geometrie - gvi.cz€¦ · 30. vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou...
TRANSCRIPT
![Page 1: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/1.jpg)
Geometrie
Gymnázium, SOŠ a VOŠ
Ledeč nad Sázavou
RNDr. Yvetta Bartáková
![Page 2: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/2.jpg)
Gymnázium, SOŠ a VOŠ
Ledeč nad Sázavou
Objemy a povrchy těles – rotační
válec a kužel
VY_32_INOVACE_05_3_17_M2
![Page 3: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/3.jpg)
1
Objemy a povrchy těles
A) Rotační válec
- je těleso, které vznikne otáčením obdélníku kolem přímky, která obsahuje jednu
jeho stranu nebo osu
Objem: vrV
vSV p
2
Povrch: vrrS
vrrS
SSS plp
2
22
2
2
![Page 4: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/4.jpg)
2
B) Rotační kužel
- je těleso, které vznikne otáčením pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky, která
obsahuje jednu jeho odvěsnu nebo otáčením rovnoramenného trojúhelníku kolem
jeho osy
Objem: vrV
vSV p
2
3
1
3
1
Povrch: srrS
srrS
SSS plp
2
![Page 5: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/5.jpg)
3
Příklad 1
Určete rozměry válcové nádoby o objemu 5 litrů, jestliže výška nádoby se rovná
polovině průměru podstavy.
v = r; V = 5 litrů = 5 dm3
vrvSV p
2
rr 25 35 r
35
r
35
v
Válcová nádoba má rozměry: dmvr 3
5
.
![Page 6: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/6.jpg)
4
Příklad 2 Vypočtěte objem a povrch pravidelného rotačního kužele o výšce 10 cm, jehož strana má od
roviny podstavy odchylku 30o.
r
vtg
s
v ;sin
tg
vr
vs ;
sin
30
10;
30sin
10
tgrs
cmrcms 3103
30
3
3
10;20
1000103103
1
3
1
3
1 22 vrvSV p
![Page 7: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/7.jpg)
5
323100203103102
2 srrSSS plp
Pravidelný rotační kužel má objem 31000 cmV a povrch 2323100 cmS .
![Page 8: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/8.jpg)
6
Příklady
1. Nálevka má tvar rovnostranného kužele. Vypočítejte obsah plochy smáčené
vodou v případě, že do nálevky nalijete 3 litry vody.
2. Osovým řezem válce je obdélník s úhlopříčkou délky 20 cm. Výška válce je
dvakrát větší než průměr podstavy. Vypočtěte objem válce v litrech.
3. Vypočtěte poloměr podstavy a objem rotačního kužele, jestliže rozvinutý
plášť je kruhová výseč s poloměrem 3 cm a středovým úhlem 120o.
4. Určete rozměry rovnostranného válce o objemu 1 litr.
5. Kužel s poloměrem podstavy 4 cm a výškou 6 cm je rozdělen rovinou
rovnoběžnou s podstavou na dvě části téhož objemu. Vypočtěte: a) poloměr
kružnice, která je řezem; b) poměr, ve kterém rovina řezu dělí výšku.
6. Osovým řezem válce je čtverec o obsahu 25 cm2. Vypočtěte povrch válce.
![Page 9: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/9.jpg)
7
Úlohy na procvičování:
1. Nádoba z umělé hmoty tvaru válce má průměr dna 2 dm. Jak vysoká musí
být nádoba, aby se do ní vešlo 5 litrů vody?
2. Kolik litrů vody se vejde do válcové nádoby s průměrem dna 2 dm, je-li
vysoká 1,5 m. Nádoba je naplněna po okraj.
3. Na list papíru o rozměrech 16 cm a 18 cm máme nakreslit síť válce
s poloměrem r = 2,5 cm a výškou v = 7,7 cm a vystřihnout. Vypočtěte
procento odpadu.
4. Jaký objem má válcová nádoba na dětskou přesnídávku, která má vnitřní
průměr 0,68 dm a výšku 45 mm? Výsledek vyjádřete v desetinách decilitru.
5. Silo tvaru válce o rozměrech d = 3,8 m a v = 92 dm je naplněno na 72%.
Kolik krychlových metrů siláže je v něm uskladněno?
6. Jaká je výška válce o průměru 1 metru, jestliže po naplnění vodou ze 65%
je v něm 1531 litrů vody?
![Page 10: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/10.jpg)
8
7. Vypočítej průměr dna válcové nádoby s objemem 1,5 litrů, která je vysoká
35 cm?
8. Klempíř měl zhotovit trubku s průměrem 9,8 cm. Mohl ji zhotovit
z plechového obdélníku s rozměry 30 cm a 27 cm.
9. Kolik pozinkovaného plechu je třeba na zhotovení okapových rour na pět
domků vysokých 8 m, jestliže průměr roury je 12 cm a na spoje a zahnutí je
třeba přidat 5 %?
10. Sud na 2 hl je naplněn ze 5
4
vodou. Vypočítej průměr dna sudu,
jestliže voda sahá do výšky 80 cm. Kolik m2 plechu je třeba na výrobu
takového sudu, musí-li se přidat 8 % na spoje a zahnutí?
11. Kolem kruhového zahradního bazénu o průměru 7,5 m se má
vybetonovat 1 m široký chodník o tloušťce 15 cm. Kolik m3 betonu bude
třeba namíchat? Kolik cementu se spotřebuje, jestliže se na 1 m3 betonu
spotřebuje 200 kg cementu?
![Page 11: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/11.jpg)
9
12. Rotační kužel má poloměr podstavy r = 4,5 cm a výšku v = 7,2 cm.
Vypočítejte povrch.
13. Objem rotačního kužele je 307,72 cm3 a průměr podstavy je 14 cm.
Vypočítejte výšku kužele a jeho povrch.
14. Z kusu plechu tvaru polokruhu s poloměrem s = 8 cm byla sletována
nálevka ve tvaru pláště rotačního kužele. Vypočítejte poloměr jeho podstavy
a jeho výšku.
15. Plášť rotačního kužele má obsah 248 cm2 . Poloměr podstavy daného
kužele je r = 8 cm. Vypočtěte objem kužele.
16. Vypočtěte povrch a objem rotačního kužele, jehož obvod podstavy je
125,6 cm a strana má délku 25 cm.
17. Povrch kužele je 235,5 cm2 . Osovým řezem kužele je rovnostranný
trojúhelník. Vypočtěte objem kužele.
![Page 12: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/12.jpg)
10
18. Strana rotačního kužele má délku 3,5 cm, poloměr podstavy kužele je
2,1 cm. Vypočítejte objem kužele a velikost úhlu, který svírá strana kužele a
jeho výška.
19. Vypočítejte povrch a objem rotačního kužele, jehož osový řez má při
vrcholu úhel velikosti 82 a délka strany kužele je 4,7 cm.
20. Je dán rotační kužel s vrcholem V, S je střed jeho podstavy, X
libovolný bod podstavné kružnice. Platí: 64,2,9 SXVcmSV . Vypočítejte
povrch kužele.
21. Těleso je složeno z rotačního válce a rotačního kužele se shodnými
podstavami. Válec má poloměr r = 15 cm a výšku v = 80 cm. Strana kužele
svírá s výškou úhel 30 . Vypočtěte povrch a objem tohoto složeného
tělesa.
22. Rotační kužel má průměr 20 cm a jeho strana svírá s rovinou podstavy
úhel 25 . Jaký je objem rotačního kužele?
![Page 13: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/13.jpg)
11
23. Objem rotačního kužele je 9,42 cm3 , přičemž výška je rovna 10 cm.
Jaký úhel svírá strana kužele s rovinou podstavy?
24. Hromada písku má tvar rotačního kužele o průměru 2 m. Jak velká je
strana této hromady, jestliže svírá s výškou úhel ´5021 .
25. Špice střechy kostela má tvar kužele o výšce 3 m, výška se stranou
kužele svírá úhel ´3018 . Jaké množství barvy bude potřeba na její
natření, jestliže na natření 100 cm2 střechy je potřeba 6 ml barvy?
26. Strana rotačního kužele, který má výšku 12,6 cm, svírá s podstavou
úhel 32 . Vypočtěte povrch tělesa.
27. V jaké výšce musíme rozřezat vodorovným řezem kužel na dvě části o
stejném objemu, jestliže poloměr podstavy r = 252 cm a úhel, který svírá
strana kužele s podstavou 45 ?
28. Jak vysoký je válec, jehož plášť má obsah rovný obsahu jeho
podstavy. Vypočtěte jeho objem.
29. Vypočtěte objem kužele, jehož plášť je čtvrtkruh s poloměrem 20 cm.
![Page 14: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/14.jpg)
12
30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20
cm.
31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška. Jaký je
průměr a výška válce o objemu 1 litr?
32. Vnější obvod mosazné trubky 30 cm dlouhé měří 3,2 cm. Její hmotnost
je 47,5 g a hustota mosazi je 8500 kg/m3. Jaká je tloušťka stěny trubky?
33. Kolik nafty je ve vodorovné nádrži ve tvaru rotačního válce o výšce 10
m, když šířka hladiny je 1 m a hladina je 20 cm pod horní stranou válce?
34. Objem kužele je 1000 mm3, obsah osového řezu je 100 mm2.
Vypočtěte povrch kužele.
35. Z kruhového plechu o průměru délky 1 m je třeba vystřihnout část o
středovém úhlu o velikosti 150 , svinout a sletovat do tvaru kužele. a)
Vypočtěte velikost pláště kužele. b) Jak bude kužel vysoký?
![Page 15: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/15.jpg)
13
Výsledky:
1. 1,6 dm; 2. 47,12 litrů; 3. 44,367 %; 4. 1,6 dl; 5.75 m3; 6. 3 m; 7. d = 7,39
cm; 8. Ne; 9. 15,834 m2; 10. d = 5,046 dm; 2,1452 m2; 11. 4,006 m3; 801,106
kg; 12. 183,65 cm2; 13. v = 6 cm; 356,69 cm2;
14. r = 4 cm; v = 6,93 cm; 15. 387,2 cm3; 16. 2825,35 cm2; 6282,43 cm3; 17.
226,5 cm3;
18. 12,93 cm3; ´´12´5236 ; 19. 75,398 cm2; 35,3 cm3; 20. 207,54 cm2; 21.
9660,39 cm2;
62670,24 cm3; 22. 488,3 cm3; 23. ´´55´3484 ; 24. 2,69 m; 25. 6 l;
26. 2783,58 cm2; 27. 52 cm; 28. 2,
2
3rV
rv
; 29. 506,97 cm3; 30. 636,62 cm3;
31. d = 0,74 dm; v = 2,325 dm; 32. 0,6 mm; 33. 15,138 m3; 34. 711,645 mm2;
35. 0,327 m2; v = 0,4545 m
![Page 16: Geometrie - GVI.cz€¦ · 30. Vypočtěte objem válce, jehož plášť je čtverec se stranou dlouhou 20 cm. 31. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060816/60949ff2bc5c7604b065663b/html5/thumbnails/16.jpg)
14
Procvičování:
1. Maturitní minimum – sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str.83, př.7.1, 7.2
2. Sbírka úloh z M pro OA a SOŠ, J.Klodner, str. 94-95 , př. 1-15; str. 96-97 , př.
1-10