GEOMETRÍA

1. Rectas paralelas cortadas por una secante.

A

B

M

D

C

E

F

M

I

J

P

P

p-b p-c p-a

p

A

BCA'

B'C'

A''

B''

C''

Ib

rrb

I

1 2

3 4

5 6

7 8

Se forman ocho ángulos, que reciben los nombres siguientes:

alternos internos: 3 y 6, 4 y 5. Son iguales

alternos externos: 1 y 8, 2 y 7. Son iguales

correspondientes: 1 y 5, 3 y 7, 2 y 6, 4 y 8. Son iguales

colaterales internos: 3 y 5, 4 y 6. Son suplementarios

colaterales externos: 1 y 7, 2 y 8. Son suplementarios

2. Ángulos de lados paralelos.

A

B

M

D

C

E

F

M

I

J

P

P

1 2

3 4

5 6

7 8

Son iguales si los dos son agudos o

los dos obtusos.

Son suplementarios si uno es agudo

y otro obtuso.

3. Ángulos de lados perpendiculares.

A

B

M

D

C

E

F

M

I

J

P

P

1 2

3 4

5 6

7 8

Son iguales si los dos son agudos

o los dos obtusos.

Son suplementarios si uno es

agudo y otro obtuso.

4. Puntos notables en el triángulo.

O

Circuncentro. Es el punto de intersección de las mediatrices de los lados,

siendo las mediatrices las perpendiculares en el punto medio.

El circuncentro O equidista de los vértices, por lo que es el centro de la

circunferencia circunscrita al triángulo.

El circuncentro es interior al triángulo si éste es acutángulo, exterior si es

obtusángulo, y es el punto medio de la hipotenusa si es rectángulo.

OH

Ortocentro

Es el punto de intersección de las alturas.

En el triángulo acutángulo el ortocentro H es interior al triángulo, en el

obtusángulo es exterior y en el rectángulo es el vértice del ángulo recto.

OH

I

Incentro

Es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores.

El incentro I equidista de los tres lados, por lo que es el centro de la

circunferencia inscrita en el triángulo.

A

B

CA'

B'

C'A'B'C' es el triángulo órtico del triángulo ABC.

Las alturs de un triángulo son las bisectrices de su triángulo órtco.

I

El incentro I equidista de los tres lados, por lo que es el

cetro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

A

C

A'

B'C'G

Ia

Ib

Ic

I

Exincentros

Las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz

interior del tercer ángulo se cortan en los puntos

Ia, Ib, Ic ,

centros de las circunferencias tangentes a cada lado y a las

prolongaciones de los dos contiguos; son los exincentros.

HI

A

B CA'

B'C' G

Baricentro. Es el punto de intersección de las medianas del

triángulo, siendo las medianas los segmentos que unen cada vértice

con el punto medio del lado opuesto.

El baricentro G divide a cada mediana AA’, BB’, CC’ en dos

segmentos tales que

GA

GA

GB

GB

GC

GC

1

2

Fórmula de EULER

La distancia d entre el incentro y el circuncentro de un triángulo viene dada por la expresión

d2 R2 2Rr

siendo R el radio del círculo circunscrito y R el del inscrito.

Recta de EULER

A

B CA'

B'C' G

H

OG

En todo triángulo no equilátero el circuncentro O, el baricentro G y

el ortocentro H están en línea recta (recta de EULER) y se verifica

HG2 GO

5. Ángulos en la circunferencia.

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

AB

C

23

4

5

D E

B

3

C

M

P

O

H

n

h

Ángulo central. Es el que tiene su vértice en el centro de la

circunferencia y los lados son radios de ésta.

Como hay proporcionalidad entre la medida del ángulo central y la del

arco que subtiende, y 360º corresponden a la longitud de la

circunferencia, la medida de un ángulo central es igual a la del arco que

abracan sus lados:

AOB arc AB

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

AB

C

3

4

5

D E

B

3

C

M

P

O

H

n

h

Ángulo inscrito. Es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus

lados son secantes.

Al ángulo inscrito ABC le asociamos el ángulo central AOC.

La medida de un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central asociado,

es decir, la mitad del arco que abracan sus lados:

ABC 1

2 AOC

1

2arc AC .

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

AB

C

3

4

5

D E

B

3

C

M

P

O

H

n

h

Ángulo semiinscrito. Es el que tiene el vértice en la circunferencia y sus

lados son una tangente y una secante.

Su medida es la mitad del arco que abarca:

ABC 1

2arc BC .

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

A

B

C

3 4

5

D E

B

3

C

M

P

O

H

n

h

Ángulo exterior. Es el que tiene su vértice en un punto exterior a la

circunferencia y sus lados son secantes.

Su medida es la semidiferencia de los arcos que interceptan los lados en

la circunferencia:

APB 1

2(arc ABarc CD)

Los lados pueden ser también una secante y una tangente o dos

tangentes, y la medida se obtiene igual.

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

A

B

C

3 4

5

D E

B

3

C

M

P

O

H

n

h

Ángulo interior. Es el que tiene su vértice en un punto interior y sus

lados son secantes.

Su medida es la semisuma de los arcos que abracan los lados del ángulo

y los del opuesto por el vértice:

APB 1

2(arc ABarc CD)

Arco capaz de un ángulo sobre un segmento dado es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales se

ve ese segmento bajo el ángulo dado.

aa

B C

PP'

El arco BC es el arco capaz del ángulo a sobre el segmento BC.

Desde los puntos P, P’, se ve el segmento BC bajo el mismo ángulo a.

Hay otro arco capaz, el simétrico del anterior respecto de BC.

El arco capaz de 90º sobre un segmento es la circunferencia de

diámetro ese segmento.

Cuadrilátero inscriptible.

1 2

3 4

5 6

7 8

A B

C

Da

bch

m n

A

CD

H

h

ab

c M

Mm

D

En todo cuadrilátero inscriptible los ángulos opuestos son suplementarios.

AC 180

BD 180

6. Igualdad de triángulos.

Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales:

1. Dos lados y el ángulo comprendido.

2. Un lado y dos ángulos.

3. Los tres lados.

Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen respectivamente iguales:

1. La hipotenusa y un ángulo agudo.

2. Un cateto y un ángulo agudo.

3. La hipotenusa y un cateto.

4. Los dos catetos.

7. Semejanza de triángulos.

56,2 °

1 2

3 4

5 6

7 8

a

bch

m n

A

CD

h

Ma

bc ma

P

A

B

M

O

0,7

C

A'

B' C'

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son

respectivamente iguales y sus lados homólogos

proporcionales.

A A, B B, C C

AB

AB

BC

BC

AC

AC

Criterios de semejanza. Dos triángulos son semejantes si tienen:

a) dos ángulos iguales: A = A’, B = B’

b) los lados proporcionales:

AB

AB

BC

BC

AC

AC

c) dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido:

AB

AB

BC

BC, B B

La razón de las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza (razón

de dos elementos homólogos), o también: las áreas de dos triángulos semejantes son proporcionales a los

cuadrados de los lados homólogos.

8. Teoremas del cateto y de la altura en triángulos rectángulos.

HI

A

BC

A'

B'

C'

G

A

C

A

BC

D

E

4

5

D E

A

B CD a

bch

m n

Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su

proyección sobre ésta:

b2 an, c2 am

La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre

los dos segmentos en que divide a ésta:

h2 mn

9. Potencia de un punto respecto de una circunferencia.

G

J

O

O1 Resultado:

B

C5

A B

C

K

P

AA'

B

B'

PA

A'B

B'

Potencia del punto P (exterior o interior) respecto de

la circunferencia es el producto de las distancias de P

a los puntos de intersección de las secantes con la

circunferencia:

k PAPA PB PB

G

J

O

O1 Resultado:

B

C5

A B

C

K

P

AA'

B

B'

PA

A'B

B'T

AA'

Or

Si una de las rectas es tangente y la otra asa por el centro de la

circunferencia:

PT2 PA PA (PO d)(PO d) d2 r2

PT2 PA PA (PO d)(PO d) d2 r2

siendo d la distancia del punto al centro y r el radio.

La potencia es positiva o negativa, según que el punto sea exterior o interior a la circunferencia.

Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto

de ambas circunferencias. Es una recta perpendicular a la recta de los centros.

Centro radical de tres circunferencias es el punto que tiene igual potencia respecto de las tres

circunferencias. Es el punto de intersección de los ejes radicales de las tres circunferencias, tomadas dos a

dos.

10. Teorema de la bisectriz.

HI

A

BC

A'

B'

C'

G

A

C

A

BC

D

E

4

5

D E

La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo divide al lado

opuesto en dos segmentos aditivos proporcionales a los lados del

ángulo:

BD

AB

DC

AC

La bisectriz del ángulo exterior de un triángulo divide al lado

opuesto en dos segmentos sustractivos proporcionales a los

lados del ángulo:

BE

AB

CE

AC

11. Teoremas del seno y del coseno.

Teorema del seno:

a

senA

b

senB

c

senC Teorema del coseno:

a2 b2 c2 2bccos A

b2 a2 c2 2accos B

c2 a2 b2 2abcos C

12. Diversas expresiones del área del triángulo.

a)

S 1

2aha

1

2bhb

1

2chc, siendo a, b, c los lados y

ha, hb, hc las alturas correspondientes.

b)

S pr , siendo p el semiperímetro y r el radio del círculo inscrito.

c)

S ( p a)ra ( p b)rb ( p c)rc , siendo

ra,rb,rc los radios de los círculos exinscritos.

d)

S p( p a)( p b)( p c) fórmula de HERON.

e) En función de los radios de los círculos exinscritos:

S ( p a)ra ( p b)rb ( p c)rb

f)

S abc

4R, siendo R el radio del círculo circunscrito.

g)

S 1

2absenC

1

2bcsenA

1

2acsenB

13. Triángulo órtico de un triángulo es el que tiene como vértices los pies de las alturas de aquel. A

B

M

D

C

E

F

M

I

J

P

P

1 2

3 4

5 6

7 8

A

B CA'

B'

C'

A’B’C’ es el triángulo órtico del triángulo ABC.

Las alturas de un triángulo son las bisectrices de su triángulo órtico.

Como consecuencia, el ortocentro de un triángulo es el incentro de su

triángulo órtico.

14. Triángulos con un ángulo común.

OH

I

A

BC

A

O

B

A

B

C

A

B

C

O

A

BC

D

E

D

E

A

B

C

3 4

5

D E

B

3

C

M

P

O

A B

C

H

ab

c

n

h

E

M

L

K

45º

N AB

C

D

TT'

2

A

B

C

D

E

La razón de las áreas de dos triángulos con un ángulo común es

igual a la razón de los productos de los lados que forman ese

ángulo en cada triángulo.

‡rea ( ABC)

‡rea ( ADE)

1

2AB AC senA

1

2AD AE senA

AB AC

AD AE

15. Teorema de Ptolomeo.

A

B

C

a

bch

m n

D

M

a

bc ma

NX

En todo cuadrilátero inscriptible en una circunferencia, la suma de los

productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus

diagonales:

ABCD AD BC AC BD

16. Teorema de Ceva.

G

J

O

MP' Q'T'

Resultado:

B

C5

A

B

C F

E

D

A

B C

M

K

L

Se llaman cevianas las rectas que unen los vértices de un triángulo

con los lados opuestos. AK, BL, CM son tres cevianas concurrentes.

El teorema dice: la condición necesaria y suficiente para que tres

cevianas sean concurrentes es que se verifique

AM

MBBK

KCCL

LA1

17. Teorema de Menelao.

G

J

O

MP' Q'T'

Resultado:

B

C5

A

B

C F

E

D

AB

C

M

K

L

X

Y

Z

Sean X, Y, Z puntos sobre los lados BC, AC, AB (o

sus prolongaciones).

El teorema dice: la condición necesaria y suficiente

para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que

se verifique

BX

CXCY

AY

AZ

BZ1

18. Cálculo de las medianas de un triángulo en función de los lados.

1 2

3 4

5 6

7 8

A

B C

Da

bch

m n

A

CD

h

D

Ma

bc ma

Aplica el teorema del coseno a los triángulos ABM y AMC; suma las

dos igualdades obtenidas y simplifica teniendo en cuenta que los

ángulos en M son suplementarios, y que BM = MC = a/2.

Obtendrás:

ma2

2c2 2b2 a2

4.

Análogamente para las otras dos medianas.

19. Segmentos determinados en los lados de un triángulo por los puntos de contacto de las

circunferencias inscrita y exinscritas.

A

B

M

I

D

C

E

F

M

I

J

P

P

p-b p-c p-a

p

A

BCA'

B'C'

A''

B''

C''

Ib

rrb

I

20. Lugares geométricos.

Lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.

Lugares geométricos elementales:

Mediatriz de un segmento: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.

Bisectriz de un ángulo: lugar geométrico de los puntos que equidistan de sus lados.

Circunferencia: lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo es constante.

Elipse: lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante.

Hipérbola: lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante.

Parábola: lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo y de una recta dada.

21. Máximos y mínimos sin derivadas.

Hay problemas de optimización (distancias, perímetros, áreas, etc.) que pueden resolverse sin necesidad

de hacer uso de derivadas.

22. Construcciones geométricas.

Se trata de construir una figura geométrica que cumpla determinadas condiciones.

En numerosas ocasiones conviene suponer el problema resuelto, es decir, admitir la existencia de la

solución, y reducir las condiciones del enunciado a otras que conduzcan a un problema conocido; después

se pasa de esta figura a la pedida.

23. Transformaciones geométricas.

Traslación de vector v: a todo punto A del plano le asocia el punto A’ tal que AA’ = v-

El producto de dos traslaciones es otra traslación de vector suma de los vectores de aquellas.

Giro o rotación de centro O y amplitud a: a todo punto A asocia el punto A’ tal que OA = OA’ y áng AOA’

= a.

El producto de dos giros del mismo centro es otro giro del mismo centro y amplitud suma de las

amplitudes de aquellos.

Simetría central de centro O: a todo punto A asocia el punto A’ tal que O es el punto medio de AA’.

El producto de dos simetrías centrales es una traslación.

Simetría axial de eje r: a todo punto A asocia el punto A’ tal que r es la mediatriz del segmento AA’.

El producto de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación.

El producto de dos simetrías de ejes concurrentes es un giro.

Las traslaciones, los giros y las simetrías centrales son igualdades directas (conservan las distancias, los

ángulos y el sentido de estos); las simetrías axiales son igualdades inversas (invierten el sentido de los

ángulos).

Homotecia de centro O y razón h: a cada punto A asocia otro punto A’, alineado con A, tal que

OA

OA h.

El producto de dos homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro y razón el producto

de las razones de aquellas.

24. Algunas ideas útiles en la resolución de problemas.

1. Cada mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos equivalentes.

2. Si se trazan las tres medianas de un triángulo, éste queda dividido en seis triángulos equivalentes.

3. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 30º, el cateto opuesto a este ángulo vale la mitad de la

hipotenusa.

4. La mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la mitad de ésta.

5. El radio del círculo inscrito en un triángulo rectángulo vale

r b c a

2, siendo a la hipotenusa, b y c

los catetos.

6. En un triángulo rectángulo isósceles, la longitud de un cateto es igual a la suma de los radios de las

circunferencias inscrita y circunscrita.

7. Las área de dos triángulos de igual base son proporcionales a las alturas.

8. Las áreas de dos triángulos de igual altura son proporcionales a las bases.

9. En todo triángulo el lado mayor es menor que el semiperímetro.

10. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

11. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a

su mitad.

12. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares.

13. Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera son vértices de un

paralelogramo.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

1. Dado un triángulo rectángulo ABC, construir un punto interior P tal que los ángulos PAB, PBC y PCA

sean iguales.

Indicación

Halla el ángulo bajo el cual se ve desde P el segmento AC, y el ángulo bajo el que se ve el segmento AB

desde P.

Entonces el punto P …

2. Hallar el lugar geométrico de los incentros de los triángulos con un lado fijo y el

ángulo opuesto constante.

Indicación

Si BC es el lado fijo del triángulo ABC, halla el ángulo BIC, siendo I el incentro del triángulo. Entonces

desde I se ve ….

3. Construir un cuadrado cuyos lados o sus prolongaciones pasen por cuatro puntos dados sobre una recta.

Indicación

A B C D

A'

B'C'

D'a

b c

dM

N

P

Q

E

F

Supongamos el problema resuelto, siendo MNPQ el

cuadrado pedido y A, B, C, D los cuatro puntos alineados.

La figura te ayudará a ver la construcción del cuadrado.

4. En un cuadrilátero arbitrario ABCD se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos. Demostrar que los

cuatro puntos de intersección forman un cuadrilátero inscriptible.

Indicación

A

B C

DA'

B'C'

D'a

b c

d

Sean a, b, c, d las mitades de los ángulos A, B, C, D del

cuadrilátero.

Utilizando los triángulos AA’B y CC’D, se llega a que los ángulos

A’ y C’ son suplementarios.

5. En una circunferencia se dan dos puntos fijos A y B y otro variable M. Sobre la recta AM y fuera de la

circunferencia, se toma un punto N tal que MN = MB. Hallar el lugar de N.

Indicación

A B C D

A'

B'C'

b c

d

N

P

Q

E

F

A

B

C

OO'

AB

C D

EM

N

P

Q

R

A

B

C

A'

B'

C'

1

2

MN

m

n

Encuentra la relación entre los ángulos m y n.

Fíjate en que el ángulo m es constante y los puntos A y B son fijos.

Entonces desde N se ve …

Considera también el caso de que M está en el otro arco AB.

6. ¿Qué condición han de cumplir las longitudes de los lados de un triángulo ABC para que la recta que

une el baricentro G y el incentro I sea paralela a uno de los lados?

Indicación

B C

A'

O

H

D E

OE

rM

N

ra

ra

ra Ia

D

O

ab

c

h

E

A

BCA'

B'

C'

A''

B''

C''

p-b p-c p-a

p

I

Ib

A

B C

G I

M HD

r

h

Ten en cuenta la propiedad del baricentro de un triángulo.

Obtén una relación entre r y h por semejanza de triángulos.

Expresa de dos formas el área del triángulo y obtendrás otra

relación entre r y h.

7. En un triángulo ABC rectángulo A, AH es la altura relativa a la hipotenusa. Si

r, r1, r2 son los radios de

las circunferencias inscritas en los triángulos ABC, AHC y AHB, respectivamente, demostrar que

r2 r13 r2

2.

Indicación

Establece que los tres triángulos son semejantes.

Expresa que sus áreas son proporcionales a los cuadrados de los lados homólogos. ¿Cuáles son los lados

homólogos?

Finalmente, ten en cuenta el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC.

8. En un pentágono regular se trazan las diagonales, que forman en su interior otro pentágono regular.

Hallar la razón de sus áreas.

Indicación A B C D

A'

B'C'

D'a

b c

dM

N

P

Q

E

F

A

B

C

OO' A

B

C D

EM

N

P

Q

R

Haciendo uso de los ángulos en la circunferencia, demuestra que el

triángulo ABM es isósceles y que los triángulos AMR y ABR son

semejantes.

Obtén la razón

MR

AB de dos lados homólogos, que es la razón de

semejanza de los dos pentágonos.

A partir de ésta se obtiene la razón de las áreas de los dos pentágonos.

9. Construir la media geométrica de dos segmentos dados.

Indicación

Haz uso del teorema de la altura o del teorema del cateto en triángulos rectángulos.

10. Un triángulo tiene sus vértices en cada uno de los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el

espacio; ninguno está en el origen, ni dos de ellos coinciden en el mismo eje. Demostrad que el triángulo

es acutángulo.

Indicación

Vamos a demostrar que cualquier ángulo, por ejemplo el A, es

agudo.

Aplicamos el teorema del coseno al triángulo ABC:

a2 b2 c2 2bccos A .

Si A es agudo ….

Por otra parte:

a2 y2 z2

b2 x2 z2

c2 x2 y2

b2 c2 2x2 y2 z2 y2 z2 a2

11. Halla los ángulos del triángulo órtico del triángulo ABC en función de los ángulos de éste.

Indicación

B C

A'

O

H

D E

OE

r

A

B CA'

B'

C'

H

12

Sea A’B’C’ el triángulo órtico del triángulo ABC y H el ortocentro.

Partiendo de que el cuadrilátero BA’HC’ es inscriptible, relaciona los ángulos 1

y 2, y éste con el A.

Después ten en cuenta que AA’ es bisectriz del ángulo C’A’B’.

Lo mismo para los otros dos ángulos.

12. Construir un triángulo conociendo los pies de las tres alturas.

Indicación

Teniendo en cuenta la propiedad anterior, empieza dibujando las bisectrices del triángulo órtico.

13. En el lado AB de un triángulo ABC se toma el punto M y en lado AC el punto N, tales que

AM 3MB

y

2AN NC . Hallar el área del cuadrilátero MBCN, si la del triángulo ABC es igual a S.

Indicación

Los triángulos ABC y AMN tienen un ángulo común, luego la razón de sus áreas …

14. Dado un triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia, se toma un punto P en el arco BC y

se une con los vértices del triángulo. Demostrar que

PAPBPC .

Indicación

Aplica el teorema de PTOLOMEO al cuadrilátero ABPC.

15. Siendo M el punto medio del segmento de extremos A y B, estudia el lugar geométrico del los puntos

P del plano tales que PM sea media proporcional entre PA y PB.

Indicación

Parte del triángulo PAB, en el que PM es una mediana e impón la condición del enunciado, utilizando la

fórmula de la mediana en función de los lados.

También puede resolverse eligiendo un sistema de coordenadas adecuado.

16. Construir un triángulo rectángulo conociendo un cateto y la suma de la hipotenusa y el otro cateto.

Indicación

1 2

3 4

5 6

7 8

AB

C

D

a

bch

m n

A

CD

h

D

Ma

bc ma

Supón el problema resuelto, siendo ABC el triángulo

pedido.

Prolonga AB una longitud BD = BC; ¿puedes

construir el triángulo CAD? ¿Cómo pasas de éste al

pedido?

17. Dada una circunferencia y un punto exterior, trazar por él una secante que intercepte en la

circunferencia una cuerda de longitud dada.

Indicación

56,2 °

1 2

3 4

5 6

7 8

AB

C

D

a

bch

m n

A

CD

h

Ma

bc ma

P

A

B

M

O

Sea AB una de las cuerdas de longitud dada.

En toda circunferencia, cuerdas iguales equidistan del centro y,

recíprocamente, cuerdas equidistantes del centro son iguales;

entonces la distancia OM del centro de la circunferencia al punto

medio de la cuerda es … Por tanto ..

18. Dado un triángulo ABC, se construyen: el simétrico de A respecto de B, el simétrico de B respecto de

C y el simétrico de C respecto de A. Si el área de ABC vale s, hallar el área de s’.

Indicación

A B C D

A'

B'C'

D'a

b c

dM

N

P

Q

E

F

A

B

C

OO' A

B

C D

EM

N

P

Q

R

A

B

C

A'

B'

C'

1

2

Sean A’, B’, C’ los simétricos de A, B, C.

Compara las áreas de los triángulos 1 y ABC; las de los

triángulos 1 y 2. Deduce la relación de las áreas de ACA’ y

ABC.

Análogamente para los triángulos BA’B’ y CB’C’.

Entonces se deduce la relación entre las áreas de ABC y

A’B’C’.

19. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. H es el pie de la altura desde A. Demostrar que la suma de los

radios de los círculos inscritos en los triángulos ABC, ABH y ACH es AH.

Indicación

Expresa los radios de los círculos inscritos en los tres triángulos en función de los lados y súmalos.

20. Dada una recta r y dos puntos A y B a distinto lado de r, hallar el camino mínimo para ir de A a B.

Indicación

Traza el simétrico A’ de A respecto de r; une A’ con B, …

21. Un punto X, tomado en la hipotenusa de un triángulo rectángulo, se proyecta ortogonalmente sobre los

catetos en M y N. Determinar la posición del punto X y la longitud del segmento MN cuando ésta sea

mínima.

Indicación

La figura AMXN es un rectángulo, cuyas diagonales son iguales.

22. En el cuadrilátero ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en O. OB = 4, OD = 6, OA = 8, OC = 3 y

AB = 6. Hallar AD.

Indicación

Dibuja el cuadrilátero y observa que

OA OC OB OD24 , luego los puntos son concíclicos.

Hay dos pares de triángulos semejantes, lo que permite obtener la longitud del lado CD y el BC en

función del AD. Aplica después el teorema de PTOLOMEO.

23. Sea ABCD un cuadrilátero cuyas diagonales se cortan en O. Los triángulos AOB, BOC y COD tienen

áreas 1, 2 y 3, respectivamente. Hallar el área del triángulo AOD y probar que el cuadrilátero ABCD es

un trapecio.

Indicación

Las áreas de dos triángulos con la misma altura son proporcionales a las bases.

24. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, tal que el ángulo BAD es recto. Dos circunferencias de

diámetros AB y CD se cortan en los puntos P y Q. La recta PQ corta al lado AD en M. Demostrar que M

es el punto medio de AD.

Indicación

Halla la potencia de M respecto de una y otra circunferencia.

25. Un trapecio isósceles tiene sus diagonales perpendiculares. Hallar el área del trapecio en función de

las bases.

Indicación

Si las diagonales son perpendiculares y el trapecio es isósceles, hay dos triángulos rectángulos isósceles.

26. Las tres mediatrices de un triángulo lo dividen en seis triángulos equivalentes.

Indicación

Ten cuenta que cada mediatriz divide a un triángulo en dos equivalentes,

27. Aplica el teorema de CEVA para demostrar la concurrencia de las medianas, de las bisectrices y de

las alturas de un triángulo.

28. Demostrar que en un triángulo se verifica: si r es una recta que pasa por su baricentro y no pasa por

ningún vértice, la suma de las distancias a dicha recta de los vértices que quedan en un mismo semiplano

es igual a la distancia del tercer vértice a dicha recta.

Indicación

O

A

C

E

F

D

BGH

I

P Q

M

B'A'

C'M'

G

r

Debes tener en cuenta que BCC’B’ es un trapecio,

aplicar una semejanza de triángulos y considerar la

propiedad del baricentro de un triángulo.

29. Si dos de las alturas de un triángulo miden 6 y 12, demostrar que la longitud de la tercera altura es

mayor que 4.

(Calendario Editorial S.M. 30-9-2.010)

Indicación

Si las alturas 6,12 y h se corresponden con los lados a,b y c respectivamente, 22

12

2

6 hcba despeja a

y b y ten en cuenta que un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.