géométrie imaginaire 1

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  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    1/22

    Revue philosophique de la

    France et de l'tranger

    http://gallica.bnf.fr/http://www.bnf.fr/
  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    2/22

    Revue philosophique de la France et de l'tranger. 1876/07-1876/12.

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    3

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  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

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    LA

    GEOMETRIE

    IMAGINAIRE

    ET

    LA

    NOTION D ESPACE

    i

    On

    confond

    souvent

    . tort,

    sous

    le

    nom

    de

    gomtrie

    ~nM~icwe)

    plusieurs

    thories essentiellement

    distinctes.

    Ecartons

    tout

    d abord

    la plus rcente,

    veux

    dire la

    gomtrie

    dimensions.

    Les

    mtaphysiciens

    y

    chercheraient

    en

    vain

    quelques

    lumires

    pour

    claircir

    la

    fameuse question L existence d espaces

    ayant

    plus

    de

    dimensions

    que

    le ntre

    est-ellepossible?

    Ce

    problme,

    pour

    long-

    temps encore, sinon pour toujours insoluble, ne

    peut tre

    raisonna-

    blement abord

    que

    du ct de la physiologie.

    Dans la

    nquvelle

    thorie mathmatique, il

    ne

    s agit

    nullement

    en

    fait de gomtrie,

    mais simplement

    d algbre

    pure.

    L objet thorique

    de

    l algbre

    est

    l tude

    des relations quations)

    qui

    peuvent

    exister

    entre

    diverses quantits

    variables. La

    constitu-

    tion,

    par

    Descartes,

    de

    la

    gomtrie analytique

    a

    respectivement

    ra-

    men

    l tude des problmes

    qui

    se

    prsentent,

    soit

    sur

    le

    plan,

    soit

    dans

    l espace,

    aux cas

    algbriques

    o

    les variables

    sont

    deux

    ou

    trois.

    Ceux o

    elles

    sont

    en

    nombre plus lev

    ne

    trouvent

    leur

    applicationpratique

    que

    dans

    les

    sciences

    dont l objet

    est

    moins abs-

    trait

    que

    celui de la gomtrie.

    Ds

    les

    commencements

    de la gomtrie analytique, il

    s est

    fait

    comme

    une

    fusion

    entre

    l algbre

    et

    la science de l espace.

    Ainsi,

    que

    l on

    convienne,

    avec

    Descartes,

    de dfinir

    la

    position

    d un point

    quelconque

    d un plan

    par ses

    distances

    coordonnes)

    deux

    droites

    fixes

    perpendiculaires

    entre

    elles,

    toute

    droite

    place

    sur

    le

    plan

    pourra se

    reprsenter

    par

    une

    quation

    du

    premier degr

    entre

    les

    coordonnes,

    et,

    rciproquement,

    toute

    quation

    du

    premier

    degr

    TOMEH.

    1S7G.

    ~8

  • 7/25/2019 Gomtrie Imaginaire 1

    4/22

    entre

    deux

    variables

    quelconques

    pourra se

    reprsenter

    par

    une

    droite du plan,

    si l'on

    convient de

    reprsenter

    chacune des

    variables

    par

    l'une

    des deux

    coordonnes.

    De

    l

    l'expression gomtrique

    quation

    linaire

    qui

    s'est

    introduite ds longtemps

    en

    algbre

    pour

    dsigner l'quation

    du premier

    degr.

    De mme, dans la

    gomtrie analytique

    trois

    dimensions, si,

    pour

    fixer les ides,

    on

    dtermine

    la'position d'un point

    de

    l'espace

    par ses

    distances

    trois plans

    perpendiculaires

    entre

    eux,

    il

    y aura

    reprsentation

    rciproque

    entre

    le plan,

    d'une

    part,

    l'quation

    du

    premier degr

    entre

    trois

    variables,

    de

    l'autre.

    Grce

    aux

    conventions

    faites,

    des

    propositions

    purement

    algbri-

    ques pourront s'noncer

    sous

    une

    forme

    gomtrique et rcipro-

    quement.

    Ainsi,

    que

    je dise

    a

    Trois

    plans

    se

    coupent

    en

    gnral

    en

    un

    point

    ,

    ou

    bien

    Un

    systme

    de

    trois

    quationsdu premier

    degr

    trois inconnues,

    admet

    en

    gnral

    une

    solution,

    et

    une

    seule

    ,

    j ur i

    nonc

    sous

    deux

    formes diverses,

    dans deux

    langues

    diff

    rentes,

    une

    seule

    et

    mme

    propositionlogique

    1.

    Remarquez

    que

    la

    premire formule

    est

    beaucoup

    plus

    courte

    que

    la

    seconde;

    vous

    comprendrez

    comment

    on

    a pu

    esprer simplifier,

    pour

    certaines tudes,

    le

    langage

    algbrique

    en

    le traduisant

    en

    un

    langage

    gomtrique,

    et comment,

    le

    nombre

    des

    variables

    en

    algbre tant

    indtermin,

    il

    a

    fallu,

    tout

    aussitt,

    parler de

    n

    dimen-

    sions.

    Je

    ne

    pourrais

    mieux

    continuer

    qu'en citant M.

    Camille

    Jordan

    2

    a

    Bien

    que ces

    recherches

    soient

    purement

    algbriques,

    nous

    avons

    cru

    utile

    d'emprunter, ainsi

    que

    nos

    devanciers, quelques

    expressions

    la

    gomtrie.

    Ainsi

    nous

    considrons

    un

    point

    comme

    dfini

    dans

    l'espace

    a, H.

    dimensions

    par

    les valeurs

    de

    )t

    K

    coordonnes.

    Une

    quation linaire

    entre

    ces

    coordonnes

    d-

    nira

    un

    plan; k quations

    linaires

    simultanes~

    un

    A-~aM;

    M.

    --1

    quations,

    une

    droite,

    etc.

    ?

    En

    rsum, la

    gomtrie

    n

    dimensions n'est

    que

    de l'algbre

    crite

    dans

    une

    nouvelle

    langue

    conventionnelle.

    Cette

    langue

    n'a

    pas

    encore

    ge

    d'homme,

    il

    est

    difficile

    de

    pr-

    voir

    son

    avenir.

    Le rel

    avantage

    des reprsentations

    gomtriques

    effectives dans les

    tudes

    algbriques consiste

    dans

    ce

    fait

    que

    des

    schmas

    s'y prtent

    l'intuition

    et

    soutiennent l'entendement,

    qui

    n'a

    pas

    tant

    de prise dans l'abstraction

    pure.

    Mais

    ici

    il

    n'y

    a

    plus,

    1.

    Inutile

    de dire

    que

    les

    cas

    d'exception se

    correspondent

    rigoureusement

    dans

    les

    deux langues.

    2.

    Bulletin (fe

    la

    Soetet

    .Maf/t

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    en

    ra