Géométrie analytique

Relations entre deux droites

Remarque: Une droite est par définition illimitée dans les deux sens; pour les besoins des démonstrations effectuées dans cette présentation, nous utiliserons des portions de droites limitées dans les deux sens, c’est-à-dire des segments.

Dans le plan cartésien, deux droites peuvent avoir, entre elles, différentes positions.

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30Elles peuvent être :

- parallèles et disjointes ;

- parallèles et confondues ;

- sécantes ;

- sécantes et perpendiculaires ;

Droites parallèles et distinctes

A ( 5 , 20 ) B ( 25 , 30 )

m ( A , B ) :x1x2 -

=y1y2 -

525 -=

2030 - 1

2

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

D

Déterminons l’équation du segment AB :

y = mx + b

y = 0,5x + b avec le point ( 5 , 20 )

20 = 0,5 X 5 + b

20 = 2,5 + b

17,5 = b

donc y = 0,5x + 17,5

C ( 30 , 20 )D ( 10 , 10 )

m ( D , C ) :x1x2 -

=y1y2 -

1030 -=

1020 - 1

2

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

D

Déterminons l’équation du segment DC :

y = mx + b

y = 0,5x + b avec le point ( 10 , 10 )

10 = 0,5 X 10 + b

10 = 5 + b

5 = b

donc y = 0,5x + 5

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

D

y1 = 0,5x + 17,5 donc y2 = 0,5x + 5

Équation du segment AB : Équation du segment DC :

m1 = m2

Droites parallèles et distinctes :

b1 ≠ b2

- les pentes sont égales;

- les ordonnées à l’origine sont différentes.

m1 = m2

b1 ≠ b2

Droites parallèles confondues

Prenons les deux équations suivantes:

10x + 5y – 25 = 0

Ces deux droites représentent deux droites parallèles confondues.

Pour mieux observer, écrivons les deux droites sous une même forme:

5y = -10x + 25

y2 = -2x + 5

y = - 2x + 5

10x + 5y – 25 = 0et

y1 = - 2x + 5

On constate que les deux équations ont les mêmes pentes: m1 = m2

elles sont donc une par-dessus l’autre.

b1 = b2et les mêmes ordonnées à l’origine:

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

Déterminons l’équation de AB :

Pente AB : 5

Pente BC :- 5

3

y = mx + b

5 = 5 X 10 + b

5 = 50 + b

- 45 = bÉquation de AB : y = 5x - 45

y = mx + b

30 = X 15 + b- 5

3

30 = + b- 75

3

30 = - 25 + b55 = b

Équation de BC : y = x + 55- 5

3

Droites sécantes

avec A ( 10 , 5 )y = 5x + b

avec B ( 15 , 30 ) y = x + b- 5

3

Déterminons l’équation de BC:

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

Équation de AB : y1 = 5x - 45 Équation de BC : y2 = x + 55- 5

3

m1 ≠ m2

Droites sécantes :

- les pentes sont différentes;

- les ordonnées à l’origine peuvent être

différentes ou égales.

b1 ≠ b2

m1 ≠ m2

Droites perpendiculaires

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

DDeux droites perpendiculaires sont nécessairement sécantes; nous leurs donnons un nom particulier du fait qu’elles se croisent selon un angle précis, c’est-à-dire un angle droit ( 900 ).

m ( A , B ) :x1x2 -

=y1y2 -

525 -=

2030 - 1

2

Déterminons l’équation du segment AB:

A ( 5 , 20 ) B ( 25 , 30 )

avec le point ( 5 , 20 )y = x + b1

2

20 = X 5 + b1

2

20 = 5 + b

2

20 = 2,5 + b

17, 5 = b

donc y = x + 17,51

2

y = mx + b

1020 -=

3010 - - 20

10=

Déterminons l’équation du segment DC:

x1x2 -=

y1y2 -m ( D , C ) : 5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

D

D ( 10 , 30 ) C ( 20 , 10 )

- 2

y = - 2x + b avec le point ( 10 , 30 )

30 = - 2 X 10 + b

30 = - 20 + b

50 = b

donc y = - 2x + 50

y = mx + b

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

A

B

C

D

y1 = x + 51

2

y2 = - 2x + 50

Droites perpendiculaires

- les pentes sont inverses et opposées;

m1 = - 1

m2

Équation du AB : Équation du DC :

b1 ≠ b2

m1 = - 1m2

- les ordonnées à l’origine peuvent être

différentes ou égales.

Remarque: m1 = - 1

m2

peut aussi s’écrire : m1 X m2 = -1

En résumé

Droites:

- parallèles disjointes: m1 = m2

b1 ≠ b2

- parallèles confondues: m1 = m2

b1 = b2

- sécantes: m1 ≠ m2

- perpendiculaires: m1 = - 1

m2

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

30

De ces quatre positions relatives entre des droites, deux sont particulièrement intéressantes car elle nous permettent de déterminer certaines informations:

- droites parallèles entre elles;

- droites perpendiculaires entre elles.

Problème

Quelle est l’équation d’une droite d2 passant par le point ( 4 , 3 ) et qui est parallèle à une autre droite d1 passant par les points ( 3 , 7 ) et ( 6 , 13 ) ?

Étape 1 : Calculer la pente de la droite d1 :

P1 ( 3 , 7 )

P2 ( 6 , 13 )m ( P1 , P2 ) :

x1x2 -=

y1y2 -

3 6 -=

713 - 6

3= 2

Étape 2 :

La droite d2 est parallèle à la droite d1 donc elle a la même pente.

y = mx + b

y = 2x + b avec le point ( 4 , 3 )

3 = 2 X 4 + b

3 = 8 + b

-5 = b donc y = 2x - 5

Déterminer l’équation de la droite d2 :

Remarque: Il n’est pas nécessaire de déterminer l’équation de d1 .

Problème

Quelle est l’équation d’une droite d2 passant par le point ( 10 , 41 ) et qui est perpendiculaire à une autre droite d1 passant par les points ( 2 , 15 ) et ( 6 , 31 ) ?

Étape 1 : Calculer la pente de la droite d1 :

P1 ( 2 , 15 )

P2 ( 6 , 31 )m ( P1 , P2 ) :

x1x2 -=

y1y2 -

2 6 -=

1531 - 16

4= 4

Étape 2 :

La droite d2 est perpendiculaire à la droite d1 donc sa pente est

inverse et opposée:

y = mx + b

41 = - 2,5 + b

43,5 = b

Déterminer l’équation de la droite d2 :

Remarque: Il n’est pas nécessaire de déterminer l’équation de d1 .

- 1

4

y = x + b avec le point ( 10 , 41 )- 1

4

41 = X 10 + b- 1

4

41 = 0 + b- 1

4

donc y = x + 43,5- 1

4

Problème

Quelle est l’équation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4 , 6 ) et ( 10 , 30 )?

Pour déterminer cette équation, il faut connaître les caractéristiques d’une médiatrice:

« Une médiatrice est un segment élevé perpendiculairement sur le

milieu d’un autre segment. »

Il faut donc déterminer les coordonnées du point milieu du segment AB.

Il faut aussi déterminer la pente du segment AB puisque la médiatrice (perpendiculaire) aura une pente inverse et opposée à la pente du segment AB.

Problème

Quelle est l’équation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4 , 6 ) et ( 10 , 30 )?

Ptmilieu (A , B) :x2 + x1

2,

y2 + y1

2

P10 + 4

2,

30 + 6

2

P14

2,

36

2

P ( 7 , 18 )

Étape 1: Déterminer les coordonnées du point milieu de AB.

Problème

Quelle est l’équation de la médiatrice du segment AB dont les extrémités sont représentées par les coordonnées ( 4 , 6 ) et ( 10 , 30 )?

Étape 2 : Calculer la pente de la droite AB :

P1 ( 4 , 6 )

P2 ( 10 , 30 )m ( A , B ) :

x1x2 -=

y1y2 -

410 -=

630 - 24

6= 4

Étape 3 :

La médiatrice est perpendiculaire à la droite AB donc sa pente est

inverse et opposée:

y = mx + b

18 = - 1,75 + b

19,75 = b

Déterminer l’équation de la médiatrice :

Remarque:

- 1

4

y = x + b avec le point ( 7 , 18 )- 1

4

18 = X 7 + b- 1

4

18 = + b- 7

4

donc y = x + 19,75- 1

4

Il n’est pas nécessaire de déterminer l’équation de AB.

(point milieu de AB)