2 6

m AB = 4 em m C D = 3 em

•·••·••

ABIICO



00

o

- ~~~~- - - - = = - - ~ - - ~ : : ; ; ; - ~ -

- Habilidades de-pensami~QtQ _- ~~- - - - --

" Razonamiento logico

1. Determina s i c ad a u na d e la s s ig u ie nte s p ro po si- 3. Pa ra c a d a li te r al encuentra lo s v alo re s d e x que ha -

c io ne s e s v erd ad era 0 f als a . S i e s f als a , escribe en cen que cada euad rila te ro sea un pa ra le lo g ram o.

a.

tu euade rno , un e jem plo que 1 0 mues t r e .

a . Un cuad rila te ro s iem pre tie ne a l rnenos un

p ar d e la do s e on gru en te s.

b. Las d iagona le s de un cuadrilatero s on s ie m -

p r e p e rp e n d ic u la r es .

c. T od o c ua drila te ro e s u n p ara le lo gra m o .

d. T od o p ara le lo gra m o e s u n e ua drila te ro .

e. S i u n euad r ila te ro tie ne un par de lados pa ra -

le lo s, e nto ne es e s u n p ar ale lo gra m o .

f. S i un cuad rlla te ro tie ne todos sus lados eon -

g ru en te s e nto ne es e s u n p ara le lo gra m o.

g. S i un euad r ila te ro tie ne todos sus ang~lo s

conq r ue nte s e ntre 5 1 y to dos sus lados eon -

g ruen te s en tre s l,e n tonces es un pa ra le lo -

g r amo

Comunfcaclon

2. Establece s i, d e acuerdo con la s eond ie io nes da -

das , cada uno de lo s s igu ien te s cuad rila te ro s es

u n p a ra le lo g ram o 0 un trapecio. Escribe e l c rit e-

rio q ue ju stific ,a tu re sp ue sta .

b.

\ L _ 3 _ c r n _ _ _ _ _ _ l . ~

X 3 em Y

c. 5

d.

F ig ura 5 .2 7

a. 30 0 em

b.10 em

/10 em

4. Construye y re co rta d os trianqulos equilateros,eada uno de 10 em de lado . Onelos p ara fo rm a r

u n c ua drila te ro . LQ ue e nte r ic 0 c rit er io s c o nf ir -

m an e l hecho de que la fig u ra re su lta n te es uo

paraleloqrarno?

5. A I ana liz a r la siquiente f igu ra , Jo rge a firm a que

ertvlrtud d e l c rit er io 1, puede conc lu irse que e

cuad rlla te ro no es un pa ra le lo g ram o. A na Luc ie

po r su pa rte , a firm a que en v ir tu d de l c rtte rio -

no se puede concluir que e l cuadrilatero sea ur

pa ra le lo g ram o. LTiene a lguno de e llo s la razon

Justifica.

6. En c a da ejercicio h alla lo s v alo re s d e xy y para qi,e

e l c ua drila te ro A BC o s ea un para le log ramo.

a. AB=2x-6;Co=x+5;AD=2y-3;

BC = Y + 5 ),r/

b. AB = 3x + 2 ; CO = r + 16; AD = 5y - 13 ;

BC= Y + 3

c. m LA = 2x + 5 ; m LC = x + 25;

m Lo= 2y+ 15 ; m LB= y+ 75

F ig ura 5 .2 8

Fi::Jura 5 . : : :



Poligonos regulares

e irregulares

Logro

l de n ti fi ca r p ol ig on o s r eg u la re s e i rr eg ul ar es y e n co n tr ar e l p e rimet ro

y e l a re a d e p olig on os re gu la re s.

- poligono es toda flgura plana formada por tres 0

:is segmentos ( la do s de l p o lf g ono ) que de ados se

.ersecan en un punto denominado vertice y tal que

.::Jasegmento se interseca con otros dos. En laf iqura

- - . 2 - se observan algunos poligonos.

00ig ura 5 .3 1

= - un poligono el segmento que une dos

,=rtices no consecutivos se conoce con el

mbre de diagonal y si al trazarlas todas

'= encuentran en el interior de este, deci-

-as que el polfgono es convexo. Polfgono convexo Poligono no convexoiagonal

::: .sten dos clases de poligonos, los regula res y los irregulares;

_~ poligono es irregular si no es regular.

Definicion

Un poligono es regular

si sus anqulos interiores

tienen igual medida y todos

sus lados miden igual. ~ooligono irregular Polfgono regular

F ig ura 5 33

F ig ura 5 .3 2

Perfmetro AreaF ig u ra 5 .3 4

EIperimetro Pde un poligono regular de n lados se calcula

multiplicando la longitud de uno de sus lados I por el nurnero

de lados del poligono n:

P= n·1F ig u ra 5 .3 5

,hora que identificamos los pol igonos regulares va-

"10S a calcular medidas como su perimetro y area. EI

oerfrnetro de un polfgono regular es la medida total

de su contorno, mientras que el area es la medida de

a superficie que hay dentro del perfmetro.

Jara calcular el area de un polfgono regular de n lados dividimos este en n trianqulos congruentes, hallamos su

area y la multipl icamos por el nurnero de trianqulos que resultaron.

Area:f---- I _ _ _ _ , f---- I _ _ _ _ , f---- I _ _ _ _ , f---- I _ _ _ _ , f---- I _ _ _ _ ,

A~EE_ A~EE_ A~~ A~EE_ A~EE_2 2 2 2 2

A~5xEE_2

EI area A de un poligono regular de n lados 'se calcula divi-

diendo entre dos el producto del nurnero de lados n p~r la

longitud de cada lado y la apotema 0 altura de cada trtangulo.

n : I· aA=--2

\

F ig u ra 5 .3 6



/

Soluci6n

Ha llem os e l a rea de un hexaqono regu la r

de 5 em de lado y 4,33 e m d e a po te ma .

E I perlrnetro es 30 em :

P = 6 . (5 em ) = 30 em

o

E I are a e s 64,95 cm 2

A = p . a = (30 em) · (4,33 em ) = 129,9 em2= 64,95 em 2

2 2 2Figura 5.37

E Ia rea de un pen taqono regu la r e s 384,5 m 2 y su apo tem a es de 15,38 m .

LC ua l e s la lo ng itu d de uno de sus lades?

15,38 m

Soluci6n

E n e ste e je re ic io te ne mo s d os d ato s co no eid os (e l a re a y la a p o tema ) y

u no d es co no cid o (Ia lo ng itu d d ella do ); p ara d ete rm in arlo o bs erva re mo s

la e xp res i6n qu e p erm ite ca lcu la r e l a re a de u n p olig on o re gu la r y despe -

j a r emos de e lla d ic ho d ato pa ra ha lla r s u va lo r.

n ·1· aA=--2

382 _ 5· 1 . (15,38 m)

. 4,5 m - 2 Remplazamos en la igualdad los valores dados.

Figura 5.38

384,5 m2 = 1(76,; m)

1 (76,9 m)2· (384,5 m2

) =d' d

769 m2=1(76,9 m)

Multipllcamos ro s rurrneros del numerador

Mult ipl lcamos a ambos lados por 2.

Operamos y simplificarnos.

769 mi

76,9 m'

10m=1

1 (2&,-9Ill)

Z 6 » - r f iDividimos ambos lados de laecuaci6n entre 76,9 m.

Operamos y simplificamos.·

De es te m odo conc lu im os que la lo ng itu d de cada lado de l pen taqono es 10m .

o 0

o-

Habilidades de pensamiento

Comunicaci6n

1. Estab lece cua les de la s s ig uie nte s fig ura s s on p ollq on os . Justif ica, e n tu e ua de rn o, tu e le ce i6n .

a. b . c. d. e.

'0Figura 5.39



Razonamiento logico

)etermina si cada una de las siguientes proposi-

= ones es verdadera 0 falsa. SIes falsa, escribe en

:J cuaderno, un ejemplo que 1 0 muestre.

a. Todo pol igono es convexo.

b. Todo pol igono es regular.

Si un poligono tiene congruentes todos sus

lados, entonces es regular.

d. Si un poligono tiene congruentes todos sus

anqulos. entonces es regular.

e. Si un poligono es regular, entonces tiene

congruentes todos sus lados.

f. Si un poligono es regular, entonces tiene

congruentes todos sus anqulos.

g. Un poligono regular siempre es convexo.

h. La apotema de un poligono regular pasa por

el punto medio de uno de sus lados.

i. EI perimetro de un polfgono regular depen-

de de la longitud de uno de sus lades.

j. EIarea de un poligono regular depende de la

medida de su apotema.

Resolucion de problemas

3. Determina si cada una de las siguientes fiquras es

un poligono En caso afurnativo. daslffcalos como

convexos, no convexos, regulares 0 irregulares.

igura 540

4. Encuentra e l area y el perimetro de los siguientes

poligonos regulares.

wGQ-- ~ ~---1

2,99 ern 2,35 em 2 0 ,6 6 e rn

QQQ,47cm 19,12 e rn 15 ,06cm

Figura 5A 1

~. Antonio desea instalar una piscina en el patio de su casa, el cual tiene un area de 15 m2 EIinstalador Ie ofre-

ce una piscina en forma de hexaqono regular de 10m de perimetro, otra en forma de peritaqono regular

de 12 m de perimetro y una en forma de octaqono regular de 8 m de perimetro. LCual de las piscinas cabe

de tal modo que la apotema del poligono es un nurnero entero?

6. Un campesino tiene 80 m de material de cerca para encerrar un terreno en

forma de poligono regular. Con base en esta informaci6n realiza 1 0 que se

indica en los siguientes literales.

a. Completa la siguiente tabla.

PoHgono regular Perimetro Longitud de uno de sus lados Apotema Area

Cuadrado 80 m 17,3 m

Pentagono 80 m 13,85 m

'.Hexaqono 80 m 11,6m,

Heptaqono 80 m 9,89 m

Octaqono 80m 8,66 m

Nonagono 80 m 7,69 m

Decagono 80 m 6,92 m

b. Identifica la forma que debe tener el terreno para cubrir la mayor superficie posible.

T ab la 5.1



Plano carte siano Lagro

. Localizarp a r e i a s de nurnerosrealesen el planocartesiano.

Hacia el siglo XVII, Rene Descartes y Pierre de Fermat Ilegaron indepen-

dientemente a la idea de representar qeornetricarnente parejas de nurne-

ros ordenadas. Dicha idea, que Descartes denomin6 metoda , corresponde

a 10que hoy dia Ilamamos Geometria de coordenadas 0 Geometria ana-

litica; esta Geometria permite resolver problemas, tanto abstractos comode orden practice y cotidiano.

EImetoda de localizaci6n de puntos consiste en considerar el plano car-

tesiano, formado por un par de rectas perpendiculares numeradas, Ila-

madas ejes coordenados (eje X y eje V ) , cuyo punto de mtersecclon se

denomina origen. La notaci6n usual de un punto es con letras rnayuscu-

las como, P ( x , y) que representa el punto P con coordenadas ( x , y) , donde x

recibe el nombre de abscisa y y el de ordenada. (Ver fiqura 5.42).

h-4

I-

Figura ~-_

Representemos en el plano cartesiano el punto A(2, -3) que tiene abscisa 2 y ordenada -3.

Ubicamos el punto comenzando en la

abscisa, entonces desde el origen nos

movemos dos unidades a la derecha y

'a partir de all! bajamos 3 unidades para

ubicar la ordenada. Asi el punto es el que

observamos en color azul, en la figura.

Soluci6n

-~ -1

t

y_'_

-I

Representemos en el plano cartesiano los puntos 8(1, 1) , c ( % , - 2 ) , o ( % , - ~ ) y E (-1 ,4 ) .

Soluci6n

• Desde el origen

nos desplazamos

ala derecha una

unidad y desde alii

subimos hasta la

ordenada uno.

• Desde el origen

ubicamos la

abscisa % y

bajamos, desde

alii, dos unidades

para la ordenada.

Figura SMa

Figura 5A4b

• Desde el origen

nos desplazamos

a la derecha % de

unidades y bajamos

~ de unidades.

• Desde el origen

nos movemos a

la izquierda una

unidad, desde alii

subimos 4 unidades

en la ordenada.

Figura 5A4d



Un plano cartesiano esta constituido por dos rectas nurnericas 0 ejes perpendiculares que

:;yman cuatro semiplanos 0 cuadrantes tales que el primero, en sentido contrario al avance de las

-nanedllas del reloj, contTene tanto abscises comoordenadas de nurneros positivos, el segundo. .

contiene abscisasnegativas y ordenadas positivas, el tercero abscisas y ordenadas negativas y el

cuarto t iene abscisas positivas y ordenadas negativas .

.3siguiente f lgura ilustra el mapa de la ciudad de

-rado, en el Tolima. Con base en ella respondamos las

siguientes preguntas.

a. (En que cuadrante se encuentra la mayor par-

te del mapa?

b. Si cada unidad representa una cuadra en el

mapa, escribamos las coordenadas de los

puntos indicados en el plano.

c. (A cuantas cuadras se encuentra el punto A

del punto 87

Soluci6n

a. En el cuadrante 1.

b. A(l , 1),8(-0,7, 1), ((3,5, 3), 0(1, -1,6) Y

E(-l ,9, -3)

c. Ados cuadras aproximadamente.

F ig u ra 5 45

Comunicaci6n

1. Para cada literal, ubica los puntos es un pia no car- 2. Establece las coordenadas de los pu ntos que

tesiano. aparecen en e l siguiente plano cartesiano.

a. (2,3); (-3,-1); (4,-2); (-6,0)

b. (-5,-3); (0,1); (-4,.1); (4,4)

d. (3,14,0); ( J 4 , - 2 ) ; ( f , - v ' 9 ) ; (0,-6)

y

--I~- f-A i ! ·o~:~1---

~L-+ : 3 f--c ,

,

.~

_1_ -f-I

1-

;2 i 1

,

1! A , i

,

. . . . . . . . . i 1 I- - - - j ,

I

--D i - , ~

j 4

! : t - ~ 1: B ~_"l

l r i

x

F i gu r a 5 .46



3. Indica en que cuadrante se encuentra cada uno

de los siguientes puntos sin representarlos en el

plano cartesiano.

a. (1,1) b. (-4,5)

c. (-2,-2) d. (23,-20)

e. (60,125) f. (325,-345)

g. (-222,-98) h . ( - ~ , - 7 )/ 4. En cada ejercicio dibuja los puntos en el plano

cartesiano, luego determina si el trianqulo que

se forma en cada caso es acutanoulo, rectanqulo

u obtusanqulo.

a. (2,3), (-4,3); (-4,6)

b. (-2,-3); (-4,3); (4,-3)

c. (0,0); (4,4); (4,-3)

d. (-5,5); (5,2,4); (-2,-3)

Razonamiento logico

5 . Determina la coordenada faltante en el tercer

punto de tal manera que este se encuentre en

la misma recta por la que pasan los dos primeros

puntos:

a. (0,0); (2,2); (-4,0) b. (0,2); (2,3); (4,0)

c. (2,3); (3,4); (D ,s) d. (-4,-1); (-2,3); (00)

~(2,2); (5,3); (Q5,D) (2,4); (3,6); (0,0). f.

Encuentra las coordenadas del cuarto venice, de

tal manera que la fiqura resultante sea un parale-

logramo:

a. (2,1); (3,3); (6,1); (0,0)

b. (-7,2); (-3,2); (-1,-2); (0,0)

c. (2,2); (4,2); (0,-3); (0,0)

Encuentra las coordenadas del cuarto vertice, de

tal manera que la figura resultante sea un trape-

cio.

a. ( 3, 1) ; ( 5, 5) ; (6,1); (0,0)b. (-8,2); (-3,2); (-2,1); (0,0)c. (-2,-2); (-4,-2); (0,3); (0,0)

Encuentra las coordenadas del cuarto vertice. de

tal manera que la fiqura resultante sea un cuadri-

latero convexo.

a. (2,1); (3,3); (6,1); (0,0)b. (-7,2); (-3,2); (-1,8); (0,0)c. ( 2 ,2 ) ; (4,2 ); (0,-3); (0,0)

Conexiones

Sigue las instrucciones para construir un hexaqo-

no regular con regia y corneas. dadas en la paqina

151 Utiliza un circulo con centro en el origen y

radio igual a cuatro unidades. Determina aproxi-

madamente las coordenadas de cada uno de los

seis vertices

10. Lasiguiente figura muestra lat rayectoria del Huracan Jeanne en el ana 2004. Basado en el investiga y escribe

las ciudades por las que paso dicho huracan.

----___~

Conex16n con Meteorologia

Enmeteorologia el usa del plano

carteslano esfundamental ya

que 105 programas que permiten

visuahzar el comportamiento delVlento en laTierra, grancan estos

sobre el plano cartesiano y modelan

la trayectoria de los huracanes y

otros fenomenos naturales.

Figura547



Movimientos en el plano

cartesiano: traslaciones

Lagro

• Halla r la im age n de un p olfg on o al efec tua r la t ras lac i6n.

_:::traslacten es una isometria en el espacio tal que a cada

~_~0 P de una figura dada Ie hace corresponder otro punto ~

'::,,5<!doen la direccion, sentido y magnitud de un vector PO ·

Figura 5.48

~ t ras ladon es una transformaci6n qeometrlca que se realiza a una figura, denominada preimagen, de tal

_J que esta se desplaza sin cambiar su forma, anqu los y dimensiones. A la figura obtenida despues de apl i-

:: a transformaci6n se Ie conoce con el nombre de imagen.

•: EI trianqulo con vertices A'(l ,2),8'(2,4) y C(-l,4) es la imagen de

: traslaci6n del trianqulo A8C 0 6A8C con respecto al vector p•• Observemos que cada vertice del trianqulo original se desplaz•: tres unidades hacia la derecha y una unidad hacia arriba, asf com

: 1 0 indica el vector pO•

•·••••••••••·••

G'osarioIsometria' p I b. . a a ra derivada del r fi

gnego i s o s q u e significa I UO( P ~ ~osignifiea tn ed id . 9 y m etn co qu e

iaa Un obJeto fiuna isometr ia si tien . 0 gUrapresentaDire ., . en Igual medida.

ccron e s la orienta _.. .vector en el espa' Cion que tlene el

• C io.

Sentido: Esteldado par laque representa al vee .. Punta de la fleehase dir ige el rayo tor, Indica hac ia dande

Magnitud: esla medida .desde su punta de in' . ~ue tiene un vector

del rayo. lelo asta el extremoVector: es todo segmentocon lasearacteristicas d de recta 0 rayo

direeeion y magnitud. e Tenersentido,

Ejemplo

Figura5.49a

Consideremos el trianqulo con vertices en

A(-2,1); 8(-1,3) Y ((-4,3) Y una flecha PO con

punto inieial P(l , 1) Y punto final 0(4,2 )

y

I. I T 6~ r- t r

l - q . { 1 > tl. i' 4 - - 2 - ~IO'--r+A 1- XI I P

Ejemplo.

Sea T la traslaci6n determinada por el vector M f J , con : Cada vertice de la imagen se traslad6 cuatro unidade

M(2,6) y N(6,S). Apliquemos T al polfgono ABCOEy obser- : hacia la derecha y una hacia abajo, como 1 0 indica

vemos la imagen obtenida. : vector M N

Soluci6n

Figura5A9b



/

-~t ~ a Habilidades de pensamiento _

oRazonamiento loqico

1 . Determina s i cad a u na d e las s igu ie nte s p ro po si-

c io n es e s v er da d er a 0 fa ls a S i e s fa ls a, escribe, en

tu cuaderno , un e jem plo que 1 0 muest re .

a. La im agen de una tra s la c i6n es una fig u ra de

la m ism a fo rm a, pe ro no necesa riam en te de l

m ism o ta rna no qu e su pre im ag en .

b . Una tras lac i6n es una trans fo rm ac i6n en la

que la im agen se re fle ja con re spec to a una

f lecha.

c. Una tras lac i6n es una trans fo rm ac i6n en la

que la im agen se ob tie ne des liz ando la p re -

im agen una de te rm inada d is tanc ia en cua l-

q u ie r d ir e cc i6 n .

d. En una tra s la c i6n con respec to a un vec to r

P P donde P tien e co ord ena da s (0,0), la im a-

gen y la p re im a ge n c oin cid en .

Comurricacion

2. E n c ad a ca so dibuja la im agen que se ob tie ne a l

re aliz ar la tra sla ci6 n in dic ad a p or e l v ec to r.

c.

b y

~T!.-.... + _ . !

I I

i

r +

r - -

,

x

~ L~,~- VH - i_~ - _ . _ . _ . ,

,i i

C T !

f

~

y

I !

i--+-h~- " " "·i _

f--i---\I~

x

_i' ----- -

~. - ,

----

t = _ _F ig u ra 5 .5 1

3. En cada caso se observa la im agen de una fig u ra

a l re aliz ar la tra sla cio n in dic ad a p or e l ve cto r. P ara

c ad a u na , dibuja l a p r eima g e n .

a. b.

c.

F i gu r a 5 5 :: '

4. Dibuja la p re ima g e n y la im a ge n d e la tra sla ci6r

d es crita e n c ad a e je rc ic io .

a. P re ima g e n : p o lig o n o ABCo con A(O,O) ;B ( -2 ,3 -

C(-4,-5); 0(2 , -6 ) .

T 1 tra sla ci6 n c on re sp ec to a l ve cto r M N ,donde !v1(2,3) y N(-5,5)

b. P re ima g e n : p o lf go n o A8eo con A(-3,2) ;

8 (- 3 ,5 ) ; C (0 ,5 ) ; 0(6 ,2 ) .

T 2 tra sla ci6 n c on re sp ec to a l ve cto r M N ,donde !v1(-2,3) y N(5,-5)

c. P r eima ge n : p o lig o n o ABCo£ con A (2 , 1 ); 8 ( 0, 2 .

C (3 ,5 ); 0 (6 ,1 ); £ (7 ,3 )

T 3 : tra sla ci6 n c on re sp ec to a l v e cto r I V / N ,

do nd e M (4,3 ) y N(-5,-6)

• Resolucion de problemas

5. E I s igu ien te p lano ca rtes iano m ues tra las pos i-

c io nes de c ie rto s ed ific ios en e l vec inda rio don-

de v ive Na ta lia . Pa ra tra s lada rse desde su casa C

h as ta la e s cu e la E d eb e c am in ar s eis c ua dra s hade

e l e ste y dos hac ia e l no rte . De m ane ra ana loqa

describe c on p ala bra s la s s ig uie nte s tra sla cio ne s.



y

Figu ra 5.53

a. D es de la e sc ue la E , h as ta e l s up e rm e rc a do S .

b. D es de e l s up erm e rc ad o S ha sta la fa rm ac ia F

c. De sd e la f ar m ac ia F ha sta la c as a d e T ere sa , T

d. D es de la c as a d e T ere sa T h as ta s u c as a, C .

6. C ad a ticha d el a jed re z tien e un a tray ec to ria esp e-

d tica so bre la c ua l p ued e m ove rse . A sf, la s to rre s,

que se ub ican en la pos ic io n a8 y h8, pueden m o-

ve rse so la m en te en fo rm a vertica l u ho rizon ta l.

Lo s caba llo s , que se ub ican en la pos ic io n b8 y g8,

pueden m ove rse dos cuad ro s horizon ta l m en te

y u no vertica l 0 dos vertic a le s y luego uno ho ri-

zo nta l. Lo s a ltil, ub ica dos en e l cua dro c 8 y f8 so lo

pueden m ove rse en fo rm a d iagona l sob re cua -

d ros de su m ism o co lo r.

a. E I ca ba llo , e n s u p rim e ra m o vid a, s e d es pla za

d os cu ad ros ho rizo nta l y lu eqo u no ve rtica l-

m en te . En su segunda m ovida , 10 ha ce do s

c u ad ro s v er tic al 'i u no ho riz on ta lm e nte . D es -

pues de lo s dos m ovim ien to s , (cua le s son las

p os ib le s p os ic io ne s fin ale s d el c ab allo ?

b. Luego de dos m ovim ien to s , la to rre queda

en e l cuad ro dS . Establece u na p os ib le tra s-

la cio n q ue d es crib a lo s d os m o vim ie nto s.

c. Describe una pos ib le tra s la c i6n que pueda

rea liza r e l a lfil a l cuad ro a6 (C ua l e s e l m in i-

m o nu rne ro de m ovim ien tos que pueden

e je cu ta rs e p ara c on se gu ir e sta p os ic io n?

Figu ra551

7. E I u so d el p la no c arte sia no p ara re aliz ar tra sla cio -nes fac ilita e l p roceso de com prens i6n de la tras -

lac i6n ; s in em ba rgo , ta rnb ien podem os rea liza r

tra sla cio ne s s in u tiliz arlo Observa la s ig u ie n te

construcci6n y realiza p a so s s im i la re s p a ra t ra s la -

d ar la s f ig ura s d ad as e n c ad a lite ra l.

----+D ad a la fig ura y e l v ec to r P O , u bic am o s e l ve cto r

en cada ve rtice de lla figu ra . Luego , u ru rnos 105

pun tos extrem es de 105 vec to res con base en la

f igura.

o

· UC

a. B

V AP

\ 0b.

/ PF

00

E

c. B

0 PA

- - - - - Con@xion Con Deportes

EIajedrez s e J ue g a s o b re u n t ab le ro c u ya f or m a

e s s im i a r a la d ~ u n p la no c arte sia no . L a s fi uras

s e mu e ve n s e gu n c ie rt as n o rm a s y a l d e sP I~ za rs emue s tr a n t ra s la c io n e s d e n tr o d e l t ab l e ro .

~op

F igu ra555a F igu ra555b

0'

Figu ra5 .55c

F igu ra5 .56a

Figu ra5 .569

Figu ra5 .56c



Reflexi6n respecto a un eje logro

E nc on tr ar la im a ge n d e u n p olig on o a l e fe ctu ar u na re fle xio n

r es p ec to a u n e je d e te rm i n ad o .

La reflexi6n de una flg u ra u ob le to re spec to a una re c ta dada I ,

denom i nada eje de reflexi6n, e s u na tra ns fo rm a cio n g eo m e-

tric a ta l que la im agen de un pun toA (de la flg u ra ) re spec to a I

es un pun to A ' cu y a d is tan c ia e s la m ism a de A a I .

y

1J===_] : - I8 - - - - - - ? - - - - - - - - - I B '

r:~C'~~

A - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A ' X

E n la flg ura 5 .5 7 s e o bs erva la re fle xio n d el trfa ng ulo ABC re sp ec to a l

ej e Y y la e xp re sa mo s a sf R (A 8C )=AB'( re sp ec to a l e J e 1 . C uando hay

m a s d e u na re fle xi6 n s e s ue le u tiliz ar s ub in dic es p ara d ife re nc ia rla s:

R1, R

2, R

3, e tc .

'=---,. d

f---i

La a J is ta n ci a d e l os

puntos es 1 3 misra

re sp ec to a la w eep __:__

Soluci6n

D ete rm ine mo s la im ag en de l p ollg on o ABCOE

a traves de R respec to a l e Je X d el p la no c arte -

s iano . Luego ha llem os la im agen de A'B'CO'E'

sob re R l re spec to a l ej e Y d el p la no c arte sia no ..

y

t I t ~ ~ J 1 t : JI iC 0 X

I -4 -2 2~.---,-----1

~2- ,___..'

--'---i--+-t--I~

F i gu r a 5 . 58 a

•·•

Efec tuamos R(ABCOE) R e aliz am o s R l(A 'B 'CO'E') .

y

F ig u ra 5 5 8c

F i gu r a 5 . 57

y

••••·••••

L as a nte rio re s re fle xio ne s s on re sp ec to a lo s e je s X y Y s in e m ba rg o, e xis te n re cta s o blk ua s y e n c o n s ec u e n cia

p od em o s e fe ctu ar r.e fle xio ne s re sp ec to a e lia s.

Ejemplo

F i gu r a 5 . 59 a

Soluci6n

F ig u ra 5 5 9b

..__,___,_l---L---, 4

B a xF ig u ra 5 5 8b

R efle je mo s e l p un to d ad o A re sp ec to a

la r ec ta I e n la fig ur a.

Soluci6n

Paso 1

C o n r eg ia y c orn pa s tra za mos u na re cta

p erp en dic ula r a I que pase pa r A .

Paso 2

A br irn o s e l com pas desde A has ta e l

pun to de in te rse cc i6n de la s re c ta s .

C on e sta m ed id a y cen tro en e l pun to

de in te rse cc ion trazam os e l a rco que

in te rs ec a la p erp en dic ula r e n e l s en tid o

o pue sto d el p un to A . Es te pun to de in -

te rse cc io n e s la im ag en A ' de A ba io la

reflexion

A.I

->i g ur a 5 . 60 a

I

~

F i gu r a 5 . 60 b

Figura 5.6::



00

o 1 Habilidades de pensamiento

Comurricacion

1. Dibuja la re f1 ex i6n d e ca da p re im ag en re sp ec to a la re cta qu e s e in dica 0 se da en cada caso .

a. c.y

d.y

_~ectoa

jI - + t --l--'

HX X

e.

y

f.

2. Dibuja en e l p la no ca rte s ia no la p re im agen y la

im ag en d e la s re fle xio ne s qu e se d es cr ib en a c on -

t inuaci6n.

a. P re im a ge n: p olfg on o c on ve rtic es

(-5,-3); (-1,-3'); (-5,1); (-1,1)

R x : re f1 exi6 n c on re sp ec to a l e je x.

b. Pre imagen : pollqono c o n v er tic e s

(0,6); (6,0); (0,-6); (-6,0)

R y : re f1 exi6 n c on re sp ec to a l e je y

c. P re im a ge n: p ollq on o c on ve rtic es

(0,0); (-4,0); (0,-2); (-5,-3).

R : re f1 exi6n co n res pe cto a la re cta qu e u ne

lo s p u nt os (-2,2) y (3,-3).

d. P re im a ge n: p ollq on o c on v ertic es

(0,0); (-4,0); (0,-2); (-5,-3).

R : re fle x io n con respec to a la re c ta que une

lo s p u nt os (2,2) y (3,3).

e. P re im a ge n: p oliq on o c on v ertic es :

(-1,5); (3,2); (2,-5); (-4,-1).

R : re f1 exi6n c on res pe cto a la re cta qu e u ne

lo s p u nt os (2,2) y (3,3).

g. h.

y y

x

F i gu r a 5 .6 1

.Razonamiento logico

Determina s i c ad a u na d e la s s ig uie ntes p ro pos i-

c lo ne s e s v erd ad era 0 f als a . S i e s f als a , escribe en

tu cuade rno un e jem plo que 10 m ues tre .

a. La im agen de la re f1exi6n de una figu ra con

re spec to a una re c ta es una fig u ra de la m is -

m a fo rm a y ta rn an o qu e la p re im a ge n.

b. La im agen de la re fle xio n con respec to a l e je

x de una fig u ra que se encuen tra en e l p rim er

cuad ran te es una fig u ra en e l segundo cua -

d ran te

c. La im agen de la re f1ex i6n con respec to a l e je

x de una fig u ra que se encuen tra en e l se -

gundo cuad ran te es una fig u ra en e l te rce r

cuadran te .

d. La im age n d e la re f1 ex i6n c on res pe cto a Je je

y de una fig u ra que se encuen tra en e l se -

gundo cuad ran te es una fig u ra en e l te rce r

cuadran te .

e. La im agen de la re f1ex i6n con respec to a l e je

yd e una fig u ra que se encuen tra en e l te rce r

cuad ran te es una fig u ra en e l segundo cua -

d ran te .



/

4. Traza la imagen de cada figura bajo la ref1exi6n de los ejes X e Y

a. b. I [' c .

L

LF i gu r a 5 .6

Conexiones

5. La figura muestra el plano del apartamento de Alfonso. Andres, el vecino de la parte sur del edificio, tiene

un apartamento identico, el cual es el reflejo del de Alfonso con respecto a la pared del costado sur. Haz u

dibujo del plano del apartamento de Andres.

13.40 m

c'0

~ros:

j DOF i gu r a 5 .6

6. Traza el eje de reflexi6n en cada una de las siguientes figuras.

a. b.

F i gu r a 5 .&

7 . Observa las siquientes figuras.

l

1F i gu r a 5 .6

a. Determina cuales figuras se obtienen de realizar una reflexi6n.

b. Si hay parejas de figuras que no se obtienen de una ref1exi6n, explica por que no 1 0 son.



Rotaciones logro

E nco ntra r la im ag en d e u n p olfg on o a l e fe ctu ar u na ro ta cio n co n

respecto a un centro de g iro y a un anqulo dado.

~ rotacion de una figura u objeto es el movimiento que se hace a

~a al girarla sequn la medida de cierto anqulo alrededor de un punto

-soedfico denominado centro de rotacion.

:: ~BC se ha rotado 122° en el sentido que avanzan las manecillas del

= ' oj alrededor del punto D .

Una rotaclon es una transformaci6n qeornetr ica que

rota una figura un anqulo determinado alrededor de

un punto Ilamado centro de rotacion.i ! IL _ J ~F i g ur a 5 .6 6

:: € utilizan las letras griegas (a, ~,X, o , . . . lpara denotar los anqulos de una rotaci6n. La imagen de un objeto 0

"gura bajo una rotaci6n mantiene la figura igual (su tarnario y forma no carnbian).

Ejemplo

Escribamos la rotaci6n que se hizo a las siguientes figuras.

a.y

! I .

I I I

F igura 5 .67a •

Soluci6n

b.

F i gu r a 5 . 67 b

a . Observemos que el heptaqono regular ABCOEFG se rot6 1300

alrededor del punto H . (abe resaltar que

el anqulo de rotacion ~ es 130°, porque va en sentido contrario al que avanzan las manecillas del reloj.

b. EIpunta de rotacion de la figura es justamente el vertke A y el anqulo de rotaci6n se expresa como

~=-252° porque el movimiento se hizo en el sentido que avanzan las manecillas del reloj.

emplo

EIpunto A ' es la rotaci6n del punta A

alrededor del punto 0 un anqulo f 3

de -60°.

v

F i gu r a 5 . 68

B

x

Aprend .Cuando la e mas

s e n t id rotaci6n se t .

de l re 0 de l avance de ea llza en e

s i 10 ), los angU los las rnaneC il/as. gno neaa tiv o se e scnben c

s lgno pos/ Y sue le un onde I I IVOP a r a in d o II za rs e e l

a rorac' , I ca r q uC ontra rio a l IO n se re a liza en ee l g iro

anvance d I sent ldoe as rn

de l re lo ). a nec illas



/

Cuando a una figu ra se Ie hace una rotacion tra s o tra se fo rm a una co mp os ic ion de ro tac iones .

R ote m os a l p olfg on o A8CDEF a lre de do r d el p un to G

-450

(450

en e l sen ti do de l a va nce de las m anec illas

de l re lo j) y a la im agen ro te rnos la 32° en e l sen tido

c on tr a rio ,

Soluci6ny y

F ig u ra 5 ,6 9( 3

y

F ig u ra 5 69 d

Tarnbien podem os ob tener una rotacion m ed ian te la cornposicion d e re fle xio ne s, s ie mp re qu e 105 e je s d e

re flexi6n se in te rsequ en en tre s f; c on e sto , e l anquio de rotaclon se ra e l dob le de la m ed ida de l anquio qu e

de fine la pnrnera y u ltim a rec ta en la composicion.

F ig u r a 5 .6 9c

R e fle je rn os e l 6A8C respecto~

a DE y su im agen (6A '8 'C )~

respec to a EF . Luego ,

de te rm inem os e l anqu lo de la

rotaci6n resultante.

· ~: R e fleJam os e l 6 A BC re sp ec to a DE.

•

F ig u ra 5 .6 9b

y

~R e fle Jamo s e l 6A 'B 'C respe cto a EF .

· 'J [ 1• 1-": i~-'

· I .\ ~c

• i 1\ -.-~·

r B $ \! . _ - "

\/1- ..+-

• 1- ,--' .

! \1 . ' I e, i"~(-

- _ ...X

· ,

• I 1\I \

I ! ~ ,~I_j __--l..

XF ig u ra 5 .7 0b F ig u ra 5 .7 0c

y

Oe te rm inem os la m ed ida de l LDEF y la de l LAEA" : m LDEF = 8 0 0 Y

m LAEA ' = 160°; obse rvem os que e l trianqulo A"8"C e s u na ro ta ci6 n

de l 6 A BC u n a nq ulo C i = 2 m LDEF = 1600.F ig u ra 5 .7 0a

y

F ig u ra 5 .7 0d

y

F ig u r a 5 .7 0e



Dibuja la imagen de la figura que resulta al e fec -

tuar la rotaci6n indicada alrededor del

dado.

Dibuja en un plano cartesiano la preimagen y la

imagen de las rotaciones que se desuiben a con-

tinuaci6n.

o 0

o J _ ~ - = - Ha~ilidades de pensamiento

Comunicacton

a . a = 35°

b. f 3 = -40° y

c. X = 60°

d . ()=-700

a. Preimagen: poligono con vertices: (-5,-3);

(-1,-3); (-5,1); (-1,1) con una rotaci6n de -900

alrededor del punto (3,4)

b . Preimagen: poligono con vert ices: (0,6); (6,0) ;

(0,-6); (-6,0) con una rotacion de -1800 alre-

dedor del punto (3,4).

Figura 5.71 a

Preimagen: poligono con vert ices: (0,0); (-4,0);

(0,-2); (-5,-3) con una rotacion de 1800 alre-

dedor del origen.

d . Preimagen: poligono con vertices: (0,0);(-4,0);

(0,-2); (-5,-3) con una rotacion de -1800 alre-

dedor del punto (2,2)

c.

e. Preimagen: poligono con vertices: (-1,5);

(3,2); (2,-5); (-4,-1) con una rotaci6n de 1800

alrededor del punto (2,2)

Razonamiento logico

3. Determina si cada una de las siguientes proposi-

Figura5 .7 1 b ciones es verdadera 0 falsa. Sies falsa, escribe en

tu cuaderno un ejemplo que 1 0 muestre.

a. La imagen de una rotaci6n es una figura de la

misma forma y tarnano que la preimagen.

b. En el plano cartesiano, la Imagen de una ro-

taci6n de 1800 alrededor del origen de una

figura en el segundo cuadrante es una figura

en el cuarto cuadrante.

Figura 5.71 c

c. En el plano cartesiano, la imagen de una ro-

taci6n de -900 alrededor del origen de una

figura en el segundo cuadrante es una figura

en el cuarto cuadrante.

d. En el plano cartesiano, la imagen de una ro-taci6n de 900 alrededor del origen de una fi-

gura en el tercer cuadrante es una figura en

el segundo cuadrante.

e. En el plano cartesiano, la imagen de una ro-

taci6n de -270° alrededor del origen de una

figura en el tercer cuadrante es una figura en

el segundo cuadrante.

x

Figura 5.71 d



Composicion de movimientos Logro

• R ea liza r c om pos ic io ne s d e d os 0 m as m ovim ien tos e n e l p la no .

Supongamos que Ml y M2 son dos transformaciones 0 movimientos en el plano. La notaci6n (M1o M2) ( P ) indi-

ca que a un punto dado P se Ie efectuara primero la transformaci6n M2 y a la imagen resultante se Ie efecruara la

transformaci6n Ml Una cornposicion de transformaciones qeornetricas consiste precisamente en Ilevar a cabo

dos 0 mas transformaciones a un punto 0 al conjunto de puntos que forman una figura.

x

Soluci6n

Dado el poligonoABCDE y las transformaciones

R : reflexi6n con respecto al eje XyT traslaci6n •

con respecto al vector M R con M(O,O) y N(3,2 ) :

determinemos la imagen de (T 0 R)(ABCDE) .

y

~. T I I

Efectuamos la reflexi6n

con respecto al eje X .

y

Trasladamos la imagen

A'S'CD'E'segun el vector M R .y

·F ig ura 5 .7 2a

••••

• De dos traslaciones es una traslaci6n .

La composlclon: ~

Esuna rotaci6n si los ejes de reflexi6n se cortan. i• De dos reflexiones puede ser una traslaci6n 0 una rotaci6n: • De dos rotaciones con el mismo centro es otra

Es una traslaci6n si los ejes de reflexi6n son paralelos. rotaci6n.

Solucion

Realicemos las traslaciones

(T1o T2) Y (T2 0 T1) al

trianqulo ABC , donde Tl es la

traslaci6n dada por el vector

O f y T2 la traslaci6n dada

por el vector F G .

Efectuamos T2 ( ABC) Y obtenemos

eI6A 'B 'C

y

0 ,8 - - - + iA < 7 6 ' - " -

"B,clA~~ - ; -

r ' 1 _ ; 2 _ ;

AI 6A 'B 'C Ie efectuamos la traslaci6n

Tl (A 'B 'C) para obtener el 6A"B"C" que

es la imagen de (T1o T2) (ABC) .

y- -- ,- -; - C ' r

' A < 1 : : ~ ~B ' < : --t--t-1 G . j

A4L-:U~-t~3 o~'I~ ' I F

J • X-4 -2 ,- J 4 6 8

-2 - ~ F igura S .73c

-4

F ig ur a S .73 b

Para hallar la imagen de

(T2o Tl)(ABc)primero efectuamos

T1( ABC) y obtenemos el 6A 'B 'C

y

.~8~'i

: L~-j .6-.H...)..]1 --L·1

: I A<1lc4~~ .,i: 2 B~

• B _ , . . . . . ,•

Luego, al 6A 'B 'C Ie efectuamos la '

traslaci6n T/A 'B 'C) para obtener

eI6A"8"C'

y~--g ~ !---.., 8 11 :-'I

~ 6~~t: 1+ - r - Yr C4A~C j

A~_2 ~'-L .

F ig ur a S .73 a

F ig ura 5 .74 a-2

·•·



: :le a li cemo s la s r e f1 e xi on e s

Rj

0 R2)( ABCD ) Y

R20 R1) (ABCD) s i R l es la

-e tle xio n re sp ec to a E F y R , laL

Efec tuemos R/ABCD)

p ara o bte ne r e l p olfg on o

A 'B 'CO'

•••••

•·•

reflexion re spe cto a G H . Efec tuemos R 1 ( ABCD )

para obtener e l pollqono

A 'B 'CO' .

F ig ura 5 .7 5a

•••·•••••••••••

E fec tu em os R 2 (A 'B 'CO')

pa ra ob tene r e l poliqono

A"B"C"O".

·••••••

••

F ig ura S .7 5c

Efec tuemos R 1 (A 'B 'CO')

pa ra ob tene r e l pollqono

A"B"C 'O"

·••••

F ig ura S .7S d

C ab e re sa lta r qu e e n c ad a u na d e la s a nte rio re s c om p os ic io ne s,

d e re f1 exion es , la Im age n es un a tras la cio n de l po ll on o in ic ia l.·

E fe ctu em o s la reflexion (R 2 0 Rj) ( A B C )

s i R l e s la re fle xio n d el I '1ABC respec to

a la re cta D E y R 2e s la re fle xio n d el

I '1A'B'C re spe cto a la-recta O F

••·•·

·••••••••·•··••·

Com o se observa en la fiq rua 5 .86b , la co rnpos ic io n de dos re -

fle xio ne s e s u na ro ta cio n cu an do los e je s de re flex io n se co rtan .

R e fle ja m os e l I '1ABC

re sp ec to a la re cta D E .

R efle jam os la im ag en d el

I '1ABC re sp ec to a la re cta OF

F ig ur a 5 .7 6b F ig ura 5 .7 6c

F ig ura 5 .7 6a

o 0

o -- Habilidades de pensam ient_ __~~ ~~ ~ ~ ~-~-~ ~~

Comunicaci6n

1. Considera la s s ig uien tes tra ns fo rrn ad one s y en c ad a caso realiza la c orn po sic io n in dic ad a.

T1• tra sla cio n c on re sp ec to a la fle cha A I I N con A I I ( - l ,-2) Y N ( l , 3 )

T2• tra sla cio n c on re sp ec to a la fle cha A I I N cc:;n A I I ( l ,2 ) Y N ( l , - 3 )

T3• tras la do n c on res pe cto a la fle cha A I I N con A I I ( 2 , 2 ) y N ( -3 , 2 )

R x . re flexion con re sp ec to a l e je X .

R y •re fle xio n c on re sp ec to a l e je Y

Rj• re flexi6n con re spec to a la re c ta que pasa po r lo s pun to s (2,2) y (-1,-1)



R 2 re fle xi6n con re spec to a la re c ta que pasa po r lo s pun to s (-2,2) y (1,-1)

R 3 re fle xi6n con re spec to a la re c ta que pasa po r lo s pun to s (0,0) y (1,4).

G1o tac i6n d e -900 a lrededor de l o rigen . \

-8 -6 -4 -2

JZ

. ~ . = - -~---

Figura 5.77b

y b. T3° R x

x

Figura 5.77a

d.

-8

e . T o R1 Y

~4-~

Figura S.77c

f.

2. Realiza en la cuad rlcu la . pa ra cada fig u ra , lo s s i-

g uie nte s p as os .

. Traza (R10R 2) (ASCOEFG) c on R l la re fle xi6 n----0> ----0>

res pe cto a H I y R 2 la re flex i6n res pe cto a JK .

. Traza (R 30R4 ) ( F ) c on R 31 are fle xi6n re sp ec to a

A S y R 41 are fle x!6 n re sp ec to a B C

a.

Figura 5.78a

b.

Figura 5.78b

y

x-2

~2

Figura 5.77e

~2-

Figura 5.77f

3. Observa l a s f ig u r a s ASCOEFG, A "8"C 'O 'T 'F "G" Y F ,

F " de l e je rc ic io an te rio r y .con b ase e n e lias com-

pleta c ad a fra se .

a. A"S"C'O"E"F"G" es e l re su ltado de ap lica r a l

p o l r g on o ASCOEFG dos conse -

cut ivas.

b . F"ese l r esu lta dodeap lica raFdos _

consecu t i vas .

c. La com po sic i6n d e d os re fle xio ne s pu ed e se r

d. La com pos ic i6n de dos re fle xiones de e je s

________ es una tra s la c i6n .

e. La com pos ic i6n de dos re fle xiones de e je s

in te rsecan te s es una _

Razonamiento logico

a. Traslada la f ig u ra F s equ n la c om p os ic i6 n

T ( F ) = (T l0 T2 ) ( F ) con T 1: tra sla ci6 n s eq un e l

----0>

vec to r AS yT2: tra sla ci6 n s eq un e l v ec to r CD .

Figura 5.79

x



Simetrias lagro

Reconocer 105 e J es de s ir ne tr le de d if er en te s f igu ra s geome tr icas ,

\_ 3 : siguiente figura, al trazar una recta a 10largo de la arana y de la hoja, observe-

-:::5 que la mitad de la derecha parece ser identica a la de la izquierda; cuando esto

_=ede decimos que la figura presenta una simetrfa de reflexi6n 0 axial,

F ig u ra 5 ,S0

a.

Eje de simetria Eje de slrnetrle

Una figura presenta una simetrfa de reflexi6n 0 axial si existe una recta que corte la

figura en dos partes tales que una mitad coincida exactamente con la otra Dicha recta se

denomina eje de slmetrla

F ig u ra 5 .8 1a

c.

F ig u ra 5 ,8 1 c

Identifiquemos cual de las siguientes figuras presenta

simetrla de reflexlon.

Las figuras b. y cpresentan simetria de re-

flexion porque existe una recta que corta las

figuras en dos partes iguales,.

···•·••··••

··•

F ig ur a 5 ,8 1 b

d.

F ig u ra 5

Por otra parte, las figuras a, y d. no presentan

metria de reAexi6n porque no existe una rect

que las corte en dos partes iquales.

, F igu ra 5 ,S1d



•• ' \ 1I J j., ~ I.', • \. .••. ~ , ;

'j':,.I,.1

...

: . \:. ,./ ,i.lq'··!...

E xis te o tro tip o de slmetrla denom i nada de rotacion. S i r

r ota m os la fig ura 5 .8 1 9 0° a lre de do r d el p un to C , l la-

ma n d o centro de rotaci6n, no ta mo s qu e\e sta vu elve a

quedar ig ua l \

F igu ra5.83

U na fig ura p re se nta simetria de rotacion s i e xis te u n p un to , d en om in ad o centro de rotacion.

a lrededo r de l cua l se puede e fe c tua r una rotacion meno r 0 ig ua l q ue 360°, de ta l m ane ra que la

im ag en d e la fig ura c oin cid a co n la p re im ag en .

Ejemplo

D ete rm in em o s c ua l d e la s s ig uie nte s fiquras p re se nta u na s im e tria d e ro ta ci6 n

•o

B . c.

Figu ra5.84

Soluci6n

E n c ada fig ura s e o bs erva qu e e xis te s im e tria d e ro ta ci6n p orqu e, a l g ira rlas a lre de do r d e lo s p un to s A B, C Y 0 un

anqulo de 72°, 600, 900 Y 1 8p o re sp ec tiva m en te , la im a ge n e s la m is m a p re im a ge n.

o 0

o Habilidades de pensamiento ~

Comunicaci6n

1. P a ra c a da f ig u ra realiza c a d a li te r al.

F igu ra5.85

a. Rota l a s f ig u r a s 900

•

b. Marca c on X la s f ig ura s q ue c oin cid ie ro n e n to do s lo s p un to s a l ro ta rla s, L Qu e c ara cte rfs tic a tie ne n e sa s

fig u ra s? ___



Traza e identlfica los ejes de sirnetrla de cada

qura

3. Completa cada figura, suponiendo que la recta

dada es un eje de simetria de reflexi6n

a.

b.

;:~'~ mana Jesus MejlUm I ! : ii , ~ ITAGUI

tr , ,,;; -----::-=--=-==--" I . . . . · ) BrBUOTEO' l

Establece cuales de las siquientes figuras tienen

simetria rotacionai y lccaliaa ei punto de rotacion.

a.

b. F ig ur a S .S S a

F ig ura S .S S b

Razonamiento logico

Determina si cada una de las siguientes proposi-

ciones es verdadera 0 falsa. Sies falsa, da un eJem-

plo que 1 0 muestre.

a. Un poligono regular tiene solamente un eje

de sirnetrla.

b . Un eje de simetria divide una figura en dos

figuras tales que una es una traslaci6n de la

otra.

c. Un trianqulo equilatero tiene tres ejes de si-metria.

d. Un trianqulo escaleno tiene un eje de sime-

tria,

e. Un trapecio no tiene ejes de slrnetrla

f. Un poligono regular tiene simetria de re-

flexion y de rotacion.

Conexiones

2,Cuaies de las letras del alfabeto tienen simetria

de reflexi6n y cuales tienen simetria de rotaci6ncon un anqulo diferente de 36007

A B C 0 E F

G H I J K L

M N 0 P Q RI

s T U V W X

Y Z

F ig u ra 5 .8 9



Ejes de simetria en poligonos

regulares

logro

• R ec on oc er y tra za r lo s e je s d e s im etria d e p olig on os re gu la res

La fotografia muestra la vista superior del edificio del Pen-

taqono en Estados Unidos. Si trazamos los segmentos per-

pendiculares que van de cada vertice del psntaoono a su

lado opuesto, formamos cinco ejes de simetria que se cru-

zan justamente en el centro de simetria rotacional.

En los poligonos regulares el nurnero de ejes de simetria

y simetrias de rotaci6n depende del nurnero de lados

que tiene la figura.

F ig ura 5 .90

Un pollgono regular tlene tantos ejes de simetria y slmetrlas de rota cion como •

nurne ro de lad os. n

Identifiquemos el nurnero de ejes de simetria que tiene cada uno de los siguientes poligonos regulares.

a.

~

I - ~ ] = R - ' I ·• •· · . . . l [ + I ' I 1 1I '. A I 1 Ii '-.__' r+-+-

~ I

i I rI : ~-.-t---"""'-

,~3G~,JJJ~igu ra 5.91a

Soluci6n

a. EI poligono tiene 3 ejes de simetria.

b .

F ig ura 5 .91 b

:

rl

H1

• b. EIpoligono tiene 8 ejes de simetria.

Soluci6njemplo

Tracemos todos los eJesdesimetria del siquiente poll- : Como el poligono tiene 14 lados, debemos trazar 14

gono estrellado. : ejes de simetria.

··•·

Figura 5.92a••

·•••·•••••

Figura 5.92b



: : : 1 el siguiente cuadro se presentan 105 ejes de simetria del rectanoulo, el cuadrado y el rornbo. Observemos

::Je el nurnero de ejes de simetria del rcctanquio y del rombo no es igual al nurnero de lados por ser poligo-

-;)5 irregulares.

E je s d e slrrietrla

Rectangulo Tiene 2 ejes de simetria

FiguraS.93a

Cuadrado Tiene 4 ejes de simetria

F ig ura S .9 3b

Rombo Tiene 2 ejes de simetria

00.

o, - - - - ~- - -- '"

- -

:' ~Habilidades d e pen~~miento~---~ _- - - --- -_ - - ---- =v-c=c scs

Razonamiento logico

1. Traza los ejes de simetria de cada uno de los siguientes poligonos regulares y poligonos estrellados. Loca-

liza tarnbien el punto de simetria rotacional.

•

F ig ura 5 .9 4

2. Determina si cad a una de las siguientes proposiciones es verdadera 0 falsa Si es falsa, da un ejemplo que

10muestre.

a. Un poligono regular tiene tantos ejes de simetria como vertices.

b. Un poligono regular tiene tantos ejes de simetria como lados.

c. Un poligono regular estrellado tiene tantos ejes de simetria como vertices.

d. Un poligono regular estrellado tiene tantos ejes de simetria como lados.

e. Un eje de simetria divide un poligomo regular en dos poligonos regulares.

f. Un eje de simetria de un trianqulo equilatero 1 0 divide en dos trianqulos isosceles.

g. Un eje de simetria de un trianqulo equilatero 1 0 divide en dos trianqulos rectanqulos.



Comurricacion

3. C ada uno de los s igu ien te s po lfg onos se ha d ivid o po r uno de sus e jes de s im etrfa . Completa e l d is e n o.

. L\ .

4. La vis ta s up erio r de l e dific io d el C ap ito lio e n E sta -

dos Un idos tie ne fo rm a de c frcu lo ~C uan tos e je s

d e s im e trfa tie ne u n c irc ulo ?

F ig u ra 5 .9 6

5. Dibuja u n t ra p e cio y u n tra pe zo id e. L l,Ie go , traza

l a s d i agona le s y con u na esc ua dra verifica s i e s-

t as s o n p e rp e nd ic ula re s 0 no . Comparte con tu s

c o rn p an e ro s t us c o nc lu s io n es .

F igu ra 5.95

6. Dibuja lo s tre s tip os d e tra pe cio s y u n tra pe zo id e.

Luego realiza c a d a l it er a l.

a. Traza la s d ia go na le s d e ca da un o.

b . Encuentra to dos lo s e jes de s im etrfa qU e

tengan .

c. ~ Cu ale s d e lo s tra pe cio s s on s irn etric os ?

Resolucion de problemas

7. La s igu ien te rueda de la fo rtu na se hace gir2

una ra z6n de 4 vue lta s po r segundo . S i se de t'e

lue go de tres cu arto s de m inu to , ~e n que nu rr.::

cae?

F i g ur a 5 . 97



Logro

Trazar la m a q e n d e u na homote cia c on r es pe cto a u n p un to y a un

fact or de escala

-oy d ia m uchas pe rso na s usa n ca me ras d ig ita les ; s in em ba rgo , a lg un os fotoqrafos a un p re fie re n la s c am e ra s

-, d ic ion ales y las p elfcu la s p ara ampliar 0 re du cir, a u n factor de sscala. la s irnaqenes. D ic ho fa cto r d e e sc ala

cuede s er la m ita d, e l d ob le 0 la te rc era pa rte d e la im age n o rig in al, en tre m uchas o tra s rnedides. En g e ome tr ia

.ma ampl iaci6n 0 una reducc i6n re c ibe e l nom bre de homotecia

Una homotecia e s una t r. a n s fo rmac i6n

qeornetrka qu e arnplla 0 re du ce u na ftg ura

proporcionalmente. L as h om o te cia s s e re aliz an

con re spec to a un punto I l amado centro de Ia

dilatacion y a un factor de esca la .

H alle m os la Im a ge n d el tra pe cio ABeD po r

m ed io de la hom ote c ia re spec to a l pun to 0

centro de dilataci6n P con un fa c to r de esca lad e 2 u nid ad es

Soluci6n

Paso1

T ra za m os lo s ra y os P A , P B , P C y P O y m ed im os •

la s d is ta nc ia s d e lo s s eg m en to s P A, P B, pey Po. :

.A~------------~O F ig ura 5 ,9 9a

_ . .

••

"----,.. ·

" "···ig ura 5 ,9 9b •

·••

·•·

Paso 2

•••••

C om o e l fa c to r de esca la es 2 , ub icam os a l pun to A ' so bre e-----i>

rayo PA de ta l m ane ra que m PA ' = 2 m PA y r ep e tim o s

es te p roceso pa ra ub ica r los pun to s B: Cy 0'.

EI t rapec io A 'B 'CD ' es la Im agen de l tra pec io o rig in a l y cada

uno de lo s lad os de es ta im agen m ide e l dob le s i s e com -

p ara co n su co rresp ond ie nte lad o e n la figu ra o rig in al.

oF ig u ra 5 ,9 9c

5 i e l fac to r de esca la de una hom otec ia e s m enor que 1 , en tonces lo s la d o s co rrespond ien te s en la im agenten dra n p rop orc io na lm en te un a m ed id a rne nor.

Tra ce mos la Im age n d el p olfg ono ABeD por

m ed io de la hom otec ia con fa c to r de esca la %re sp ec to a l p un to E .

F ig u ra 5 ,1 00 a



Soluci6n~~

T ra za m os lo s ra yo s fA , f8 ,-r-r-r -->

fC Y E D .

F ig u ra 5 .1 00b

M ed im os la lo ng itu d de lo s

se gm en to s fA , fB , fC Y E D .

•T ra z ar no s lo s s e gme n to s A 'B ;

8'C CO'y O'A 'de ta l m odo que- 1 -

mfA ' = 2 " m fA y repe tim os

es te p ro ceso pa ra cada pa r de

p u n to s c o rr e sp o n d ie n te s .

F i gu ra S . 100e

··•

··

•••

F i gu ra 5 .1OOd

00

o Habilidades de pensamiento

Comurricacion

E fe ctu a la s h om ote cia s c on lo s f ac to re s d e e sc a la

dados y re sp ec to a 105 pun to s de d ila ta c io n que

s e i nd ic a n .

,.

a. F ac to r de esca la 2 b.

.A

Fac to ! d e esca la2

B .

F igura 5 .101a F igura 5 .101 b .c. F ac to ! de esca la 3 d. Fac to r de esca la }

F ig ur a 5 .1 01 c

e. F ac to r d e e sc ala : 4 f. Fac to ! de e s ca la : 5

F ig u ra 5 .1 0 1d

.F ig u ra 5 .1 01 e F i gu ra 5 .1 0 1 f

Razonamiento logico

Determina s i c ada u na d e la s s ig uie nte s p ro po si-

c iones es verdadera 0 f a ls a . S i e s f a ls a , da u n e je rn -

p lo qu e 10 mues t r e .

a. La im agen ob ten ida en una hom o te c ia e s

una fig u ra que tie ne la m ism a fo rm a y ta rn s-

no qu e la p re im ag en .

b. S i e l fa c to r de esca la es ~ , la im agen de una

nqu ra se reduce de ta l m ane ra que la s rned i-

da s de sus lados son la m ltad de la s m ed idas

de lo s lados co rre spond ien te s en la p re im a-

gen

c. P ara e fe ctu ar u na ho m ote cia se requiere 50-

lam en te la p re im agen y e l fa c to r de esca la .

d . S i se e fe c tuan dos hom ote c ia s a una rn ism a

fiqu ra con e l rru s rno fa c to r de esca la pe ro

con re spec to a d ife ren te s pun to s de d ila te -

c io n, la s lrn aq en es r es pe ctiv as c oin cid en .

Completa la s e x p re sio ne s re sp ec to a la s h o m o te -

c ias y s u s p r o pie d a d e s.

Lahomotecia:

a. Trans fo rm a un segm en to en o tro '

b. Conse rve e l o rden d e sus _

y la s m ed idas de sus .

c . EIfa c to r d e esca la puede _

o re duc ir la im ag en de la fig ura d ad a.



Comunicaci6n

En las siguientes figuras se han efectuado homotecias con respecto a los puntos de dilataci6n dedos.lden-

tifica el factor de escala.

a. b. E

F

K ' j'

G,i7G~H'

H•

F igu ra S .102 il F igu ra 5 .1 02b

5. Para la siguiente figura realiza cada literal.

Figura5.103

a. Encuentra la imagen del objeto dado mediante la homotecia con factor de escala de 1,2 Yncmb ra l a

A '8 'CD ' .

b. Encuentra la imagen de A '8 'CD ' mediante la homotecia con factor de escala de 1,5 Y el mismo cen-

tro.

c. Completa los'siguientes enunciados.

La cornposicion de dos homotecias con el mismo centro es _

E I factor de es la razon entre la longitud de los lados correspondientes

de la figura y su imagen.

Los anqu los de ABeD son respecto a 105 anqulos de las i rnaqenes A '8 'CD '

y A "B "C 'D "

Conexiones

6. AI observar bajo un microscopio cada uno de los siguientes objetos, la imagen aparenta tener la imagen

dada Si tam bien se proporciona el tarnano real, escribe la escala que utilize el microscopio en cada caso.

Objeto Tam~lio aparente '" Tamalio real Escala,

Pulga 350 mm 3,5 mm

Cabello humano 6000 mm 0,6mm,

Ameba 2500 mm 0,Q25 mm"

Pata de zancudo 620mm 0,062 mm)

Tabla 5.2



Congruencia de poligonos Logros

Re co no ce r c ua nd o d os p olig on os s on c on or ue nte s.

• H allJ r m ed id as d es co no od as d e p olig on os c on oru en te s.

AI trasladar, rota I' 0 reflejar un pollqono su imagen tiene la misma forma y el mismo tarnano. Observemos que

en cada una de las siguientes figuras los segmentos y los anqulos correspondientes de los pollqonos son con-

gruentes, es decir, tienen la misma medida; cuando esto sucede decimos que los poligonos son congruen-

tes.

8'

I

~ A '

_ ,-L C0'

F igura 5,104a Figura 5,104b F ig u ra 5 ,1 04 c

Cuando los lados y anqulos correspondientes de dos poligonos son congruentes

entre si, se dice que los poligonos son congruentes.

En la figura se observa la ref1exi6n del L ,ABC respecto a

una recta dada. Determinemos si el trianqulo y su imagen

son conqruentes.

F ig u ra 5 ,1 05

Soluci6n

AI medir la longitud de los lados y la amplitud de los

anqulos correspondientes de los trianqulos, observamos

que son congruentes; por tanto, los trianqulos ABC y EO F

son congruentes, esto se de nota por L,A IK "" L,EO F ~-prendemas

re se nta la(Isirnbo1o ~ rep· 'a de

" de c;ongruenClrelac10n ornetriCOS

obJetoS ge



o

-

Habilidades de pensamiento -

Comunicaci6n

Determina s i l as s ig uie nte s p are ja s d e fig ura s s on 2. Completa lo s s ig uie nte s e nu nc ia do s c on b ase e n

cong ruen te s cada pa re Ja de po lfg onos cong ruen te s ,

Figura 5 .1 06 b

C. F ig ura 5 .1 0 7b

c . La fig u ra ABCDEF p re sen ta s im etr fa de

_______ re spec to a la re c ta que

pasa p o r e l p un to _

a.

F ig ura 5 .1 0 6a

b.

F ig ura 5 .1 0 6e

d .

F ig ur a 5 .1 06 d

a. Los tria nqu lo s son cong ruen te s po rque lamedidad de lo s y _

co rre spond ien te s que fo rm an cad a figu ra

son __

A ' A

B iigu ra 5 .107 a

b. E I p o li go n o A'B'CD' t es la im agen de efec-

tu a r u na a l po lig ono

_____ a lrededo i de l pun to .

B

F ig ura 5 .1 0 7e

d . L a f ig u ra A 'B 'CD 'E ' es la im agen que re su l-ta al e l p o lig ono hac ia 1 3,

0' B

C F igu ra 5 .107d



3. Determina s i ca da un a d e la s s ig uien tes p rop os i-

c io ne s e s v erd ad era 0 fa ls a S i es fa ls a, da u n e je m -

p lo q ue 1 0 m ue stre .

a. La p re im age n d e un a reA exi6n e s co ng ru en -

te con su im agen .

b. La p re im a ge n d e u na tra sla ci6n e s c o ng ru en -

te con su im agen .

c. La p re im age n d e un a ro ta ci6n es co ng rue nte

c on su im age n.

d . La p re im agen de una hom otee ia es eon-

g ru en te co n s u im ag en .

e. Un hexaqono regu la r es cong ruen te con

c ua lq uie r o tro he xa qo no re gu la r.

f. S i la s m ed idas de los lados de un cuadn la te -

ro son co rre spond ien tem en te igua \e s a la s

m ed idas de los lados de o tro cuadrila te ro ,

e nto ne es lo s c ua drila te ro s s on c on gru en te s.

S i las m ed id as de 105a nqu los d e un cu ad rila -

te ro so n co rresp ond ie ntem en te ig ua le s a "la s

m ed ida s de lo s an qu lo s de o tro e ua dr ila te ro ,

e nto nc es lo s c ua drila te ro s s on c on gru en te s.

S i d os c ua drila te ro s s on c on gru en te s, e nto n-

ees las m ed idas de los lados de un cuad rila -

te ro son co rre spond ien tem en te igua le s a la s

m e did as d e lo s la do s d el o tro c ua drila te ro .

i. S i d o s c ua drila te ro s s on e on gru en te s, e nto n-

ees la s m ed idas de lo s angu lo s de un euad ri-

la te ro son eo rre spond ien tem en te igua les alas m ed id as d e los a nqu los d el o tro cu ad rila -

tero.

(IConexiones

4. En los p ianos de dos apa rtam en to s se obse rva

que es to s tie nen la m ism a fo rm a, la m ism a d is -

tnbuc ion y la m ism a a rea pero se eneuen tran en

di ferente ubiracion, de ntro de la u rb an iza ei6n .

LE s co rre cto a firm ar que lo s p ia nos d e lo s a pa rta -

m e nto s s on c on qr ue nte s?

5. Maria A nton ia tiene en su com edor una rep lica a

esca la de l cuad ro La u ltim a cena de Da vinc i. (Es

co r rec to a firm ar que es te cuad ro es conqruen te

c o n e l o rig in a l?

6. Una es tud ian te de b io loq la tom a una fo tog ra fia

de una am eba con un m ic roscop io au rnen tado

m il vece s. S i s ac a o tra fo to gra fia co n e l m ic ros co-

p io aum en tado en 100 vece s, Lias lrna qen es d e

la s fo to g ra fia s s o n c o nq ru e nte s ?

oRazonamiento 16gico

7. P ara c ad a u na d e la s s ig uie nte s fig ura s in dic a:

o

A

B

o

B

c

F ig ura 5 .1 O Sa

F ig ur a 5 .1 0S b

a. L Cu an to s tria nq ulo s h ay ?

b . LDe q ue c la se s on e S 05 t rla nq uio s?

c. LCua le s s o n c o riq ru e n te s ?

8. Comprueba q ue e l t ria n qu lo M N P e s c o n gr u en t e

c on e l tr ia nq ulo M N T Identifica los segm en to s y

a nqu lo s qu e s on c on gru en te s.

M

T

g.

~ij

"

j:h..~ t

r:

N

p

F ig u ra 5 .1 09



Semejanza de poligonos Logros

Rec on oc er c ua nd o d os p olig on os s on s ern eja nte s.

. Ha ll armed i dasdesconoe idasde dos po li gonosseme jan te s .

- ;:,ec tua r una hom otec ia obse rvam os que la im agen resu lta nte tiene

= -n ism a fo rm a que la im agen orig in a l pe ro no tie nen e l m ism o tam a-

- = : : ; . por e llo dee im os que la im agen y pre im agen son semejantes.

Dos po lfgono s son semejantes

s i s us a n qu lo s c or re sp o nd ie n te s

s o n c o ng ru e n te s y s i s us

la do s c orre sp on die nte s s on

proporcionales.F ig ura 5 .1 10

D ete rm in em os s i la s s igu ien tes figu ras so n sem eja ntes ; en caso de serlo , ha lle mos la p roporc ion alida d d e sus lado

F ig ura 5 .1 11

En la figu ra obse rvam os que :~ = ~ ~ = ~ ~ = ~ : = ~ y que LA ;: LE ; LB ;: LF ; LC ;: LG ; LD;: LH .

D ad o q ue lo s la do s 1 ::0 rre sp on die nte s e ntre 1 05d os c ua drila te ro s s on p ro po rc io na le s y lo s a n qu lo s c o rr es p on d ie n -te s SOil c on gru en te s, e nto nc es e l c ua drlla te ro ABCD e s s eme ja nte a l c ua dr lla te ro EFGH . E sto s e s im bo liz a a sf: ABCO

EFGH .

Soluci6njemplo

E n la s s ig uie nte s fig ura s lo s a nq ulo s c orre sp on die nte s

tienen la m ism a m ed ida ; eneon trem os las m ed idas des-

conoc idas de sus lados de ta l m odo que 6.A BC - 6.E DF

C

~~1,84em

A 3,3 em B

Pa ra q u e 6.A BC - 6.E DF , s u s la d o s c o rr es p on d ie n te s

d eb en s er p ro po re io na le s, e sto e s:

AB BC AC- -=-DE EF OF

Po r tan to : II= 1,84: 10 x

: Luego , x = 1,84 x lQ. = 5,57 aprox imadamen te y• _ 3,3: m BC = x = 5,57 em ap ro x ima d ament e.•· P or o tra p arte

:ll- 4/46

10-y+6 10

: Luego , y + 6 = 4,46 xD

: y + 6 = 13 ,51 aprox imadamente

F

~'

xem

E 10 em 0

••

·: Y= 1 3,5 1 - 6 = 7,51 aprox imadamen te

- F igura 5 .112 · De 10 eua l eonc lu im os que m EF =Y = 7,51 em

: a pro xim a da rn en te .

••••



o 0

o dades de pensamiento

Comunicaci6n

a.

1. Establece si los siguientes pares de figuras son semejantes entre sL

c.

b.

F ig u ra S .1 13 a

F ig u ra S .1 13 e

F ig ura S .1 13 b

d.

F ig ura S .1 13 d

2. Halla la medida dellado desconocido para que cada uno de los siguientes pares de poligonos sean seme-

jantes.

a.

#9,36 em

ZJ . . : : : . . , . . _ _ - -f--- :3 em ---<

c·

oo,~em

0,97 em

:;

x+ 1

F ig ur a S .1 14 a

2x+ 1

2,90 em

F ig ura S .1 14 c

b .

O'___246~

2,46 em

j

x- 3

F i]u ra S .1 14 b

;I



E s cr ib e s emeja n te 0 n o s em e ja nte , e n e l e sp ae io ,

sequn eor responda .

a.

7 ~ a T 2

F ig u ra S . 11Sa

b.

T4

a T 5

T3

a T 4

Figu ra 5.115b

c.

T 6 a T 7

F ig u ra S . 11S c

Razonamien to Ioqico

4. supon qu e .6.AB C - .6.XYZ y que m AB = 3 m ,

m BC = 5 m , m ACm AC = 4 m y m XY = 7 m .

Halla la s lo ng itu de s d e YZ y X l.

IIIf

lI/

.

' : . . . - - -.s>

A I e fee tua r una hom otee ia a un trianqu lo equ ila -

te ro de 6 e m d e p erfm etro , s u Im agen tie ne un

perirnetro de 4 em . LC ua l fue e l fa e to r de esca la?

Determina s i e a da u na d e la s s ig uie nte s p ro po si-

e io n es e s v er da d er a 0 f als a S i e s f a ls a, da u n e je m -

plo qu e 1 0 muest re .

a . La pre im ag en d e u na re tle xio n es semeJan te

con su imagen .

b. La p re im a ge n d e u na tra sla ei6 n e s s em e ja nte

c on su im ag en .

c. La pre im agen de una ro tac ion es sem ejan te

e on s u im a ge n.

d. Un pentaqono re gu la r e s sem ejan te a eua l-

q uie r o tr o pentaqono regu la r

e. S i l as m ed id as d e los la do s de un cu ad rlla te -

ro son eo rrespond ien tem en te igua le s a las

m ed idas de lo s lados de o tro cuadrilatero,

e nto nc es lo s c ua drila te ro s s on s em e ja nte s.

f. S I la s m ed idas de los anqulos d e u n cu ad rua -

te ro son co rres po nd ie nte men te ig ua le s a las

m ed id as de lo s an qu lo s de o tro c ua drila te ro ,

e nto nc es lo s c ua drila te ro s s on s em e ja nte s.

g. S i d os e ua drililte ro s s oh s em e ja nte s, e nto n-

ees las m ed idas de los lados de un cuadn la -

te ro so n co rre spo nd ie nte me nte ig ua le s a la s

m ed idas de lo s lados de l o tro cuadrilatero

h. S i d os cu adrila te ro s so n s em eja nte s, e nto n-

ees la s m ed idas de los anqu lo s de un euad ri-la te ro son co rrespond ien tem en te igua le s a

la s m ed id as d e lo s an qu lo s de l o tro cu adrila -

tero.

Conexiones

Un m apa se ilu s tra con una esca la 1 :100. S i la d is -

tan c ia en tre dos pun tos A y B e s de 60 em en e l

m a pa , Le ua l e s la d is ta nc ia re al?

Las ba se s de la s tre s p ira rn id es de G iza en E gip to

tienen fo rm a de cuadrado . La gran p ira rn id e de

Keops tie ne 232 .805 m de lado y la d e J afra tie ne

215 .25 m de lado . L C ua l e s e l fa c to r de escala? ,

E n do s b arrio s d ife re nte s se co ns truy en re spe cti-

vam en te dos pa rques en fo rm a de cuad rados , de

m odo que e l p rim ero cabe cua tro veces en e l se -

g un do . LE se orre cto a fu rn ar q ue e l fa cto r d e e se ala

e ntre s us la do s es cuatro 7 Justifica t u r es p ue s ta .

geometria grado 7º

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