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Geometria

Antonio Nogueira

Captulo 1

Aspectos historicos da Geometria

1.1 Origens da Geometria

A palavra Geometria vem do grego geometrein (geo: terra, metrein: medir): a geometria eraessencialmente a ciencia de medir a terra.

A geometria antiga era feita essencialmente atraves da experimentacao, observacao de analo-gias e raros momentos de intuicao. Em resumo, a geometria era um assunto totalmnte empricono qual as respostas aproximadas eram suficientes para os propositos praticos.

Com os gregos, comecando com Tales de Mileto (sec. 6 a.C.), a Geometria passou a servista de um modo diferente: eles insistiam que resultados geometricos fossem estabelecidos porraciocnio dedutivo ao inves de por tentativa e erro. Seguindo Tales vieram os Pitagoricos eseus discpulos. Depois vem a escola Platonica, fundada por Platao em 387 a.C.

Da escola Platonica surgiu Euclides que, por volta do ano 300 a.C. produziu a obra degeometria mais importante de toda a historia. Euclides compilou em 13 volumes todo o conhe-cimento matematico existente ate sua epoca, sendo os volumes de I a IV e tambem o volumeVI devotados a` Geometria. Esta obra-prima recebeu o nome de Elementos.

Os Elementos de Euclides permaneceu por mais de 2000 anos como o unico manual de ge-omteria em todo o mundo. O metodo introduzido por Euclides e o prototipo do que hoje sedenomina Matematica Pura: pura no sentido de que nenhum experimento fsico necessita serfeito para verificar a validade das afirmacoes; somente o raciocnio nas demonstracoes precisamser checados.

Euclides baseou a construcao de sua geometria em 10 afirmacoes, denominadas axiomas,separadas em dois grupos: cinco foram classificadas como nocoes comuns e as outras comopostulados. As cinco nocoes comuns eram:

1. Coisas que sao iguais a uma mesma coisa sao tambem iguais entre si.

2. Se iguais sao adicionados a iguais, os resultados sao iguais.

3. Se iguais sao subtrados de iguais, os restos sao iguais.

4. Coisas que coincidem com outras coisas sao iguais uma a outra.

5. O todo e maior do que qualquer de suas partes.

1

Os postulados eram:

I Pode-se tracar uma reta por quaisquer dois pontos.

II Pode-se continuar uma reta indefinidamente.

III Pode-se descrever uma circunferencia com qualquer centro e qualquer raio.

IV Todos os angulos retos sao iguais.

V Se uma reta corta duas outras retas formando angulos colaterais internos cuja soma emenor do que dois angulos retos, entao as duas retas, se continuadas inifinitamente,encontram-se no lado no qual estao os angulos cuja soma e menor do que dois retos.

1.2 O metodo axiomatico

O que Euclides fez for construir axiomaticamente a Geometria Plana, atraves do que hoje cha-mamos de metodo axiomatico.

Matematicos podem fazer uso de tentativa e erro, experimentos, computacao de casos especi-ais, suposicoes, ou qualquer outra forma para descobrirnovos teoremas. O metodo axiomaticoe uma maneira de provar que os novos resultados sao corretos. Muitos resultados importan-tes em Matematica tiveram provas incompletas (alguns resultados de Euclides, por exemplo).Entretanto, provas completas foram apresentadas mais tare (a`s vezes bem mais tarde).

Assim, as provas ou demonstracoes, nos dao a certeza de que determinados resultados saocorretos. Em muitos casos, elas nos fornecem resultados bem mais gerais. Por exemplo, osegpcios e hindus sabiam, por experimentacao, que um triangulo com lados de comprimentos3, 4 e 5 e um triangulo retangulo. Mas, os gregos provaram que se um triangulo tem lados decomprimento a, b e c, onde a2+ b2 = c2, etnao o triangulo e um triangulo retangulo. Imaginema quanatidade de experimentos necessarios para cheacr este resultado!!! ainda mais levando-seem conta que experimentos fornecem apenas resultados aproximados. Assim, as demonstracoes,como as que serao feitas no decorrer deste curso, nos ajudam a organizar nossas ideias de umamaneira coerente.

Mas, afinal, o que e o metodo axiomatico? Digamos que eu queira convencer voces atravesde puro raciocnio a acreditar na validade de uma certa afirmacao que chamaremos de A1. Paraisto, eu poderia mostrar a voces de que forma esta afirmacao segue logicamente de alguma outraafirmacao A2 que voces ja tenham aceitado. Entretanto, caso alguem nao esteja convencido davalidade da afirmacao A2, eu teria que mostrar porque ela verdadeira mostrando, por exemplo,que a mesma e consequencia de uma outra afirmacao A3. Este procedimento pode ter que serrepetido varias vezes ate chegar a algum resultado que seja aceito sem a necessidade de umaprova. Esta utlima afirmacao faz o papel de um axioma (ou postulado). Se nao for possvelatingir uma afirmacao que seja aceita sem demonstracao, estaremos entrando numa regressaoinfinita, tendo que apresentar uma demonstracao apos outra sem nunca terminar. Assim,existem basicamente, duas exigencias que devem ser feitas para que se possa concordar queuma demonstracao esteja correta:

1. Aceitacao de certas afirmacoes, chamadas axiomas ou postulados, sem previa justificativa.

2. Concordancia sobre como e quando uma dada afirmacao segue logicamente de outra, istoe, devemos ter em mente certas regras de raciocnio.

2

O grande feito de Euclides foi enunciar alguns poucos postulados, afirmacoes que foramaceitas sem previa justificativa e, a partir delas, deduzir 465 proposicoes, muitas delas com-plicadas e nao intuitivamente obvias, que continham todo o conhecimento geometrico de seutempo. Uma das razoes pela qual os Elementos e considerada uma das obras mais belas e quemuito pode ser obtido a partir de tao pouco.

Outro aspecto fundamental do metodo axiomatico e o:

entendimento mutuo do significado das palavras e smbolos usados no discurso.

Nao se tera nenhum problema em alcancar este entendimento mutuo desde que usemostermos familiares. No entanto, se um termo desconhecido ou nao familiar e usado, pode-seexigir uma definicao do mesmo. Definicoes nao podem ser dadas arbitrariamente; elas estaosujeitas a`s regras de raciocnio citadas (mas nao especificadas) na exigencia (2) acima. Porexemplo, se definirmos um angulo reto como sendo um angulo de 90o e em seguida definimosum angulo de 90o como sendo um angulo reto estaramos violando a regra contra raciocnioscirculares. Tambem nao e possvel definir todos os termos que usados. De fato, para definirum termo devemos usar outros termos e, para definir estes outros termos deveremos usar aindaoutros e a, assim por diante. Se nao nos fosse permitido deixar alguns termos indefinidosestaramos envolvidos em uma rede sem fim de definicoes.

Euclides tentou definir todos os termos geometricos, por exemplo, definiu ponto como aquiloque nao tem parte e reta como aquilo que tem comprimento sem largura. Estas definicoes naosao muito uteis; para entende-las e necessario ter em mente a imagem de uma reta e de umponto. Assim, sera mais interessante deixar os termos ponto e reta sem definicao. Os cincotermos geometricos que sao a base para definir os demais entes geometricos na GeometriaEuclidiana Plana sao:

ponto

reta

incidencia (ou pertinencia)

estar entre

congruencia

A lista de termos indefinidos apresentada acima e devida a David Hilbert (1862 - 1943)que estabelceu, em seu tratado The Foundations of Geometry (1899) o conjunto completode axiomas para a Geometria euclidiana. Hilbert teve o cuidado de apresentar um conjuntominimal de axiomas, isto e, de nao incluir axiomas redundantes.

1.3 Os postulados de Euclides

Como ja mencionado acima os quatro primeiros postulados de Euclides sao:

I Pode-se tracar uma reta por quaisquer dois pontos.

II Pode-se continuar uma reta indefinidamente.

III Pode-se descrever uma circunferencia com qualquer centro e qualquer raio.

IV Todos os angulos retos sao iguais.

3

Antes de tratarmos do V Postulado, vale a pena fazermos algumas observacoes:

1. Euclides provou, com estes 4 postulados, 28 proposicoes.

2. Nos postulados I e II os termos entre parenteses nao foram utilizados por Euclides, porempela forma como ele os aplica fica claro que eles foram tacitamente assumidos.

3. Euclides tinha em mente, tracar um crculo e o Postulado III se fez necessario paragarantir que tal construcao pudesse ser feita, por exemplo, com um compasso.

4. Euclide define angulo sem falar em medida e define um angulo reto como sendo um anguloque e congruente ao seu suplementar, da a necessidade do Postulado IV.

1.3.1 O Quinto Postulado

Se considerarmos os axiomas da geometria como abstracoes de nossas experiencias, veremosuma grande diferenca entre o V postulado e os demais. Os dois primeiros podem ser vistoscomo abstracoes de nossas experiencias em tracarmos segementos com uma regua; o terceiropode ser abstrado da experiencia que temos com o compasso; o quarto talvez seja menos obviocomo uma abstracao mas pode ser visto como uma abstracao de nossa experiencia em medirangulos com um transferidor (onde a soma de angulos suplementares e 180o, e entao se estesangulos suplementares forem congruentes cada um deve medir 90o).

A diferenca principal entre o quinto postulado e os quatro anteriores reside no fato em quenao podemos verificar empiricamente se duas retas se intersectam ou nao, pois na verdade sopodemos tracar segmentos de retas e nao retas. Podemos estender os segmentos mais e maispara ver se os mesmos se encontram, mas nao podemos fazer isso para sempre. O unico recursoseria investigar o paralelismo indiretamente, usando outros criterios alem da definicao.

Devido a esta natureza questiionavel muitos matematicos tentaram provar o V Postuladocomo uma consequencia dos quatro primeiros. Alguns matematicos que tentaram obter estademonstracao do V postulado sao: Proclus (410 - 485), Nasir Edin (1201-1274), John Wallis(1616-1703), Girolamo Sacherri (1667-1733), Johann Heinrich Lambert (1728-1777), WolfgangBolyai (1775-1856), Johann Bolyai (1802-1860), Nikolai Lobachewsky (1793-1856) e Karl F.Gauss (1777-1855). Todas as tentativas de provar o quinto postulado cairam por terra. Apesardisso, estas tentativas nao foram em vao. Toda a controversia surgida devido ao quinto pos-tulado levou a uma reformulacao geral de toda a geometria. O grande matematico do final doseculo 19 e comeco do seculo 20, foi David Hilert. Em 1899, em seu tratado The Foundations ofGeometry, ele revisou e completou a geometria de Euclides, corrigindo tambem algumas falhasdos Elementos. Ele introduziu novos axiomas os quais ele dividiu em cinco grupos:

axiomas de incidencia (3 axiomas)

axiomas de ordem (4 axiomas)

axiomas de congruencia (6 axiomas)

axiomas de continuidade (2 axiomas)

axioma das paralelas (1 axioma)

4

Captulo 2

Os axiomas de Hilbert

Os termos indefinidos da geometria sobre os quais serao introduzidos os axiomas sao: ponto,reta, estar em (relacao de pertinencia ou incidencia), estar entre (relacao de ordem) e con-gruencia. Fixando a notacao: pontos serao denotados por letras maiusculas e retas por letrasminusculas.

2.1 Axiomas de Incidencia

Os termos indefinidos aqui sao pontos, retas e a relacao de incidencia entre um ponto e umareta, escrita P esta em l ou l passa por P ou ainda P l ou ainda o ponto P e a reta l saoincidentes. Estes tres termos indefindos estao sujeitos aos tres axiomas abaixo (o primeiro delese o primeiro postulado de Euclides):

Axioma de Incidencia 1 (I-1): Para todo ponto P e todo ponto Q, P 6= Q, existe umaunica reta l que passa por P e Q.

Axioma de Incidencia 2 (I-2): Para toda reta l existem pelo menos dois pontos distintosem l.

Axioma de Incidencia 3 (I-3): Existem tres pontos distintos que nao pertencem a umamesma reta.

Notacao: dados os pontos P e Q, P 6= Q, a reta que passa por P e Q sera denotada por

PQ.

Algumas primeiras conclusoes podem ser tiradas deste conjunto de axiomas.

1. Toda reta possui pelo menos dois pontos (axioma I-2);

2. Nao existe uma reta que contenha todos os pontos do plano (axioma I-3);

3. Existem pelo menos tres pontos no plano (axioma I-3).

Podemos agora fazer algumas definicoes.

Definicao 2.1 Diremos que duas retas distintas sao concorrentes quando elas tem um pontoem comum.

Definicao 2.2 Se duas retas nao se intersectam dizemos que elas sao retas paralelas.

5

Definicao 2.3 Dizemos que tres ou mais pontos sao colineares se todos pertencem a umamesma reta.

Alguns resultados importantes podem ser obtidos a partir da lista de axiomas acima.

Proposicao 2.1 Se l e m sao duas retas distintas e nao paralelas entao l e m tem um unicoponto em comum.

Prova:Como l e m nao sao paralelas entao elas se intersectam. Suponha que l e m se intersectem empelo menos dois pontos distintos. Entao, pelo axioma de incidencia I-1, l e m devem coincidiro que contraria o fato de que l e m sao distintas. 2

Proposicao 2.2 Para toda reta l existe pelo menos um ponto que nao esta em l.

Proposicao 2.3 Para todo ponto P existe pelo menos uma reta l tal que P / l.

Proposicao 2.4 Para todo ponto P existe pelo menos duas retas distintas passando por P .

Proposicao 2.5 Existem tres retas distintas que nao sao conocorrentes.

Exerccio 2.1 Prove as proposicoes 2.2, 2.3, 2.4 e 2.5.

2.2 Axiomas de Ordem

Para ilustrar a necessidade de novos axiomas, vamos considerar a seguinte demonstracaodeque os angulos da base de um triangulo isosceles sao congruentes. Esta em si nao e a prova apre-sentada por Euclides nos Elementos, mas e um argumento bastante comum em livros didaticos.

Prova:Dado o triangulo 4ABC com AC = BC. Mostrar que A = B.

(1) Considere a bissetriz do angulo C. Esta bissetriz encontra o lado AB em um ponto D.

(2) Nos triangulos 4ACD e 4BCD, tem-se AC = BC (hipotese)

(3) ACD = BCD (definicao de bissetriz)

(4) CD = CD (Axioma C-2)

(5) 4ACD = 4BCD (LAL).

(6) Portanto A = B (sao angulos correspondentes de triangulos congruentes).2

6

Considere o primeiro passo da prova acima, cuja justificativa e que todo angulo tem umabissetriz. Esta afirmacao e uma afirmacao verdadeira e pode ser provada separadamente. Mas

como temos certeza de que a bissetriz de C de fato encontra

AB, ou se ela encontra, comopodemos ter certeza de que o ponto de intersecao esta entre A e B? Apesar de que isto possaparecer obvio, se quisermos ser rigorosos e, este e o caso, esta afirmacao necessita ser provada.Uma vez introduzidos os axiomas de ordem sera possvel provar (apos uma consideravel quan-

tidade de trabalho) que a bissetriz de C de fato encontra a reta

AB em um ponto D entre Ae B, de modo que o argumento acima ficara completo (ao final dests secao apresentaremos umresultado, conhecido como teorema do crossbar, que supre esta falha). Existe, entretanto, umaprova mais facil deste teorema que sera apresentada na secao seguinte.

Notacao: Usaremos a notacaoAB C

para indicar, abreviadamente, que o ponto B esta entre o ponto A e o ponto C.

Axioma de Ordem 1 (O-1): Se A B C, entao A, B e C sao tres pontos distintos ecolineares e C B A.

Axioma de Ordem 2 (O-2): Dados dois pontos distintos B e D, existem pontos A, C e E

na reta

BD tais que AB D, B C D e B D E.

Axioma de Ordem 3 (O-3): Se A, B e C sao tres pontos distintos e colineares, entao umae somente uma das relacoes seguintes acontece: ou AB c ou ACB ou BAC.

Observacao 2.2.1 O axioma O-2 assegura que sempre existem pontos entre B e D e

que a reta

BD nao termine em B ou D. Em outras palavras, este axioma assegura queexistem infinitos pontos em ma reta.

O axioma O-3 assegura que uma reta nao e circular; se os pontos estivessem em umcrculo, nao seramos capazes de dizer qual dos tres pontos estaria entre os outros dois.

Antes de introduzir o proximo axioma vamos analisar algumas consequencias dos axiomasacima.

Definicao 2.4 Dados dois pontos A e B o segmento AB e o conjunto formado pelos pontos A

e B e por todos os pontos da reta

AB que estao entre A e B.

Definicao 2.5 Dados dois pontos A e B a semirreta

AB e o conjunto de todos os pontos dosegmento AB juntamente com todos os pontos X tais que A B X.

Observacao 2.2.2 O axioma O-2 garante a existencia de pontos X como na definicao de

semirreta acima; desta forma a semirreta

ABe maior que o segmento AB.

Proposicao 2.6 Dados os pontos A e B tem-se:

1.

AB

BA= AB

2.

AB

BA=

AB

7

Prova:

(1) De acordo com a definicao de segmento e semirreta temos AB

AB e AB

BA; logo

devemos ter AB

AB

BA.

Reciprocamente, seja C um ponto de

AB

BA; devemos mostrar que C AB. Se C = Aou C = B, entao C e um dos extremos do segmento AB e portanto C AB; caso contrario,A, B e C sao tres pontos distintos e colineares e, entao, pelo Axioma O-3 uma, e somente umadas seguintes relacoes se verifica:

A C B ou A B C ou B A C.

Se ABC, entao C nao pode pertencer a` semirreta

BA e se CAB entao C nao pertence

a` semirreta

AB. Em qualquer desses dois casos C nao pertence a

AB

BA. Conclumos entaoque A C B, isto e, C AB.

Do que foi visto acima segue que

AB

BA= AB.

(2) Exerccio. 2

Observacao 2.2.3 1. Se CAB, entao a semirreta

AC e chamada de semirreta oposta a`

semirreta

AB. Estas semirretas sao distintas. O axioma O-2 garante que todas semirreta

AB possui uma semirreta oposta

AC.

2. Parece claro que todo ponto P sobre a reta l determindada pelos pontos A, B e C, com

C A B, deve pertencer ou a` semirreta

AB ou a` semirreta oposta

AC. Porem, estaafirmacao nao pode ser provada somente com os axiomas e resultados ate aqui obtidos.Para prova-lo e necessario a introducao de um novo axioma.

Definicao 2.6 Sejam l uma reta e A e B pontos fora de l. Se A = B ou se o segmento ABnao contem pontos de l, dizemos que A e B estao de um mesmo lado da reta l, enquanto quese A 6= B e o segmento AB intersecta l, dizemos que A e B estao em lados opostos de l. (verfigura 2.1)

l

b

Ab

B

b

C

b D

Figura 2.1: A e B estao de um mesmo lado de l; C e D estao em lados opostos

Axioma de Ordem 4 (O-4): Para toda reta l e para quaisquer tres pontos A, B e C fora del tem-se:

(i) se A e B estao de um mesmo lado de l e B e C estao de um mesmo lado de l, entaoA e C estao de um mesmo lado de l;

(ii) se A e B estao em lados opostos de l e B e C estao em lados opostos de l, entao Ae C estao de um mesmo lado de l.

8

lb

A

b

B

b

C

Figura 2.2: Axioma O-4(i)

l

b

A

b

B

b

C

Figura 2.3: Axioma O-4(ii)

Observacao 2.2.4 Conclui-se facilmente do Axioma O-4 que se, A e B estao em um mesmolado de l e B e C estao em lados opostos de l, entao A e C estao em lados opostos de l.

Definicao 2.7 Dada uma reta l e um ponto A fora de l, o conjunto dos pontos de l juntamentecom os pontos X tais que A e X estao de um mesmo lado de l e chamado de semiplano limitadopor l e contendo A.

Proposicao 2.7 Toda reta l limita exatamente dois semiplanos cuja intersecao e a reta l.

Prova:Exerccio: Justifique cada passo na demonstracao abaixo:

Passo 1: Existe um ponto A fora de l.

Passo 2: Existe um ponto O pertencente a l.

Passo 3: Existe um ponto B tal que B O A.

Passo 4: Entao A e B estao em lados opostos de l. Logo l possui pelo menos dois lados.

Passo 5: Seja C um ponto fora de l diferente de A e B. Se C e B nao estao em um mesmolado de l, entao A e C estao em um mesmo lado de l.

Passo 6: Entao l possui exatamente dois lados.

Passo 7: Se C e um ponto que esta em cada um dos lados e C / l entao, pelo Axioma O-4(i),A e B deverao estar de um mesmo lado de l, o que e absurdo. Logo C l.

2

Proposicao 2.8 Dados os pontos A, B, C e D tais que ABC e CD, entao BCDe A B D.

Prova:Exerccio. 2Proposicao 2.9 Se C AB e l e a unica reta passando por A, B e C (axioma O-1), entao

para todo ponto P l, ou P pertence a` semirreta

AB ou P pertence a` semirreta

AC.

Prova:

Passo 1: Ou P

AB ou P /

AB.

Passo 2: Se P

AB, acabou. Suponha entao que P /

AB. Logo, pelo axioma O-3, devemos

ter P A B. Na sequencia, vamos mostrar que P

AC.

9

Passo 3: Se P = C, entao P

AC (definicao de semirreta). Suponha que P 6= C. Entao, peloaxioma O-3, exatamente uma das relacoes seguintes se verifica: C A P , C P Aou P C A.

Passo 4: Suponnha, por absurdo, que C A P .

Passo 5: Pelo axioma O-3, uma e somente uma das relacoes seguintes se verifica: B C P ,C P B ou P B C.

Passo 6: Se BC P , combinando isto com B AC (hipotese e axioma O-1), temos queA C P (ver proposicao 2.8), o que contraria o passo 4.

Passo 7: Se C P B, isto combinado com C A P (passo 4), nos da A P B (verproposicao 2.8), o que contraria o passo 2.

Passo 8: Se P BC, entao combinando isto com P AB (passo 2), obtemos ABC(novamente proposicao 2.8), o que contraria a hipotese.

Passo 9: Como em cada um dos tres caso obtivemos uma contradicao, entao C A P naopode ocorrer.

Passo 10: Portanto, temos C P A ou P C A (passo 3), e isto significa que P deve

pertencer a` semirreta

AC.2

Teorema 2.2.5 (Teorema de Pasch) Se A, B e C sao tres pontos distintos e nao colinearese l e qualquer reta que intersecta o segmento AB em um ponto entre A e B, entao l intersectatambem o segmento AC ou o segmento BC (figura 2.4). Se C noa esta em l entao l naointersecta ambos AC e BC.

l

b

A

b

B

b

C

Figura 2.4: Teorema de Pasch

O conteudo intuitivo deste teorema - o qual Euclides usava sem prova - e que se uma retaentraem um triangulo atraves de um de seus lados entao ela deve sairatraves de um dosoutros lados.

Prova:

(1) Ou C l ou C / l. Se C l, o resultado se verifica e nao temos mais nada a fazer.Suponha entao que C / l.

(2) Por hipotese A e B nao pertencem a l e o segmento AB intersecta l em um ponto entre Ae B.

(3) Entao A e B estao em lados opostos de l (definicao de lado).

10

(4) Como C / l, entao ou C esta do mesmo lado de l que A ou C esta do mesmo lado de lque B (Axioma O-4).

(5) Se C esta do mesmo lado de l que A entao C e B estao em lados opostos de l, o quesignifica que l intersecta BC e nao intersecta AC; analogamente, se C esta do mesmolado de l que B, entao l intersecta AC e nao intersecta BC (axioma O-4).

2

Exerccio 2.2

1. Dados A B C. Mostre que AC = AB BC e que B e o unico ponto comum aossegmentos AB e BC.

2. Dados A B C. Mostre que B e o unico ponto comum a`s semirretas

BA e

BC e que

AB=

AC

Definicao 2.8 Um angulo com vertice A e a figura formada por duas semirretas de origem emA. As semirretas sao os lados do angulo. Se estas semirretas sao semirretas opostas diremosque o angulo e um angulo raso.

Definicao 2.9 Dado um angulo BAC, diz-se que um ponto D esta no interior de BAC se

D e B estao de um mesmo lado de

AC e D e C estao de um mesmo lado de

AB. (Assim, ointerior de um angulo e a intersecao de dois semiplanos).

b

A

b

B

b

Dinterior

b

C

Figura 2.5: Interior do angulo BAC

Proposicao 2.10 Dado um angulo BAC e um ponto D em

BC, entao D esta no interiorde BAC se, e somente se, B D C.

Proposicao 2.11 Se D esta no interior de BAC, entao:

1. todo ponto da semirreta

AD, exceto A, esta no interior de BAC;

2. nenhum ponto da semirreta oposta a

AD esta no interior de BAC;

3. se C A E, entao B esta no interior de DAE (ver figura 2.6).

11

bA

b

C

b

D

b

Bb

E

b

F

Figura 2.6

Definicao 2.10 A semirreta

AD esta entre as semirretas

AB e

AC se

AB e

AC nao saosemirretas opostas e se D esta no interior de BAC.

O proximo resultado preenche a lacuna observada na demonstracaode que os angulos dasbase de um triangulo isosceles sao congruentes.

Teorema 2.2.6 (Teorema do Crossbar) Se

AD esta entre

AC e

AB, entao

AD intersectao segmento BC.

b

A

b

C

b

D

b

B

Figura 2.7: Teorema do Crossbar

Prova:Seja E tal que CAE. Como D esta no interior de BAC segue da parte (c) da proposicao2.11 que B esta no interior de DAE. Por definicao tem-se entao que B e E estao de um

mesmo lado da reta

AD. Como E e C estao em lados opostos de

AD (pois C intersecta

AD

em A) segue do axioma O-4 que B e C estao em lados opostos de

AD. Assim,

AD intersectaBC em um ponto F entre B e C. Segue agora das partes (a) e (b) da proposicao 2.11 que

F

AD. 2

Exerccio 2.3

1. Prove a proposicao 2.8.



2.3 Axiomas de Congruencia

Lembre que congruenciae o nosso ultimo termo indefinido (ou primitivo); ele expressa umarelacao entre segmentos ou entre angulos. Usaremos o smbolo = para denotar esta relacao.

Listamos a seguir os axioma de congruencia.

12

Axioma de Congruencia 1 (C-1): Se A e B sao pontos distintos e A e qualquer ponto,entao para cada semirreta r com origem em A existe um unico ponto B em r tal queB 6= A e AB = AB.

b

Ab

B

b

A

b

B

Figura 2.8

Axioma de Congruencia 2 (C- 2): Se AB = CD e AB = EF , entao CD = EF . Alemdisso, todo segmento e congruente a si mesmo.

Axioma de Congruencia 3 (C-3): Se AB C, A B C , AB = AB e BC = BC ,entao AC = AC .

Figura 2.9

Axioma de Congruencia 4 (C-4): Dado qualquer angulo BAC e dada qualquer semirreta

AB com origem em um ponto A qualquer, entao existe uma unica semirreta

AC , em

um dos lados de

AB, tal que BAC = BAC.

Figura 2.10

Axioma de Congruencia 5 (C-5): Se A = B e A = C, entao B = C. Alem disso,todo angulo e congruente a si mesmo.

Exerccio 2.4

1. Mostre que se AB = CD, entao CD = AB.

2. Mostre que se A = B, entao B = A.

Definicao 2.11 Se A, B e C sao tres pontos nao colineares entao o triangulo com vertices A,B e C e lados AB, BC e AC e o conjunto

4ABC = AB BC AC.

Os angulos ABC, BAC e ACB sao os angulos (internos) do triangulo.

Definicao 2.12 Dois triangulo4ABC e4EFG sao congruentes se existe uma correspondenciabiunvoca entre os seus vertices de modo que lados e angulos correspondentes sejam congruentes.Quando escrevermos 4ABC = 4EFG queremos dizer que A corresponde a E, B correspondea F e C corresponde a G.

Observacao 2.3.1 Definicoes semelhantes podems ser dadas para quadrilateros congruentes,pentagonos congruentes, etc.

Seria natural agora introduzir um axioma de soma de angulos para congruencia de angulosanalogo ao axioma C-3 (axioma da adicao de segmentos). Isto nao sera feito entretanto poistal propriedade pode ser provada usando o proximo axioma de congruencia.

13

Axioma de Congruencia 6 (LAL): Dados dois triangulo 4ABC e 4EFG, se AB = EF ,AC = EG e A = E, entao 4ABC = 4EFG.

O axioma acima e o conhecido criterio de congruencia lado-angulo-lado ou, abreviadamente,LAL. Como uma primeira aplicacao do mesmo segue uma porva bastante simples do teoremasobre os angulos da base de um triangulo isosceles, devida a Pappus (300 D.C.).

Proposicao 2.12 Se no triangulo 4ABC tem-se AB = AC, etnao B = C.

Prova: (Pappus)

(1) Considere a seguinte correspondencia de vertices:

A A, B C e C B.

Sob esta correspondencia os triangulos 4ABC e 4ACB sao tais que AB = AC, AC =AB e A = A (hipotese e axioma C-5 que diz que todo angulo econgruente a si mesmo).

b

A

b

Bb

C

b

C

b

B

b

A

Figura 2.11

(2) Entao pelo axioma C-6, segue que 4ABC = 4ACB. Em particular, pela definicao decongruencia de triangulos, segue que B = C.

2

Na sequencia sao apresentados alguns resultados importantes sobre congruencia. Algunsserao demonstrados e outros serao deixados como exerccio.

Proposicao 2.13 Se AB C, D E F , AB = DE e AC = DF , entao BC = EF .

Prova: Pelo axioma C-1 existe um (unico) ponto G na semirreta

EF tal que EG = BC. Entaotemos: A B C, D E G, AB = DE e BC = EG; logo, pelo axioma C-3, segue queAC = DG e, da hipotese, segue que DG = EF . Novamente, pelo axioma C-1, segue que,

observando que G e F estao ambos na semirreta

DF , vem que G = F . Conclumos da queEF = EG = BC.

2

Proposicao 2.14 Dado AC = DF , entao para qualquer ponto B entre A e C, existe um unicoponto E entre D e F tal que AB = DE.

Prova: Exerccio.2

14

Definicao 2.13 1. Dados os segmentos AB e CD diz-se que AB e menor do que CDe escreve-se AB < CD (ou CD > AB), se existe um ponto E entre C e D tal queAB = CE.

2. Diz-se que o angulo ABC e menor que o angulo DEF e escreve-se ABC < DEF

(ou DEF > ABC), se existe uma semirreta

EG entre as semirretas

ED e

EF talque DEG = ABC.

Proposicao 2.15

1. Uma e somente uma das condicoes seguintes se verifica (tricotomia):

AB < CD, AB = CD ou AB > CD.

2. Se AB < CD e CD = EF , entao AB > EF .

3. Se AB > CD e CD = EF , entao AB > EF .

4. Se AB < CD e CD < EF , entao AB < EF .

5. Uma e somente uma das relacoes seguintes se verifica (tricotomia):

P < Q, P = Q ou P > Q.

6. Se P < Q e Q = R, entao P < R.

7. Se P > Q e Q = R, entao P > R.

8. Se P < Q e Q < R, entao P < R.

Prova: Exerccio.2

Definicao 2.14

1. Se dois angulos BAD e CAD tem um lado comum

AD e os outros dois lados

AB e

AC sao semirretas opostas, diz-se que os angulos sao suplementares (ou que um anguloe o suplemento do outro).

2. Um angulo BAD e um angulo reto se ele tem um angulo suplementar que lhe e congru-ente.

3. Duas retas l e m sao perpendiculares se elas se intersectam em um ponto A formando umangulo reto.

Quando duas retas distintas

OA e

OB se intersectam quatro angulo sao formados (figura2.12). Os angulos AOB e DOC sao chamaods angulos opostos pelo vertice. Do mesmomodo, sao tambem opostos pelo vertice, os angulos AOD eBOC.

15

bO

b

B

b

A

b

D

b

C

Figura 2.12

Proposicao 2.16 Angulos congruentes tem suplementares congruentes.

Prova: Justifique os passos, abaixo, na demostracao da proposicao 2.16.

Dados os angulos ABC = DEF , queremos mostrar que seus suplementares CBG eFEH sao congruentes (figura 2.3).

1) Dados os pontos A, C e G nos lados de ABC e de seu suplemento, podemos escolher ospontos D, F e H nos lados de DEF e de seu suplemento tais que AB = DE, CB = FEe BG = EH .

2) Entao 4ABC = 4DEF .

3) Entao AC = DF e A = D.

4) Tambem, AG = DH .

5) Logo 4ACG = 4DFH .

6) Portanto, CG = FH e G = H .

7) Entao 4CBG = 4FEH .

8) Segue da que CBG = FEH .

2

Proposicao 2.17 Angulos opostos pelo vertice sao congruentes.

Prova: Exerccio. 2

Proposicao 2.18 Para toda reta l e para todo ponto P existe uma reta perpendicular a l pas-sando por P .

16

Figura 2.13

Prova:Suponha inicialmente que P / l e, sejamA e B quaisquer dois pontos de l (Axioma I-2). Do lado de l oposto ao que esta P existe

uma semirreta

AX tal que XAB = PAB(Axioma C-4). Existe tambem um ponto P na

semirreta

AX tal que AP = AP (Axioma C-1). Como P e P estao em lados opostos de l, osegmento PP intersecta a reta l em um pontoQ.

Se Q = A, entap

PP e perpendicular a

l, pois neste caso as semirretas

AP e

AP

sao semirretas opostas e os angulo congruentesPAB = P AB sao tambem angulos suplementares e, portanto, sao angulos retos.

Se Q 6= A, entao 4PAQ = 4P AQ, por LAL (verifique). Assim, PQA = P QA.

Logo,

PP e perpendicular a l pois PQA e P QA sao angulos suplementares congruentes e,portanto, sao retos.

Suponha agora que P l e seja Q um ponto fora de l. Pela parte anterior existe uma reta tperpendicular a l passando por Q; esta reta determina, entao, um angulo reto que chamaremosde . Pelo axioma C-4, existe uma unica semirreta r passando por P , em um dos lados de l,que forma com l um angulo congruente ao angulo . Segue que a reta suporte de r e uma retaperpendicular a l passando por P . 2

Veremos na sequencia os criterios de congruencia ALA e LLL.

Proposicao 2.19 (Criterio ALA para congruencia de triangulos) Dados os triangulos4ABC e 4DEF , se A = D, C = F e AC = DF , entao 4ABC = 4DEF .

Prova: Seja X um ponto da semirreta

AB tal que AX = DE. Considere o triangulo 4AXCe compare-o com o triangulo 4DEF . Pelo Axioma C-6 (LAL), temos que 4AXC = 4DEF .Segue entao que ACX = F . Mas , por hipotese, F = C. Logo, por transitividade,

ACX = ACB. Pelo Axioma C-4 as semirretas

CX e

CB devem ser coincidentes; logo Xe B devem coincidir, isto e, X = B. Entao, pelo que vimos acima, AB = DE, AC = DF eA = D (hipotese). Logo, pelo cirterio de congruencia LAL, segue que 4ABC = 4DEF .

2

O criterio de congruencia acima e conhecido como criterio angulo-lado-angulo ou, abrevia-damente, ALA. Como consequencia do criterio ALA provaremos a seguir a recproca do teorema2.12.

Proposicao 2.20 Se no triangulo 4ABC tem-se B = C, entao AB = AC, ou seja, otriangulo 4ABC e isosceles.

Prova: Vamos comparar o triangulo4ABC com ele mesmo fazendo a seguinte correspondenciados vertices:

A A, B C, C B.

Notemos que os angulos B e C do triangulo 4ABC correspondem, respectivamente, aosangulo C e B do triangulo 4ACB. Assim, teremos B = C (hipotese), BC = CB e

17

C = B. logo, pelo cirterio ALA de congruencia de triangulos seguq que 4ABC = 4ACB.Portanto, AB = AC e o triangulo e isosceles.

2As proposicoes 2.12 e 2.20 podem entao ser reescritas na seguinte forma.

Proposicao 2.21 (Teorema do triangulo isosceles) No triangulo 4ABC tem-se AB =AC se, e somente se, B = C.

Proposicao 2.22 (Criterio LLL para congruencia de triangulos) Dados os triangulo4ABCe 4DEF , se AB = DE, AC = DF e BC = EF , entao 4ABC = 4DEF

Prova: Pelo axioma C-4 existe uma unica semirreta

AC do lado de

AB oposto ao que estao ponto C tal que C AB = D. Pelo axioma C-1 existe um unico ponto X na semirreta

AC tal que AX = DF . Como AB = DE e BAX = D segue, pelo criterio LAL, que4ABX = 4DEF . Por outro lado, como AX = DF = AC e BX = EF = BC, segueque os triangulos 4AXC e 4BXC sao ambos isosceles. Segue da que AXC = ACX eBCX = BXC. Entao ACB = AXB. Temos assim que: AX = AC, BX = BC eACB = AXB. Logo, por LAL, segue que 4ABC = 4ABX e como 4ABX = 4DEFsegue, por transitividade, que 4ABC = 4DEF . 2

A proposicao seguinte e o conteudo do IV postulado de Euclides. A demonstracao da mesmasera deixada como um exerccio.

Proposicao 2.23 (IV Postulado de Euclides) Dois angulos retos sao sempre congruentes.

Prova: Exerccio. 2

2.4 Axiomas de Continuidade

Axioma de Arquimedes: Se AB e CD sao segmentos quaisquer, entao existe um numero

natural n tal que se o segmento CD e disposto n vezes sobre a semirreta

AB a partir deA, entao um ponto E sera atingido de modo que n CD = AE e B esta entre A e E.

Para ilustrar o conteudo do Axioma de Arquimedes, considere por exemplo um segmentoque mede, digamos, pi unidades de comprimento; para atingir um ponto E tal que A B Ecomo no enunciado do axioma teramos que dispor o segmento CD, lado a lado, pelo menos 4vezes.

pi unidades b

Ab b b b

Eb

B

b

C

b

D

Figura 2.14: Axioma de Arquimedes

18

O conteudo intuitivo do axioma de Arquimedes e que se escolhermos um segmento CD comounidade de comprimento, entao qualquer outro segmento tem comprimento finito com relacaoa esta unidade (na notacao do axioma o comprimento de AB com relacao a CD e no maximon unidades.)

Axioma de Dedekind: Suponha que o conjunto de todos os pontos de uma reta l seja a uniaode de dois subconjuntos nao vazios 1 e 2 com a seguinte propriedade: nenhum pontode 1 esta entre dois pontos de 2 e nenhum ponto de 2 esta entre dois pontos de 1.Entao, existe um unico ponto O em l tal que P1OP2 se, e somente se, um dos pontosP1, P2 esta em 1 , o outro em 2 e O 6= P1, P2.

Observacao 2.4.1 Um par de subconjuntos 1 e 2 com as propriedades listadas no axiomade Dedekind e chamado um corte de Dedekind da reta l. Estritamente falando, o objetivo desteaxioma e assegurar que uma reta nao tem buracos, no sentido de que para qualquer ponto Osobre sa reta l e qualquer numero real positivo x existem unicos pontos Px e Px em l tais quePx O Px e os segmentos PxO e OPx tem ambos comprimento x (com respeito a algumaunidade de medida).

Com o axioma de Dedekind, pode-se introduzir um sistema de coordenadas retangularesno plano e fazer geometria analiticamente, como Descartes e Fermat fizeram. Na sequenciaapresentaremos alguns resultados que sao consequencias do Axioma de Dedekind.

Proposicao 2.24 (Princpio da continuidade circular) : Se um cruclo tem um pontono interior e outro ponto no exterior de um outro crculo , entao os dois crculos se intersectamem dois pontos.

Observacao 2.4.2 Aqui um ponto P e dito estar no interior de um crculo de centro O e raioOR se OP < OR e no exterior se OP > OR.

Proposicao 2.25 (Princpio da continuidade elementar) : Se um dos extremos de umsegmento esta no interior de um crculo e outro extremo esta no exterior do mesmo crculo,entao o segmento intersecta o crculo.

Os dois resultados acima sao consequencias do Axioma de Dedekind.

Exerccios

1. Prove as seguintes afirmacoes:

(a) Para toda reta l existe pelo menos um ponto que nao esta em l.

(b) Para todo ponto P existe pelo menos uma reta que nao passa por P .

(c) Existem tres retas distintas que nao sao concorrentes.

2. Prove: toda reta l determina exatamente dois semiplanos distintos.

3. Dados dois pontos A e B, mostre que

AB

BA =

AB

19

4. Dado que A B C e A C D, prove que:

(a) A,B,C,D sao quatro pontos distintos;

(b) A,B,C,D sao colineares.

5. Dados os pontos A B C, mostre que:

(a) AC = AB BC;

(b) B e o unico ponto comum a`s semirretas

BA e

BC e

AB=

AC.

6. Dado um angulo BAC e um ponto D na reta

BC , mostre que D esta no interior deBAC se, e somente se, B D C.

7. Seja D um ponto no interior de BAC. Mostre que:

(a) todo ponto da semirreta

AD, exceto A, esta no interior de BAC.

(b) nenhum ponto da semirreta oposta a` semirreta

AD esta no interior de BAC.

(c) se C AE, entao B esta no interior do angulo DAE.

8. Dada uma reta l, um ponto A em l e um ponto B fora de l, mostre que todo ponto da

semi-reta

AB esta do mesmo lado de l que o ponto B.

9. Defina os seguintes termos:

(a) Ponto medio de um segmento AB;

(b) Mediatriz de um segmento AB;

(c) Triangulo isosceles, sua base e seus angulos da base;

(d) Triangulo equilatero;

(e) Angulo reto;

(f) Triangulo retangulo.

10. (a) Defina angulos opostos pelo vertice.

(b) Mostre que angulos opostos pelo vertice sao congruentes.

11. Prove que um triangulo equiangulo e um triangulo equilatero.

12. Mostre que todo segmento AB possui um unico ponto medio.

13. Dado A B C e

DC

AC , prove que AD > BD > CD.

14. Escreva um ensaio para convencer alguma outra pessoa de que existem infinitos pontosem um segmento.

15. Um subconjunto do plano e convexo se o segmento ligando quaisquer dois de seus pontosesta totalmente contido nele. Os exemplos mais simples de conjuntos convexos sao oproprio plano e qualquer semiplano. Mostre que a intersecao de dois semiplanos e umconjunto convexo.

16. Mostre que a intersecao de n semiplanos ainda e um conjunto convexo.

17. Mostre agora que a intersecao de conjuntos convexos e ainda um conjunto convexo.

20

18. Mostre que um triangulo separa o plano em duas regioes, uma das quais e convexa.

19. Prove que as diagonais de um quadrilatero convexo se interceptam.

20. Mostre que tres pontos nao colineares determinam tres retas. Quantas retas sao determi-nadas por quatro pontos sendo que quaisquer tres deles sao nao colineares?

21. Discuta a seguinte questao Existem retas paralelas?. Obs: nao e permitido em sua discussaousar qualquer afirmacao que nao tenha sido provada ainda ou qualquer axioma que aindanao tenha sido introduzido.

22. Sejam AB e CD segmentos e E um ponto tal que AB CD = {E}. Mostre que a retaque contem AB nao pode conter CD.

23. CG1: Descreva, usando regua e compasso, como construir um triangulo isosceles. Facao mesmo para um triangulo equilatero.

24. CG2: Desccreva um metodo para construir o ponto medio de um segmento.

25. Discuta sobre a possibilidade de estabelecer um conceito de estar entrepara pontos deum crculo.

26. Sejam AB e CD dois segmentos que se bissectam no ponto F . Mostre que 4AFD =4BFC.

27. Mostre que se dois segmentos AB e CD se bissectam, entao AD = BC e AC = BD.

28. Na figura abaixo tem-se AB = AC e DB = DC. Mostre que ABD = ACD.

B

A

C

D

Figura 2.15: Exerccio 28

29. Na figura abaixo, tem-se AB = AC. Mostre que DBC = ECB.

b

b

A

B

C

D

E


30. Seja 4ABC um triangulo equilatero e sejam P,Q,R os respectivos pontos medios de seuslados. Mostre que o triangulo 4PQR e equilatero.

31. Na figura abaixo tem-se FBA = RMQ e HB = HM . Mostre que HF = HR.

B

F

M

R

b bA Q

H

21


32. Seja 4GHK um triangulo tal que GK = HK e M um ponto tal que G M H eGKM = HKM . Mostre que M e o ponto medio de GH .

33. Sao dados: os pontos A,C,D e E sao colineares, com AED, ADC e AE = CD.B e um ponto fora da reta da reta ` determinada pelos pontos A e C tal que AB = BC,EB = DB e AE = CD. Mostre que ABE = DBC.

34. Na figura 2.18 AE intersecta BD em C de modo que AC = DC e BC = EC. Mostreque A = D.

A

BC

DE


35. Na figura 2.19 tem-se AB = CD e BAC = ACD. Mostre que ACB = DAC.

AB

CD


36. Considere a figura 2.20.

(a) Se AD = BD, e AC = BC, mostre que CAD = CBD.

(b) Se AC = BC e CAD = CBD, mostre que AD = BD.

A B

C

D


37. Consider o quadrado 2ABCD e sejam P,Q,R, S os pontos medios dos lados AB, BC,CD e DA, respectivamente. Mostre que 4PQR = 4QRS.

38. Na figura abaixo tem-se AR = AH e RF = BH . Mostre que AB = AF .

22

ABR F H


39. Mostre que a bissetriz do angulo A do triangulo 4ABC e perpendicular ao lado BCse, e somente se, o triangulo e isosceles com base BC.

40. Considere o quadrilatero 2ABCD no qual os angulos A e B sao retos e os ladosAD e BC sao congruentes. Mostre que os angulos C e D sao congruentes. Um talquadrilatero e chamado de quadrilatero de Sacherri.

41. CG3: Utilizando regua e compasso construa:

(a) um triangulo, sendo dados dois lados e o angulo compreendido entre eles.

(b) um triangulo, sendo dados dois de seus angulos e o lado compreendido entre eles.

(c) um triangulo, sendo dados os tres lados.

42. Na figura 2.22 tem-se: DG = CH , D = C, AG DK e BH CK. Mostre queAD = BC.

A B

CDG

K

H


23

Captulo 3

Desigualdades Geometricas

Sejam l e l duas retas quaisquer e t uma reta que intersecta l e l nos pontos B e B, res-pectivamente. Diremos que t e uma reta transversal a`s retas l e l. Sejam A e C pontos eml tais que A B C e sejam A e C em l tais que A e A estao de um mesmo lado de t eA B C . Nestas condicoes os angulos ABB, ABB, C BB e CBB sao chamadosde angulos internos (ou interiores). Os dois pares (ABB,C BB) e (ABB,CBB) saochamados de pares de angulos alternos internos. Os pares de angulos (CBB,C BB) e(ABB,ABB) sao chamados de angulos colaterais internos.

l t

lb

A

b

B

b

C

b

B

b

A

b

C

b

S

b

R

Figura 3.1: Angulos alternos internos: ABB e CBB

Sejam R e S pontos na reta t tais que R B B e B B S; nestas condicoes osangulos ABR e ABB sao chamados de angulos correspondentes. Existem mais tres paresde angulos correspondentes, a saber, os pares: ABB e ABS; RBC eBBC ; CBB eC BS.

O teorema a seguir traz uma importante propriedade dos angulos alternos internos.

Proposicao 3.1 (Teorema dos angulos alternos internos) Se duas retas cortadas por umatransversal determina um par de angulos alternos internos congruentes, entao as duas retas saoparalelas.

24

l t

lb

A

b

B

b

C

b

B

b

A

b

C

b

E

b

D

Figura 3.2

Prova: Sejam l, l, t, A,B,C eA, B, C como acima (veja a figura3. Suponha que ABB = CBB

e suponha, por absurdo, que l e l seencontrem em D. Suponha tambemque D esteja do mesmo lado de t emque estao C e C . Existe um ponto E

na semirreta

BA tal que BE = BD(axioma C-1). O segmento BB econgruente a si mesmo e entao pelocriterio de congruencia LAL tem-seque 4BBd = 4BBE. Em particu-lar, DBB = EBB. Mas, comoDBB e o suplementar de EBB,

entao EBB deve ser o suplementar de DBB. Isto significa que E deve pertencer a l e,entao l e l tem dois pontos, E e D, em comum, o que e impossvel. Conclumos asim que l el sao paralelas. 2

Corolario 1 Duas retas perpendiculares a uma mesma reta sao paralelas. Segue que a perpen-dicular a uma reta l tracada de um ponto P fora de l e unica (e o ponto no qual a perpendicularencontra a reta l e chamado o pe da perpendicular).

Prova: Se l e l sao ambas perpendiculares a t, os angulos alternos internos assim formadossao angulos retos e portanto congruentes. Do teorema dos angulos alternos internos segue quel e l sao paralelas.

2

Corolario 2 Se l e qualquer reta e P e um ponto qualquer fora de l, entao existe pelo menosuma reta m paralela a l e passando por P .

Prova: Dada uma reta l e um ponto fora de l, vimos, na proposicao 2.18, que existe uma reta tperpendicular a l passando por P ; tambem existe uma (unica) reta m passando por P e perpen-dicular a t. Como l e m sao ambas perpendiculares a t, segue do corolario 1 que m e paralela a l.

2

3.1 Teorema do angulo externo

Definicao 3.1 Um angulo suplementar a um angulo interno de um triangulo e chamado umangulo externo do triangulo; os outros dois angulos do triamgulo serao chamados angulo inter-nos nao adjacentes.

Teorema 3.1.1 (Teorema do angulo externo) Um angulo externo de um triangulo e maiorque qualquer dos angulos internos a ele nao adjacentes.

Prova: Dado o triangulo 4ABC seja D tal que B C D. Vamos mostrar que ACD emaior que BAC e que ABC.

25

bBb

C

b

A

b

D

b

F

b

E

b

G

Figura 3.3

Considere o angulo BAC. Se BAC = ACD,

entao, pelo teorema dos angulos alternos internos,

AB

e paralela a

CD o que contradiz o fato de que estasretas se encontram no ponto B. Suponha agora queBAC seja maior que ACD. Entao, existe um se-

mirreta

AE entre

AB e

AC tal que ACD = CAE.Esta semirreta intersecta BC em um ponto G (isto econsequencia do teorema do crossbar). Mas, por ou-tro lado, de acordo com o teorema dos angulos alternos

internos, as retas

AE e

CD sao paralelas, uma con-tradicao. Assim BAC nao pode ser maior que ACD e como BAC tambem nao pode sercongruente a ACD, devemos ter BAC < ACD.

Para o angulo interno ABC usa-se o mesmo raciocnio aplicado ao angulo externo BCF ,onde F e tal que A C F (ver figura), que e congruente a ACD. 2

Na sequencia apresentaremos algumas consequencias do teorema do angulo externo. Aprimeira delas e o criterio de congruencia LAA.

Teorema 3.1.2 (Criterio de congurencia LAA) Dados os triangulos 4ABC e 4DEF ,com AC = DF , A = D e B = E, entao 4ABC = 4DEF .

Prova: Se mostrarmos que AB = DE o resultado segue por LAL.Suponhamos entao que AB nao e congruente a DE. Entao devemos ter AB < DE ou

AB > DE.Se DE < AB, entao existe um ponto G entre A e B tal que AG = DE. Assim, por LAL,

os triangulos 4AGC e 4DEF sao congruentes. Em particular temos CAG = FDE eAGC = E. Isto junto com a hipotese E = B e, pela transitividade da congruencia,implica que AGC = B. Assim, temos no triangulo 4BCG um angulo externo AGCcongruente a um angulo interno nao adjacente (B), o que contraria o teorema do anguloexterno.

Concluimos entao que DE nao pode ser menor que AB. De modo analogo, mostra-se queDE tambem nao pode ser maior que AB. Entao, pela tricotomia, devemos ter AB = DE.Assim temos: AC = DF , AB = DE e A = D e, portanto, por LAL, temos 4ABC =4DEF . 2

Proposicao 3.2 Dois triangulos retangulos sao congruentes se a hipotenusa e um cateto deum triangulo sao congruentes, respectivamente, a` hipotenusa e a um cateto do outro triangulo.

Prova: A demostracao deste resultado sera deixada como exerccio. Este resultado e conehcidocomo criterio cateto-hipotenusa para congruencia de triangulos retangulos. 2

Proposicao 3.3 Em um triangulo 4ABC, o maior angulo se opoe ao maior lado e o maiorlado e oposto ao maior angulo, isto e, AB > AC = C > A.

Prova: Sendo AB > BC, existe um ponto D entre A e B tal que BD = BC. Entao notriangulo 4BCD tem-se CDB = BCD (pois 4BCD e isosceles). Como D AB, a

semirreta

CD e interna ao angulo ACB e portanto ela divide este angulo nos angulos ACDe BCD. Assim, tem-se ACB > BCD e como BCD = BDC, segue que

26

ACB > BDC (3.1)

Mas BDC e um angulo externo ao triangulo 4ADC e nao adjacente ao angulo CAD.Logo, pelo teorema do angulo externo, segue que

BDC > CAD. (3.2)

Das equacoes 3.1 e 3.2 segue entao que

ACB > CAD, isto e,

C > A.

Suponha agora que C > A e vamos provar que AB > AC. Uma e somente uma dasopcoes seguintes pode ocorrer:

AB > BC, AB = BC ou AB < BC.

Se fosse AB < BC, pela parte anterior da demonstracao, deve-se ter A < C, o quee contario a` hipotese. Da mesma forma, se fosse AB = BC, entao o triangulo 4ABC seriaisosceles e teramos A = C, tambem contrario a hipotese. Assim, deve-se ter AB > BC,como queramos provar. 2

Proposicao 3.4 (Teorema da dobradica) Dados os triangulos4ABC e4ABC , se AB =AB, BC = BC , entao B,B se, e somente se, AC < AC .

Prova: Usando o axioma C 1 podemos considerar A = A e B = B e, pelo axioma C 4 edo fato de ser B < B, podemos tomar C no interior do angulo ABC . Pelo teorema do

crossbar a semirreta

BC intersecta AC em um ponto D entre A e C . Vamos considerar trescasos: C = D, B D C e B C D. Em cada caso devemos mostrar que AC > AC.

(i) C = D; neste caso temos A C C e e obvio que AC > AC.

b

Bb

A

b

C

b

Bb

A

b

C

b

C

bD

Figura 3.4: Caso B D C

(ii) B D C; neste caso o triangulo 4BCC e isosceles, logo BCC = BC C. Assim,

AC C < BC C = BCC < ACC .

27

b b

b

b

Bb

A

b

C

b

C

b

D

Figura 3.5: Caso B C D

(iii) BC D; neste caso temos: BCC = BC C (4BCC isosceles); DCC > BC C(angulo externo) e AC C < BCC (angulo externo). Logo,

AC C < BCC = BC C < DCC < ACC .

Para a recproca, suponha agora que AC < AC . Temos tres possibilidades: B = B,B > B ou B < B.

Se B = B, entao, por LAL, devemos ter AC = AC .Se B > B, entao pela parte anterior da demonstracao devemos ter AC > AC (contra

a hipotese).Logo, pela lei de tricotomia, devemos ter B < B. 2

Exerccios


2. (a) Defina ponto medio de um segmento.

(b) Mostre que todo segmento possui um unico ponto medio.

3. (a) Defina mediatriz de um segmento.

(b) Mostre que todo segmento possui uma unica mediatriz.

(c) Mostre que um ponto P esta na mediatriz de um segmento AB se, e somente se,AP = BP .

4. (a) Defina bissetriz de um angulo.

(b) Mostre que todo possui uma unica bissetriz.

(c) Mostre que um ponto P esta na bissetriz de um angulo se, e somente se, P e equi-distante dos lados do angulo.

5. De uma demonstracao alternativa do Teorema dos angulos alternos internos usando o Te-orema do angulo externo.

6. Mostre que se um triangulo tem um angulo reto entao os seus outros dois angulos saoagudos.

7. Mostre que em todo triangulo retangulo cada cateto e menor que a hipotenusa.

8. Dado o triangulo 4ABC, seja D o ponto medio do segmento BC e E o unico ponto na

reta

AD tal que AD E e AD = DE. Entao 4ADC tem a mesma soma de angulosque o 4ABC e (EAC)o 1

2(BAC)o ou (AEC)o 1

2(BAC)o.

9. Dado A B C e

DC

AC , prove que AD > BD > CD.

28

10. Prove que as diagonais de um quadrilatero convexo se interceptam.

11. Na figura 3.6 tem-se 1 = 2. Mostre que as retas m e n sao paralelas.

m

n

1

2


12. Duas retas m e n sao cortadas por uma transversal formando angulos de medidas e como na figura abaixo. Mostre que se + = 180o, entao m e n sao paralelas.

m

n


13. Prove:

(a) Dados o triangulo 4ABC e o segmento DE tal que AB = DE, entao, de um dado

lado de

DE existe um unico ponto F tal que AC = DF e BC = EF .

(b) Considere os triangulos 4ADC e 4ADC B e B tais que ABC e ABC .

i. Se AB = AB, BC = BC , AD = AD e BD = BD, entao CD = C D.

ii. Se AB = AB, BC = BC , AD = AD e CD = C D, entao BD = BD.

14. Mostre que os angulos da base de um triangulo isosceles sao agudos.

15. Mostre que se um triangulo possui dois angulos externos congruentes entao o triangulo eisosceles.

16. Seja P um ponto do interior do triangulo 4ABC. Mostre que BPC > BAC.

17. Mostre que a soma dos comprimentos das diagonais de um quadrilatero e menor que asoma dos comprimentos de seus lados.

18. Dada uma reta r e dois pontos P e Q fora de r, determine o ponto R dessa reta tal quea distancia PR+RQ seja a menor possvel.

19. No triangulo isosceles 4RAF tem-se RA = RF . Seja B um ponto da reta

AF tal queRAB < RBF . Mostre que RB < RF .

20. Na figura abaixo H e tal que EH = EG. Mostre que EHF > EHG.

E G

F

H


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21. Mostre que qualquer triangulo tem pelo menos um angulo externo obtuso.

22. Seja 2ABCD um quadrilatero cujos angulos A e B sao retos. Mostre que AC < BDse, e somente se (D)o < (C)o.

23. Seja 2ABCD um quadrilatero que tem pelo menos 3 angulos retos, digamos A, Be C. Um tal quadrilatero e chamado de quadrilatero de Lambert (figura 3.9). Mostreque:

(a) O quarto angulo de um quadrilatero de Lambert nunca e obtuso.

(b) Se D e reto, entao os lados opostos de 2ABCD sao congruentes.

(c) Se D e agudo, entao cada lado adjacente a D e maior que o respectivo ladooposto, isto e, DB > CA e CD > AB.

(d) 2ABCD e, simultaneamente, um quadrilatero de Sacherri e de Lamebert se, e so-mente se 2ABCD e um retangulo.

A B

CD


24. Dado o triangulo retangulo 4TQP com angulo reto em Q, prove que existe um unico

ponto T em

TQ do lado oposto de

PQ ao que esta T tal que 4TQP = 4T QP .

25. Na figura abaixo os triangulos 4ABC e 4EDC sao congruentes e os pontos A, C e Dsao colineares. Mostre que AD > AB.

A C

B

D

E


Definicao: Uma altura de um triangulo e o segmento perpendicular que une um verticedo triangulo a` reta que contem o lado oposto.

26. Mostre que as alturas relativas aos lados congruentes de um triangulo isoscels sao con-gruentes.

27. Mostre que se duas alturas de um triangulo sao congruentes entao o triangulo e isosceles.

28. Mostre que as alturas de um triangulo equilatero sao congruentes.

29. Dada a correspondencia 4ABC 4DEF , se AB = DE, BC = EF e a altura por Ce congruente a` altura por F , entao a correspondencia e uma congruencia.

30

30. Seja 4ABC um triangulo isosceles de base AB. Mostre que, se prolongarmos o lado AB,um segmento que une o vertice C do triangulo com qualquer ponto neste prolongamentoe maior que qualquer um dos lados congruentes do triangulo.

31. Se um mediana de um triangulo nao e perpendicular ao lado que divide ao meio, entaopelo menos dois lados do triangulo nao sao congruentes.

32. Mostre que qualquer ponto da bisstriz de um angulo e equidistante dos lados do angulo.

33. Dados: AC = BC, AB < AC e A C D. Mostre que 4ABD e escaleno.

34. No triangulo 4ABC, C e um angulo reto e (B)o = 2(A)o. Entao AB = 2BC.

35. Exerccios das paginas 189-190 do Livro Geometria Moderna (Moise - Downs).

36. Se AM e uma mediana do triangulo 4ABC, entao os segmentos perpendiculares a

AMpor B e C sao congruentes.

37. Dado o triangulo 4PRQ, seja T tal que P T Q e PT = TR = RQ. Mostre quePR > RQ.

38.

BD intersecta

AC em B, com ABC. As perpendiculares a

BD por A e C encontram

BD em P e Q, respectivamente. Mostre que P e Q nao estao de um mesmo lado de

AC.

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geometriaeuclidianaplana (1) (1) anontio

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