GEOMETRIA EUCLIDEA

PROF. CASALINO MARIA

UNITA’ 1

CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

GEOMETRIA

Può essere Può essere

INTUITIVA RAZIONALE

INTUITIVA

Si basa su

OSSERVAZIONI

PROVE

TENTATIVI

RAZIONALE

Parte da

CONCETTI PRIMITIVI

ASSIOMIDefiniti mediante

CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI

NUOVI ENTI NUOVE PROPRIETA’

(TEOREMI)

Da cui si deducono

Mediante definizioni

Mediante dimostrazioni

DALLA GEOMETRIA INTUITIVA

ALLA GEOMETRIA RAZIONALE

Concetti o enti primitiviEnti che non definiamo esplicitamente

Assiomi o postulatiProprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo

Gli assiomi scelti soddisfano la condizione di :

COMPATIBILITA’

(non devono contraddirsi l’uno con l’altro)

INDIPENDENZA

(dalle proprietà affermate dell’uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dell’altro)

ENTI GEOMETRICI PRIMITIVI

Gli enti primitivi della Geometria sono:

PUNTI

RETTE

PIANI

ALCUNE DEFINIZIONI

SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto.

Il punto è detto : origine delle semirette

SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano

Angolo PIATTO : un lato è il prolungamento dell’altro ( 180 °)

Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360°)

ANGOLI PARTICOLARI

Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro

a

bDati due segmenti se, sovrapponendo il primo segmento al secondo facendo coincidere un estremo, l’altro estremo è interno al secondo segmento allora il primo è minore del secondo; se è esterno è maggiore.

a < b

Angolo acuto

Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIAS.I.S.S.I.S. - Sezione di Catania

Indirizzo 1 Scienze naturali Classe A059A.A. 2006/2007 – VIII Ciclo

Disciplina: Laboratorio didattico di matematica Docente: Prof. Angelo Lizzio Specializzando: Dott. Salvatore Gulizia

Libro di testo assegnato: Mario Mariscotti “Matematica Oggi” Petrini Editore

Argomento: ANGOLI E LORO MISURA

GLI ANGOLI E LA LORO MISURALa trattazione del concetto geometrico di angolo viene

affrontata nella 1° classe della Scuola Media inferiore.Questo argomento, che può risultare alquanto ostico per i

ragazzi, deve essere sviluppato con grande professionalità da parte del docente, in quanto è proprio nell’approccio offerto e nelle metodologie didattiche adoperate che si fonda la qualità di apprendimento degli alunni.

Diversi autori di libri di testo trattano questi argomenti, affrontando, da un punto di vista didattico, problematiche legate al concetto di angolo, alle definizioni ed alla misura.

Prima di esporre la trattazione dell’argomento, è indispensabile fare un richiamo alle indicazioni ministeriali che riguardano, più o meno esplicitamente, il tema e i contenuti riferiti al tema in esame.

INDICAZIONI MINISTERIALIScienze Matematiche, Chimiche, Fisiche e Naturali

Programmi Ministeriali del 1979

Suggerimenti metodologiciAttività sperimentale.Il processo di avviamento al metodo scientifico proposto agli alunni dovrà rispettare i tempi e le modalità di apprendimento caratteristici della loro età: dovrà quindi muovere da ciò che può stimolare la loro curiosità e la loro intuizione, da esperienze facilmente comprensibili, dalla operatività, e indirizzare alla sistematicità, grazie alla progressiva maturazione dei processi astrattivi. [….]

Indicazioni per la matematicaObiettivi.Nell’ambito degli obiettivi enunciati nella premessa agli insegnamenti, l’insegnamento della matematica si propone di:-suscitare un interesse che stimoli le capacità intuitive degli alunni;-sollecitare ad esprimersi e comunicare in un linguaggio che, pur conservando piena spontaneità, [….]

Suggerimenti metodologiciPer il conseguimento degli obiettivi predetti, si farà ricorso ad osservazioni,

esperimenti, problemi tratti da situazioni concrete, così da motivare l’attività matematica della classe, fondandola su una sicura base intuitiva.

Verrà dato ampio spazio all’attività di matematizzazione intesa come interpretazione matematica della realtà nei suoi vari aspetti (naturali, tecnologici, economici, linguistici) con la diretta partecipazione degli allievi. [….]

_________________________________________________________________________________TEMI CONTENUTI RIFERITI AI TEMI

1) La geometria prima rappresentazione a) dagli oggetti ai concetti geometrici: del mondo fisico. studio delle figure del piano e dello spazio a partire da modelli materiali.

b) Lunghezze, aree, volumi, angoli, e loro misura [….]

UNITA’ DIDATTICATITOLO: Angoli e loro misuraANNO: 1°TEMA: La geometria prima rappresentazione del mondo fisico

PREREQUISITI: Conoscenza degli elementi fondamentali della geometria.OBIETTIVI

Conoscenze- Esprimere le proprietà degli angoli.- Conoscere e classificare i vari tipi di angoli.Abilità- Riconoscere gli angoli e saperli confrontare.- Operare con gli angoli.

CONTENUTI- Definizione di angolo.- Classificazione degli angoli e loro misura.- Operazione con gli angoli.

METODI:Fase 1: Test iniziale. Sottoporre gli alunni ad un test per

valutare il possesso dei prerequisiti richiesti

Considerato che gli angoli e la loro misura fanno parte delle nozioni fondamentali della geometria da affrontare all’inizio del 1° anno di scuola media, il docente, prima di trattare l’unità di apprendimento, dovrà verificare il grado di conoscenza che gli alunni hanno dalla scuola primaria.

Tale verifica, per esempio, viene fatta proponendo agli alunni appositi esercizi, attraverso una apposita scheda.

CONCETTO DI ANGOLOL’angolo è uno dei concetti geometrici tra i più delicati e complessi, per gli

aspetti diversi ad esso concorrenti ma discordanti che ne rendono problematico l’apprendimento.

Innanzitutto diamo la definizione di un angolo: “L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano risulta diviso da due semirette che hanno l’origine in comune”.

Le due semirette OA e OB si considerano appartenenti a ciascuno dei due angoli e si chiamano lati dell’angolo; la loro origine comune O si dice vertice dell’angolo.

Per indicare un angolo possiamo usare notazioni diverse:

AOB aOb O

Prendiamo una semiretta e facciamole compiere una rotazione intorno alla sua origine O. Possiamo quindi dare una seconda definizione di angolo: “L’angolo è la parte di piano

generata da una semiretta che ruota intorno alla sua origine”.

Nel dare la seconda definizione di angolo si è fatto ricorso al concetto di rotazione. E’

opportuno segnalare agli alunni che ogni rotazione può avvenire in due versi fra loro opposti:

Verso orario è quello che avviene secondo il movimento delle lancette dell’orologio.

Verso antiorario: è quello opposto al movimento delle lancette dell’orologio

Solitamente in paesi come l’Italia, in cui l’insegnamento della geometria euclidea ha una tradizione consolidata, l’approccio della geometria avviene a partire dagli elementi fondamentali e sin dall’inizio viene data la definizione di angolo come “parte del piano delimitata da semirette aventi la stessa origine”, di tipo statico, prescindendo dal considerare esperienze che possano giustificare agli occhi dell’allievo l’introduzione di questo concetto matematico.

Questa introduzione formale e il tipo di rappresentazioni cui si fa ricorso producono spesso nell’allievo un’acquisizione del concetto di angolo, e di altri ad esso relativi, poco chiara e distorta.

Invece, in paesi di area inglese, che promuovono una matematica “realistica”, ossia che punta alla matematizzazione del reale a partire dall’osservazione di situazioni pratiche, si ha un approccio del concetto di angolo sull’osservazione dei corpi in movimento rotatorio e sulla rappresentazione grafica di tali movimenti.

L’aspetto di tale concetto che prevale è di tipo dinamico ed allude a quello di angolo orientato.

Le due impostazioni, entrambe poggiate sull’intuizione, riflettono due aspetti diversi del concetto di angolo, uno statico che prescinde dall’orientamento nel piano, l’altro dinamico che viceversa è legato ad esso.

Nel 1° caso, proprio per la mancanza dell’orientamento del piano, ci si scontra con la difficoltà, date due semirette concorrenti, di avere individuati nel piano due angoli e questo comporta l’immediata definizione di angolo convesso o concavo.

Nel 2° caso, invece, si determina un angolo che è unicamente individuato dal verso con cui si suppone che la retta ruoti.

STUDI SULL’INSEGNAMENTO-APPRENDIMENTO DEL CONCETTO DI ANGOLO

Recentemente da parte dei ricercatori si rileva una certa attenzione ai problemi di insegnamento-apprendimento che il concetto di angolo comporta ed è interessante osservare come tali ricerche siano correlate alla cultura geometrica del paese in cui sono realizzate. Per esempio:

L’austriaco Krainer (1991) sostiene che da un punto di vista intuitivo si rilevano diverse concezioni di angolo: “angolo come spazio”, “angolo come un’inclinazione”, “angolo come una rotazione”, concezioni che, egli sostiene, non possono essere incluse tutte in una definizione.

Mitchelmore (1989), ricercatore di scuola tedesca, sottolinea l’incapacità degli allievi di confrontare angoli in posizioni diverse nel piano e raccomanda sin dalla scuola elementare un approccio operativo agli angoli. Sostiene di prendere in considerazione figure con angoli non convessi e di introdurre rappresentazioni che suggeriscano l’idea di angolo come regione piana illimitata. Inoltre, sottolinea la necessità di affrontare nello stesso tempo esperienze informali sulla rotazione e suggerisce l’uso di rappresentazioni di angoli di rotazione sul modello orologio.

Magina e Hoyles (1991), seguendo la tradizione inglese, studiano lo sviluppo del concetto di angolo nei bambini dai 6 ai 15 anni sulla base di un piano di lavoro che comprende sia l’aspetto dinamico che l’aspetto statico di esso attraverso una serie di situazioni centrate sulla navigazione e rotazione (aspetto dinamico) e confronto di angoli (aspetto statico).

Difficoltà generalmente rilevate nelle suddette ricerche riguardano i seguenti aspetti:

1)La mancanza di riconoscimento di angoli retti se in posizioni obliqua;

1)La presunta dipendenza dell’ampiezza di un angolo dalla lunghezza dei segmenti di

retta che lo rappresentano.

LA TRATTAZIONE DEGLI ANGOLI NEI TESTI SCOLASTICI ITALIANI

Da un esame di libri di testo italiani per la scuola media si rileva il prevalere di testi in cui il concetto di angolo è introdotto ex abrupto attraverso definizione e presentato nell’aspetto statico: “parte di piano originato da semirette aventi la stessa origine” e successivamente come “regione piana descritta da una semiretta che ruota intorno alla sua origine”.

Marginalmente, in due o tre di essi, si trovano evidenziati aspetti complementari, alcuni di approfondimento, quale la caratterizzazione dell’angolo come intersezione o unione di semipiani, altri a sfondo esperienziale per l’approccio al concetto.

C’è da osservare che generalmente nei testi non sono presenti riflessioni tra l’aspetto statico e l’aspetto dinamico dell’angolo e comunque nelle successive attività prevale pesantemente il primo aspetto.

Da un punto di vista didattico è opportuno un approccio al concetto da diversi punti di vista.

E’ importante rilevare come vi siano testi, anche se non tra i più recenti, in cui si abbandona l’impostazione tradizionale: inizialmente si esaminano solidi o figure piane, si opera su/con gli angoli presupponendoli noti, se pure a livello intuitivo, e solo in un secondo momento si ritorna su di essi per chiarirne il concetto; solitamente non vi è una definizione esplicita di angolo, ma si esaminano uno o più aspetti di esso che implicitamente lo caratterizzano.

DEFINIZIONI DI ANGOLI PARTICOLARI

Si osserva come nei testi scolastici, una volta introdotto il concetto di angolo, si danno le definizioni di angoli speciali (nullo, giro, piatto, retto) e di angoli concavi e convessi.

Alcuni testi introducono contemporaneamente agli angoli la loro misura, concetto attraverso il quale vengono definiti gli angoli speciali.

Desidero fare presente che questa scelta, anche se da un punto di vista didattico appare economica, in realtà è culturalmente scorretta, essendo tali concetti indipendenti dalla misura.

Un aspetto che andrebbe curato, a livello didattico, riguarda il controllo metacognitivo di quanto si legge ed apprende per mettere in luce eventuali improprietà o elementi tacitamente assunti, ad esempio in un testo come definizione di angolo retto si legge:

“Quando le due semirette sono perpendicolari formano un angolo retto”, ma scorrendo il testo all’indietro alla ricerca della definizione di rette perpendicolari si legge “Due rette si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti”.

Per quanto riguarda in particolare i concetti di angolo nullo e angolo giro occorre rilevare che se da un punto di vista statico possono ritenersi plausibili visti come caso limite, dal punto di vista dinamico non lo sono più tanto, se non si vuole sconfinare nel cosiddetto angolo generalizzato, ossia l’angolo che tiene conto e “conserva memoria” del movimento compiuto da una delle due semirette per sovrapporsi all’altra.

Da un punto di vista matematico ciò che conta non è il movimento compiuto dalla semiretta che lo genera, ma le sue posizioni iniziale e finale e pertanto nei due casi ci si trova di fronte al medesimo angolo.

Come già detto, le prime proprietà che si considerano in riferimento agli angoli sono la convessità e la concavità, e anche in tal caso si trovano sui testi definizioni diverse. In generale, si ritiene interessante per promuovere la riflessione negli allievi, lavorare sul confronto di definizioni diverse di una stessa cosa, analizzando su quali elementi si poggiano e le relative implicazioni.

C’è da sottolineare inoltre che lo studio condotto nei testi e le rappresentazioni usate si riferiscono sempre ad angoli convessi e generalmente ciò è tacitamente assunto. Questa scelta, se pure limita le difficoltà dell’allievo, di fatto produce un apprendimento parziale e poco consapevole dei casi generali.

MISURA DEGLI ANGOLIConfronto di due angoli

Confrontare due angoli significa stabilire se due angoli dati sono congruenti o, se non lo sono, determinare qual’è il maggiore. Per esempio, si vogliono confrontare due angoli AOB e A’O’B’. Si possono presentare 3 casi:

Addizione di angoli

Sottrazione di angoli

Bisettrice di un angolo

Angoli acuti e angoli ottusi

Angoli complementari, supplementari ed esplementari

Angoli opposti al vertice

Misura degli angoliOgni angolo è caratterizzato da un’ampiezza che dipende dall’apertura

dei suoi lati.L’ampiezza di un angolo è una grandezza e quindi misurabile.Per misurare un angolo dobbiamo scegliere un’unità di misura e

confrontarla con l’angolo dato. L’unità di misura è il grado, cioè l’angolo pari alla 360° parte dell’angolo giro.

Si dice grado l’angolo che è la trecentosessantesima parte dell’angolo giro.

L’angolo nullo misura 0°L’angolo retto misura 90°L’angolo piatto misura 180°L’angolo giro misura 360°

Una delle questioni più importanti e spesso confusa nei testi riguarda il confronto e la congruenza (uguaglianza) di angoli, il concetto di ampiezza di un angolo e la relativa misura.

Da un punto di vista didattico, a questo livello scolare, la strada che sembra più pertinente da percorrere sia quella di assumere come primitivo il concetto di ampiezza ed introdurre il concetto di angoli congruenti come angoli aventi la stessa ampiezza, dopo aver presentato il confronto di angoli ricorrendo alla sovrapponibilità (ideale) ottenuta per trasporto mediante movimento rigido: solitamente nei testi si ricorre a rappresentazioni grafiche opportune e si suggeriscono concretizzazioni di ciò utilizzando angoli ottenuti per ritaglio di fogli di carta trasparente.

Difficilmente si sottolineano le differenze tra le operazioni concrete, le rappresentazioni ed i concetti astratti.

Nella maggioranza dei testi, che ricalcano l’insegnamento tradizionale, si parla di somma di angoli; sarebbe invece più opportuno parlare di somma delle ampiezze (così come sarebbe più opportuno parlare di somma di lunghezze e non di somma di segmenti).

La misura dell’ampiezza di un angolo è, ovviamente, legata alla misura della circonferenza: l’osservanza dell’invarianza del rapporto tra la lunghezza di un arco di circonferenza rispetto al raggio porta ad assumere questo rapporto come misura dell’angolo che insiste sull’arco; questo porta ad esprimere le misure degli angoli in termini di numeri reali dell’intervallo (0,2).

Il rapporto fra la lunghezza della circonferenza qualsiasi e la lunghezza del suo diametro è costante: C/d=

Ricordando che l’angolo al centro di ampiezza 360° corrisponde a tutta la circonferenza, si ha che: C:l=360°:= (l*360°):C

Comunemente tuttavia la misura degli angoli viene espressa in gradi, sistema di antichissima origine, nato dall’osservazione del moto apparente del sole attorno alla terra.

Da un punto di vista didattico è opportuno giustificare agli allievi la genesi di tale sistema di misure, ma è bene non soffermarsi tanto.

Strumento di misura degli angoli rispetto al sistema decimale è il goniometro e di esso ne esistono varie versioni, le più economiche non vanno oltre l’angolo piatto e per lo più sono graduate da sinistra verso destra, sottintendendo, come riferimento, il verso orario di rotazione. Questo cozza con le usuali rappresentazioni degli angoli che sottintendono il verso antiorario di rotazione e non fa che aggiungere ostacoli al già difficile problema del controllo della giusta collocazione dello strumento.

CONCLUSIONIPer verificare il grado di assimilazione degli argomenti da parte degli allievi,

sono necessari appositi esercizi da proporre agli alunni. Per esempio:Esercizi di disegno geometrico con l’uso di riga e compasso:

Bisettrice di un angolo dato

Divisione di un angolo retto in 3 parti

Divisione di un angolo piatto in 3 parti

SCHEDA- Ora che gli alunni sappiano disegnare e riconoscere angoli acuti, retti, ottusi, piatti e giro, cerchiamoli guardando fuori dalla finestra, nei disegni e nelle fotografie.

- Il primo esercizio invita gli alunni a segnare gli angoli presenti, non tutti, ma solo 4 per tipo: possiamo farli segnare nel modo classico e cioè tracciando un arco che collega i due lati dell’angolo.

- il secondo esercizio, invece, chiede agli alunni di osservare bene le figure disegnate e di scrivere i tipi di angolo presenti all’interno della figura: il quadro ha tutti e quattro gli angoli retti, un cartello di pericolo stradale li ha tutti acuti, mentre l’altro li ha ottusi.

- Questa scheda permette di iniziare a fare una riflessione sui tipi di angolo maggiormente presenti negli oggetti che ci circondano.