Geometria obrazuWykład 7

Zastosowania Triangulacji Delaunay i szkieletów

1. Rozpoznawanie obrazu

2. Badanie odcisków palców

3. Modelowanie terenu- Metoda zamian- Metoda otoczek- Skracanie dolin

Rozpoznawanie obrazu z pomocą szkieletu.

Dla danego obrazu możemy tworzyć mniej lub bardziej dokładne szkielety zmieniając parametr, który odpowiada odległości między kolejnymi wybranymi punktami na brzegu obrazu lub upraszczając kontur obrazu.

[X. Bai et al. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 29 (2007)]

Jeszcze jedna metoda znajdywania szkieletu.

W celu znalezienia szkieletu, dla każdego piksela wykonujemy następujące operacje.

1. Wykorzystując zgromadzone w preprocessingu dane określamy dla danego piksela oraz jego ośmiu sąsiadów najbliższe wybrane punkty brzegowe.

2. Sprawdzamy, czy odległość między odpowiednimi parami najbliższych punktów brzegowych jest większa od parametru .

3. Sprawdzamy, czy różnica odpowiednich odległości od punktów brzegowych jest niewiększa od odległości badanych punktów.

4. Jeśli dla badanego piksela i przynajmniej jednego z jego sąsiadów otrzymamy pozytywne wyniki w punktach 2 i 3, to dany piksel należy do szkieletu.

Przykład.

Wpływ parametru na wygląd szkieletu.

[W.-P. Choi et al. Pattern Recognition 36 (2003)]

Wśród szkieletów o różnych parametrach można wprowadzić hierarchię, wynikim której są różnej dokładności przybliżenia wyjściowego obrazu.

[X.Bai et al. IEEE Transsactions on Pattern Analysis and Machine Intelligeence 29 (2007)]

Przykład.

Wpływ wyboru konturu obrazu na postać szkieletu.

[X.Bai et al. IEEE Transsactions on Pattern Analysis and Machine Intelligeence 29 (2007)]

Sposoby identyfikacji obrazu :

1. Badanie podobieństw szkieletu:

- Analiza grafowa (izomorfizm krawędzi).

- Przekształcenia zaburzające graf.

- Odwzorowania między liśćmi drzewa.

2. Badanie podobieństw szkieletu i konturu.

3. Analiza ścieżek w grafie szkieletu.

4. Badania dla różnych wartości parametrów.

Niebezpieczeństwa.

Podobne obiekty mają różne grafy.

[X.Bai et al. Int. Journal of Pattern Rec. and Art. Intelligence 22 (2008)]

Podobny graf – różne kształty.

[X.Bai et al. Int. Journal of Pattern Rec. and Art. Intelligence 22 (2008)]

Pozytywne efekty.

[X.Bai et al. IEEE Transsactions on Pattern Analysis and Machine Intelligeence 29 (2007)]

Badanie odcisków palców.

Na odcisku palca określamy zbiór istotnych punktów.

Zwykle są to końce linii papilarnych lub punkty, w których się one łączą.

Dla danego zbioru punktów tworzymy triangulację Delaunay.

[G. Bebis et al. „Fingerprint Identyfication Using Delaunay Triangulation”]

Każdy trójkąt triangulacji jest opisany za pomocą trzech zmiennych.

Niech l1, l2, l3 oznaczają długości boków danego trójkąta w porządku

niemalejącym. Niech α będzie katem przeciwległym do krawędzi

o maksymalnej długości.

Wtedy zmienne z1, z2, z3 przyjmują wartość:

0 ≤ z1 = l1/l3 ≤ 1,

0 ≤ z2 = l2/l3 ≤ 1,

-1 ≤ z3 = cos α ≤ 1.

Następnie skalujemy zmienne, określając odpowiednie progi tak, aby

zmienne były liczbami całkowitymi.

Badamy odpowiednie triangulacje dla wzorca i danych z bazy.

Dla trójkątów opisanych tymi samymi zmiennymi zapamiętujemy

parametry odpowiedniego przekształcenia w przestrzeni transformacji.

Obszar w przestrzeni transformacji, w którym znajduje się najwięcej

punktów odpowiadających odwzorowaniom różnych trójkątów wskazuje

na przekształcenie, które najlepiej dopasowuje oba obrazy.

Po dokonaniu takiego przekształcenia, można z pomocą przekształcenia

afinicznego dodatkowo dopasować trójkąty, które niewiele się różnią.

Procentową zgodność dopasowania określa formuła 200n/(p+q), gdzie

n oznacza liczbę pokrywających się punktów, a p i q są liczbami

wierzchołków badanych triangulacji.

Przykład.

Dopasowane dwie triangulacje przed i po afinicznej korekcie.

[G. Bebis et al. „Fingerprint Identyfication Using Delaunay Triangulation”]

Modelowanie terenu.

Rozpatrujemy zbiór punktów na płaszczyźnie, którym została przypisana dodatkowa wartość (wysokość).

Naszym celem jest stworzenie triangulacji o własnościach zbliżonych do triangulacji Delaunay i spełniającej dodatkowe warunki:

- minimalizacji liczby lokalnych minimów w grafie triangulacji (tzn. wysokości wszystkich sąsiadów są niemniejsze od wysokości danego wierzchołka) ,

- minimalizacji liczby i rozmiaru „dolin”, tzn. spójnych zbiorów krawędzi łączących wierz-chołki, dla których ciąg wysokości kolejnych sąsiadów ma co najmniej dwa lokalne minima.

Fakt.

Triangulacja Delaunay nie koniecznie musi spełniać podane warunki.

Twierdzenie.

Problem znalezienia triangulacji minimalizującej liczbę lokalnych minimów jest NP-trudny.

Wniosek.

Poszukujemy rozwiązań aproksymacyjnych.

Triangulację nazywamy triangulacją Delaunay rzędu k, gdy okrąg opisany na dowolnym trójkącie triangulacji zawiera w swoim wnętrzu co najwyżej k punktów z danego zbioru S.

Taka triangulacja nie jest jednoznaczna.

Metoda zamian.

Postępujemy podobnie jak w przypadku znajdywania legalnej triangulacji.

Startujemy z triangulacji Delaunay i zamieniamy przekątne w czworo-kącie będącym sumą sąsiednich trójkątów triangulacji, jeśli

- dwa nowe trójkąty należą do triangulacji Delaunay rzędu k,

- końcem nowej krawędzi jest najniższy wierzchołek danego czworokąta.

Operacje te wykonujemy aż do wyczerpania możliwości zamian.

Lemat.

Algorytm wykonuje co najwyżej O(n2) zamian.

Lemat.

Dla danego k algorytm wykonuje co najwyżej O(nk) zamian.

Metoda otoczek.

1.Dla danego zbioru S i wartości k konstruujemy zbiór krawędzi E, do którego należą wszystkie krawędzie, które mogą wystąpić w pewnej triangulacji Delaunay rzędu k.2.Krawędzie z E porządkujemy względem najmniejszego k’, przy którym dana krawędź pojawia się w triangulacji Delaunay rzędu k’.3.Wyznaczamy zbiór S’ lokalnych minimów w triangulacji Delaunay oraz podzbiór E’ zbioru E krawędzi, które łączą punkty z S’ z punktem o mniejszej wysokości. 4.Zaczynamy od pierwszej krawędzi e z E’. Eliminujemy wszystkie krawędzie triangulacji Delaunay, które przecinają e. Triangulujemy obszary powstałe po obu stronach e i zaznaczamy nowe krawędzie.5.Tak samo postępujemy z kolejną krawędzią z E’. Jeśli przecina ona wybraną wcześniej krawędź z E’ lub zaznaczone krawędzie triangulacji, to pomijamy ją.6.Po wstawieniu e do grafu, usuwamy z E’ wszystkie krawędzie, dla których wyższy koniec e jest również wyższym końcem.

Twierdzenie.

Dla danego k i zbioru n punktów na płaszczyźnie zastosowanie metody otoczek w triangulacji Delaunay rzędu k wymaga czasu O(nk2 + nk log n).

Przykład.

Model terenu powstały po zastosowaniu

- triangulacji Delaunay,

- metody zamian (k = 8),

- metody otoczek (k = 8).

De Kok et al.. „Generating realistic terrains with higher-oorder Delaunay triangulations”

Powyższe rozważania dotyczyły minimalizacji liczby lokalnych

minimów. Rozważmy teraz możliwości wpływu na kształt dolin.

Mamy trzy rodzaje krawędzi.

De Kok et al.. „Generating realistic terrains with higher-oorder Delaunay triangulations”

Fakt.

1. W wypukłym czworokącie odpowiadającym triangulacji terenu co najwyżej jedna krawędź wyznacza dolinę.

2. Jeśli dwie krawędzie trójkąta triangulacji wyznaczają dolinę, to ich wspólny koniec nie jest najwyższym punktem tego trójkąta.

3. Na ewentualną likwidację krawędzi wyznaczającej dolinę ma wpływ zamiana co najwyżej pięciu krawędzi należących do czworokąta wypukłego, którego przekątną jest dana krawędź (ta krawędź i boki czworokąta).

Próbujemy zmniejszyć liczbę krawędzi wyznaczających dolinę dokonując

zamian krawędzi. Wykorzystując diagram Voronoi (k+1)-rzędu

sprawdzamy, czy triangulacja pozostaje triangulacją Delaunay rzędu k.

Twierdzenie.

Dla danego k i zbioru n punktów na płaszczyźnie zastosowanie metody

skracania dolin w triangulacji Delaunay rzędu k wymaga czasu O(nk log n).

Przykład.

Model terenu powstały po zastosowaniu

skracania dolin oraz

- triangulacji Delaunay,

- metody zamian (k = 8),

- metody otoczek (k = 8).

De Kok et al.. „Generating realistic terrains with higher-oorder Delaunay triangulations”

Dziękuję za uwagę.