Géométrie analytique

Distance entre deux points

« Ce qui définit principalement la géométrie analytique, c’est le lien qu’elle établit entre l’algèbre et la géométrie. 

D’une part, on utilise les lois, méthodes et équations algébriques pour décrire des lieux géométriques ainsi que pour interpréter et résoudre des problèmes géométriques.

D’autre part, on exprime les lieux géométriques et leurs propriétés par des équations algébriques.

Le cadre dans lequel s’établit cette relation entre un lieu géométrique et une équation algébrique est un système de coordonnées. »

Le plan cartésien y joue donc un rôle essentiel.

Introduction

1

Lapointe Jacques, Sainte-Marie Monique, Mathématiques, mise à niveau, St-Laurent (Qc), Erpi, 2000, p.417.

1

Ce plan cartésien doit être orthonormé :

- les axes doivent être perpendiculaires;

- les axes doivent avoir la même graduation.

1 2 3 4 5 6 7

si

1

2

3

4

5

6

alors

Cette condition est essentielle pour que les figures ne soient pas déformées.

y

x

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

x

y

P1

P2

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6(2 , )5

(7 , )3

Le segment suivant a comme origine le point P1 et comme extrémité le point P2 .

Sur ce plan vierge, il est difficile de situer ces deux points.

Par contre, si on place le segment dans un plan cartésien,très facilement les mêmes points à l’aide des axes et des coordonnées.

on pourra situer

On notera le point P1 (x1 , y1), car on connaît ses coordonnées.

On notera le point P2 (x2 , y2), car on connaît ses coordonnées.

Les indices servent à associer les coordonnées au point.

On notera un point P (x , y) pour généraliser les coordonnées des différents points du segment.

P ( x , y )

On pourra ainsi utiliser l’algèbre pour décrire des lieux géométriques.

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

x

y

P1

P2

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6(2 , )5

(7 , )3

Un lieu géométrique est un ensemble de points qui ont une propriété commune.

Dans l’exemple ci-contre, tous les points de ce segment appartiennent à la droite d’équation :

y = - 0,4 x + 5,8

C’est leur propriété commune.

L’ensemble de ces points forment donc un lieu géométrique précis, soit ce segment.

Remarque : Le point le plus à gauche (par rapport à l’axe des x) sera toujours noté P1 .

Variation

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6Le point P1 s’est déplacé vers le point P2 .

Il a donc subi une variation (un déplacement) par rapport à l’axe des x. On peut calculer cette variation en reportant les abscisses des points sur l’axe des x.

x1

x2

Variation des abscisses :

x1x2 -

Il a également subi une variation par rapport à l’axe des y. On peut calculer cette variation en reportant les ordonnées des points sur l’axe des y.

Variation des ordonnées :

y1y2 -

y1

y2

7 - 2 = 5

3 - 5 = -2 Une variation négative est significative.

Remarque : La variation est parfois notée par ce symbole : ∆ .

∆ x : x2 – x1

∆ y : y2 – y1

V (x1 , x2) :

V (y1 , y2) :

La variation des abscisses et la variation des ordonnées sont à la base des princi-pales équations et méthodes utilisées en géométrie analytique.

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

Ainsi, dans l’exemple ci-contre :

∆ y : variation des ordonnées :

∆ x : variation des abscisses : x1x2 -

y1y2 -

détermine le taux de variation.

Remarque

En géométrie analytique, le terme taux

de variation est remplacé par la pente

(l’inclinaison du segment) et est noté m .

m = x1x2 -

y1y2 - =

02 -

15 - =

2

4 = 2

Distance entre deux points

La distance entre deux points détermine la longueur d’un segment.

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

P1

P2

(2 , )6

(2 , )1

3 cas peuvent se présenter :

- le segment est parallèle à l’axe y;

- le segment est parallèle à l’axe x;

- le segment est oblique.

La distance entre 2 points se note d (P1 , P2).

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

P1 (x1 , y1) P2 (x2 , y2)

P1 (2 , 2) P2 (5 , 2)

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

P1 (3 , 1)

P2 (6 , 5)

Segment parallèle à l’axe y Segment parallèle à l’axe y

On calcule la différence des ordonnées en valeur absolue.

| y2 – y1 |

| 1 – 6 | = 5

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

P1

P2

(2 , )6

(2 , )1

d (P1 , P2) :

Remarque

En mathématique, la valeur absolue d’un nombre réel est sa valeur numérique sans tenir compte de son signe.

Plus formellement :

A

| x | = x si x ≥ 0x є R,

| x | = - x si x < 0

Ceci signifie que lorsqu’un calcul est entre les signes de la valeur absolue : | . . . | , la réponse est toujours positive.

Exemple : | y2 – y1 |

| 1 – 6 |

| - 5 | = 5

Cela nous assure donc un résultat positif. Ce qui est normal, puisque une distance (une longueur) ne peut être négative.

| 7 | = 7

| -7 | = 7

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

P1 (x1 , y1) P2 (x2 , y2)

P1 (2 , 3) P2 (5 , 3)

Segment parallèle à l’axe x

| x2 – x1 |

| 5 – 2 | = 3

On calcule la différence des abscisses en valeur absolue.

d (P1 , P2) :

Segment oblique

On sait que le plan cartésien orthonormé est composé de deux axes perpendiculaires.

En traçant deux segments parallèles aux axes, on forme un triangle rectangle.

x

y

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

P1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

P1 (3 , 1)

P2 (6 , 5)

Le segment P1 P2 devient l’hypoténuse de ce triangle et chacun des segments tracés, les cathètes.

a

bc

En utilisant la relation de Pythagore, on peut calculer la longueur du segment P1 P2.

( x1x2 - )2

( y1y2 - )2

+d (P1 , P2) =

c = a2 + b2

( 3 6 - )2

( 15 - )2

+d (P1 , P2) = = 32 + 42 = 25 = 5

x1x2 -∆ x :

y1y2 -∆ y :

x1x2 -

y1y2 -

| y2 – y1 |d (P1 , P2) :

| x2 – x1 |d (P1 , P2) :

En résumé

Variation des abscisses :

Variation des ordonnées :

Pente :

- le segment est parallèle à l’axe y :

- le segment est parallèle à l’axe x :

- le segment est oblique :

Distance entre deux points :

( x1x2 - )2

( y1y2 - )2

+d (P1 , P2) :

m =

∆ y

∆ x=

Applications

Calcule le périmètre et l’aire de ce triangle

1) Déterminer les coordonnées de chaque point :

A (10 , 5) B (15 , 30)

C (30 , 5) D (15 , 5)

2) Déterminer les mesures de chaque segment :

d ( A , C ) : | x2 – x1 | = 20 m

d ( B , D ) : | y2 – y1 | = 25 m

d ( A , B ) : ( x1x2 - )2

( y1y2 - )2

+

d ( A , B ) : ( 1015 - ) 2 ) 2( 530 -+ = 52 + 252 = 650

(graduation en mètre).

| 30 – 10 | =

| 30 – 5 | =

≈ 25,5 m

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

CD

y

x

B ( 15 , 30 ) C ( 30 , 5 )

d ( B , C ) : ( 1530 - ) 2 ) 2( 305 -+

d ( B , C ) : ( x1x2 - )2

( y1y2 - )2

+

Attention

Un nombre au carré est toujours positif.

≈ 29,2 m

152 + ( - 25 )2 d ( B , C ) :

225 + 625 d ( B , C ) :

850d ( B , C ) :

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

CD

y

x

m AB ≈ 25,5 m

m BC ≈ 29,2 m

m AC = 20 m

m BD = 25 m

Périmètre : m AB + m BC + m AC

25,5 + 29,2 + 20 ≈ 74,7 m

m AC X m BD

2=

20 X 25

2=

500

2= 250 m2Aire : B X H

2=

Remarque : Dans tous les problèmes de géométrie analytique, la première étape

est de déterminer les coordonnées des points.

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

CD

y

x