geometrie zum anfassendisk.mathematik.uni-halle.de/lehrerseite/geometrie_zum... · 2013-04-17 ·...
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Geometriezumzumzumzum
AnfassenAnfassen
Wilfried Herget, Karin RichterMartin-Luther-UniversitätMartin-Luther-UniversitätHalle-Wittenberg
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Kopfgeometrie
Kannst du dir das vorstellen?
Ein Blatt Papier wurdeEin Blatt Papier wurdezweimal gefaltet – siehe das Bild.
Dann ist ein Dreieck ausgeschnitten worden g– siehe das Bild.
Skizziere den Bogen,Skizziere den Bogen,nachdem er wieder aufgeklappt wurde.
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www.labbe.de
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RezepteRegelnRegeln
RechnenWege wählen,Wege wählen,
Werkzeuge wählen
Begriffe bilden und begreifen
Fehlendes findenFehlendes finden
Überraschendes klärenÜberraschendes klären
Argumentieren, Kommunizieren
Mathematik (hinein-)sehen
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Eine Schnur ist gleichmäßig um einen zylindri-schen Stab gewickelt. Die Schnur windet sich genau 4-mal um den Stab. Der Umfang des g gStabs beträgt 4 cm und seine Länge 12 cm.
Bestimmen Sie die Länge der Schnur, undBestimmen Sie die Länge der Schnur, undschreiben Sie alle ihre Arbeitsschritte auf.
TIMSS 3
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Der BesuchDer Besuchder alten
SchachtelSchachtel
Herget, Wilfried: Der Besuch der alten Schachtel.In: Henn, Hans-Wolfgang; Kaiser, Gabriele (Hrsg.): Mathematikunterricht im
Spannungsfeld von Evolution und Evaluation. Festschrift für Werner Blum. Franzbecker, Hildesheim/Berlin 2005, S. 81–90.
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Die gute, alte Schachtel …
Wörle/Kratz/Keil 101975, S. 139,
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Fi ht h lFichtenholz21966, S. 269–27
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Eine Schachtel mit DeckelAus einem Blatt Papier (Format DIN A4) soll eine Schachtel, einschließlich Deckel zum vollständigen Verschließenzum vvollständigen Verschließen,hergestellt werden.
� Die Schachtel soll ein möglichst großesDie SSchachtel soll eein möglichst ggroßesVolumen besitzen. Blatt Papier
(Format DIN A4)� Der Deckel muss so mit einem Falt-R d h i d di S h ht lRand versehen sein, dass die Schachteltatsächlich dicht geschlossen werden kann.
� Die Klebelaschen und der Falt-Rand des Deckels müssen die Länge der jeweils angrenzenden Kanten haben undjeweils aangrenzenden Kanten hhaben undüberall mindestens 5 mm breit sein.
Klasse 7/8 � Cornelsen Mathemeisterschaft 2006
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Klasse 7/8 � Cornelsen Mathemeisterschaft 2006
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Klasse 7/8 � Cornelsen Mathemeisterschaft 2006
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Klasse 7/8 � Cornelsen Mathemeisterschaft 2006
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Körperh b i l G i hthaben viele Gesichter ...
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mathbu.ch 9, S. 37
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Platonische Körper ,pVorschlag 1:
Oktaeder falten
A. Beutelspacher, M. Wagner 2008
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6 quadratische Blätter6 quadratische Blätter,
Jedes Blatt entlang seiner Diagonalen kniffen,
Blatt umdrehen und die beiden Seitenmittellinien kniffenBlatt umdrehen und die beiden Seitenmittellinien kniffen,
Blatt zu einem Stern zusammendrücken
scharf zusammendrücken
Auf diese Weise 6 Sterne falten.
A. Beutelspacher, M. Wagner 2008
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Nun die 6 Sterne zusammenstecken:
Einen Stern mit der „mittleren Spitze“ nach unten halten.
Einen zweiten Stern mit einer Dreiecksspitze in eines der offenen D i k d t St b hi i t kDreiecke des ersten Sterns von oben hineinstecken.
Einen weiteren Stern (von der gleichen Farbe wie Stern 2) „gegenüber“ in den ersten Stern einsetzen.
Von oben einen Stern aufsetzen, der auf Stern 2 und 3 „aufsitzt“.
Die restlichen 2 Sterne von links und rechts anfügen, so dass sie in Stern 2 und 3 hineingesteckt und auf Stern 1 und 4 aufgesteckt werden.
(Achtung: Jeder Stern wird in zwei gegenüberliegende andere Sterne hineingesteckt; die anderen beiden umfasst er )Sterne hineingesteckt; die anderen beiden umfasst er.)
Ein bisschen knifflig – aber man schafft es schon!
A. Beutelspacher, M. Wagner 2008
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Genau hinschauen:
Die 8 Oktaederflächen sind offen und nur durch die Kanten d t tangedeutet.
Von oben gesehen: Quadrat mit Diagonalen.
Die Flächen die durch das Papier gebildet werden liegen imDie Flächen, die durch das Papier gebildet werden, liegen im Innern des Oktaeders.
Je 4 dieser Flächenstückchen setzen sich zu einem Quadrat zusammen. Dieses Quadrat entsteht, wenn man einen Oktaeder entlang 4 seiner Kanten „aufschneidet“.
Die Kanten eines Oktaeders sind somit die Kanten von 3 sichDie Kanten eines Oktaeders sind somit die Kanten von 3 sich durchdringenden Quadraten.
Die Ebenen dieser 3 Quadrate stehen senkrecht aufeinander.
Die 3 Ebenen sind Symmetrieebenen des Oktaeders.
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Platonische KörperPlatonische Körper,Vorschlag 2: Dodekaeder „mit Schwung“
A. Beutelspacher, M. Wagner 2008
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2 „Fünfeckblüten“ ausschneiden und die Blütenblätter jeweils nach einer Richtung falzen.
Die beiden Fünfeckblüten versetzt so aufeinander legen dass dieDie beiden Fünfeckblüten versetzt so aufeinander legen, dass die Talfalten zueinander zeigen.
Gummiring um die Zackenflechten, dass er die beiden Blüten gegeneinander drückt. (Dabei die Blüten in der Mitte zusammendrücken, damit der Dodekaeder sich nicht vorzeitig aufspannt.)
Nun vorsichtig loslassen.
Fertig!
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Genau hinschauen:
Ein Dodekaeder hat „natürlich“ 12 Flächen. Die Flächenanordnung ist offensichtlich: ein Fünfeck oben, eines unten, 2 mal 5 Fünfecke bilden den Mittelkranz“2 mal 5 Fünfecke bilden den „Mittelkranz .
Die äußeren Kanten der beiden Blüten ergänzen sich (= liegen aneinander an): Zickzacklinie.
Der Gummiring liegt genau in der Mitte dieser Zickzacklinie. � Er liegt genau „in der Mitte“ des Dodekaeders. (Hier könnte man den Dodekaeder in zwei gleiche Teile zersägen.) g g )
Diese Schnittfläche wird von einem regulären 10-Eck berandet.
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Platonische KörperPlatonische Körper ,Vorschlag 3: Dodekaeder mit Durchblick
A. Beutelspacher, M. Wagner 2008
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Fünfeck-Schablone herstellenFünfeck Schablone herstellen,
danach 11 Fünfecke herstellen,
jeweils die 5 Ecken mit Hilfe der Kantenmittelpunkte knicken.jeweils die 5 Ecken mit Hilfe der Kantenmittelpunkte knicken.
Die Ecken von jeweils 2 Fünfecken übereinander kleben.
Es entsteht ein offener Dodekaeder, wenn die 5 übrig gebliebenen , g gLaschen nach innen gefaltet und dort angeklebt werden.
Mit einem Teelicht im Innern des Dodekaeders wird die Konstruktion deutlichdeutlich.
Fertig!
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Genau hinschauen:
Jede der beleuchteten Seitenflächen zeigt ein Pentagramm.
Die Kanten der Sterne sind parallel zu den Kanten des ursprünglichen FünfecksFünfecks.
Pentagramm und 5 Rhomben bilden zusammen das ursprüngliche Fünfeck.
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Literaturtipp:pp
Albrecht Beutelspacher, Marcus Wagner: Wie man durch eine Postkarte steigt, gHerder 2008
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RezepteRegelnRegeln
RechnenWege wählen,Wege wählen,Wege wählen,
Werkzeuge wählenWege wählen,
Werkzeuge wählen
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Mathematik (hinein-)sehen
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mathematik lehren 145 / 2007 – Idee: Joachim Terber
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Körper erschaffen ...
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Hans Walser
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www.mued.de� Shopp
www.geoaustralia.com
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http://didaktik.mathematik.uni-halle.de
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www.mued.de
� Shop
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Schau dir das Bild 20 Sekunden lang an.
Dreh dann das Blatt um, und baue diesen Körper aus dem Gedächtnis nach.p
Rüdiger Vernay: Mit Klickies arbeiten. www.mued.de
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Schau dir das Bild 20 Sekunden lang an.
Dreh dann das Blatt um, und baue diesen Körper aus dem Gedächtnis nach.p
Rüdiger Vernay: Mit Klickies arbeiten. www.mued.de
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www.mued.de
� Shop
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Ines Petzschler: BAU WAS www.mued.de
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Ines Petzschler: BAU WAS www.mued.de
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www.mathematische-basteleien.de
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www.mathematische-basteleien.de
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Knoten regulärer Vielecke
www.mathematische-basteleien.de
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Flechten
nur Papierstreifen, kein Leimen
H t ll ll P l d ö li hHerstellung aller Polyeder möglich
www.hbmeyer.de/flechten/exhib
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www.hbmeyer.de/flechten/exhib
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www.hbmeyer.de/flechten/exhib
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Das Tangram
Legespiel aus 5 Dreiecken, 1 Quadrat und 1 Parallelogramm
32 Halbquadrate = 16 Quadrate → 4x4-Quadrat
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www.ballonmolekuele.de
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Id H G W dIdee: Hans-Georg Weigandmathematik lehren 120
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Deutscher Turn- und Sportverein
NamibiaNamibia
Fußballsparte
www.dts.org.na
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Idee: Karl ReichmannIdee: KKarl ReichmannPraxis der Mathematik 2006
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Kopf- und Handgeometrie mit Knobelquadratenmit Knobelquadraten
Klasse 6/7: ÜÜbent i h G db iffgeometrischer Grundbegriffe
(Winkel, Vierecke, Dreiecke, Symmetrie)Symmetrie)
Christine Streit: S i l itSpiele mitKnobelquadraten.mathematik lehrenmathematik lehren,Heft 144, S. 9�11 Ge
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Ch i ti St it S i l it K b l d tChristine Streit: Spiele mit Knobelquadraten.mathematik lehren, Heft 144, S. 9�11
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Der Gedanke handgreifliche mathematische Modelle bewusstDer Gedanke, handgreifliche mathematische Modelle bewusst und gezielt im Unterricht zu benutzen, setzte sich erst vor weniger als 150 Jahre durch.
Nur einfachste Modelle für Unterrichtszwecke, wie die der ,Platonischen Körper, lassen sich schon im 18. Jahrhundert nachweisen.
Historische Sammlung am Institut für Mathematik
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
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Brockhaus‘KonversationsKonversations-lexikon 1894
Robert Ineichen, Würfel und Wahrscheinlichkeit, Spektrum 1996, S. 65
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Polyeder = VielflächerVielflächer
Die Elemente von Euklid, Ostwald’s Klassiker Nr. 236; 1933
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Johannes Kepler (1571–1630), „Mysterium cosmographicum“ (1596):„Mysterium cosmographicum (1596):
Darstellung der Weltordnung
Die Abstandsverhältnisse der Pl d S i dPlaneten von der Sonne sinddurch ineinander geschachtelte platonische Körper dargestellt.p p g
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Euklid (um 300 v. Chr.),Euklid (um 300 v. Chr.),Buch XIII der „Elemente“:
Bei einem regelmäßigen Körper handeltes sich um einen Körper, welcher von jeweils einander gleichen gleichseitigenjeweils einander gleichen gleichseitigenund gleichwinkligen Figuren umfasst wird.
Euklid-ReliefEuklid ReliefDom zu Florenz,um 1300
Seite aus dem frühesten Druck der „Elemente“,Venedig 1492Venedig 1492
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Es gibt genau 5 harmonische Körper.Euklid Elemente Buch XIIIEuklid, Elemente, Buch XIII
3 × 60° < 360°3 × 60° < 360°
4 × 60° < 360°4 × 60 < 360
5 × 60° < 360°
3 × 90° < 360°
3 × 108° < 360°
Seh- und Hörtipp dazu: Albrecht Beutelspacherwww.br-online.de/br-alpha/mathematik-zum-anfassen/
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Albrecht DürerAlbrecht Dürer(1471–1528)
UnderweysungUnderweysungder messung mit dem zirckel un richtscheyt ...(Nürnberg 1525)
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Erstellen einer Weihnachts-Laterne
Voraussetzung: Die Kinder können Winkel messen, Winkel im Dreieck über die Winkelsumme im Dreieck b h it Zi k l d Li l hberechnen, mit Zirkel und Lineal umgehen,mit Dezimalzahlen, Brüchen und Prozenten rechnen.
• Wie ist das Modell aufgebaut?g
• Wie konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck?
Ruth Schormann
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Weihnachts-Laterne
• Wie ist das Modell aufgebaut?
• Wie konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck?
Ruth Schormann
• Wie konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck?
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Was sind Archimedische Körper?p
IllustrationenIllustrationenvon Leonardo da Vinci zu Luca Paciolis ( 1445 1517)(um 1445-1517)Mathematik-BuchDivina Proportione
A hi d (287 212 Ch )
Polyeder mit regulären Flächen mit einer besonderen
Archimedes (287–212 v. Chr.)
Symmetrie-Eigenschaft:Durch eine Bewegung kann jeder Eckpunkt in jedenanderen Eckpunkt überführt werdenanderen Eckpunkt überführt werden.
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Renaissance-Künstler und -Mathematikerentdecken,
bh iunabhängigvon der antiken VorgeschichteVorgeschichte,nach und nach die 14 archime-dischen Körper neu.
Luca Pacioli (um 1445–1517) mit dem von ihm entdeckten archimedischen Körper, zeitgenössisches Gemälde vonJ. de Barbari
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Illustrationen von Leonardo da Vinci L P i li ( 1445 1517)zu Luca Paciolis (um 1445–1517)
Divina Proportione
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Polyeder mit 24 Seitenflächen für24 Seitenflächen fürein Buchstabenorakel,Griechenland um 500 v. Chr.
Albrecht Dürer: Melancholia
Robert Ineichen, Würfel und Wahrscheinlichkeit, Spektrum 1996, S. 65
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Hans Walser
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RezepteRegelnRegeln
RechnenWege wählen,Wege wählen,
Werkzeuge wählen
Begriffe bilden und begreifen
Fehlendes finden
Begriffe bilden und begreifen
Fehlendes findenFehlendes finden
Überraschendes klären
Fehlendes finden
Überraschendes klären
Argumentieren, Kommunizieren
Mathematik (hinein-)sehen
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Mit Körpern i tiexperimentieren ...
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eine hohe, schlanke …d i k di k… und eine kurze, dicke
Kristin Dahl/Sven Nordqvist: Zahlen Spiralen und magische QuadrateKristin Dahl/Sven Nordqvist: Zahlen, Spiralen und magische Quadrate
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Schätzen – Experimentieren – RechnenSchätzen Experimentieren RechnenKristin Dahl/Sven Nordqvist: Zahlen, Spiralen und magische Quadrate
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RezepteRegelnRegeln
RechnenWege wählen,Wege wählen,
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Begriffe bilden und begreifen
Fehlendes findenFehlendes finden
Überraschendes klärenÜberraschendes klären
Argumentieren, Kommunizieren
Mathematik (hinein-)sehen
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Walter Affolter www.mathbu.ch
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Walter Affolter www.mathbu.chRundkolben füllen
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Fokus Mathematik Band 2 Gymnasium
B d Wü tt bBaden-Württemberg. Cornelsen 2005
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Es wird wirklich rund ...
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Noch etwas angewandteangewandteMathematik ...
Schneide die Figur aus, schneide entlang der dickenschneide entlang der dickenLinien ein, nur die grauen Flächen bleiben stehen.Falte entlang der dünnen Linien – und zwar immer nach der gleichen Seitenach der gleichen Seite.
Wenn man das entstandene G bild i d H d dGebilde in der Hand dannleicht zusammendrückt, entsteht ganz von selbstentsteht ganz von selbst…
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Felix Klein (1849–1925) und Alexander von Brill (1842–1935):
Gemeinsame Arbeit an der Technischen Hochschule München 1875–1880 in der Ausbildung von Ingenieurstudenten
Entwicklung der ersten fasslichen mathematischenfasslichen mathematischen Modelle zu Unterrichts-zwecken
http://didaktik.mathematik.uni-halle.de
Historische Sammlung am Institut für Mathematik, Universität Halle-Wittenberg
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Schon an der Kugel lässtSchon an der Kugel lässtsich Interessantes mit dem Schnitt-Blick entdecken ...
http://didaktik.mathematik.uni-halle.de
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Eodem modo literis atque arteEodem modo literis atque arteanimos delectari posse.
Georg Cantor 1869,1 These seiner1. These seinerHabilitationsschrift
http://didaktik.mathematik.uni-halle.de
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Lässt man eine Hyperbel um die x-Achse oder um die y-Achse rotieren, so beschreibt die Kurve einen Fläche – einzweischaliges oder ein einschaliges Hyperboloid.yp
Besonderheit des einschaligen Hyperboloids:
Auf der Fläche gibt es Scharen von geraden Linien (die Erzeugenden).
Die Fläche ist in jedem Punkt in zwei Richtungen gekrümmt. (� Sattelfläche)(� Sattelfläche)
http://didaktik.mathematik.uni-halle.de
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… eine Sattelfläche aus Papp-Trapezen
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Historische Sammlung am Institut für Mathematik, Universität Halle-Wittenberg
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Historische Sammlung am Institut für Mathematik, Universität Halle-Wittenberg
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Von der Gerade zum Körper
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Historische Sammlung am Institut für Mathematik, Universität Halle-Wittenberg
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Entdeckungen der besonderen Art ...
Veranschaulichung von Minimalflächen durch SeifenhäutchenSeifenhäutchenin Drahtgestellen
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Historische Sammlung am Institut für Mathematik, Universität Halle-Wittenberg
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4-dimensionalerWürfel ...
als... als3-dimensionaleP j ktiProjektion
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Historische Sammlung am Institut für Mathematik, Universität Halle-Wittenberg
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Es ist wirklich unglaublich ...
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August Ferdinand Möbius (1790–1868) Ge
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Heinz Klaus Strick
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Heinz Klaus Strick
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Heinz Klaus Strick
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Kaleidozyklen ...
www.mathematische-basteleien.de
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www.mathematische-basteleien.de
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Dagmar Hochhauser www geometry atwww.geometry.at
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www.mathematikum.de
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RezepteRegelnRegeln
RechnenWege wählen,Wege wählen,
Werkzeuge wählen
Begriffe bilden und begreifen
Fehlendes findenFehlendes finden
Überraschendes klärenÜberraschendes klären
Argumentieren, Kommunizieren
Mathematik (hinein-)sehen
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www.faltgeometrie.ch
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www.faltgeometrie.ch
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Staunen ist, wie wir seit Aristoteles wissen, nicht das Ende, sondern der Anfang vieler gtieferreichender Bemühungen.
Hans SchuppHans Schupp
Hans Schupp: Allgemeinbildender StochastikunterrichtAllgemeinbildender Stochastikunterricht.
In: Stochastik in der Schule 24 (2004) 3, 4–13 Geom
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RezepteRegelnRegeln
RechnenWege wählen,Wege wählen,
Werkzeuge wählen
Begriffe bilden und begreifen
Fehlendes findenFehlendes finden
Überraschendes klärenÜberraschendes klären
Argumentieren, Kommunizieren
Mathematik (hinein-)sehen
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Idee: Sigrid Knaak mathematik lehren 145 / Dezember 2007
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Robert Müllerwww geometry atwww.geometry.at
Faltschachteln
in der Praxisin der Praxis
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Wie groß müsste wohl ein entsprechendes Denkmalentsprechendes Denkmalsein, wenn es Adenauer „von Kopf bis Fuß“ in„von Kopf bis Fuß indemselben Maßstab darstellen soll?
Das Adenauer-Denkmal vomKünstler Hubertus von Pilgrim
Herget/Jahnke/Kroll: Produktive Aufgaben für den
Mathematikunterricht in der Sek I
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Wie groß müsste eine Ri P iRiesen-Puppe sein,damit diese „Füße“ an ih Fi ßihren Fingern so großsind wie deine Füße?
Büchter/Herget/Büchter/Herget/Leuders/Müller: Die Fermi-Box. 2007
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Wie viel Liter Wasser passen in diesepassen in diesebeiden Fässer?
Herget/Jahnke/Kroll: Produktive Aufgaben für den
Mathematikunterricht in der Sek I
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Fermi FragenFermi-Fragenundund
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Enrico Fermi (1901–1954)( )Nobelpreis Physik 1938
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Idee: Regina Bruder
Herget/Jahnke/Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht Sek I, Cornelsen 20086
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Wie lang istWie llang isteigentlich …?
Büchter/Herget/Leuders/Müller: Die Fermi-Box. 2007
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Wie lang ist i tli h ?eigentlich …?
Büchter/Herget/Leuders/Müller: Die Fermi-Box. 2007
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Wie viele Tennisbälle passen wohl in einen Airbus A380?wohl in einen Airbus A380?
Cornelsen Mathemeisterschaft 2005
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Wie viel Quadratmeter Stoff wird man für das stattliche Arminen-Trikot gebraucht haben?haben?
Im Winter wird’s natürlichIm Winter wird s natürlichauch mal kalt. Wie viel Meter Wolle bräuchte man wohl, umWolle bräuchte man wohl, umfür das Hermannsdenkmal passende Handschuhe zu stricken?
Cornelsen Mathemeisterschaft 2005
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Größtes Schoko-EiGrößtes Schoko EiSINT-NIKLAAS. Das größteSchokoladen-Osterei der Welthaben 26 Meister-Chocolatiersin Belgien geformt. Fast 2000Kilogramm Schokolade warenKilogramm Schokolade warenfür die 8,32 Meter hohe und6,39 Meter breite Sehens- Wie dick ist
wohl diewürdigkeit nötig.525 Stunden arbeiteten dieSpezialisten an dem Ei. Aber:
wohl ddieSchokoladen-SchaleSpezialisten an dem Ei. Aber:
Essbar ist es nicht, weil eskonserviert werden musste.
Schalegewesen?
Braunschweiger Zeitung, 26.3.2005
Klasse 9/10 � Cornelsen Mathemeisterschaft 2006
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Wie schwer ...?
Klasse 5/6 � Cornelsen Mathemeisterschaft 2008www.energie-fuer-morgen.de
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Ein Buch soll verschenkt werden. Also her mit Geschenkpapier und SchmuckbandAlso hher mit GGeschenkpapier und SSchmuckband.Zum Beispiel so ... ... oder so ...
... oder so:
Wie sollte man in diesen drei Fällen jeweils wickeln, sodass möglichst wenig Band gebraucht wird?sodass mmöglichst wenig BBand gebraucht wwird?
Und: Habt ihr noch andere Ideen zum sparsamen Wickeln?
Klasse 7/8 � Cornelsen Mathemeisterschaft 2008
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Die Deko-Schnur
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Eine Plastikschnur wird auf eine Rolle aufgewickelt.
aiDie Plastikschnur hat einen kreisrunden Querschnitt mit
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dem Durchmesser d = 0,4 mm. Der innere Durchmesser der Rolle beträgt i = 5 5 cm derRolle bbeträgt i = 55,5 ccm, deräußere Durchmesser a = 7 cm. Die Breite der Wickelfläche beträgt b = 1,9 cm.g ,
Wie viel Meter Schnur passen auf diese Rolle, wenn die Schnurwindungen nicht über den äußeren Rand heraus-Schnurwindungen nnicht über dden äußeren RRand herausragen dürfen?
Klasse 9/10 � Cornelsen Mathemeisterschaft 2008
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Dreifach ist des Raumes Maß:Rastlos fort ohn’ UnterlaßRastlos ffort ohn UUnterlaßStrebt die Länge fort ins Weite,Endlos gießet sich die BreiteEndlos ggießet sich ddie Breite,Grundlos senkt die Tiefe sich.
Friedrich von Schiller1759 –1805 Ge
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mathematik lehrenmathematik lehrenFriedrich VerlagFriedrich VVerlagPF 10 01 50, 30917 Seelze
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Herget, W.; Jahnke, T.; Kroll, W.:P d kti A f b fü d MUProduktive Aufgaben für den MUin der Sek IC l B li 2001Cornelsen, Berlin 2001
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Büchter, A.; Herget, W.; Leuders, T.; Müller, J.:Die Fermi-BoxDie FFermi-BoxFriedrich Verlag, Seelze 2007
Blum, W.; Drüke-Noe, C.; Hartung, R.; Köller, O.:Bildungsstandards Mathematik: konkretBildungsstandards MMathematik: konkret.Sek. I: Aufgabenbeispiele, UnterrichtsanregungenUnterrichtsanregungen,FortbildungsideenCornelsen Scriptor Berlin 2006Cornelsen SScriptor, Berlin 22006
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H t W S h l DHerget, W.; Scholz, D.:Die etwas andere Aufgabe. M th tik A f b S k IMathematik-Aufgaben Sek II– aus der ZeitungKallmeyer Seel e 1998Kallmeyer, Seelze 11998
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